Matematisk tegn mellom. Matematisk notasjon

Abstrakt algebra bruker utstrakt bruk av symboler for å forenkle og forkorte tekst, samt standard notasjon for noen grupper. Følgende er en liste over de vanligste algebraiske notasjonene, de tilsvarende kommandoene i ... Wikipedia

Matematiske notasjoner er symboler som brukes til å skrive matematiske ligninger og formler på en kompakt måte. I tillegg til tall og bokstaver i forskjellige alfabeter (latin, inkludert gotisk, gresk og hebraisk), ... ... Wikipedia

Artikkelen inneholder en liste over ofte brukte forkortelser for matematiske funksjoner, operatorer og andre matematiske termer. Innhold 1 Forkortelser 1.1 Latin 1.2 Gresk alfabet ... Wikipedia

Unicode, eller Unicode (eng. Unicode) er en standard for tegnkoding som lar deg representere tegnene til nesten alle skriftspråk. Standarden ble foreslått i 1991 av den ideelle organisasjonen Unicode Consortium (Eng. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

En liste over spesifikke symboler som brukes i matematikk kan sees i artikkelen Tabell over matematiske symboler Matematisk notasjon ("språk for matematikk") er et komplekst grafisk notasjonssystem som brukes til å presentere abstrakt ... ... Wikipedia

Dette begrepet har andre betydninger, se Pluss minus (betydninger). ± ∓ Pluss minustegn (±) er et matematisk symbol som er plassert foran et uttrykk og betyr at verdien av dette uttrykket kan være både positiv og ... Wikipedia

Det er nødvendig å kontrollere kvaliteten på oversettelsen og bringe artikkelen i tråd med stilreglene til Wikipedia. Du kan hjelpe ... Wikipedia

Eller matematiske symboler er tegn som symboliserer visse matematiske operasjoner med sine argumenter. De vanligste er: Pluss: + Minus:, - Multiplikasjonstegn: ×, ∙ Divisjonstegn::, ∕, ÷ Eksponeringstegn til ... ... Wikipedia

Operasjonstegn eller matematiske symboler er tegn som symboliserer visse matematiske operasjoner med sine argumenter. De vanligste er: Pluss: + Minus:, - Multiplikasjonstegn: ×, ∙ Divisjonstegn::, ∕, ÷ Konstruksjonstegn ... ... Wikipedia

av to), 3 > 2 (tre er større enn to) osv.

Utviklingen av matematisk symbolikk var nært forbundet med den generelle utviklingen av matematikkens begreper og metoder. Først Matematiske tegn det var tegn for å vise tall - tall, hvis fremvekst, tilsynelatende, gikk foran skriving. De eldste nummereringssystemene - babylonske og egyptiske - dukket opp så tidlig som 3 1/2 årtusener f.Kr. e.

Først Matematiske tegn for vilkårlige verdier dukket opp mye senere (fra det 5.-4. århundre f.Kr.) i Hellas. Mengder (areal, volumer, vinkler) ble vist som segmenter, og produktet av to vilkårlige homogene mengder - som et rektangel bygget på de tilsvarende segmentene. I "Begynnelser" Euklid (3. århundre f.Kr.) mengder er angitt med to bokstaver - de første og siste bokstavene i det tilsvarende segmentet, og noen ganger til og med en. På Arkimedes (3. århundre f.Kr.) blir sistnevnte metode vanlig. En slik betegnelse inneholdt mulighetene for utvikling av bokstavelig kalkulus. Men i klassisk gammel matematikk ble ikke bokstavelig kalkulus opprettet.

Begynnelsen av bokstavrepresentasjon og kalkulus oppstår i den sene hellenistiske epoken som et resultat av frigjøringen av algebra fra geometrisk form. Diophantus (sannsynligvis 3. århundre) skrev ned en ukjent ( X) og dens grader med følgende tegn:

[ - fra det greske uttrykket dunamiV (dynamis - styrke), som betegner kvadratet på det ukjente, - fra det greske cuboV (k_ybos) - terning]. Til høyre for det ukjente eller dets grader skrev Diophantus koeffisientene, for eksempel ble 3x5 avbildet

(hvor = 3). Ved å legge til, tilskrev Diophantus termer til hverandre, for subtraksjon brukte han et spesielt tegn; Diophantus betegnet likhet med bokstaven i [fra det greske isoV (isos) - lik]. For eksempel ligningen

(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X

Diophantus ville skrive det slik:

(Her

betyr at enheten ikke har en multiplikator i form av en potens av det ukjente).

Noen århundrer senere introduserte indianerne forskjellige Matematiske tegn for flere ukjente (forkortelser for navn på farger som angir ukjente), kvadrat, kvadratrot, subtrahert tall. Så ligningen

3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

I opptak Brahmagupta (7. århundre) vil se slik ut:

Ya va 3 ya 10 ru 8

Ya va 1 ya 0 ru 1

(ya - fra yavat - tawat - ukjent, va - fra varga - kvadrattall, ru - fra rupa - rupeemynt - et gratis medlem, en prikk over tallet betyr tallet som skal trekkes fra).

Opprettelsen av moderne algebraisk symbolikk dateres tilbake til det 14.-17. århundre; det ble bestemt av suksessene til praktisk aritmetikk og studiet av ligninger. I ulike land spontant dukke opp Matematiske tegn for noen handlinger og for krefter av ukjent mengde. Det går mange tiår og til og med århundrer før et eller annet praktisk symbol utvikles. Så, på slutten av 15 og. N. Shuke og jeg. Pacioli brukte addisjons- og subtraksjonstegn

(fra lat. pluss og minus), introduserte tyske matematikere moderne + (sannsynligvis en forkortelse av lat. et) og -. Tilbake på 1600-tallet kan telle rundt ti Matematiske tegn for multiplikasjonsoperasjonen.

var annerledes og Matematiske tegn ukjent og dens grader. I det 16. - tidlige 17. århundre. mer enn ti notasjoner konkurrerte om kvadratet av det ukjente alene, for eksempel se(fra folketelling - et latinsk begrep som fungerte som en oversettelse av den greske dunamiV, Q(fra quadratum), , A (2), , Aii, aa, en 2 osv. Altså ligningen

x 3 + 5 x = 12

den italienske matematikeren G. Cardano (1545) ville ha formen:

fra den tyske matematikeren M. Stiefel (1544):

fra den italienske matematikeren R. Bombelli (1572):

Den franske matematikeren F. Vieta (1591):

fra den engelske matematikeren T. Harriot (1631):

På 1500- og begynnelsen av 1600-tallet likhetstegn og parenteser kommer i bruk: firkantet (R. Bombelli , 1550), rund (N. Tartaglia, 1556), krøllete (F. viet, 1593). På 1500-tallet den moderne formen tar notasjonen av brøker.

Et betydelig skritt fremover i utviklingen av matematisk symbolikk var introduksjonen av Vieta (1591) Matematiske tegn for vilkårlige konstanter i form av store konsonanter av det latinske alfabetet B, D, som gjorde det mulig for ham for første gang å skrive ned algebraiske ligninger med vilkårlige koeffisienter og operere med dem. Ukjent Viet avbildet vokaler med store bokstaver A, E, ... For eksempel rekorden Vieta

I våre symboler ser det slik ut:

x 3 + 3bx = d.

Viet var skaperen av algebraiske formler. R. Descartes (1637) ga tegnene til algebra et moderne utseende, og angir ukjente med de siste bokstavene i lat. alfabet x, y, z, og vilkårlige gitte mengder - med forbokstaver a, b, c. Han eier også den nåværende rekorden for graden. Descartes' notasjon hadde en stor fordel fremfor alle de foregående. Derfor fikk de snart universell anerkjennelse.

Videre utvikling Matematiske tegn var nært forbundet med opprettelsen av infinitesimal analyse, for utviklingen av symbolikken som grunnlaget allerede i stor grad var utarbeidet i algebra.

Datoer for forekomst av noen matematiske tegn

skilt	betydning	Hvem introduserte	Når introdusert
Tegn på individuelle gjenstander
¥	evighet	J. Wallis	1655
e	base av naturlige logaritmer	L. Euler	1736
s	forholdet mellom omkrets og diameter	W. Jones L. Euler	1706
Jeg	kvadratroten av -1	L. Euler	1777 (under trykk 1794)
jeg j k	enhetsvektorer, orts	W. Hamilton	1853
P (a)	parallellitetsvinkel	N.I. Lobatsjovskij	1835
Tegn på variable objekter
x,y,z	ukjente eller variabler	R. Descartes	1637
r	vektor	O. Koshy	1853
Tegn på individuelle operasjoner
+	addisjon	tyske matematikere	Sent på 1400-tallet
–	subtraksjon
´	multiplikasjon	W. Outred	1631
×	multiplikasjon	G. Leibniz	1698
:	inndeling	G. Leibniz	1684
a 2 , a 3 , …, en n	grader	R. Descartes	1637
		I. Newton	1676
	røtter	K. Rudolph	1525
		A. Girard	1629
Logg	logaritme	I. Kepler	1624
Logg		B. Cavalieri	1632
synd	sinus	L. Euler	1748
cos	kosinus
tg	tangent	L. Euler	1753
bue synd	arcsine	J. Lagrange	1772
Sh	hyperbolsk sinus	V. Riccati	1757
Ch	hyperbolsk cosinus
dx, ddx, …	differensial	G. Leibniz	1675 (i trykk 1684)
d2x, d3x,...
	integrert	G. Leibniz	1675 (i trykk 1686)
	derivat	G. Leibniz	1675
¦¢x	derivat	J. Lagrange	1770, 1779
y'
¦¢(x)
Dx	forskjell	L. Euler	1755
	delvis avledet	A. Legendre	1786
	bestemt integral	J. Fourier	1819-22
	sum	L. Euler	1755
P	arbeid	K. Gauss	1812
!	faktoriell	K. Crump	1808
|x|	modul	K. Weierstrass	1841
lim	grense	W. Hamilton, mange matematikere	1853, tidlig på 1900-tallet
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x	zeta funksjon	B. Riemann	1857
G	gamma funksjon	A. Legendre	1808
I	betafunksjon	J. Binet	1839
D	delta (Laplace-operatør)	R. Murphy	1833
Ñ	nabla (Hamilton-operatør)	W. Hamilton	1853
Tegn på variable operasjoner
jx	funksjon	I. Bernoulli	1718
f(x)		L. Euler	1734
Tegn på individuelle relasjoner
=	likestilling	R. Rekord	1557
>	mer	T. Harriot	1631
<	mindre
º	sammenlignbarhet	K. Gauss	1801
	parallellisme	W. Outred	1677
^	vinkelrett	P. Erigon	1634

OG. Newton i sin metode for flukser og flytende (1666 og følgende år) introduserte tegn for suksessive fluksjoner (derivater) av størrelse (i formen

og for en uendelig liten økning o. Noe tidligere har J. Wallis (1655) foreslo uendelighetstegnet ¥.

Skaperen av den moderne symbolikken til differensial- og integralregning er G. Leibniz. Han, spesielt, tilhører den for tiden brukte Matematiske tegn differensialer

dx, d 2 x, d 3 x

og integrert

En stor fortjeneste i å skape symbolikken til moderne matematikk tilhører L. Euler. Han introduserte (1734) i generell bruk det første tegnet på variabeloperasjonen, nemlig tegnet til funksjonen f(x) (fra lat. functio). Etter Eulers arbeid fikk tegnene for mange individuelle funksjoner, for eksempel trigonometriske funksjoner, en standardkarakter. Euler eier notasjonen for konstanter e(grunnlag for naturlige logaritmer, 1736), p [sannsynligvis fra gresk perijereia (periphereia) - omkrets, periferi, 1736], imaginær enhet

(fra den franske imaginaire - imaginary, 1777, utgitt i 1794).

På 1800-tallet symbolismens rolle vokser. På dette tidspunktet er tegn på den absolutte verdien |x| (TIL. Weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), bestemmer

(EN. Cayley, 1841) og andre. Mange teorier som oppsto på 1800-tallet, som Tensor Calculus, kunne ikke utvikles uten passende symbolikk.

Sammen med den angitte standardiseringsprosessen Matematiske tegn i moderne litteratur kan man ofte finne Matematiske tegn brukt av individuelle forfattere kun innenfor rammen av denne studien.

Fra synspunkt av matematisk logikk, blant Matematiske tegn følgende hovedgrupper kan skisseres: A) tegn på objekter, B) tegn på operasjoner, C) tegn på relasjoner. For eksempel viser tegnene 1, 2, 3, 4 tall, det vil si objekter studert med aritmetikk. Addisjonstegnet + i seg selv representerer ikke noe objekt; den får emneinnhold når det angis hvilke tall som legges til: notasjonen 1 + 3 viser tallet 4. Tegnet > (større enn) er tegnet på forholdet mellom tall. Relasjonstegnet får et ganske bestemt innhold når det angis mellom hvilke objekter relasjonen betraktes. Til de tre hovedgruppene ovenfor Matematiske tegn grenser til det fjerde: D) hjelpetegn som fastsetter rekkefølgen på kombinasjonen av hovedtegnene. En tilstrekkelig ide om slike tegn er gitt av parenteser som indikerer rekkefølgen handlingene utføres i.

Tegnene til hver av de tre gruppene A), B) og C) er av to typer: 1) individuelle tegn på veldefinerte objekter, operasjoner og relasjoner, 2) generelle tegn på "ikke-repetitive" eller "ukjente" objekter , operasjoner og relasjoner.

Eksempler på tegn av den første typen kan tjene (se også tabellen):

A 1) Notasjon av naturlige tall 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transcendentale tall e og p; imaginær enhet Jeg.

B 1) Tegn på aritmetiske operasjoner +, -, ·, ´,:; rotutvinning, differensiering

tegn på sum (union) È og produkt (kryss) Ç av sett; dette inkluderer også tegnene til de enkelte funksjonene sin, tg, log, etc.

1) Likhets- og ulikhetstegn =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Tegn av den andre typen skildrer vilkårlige objekter, operasjoner og relasjoner til en viss klasse eller objekter, operasjoner og relasjoner underlagt noen forhåndsbestemte betingelser. For eksempel når du skriver identiteten ( en + b)(en - b) = en 2 -b 2 bokstaver EN Og b angi vilkårlige tall; når man studerer funksjonell avhengighet på = X 2 bokstaver X Og y - vilkårlige tall relatert til et gitt forhold; når man løser ligningen

X betegner et hvilket som helst tall som tilfredsstiller den gitte ligningen (som et resultat av å løse denne ligningen, lærer vi at bare to mulige verdier +1 og -1 tilsvarer denne tilstanden).

Fra et logisk synspunkt er det legitimt å kalle slike generelle tegn for tegn på variabler, slik det er vanlig i matematisk logikk, uten å være redd for omstendighetene at "endringsområdet" til en variabel kan vise seg å bestå av en enkelt objekt eller til og med "tom" (for eksempel i tilfelle av ligninger uten løsning). Ytterligere eksempler på slike tegn er:

A 2) Betegnelse av punkter, linjer, plan og mer komplekse geometriske former med bokstaver i geometri.

B 2) Notasjon f, , j for funksjoner og notasjon av operatorkalkulus, når én bokstav L avbilde for eksempel en vilkårlig operator av formen:

Notasjonen for "variable forhold" er mindre vanlig, og brukes bare i matematisk logikk (jf. Algebra av logikk ) og i relativt abstrakte, for det meste aksiomatiske, matematiske studier.

Litt.: Cajori, En historie med matematiske notasjoner, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Artikkel om ordet Matematiske tegn" i Great Soviet Encyclopedia har blitt lest 39765 ganger

Som du vet, elsker matematikk nøyaktighet og korthet - det er ikke uten grunn at en enkelt formel kan oppta et avsnitt i verbal form, og noen ganger en hel side med tekst. Dermed er de grafiske elementene som brukes over hele verden i vitenskapen designet for å øke skrivehastigheten og kompaktheten til datapresentasjonen. I tillegg kan standardisert grafikk gjenkjennes av en som har morsmål på et hvilket som helst språk som har grunnleggende kunnskaper innen det aktuelle feltet.

Historien om matematiske tegn og symboler går mange århundrer tilbake - noen av dem ble oppfunnet tilfeldig og var ment å betegne andre fenomener; andre har blitt et produkt av virksomheten til vitenskapsmenn som målrettet danner et kunstig språk og er styrt utelukkende av praktiske hensyn.

Pluss og minus

Historien om opprinnelsen til symboler som angir de enkleste aritmetiske operasjonene er ikke kjent med sikkerhet. Imidlertid er det en ganske sannsynlig hypotese om opprinnelsen til plusstegnet, som ser ut som kryssede horisontale og vertikale linjer. I samsvar med det har tilleggssymbolet sin opprinnelse i den latinske union et, som er oversatt til russisk som "og". Gradvis, for å fremskynde skriveprosessen, ble ordet redusert til et vertikalt orientert kryss, som lignet bokstaven t. Det tidligste pålitelige eksemplet på en slik reduksjon stammer fra 1300-tallet.

Det generelt aksepterte minustegnet dukket tilsynelatende opp senere. På 1300- og til og med 1400-tallet ble det brukt en rekke symboler i den vitenskapelige litteraturen som betegner subtraksjonsdriften, og først på 1500-tallet begynte "pluss" og "minus" i deres moderne form å vises sammen i matematiske arbeider .

Multiplikasjon og divisjon

Ironisk nok er de matematiske tegnene og symbolene for disse to aritmetiske operasjonene ikke fullstendig standardiserte i dag. En populær notasjon for multiplikasjon er diagonalkorset foreslått av matematikeren Oughtred på 1600-tallet, som kan sees for eksempel på kalkulatorer. I matematikktimer på skolen er den samme operasjonen vanligvis representert som et punkt - denne metoden ble foreslått i samme århundre av Leibniz. En annen måte å representere på er stjernen, som oftest brukes i datamaskinrepresentasjon av ulike beregninger. Det ble foreslått å bruke det hele på det samme 1600-tallet, Johann Rahn.

For delingsoperasjonen er det gitt et skråtegn (foreslått av Ougtred) og en horisontal linje med prikker over og under (symbolet ble introdusert av Johann Rahn). Den første versjonen av betegnelsen er mer populær, men den andre er også ganske vanlig.

Matematiske tegn og symboler og deres betydning endres noen ganger over tid. Imidlertid er alle tre metodene for grafisk fremstilling av multiplikasjon, samt begge metodene for divisjon, til en viss grad konsistente og relevante i dag.

Likhet, identitet, ekvivalens

Som med mange andre matematiske tegn og symboler, var notasjonen for likhet opprinnelig verbal. I ganske lang tid var den allment aksepterte betegnelsen forkortelsen ae fra det latinske aequalis ("lik"). Men på 1500-tallet foreslo en walisisk matematiker ved navn Robert Record to horisontale linjer, den ene under den andre, som et symbol. Ifølge forskeren er det umulig å komme opp med noe som er mer likt hverandre enn to parallelle segmenter.

Til tross for at et lignende tegn ble brukt for å indikere parallelliteten til linjer, ble det nye likhetssymbolet gradvis populært. Forresten, slike tegn som "mer" og "mindre", som viser flått vendt i forskjellige retninger, dukket opp bare på 1600- og 1700-tallet. I dag virker de intuitive for enhver student.

Noe mer komplekse ekvivalenstegn (to bølgete linjer) og identiteter (tre horisontale parallelle linjer) kom først i bruk i andre halvdel av 1800-tallet.

Tegn på det ukjente - "X"

Historien om fremveksten av matematiske tegn og symboler kjenner også til veldig interessante tilfeller av å tenke nytt om grafikk etter hvert som vitenskapen utvikler seg. Symbolet for det ukjente, i dag kalt "x", har sin opprinnelse i Midtøsten ved begynnelsen av det siste årtusenet.

Tilbake på 1000-tallet, i den arabiske verden, kjent for sine forskere i den historiske perioden, ble begrepet det ukjente betegnet med et ord som bokstavelig talt oversettes som "noe" og begynner med lyden "Sh". For å spare materialer og tid begynte ordet i avhandlingene å bli redusert til den første bokstaven.

Mange tiår senere endte de skriftlige verkene til arabiske forskere i byene på den iberiske halvøy, på territoriet til det moderne Spania. Vitenskapelige avhandlinger begynte å bli oversatt til det nasjonale språket, men det oppsto en vanskelighet - det er ikke noe "Sh"-fonem på spansk. Lånte arabiske ord som begynte med det ble skrevet etter en spesiell regel og ble innledet av bokstaven X. Det vitenskapelige språket på den tiden var latin, der det tilsvarende tegnet kalles "X".

Dermed har tegnet ved første øyekast, som bare er et tilfeldig valgt symbol, en dyp historie og er opprinnelig en forkortelse av det arabiske ordet for "noe".

Notasjon av andre ukjente

I motsetning til "X", har Y og Z, kjent for oss fra skolen, samt a, b, c en mye mer prosaisk opprinnelseshistorie.

På 1600-tallet ble en bok av Descartes kalt "Geometry" utgitt. I denne boken foreslo forfatteren å standardisere symbolene i ligninger: i samsvar med ideen hans begynte de tre siste bokstavene i det latinske alfabetet (startende fra "X") å betegne ukjent, og de tre første - kjente verdier.

Trigonometriske termer

Historien til et slikt ord som "sinus" er virkelig uvanlig.

De tilsvarende trigonometriske funksjonene ble opprinnelig navngitt i India. Ordet som tilsvarer begrepet sinus betydde bokstavelig talt "streng". I den arabiske vitenskapens storhetstid ble indiske avhandlinger oversatt, og konseptet, som ikke hadde noen analog på arabisk, ble transkribert. Ved en tilfeldighet lignet det som skjedde i brevet det virkelige ordet "hul", hvis semantikk ikke hadde noe å gjøre med det opprinnelige uttrykket. Som et resultat, da arabiske tekster ble oversatt til latin på 1100-tallet, oppsto ordet "sinus", som betyr "depresjon" og fikset som et nytt matematisk konsept.

Men de matematiske tegnene og symbolene for tangent og cotangens er fortsatt ikke standardiserte - i noen land er de vanligvis skrevet som tg, og i andre - som tan.

Noen andre tegn

Som man kan se av eksemplene beskrevet ovenfor, skjedde fremveksten av matematiske tegn og symboler i stor grad på 1500-1700-tallet. I samme periode dukket opp dagens vanlige former for registrering av begreper som prosent, kvadratrot, grad.

En prosentandel, det vil si en hundredel, har lenge blitt betegnet som cto (forkortelse for latin cento). Det antas at tegnet som er generelt akseptert i dag dukket opp som et resultat av en trykkfeil for rundt fire hundre år siden. Det resulterende bildet ble oppfattet som en god måte å redusere og slo rot.

Rottegnet var opprinnelig en stilisert bokstav R (forkortelse for det latinske ordet radix, "rot"). Den øvre linjen, som uttrykket er skrevet under i dag, fungerte som parentes og var et eget tegn, atskilt fra roten. Parenteser ble oppfunnet senere - de kom inn i utbredt sirkulasjon takket være aktivitetene til Leibniz (1646-1716). Takket være hans eget arbeid ble det integrerte symbolet også introdusert i vitenskapen, og så ut som en langstrakt bokstav S - en forkortelse for ordet "sum".

Til slutt ble eksponentieringstegnet oppfunnet av Descartes og foredlet av Newton i andre halvdel av 1600-tallet.

Senere betegnelser

Tatt i betraktning at de kjente grafiske bildene av "pluss" og "minus" ble satt i omløp for bare noen få århundrer siden, virker det ikke overraskende at matematiske tegn og symboler som angir komplekse fenomener begynte å bli brukt først i forrige århundre.

Så faktorialet, som ser ut som et utropstegn etter et tall eller en variabel, dukket opp først på begynnelsen av 1800-tallet. Omtrent på samme tid dukket den store "P" opp for å betegne verket og symbolet på grensen.

Det er litt merkelig at tegnene for tallet Pi og den algebraiske summen dukket opp først på 1700-tallet – senere enn for eksempel integralsymbolet, selv om det intuitivt ser ut til at de er mer vanlige. Den grafiske representasjonen av forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren kommer fra den første bokstaven i de greske ordene som betyr "omkrets" og "omkrets". Og tegnet "sigma" for den algebraiske summen ble foreslått av Euler i siste fjerdedel av 1700-tallet.

Symbolnavn på forskjellige språk

Som du vet, var vitenskapens språk i Europa i mange århundrer latin. Fysiske, medisinske og mange andre termer ble ofte lånt i form av transkripsjoner, mye sjeldnere i form av kalkerpapir. Dermed kalles mange matematiske tegn og symboler på engelsk nesten det samme som på russisk, fransk eller tysk. Jo mer kompleks essensen av fenomenet er, jo høyere er sannsynligheten for at det på forskjellige språk vil ha samme navn.

Datamaskinnotasjon av matematiske symboler

De enkleste matematiske tegnene og symbolene i Ordet er indikert med den vanlige tastekombinasjonen Shift + et tall fra 0 til 9 i russisk eller engelsk layout. Separate nøkler er reservert for noen mye brukte tegn: pluss, minus, likhet, skråstrek.

Hvis du vil bruke grafiske representasjoner av integralet, algebraisk sum eller produkt, Pi-nummer osv., må du åpne fanen "Sett inn" i Word og finne en av de to knappene: "Formel" eller "Symbol". I det første tilfellet åpnes en konstruktør som lar deg bygge en hel formel innenfor ett felt, og i det andre en symboltabell hvor du kan finne eventuelle matematiske symboler.

Hvordan huske matematiske symboler

I motsetning til kjemi og fysikk, hvor antall symboler å huske kan overstige hundre enheter, opererer matematikk med et relativt lite antall symboler. Vi lærer de enkleste av dem i tidlig barndom, lærer å legge til og trekke fra, og først på universitetet i visse spesialiteter blir vi kjent med noen få komplekse matematiske tegn og symboler. Bilder for barn hjelper i løpet av noen uker for å oppnå umiddelbar gjenkjennelse av det grafiske bildet av den nødvendige operasjonen, mye mer tid kan være nødvendig for å mestre ferdighetene til selve implementeringen av disse operasjonene og forstå essensen deres.

Dermed skjer prosessen med å huske tegn automatisk og krever ikke mye innsats.

Endelig

Verdien av matematiske tegn og symboler ligger i det faktum at de lett kan forstås av mennesker som snakker forskjellige språk og er bærere av forskjellige kulturer. Av denne grunn er det ekstremt nyttig å forstå og kunne reprodusere grafiske representasjoner av ulike fenomener og operasjoner.

Det høye nivået av standardisering av disse skiltene bestemmer bruken på ulike felt: innen finans, informasjonsteknologi, ingeniørfag osv. For alle som ønsker å gjøre forretninger knyttet til tall og beregninger, kunnskap om matematiske tegn og symboler og deres betydninger blir en livsnødvendighet..

Matematisk notasjon("Matematisk språk") - en kompleks grafisk notasjon som tjener til å presentere abstrakte matematiske ideer og vurderinger i en menneskelig lesbar form. Det utgjør (i sin kompleksitet og mangfold) en betydelig andel av ikke-tale tegnsystemer som brukes av menneskeheten. Denne artikkelen beskriver den allment aksepterte internasjonale notasjonen, selv om forskjellige kulturer fra fortiden hadde sine egne, og noen av dem har til og med begrenset bruk til nå.

Merk at matematisk notasjon, som regel, brukes i forbindelse med den skriftlige formen til noen av de naturlige språkene.

I tillegg til grunnleggende og anvendt matematikk, er matematisk notasjon mye brukt i fysikk, så vel som (i dets ufullstendige omfang) innen ingeniørfag, informatikk, økonomi, og faktisk i alle områder av menneskelig aktivitet der matematiske modeller brukes. Forskjeller mellom riktig matematisk og anvendt notasjonsstil vil bli diskutert i løpet av teksten.

Encyklopedisk YouTube

1 / 5

✪ Logg / på matematikk

✪ Matematikk klasse 3. Tabell over sifre for flersifrede tall

✪ Setter i matematikk

✪ Matematikk 19. Mattegøy - Shishkin-skolen

Undertekster

Hallo! Denne videoen handler ikke om matematikk, men snarere om etymologi og semiotikk. Men jeg er sikker på at du vil like det. Gå! Er du klar over at letingen etter en løsning på kubiske ligninger i generell form tok matematikere flere århundrer? Dette er delvis hvorfor? For det fantes ingen klare symboler for klare tanker, enten det er vår tid. Det er så mange karakterer at du kan bli forvirret. Men du kan ikke lure oss, la oss finne ut av det. Dette er en omvendt stor bokstav A. Dette er faktisk en engelsk bokstav, oppført først i ordene "alle" og "alle". På russisk kan dette symbolet, avhengig av konteksten, leses slik: for alle, alle, alle, alle, og så videre. En slik hieroglyf vil bli kalt en universell kvantifier. Og her er en annen kvantifiserer, men allerede eksistens. Den engelske bokstaven e ble reflektert i Paint fra venstre til høyre, og antydet dermed det oversjøiske verbet "exist", etter vår mening vil vi lese: eksisterer, det er, det er en annen lignende måte. Et utropstegn vil tilføre en slik eksistensiell kvantifiserer unikhet. Hvis dette er klart, går vi videre. Du kom sannsynligvis over ubestemte integraler i den ellevte klassen, så jeg vil minne deg på at dette ikke bare er en slags antiderivativ, men samlingen av alle antiderivater av integranden. Så ikke glem C - integrasjonskonstanten. Forresten, selve integreringsikonet er bare en langstrakt bokstav s, et ekko av det latinske ordet sum. Dette er nettopp den geometriske betydningen av et bestemt integral: søket etter området til figuren under grafen ved å summere uendelige verdier. For meg er dette den mest romantiske aktiviteten i kalkulus. Men skolegeometri er mest nyttig fordi den lærer logisk strenghet. Ved det første kurset bør du ha en klar forståelse av hva en konsekvens er, hva en ekvivalens er. Vel, du kan ikke forveksles mellom nødvendighet og tilstrekkelighet, forstår du? La oss til og med prøve å grave litt dypere. Hvis du bestemmer deg for å ta opp høyere matematikk, så forestiller jeg meg hvor ille det er med ditt personlige liv, men det er derfor du sikkert vil gå med på å overvinne en liten øvelse. Det er tre punkter her, hver har en venstre og høyre side, som du må koble til et av de tre tegnede symbolene. Ta en pause, prøv det selv, og hør så på hva jeg har å si. Hvis x=-2, så |x|=2, men fra venstre til høyre, så frasen er allerede bygget. I andre ledd står absolutt det samme på venstre og høyre side. Og det tredje punktet kan kommenteres som følger: hvert rektangel er et parallellogram, men ikke hvert parallellogram er et rektangel. Ja, jeg vet at du ikke er liten lenger, men likevel min applaus til de som har taklet denne øvelsen. Vel, ok, nok, la oss huske tallsettene. Naturlige tall brukes i tellingen: 1, 2, 3, 4 og så videre. I naturen eksisterer ikke -1 eple, men forresten lar heltall deg snakke om slike ting. Bokstaven ℤ skriker til oss om den viktige rollen til null, settet med rasjonelle tall er betegnet med bokstaven ℚ, og dette er ingen tilfeldighet. På engelsk betyr ordet "kvotient" "attitude". Forresten, hvis en afroamerikaner et sted i Brooklyn nærmer seg deg og sier: "Keep it real!", kan du være sikker på at du er en matematiker, en beundrer av reelle tall. Vel, du bør lese noe om komplekse tall, det vil være mer nyttig. Vi skal nå rulle tilbake, gå tilbake til første klasse på den mest vanlige greske skolen. Kort sagt, la oss huske det gamle alfabetet. Den første bokstaven er alfa, deretter betta, denne kroken er gamma, deretter delta, etterfulgt av epsilon, og så videre, opp til den siste bokstaven omega. Du kan være sikker på at grekerne også har store bokstaver, men vi skal ikke snakke om triste ting nå. Vi er bedre på blide – om grenser. Men her er det bare ingen gåter, det er umiddelbart klart fra hvilket ord det matematiske symbolet dukket opp. Vel, derfor kan vi gå videre til den siste delen av videoen. Prøv å forstå definisjonen av grensen for tallsekvensen, som nå er skrevet foran deg. Klikk heller pause og tenk, og kanskje du får gleden av et ett år gammelt barn som har lært seg ordet «mor». Hvis det for en epsilon større enn null er et naturlig tall N, slik at for alle tall i den numeriske sekvensen større enn N, ulikheten |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Generell informasjon

Systemet utviklet seg som naturlige språk, historisk (se historien til matematisk notasjon), og er organisert som skriving av naturlige språk, og låner mange symboler derfra også (først og fremst fra det latinske og greske alfabetet). Symboler, så vel som i vanlig skrift, er avbildet med kontrasterende linjer på en ensartet bakgrunn (svart på hvitt papir, lys på en mørk tavle, kontrast på en skjerm, etc.), og deres betydning bestemmes først og fremst av form og relativ posisjon. Farge tas ikke i betraktning og brukes vanligvis ikke, men ved bruk av bokstaver kan deres egenskaper som stil og til og med skrifttype, som ikke påvirker betydningen i vanlig skrift, spille en semantisk rolle i matematisk notasjon.

Struktur

Vanlig matematisk notasjon (spesielt den såkalte matematiske formler) skrives generelt i en streng fra venstre til høyre, men utgjør ikke nødvendigvis en påfølgende tegnstreng. Separate blokker med tegn kan være plassert i øvre eller nedre halvdel av linjen, selv i tilfellet når tegnene ikke overlapper vertikalt. Noen deler er også plassert helt over eller under linjen. På den grammatiske siden kan nesten enhver "formel" betraktes som en hierarkisk organisert tretypestruktur.

Standardisering

Matematisk notasjon representerer et system når det gjelder forholdet mellom dets komponenter, men generelt sett, Ikke utgjøre et formelt system (i forståelsen av selve matematikken). De, i alle kompliserte tilfeller, kan ikke engang demonteres programmatisk. Som ethvert naturlig språk er "matematikkens språk" fullt av inkonsekvente betegnelser, homografier, forskjellige (blant foredragsholderne) tolkninger av hva som anses som riktig, osv. Det er ikke engang noe forutsigbart alfabet av matematiske symboler, og spesielt fordi Spørsmålet er ikke alltid entydig løst om man skal betrakte to betegnelser som forskjellige tegn eller som forskjellige stavemåter av ett tegn.

Noe av den matematiske notasjonen (hovedsakelig relatert til målinger) er standardisert i ISO 31 -11, men generelt er det heller ingen standardisering av notasjon.

Elementer i matematisk notasjon

Tall

Om nødvendig, bruk et tallsystem med en grunntall mindre enn ti, grunntallet skrives i et abonnent: 20003 8 . Tallsystemer med baser større enn ti brukes ikke i den allment aksepterte matematiske notasjonen (selv om de selvfølgelig studeres av vitenskapen selv), siden det ikke er nok tall for dem. I forbindelse med utviklingen av informatikk har det heksadesimale tallsystemet blitt aktuelt, der tallene fra 10 til 15 er angitt med de seks første latinske bokstavene fra A til F. Flere ulike tilnærminger brukes for å betegne slike tall i informatikk , men de overføres ikke til matematikk.

Hevet og senket tegn

Parenteser, lignende symboler og skilletegn

Parentes "()" brukes:

Firkantede parenteser "" brukes ofte i gruppering av betydninger når du må bruke mange par med parenteser. I dette tilfellet er de plassert på utsiden og har (med pen typografi) større høyde enn parentesene som er inni.

Firkantede "" og runde "()" parenteser brukes for å betegne henholdsvis lukkede og åpne områder.

Krøllete klammeparenteser "()" brukes vanligvis for , selv om det samme forbeholdet gjelder for dem som for firkantede parenteser. Venstre "(" og høyre ")" parentes kan brukes separat; deres formål er beskrevet.

Vinkelparentes symboler " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» med pen typografi bør ha stumpe vinkler og dermed skille seg fra tilsvarende som har rett eller spiss vinkel. I praksis skal man ikke håpe på dette (spesielt når man skriver formler manuelt) og man må skille mellom dem ved hjelp av intuisjon.

Par med symmetriske (med hensyn til den vertikale aksen) symboler, inkludert de andre enn de som er oppført, brukes ofte for å fremheve en del av en formel. Hensikten med parede parenteser er beskrevet.

Indekser

Avhengig av plassering skilles hevet og senket skrift. Hevet kan bety (men betyr ikke nødvendigvis) eksponentiering til , om annen bruk av .

Variabler

I vitenskapene er det sett med mengder, og hvilken som helst av dem kan ta enten et sett med verdier og kalles variabel verdi (variant), eller bare én verdi og kalles en konstant. I matematikk blir mengder ofte avledet fra den fysiske betydningen, og deretter blir variabelen til abstrakt(eller numerisk) variabel, angitt med et symbol som ikke er okkupert av den spesielle notasjonen nevnt ovenfor.

Variabel X anses som gitt hvis settet med verdier det tar er spesifisert (x). Det er praktisk å betrakte en konstant verdi som en variabel som det tilsvarende settet for (x) består av ett element.

Funksjoner og operatører

Matematisk er det ingen signifikant forskjell mellom operatør(ulært), kartlegging Og funksjon.

Imidlertid er det forstått at hvis du skal registrere verdien av tilordningen fra de gitte argumentene, er det nødvendig å spesifisere , så betegner symbolet på denne tilordningen en funksjon, i andre tilfeller er det mer sannsynlig å snakke om en operatør. Symboler for noen funksjoner i ett argument brukes med og uten parentes. Mange elementære funksjoner, for eksempel sin ⁡ x (\displaystyle \sin x) eller sin ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), men elementære funksjoner kalles alltid funksjoner.

Operatører og relasjoner (unære og binære)

Funksjoner

En funksjon kan refereres til i to betydninger: som et uttrykk for dens verdi med gitte argumenter (skrevet f (x) , f (x , y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) osv.) eller faktisk som en funksjon. I sistnevnte tilfelle settes kun funksjonssymbolet, uten parentes (selv om de ofte skriver det tilfeldig).

Det er mange notasjoner for vanlige funksjoner som brukes i matematisk arbeid uten ytterligere forklaring. Ellers må funksjonen beskrives på en eller annen måte, og i grunnleggende matematikk skiller den seg ikke fundamentalt fra og betegnes også med en vilkårlig bokstav på samme måte. Bokstaven f er den mest populære for variable funksjoner, g og mest gresk brukes også ofte.

Forhåndsdefinerte (reserverte) betegnelser

Enkeltbokstavsbetegnelser kan imidlertid om ønskelig gis en annen betydning. For eksempel blir bokstaven i ofte brukt som en indeks i en kontekst der komplekse tall ikke brukes, og bokstaven kan brukes som variabel i noen kombinatorikk. Sett også teorisymboler (som " ⊂ (\displaystyle \subset )"Og" ⊃ (\displaystyle \supset )”) og proposisjonskalkyle (som f.eks. ∧ (\displaystyle \wedge)"Og" ∨ (\displaystyle\vee )”) kan brukes i en annen betydning, vanligvis som henholdsvis en ordrerelasjon og en binær operasjon.

Indeksering

Indeksering er plottet (vanligvis nederst, noen ganger øverst) og er på en måte en måte å utvide innholdet i en variabel. Imidlertid brukes den i tre litt forskjellige (men overlappende) betydninger.

Faktisk tall

Du kan ha flere forskjellige variabler ved å angi dem med samme bokstav, på samme måte som å bruke . For eksempel: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Vanligvis er de forbundet med noen fellestrekk, men generelt er dette ikke nødvendig.

Dessuten, som "indekser" kan du bruke ikke bare tall, men også alle tegn. Men når en annen variabel og uttrykk skrives som en indeks, tolkes denne oppføringen som "en variabel med et tall bestemt av verdien til indeksuttrykket."

I tensoranalyse

I lineær algebra skrives tensoranalyse, differensialgeometri med indekser (i form av variabler)

Kurset bruker geometrisk språk, som består av notasjoner og symboler tatt i bruk i løpet av matematikk (spesielt i det nye geometrikurset på videregående).

Hele utvalget av betegnelser og symboler, så vel som forbindelsene mellom dem, kan deles inn i to grupper:

gruppe I - betegnelser på geometriske figurer og relasjoner mellom dem;

gruppe II betegnelser på logiske operasjoner, som utgjør det syntaktiske grunnlaget for det geometriske språket.

Følgende er en fullstendig liste over matematiske symboler som brukes i dette kurset. Spesiell oppmerksomhet rettes mot symbolene som brukes til å betegne projeksjoner av geometriske former.

Gruppe I

SYMBOLER DESIGNERT GEOMETRISKE FIGURE OG FORHOLD MELLOM DEM

A. Betegnelse på geometriske former

1. Den geometriske figuren er betegnet - F.

2. Poeng er indikert med store bokstaver i det latinske alfabetet eller arabiske tall:

A, B, C, D, ..., L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Linjer som er vilkårlig plassert i forhold til projeksjonsplanene er indikert med små bokstaver i det latinske alfabetet:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Nivålinjer er indikert: h - horisontal; f- frontal.

Følgende notasjon brukes også for rette linjer:

(AB) - en rett linje som går gjennom punktene A og B;

[AB) - en stråle med begynnelsen i punkt A;

[AB] - et rett linjestykke avgrenset av punktene A og B.

4. Overflater er merket med små bokstaver i det greske alfabetet:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

For å understreke måten overflaten er definert på, bør du spesifisere de geometriske elementene som den er definert med, for eksempel:

α(a || b) - plan α er bestemt av parallelle linjer a og b;

β(d 1 d 2 gα) - overflaten β bestemmes av føringene d 1 og d 2, generatrisen g og parallellismeplanet α.

5. Vinkler er angitt:

∠ABC - vinkel med apex ved punkt B, samt ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Vinkel: verdien (gradmål) er angitt med tegnet, som er plassert over vinkelen:

Verdien av vinkelen ABC;

Verdien av vinkelen φ.

En rett vinkel er markert med en firkant med en prikk inni

7. Avstander mellom geometriske figurer er angitt med to vertikale segmenter - ||.

For eksempel:

|AB| - avstand mellom punktene A og B (lengde på segment AB);

|Aa| - avstand fra punkt A til linje a;

|Aα| - avstander fra punkt A til overflate α;

|ab| - avstand mellom linjene a og b;

|αβ| avstand mellom flatene α og β.

8. For projeksjonsplaner aksepteres følgende betegnelser: π 1 og π 2, hvor π 1 er det horisontale projeksjonsplanet;

π 2 -fryuntal plan av projeksjoner.

Når du erstatter projeksjonsplan eller introduserer nye plan, angir sistnevnte π 3, π 4, etc.

9. Projeksjonsakser er angitt: x, y, z, hvor x er x-aksen; y er y-aksen; z - applikatakse.

Den konstante linjen i Monge-diagrammet er angitt med k.

10. Projeksjoner av punkter, linjer, overflater, enhver geometrisk figur er angitt med de samme bokstavene (eller tallene) som originalen, med tillegg av en hevet skrift som tilsvarer projeksjonsplanet de ble oppnådd på:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horisontale projeksjoner av punkter; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontale projeksjoner av punkter; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horisontale projeksjoner av linjer; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m ", n", ... frontale projeksjoner av linjer; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horisontale projeksjoner av overflater; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontale projeksjoner av overflater.

11. Spor av plan (overflater) er indikert med samme bokstaver som horisontal eller frontal, med tillegg av en underskrift 0α, som understreker at disse linjene ligger i projeksjonsplanet og tilhører planet (overflaten) α.

Så: h 0α - horisontal spor av planet (overflaten) α;

f 0α - frontal spor av planet (overflaten) α.

12. Spor av rette linjer (linjer) er indikert med store bokstaver, som begynner på ord som definerer navnet (på latinsk transkripsjon) på projeksjonsplanet som linjen krysser, med en nedskreven skrift som indikerer tilhørighet til linjen.

For eksempel: H a - horisontal spor av en rett linje (linje) a;

F a - frontal spor av en rett linje (linje) a.

13. Sekvensen av punkter, linjer (av enhver figur) er merket med 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ;

α1, α2, α3,...,αn;

F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n osv.

Hjelpeprojeksjonen av punktet, oppnådd som et resultat av transformasjonen for å oppnå den faktiske verdien av den geometriske figuren, er angitt med samme bokstav med underskriften 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

Aksonometriske projeksjoner

14. Aksonometriske projeksjoner av punkter, linjer, overflater er indikert med de samme bokstavene som naturen med tillegg av hevet skrift 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0, b 0, c 0, d 0, ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundære projeksjoner er indikert ved å legge til en hevet skrift 1:

A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

For å lette lesingen av tegningene i læreboken ble det brukt flere farger i utformingen av det illustrerende materialet, som hver har en viss semantisk betydning: svarte linjer (prikker) indikerer de første dataene; grønn farge brukes til linjer med ekstra grafiske konstruksjoner; røde linjer (prikker) viser resultatene av konstruksjoner eller de geometriske elementene som bør vies spesiell oppmerksomhet.

B. Symboler som angir forholdet mellom geometriske figurer

Nei.	Betegnelse	Innhold	Eksempel på symbolsk notasjon
1	≡	Kamp	(AB) ≡ (CD) - en rett linje som går gjennom punktene A og B, faller sammen med linjen som går gjennom punktene C og D
2	≅	Overensstemmende	∠ABC≅∠MNK - vinkel ABC er kongruent med vinkel MNK
3	∼	Lignende	ΔABS∼ΔMNK - trekanter ABC og MNK er like
4	||	Parallell	α||β - planet α er parallelt med planet β
5	⊥	Vinkelrett	a⊥b - linjene a og b er vinkelrette
6		interbreed	med d - linjene c og d krysser hverandre
7		Tangenter	t l - linje t er tangent til linje l. βα - plan β tangent til overflaten α
8	→	vises	F 1 → F 2 - figuren F 1 er kartlagt på figuren F 2
9	S	projeksjonssenter. Hvis projeksjonssenteret ikke er et riktig punkt, dens posisjon er indikert med en pil, som indikerer projeksjonsretningen	-
10	s	Projeksjonsretning	-
11	P	Parallell projeksjon	p s α Parallell projeksjon - parallell projeksjon til planet α i retningen s

B. Settteoretisk notasjon

Nei.	Betegnelse	Innhold	Eksempel på symbolsk notasjon	Et eksempel på symbolsk notasjon i geometri
1	M,N	Settene	-	-
2	A,B,C,...	Sett elementer	-	-
3	{ ... }	Omfatter...	F(A, B, C,... )	Ф(A, B, C,...) - figur Ф består av punktene A, B, C, ...
4	∅	Tomt sett	L - ∅ - settet L er tomt (inneholder ingen elementer)	-
5	∈	Tilhører, er et element	2∈N (der N er settet av naturlige tall) - tallet 2 tilhører settet N	A ∈ a - punkt A tilhører linjen a (punkt A ligger på linje a)
6	⊂	Inkluderer, inneholder	N⊂M - mengden N er en del (delmengde) av mengden M av alle rasjonelle tall	a⊂α - linje a tilhører planet α (forstått i betydningen: settet med punkter på linjen a er en delmengde av punktene i planet α)
7	∪	En forening	C \u003d A U B - sett C er en forening av sett A og B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - stiplet linje, ABCD er forening av segmenter [AB], [BC],
8	∩	Kryss av mange	М=К∩L - settet М er skjæringspunktet mellom settene К og L (inneholder elementer som tilhører både mengden K og mengden L). M ∩ N = ∅- skjæringspunktet mellom settene M og N er den tomme mengden (sett M og N har ikke felles elementer)	a = α ∩ β - linje a er skjæringspunktet planene α og β og ∩ b = ∅ - linjene a og b krysser ikke hverandre (har ingen felles poeng)

Gruppe II SYMBOLER SOM BETYR LOGISKE OPERASJONER

Nei.	Betegnelse	Innhold	Eksempel på symbolsk notasjon
1	∧	sammensetning av setninger; tilsvarer fagforeningen "og". Setning (p∧q) er sann hvis og bare hvis p og q begge er sanne	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Skjæringspunktet mellom overflatene α og β er et sett med punkter (linje), bestående av alle disse og bare de punktene K som tilhører både overflaten α og overflaten β
2	∨	Disjunksjon av setninger; tilsvarer fagforeningen "eller". Setning (p∨q) sann når minst én av setningene p eller q er sann (dvs. enten p eller q eller begge deler).	-
3	⇒	Implikasjon er en logisk konsekvens. Setningen p⇒q betyr: "hvis p, så q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. Hvis to linjer er parallelle med en tredje, så er de parallelle med hverandre.
4	⇔	Setningen (p⇔q) forstås i betydningen: "hvis p, så q; hvis q, så p"	А∈α⇔А∈l⊂α. Et punkt tilhører et plan hvis det tilhører en linje som tilhører det planet. Det motsatte er også sant: hvis et punkt tilhører en linje, som tilhører flyet, så tilhører det også selve flyet.
5	∀	Den generelle kvantifisereren lyder: for alle, for alle, for alle. Uttrykket ∀(x)P(x) betyr: "for enhver x: egenskap P(x)"	∀(ΔABC)( = 180°) For enhver (for enhver) trekant, summen av verdiene av dens vinkler ved toppunktene er 180°
6	∃	Den eksistensielle kvantifisereren lyder: eksisterer. Uttrykket ∃(x)P(x) betyr: "det er x som har egenskapen P(x)"	(∀α)(∃a) For ethvert plan α eksisterer det en linje a som ikke tilhører planet α og parallelt med planet α
7	∃1	Det unike med eksistenskvantifiserer, lyder: det er en unik (-th, -th)... Uttrykket ∃1(x)(Px) betyr: "det er en unik (bare en) x, har eiendommen Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) For to forskjellige punkter A og B er det en unik linje a, passerer gjennom disse punktene.
8	(px)	Negering av setningen P(x)	ab(∃α )(α⊃а, b). Hvis linjene a og b krysser hverandre, er det ikke noe plan a som inneholder dem
9	\	Negativt tegn	≠ - segmentet [AB] er ikke lik linjestykket .a? b - linjen a er ikke parallell med linjen b