Hvilke krefter virker på bevegelsen til en matematisk pendel. Pendelens hemmeligheter

Matematisk pendel kall et materialpunkt som er hengt opp på en vektløs og ikke-utvidbar tråd festet til opphenget og plassert i tyngdefeltet (eller annen kraft).

La oss studere svingningene til en matematisk pendel i en treghetsreferanseramme, i forhold til hvilken opphengspunktet er i ro eller beveger seg jevnt i en rett linje. Vi vil neglisjere kraften til luftmotstand (ideell matematisk pendel). Til å begynne med er pendelen i ro i likevektsposisjon C. I dette tilfellet kompenseres tyngdekraften og den elastiske kraften F?ynp av tråden som virker på den.

La oss fjerne pendelen fra likevektsposisjonen (ved å bøye den for eksempel til posisjon A) og slippe den uten starthastighet (fig. 1). I dette tilfellet balanserer ikke kreftene hverandre. Den tangentielle komponenten av tyngdekraften, som virker på pendelen, gir den tangentiell akselerasjon a?? (komponent av den totale akselerasjonen rettet langs tangenten til banen til den matematiske pendelen), og pendelen begynner å bevege seg mot likevektsposisjonen med en hastighet som øker i absolutt verdi. Den tangentielle komponenten av tyngdekraften er altså en gjenopprettende kraft. Tyngdekraftens normale komponent er rettet langs tråden mot den elastiske kraften. Resultanten av kreftene gir pendelen normal akselerasjon, som endrer retningen til hastighetsvektoren, og pendelen beveger seg langs buen ABCD.

Jo nærmere pendelen kommer likevektsposisjonen C, jo mindre blir verdien av den tangentielle komponenten. I likevektsposisjonen er den lik null, og hastigheten når sin maksimale verdi, og pendelen beveger seg videre med treghet og stiger i en oppadgående bue. I dette tilfellet er komponenten rettet mot hastigheten. Når avbøyningsvinkelen a øker, øker kraftens størrelse, og størrelsen på hastigheten avtar, og ved punkt D blir pendelens hastighet null. Pendelen stopper et øyeblikk og begynner deretter å bevege seg i motsatt retning av likevektsposisjonen. Etter å ha passert den igjen med treghet, vil pendelen, bremse bevegelsen, nå punkt A (det er ingen friksjon), dvs. vil fullføre en fullstendig sving. Etter dette vil bevegelsen av pendelen bli gjentatt i sekvensen som allerede er beskrevet.

La oss få en ligning som beskriver de frie oscillasjonene til en matematisk pendel.

La pendelen i et gitt tidspunkt være i punkt B. Dens forskyvning S fra likevektsposisjonen i dette øyeblikket er lik lengden på buen SV (dvs. S = |SV|). La oss angi lengden på opphengstråden som l, og massen til pendelen som m.

Fra figur 1 er det klart at , hvor . Ved små vinkler () bøyer pendelen seg derfor

Minustegnet er plassert i denne formelen fordi den tangentielle komponenten av tyngdekraften er rettet mot likevektsposisjonen, og forskyvningen telles fra likevektsposisjonen.

I følge Newtons andre lov. La oss projisere vektormengdene til denne ligningen på retningen til tangenten til banen til den matematiske pendelen

Fra disse ligningene får vi

Dynamisk bevegelsesligning for en matematisk pendel. Den tangentielle akselerasjonen til en matematisk pendel er proporsjonal med dens forskyvning og er rettet mot likevektsposisjonen. Denne ligningen kan skrives som

Sammenligner det med den harmoniske vibrasjonsligningen , kan vi konkludere med at den matematiske pendelen utfører harmoniske svingninger. Og siden de betraktede svingningene til pendelen skjedde under påvirkning av bare indre krefter, var disse frie svingninger av pendelen. Følgelig er frie oscillasjoner av en matematisk pendel med små avvik harmoniske.

La oss betegne

Syklisk frekvens av pendelsvingninger.

Periode med oscillasjon av en pendel. Derfor,

Dette uttrykket kalles Huygens' formel. Den bestemmer perioden med frie svingninger til en matematisk pendel. Fra formelen følger det at ved små avviksvinkler fra likevektsposisjonen er svingningsperioden til en matematisk pendel:

1. er ikke avhengig av dens masse og vibrasjonsamplitude;
2. er proporsjonal med kvadratroten av lengden av pendelen og omvendt proporsjonal med kvadratroten av tyngdeakselerasjonen.

Dette er i samsvar med de eksperimentelle lovene for små svingninger av en matematisk pendel, som ble oppdaget av G. Galileo.

Vi understreker at denne formelen kan brukes til å beregne perioden hvis to betingelser er oppfylt samtidig:

1. pendelens svingninger skal være små;
2. pendelens opphengspunkt må være i ro eller bevege seg jevnt i en rett linje i forhold til treghetsreferanserammen den er plassert i.

Hvis suspensjonspunktet til en matematisk pendel beveger seg med akselerasjon, endres trådens spenningskraft, noe som fører til en endring i gjenopprettingskraften, og følgelig frekvensen og perioden for svingninger. Som beregninger viser, kan pendelens oscillasjonsperiode i dette tilfellet beregnes ved å bruke formelen

hvor er den "effektive" akselerasjonen til pendelen i en ikke-treghetsreferanseramme. Den er lik den geometriske summen av akselerasjonen av fritt fall og vektoren motsatt av vektoren, dvs. det kan beregnes ved hjelp av formelen

Et mekanisk system som består av et materialpunkt (kropp) som henger på en ikke-utvidbar vektløs tråd (massen er ubetydelig sammenlignet med vekten av kroppen) i et jevnt gravitasjonsfelt kalles en matematisk pendel (et annet navn er en oscillator). Det finnes andre typer av denne enheten. I stedet for en tråd kan en vektløs stang brukes. En matematisk pendel kan tydelig avsløre essensen av mange interessante fenomener. Når vibrasjonsamplituden er liten, kalles bevegelsen harmonisk.

Mekanisk systemoversikt

Formelen for svingningsperioden til denne pendelen ble utledet av den nederlandske forskeren Huygens (1629-1695). Denne samtidige av I. Newton var veldig interessert i dette mekaniske systemet. I 1656 skapte han den første klokken med pendelmekanisme. De målte tid med eksepsjonell presisjon for disse tidene. Denne oppfinnelsen ble et viktig stadium i utviklingen av fysiske eksperimenter og praktiske aktiviteter.

Hvis pendelen er i likevektsposisjon (henger vertikalt), vil den balanseres av trådens strekkkraft. En flat pendel på en ikke-utvidbar gjenge er et system med to frihetsgrader med kobling. Når du endrer bare én komponent, endres egenskapene til alle delene. Så hvis tråden erstattes av en stang, vil dette mekaniske systemet bare ha 1 grad av frihet. Hvilke egenskaper har en matematisk pendel? I dette enkleste systemet oppstår kaos under påvirkning av periodiske forstyrrelser. I tilfellet når opphengspunktet ikke beveger seg, men svinger, har pendelen en ny likevektsposisjon. Med raske svingninger opp og ned får dette mekaniske systemet en stabil "opp-ned"-posisjon. Den har også sitt eget navn. Den kalles Kapitsa-pendelen.

Egenskaper til en pendel

Den matematiske pendelen har svært interessante egenskaper. Alle av dem er bekreftet av kjente fysiske lover. Svingningsperioden til enhver annen pendel avhenger av forskjellige omstendigheter, som kroppens størrelse og form, avstanden mellom opphengspunktet og tyngdepunktet, og massefordelingen i forhold til dette punktet. Det er derfor det er en ganske vanskelig oppgave å bestemme hengeperioden til en kropp. Det er mye lettere å beregne perioden til en matematisk pendel, hvis formel vil bli gitt nedenfor. Som et resultat av observasjoner av lignende mekaniske systemer, kan følgende mønstre etableres:

Hvis vi, mens vi opprettholder samme lengde på pendelen, suspenderer forskjellige vekter, vil perioden for svingningene deres være den samme, selv om massene deres vil variere sterkt. Følgelig avhenger ikke perioden til en slik pendel av belastningens masse.

Hvis, når systemet startes, avbøyes pendelen i ikke for store, men forskjellige vinkler, vil den begynne å svinge med samme periode, men med forskjellige amplituder. Så lenge avvikene fra likevektssenteret ikke er for store, vil vibrasjonene i deres form være ganske nær harmoniske. Perioden for en slik pendel avhenger ikke på noen måte av oscillerende amplituden. Denne egenskapen til et gitt mekanisk system kalles isokronisme (oversatt fra gresk "chronos" - tid, "isos" - lik).

Periode for en matematisk pendel

Denne indikatoren representerer perioden Til tross for den komplekse formuleringen er selve prosessen veldig enkel. Hvis lengden på tråden til en matematisk pendel er L, og akselerasjonen av fritt fall er g, er denne verdien lik:

Perioden med små naturlige svingninger avhenger ikke på noen måte av pendelens masse og amplituden til svingningene. I dette tilfellet beveger pendelen seg som en matematisk med redusert lengde.

Svingninger av en matematisk pendel

En matematisk pendel svinger, som kan beskrives med en enkel differensialligning:

x + ω2 sin x = 0,

hvor x (t) er en ukjent funksjon (dette er vinkelen for avvik fra den nedre likevektsposisjonen i øyeblikket t, uttrykt i radianer); ω er en positiv konstant, som bestemmes fra parametrene til pendelen (ω = √g/L, hvor g er tyngdeakselerasjonen, og L er lengden på den matematiske pendelen (suspensjon).

Ligningen for små vibrasjoner nær likevektsposisjonen (harmonisk ligning) ser slik ut:

x + ω2 sin x = 0

Oscillerende bevegelser av en pendel

En matematisk pendel, som lager små svingninger, beveger seg langs en sinusformet. Den andre ordens differensialligningen oppfyller alle kravene og parametrene til en slik bevegelse. For å bestemme banen, er det nødvendig å stille inn hastigheten og koordinaten, hvorfra uavhengige konstanter deretter bestemmes:

x = A sin (θ 0 + ωt),

hvor θ 0 er startfasen, A er oscillasjonsamplituden, ω er den sykliske frekvensen bestemt fra bevegelsesligningen.

Matematisk pendel (formler for store amplituder)

Dette mekaniske systemet, som svinger med en betydelig amplitude, er underlagt mer komplekse bevegelseslover. For en slik pendel beregnes de i henhold til formelen:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

hvor sn er Jacobisinus, som for u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

hvor ε = E/mL2 (mL2 er energien til pendelen).

Svingningsperioden til en ikke-lineær pendel bestemmes ved hjelp av formelen:

hvor Ω = π/2 * ω/2K(u), K er det elliptiske integralet, π - 3,14.

Bevegelse av en pendel langs en separatrix

En separatrix er banen til et dynamisk system som har et todimensjonalt faserom. En matematisk pendel beveger seg langs den ikke-periodisk. I et uendelig fjernt øyeblikk faller den fra sin høyeste posisjon til siden med null hastighet, for så å øke den gradvis. Den stopper til slutt og går tilbake til sin opprinnelige posisjon.

Hvis amplituden til pendelens svingninger nærmer seg tallet π , indikerer dette at bevegelsen på faseplanet nærmer seg separatrisen. I dette tilfellet, under påvirkning av en liten periodisk drivkraft, viser det mekaniske systemet kaotisk oppførsel.

Når en matematisk pendel avviker fra likevektsposisjonen med en viss vinkel φ, oppstår en tangentiell tyngdekraft Fτ = -mg sin φ. Minustegnet betyr at denne tangentielle komponenten er rettet i retning motsatt av pendelens avbøyning. Når man betegner med x forskyvningen av pendelen langs en sirkelbue med radius L, er dens vinkelforskyvning lik φ = x/L. Den andre loven, beregnet på projeksjoner og kraft, vil gi ønsket verdi:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Basert på dette forholdet er det klart at denne pendelen er et ikke-lineært system, siden kraften som har en tendens til å returnere den til likevektsposisjonen alltid er proporsjonal ikke med forskyvningen x, men til sin x/L.

Bare når en matematisk pendel utfører små svingninger, er den en harmonisk oscillator. Med andre ord blir det et mekanisk system som er i stand til å utføre harmoniske svingninger. Denne tilnærmingen er praktisk talt gyldig for vinkler på 15-20°. Oscillasjoner av en pendel med store amplituder er ikke harmoniske.

Newtons lov for små oscillasjoner av en pendel

Hvis et gitt mekanisk system utfører små oscillasjoner, vil Newtons andre lov se slik ut:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Basert på dette kan vi konkludere med at en matematisk pendel er proporsjonal med forskyvningen med et minustegn. Dette er tilstanden som gjør at systemet blir en harmonisk oscillator. Modulen til proporsjonalitetskoeffisienten mellom forskyvning og akselerasjon er lik kvadratet på den sirkulære frekvensen:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Denne formelen gjenspeiler den naturlige frekvensen til små svingninger av denne typen pendel. Basert på dette,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Beregninger basert på loven om bevaring av energi

Egenskapene til en pendel kan også beskrives ved hjelp av loven om bevaring av energi. Det bør tas i betraktning at pendelen i gravitasjonsfeltet er lik:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Totalt tilsvarer kinetisk eller maksimalt potensial: Epmax = Ekmsx = E

Etter at loven om bevaring av energi er skrevet, ta den deriverte av høyre og venstre side av ligningen:

Siden den deriverte av konstante mengder er lik 0, så er (Ep + Ek)" = 0. Den deriverte av summen er lik summen av de deriverte:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x"= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

derfor:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Basert på den siste formelen finner vi: α = - g/L*x.

Praktisk anvendelse av en matematisk pendel

Akselerasjonen varierer med breddegrad fordi tettheten til jordskorpen ikke er den samme over hele planeten. Der bergarter med høyere tetthet forekommer, vil det være litt høyere. Akselerasjonen til en matematisk pendel brukes ofte til geologisk utforskning. Den brukes til å søke etter ulike mineraler. Bare ved å telle antall svingninger av en pendel, kan du oppdage kull eller malm i jordens tarmer. Dette skyldes at slike fossiler har en tetthet og masse større enn de underliggende løse bergartene.

Den matematiske pendelen ble brukt av så fremragende forskere som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch, Archimedes. Mange av dem trodde at dette mekaniske systemet kunne påvirke skjebnen og livet til en person. Arkimedes brukte en matematisk pendel i sine beregninger. I dag bruker mange okkultister og synske dette mekaniske systemet for å oppfylle sine profetier eller søke etter savnede mennesker.

Den berømte franske astronomen og naturforskeren K. Flammarion brukte også en matematisk pendel for sin forskning. Han hevdet at han med dens hjelp var i stand til å forutsi oppdagelsen av en ny planet, utseendet til Tunguska-meteoritten og andre viktige hendelser. Under andre verdenskrig opererte et spesialisert Pendelinstitutt i Tyskland (Berlin). I dag er München-instituttet for parapsykologi engasjert i lignende forskning. De ansatte ved dette etablissementet kaller arbeidet sitt med pendelen "radiesthesia."

Matematikkpendel er et materiell punkt hengt opp på en vektløs og ubøyelig tråd plassert i jordens gravitasjonsfelt. En matematisk pendel er en idealisert modell som korrekt beskriver en ekte pendel bare under visse forhold. En ekte pendel kan betraktes som matematisk hvis lengden på tråden er mye større enn størrelsen på kroppen som henger på den, massen på tråden er ubetydelig sammenlignet med kroppens masse, og deformasjonene av tråden er så små at de kan neglisjeres totalt.

Det oscillerende systemet i dette tilfellet er dannet av en tråd, en kropp festet til den og jorden, uten hvilken dette systemet ikke kunne tjene som en pendel.

Hvor EN X – akselerasjon, g - tyngdeakselerasjon, X- forskyvning, l– lengden på pendeltråden.

Denne ligningen kalles ligning av frie oscillasjoner av en matematisk pendel. Den beskriver riktig vibrasjonene bare når følgende forutsetninger er oppfylt:

2) bare små svingninger av pendelen med en liten svingvinkel vurderes.

Frie vibrasjoner av alle systemer beskrives i alle tilfeller med lignende ligninger.

Årsakene til frie oscillasjoner av en matematisk pendel er:

1. Spenningens og tyngdekraftens virkning på pendelen, hindrer den i å bevege seg fra likevektsposisjonen og tvinger den til å falle igjen.

2. Pendelens treghet, på grunn av hvilken den, opprettholder sin hastighet, ikke stopper i likevektsposisjonen, men passerer videre gjennom den.

Periode med frie svingninger av en matematisk pendel

Perioden med fri oscillasjon av en matematisk pendel avhenger ikke av dens masse, men bestemmes bare av lengden på tråden og tyngdeakselerasjonen på stedet der pendelen er plassert.

Energikonvertering under harmoniske svingninger

Under harmoniske svingninger av en fjærpendel omdannes den potensielle energien til et elastisk deformert legeme til dets kinetiske energi, hvor k – elastisitetskoeffisient, X - forskyvningsmodulen til pendelen fra likevektsposisjonen, m- massen av pendelen, v- hastigheten. I henhold til den harmoniske vibrasjonsligningen:

, .

Total energi til en fjærpendel:

.

Total energi for en matematisk pendel:

Når det gjelder en matematisk pendel

Energitransformasjoner under oscillasjoner av en fjærpendel skjer i samsvar med loven om bevaring av mekanisk energi ( ). Når en pendel beveger seg ned eller opp fra sin likevektsposisjon, øker dens potensielle energi, og dens kinetiske energi avtar. Når pendelen passerer likevektsposisjonen ( X= 0), dens potensielle energi er null og den kinetiske energien til pendelen har den største verdien, lik dens totale energi.

I prosessen med frie oscillasjoner av pendelen, blir dens potensielle energi til kinetisk, kinetisk til potensial, potensial og deretter tilbake til kinetisk, etc. Men den totale mekaniske energien forblir uendret.

Tvungede vibrasjoner. Resonans.

Oscillasjoner som oppstår under påvirkning av en ekstern periodisk kraft kalles tvangssvingninger. En ekstern periodisk kraft, kalt en drivkraft, gir ekstra energi til det oscillerende systemet, som går for å fylle på energitapene som oppstår på grunn av friksjon. Hvis drivkraften endres over tid i henhold til sinus- eller cosinusloven, vil de tvungne svingningene være harmoniske og udempede.

I motsetning til frie oscillasjoner, når systemet mottar energi bare én gang (når systemet bringes ut av likevekt), absorberer systemet denne energien fra en kilde til ekstern periodisk kraft kontinuerlig i tilfelle av tvangssvingninger. Denne energien gjør opp for tapene som brukes på å overvinne friksjon, og derfor forblir den totale energien til det oscillerende systemet fortsatt uendret.

Frekvensen av tvungne oscillasjoner er lik frekvensen til drivkraften. I tilfelle hvor drivkraften frekvens υ faller sammen med den naturlige frekvensen til det oscillerende systemet υ 0 , det er en kraftig økning i amplituden til tvungne oscillasjoner - resonans. Resonans oppstår på grunn av det faktum at når υ = υ 0 den ytre kraften, som virker i takt med frie vibrasjoner, er alltid på linje med hastigheten til det oscillerende legemet og gjør positivt arbeid: energien til det oscillerende legemet øker, og amplituden til dets svingninger blir stor. Graf over amplituden til tvungne oscillasjoner EN T på drivkraftfrekvens υ vist i figuren kalles denne grafen resonanskurven:

Fenomenet resonans spiller en viktig rolle i en rekke naturlige, vitenskapelige og industrielle prosesser. For eksempel er det nødvendig å ta hensyn til fenomenet resonans ved utforming av broer, bygninger og andre konstruksjoner som opplever vibrasjoner under belastning, ellers kan disse konstruksjonene under visse forhold bli ødelagt.

Pendelene vist i fig. 2, er forlengede legemer av forskjellige former og størrelser som svinger rundt et opphengs- eller støttepunkt. Slike systemer kalles fysiske pendler. I en likevektstilstand, når tyngdepunktet er vertikalt under opphengspunktet (eller støttepunktet), balanseres tyngdekraften (gjennom de elastiske kreftene til en deformert pendel) av støttens reaksjon. Når man avviker fra likevektsposisjonen, bestemmer tyngdekraften og elastiske krefter pendelens vinkelakselerasjon i hvert øyeblikk, det vil si at de bestemmer arten av dens bevegelse (oscillasjon). Vi skal nå se på dynamikken til svingninger mer detaljert ved å bruke det enkleste eksemplet på en såkalt matematisk pendel, som er en liten vekt hengt opp på en lang tynn tråd.

I en matematisk pendel kan vi neglisjere massen av tråden og deformasjonen av vekten, det vil si at vi kan anta at massen til pendelen er konsentrert i vekten, og de elastiske kreftene er konsentrert i tråden, som anses som uutvidelig . La oss nå se under hvilke krefter pendelen vår svinger etter at den er fjernet fra sin likevektsposisjon på en eller annen måte (skyv, avbøyning).

Når pendelen er i ro i likevektsposisjon, balanseres tyngdekraften som virker på dens vekt og rettet vertikalt nedover av trådens spenningskraft. I avbøyd stilling (fig. 15) virker tyngdekraften i en vinkel på strekkkraften rettet langs tråden. La oss bryte ned tyngdekraften i to komponenter: i trådens retning () og vinkelrett på den (). Når pendelen svinger, overskrider trådens spenningskraft litt komponenten - med mengden av sentripetalkraften, som tvinger lasten til å bevege seg i en bue. Komponenten er alltid rettet mot likevektsposisjonen; hun ser ut til å prøve å gjenopprette denne situasjonen. Derfor kalles det ofte gjenopprettingskraften. Jo mer pendelen avbøyes, jo større er absoluttverdien.

Ris. 15. Gjenopprettingskraft når pendelen avviker fra likevektsposisjonen

Så snart pendelen, under svingningene, begynner å avvike fra likevektsposisjonen, for eksempel til høyre, vises en kraft som bremser bevegelsen jo mer, jo lenger avvikes den. Til syvende og sist vil denne kraften stoppe ham og trekke ham tilbake til likevektsposisjonen. Men når vi nærmer oss denne posisjonen vil kraften bli mindre og mindre og i selve likevektsposisjonen blir null. Dermed passerer pendelen gjennom likevektsposisjonen ved treghet. Så snart den begynner å avvike til venstre, vil det igjen dukke opp en kraft som vokser med økende avvik, men nå rettet mot høyre. Bevegelsen til venstre vil igjen avta, deretter stopper pendelen et øyeblikk, hvoretter den akselererte bevegelsen til høyre vil begynne osv.

Hva skjer med energien til en pendel når den svinger?

To ganger i løpet av perioden - ved de største avvikene til venstre og høyre - stopper pendelen, dvs. i disse øyeblikkene er hastigheten null, noe som betyr at den kinetiske energien er null. Men det er nettopp i disse øyeblikkene at tyngdepunktet til pendelen heves til sin største høyde, og derfor er den potensielle energien størst. Tvert imot, i øyeblikkene for å passere gjennom likevektsposisjonen, er den potensielle energien den laveste, og hastigheten og kinetisk energi når sine største verdier.

Vi vil anta at pendelens friksjonskrefter mot luften og friksjonen ved opphengspunktet kan neglisjeres. Så, i henhold til loven om energibevaring, er denne maksimale kinetiske energien nøyaktig lik overskuddet av potensiell energi ved posisjonen med størst avvik over den potensielle energien ved likevektsposisjonen.

Så når pendelen svinger, oppstår en periodisk overgang av kinetisk energi til potensiell energi og omvendt, og perioden for denne prosessen er halvparten så lang som svingningsperioden til selve pendelen. Pendelens totale energi (summen av potensielle og kinetiske energier) er imidlertid konstant hele tiden. Den er lik energien som ble tilført pendelen ved lanseringen, uansett om den er i form av potensiell energi (initial deflection) eller i form av kinetisk energi (initial push).

Dette er tilfellet med alle oscillasjoner i fravær av friksjon eller andre prosesser som tar energi bort fra det oscillerende systemet eller gir energi til det. Det er derfor amplituden forblir uendret og bestemmes av den innledende avbøyningen eller kraften til skyvet.

Vi vil få de samme endringene i gjenopprettingskraften og samme overføring av energi hvis vi i stedet for å henge ballen på en tråd får den til å rulle i et vertikalt plan i en sfærisk kopp eller i et spor buet langs omkretsen. I dette tilfellet vil trådspenningens rolle bli overtatt av trykket fra veggene i koppen eller trauet (vi forsømmer igjen friksjonen til ballen mot veggene og luften).

En matematisk pendel er en modell av en vanlig pendel. En matematisk pendel er en materiell spiss hengt opp på en lang vektløs og uuttrekkbar tråd.

La oss flytte ballen ut av likevektsposisjonen og slippe den. To krefter vil virke på ballen: tyngdekraften og trådens spenning. Når pendelen beveger seg, vil luftfriksjonskraften fortsatt virke på den. Men vi vil vurdere det som veldig lite.

La oss dekomponere tyngdekraften i to komponenter: en kraft rettet langs tråden, og en kraft rettet vinkelrett på tangenten til ballens bane.

Disse to kreftene legger sammen til tyngdekraften. De elastiske kreftene til tråden og tyngdekraftskomponenten Fn gir centripetalakselerasjon til ballen. Arbeidet som utføres av disse kreftene vil være null, og derfor vil de bare endre retningen til hastighetsvektoren. Når som helst vil den bli rettet tangentielt til sirkelbuen.

Under påvirkning av tyngdekraftskomponenten Fτ vil ballen bevege seg langs en sirkelbue med en hastighet som øker i styrke. Verdien av denne kraften endres alltid i størrelse; når den passerer gjennom likevektsposisjonen, er den lik null.

Dynamikk av oscillerende bevegelse

Bevegelsesligningen til en kropp som svinger under påvirkning av en elastisk kraft.

Generell bevegelsesligning:

Oscillasjoner i systemet oppstår under påvirkning av elastisk kraft, som i henhold til Hookes lov er direkte proporsjonal med forskyvningen av lasten

Da vil bevegelsesligningen til ballen ha følgende form:

Del denne ligningen med m, vi får følgende formel:

Og siden massen og elastisitetskoeffisienten er konstante størrelser, vil forholdet (-k/m) også være konstant. Vi har fått en ligning som beskriver vibrasjonene til et legeme under påvirkning av elastisk kraft.

Projeksjonen av kroppens akselerasjon vil være direkte proporsjonal med dens koordinat, tatt med motsatt fortegn.

Bevegelsesligningen til en matematisk pendel

Bevegelsesligningen til en matematisk pendel er beskrevet med følgende formel:

Denne ligningen har samme form som ligningen for bevegelse av en masse på en fjær. Følgelig skjer svingningene til pendelen og kulens bevegelser på fjæren på samme måte.

Forskyvningen av kulen på fjæren og forskyvningen av pendellegemet fra likevektsposisjonen endres over tid etter de samme lovene.