Logaritmer: eksempler og løsninger. Logaritme - egenskaper, formler, graf Grunnleggende egenskaper for logaritmer

\(a^(b)=c\) \(\venstrepil\) \(\log_(a)(c)=b\)

La oss forklare det enklere. For eksempel er \(\log_(2)(8)\) lik potensen som \(2\) må heves til for å få \(8\). Fra dette er det klart at \(\log_(2)(8)=3\).

Eksempler:	\(\log_(5)(25)=2\)	fordi \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	fordi \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	fordi \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument og basis for logaritmen

Enhver logaritme har følgende "anatomi":

Argumentet til en logaritme skrives vanligvis på nivået, og basen skrives i trukket skrift nærmere logaritmetegnet. Og denne oppføringen lyder slik: "logaritme av tjuefem til base fem."

Hvordan beregne logaritme?

For å beregne logaritmen må du svare på spørsmålet: til hvilken potens skal basen heves for å få argumentet?

For eksempel, beregn logaritmen: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Til hvilken kraft må \(4\) heves for å få \(16\)? Tydeligvis den andre. Derfor:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Til hvilken styrke må \(\sqrt(5)\) heves for å få \(1\)? Hvilken kraft gjør noen nummer én? Null, selvfølgelig!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Til hvilken makt må \(\sqrt(7)\) heves for å oppnå \(\sqrt(7)\)? For det første er ethvert tall i første potens lik seg selv.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Til hvilken makt må \(3\) heves for å oppnå \(\sqrt(3)\)? Fra vi vet at det er en brøkpotens, som betyr at kvadratroten er potensen til \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Eksempel : Beregn logaritmen \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Løsning :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Vi må finne verdien av logaritmen, la oss betegne den som x. La oss nå bruke definisjonen av en logaritme: \(\log_(a)(c)=b\) \(\venstrepil\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Hva forbinder \(4\sqrt(2)\) og \(8\)? To, fordi begge tallene kan representeres av toere: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Til venstre bruker vi egenskapene til graden: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) og \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Grunnlaget er like, vi går videre til likestilling av indikatorer
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliser begge sider av ligningen med \(\frac(2)(5)\)
		Den resulterende roten er verdien av logaritmen

Svar : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Hvorfor ble logaritmen oppfunnet?

For å forstå dette, la oss løse ligningen: \(3^(x)=9\). Bare match \(x\) for å få likestillingen til å fungere. Selvfølgelig \(x=2\).

Løs nå ligningen: \(3^(x)=8\).Hva er x lik? Det er poenget.

De smarteste vil si: "X er litt mindre enn to." Hvordan skal man egentlig skrive dette tallet? For å svare på dette spørsmålet ble logaritmen oppfunnet. Takket være ham kan svaret her skrives som \(x=\log_(3)(8)\).

Jeg vil understreke at \(\log_(3)(8)\), liker enhver logaritme er bare et tall. Ja, det ser uvanlig ut, men det er kort. For hvis vi ønsket å skrive det som en desimal, ville det sett slik ut: \(1.892789260714.....\)

Eksempel : Løs ligningen \(4^(5x-4)=10\)

Løsning :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) og \(10\) kan ikke bringes til samme base. Dette betyr at du ikke kan klare deg uten en logaritme. La oss bruke definisjonen av logaritme: \(a^(b)=c\) \(\venstrepil\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		La oss snu ligningen slik at X er til venstre
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Før oss. La oss flytte \(4\) til høyre. Og ikke vær redd for logaritmen, behandle det som et vanlig tall.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Del ligningen med 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Dette er roten vår. Ja, det ser uvanlig ut, men de velger ikke svaret.

Svar : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desimal og naturlige logaritmer

Som angitt i definisjonen av en logaritme, kan basen være et hvilket som helst positivt tall bortsett fra ett \((a>0, a\neq1)\). Og blant alle mulige baser er det to som forekommer så ofte at en spesiell kort notasjon ble oppfunnet for logaritmer med dem:

Naturlig logaritme: en logaritme hvis grunntall er Eulers tall \(e\) (lik ca. \(2,7182818…\)), og logaritmen skrives som \(\ln(a)\).

Det er, \(\ln(a)\) er det samme som \(\log_(e)(a)\)

Desimallogaritme: En logaritme hvis grunntall er 10 skrives \(\lg(a)\).

Det er, \(\lg(a)\) er det samme som \(\log_(10)(a)\), hvor \(a\) er et tall.

Grunnleggende logaritmisk identitet

Logaritmer har mange egenskaper. En av dem kalles "Basic Logarithmic Identity" og ser slik ut:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Denne egenskapen følger direkte av definisjonen. La oss se nøyaktig hvordan denne formelen ble til.

La oss huske en kort notasjon av definisjonen av logaritme:

hvis \(a^(b)=c\), så \(\log_(a)(c)=b\)

Det vil si at \(b\) er det samme som \(\log_(a)(c)\). Da kan vi skrive \(\log_(a)(c)\) i stedet for \(b\) i formelen \(a^(b)=c\). Det viste seg at \(a^(\log_(a)(c))=c\) - den logaritmiske hovedidentiteten.

Du kan finne andre egenskaper ved logaritmer. Med deres hjelp kan du forenkle og beregne verdiene til uttrykk med logaritmer, som er vanskelige å beregne direkte.

Eksempel : Finn verdien til uttrykket \(36^(\log_(6)(5))\)

Løsning :

Svar : \(25\)

Hvordan skrive et tall som en logaritme?

Som nevnt ovenfor er enhver logaritme bare et tall. Det motsatte er også sant: ethvert tall kan skrives som en logaritme. For eksempel vet vi at \(\log_(2)(4)\) er lik to. Så i stedet for to kan du skrive \(\log_(2)(4)\).

Men \(\log_(3)(9)\) er også lik \(2\), noe som betyr at vi også kan skrive \(2=\log_(3)(9)\) . På samme måte med \(\log_(5)(25)\), og med \(\log_(9)(81)\), etc. Det vil si, viser det seg

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Hvis vi trenger det, kan vi altså skrive to som en logaritme med hvilken som helst base hvor som helst (det være seg i en likning, i et uttrykk eller i en ulikhet) - vi skriver ganske enkelt grunntallet opphøyd som et argument.

Det er det samme med trippelen – den kan skrives som \(\log_(2)(8)\), eller som \(\log_(3)(27)\), eller som \(\log_(4)( 64) \)... Her skriver vi basen i kuben som et argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Og med fire:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Og med minus en:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Og med en tredjedel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Ethvert tall \(a\) kan representeres som en logaritme med grunntallet \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Eksempel : Finn betydningen av uttrykket \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Løsning :

Svar : \(1\)

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg en y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

Logg en x+ logg en y=logg en (x · y);
Logg en x− logg en y=logg en (x : y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Logg 6 4 + logg 6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Tekst til bildet]

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmeloggen gis en x. Deretter for et hvilket som helst tall c slik at c> 0 og c≠ 1, likheten er sann:
[Tekst til bildet]
Spesielt hvis vi setter c = x, vi får:
[Tekst til bildet]

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

[Tekst til bildet]

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

[Tekst til bildet]

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

[Tekst til bildet]

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet, nummeret n blir en indikator på graden stående i argumentasjonen. Antall n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det er det det kalles: den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Faktisk, hva vil skje hvis nummeret b heve til en slik styrke at tallet b til denne potensen gir tallet en? Det stemmer: du får det samme nummeret en. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]

Merk at log 25 64 = log 5 8 - tok bare kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

[Tekst til bildet]

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

Logg en en= 1 er en logaritmisk enhet. Husk en gang for alle: logaritme til hvilken som helst base en fra denne grunnen er lik en.
Logg en 1 = 0 er logaritmisk null. Utgangspunkt en kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder én, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

Følger av dens definisjon. Og så logaritmen til tallet b basert på EN er definert som eksponenten som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).

Av denne formuleringen følger det at beregningen x=log a b, tilsvarer å løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å rettferdiggjøre at if b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også klart at temaet logaritmer er nært knyttet til emnet potenser av et tall.

Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre operasjoner med addisjon, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder her egne spesielle regler, som kalles hovedegenskaper.

Legge til og subtrahere logaritmer.

La oss ta to logaritmer med samme base: logg en x Og logg et y. Da er det mulig å utføre addisjons- og subtraksjonsoperasjoner:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

logg a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logg en x 1 + logg en x 2 + logg en x 3 + ... + logg a x k.

Fra logaritmekvotientsetning En annen egenskap for logaritmen kan oppnås. Det er alminnelig kjent at logg en 1= 0, derfor

Logg en 1 /b=logg en 1 - logg a b= -log a b.

Dette betyr at det er en likhet:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmer av to gjensidige tall av samme grunn vil avvike fra hverandre utelukkende ved tegn. Så:

Logg 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Vi fortsetter å studere logaritmer. I denne artikkelen vil vi snakke om beregne logaritmer, kalles denne prosessen logaritme. Først vil vi forstå beregningen av logaritmer per definisjon. Deretter, la oss se på hvordan verdiene til logaritmer blir funnet ved å bruke egenskapene deres. Etter dette vil vi fokusere på å beregne logaritmer gjennom de opprinnelig spesifiserte verdiene til andre logaritmer. Til slutt, la oss lære hvordan du bruker logaritmetabeller. Hele teorien er forsynt med eksempler med detaljerte løsninger.

Sidenavigering.

Beregning av logaritmer per definisjon

I de enkleste tilfellene er det mulig å utføre ganske raskt og enkelt finne logaritmen per definisjon. La oss se nærmere på hvordan denne prosessen skjer.

Dens essens er å representere tallet b i formen a c, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, tallet c er verdien av logaritmen. Det vil si, per definisjon, tilsvarer følgende kjede av likheter å finne logaritmen: log a b=log a a c =c.

Så, å beregne en logaritme per definisjon kommer ned til å finne et tall c slik at a c = b, og tallet c i seg selv er den ønskede verdien av logaritmen.

Når du tar i betraktning informasjonen i de foregående avsnittene, når tallet under logaritmetegnet er gitt av en viss potens av logaritmebasen, kan du umiddelbart indikere hva logaritmen er lik - den er lik eksponenten. La oss vise løsninger på eksempler.

Eksempel.

Finn log 2 2 −3, og beregn også den naturlige logaritmen til tallet e 5,3.

Løsning.

Definisjonen av logaritmen lar oss umiddelbart si at log 2 2 −3 =−3. Faktisk er tallet under logaritmetegnet lik base 2 til −3 potens.

På samme måte finner vi den andre logaritmen: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 =−3 og lne 5,3 =5,3.

Hvis tallet b under logaritmetegnet ikke er spesifisert som en potens av basen til logaritmen, må du se nøye etter om det er mulig å komme opp med en representasjon av tallet b i formen a c . Ofte er denne representasjonen ganske åpenbar, spesielt når tallet under logaritmetegnet er lik basen i potensen 1, eller 2, eller 3, ...

Eksempel.

Beregn logaritmene log 5 25 , og .

Løsning.

Det er lett å se at 25=5 2, dette lar deg beregne den første logaritmen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

La oss gå videre til å beregne den andre logaritmen. Tallet kan representeres som en potens av 7: (se om nødvendig). Derfor, .

La oss omskrive den tredje logaritmen i følgende form. Nå kan du se det , hvorfra vi konkluderer med at . Derfor, ved definisjonen av logaritme .

Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .

Svar:

log 5 25=2 , Og .

Når det er et tilstrekkelig stort naturlig tall under logaritmetegnet, skader det ikke å innregne det i primfaktorer. Det hjelper ofte å representere et slikt tall som en potens av basen til logaritmen, og derfor beregne denne logaritmen per definisjon.

Eksempel.

Finn verdien av logaritmen.

Løsning.

Noen egenskaper til logaritmer lar deg spesifisere verdien av logaritmer umiddelbart. Disse egenskapene inkluderer egenskapen til logaritmen til en og egenskapen til logaritmen til et tall som er lik grunntallet: log 1 1=log a a 0 =0 og log a a=log a a 1 =1. Det vil si at når det under fortegnet til logaritmen er et tall 1 eller et tall a lik basen til logaritmen, så er i disse tilfellene logaritmene lik henholdsvis 0 og 1.

Eksempel.

Hva er logaritmer og log10 lik?

Løsning.

Siden , så følger det fra definisjonen av logaritme .

I det andre eksemplet faller tallet 10 under logaritmetegnet sammen med grunntallet, så desimallogaritmen på ti er lik én, det vil si lg10=lg10 1 =1.

Svar:

OG lg10=1 .

Merk at beregningen av logaritmer per definisjon (som vi diskuterte i forrige avsnitt) innebærer bruk av likhetsloggen a a p =p, som er en av egenskapene til logaritmer.

I praksis, når et tall under logaritmetegnet og basen av logaritmen lett kan representeres som en potens av et bestemt tall, er det veldig praktisk å bruke formelen , som tilsvarer en av egenskapene til logaritmer. La oss se på et eksempel på å finne en logaritme som illustrerer bruken av denne formelen.

Eksempel.

Regn ut logaritmen.

Løsning.

Svar:

Egenskaper til logaritmer som ikke er nevnt ovenfor, brukes også i beregninger, men vi vil snakke om dette i de følgende avsnittene.

Finne logaritmer gjennom andre kjente logaritmer

Informasjonen i dette avsnittet fortsetter temaet om å bruke egenskapene til logaritmer når de beregnes. Men her er hovedforskjellen at egenskapene til logaritmene brukes til å uttrykke den opprinnelige logaritmen i form av en annen logaritme, hvis verdi er kjent. La oss gi et eksempel for avklaring. La oss si at vi vet at log 2 3≈1.584963, så kan vi finne for eksempel log 2 6 ved å gjøre en liten transformasjon ved å bruke egenskapene til logaritmen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I eksemplet ovenfor var det nok for oss å bruke egenskapen til logaritmen til et produkt. Imidlertid er det mye oftere nødvendig å bruke et bredere arsenal av egenskaper til logaritmer for å beregne den opprinnelige logaritmen gjennom de gitte.

Eksempel.

Beregn logaritmen av 27 til grunntallet 60 hvis du vet at log 60 2=a og log 60 5=b.

Løsning.

Så vi må finne logg 60 27 . Det er lett å se at 27 = 3 3, og den opprinnelige logaritmen, på grunn av egenskapen til potensens logaritme, kan skrives om til 3·log 60 3 .

La oss nå se hvordan du uttrykker log 60 3 i form av kjente logaritmer. Egenskapen til logaritmen til et tall lik grunntallet lar oss skrive likhetsloggen 60 60=1. På den annen side, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dermed, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Derfor, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Til slutt beregner vi den opprinnelige logaritmen: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Svar:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat er det verdt å nevne betydningen av formelen for overgang til en ny base av logaritmen til formen . Den lar deg gå fra logaritmer med hvilken som helst base til logaritmer med en spesifikk base, hvis verdier er kjent eller det er mulig å finne dem. Vanligvis, fra den opprinnelige logaritmen, ved å bruke overgangsformelen, flytter de til logaritmer i en av basene 2, e eller 10, siden for disse basene er det tabeller med logaritmer som lar verdiene deres beregnes med en viss grad av nøyaktighet. I neste avsnitt skal vi vise hvordan dette gjøres.

Logaritmetabeller og deres bruk

For omtrentlig beregning av logaritmeverdier kan brukes logaritmetabeller. Den mest brukte base 2-logaritmetabellen, naturlig logaritmetabell og desimallogaritmetabell. Når du arbeider i desimaltallsystemet, er det praktisk å bruke en tabell med logaritmer basert på grunntallet ti. Med dens hjelp vil vi lære å finne verdiene til logaritmer.

Den presenterte tabellen lar deg finne verdiene til desimallogaritmene til tall fra 1000 til 9999 (med tre desimaler) med en nøyaktighet på en ti tusendel. Vi vil analysere prinsippet om å finne verdien av en logaritme ved å bruke en tabell med desimallogaritmer ved å bruke et spesifikt eksempel - det er klarere på denne måten. La oss finne log1.256.

I venstre kolonne i tabellen med desimallogaritmer finner vi de to første sifrene i tallet 1,256, det vil si at vi finner 1,2 (dette tallet er sirklet inn i blått for klarhetens skyld). Det tredje sifferet i tallet 1.256 (siffer 5) finnes i den første eller siste linjen til venstre for den doble linjen (dette tallet er ringt inn med rødt). Det fjerde sifferet i det opprinnelige tallet 1.256 (siffer 6) finnes i den første eller siste linjen til høyre for den doble linjen (dette tallet er omringet med en grønn linje). Nå finner vi tallene i cellene i logaritmetabellen i skjæringspunktet mellom den merkede raden og markerte kolonner (disse tallene er uthevet i oransje). Summen av de markerte tallene gir den ønskede verdien av desimallogaritmen nøyaktig til fjerde desimal, det vil si, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Er det mulig, ved å bruke tabellen ovenfor, å finne verdiene til desimallogaritmer for tall som har mer enn tre sifre etter desimaltegnet, så vel som de som går utover området fra 1 til 9,999? Ja det kan du. La oss vise hvordan dette gjøres med et eksempel.

La oss beregne lg102.76332. Først må du skrive ned nummer i standardform: 102,76332=1,0276332·10 2. Etter dette skal mantissen avrundes til tredje desimal, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, mens den opprinnelige desimallogaritmen er omtrent lik logaritmen til det resulterende tallet, det vil si at vi tar log102.76332≈lg1.028·10 2. Nå bruker vi egenskapene til logaritmen: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Til slutt finner vi verdien av logaritmen lg1.028 fra tabellen med desimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som et resultat ser hele prosessen med å beregne logaritmen slik ut: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Avslutningsvis er det verdt å merke seg at ved å bruke en tabell med desimallogaritmer kan du beregne den omtrentlige verdien av enhver logaritme. For å gjøre dette er det nok å bruke overgangsformelen for å gå til desimallogaritmer, finne verdiene deres i tabellen og utføre de resterende beregningene.

La oss for eksempel beregne log 2 3 . I henhold til formelen for overgang til en ny base av logaritmen har vi . Fra tabellen med desimallogaritmer finner vi log3≈0,4771 og log2≈0,3010. Dermed, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).

De grunnleggende egenskapene til logaritmen, logaritmegrafen, definisjonsdomene, sett med verdier, grunnleggende formler, økende og minkende er gitt. Å finne den deriverte av en logaritme vurderes. I tillegg til integral, potensserieutvidelse og representasjon ved bruk av komplekse tall.

Innhold

Domene, sett med verdier, økende, avtagende

Logaritmen er en monoton funksjon, så den har ingen ekstreme. Hovedegenskapene til logaritmen er presentert i tabellen.


Domene	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rekkevidde av verdier	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotone	monotont øker	avtar monotont
Null, y = 0	x = 1	x = 1
Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0	Nei	Nei
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Private verdier

Logaritmen til base 10 kalles desimal logaritme og er betegnet som følger:

Logaritme til base e kalt naturlig logaritme:

Grunnleggende formler for logaritmer

Egenskaper til logaritmen som oppstår fra definisjonen av den inverse funksjonen:

Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser

Formel for baseerstatning

Logaritme er den matematiske operasjonen ved å ta en logaritme. Når du tar logaritmer, konverteres produkter av faktorer til summen av ledd.
Potensering er den matematiske operasjonen invers til logaritme. Under potensering heves en gitt base til den grad av uttrykk som potensering utføres over. I dette tilfellet blir summen av termer forvandlet til produkter av faktorer.

Bevis på grunnleggende formler for logaritmer

Formler relatert til logaritmer følger av formler for eksponentielle funksjoner og fra definisjonen av en invers funksjon.

Tenk på egenskapen til eksponentialfunksjonen
.
Deretter
.
La oss bruke egenskapen til eksponentialfunksjonen
:
.

La oss bevise basiserstatningsformelen.
;
.
Forutsatt at c = b, har vi:

Invers funksjon

Inversen av en logaritme til base a er en eksponentiell funksjon med eksponent a.

Hvis da

Derivert av logaritme

Derivert av logaritmen til modulen x:
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >

For å finne den deriverte av en logaritme må den reduseres til grunntallet e.
;
.

Integral

Integralet til logaritmen beregnes ved å integrere med deler: .
Så,

Uttrykk som bruker komplekse tall

Tenk på den komplekse tallfunksjonen z:
.
La oss uttrykke et komplekst tall z via modul r og argumentasjon φ :
.
Deretter, ved å bruke egenskapene til logaritmen, har vi:
.
Eller

Imidlertid argumentet φ ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,
da blir det samme nummer for forskjellige n.

Derfor er logaritmen, som en funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.

Utvidelse av Power-serien

Når utvidelsen finner sted:

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

Se også: