Et polyeder hvis ansikter er 4 trekanter. Vanlige polyedre: elementer, symmetri og areal

Polyedre inntar ikke bare en fremtredende plass i geometri, men forekommer også i Hverdagen hver person. For ikke å nevne kunstig skapte husholdningsartikler i form av forskjellige polygoner, starter med fyrstikkeske og slutter med arkitektoniske elementer, i naturen er det også krystaller i form av en kube (salt), et prisme (krystall), en pyramide (scheelitt), et oktaeder (diamant), etc.

Konseptet med et polyeder, typer polyeder i geometri

Geometri som vitenskap inneholder en seksjon av stereometri som studerer egenskapene og egenskapene til tredimensjonale legemer, hvis sider er i tredimensjonalt rom dannet av begrensede plan (ansikter), kalles "polyeder". Typer polyedre inkluderer mer enn et dusin representanter, forskjellig i antall og form på ansikter.

Imidlertid har alle polyedre felles egenskaper:

Alle av dem har 3 integrerte komponenter: en flate (overflaten til en polygon), en toppunkt (hjørnene dannet ved krysset mellom flatene), en kant (siden av figuren eller et segment dannet i krysset mellom to flater). ).
Hver polygonkant forbinder to, og bare to, flater som er ved siden av hverandre.
Konveksitet betyr at kroppen er fullstendig plassert kun på den ene siden av planet som en av ansiktene ligger på. Regelen gjelder alle overflater av polyederet. Slike geometriske figurer i stereometri kalles konvekse polyedre. Unntaket er stjernepolyedre, som er derivater av vanlige polyedre. geometriske legemer.

Polyedre kan deles inn i:

Typer av konvekse polyedre, som består av følgende klasser: vanlige eller klassiske (prisme, pyramide, parallellepiped), vanlige (også kalt platoniske faste stoffer), semi-regulære (andre navn - Arkimedeiske faste stoffer).
Ikke-konvekse polyedre (stellert).

Prisme og dets egenskaper

Stereometri som en gren av geometri studerer egenskapene til tredimensjonale figurer, typer polyedre (et prisme er en av dem). Et prisme er en geometrisk kropp som nødvendigvis har to helt identiske flater (de kalles også baser) som ligger i parallelle plan, og det n-te antall sideflater i form av parallellogrammer. På sin side har prismet også flere varianter, inkludert slike typer polyedre som:

Et parallellepiped dannes hvis basen er et parallellogram - en polygon med 2 par like motsatte vinkler og 2 par kongruente motsatte sider.
Et rett prisme har kanter vinkelrett på basen.
preget av tilstedeværelsen av ikke-rette vinkler (annet enn 90) mellom flatene og basen.
Et vanlig prisme er preget av baser i form med like sideflater.

Hovedegenskapene til et prisme:

Kongruente baser.
Alle kanter av prismet er like og parallelle med hverandre.
Alle sideflater ha form som et parallellogram.

Pyramide

En pyramide er en geometrisk kropp, som består av en base og det n-te antall trekantede flater, koblet sammen på ett punkt - toppunktet. Det skal bemerkes at hvis sideflatene til pyramiden nødvendigvis er representert av trekanter, kan det ved basen være enten en trekantet polygon, eller en firkant, og en femkant, og så videre i det uendelige. I dette tilfellet vil navnet på pyramiden tilsvare polygonen ved basen. For eksempel, hvis det er en trekant ved bunnen av pyramiden - dette er en firkant - firkantet, etc.

Pyramider er kjeglelignende polyedre. Typene polyedre i denne gruppen, i tillegg til de som er oppført ovenfor, inkluderer også følgende representanter:

En vanlig pyramide har en vanlig polygon ved bunnen, og høyden er projisert til midten av en sirkel som er innskrevet i bunnen eller omskrevet rundt den.
En rektangulær pyramide dannes når en av sidekantene skjærer bunnen i rett vinkel. I dette tilfellet er det også rettferdig å kalle denne kanten høyden på pyramiden.

Pyramideegenskaper:

Hvis alle sidekanter av pyramiden er kongruente ( samme høyde), så krysser de alle basen i en vinkel, og rundt basen kan du tegne en sirkel med et senter som faller sammen med projeksjonen av toppen av pyramiden.
Hvis en vanlig polygon ligger ved bunnen av pyramiden, er alle sidekanter kongruente, og flatene er likebente trekanter.

Vanlig polyeder: typer og egenskaper til polyeder

I stereometri Spesielt sted okkuperer geometriske kropper med absolutt like flater, hvor det samme antall kanter er koblet sammen. Disse faste stoffene kalles platoniske faste stoffer, eller vanlige polyeder. Typer polyedre med slike egenskaper har bare fem figurer:

Tetraeder.
Heksaeder.
Oktaeder.
Dodekaeder.
Icosahedron.

Vanlige polyedre skylder navnet sitt til den antikke greske filosofen Platon, som beskrev disse geometriske kroppene i sine skrifter og koblet dem til de naturlige elementene: jord, vann, ild, luft. Den femte figuren ble tildelt likheten med universets struktur. Etter hans mening ligner atomene til naturlige elementer i form typene vanlige polyedre. På grunn av deres mest spennende egenskap - symmetri, representerte disse geometriske kroppene stor interesse ikke bare for gamle matematikere og filosofer, men også for arkitekter, malere og skulptører til alle tider. Tilstedeværelsen av bare 5 typer polyedre med absolutt symmetri ble ansett som en grunnleggende oppdagelse, de ble til og med tildelt en forbindelse med det guddommelige prinsippet.

Heksaeder og dets egenskaper

I form av en sekskant antok Platons etterfølgere en likhet med strukturen til jordens atomer. Selvfølgelig er denne hypotesen for øyeblikket fullstendig tilbakevist, noe som imidlertid ikke hindrer figurer i å tiltrekke seg sinn i moderne tid. kjente figurer med sin estetikk.

I geometri regnes heksaederet, også kjent som en kube, som et spesielt tilfelle av et parallellepiped, som igjen er et slags prisme. Følgelig er egenskapene til kuben assosiert med den eneste forskjellen er at alle flatene og hjørnene på kuben er like med hverandre. Følgende egenskaper følger av dette:

Alle kanter på en kube er kongruente og ligger i parallelle plan i forhold til hverandre.
Alle flater er kongruente firkanter (det er 6 totalt i en terning), hvorav alle kan tas som en base.
Alle interhedrale vinkler er 90.
Fra hvert toppunkt kommer et likt antall kanter, nemlig 3.
Terningen har 9 som alle skjærer i skjæringspunktet for diagonalene til sekskantet, kalt symmetrisenteret.

Tetraeder

Et tetraeder er et tetraeder med like flater i form av trekanter, hvor hvert av hjørnene er et koblingspunkt mellom tre flater.

Egenskaper til et vanlig tetraeder:

Alle flater av et tetraeder - dette følger at alle ansikter til et tetraeder er kongruente.
Siden basen er representert av en vanlig geometrisk figur, det vil si at den har like sider, så konvergerer flatene til tetraederet i samme vinkel, det vil si at alle vinkler er like.
Summen av de flate vinklene ved hvert av toppunktene er 180, siden alle vinkler er like, så er enhver vinkel på et vanlig tetraeder 60.
Hvert av toppunktene projiseres til skjæringspunktet mellom høydene til den motsatte (ortosenter) flaten.

Octahedron og dets egenskaper

Når man beskriver typene vanlige polyedre, kan man ikke unngå å legge merke til et slikt objekt som et oktaeder, som visuelt kan representeres som to firkantede vanlige pyramider limt sammen ved basene.

Oktaederegenskaper:

Selve navnet på en geometrisk kropp antyder antallet ansikter. Oktaederet består av 8 kongruente likesidede trekanter, ved hvert av hjørnene et likt antall flater konvergerer, nemlig 4.
Siden alle flatene til et oktaeder er like, er dets grensesnittvinkler, som hver er lik 60, og summen av planvinklene til noen av toppunktene er dermed 240.

Dodekaeder

Hvis vi forestiller oss at alle ansiktene til en geometrisk kropp er en vanlig femkant, får vi et dodekaeder - en figur på 12 polygoner.

Dodekaeder egenskaper:

Tre ansikter skjærer hverandre ved hvert toppunkt.
Alle kanter er like og har samme lengde kanter, samt likt areal.
Dodekaederet har 15 akser og symmetriplan, og hvilken som helst av dem passerer gjennom toppen av ansiktet og midten av den motsatte kanten.

icosahedron

Ikke mindre interessant enn dodekaederet, icosahedron er en tredimensjonal geometrisk kropp med 20 like flater. Blant egenskapene til en vanlig tjue-hedron kan følgende bemerkes:

Alle flater av icosahedron er likebente trekanter.
Fem flater konvergerer ved hvert toppunkt av polyederet, og summen tilstøtende hjørner toppunktet er 300.
Ikosaederet, som dodekaederet, har 15 akser og symmetriplan som passerer gjennom midtpunktene til motsatte flater.

Halvregulære polygoner

I tillegg til de platoniske faste stoffene inkluderer gruppen av konvekse polyedre også de arkimedeiske faste stoffene, som er avkortede vanlige polyedre. Typene polyedre i denne gruppen har følgende egenskaper:

Geometriske legemer har parvis like flater av flere typer, for eksempel har et avkortet tetraeder 8 flater, akkurat som et vanlig tetraeder, men i tilfellet med et arkimedesk legeme, vil 4 flater være trekantede og 4 vil være sekskantede.
Alle vinklene til ett toppunkt er kongruente.

Stjerne polyeder

Representanter for ikke-volumetriske typer geometriske kropper er stjerneformede polyedre, hvis ansikter krysser hverandre. De kan dannes ved å slå sammen to vanlige tredimensjonale kropper eller ved å fortsette ansiktene deres.

Således er slike stjerneformede polyedre kjent som: stjerneformede former av oktaeder, dodekaeder, icosahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron.

Leksjon 7 om emnet: "Polyhedra. Topppunkter, kanter, flater av et polyeder"

Hensikten med leksjonen: introdusere elevene til en av typene polyedre - en kube; ved å måle og observere, finn så mange egenskaper ved kuben som mulig.

Leksjonstype: lære nytt materiale

Metoder:

I henhold til kunnskapskildene: verbalt, visuelt;

I henhold til graden av lærer-elev interaksjon: heuristisk samtale;

Vedrørende didaktiske oppgaver: forberedelse til persepsjon;

Angående arten av kognitiv aktivitet:reproduktiv, delvis utforskende.

Utstyr: Opplæring:Matematikk: Visuell geometri. 5-6 klasser I.F. Sharygin, multimediaprojektor, datamaskin.

Læringsutbytte:

Personlig: evne til emosjonell oppfatning matematiske objekter evnen til å uttrykke ideer klart og nøyaktig.

Metaemne: evne til å forstå og bruke visuelle hjelpemidler.

Emne: lære å tegne skanninger og lage former med deres hjelp.

Utstyr: lærebok «Visuell geometri. 5 - 6 klasse "S. Sharygin, interaktiv tavle, saks.

UUD:

kognitiv: analyse og klassifisering av objekter

forskrift: målsetting; identifisere og forstå hva som allerede er kjent og hva som må læres

kommunikativ: pedagogisk samarbeid med lærer og jevnaldrende.

I løpet av timene

Organisering av tid.

Aktualisering og fiksering av grunnleggende kunnskap.

På bordet ligger polyeder, som elevene møttes i grunnskole. Hvilke figurer kan du nevne? Hvilke tall er de fleste?

Det er vanskelig å finne en person som ikke er kjent med kuben. Tross alt er kuber et favorittspill for barn. Det ser ut til at vi vet alt om kuben. Men er det det?

Kuben er en representant for en stor familie av polyeder. Noen du allerede har møtt - dette er en pyramide, kuboid. Å møte andre venter på deg fremover.

Polyeder, til tross for deres forskjeller, har en rekke felles egenskaper.

Overflaten til hver av dem består av flate polygoner, som kallespolyeder ansikter . To tilstøtende flate polygoner har en felles side -polyederkant . Endene av ribbeina ertopper polyeder.

I forrige leksjon var du interessert i typene polyedre og her er 5 representanter for vanlige polygoner.

Tetraeder oktaeder ikosaeder heksaeder dodekaeder

Generalisering og systematisering av kunnskap

Vurder bildet av kuben i figuren, tegn den i en notatbok og signer navnene på hovedelementene i kuben. Husk og bruk disse vilkårene i fremtiden.

En kube er et vanlig polyeder hvis flater er firkanter og ved hvert toppunkt konvergerer tre kanter og tre flater. Den har 6 flater, 8 topper og 12 kanter.

Arbeid med modeller.

Arbeid med sveip.

№ 2 (Matematikk: Visuell geometri. 5.-6. klassetrinn I.F. Sharygin) Tegn en kubeskanning på et stykke papir. Klipp den ut og rull en terning ut av den, lim den.

Den utskårne figuren kalleskubeskanning . Tenk på hvorfor den heter det slik.

№ 3 (Matematikk: Visuell geometri. Grader 5-6 I.F. Sharygin) Prøv å sette sammen en kube fra de foreslåtte skanningene, og overfør dem til notatboken din.

№ 5 (Matematikk: Visuell geometri. 5.-6. klassetrinn I.F. Sharygin) En kube brettes ut. Hvilken av kubene i figur 30, a-c kan limes fra den? Velg en kube og begrunn valget ditt.

№ 12 (Matematikk: Visuell geometri. Grader 5-6 I.F. Sharygin) Det er en papirremse som måler 1 * 7. Hvordan brette en enkelt kube fra den?

№ 15 (Matematikk: Visuell geometri. Grad 5-6 I.F. Sharygin) En edderkopp og en flue sitter i motsatte hjørner av kuben. Hva er den korteste veien for en edderkopp å nå en flue? Forklar svaret

Refleksjon av pedagogisk aktivitet.

i dag fant jeg ut...

det var interessant…

det var vanskelig…

Jeg gjorde oppgaver...

Jeg kjøpte...

Jeg lærte…

Jeg klarte …

Jeg fikk til...

Jeg skal prøve…

overrasket meg...

ga meg en leksjon for livet...

Hjemmelekser. Lag en kubemodell av papp.

Emne."Polyeder. Elementene i et polyeder er ansikter, hjørner, kanter.

Mål. Skape forutsetninger for utvidelse teoretisk kunnskap om romlige figurer: introduser begrepene "polyhedron", "ansikter", "vertex", "kant"; sikre utvikling av elevenes evne til å fremheve hovedsaken i kognitivt objekt; fremme utvikling romlig fantasi studenter.

Utdanningsmateriell. Lærebok «Matematikk. Karakter 4 "(forfatter V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva); datamaskin; projektor; presentasjon "Polygoner"; trykte skjemaer "Koordinatvinkel", "Polygoner", "Problem"; modeller av polyeder, utvikling av polyeder; speilene; saks.

UNDER KLASSENE

Før timestart deles barna inn i tre grupper etter kunnskapsnivå - høy, middels, lav.

I. Organisatorisk øyeblikk

Lærer. Mine kjære fidgets, nok en gang inviterer jeg deg til det fascinerende verden matematikk. Og jeg er sikker på at du i denne leksjonen vil lære nye ting, konsolidere det du har lært og kunne bruke den tilegnede kunnskapen i praksis.

I dag vil jeg starte leksjonen vår med ordene til den engelske filosofen Roger Bacon om matematikk: "Den som ikke kan matematikk kan ikke studere andre vitenskaper og kan ikke kjenne verden." Jeg tror at i leksjonen vil vi helt sikkert finne bekreftelse på ordene til denne filosofen.

II. Repetisjon av det dekkede materialet. Konstruksjon av polygoner etter koordinater

U. På matematikktimene i 1., 2., 3. klasse studerte vi ulike flate geometriske figurer, og lærte også hvordan vi bygger dem. Jeg foreslår at du bygger inn koordinatvinkel flate figurer i henhold til de oppgitte koordinatene.

Oppgaven utføres på trykte skjemaer.

Gruppe 1

Konstruer en figur hvis koordinatene er kjent EN (0; 2), I (2; 5), MED(9; 2). Hvilken figur fikk du?

Gruppe 2

Konstruer et rektangel if-punkter EN(3; 2) og I(6; 5) er dens motsatte hjørner. Gi navn til koordinatene til motsatte hjørner. Hva er et annet navn for denne figuren?

Gruppe 3

Konstruer en figur hvis koordinatene til toppene er kjent EN (2; 3), I (2; 6), MED (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), M(5; 1). Hvilken figur fikk du?

Hva kan du kalle alle disse figurene?

Barn. Dette er polygoner.

lysbilde 1

U. Vi vet at alle polygoner har hjørner og sider. Gi navn og vis dem.

En person fra gruppen fullfører oppgaven ved tavlen.

III. Introduksjon til nytt materiale

U. I dag vil jeg introdusere deg for voluminøs geometriske former, som kalles polygoner. Modellene deres er presentert på bordene dine.

Elevene har volumetriske figurer på bordene: en kube, et parallellepiped, pyramider, prismer.

– Sitt komfortabelt, se godt etter, lytt nøye og husk.

Bekjentskap med begrepene "polyhedron", "ansikt", "vertex", "edge"

– Hvis du tar 4 trekanter, kan du lage volumetrisk figur – pyramide. Fra firkanter kan du få en annen figur - en kube, fra rektangler - et parallellepiped. Du har en annen figur på bordet - et prisme, som er bygd opp av rektangler og trekanter. Alle disse figurene kalles polyedre .

Hver av polygonene (i denne saken trekanter) kalles kant polyeder. Sidene til polygoner kalles ribbeina polyeder. Og selvfølgelig vil toppunktene til polygonen være topper polyeder. Slik ser en tegning av et polyeder ut på et stykke papir.

lysbilde 2

Det ser ut som figuren er laget av glass. Hva tror du vises av den stiplede linjen på tegningen?

D. Usynlige ribber.

Barn jobber med tegningen ved tavlen.

U. Så hva er det?

D. Polyeder.

U. Navngi og vis overflatene til polyederet, dets kanter og hjørner.

Barn peker med en peker og liste.

– Hvis du kutter pyramiden fra topp til bunn langs kantene, får du et slikt sveip.
Og nå, mine kjære fidgets, finn et skjema med en polygon på bordet, les instruksjonene nøye:

1. Vurder nøye tegningen av polygonet.
2. Finn ønsket polygonutfolding (modeller på brettet).
3. Sett sammen polygonmodellen.
4. Spesifiser antall toppunkter __ , flater __ , kanter __ av polygonet.
5. Gi navn til hvert toppunkt __ , kant __ , ansikt __ av polygonet.

Gruppe 1

Gruppe 2

Gruppe 3

– På tavla er utviklingen av polyeder. Prøv å finne utviklingen av figuren din fra tegningen og sett sammen polyederet. Jobb sammen og jeg tror du vil lykkes.

Kontrollere at oppgaven er fullført (lysbilder 3, 4, 5).

topper – 8; ribbeina – 12; ansikter – 6;
toppunkter - M, B, C, A, X, K, O, T;
ribber - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
ansikter - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

topper – 8; ribbeina – 12; ansikter – 6;
toppunkter - M, B, C, A, X, K, O, T;
ribber - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
ansikter - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

topper – 12; ribbeina – 18; ansikter – 8;
toppunkter - Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C;
ribber - YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB;
ansikter - BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

IV. Generalisering og systematisering av kunnskap

U. Fortell meg, er det gjenstander i verden rundt oss som har form som polyeder?

Barns svar blir hørt. Det er en improvisert «vandring» rundt skolegården. Barn "vurderer" modeller av skolebygningen, bruksrom, som ser ut som polyeder.

- Fullfør oppgaven:

Ulven og Haren limte et hus av farget papir. Hvor mange ansikter av hver farge trengte du? Hvilken polygonform har kanten på hver farge?

lysbilde 6

V. Konsolidering av tidligere lært

U. Gutter, forestill deg selv som arkitekter, designere eller byggherrer og prøv å løse problemer.

Oppgave for gruppe 1

Finn arealet som den nye skolebygningen vil dekke hvis lengden er 74 m og bredden er 13 m. ( Svar: 962 kvm. m.)

Oppgave for gruppe 2

Arealet til lekeplassen i gården til skolen vår er 1080 kvadratmeter. m. Dette er 1320 kvadratmeter. m mindre enn arealet til hockeybanen. Beregn arealet til hockeybanen. ( Svar: 2400 kvm. m)

Oppgave for gruppe 3

For bygging av et nytt bygg for skolen vår, en tomt på 2500 kvm. m. Det er kjent at bygningen vil være 13 m bred, 74 m lang. Hvilket område av stedet vil forbli for blomsterbed og stier etter at bygningen er bygget? ( Svar: 1) 962 kvm. m; 2) 1538 kvm. m)

Barn sjekker løsninger på problemer, forklarer hvordan de løste dem.

VI. Leksjonssammendrag

U. Det viser seg at Roger Bacon hadde rett da han sa: «Den som ikke kan matematikk, kan ikke studere andre vitenskaper og kan ikke kjenne verden».

Læreren evaluerer gruppenes arbeid.

1. I figur 1, indiker konvekse og ikke-konvekse polyedre.

Svar: Konveks - b), e); ikke-konveks - a), c), d).

2. Gi et eksempel på et ikke-konveks polyeder hvis flater alle er konvekse polygoner.

Svar: Figur 1, a).

3. Er det sant at foreningen av konvekse polyedre er konveks polyeder?

Svar: Nei.

4. Kan antallet hjørner av et polyeder være likt antall flater?

Svar: Ja, et tetraeder.

5. Etabler en sammenheng mellom antall planvinkler P til polyederet og antall kanter P.

Svar: P = 2R.

6. Overflatene til et konveks polyeder er bare trekanter. Hvor mange hjørner B og flater D har den hvis den har: a) 12 kanter; b) 15 ribber? Gi eksempler på slike polyedre.

7. Tre kanter kommer ut fra hvert toppunkt av et konveks polyeder. Hvor mange hjørner B og flater D har den hvis den har: a) 12 kanter; b) 15 ribber? Tegn disse polyedrene.

Svar: a) B \u003d 8, D \u003d 6, kube; b) H \u003d 10, D \u003d 7, femkantet prisme.

8. Ved hvert toppunkt av et konveks polyeder konvergerer fire kanter. Hvor mange hjørner B og flater D har den hvis antall kanter er 12? Tegn disse polyedrene.

9. Bevis at ethvert konveks polyeder har en trekantet side eller tre kanter møtes på noen av toppene.

10. Tenk på hvor i argumentene som viser gyldigheten av Euler-relasjonen, konveksiteten til polyederet ble brukt.

11. Hva er B - P + G for polyederet vist i figur 6?

Vanlige polyedre

Et konveks polyeder kalles regulært hvis flatene er like vanlige polygoner, og alle polyedriske vinkler er like.

La oss vurdere mulige vanlige polyedre og først av alt de av dem hvis ansikter er vanlige trekanter. Det enkleste slike regulære polyeder er en trekantet pyramide, hvis overflater er vanlige trekanter (fig. 7). Tre ansikter konvergerer ved hvert av hjørnene. Med bare fire flater kalles dette polyederet også et vanlig tetraeder, eller rett og slett et tetraeder, som er oversatt fra gresk betyr firkant.

Et polyeder hvis flater er regulære trekanter, og fire flater konvergerer ved hvert toppunkt, er vist i figur 8. Overflaten består av åtte regulære trekanter, så det kalles et oktaeder.

Et polyeder, ved hvert toppunkt som fem regulære trekanter konvergerer, er vist i figur 9. Overflaten består av tjue regulære trekanter, så det kalles et ikosaeder.

Legg merke til at siden mer enn fem regulære trekanter ikke kan konvergere ved toppunktene til et konveks polyeder, er det ingen andre vanlige polyedere hvis ansikter er vanlige trekanter.

På samme måte, siden bare tre firkanter kan konvergere ved toppunktene til et konveks polyeder, er det, bortsett fra kuben (fig. 10), ingen andre vanlige polyedere hvis flater er firkanter. Terningen har seks sider og kalles derfor også et heksaeder.

Et polyeder hvis flater er regulære femkanter og tre flater konvergerer ved hvert toppunkt er vist i figur 11. Overflaten består av tolv regulære femkanter, og det er derfor det kalles et dodekaeder.

Vurder konseptet med et vanlig polyeder fra synspunktet til vitenskapens topologi, som studerer egenskapene til figurer som ikke er avhengige av forskjellige deformasjoner uten diskontinuiteter. Fra dette synspunktet er for eksempel alle trekanter likeverdige, siden en trekant alltid kan oppnås fra en hvilken som helst annen ved tilsvarende sammentrekning eller utvidelse av sidene. Generelt er alle polygoner med samme antall sider ekvivalente av samme grunn.

Hvordan kan vi definere forestillingen om et topologisk regelmessig polyeder i en slik situasjon? Med andre ord, hvilke egenskaper i definisjonen av et vanlig polyeder som er topologisk stabile og bør stå igjen, og hvilke som ikke er topologisk stabile og bør forkastes.

I definisjonen av et vanlig polyeder er antall sider og antall flater topologisk stabile, dvs. uendret under kontinuerlig deformasjon. Regularitet av polygoner er ikke en topologisk stabil egenskap. Dermed kommer vi til følgende definisjon.

Et konveks polyeder kalles topologisk regelmessig hvis flatene er polygoner med samme antall sider og konvergerer ved hvert toppunkt samme nummer ansikter.

To polyedre sies å være topologisk ekvivalente hvis den ene kan oppnås fra den andre ved en kontinuerlig deformasjon.

For eksempel alle trekantede pyramider er topologisk regelmessige polyedre, ekvivalente med hverandre. Alle parallellepipedene er også topologisk regelmessige polyedre ekvivalente med hverandre. De er ikke topologisk vanlige polyedre, for eksempel firkantede pyramider.

La oss finne ut spørsmålet om hvor mange topologisk regelmessige polyedre som ikke er likeverdige med hverandre.

Som vi vet er det fem vanlige polyeder: tetraeder, terning, oktaeder, ikosaeder og dodekaeder. Det ser ut til at det burde være mye mer topologisk regelmessige polyedre. Det viser seg imidlertid at det ikke finnes andre topologisk regelmessige polyedre som ikke er ekvivalente med de allerede kjente regulære.

For å bevise dette bruker vi Eulers teorem. La det gis et topologisk regelmessig polyeder hvis flater er n -goner, og m kanter konvergerer ved hvert toppunkt. Det er klart at n og m er større enn eller lik tre. Angi, som før, B - antall toppunkter, P - antall kanter og Г - antall flater til dette polyederet. Deretter

nГ = 2P; G = ; mB = 2P; B = .

Ved Eulers teorem er B - P + G = 2 og derfor

Hvor R = .

Spesielt av den resulterende likheten følger det at ulikheten 2n + 2m - nm > 0 må holde, som tilsvarer ulikheten (n - 2)(m - 2)< 4.

Finn alle mulige verdier av n og m som tilfredsstiller den funnet ulikheten og fyll ut følgende tabell


tetraeder	V=6, R=12, D=8	V=12, P=30, D=20 icosahedron
V=8, P=12, D=4	Eksisterer ikke	Eksisterer ikke
V=20, P=30, D=12 dodekaeder	Eksisterer ikke	Eksisterer ikke

For eksempel tilfredsstiller verdiene n = 3, m = 3 ulikheten (n - 2) (m - 2)< 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Verdiene n = 4, m = 4 tilfredsstiller ikke ulikheten (n - 2)(m - 2)< 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Sjekk de andre sakene selv.

Det følger av denne tabellen at de eneste mulige topologisk regelmessige polyedre er de regulære polyedre oppført ovenfor og polyedre tilsvarende dem.

Definisjon. Et polyeder kalles regulært hvis: 1) det er konveks; 2) alle dens ansikter er vanlige polygoner lik hverandre; 3) det samme antall kanter konvergerer ved hvert av dets toppunkter; 4) alle dens dihedraler er like.

Et eksempel på et vanlig polyeder er en terning: det er et konveks polyeder, alle flatene er like firkanter, tre kanter konvergerer ved hvert toppunkt, og alle de dihedriske hjørnene på kuben er rett. Et vanlig tetraeder er også et vanlig polyeder.

Spørsmålet oppstår: hvor mange forskjellige typer vanlige polyeder?

Fem typer vanlige polyedre:

Tenk på et vilkårlig vanlig polyeder M , som har B-punkt, P-kanter og G-flater. Ved Eulers teorem gjelder følgende likhet for dette polyederet:

V - R + G \u003d 2. (1)

La hver side av det gitte polyederet inneholde m kanter (sider), og ved hvert toppunkt konvergerer n ribbeina. Åpenbart,

Siden polyederet B har toppunkter, og hver av dem har n kanter, får vi n kanter. Men en hvilken som helst kant forbinder to hjørner av polyederet, så hver kant vil gå inn i produktet n to ganger. Så polyederet har diverse ribbeina. Deretter

Fra (1), (3), (4) får vi - Р + = 2, hvorfra

+ = + > . (5)

Dermed har vi

Av ulikheter 3 og 3 følger det at flatene til et regulært polyeder kan være enten regulære trekanter, eller regulære firkanter, eller regulære femkanter. Dessuten, i tilfellene m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 kommer vi til en motsetning med betingelsen. Derfor er fem tilfeller fortsatt mulige: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. La oss vurdere hver av disse tilfellene ved å bruke relasjoner (5), (4) og (3).

1) m=n=3(hver side av polyederet er en vanlig trekant. Dette er kjent for oss vanlig tetraeder (« tetraeder" betyr et tetraeder).

2) m = 4, n = 3(hver side er en firkant, og tre kanter konvergerer ved hvert toppunkt). Vi har

P = 12; B = 8; G = 6.

Vi får en vanlig sekskant, der hver side er en firkant. Dette polyederet kalles vanlig sekskant og er en kube (" heksaeder"- heksaeder), ethvert parallellepiped er et heksaeder.

3) m = 3, n = 4(hver side er en vanlig trekant, fire kanter konvergerer ved hvert toppunkt). Vi har

P = 12; B = = 6; G \u003d \u003d 8.

Vi får et vanlig oktaeder, der hvert ansikt er en vanlig trekant. Dette polyederet kalles vanlig oktaeder ("oktaeder" -- oktaeder).

4) m = 5, n = 3(hver side er en vanlig femkant, tre kanter konvergerer ved hvert toppunkt). Vi har:

P = 30; B = = 20; G \u003d \u003d 12.

Vi får et vanlig dodekaeder, der hvert ansikt er en vanlig femkant. Dette polyederet kalles vanlig dodekaeder (« dodekaeder"- dodekaeder).

5) m = 3,n = 5(hver side er en vanlig trekant, fem kanter konvergerer ved hvert toppunkt). Vi har

P = 30; B = = 12; G = = 20.

Vi får riktig tjuesidig. Dette polyederet kalles vanlig ikosaeder (« icosahedron"- tjuesidig).

Dermed har vi fått følgende teorem.

Teorem. Det er fem forskjellige (opp til likhet) typer vanlige polyeder: vanlig tetraeder, vanlig heksaeder (kube), vanlig oktaeder, vanlig dodekaeder og vanlig ikosaeder.

Denne konklusjonen kan nås på en litt annen måte.

Faktisk, hvis ansiktet til en vanlig polyeder er en vanlig trekant, og konvergerer på ett toppunkt k ribbe, dvs. alle flate konvekse hjørner k-hedral vinkel er like, da. Derfor, naturlig tall k kan ta verdier: 3;4;5. mens Г = , Р = . Basert på Euler-teoremet har vi:

B+-= 2 eller B (6 - k) = 12.

Så kl k\u003d 3 får vi: B \u003d 4, G \u003d 4, P \u003d 6 (vanlig tetraeder);

på k = 4 får vi: B \u003d 6, G \u003d 8, P \u003d 12 (vanlig oktaeder);

på k = 5 får vi: B \u003d 12, G \u003d 20, P \u003d 30 (vanlig icosahedron).

Hvis forsiden av et vanlig polyeder er en vanlig firkant, da. Denne tilstanden tilsvarer det eneste naturlige tallet k= 3. Så: Г = , Р= ; B + - = 2 eller. Så, B \u003d 8, G \u003d 6, P \u003d 12 - vi får en kube (vanlig heksaeder).

Hvis ansiktet til et vanlig polyeder er en vanlig femkant, da Denne betingelsen er også bare oppfylt k= 3 og Г = ; R = . på samme måte tidligere beregninger vi får: og B \u003d 20, G \u003d 12, P \u003d 30 (vanlig dodekaeder).

Starter med vanlige sekskanter, antagelig flatene til et vanlig polyeder, blir planvinklene ikke mindre og smalere k= 3 summen deres blir minst, noe som er umulig. Derfor er det bare fem typer vanlige polyedre.

Figurene viser layoutene til hver av de fem regulære polyedrene.

vanlig tetraeder

Vanlig oktaeder

Vanlig sekskant

Vanlig ikosaeder

Vanlig dodekaeder

Noen egenskaper til vanlige polyedre er gitt i tabellen nedenfor.

Ansiktstype	flatt hjørne øverst	Utsikt over det polyedriske hjørnet i toppunktet	Summen av de flate vinklene ved toppunktet			Navnet på polyederet
Riktig triangel	3-sidig			vanlig tetraeder
Riktig triangel	4-sidig			Vanlig oktaeder
Riktig triangel	5-sidig			Vanlig ikosaeder
	3-sidig			Riktig heksaeder (kube)
Riktig femkant	3-sidig				Riktig dodekaeder

For hver av de vanlige polyedrene, i tillegg til de som allerede er angitt, vil vi oftest være interessert i:

1. Verdien av det dihedral vinkel ved ribben (med lengden på ribben en).
2. Kvadra den full overflate(for ribbelengde en).
3. Dens volum (med lengden på ribben en).
4. Radius til kulen omskrevet rundt den (med lengden på kanten en).
5. Radiusen til kulen innskrevet i den (med lengden på kanten en).
6. Radien til en kule som berører alle kantene (med en kantlengde en).

Den enkleste løsningen er å beregne det totale overflatearealet til et vanlig polyeder; det er lik Г, der Г er antall flater av et vanlig polyeder, og er arealet av en flate.

Husk på synd = , som gir oss muligheten til å skrive med radikaler: ctg =. Med tanke på dette lager vi tabeller:

a) for arealet av et ansikt til et vanlig polyeder

b) for det totale overflatearealet til et vanlig polyeder

La oss nå gå videre til å beregne verdien av den dihedrale vinkelen til et vanlig polyeder ved kanten. For et vanlig tetraeder og en kube kan du enkelt finne verdien av denne vinkelen.

I et vanlig dodekaeder er alle planvinklene til flatene like, derfor, ved å bruke cosinus-teoremet for trihedriske vinkler på en hvilken som helst trihedrisk vinkel til et gitt dodekaeder ved toppunktet, får vi: cos, hvorfra

På det avbildede regulære oktaederet ABCDMF kan du se at den dihedriske vinkelen ved kanten av oktaederet er 2arctg.

For å finne verdien av den dihedriske vinkelen ved kanten av et vanlig ikosaeder, kan vi vurdere den trihedriske vinkelen ABCD ved toppunktet A: dens planvinkler BAC og CAD er like, og den tredje planvinkelen BAD, mot hvilken den dihedriske vinkelen B (AC)D = løgn, er lik (BCDMF - en vanlig femkant). Ved cosinussetningen for den trihedriske vinkelen ABCD har vi: . Gitt det, kommer vi hvor. Dermed er den dihedriske vinkelen ved kanten av ikosaederet lik.

Så vi får følgende tabell over verdier av dihedriske vinkler ved kantene av vanlige polyeder.

Før vi finner volumet til et eller annet regulært polyeder, diskuterer vi først hvordan vi finner volumet til regulære polyeder i en generell form.

Prøv å bevise først at hvis midten av hver side av et vanlig polyeder er en rett linje, vinkelrett på planet dette ansiktet, så vil alle linjene som er tegnet krysses på et eller annet punkt OM, fjernt fra alle flater av et gitt polyeder med samme avstand, som vi betegner med r. Punktum OM viser seg å være sentrum av en kule innskrevet i et gitt polyeder, og r- dens radius. Ved å koble det resulterende punktet OM med alle toppunktene til et gitt polyeder, vil vi dele det inn i Г pyramider som er lik hverandre (Г er antall flater til et vanlig polyeder): basene til de dannede pyramidene er r. Deretter volumet av dette polyederet er lik summen volumer av alle disse pyramidene. Siden polyederet er regelmessig, volumet V kan bli funnet ved hjelp av formelen:

Det gjenstår å finne lengden på radien r.

For å gjøre dette, ved å koble til prikken OM med midten TIL kantene av polyhedron, prøv å sørge for at den skråstilte KO til en flate av et polyeder som inneholder en kant, gjør en vinkel med planet til denne flaten lik halvparten av verdien av den dihedriske vinkelen ved denne kanten av polyederet; projeksjonen er skrå KO på planet til dette ansiktet tilhører dens apotem og er lik radiusen til sirkelen som er innskrevet i den. Deretter

hvor p er halvperimeteren til ansiktet. Så fra (1) og (2) får vi en formel for å beregne volumene deres som er felles for alle vanlige polyedre:

Denne formelen er helt unødvendig for å finne volumene til en kube, et vanlig tetraeder og et oktaeder, men det gjør det ganske enkelt å finne volumene til et vanlig ikosaeder og dodekaeder.