Polygon, konveks polygon, firkant. Konveks polygon Hvilken polygon kalles konveks

Polygon konsept

Definisjon 1

Polygon er en geometrisk figur i et plan, som består av segmenter koblet sammen i par, de tilstøtende ligger ikke på samme rette linje.

I dette tilfellet kalles segmentene sider av polygonet, og deres ender - toppunktene til polygonen.

Definisjon 2

En $n$-gon er en polygon med $n$ toppunkter.

Typer polygoner

Definisjon 3

Hvis en polygon alltid ligger på samme side av en linje som går gjennom sidene, kalles polygonen konveks(Figur 1).

Figur 1. Konveks polygon

Definisjon 4

Hvis en polygon ligger på motsatte sider av minst én rett linje som går gjennom sidene, kalles polygonen ikke-konveks (fig. 2).

Figur 2. Ikke-konveks polygon

Summen av vinklene til en polygon

La oss introdusere et teorem om summen av vinklene til en trekant.

Teorem 1

Summen av vinklene til en konveks trekant bestemmes som følger

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bevis.

La oss få et konveks polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. La oss koble dens toppunkt $A_1$ med alle andre toppunkter i denne polygonen (fig. 3).

Figur 3.

Med denne forbindelsen får vi $n-2$ trekanter. Ved å summere vinklene deres får vi summen av vinklene til en gitt -gon. Siden summen av vinklene til en trekant er lik $(180)^0,$ får vi at summen av vinklene til en konveks trekant bestemmes av formelen

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teoremet er bevist.

Konsept av en firkant

Ved å bruke definisjonen av $2$ er det enkelt å introdusere definisjonen av en firkant.

Definisjon 5

En firkant er en polygon med $4$ hjørner (fig. 4).

Figur 4. Firkant

For en firkant er begrepene en konveks firkant og en ikke-konveks firkant definert på samme måte. Klassiske eksempler på konvekse firkanter er kvadrat, rektangel, trapes, rombe, parallellogram (fig. 5).

Figur 5. Konvekse firkanter

Teorem 2

Summen av vinklene til en konveks firkant er $(360)^0$

Bevis.

Ved teorem $1$ vet vi at summen av vinklene til en konveks -gon bestemmes av formelen

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Derfor er summen av vinklene til en konveks firkant lik

\[\venstre(4-2\høyre)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teoremet er bevist.

I denne leksjonen vil vi begynne et nytt emne og introdusere et nytt konsept for oss: "polygon". Vi skal se på de grunnleggende begrepene knyttet til polygoner: sider, toppunktvinkler, konveksitet og ikke-konveksitet. Deretter skal vi bevise de viktigste fakta, som teoremet om summen av de indre vinklene til en polygon, teoremet om summen av de ytre vinklene til en polygon. Som et resultat vil vi nærme oss å studere spesielle tilfeller av polygoner, som vil bli vurdert i videre leksjoner.

Emne: Firkanter

Leksjon: Polygoner

På geometrikurset studerer vi egenskapene til geometriske figurer og har allerede undersøkt de enkleste av dem: trekanter og sirkler. Samtidig diskuterte vi også spesifikke spesialtilfeller av disse figurene, som høyre, likebenede og regulære trekanter. Nå er det på tide å snakke om mer generelle og komplekse figurer - polygoner.

Med et spesielt tilfelle polygoner vi er allerede kjent - dette er en trekant (se fig. 1).

Ris. 1. Trekant

Selve navnet understreker allerede at dette er en figur med tre vinkler. Derfor, i polygon det kan være mange av dem, dvs. mer enn tre. La oss for eksempel tegne en femkant (se fig. 2), dvs. figur med fem hjørner.

Ris. 2. Pentagon. Konveks polygon

Definisjon.Polygon- en figur som består av flere punkter (mer enn to) og et tilsvarende antall segmenter som sekvensielt forbinder dem. Disse punktene kalles topper polygon, og segmentene er fester. I dette tilfellet ligger ingen to tilstøtende sider på samme rette linje og ingen to ikke-tilstøtende sider krysser hverandre.

Definisjon.Vanlig polygon er en konveks polygon der alle sider og vinkler er like.

Noen polygon deler flyet inn i to områder: internt og eksternt. Det indre området er også referert til som polygon.

Med andre ord, når de for eksempel snakker om en femkant, mener de både hele dens indre region og dens grense. Og det indre området inkluderer alle punkter som ligger inne i polygonet, dvs. punktet refererer også til femkanten (se fig. 2).

Polygoner kalles også noen ganger n-goner for å understreke at det generelle tilfellet med tilstedeværelsen av et ukjent antall vinkler (n stykker) vurderes.

Definisjon. Polygon omkrets- summen av lengdene på sidene til polygonet.

Nå må vi bli kjent med typene polygoner. De er delt inn i konveks Og ikke-konveks. For eksempel, polygonet vist i fig. 2 er konveks, og i fig. 3 ikke-konvekse.

Ris. 3. Ikke-konveks polygon

Definisjon 1. Polygon kalt konveks, hvis når du tegner en rett linje gjennom noen av sidene, hele polygon ligger bare på den ene siden av denne rette linjen. Ikke-konveks er alle andre polygoner.

Det er lett å forestille seg at når man forlenger en hvilken som helst side av femkanten i fig. 2 vil alt være på den ene siden av denne rette linjen, dvs. den er konveks. Men når du tegner en rett linje gjennom en firkant i fig. 3 ser vi allerede at den deler den i to deler, dvs. den er ikke konveks.

Men det er en annen definisjon av konveksiteten til en polygon.

Definisjon 2. Polygon kalt konveks, hvis når du velger to av dets indre punkter og forbinder dem med et segment, er alle punktene i segmentet også indre punkter i polygonet.

En demonstrasjon av bruken av denne definisjonen kan sees i eksemplet med å konstruere segmenter i fig. 2 og 3.

Definisjon. Diagonal av en polygon er et hvilket som helst segment som forbinder to ikke-tilstøtende hjørner.

For å beskrive egenskapene til polygoner er det to viktigste teoremer om vinklene deres: teorem om summen av indre vinkler til en konveks polygon Og teorem om summen av ytre vinkler til en konveks polygon. La oss se på dem.

Teorem. På summen av indre vinkler av en konveks polygon (n-gon).

Hvor er antallet vinkler (sider).

Bevis 1. La oss avbilde i fig. 4 konvekse n-gon.

Ris. 4. Konveks n-gon

Fra toppunktet tegner vi alle mulige diagonaler. De deler n-gon i trekanter, fordi hver av sidene av polygonet danner en trekant, bortsett fra sidene ved siden av toppunktet. Det er lett å se fra figuren at summen av vinklene til alle disse trekantene vil være nøyaktig lik summen av de indre vinklene til n-gonen. Siden summen av vinklene til en trekant er , er summen av de indre vinklene til en n-gon:

Q.E.D.

Bevis 2. Et annet bevis på denne teoremet er mulig. La oss tegne en lignende n-gon i fig. 5 og koble et hvilket som helst av dets indre punkter med alle hjørner.

Ris. 5.

Vi har fått en partisjon av n-gon i n trekanter (like mange sider som det er trekanter). Summen av alle vinklene deres er lik summen av de indre vinklene til polygonet og summen av vinklene ved det indre punktet, og dette er vinkelen. Vi har:

Q.E.D.

Bevist.

I følge det beviste teoremet er det klart at summen av vinklene til en n-gon avhenger av antall sider (på n). For eksempel, i en trekant, og summen av vinklene er . I en firkant, og summen av vinklene er osv.

Teorem. På summen av ytre vinkler til en konveks polygon (n-gon).

Hvor er antallet vinkler (sider), og , …, er de ytre vinklene.

Bevis. La oss skildre en konveks n-gon i fig. 6 og angi dens indre og ytre vinkler.

Ris. 6. Konveks n-gon med angitte ytre vinkler

Fordi Det ytre hjørnet er koblet til det indre som tilstøtende, da og tilsvarende for de resterende utvendige hjørnene. Deretter:

Under transformasjonene brukte vi det allerede beviste teoremet om summen av indre vinkler til en n-gon.

Bevist.

Et interessant faktum følger av det beviste teoremet at summen av de ytre vinklene til en konveks n-gon er lik på antall vinkler (sider). Forresten, i motsetning til summen av indre vinkler.

Bibliografi

1. Alexandrov A.D. m.fl. Geometri, 8. klasse. - M.: Utdanning, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. klasse. - M.: Utdanning, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. klasse. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Hjemmelekser

Disse geometriske formene omgir oss overalt. Konvekse polygoner kan være naturlige, for eksempel en honningkake, eller kunstige (menneskeskapte). Disse figurene brukes i produksjon av ulike typer belegg, maling, arkitektur, smykker, etc. Konvekse polygoner har egenskapen at alle punktene deres er plassert på den ene siden av en rett linje som går gjennom et par tilstøtende hjørner av denne geometriske figuren. Det finnes andre definisjoner. En konveks polygon er en som er plassert i et enkelt halvplan i forhold til enhver rett linje som inneholder en av sidene.

I det elementære geometrikurset vurderes alltid bare enkle polygoner. For å forstå alle egenskapene til slike, er det nødvendig å forstå deres natur. Først bør du forstå at enhver linje hvis ender faller sammen kalles lukket. Dessuten kan figuren dannet av den ha en rekke konfigurasjoner. En polygon er en enkel lukket stiplet linje der nabolenker ikke er plassert på samme rette linje. Dens lenker og toppunkter er henholdsvis sidene og toppunktene til denne geometriske figuren. En enkel polylinje skal ikke ha selvkryss.

Toppunktene til en polygon kalles tilstøtende hvis de representerer endene på en av sidene. En geometrisk figur som har det n-te antallet hjørner, og derfor det n-te antallet sider, kalles en n-gon. Selve den brutte linjen kalles grensen eller konturen til denne geometriske figuren. Et polygonalt plan eller flatt polygon er den endelige delen av et hvilket som helst plan som er avgrenset av det. Tilstøtende sider av denne geometriske figuren er segmenter av en brutt linje som kommer fra ett toppunkt. De vil ikke være tilstøtende hvis de kommer fra forskjellige hjørner av polygonet.

Andre definisjoner av konvekse polygoner

I elementær geometri er det flere definisjoner som er like i betydning, som indikerer hvilken polygon som kalles konveks. Dessuten er alle disse formuleringene like korrekte. En polygon anses som konveks hvis den:

Hvert segment som forbinder to punkter inne i det ligger helt innenfor det;

Alle dens diagonaler ligger innenfor den;

Enhver innvendig vinkel overstiger ikke 180°.

En polygon deler alltid et plan i 2 deler. En av dem er begrenset (den kan omsluttes i en sirkel), og den andre er ubegrenset. Den første kalles den indre regionen, og den andre er den ytre regionen til denne geometriske figuren. Denne polygonen er skjæringspunktet (med andre ord den felles komponenten) av flere halvplan. Hvert segment som har ender på punkter som tilhører polygonet, tilhører dessuten det.

Varianter av konvekse polygoner

Definisjonen av en konveks polygon indikerer ikke at det er mange typer. Dessuten har hver av dem visse kriterier. Dermed kalles konvekse polygoner som har en indre vinkel lik 180° svakt konvekse. En konveks geometrisk figur som har tre hjørner kalles en trekant, fire - en firkant, fem - en femkant osv. Hver av de konvekse n-gonene oppfyller følgende viktigste krav: n må være lik eller større enn 3. Hver av trekantene er konveks. En geometrisk figur av denne typen, der alle toppunktene er plassert på samme sirkel, kalles innskrevet i en sirkel. En konveks polygon kalles omskrevet hvis alle sidene nær sirkelen berører den. To polygoner sies å være kongruente bare hvis de kan bringes sammen ved superposisjon. En plan polygon er et polygonalt plan (del av et plan) som er begrenset av denne geometriske figuren.

Regelmessige konvekse polygoner

Vanlige polygoner er geometriske figurer med like vinkler og sider. Inne i dem er det et punkt 0, som er plassert i samme avstand fra hvert av hjørnene. Det kalles midten av denne geometriske figuren. Segmentene som forbinder sentrum med toppunktene til denne geometriske figuren kalles apotemer, og de som forbinder punkt 0 med sidene er radier.

En vanlig firkant er en firkant. En vanlig trekant kalles likesidet. For slike figurer er det følgende regel: hver vinkel i en konveks polygon er lik 180° * (n-2)/ n,

hvor n er antall toppunkter til denne konvekse geometriske figuren.

Arealet til en vanlig polygon bestemmes av formelen:

hvor p er lik halvparten av summen av alle sider av en gitt polygon, og h er lik lengden på apotem.

Egenskaper til konvekse polygoner

Konvekse polygoner har visse egenskaper. Dermed er et segment som forbinder 2 punkter i en slik geometrisk figur nødvendigvis plassert i det. Bevis:

La oss anta at P er en gitt konveks polygon. Vi tar 2 vilkårlige punkter, for eksempel A, B, som tilhører P. I følge den eksisterende definisjonen av en konveks polygon er disse punktene plassert på den ene siden av linjen, som inneholder hvilken som helst side av P. Derfor er AB også har denne egenskapen og er inneholdt i P. En konveks polygon er alltid mulig å dele den inn i flere trekanter ved å bruke absolutt alle diagonalene som er tegnet fra en av dens toppunkter.

Vinkler av konvekse geometriske former

Vinklene til en konveks polygon er vinklene som dannes av sidene. Innvendige vinkler er plassert i det indre området av en gitt geometrisk figur. Vinkelen som dannes av sidene som møtes ved ett toppunkt kalles vinkelen til en konveks polygon. med indre vinkler av en gitt geometrisk figur kalles ekstern. Hver vinkel av en konveks polygon som ligger inne i den er lik:

hvor x er størrelsen på den ytre vinkelen. Denne enkle formelen gjelder for alle geometriske former av denne typen.

Generelt gjelder følgende regel for ytre vinkler: hver vinkel i en konveks polygon er lik forskjellen mellom 180° og størrelsen på den indre vinkelen. Den kan ha verdier fra -180° til 180°. Derfor, når den indre vinkelen er 120°, vil den ytre vinkelen være 60°.

Summen av vinkler av konvekse polygoner

Summen av de indre vinklene til en konveks polygon bestemmes av formelen:

hvor n er antall toppunkter i n-gonen.

Summen av vinklene til en konveks polygon beregnes ganske enkelt. Vurder enhver slik geometrisk figur. For å bestemme summen av vinkler inne i en konveks polygon, må du koble en av toppunktene til andre toppunkter. Som et resultat av denne handlingen oppnås (n-2) trekanter. Det er kjent at summen av vinklene til alle trekanter alltid er lik 180°. Siden tallet deres i en polygon er (n-2), er summen av de indre vinklene til en slik figur lik 180° x (n-2).

Summen av vinklene til en konveks polygon, nemlig alle to indre og tilstøtende ytre vinkler, for en gitt konveks geometrisk figur vil alltid være lik 180°. Basert på dette kan vi bestemme summen av alle vinklene:

Summen av innvendige vinkler er 180° * (n-2). Basert på dette bestemmes summen av alle ytre vinkler til en gitt figur av formelen:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Summen av de ytre vinklene til en konveks polygon vil alltid være 360° (uavhengig av antall sider).

Den ytre vinkelen til en konveks polygon er vanligvis representert av forskjellen mellom 180° og verdien av den indre vinkelen.

Andre egenskaper til en konveks polygon

I tillegg til de grunnleggende egenskapene til disse geometriske formene, har de også andre som oppstår når de manipuleres. Dermed kan hvilken som helst av polygonene deles inn i flere konvekse n-goner. For å gjøre dette må du fortsette hver av sidene og kutte denne geometriske figuren langs disse rette linjene. Det er også mulig å dele en hvilken som helst polygon i flere konvekse deler på en slik måte at toppunktene til hver brikke faller sammen med alle dens toppunkter. Fra en slik geometrisk figur kan du ganske enkelt lage trekanter ved å tegne alle diagonalene fra ett toppunkt. Dermed kan enhver polygon til slutt deles inn i et visst antall trekanter, noe som viser seg å være svært nyttig for å løse ulike problemer knyttet til slike geometriske figurer.

Omkretsen av en konveks polygon

De stiplede linjesegmentene, kalt sidene til en polygon, er oftest betegnet med følgende bokstaver: ab, bc, cd, de, ea. Dette er sidene av en geometrisk figur med toppunktene a, b, c, d, e. Summen av lengdene til alle sidene til denne konvekse polygonen kalles dens omkrets.

Sirkel av en polygon

Konvekse polygoner kan være innskrevet eller omskrevet. En sirkel som berører alle sider av denne geometriske figuren kalles innskrevet i den. En slik polygon kalles omskrevet. Sentrum av en sirkel som er innskrevet i en polygon er skjæringspunktet mellom halveringslinjene til alle vinkler innenfor en gitt geometrisk figur. Arealet til en slik polygon er lik:

der r er radiusen til den innskrevne sirkelen, og p er halvperimeteren til den gitte polygonen.

En sirkel som inneholder toppunktene til en polygon kalles omskrevet rundt den. I dette tilfellet kalles denne konvekse geometriske figuren innskrevet. Sentrum av sirkelen, som er beskrevet rundt en slik polygon, er skjæringspunktet for de såkalte perpendikulære halveringslinjene på alle sider.

Diagonaler av konvekse geometriske former

Diagonalene til en konveks polygon er segmenter som forbinder ikke-tilstøtende hjørner. Hver av dem ligger inne i denne geometriske figuren. Antall diagonaler til en slik n-gon bestemmes av formelen:

N = n (n - 3)/ 2.

Antall diagonaler til en konveks polygon spiller en viktig rolle i elementær geometri. Antall trekanter (K) som hver konveks polygon kan deles inn i, beregnes ved å bruke følgende formel:

Antall diagonaler til en konveks polygon avhenger alltid av antall hjørner.

Partisjonering av en konveks polygon

I noen tilfeller, for å løse geometriske problemer, er det nødvendig å dele en konveks polygon i flere trekanter med ikke-skjærende diagonaler. Dette problemet kan løses ved å utlede en bestemt formel.

Definisjon av problemet: la oss kalle korrigere en viss partisjon av en konveks n-gon i flere trekanter med diagonaler som bare krysser hjørnene til denne geometriske figuren.

Løsning: Anta at P1, P2, P3..., Pn er toppunktene til denne n-gonen. Tallet Xn er antallet på partisjonene. La oss nøye vurdere den resulterende diagonalen til den geometriske figuren Pi Pn. I noen av de vanlige partisjonene tilhører P1 Pn en viss trekant P1 Pi Pn, som har 1

La i = 2 være en gruppe vanlige partisjoner som alltid inneholder diagonalen P2 Pn. Antall partisjoner som er inkludert i det sammenfaller med antall partisjoner for (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Med andre ord er det lik Xn-1.

Hvis i = 3, vil denne andre gruppen av partisjoner alltid inneholde diagonalene P3 P1 og P3 Pn. I dette tilfellet vil antallet vanlige partisjoner i denne gruppen falle sammen med antall partisjoner til (n-2)-gon P3 P4... Pn. Med andre ord vil den være lik Xn-2.

La i = 4, så blant trekantene vil den riktige partisjonen helt sikkert inneholde trekanten P1 P4 Pn, som vil være ved siden av firkanten P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn. Antall vanlige partisjoner av en slik firkant er X4, og antall partisjoner av en (n-3)-gon er Xn-3. Basert på alt det ovennevnte kan vi si at det totale antallet vanlige partisjoner i denne gruppen er lik Xn-3 X4. Andre grupper hvor i = 4, 5, 6, 7... vil inneholde Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... vanlige partisjoner.

La i = n-2, da vil antallet korrekte partisjoner i denne gruppen falle sammen med antall partisjoner i gruppen som i=2 for (med andre ord lik Xn-1).

Siden X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., så er antallet av alle partisjoner av en konveks polygon lik:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Antall vanlige skillevegger som krysser én diagonal inni

Når man sjekker spesielle tilfeller, kan man komme til antakelsen om at antall diagonaler av konvekse n-goner er lik produktet av alle partisjoner av denne figuren inn i (n-3).

Bevis for denne antakelsen: forestill deg at P1n = Xn * (n-3), så kan enhver n-gon deles inn i (n-2)-trekanter. Dessuten kan en (n-3)-firkant dannes fra dem. Sammen med dette vil hver firkant ha en diagonal. Siden to diagonaler kan tegnes i denne konvekse geometriske figuren, betyr dette at ytterligere (n-3) diagonaler kan tegnes i alle (n-3)-firkanter. Basert på dette kan vi konkludere med at i enhver vanlig partisjon er det mulig å tegne (n-3)-diagonaler som oppfyller betingelsene for dette problemet.

Område med konvekse polygoner

Ofte, når du løser ulike problemer med elementær geometri, blir det nødvendig å bestemme arealet til en konveks polygon. Anta at (Xi. Yi), i = 1,2,3...n er en sekvens av koordinater for alle nabopunktene til en polygon som ikke har selvskjæringspunkter. I dette tilfellet beregnes området ved hjelp av følgende formel:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

hvor (X 1, Y 1) = (X n + 1, Y n + 1).

Bestemme konveksiteten til en polygon.

Kirus-Back-algoritmen antar tilstedeværelsen av en konveks polygon brukt som et vindu.

Men i praksis oppstår oppgaven med å kutte av en polygon veldig ofte, og informasjon om hvorvidt den er konveks eller ikke gis i utgangspunktet. I dette tilfellet, før du starter kutteprosedyren, er det nødvendig å bestemme hvilken polygon som er gitt - konveks eller ikke.

La oss gi noen definisjoner av konveksiteten til en polygon

En polygon anses som konveks hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

1) i en konveks polygon er alle toppunkter plassert på den ene siden av linjen som bærer en hvilken som helst kant (på innsiden i forhold til denne kanten);

2) alle indre vinkler av polygonen er mindre enn 180°;

3) alle diagonaler som forbinder toppunktene til en polygon ligger inne i denne polygonen;

4) alle hjørner av polygonet krysses i samme retning (fig. 3.3-1).

For å utvikle en analytisk representasjon av det siste konveksitetskriteriet bruker vi vektorproduktet.

Vektor kunstverk W to vektorer en Og b (Fig. 3.3-2 a) definert som:

A x ,a y ,a z og b x ,b y ,b z er projeksjoner på henholdsvis koordinataksene X ,Y ,Z til faktorvektorene en Og b,

- Jeg, j, k– enhetsvektorer langs koordinataksene X, Y, Z.

Ris.3.3 ‑ 1

Ris.3.3 ‑ 2

Hvis vi betrakter en todimensjonal representasjon av en polygon som dens representasjon i XY-koordinatplanet til det tredimensjonale koordinatsystemet X,Y,Z (fig. 3.3-2 b), så uttrykket for å danne vektorproduktet av vektorer U Og V, hvor vektorene U Og V er tilstøtende kanter som danner et hjørne av en polygon, kan skrives som en determinant:

Vektoren til kryssproduktet er vinkelrett på planet som faktorvektorene befinner seg i. Retningen til produktvektoren bestemmes av gimlet-regelen eller høyre skrueregel.

For tilfellet presentert i fig. 3.3-2 b ), vektor W, tilsvarende vektorproduktet til vektorer V, U, vil ha samme retningsevne som retningsevnen til Z-koordinataksen.

Tatt i betraktning at projeksjonene av faktorvektorene på Z-aksen i dette tilfellet er lik null, kan vektorproduktet representeres som:

(3.3-1)

Enhetsvektor k alltid positiv, derav tegnet til vektoren w vektorprodukt vil bare bli bestemt av tegnet til determinanten D i uttrykket ovenfor. Merk at basert på egenskapen til vektorproduktet, når du bytter ut faktorvektorene U Og V vektor tegn w vil endre seg til det motsatte.

Det følger at hvis som vektorer V Og U vurdere to tilstøtende kanter av en polygon, så kan rekkefølgen for å liste vektorene i vektorproduktet settes i samsvar med kryssingen av hjørnet av polygonet som vurderes eller kantene som danner denne vinkelen. Dette lar deg bruke følgende regel som et kriterium for å bestemme konveksiteten til en polygon:

hvis for alle kantepar av polygonen følgende betingelse er oppfylt:

Hvis tegnene til vektorproduktene for individuelle vinkler ikke sammenfaller, er polygonet ikke konveks.

Siden kantene til en polygon er spesifisert i form av koordinater til endepunktene deres, er det mer praktisk å bruke en determinant for å bestemme tegnet til vektorproduktet.

Et konveks sett med punkter på et plan.

Et sett med punkter på et plan eller i tredimensjonalt rom kalles konveks, hvis to punkter i dette settet kan kobles sammen med et linjestykke som ligger helt i dette settet.

Teorem 1. Skjæringspunktet mellom et endelig antall konvekse sett er et konveks sett.

Konsekvens. Skjæringspunktet mellom et endelig antall konvekse sett er et konveks sett.

Hjørnepunkter.

Grensepunktet til et konveks sett kalles kantete, hvis det er mulig å tegne et segment gjennom det, alle punkter som ikke tilhører det gitte settet.

Sett med forskjellige former kan ha et begrenset eller uendelig antall hjørnepunkter.

Konveks polygon.

Polygon kalt konveks, hvis den ligger på den ene siden av hver linje som går gjennom to av nabopunktene.

Teorem: Summen av vinklene til en konveks n-gon er 180˚ *(n-2)

6) Løse systemer med m lineære ulikheter med to variabler

Gitt et system med lineære ulikheter med to variabler

Tegnene på noen eller alle ulikheter kan være ≥.

La oss vurdere den første ulikheten i X1OX2-koordinatsystemet. La oss bygge en rett linje

som er grenselinjen.

Denne rette linjen deler planet i to halvplan 1 og 2 (fig. 19.4).

Halvplan 1 inneholder origo, halvplan 2 inneholder ikke origo.

For å bestemme hvilken side av grenselinjen et gitt halvplan er plassert på, må du ta et vilkårlig punkt på planet (fortrinnsvis origo) og erstatte koordinatene til dette punktet i ulikheten. Hvis ulikheten er sann, vender halvplanet mot dette punktet; hvis det ikke er sant, så i motsatt retning av punktet.

Retningen til halvplanet er vist i figurene med en pil.

Definisjon 15. Løsningen på hver ulikhet i systemet er et halvplan som inneholder grenselinjen og plassert på den ene siden av den.

Definisjon 16. Skjæringspunktet mellom halvplan, som hver er bestemt av den tilsvarende ulikheten til systemet, kalles løsningsdomenet til systemet (SO).

Definisjon 17. Løsningsområdet til et system som tilfredsstiller ikke-negativitetsbetingelsene (xj ≥ 0, j =) kalles området for ikke-negative, eller tillatte, løsninger (ADS).

Hvis systemet med ulikheter er konsistent, kan OR og ODR være et polyeder, et ubegrenset polyederområde eller et enkelt punkt.

Hvis systemet med ulikheter er inkonsekvent, er OR og ODR et tomt sett.

Eksempel 1. Finn OR og ODE til systemet av ulikheter og bestem koordinatene til hjørnepunktene til ODE

Løsning. La oss finne ELLER for den første ulikheten: x1 + 3x2 ≥ 3. La oss konstruere grenselinjen x1 + 3x2 – 3 = 0 (Fig. 19.5). La oss erstatte koordinatene til punktet (0,0) i ulikheten: 1∙0 + 3∙0 > 3; siden koordinatene til punktet (0,0) ikke tilfredsstiller det, så er løsningen på ulikhet (19.1) et halvplan som ikke inneholder punktet (0,0).

La oss på samme måte finne løsninger på de gjenværende ulikhetene i systemet. Vi får at OR og ODE til systemet av ulikheter er et konveks polyeder ABCD.

La oss finne hjørnepunktene til polyederet. Vi definerer punkt A som skjæringspunktet mellom linjer

Når vi løser systemet, får vi A(3/7, 6/7).

Vi finner punkt B som skjæringspunktet mellom linjer

Fra systemet får vi B(5/3, 10/3). Tilsvarende finner vi koordinatene til punktene C og D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Eksempel 2. Finn OR og ODE for systemet med ulikheter

Løsning. La oss konstruere rette linjer og bestemme løsninger på ulikheter (19.5)-(19.7). OR og ODR er ubegrensede polyedriske regioner henholdsvis ACFM og ABDEKM (fig. 19.6).

Eksempel 3. Finn OR og ODE for systemet med ulikheter

Løsning. La oss finne løsninger på ulikheter (19.8)-(19.10) (Fig. 19.7). OR representerer den ubegrensede polyedriske regionen ABC; ODR - punkt B.

Eksempel 4. Finn OP og ODP for systemet av ulikheter

Løsning. Ved å konstruere rette linjer vil vi finne løsninger på ulikhetene i systemet. OR og ODR er inkompatible (fig. 19.8).

ØVELSER

Finn OR og ODE for ulikhetssystemer

Teorem. Hvis xn ® a, så .

Bevis. Fra xn ® a følger det at . På samme tid:

De. , dvs. . Teoremet er bevist.

Teorem. Hvis xn ® a, så er sekvensen (xn) avgrenset.

Det skal bemerkes at det omvendte utsagnet ikke er sant, dvs. avgrensningen til en sekvens innebærer ikke dens konvergens.

For eksempel har sekvensen ingen grense

Utvidelse av funksjoner til potensserier.

Utvidelse av funksjoner til potensserier er av stor betydning for å løse ulike problemer med å studere funksjoner, differensiering, integrasjon, løse differensialligninger, beregne grenser, beregne omtrentlige verdier av en funksjon.

Totalt får vi:

La oss vurdere en måte å utvide en funksjon til en serie ved å bruke integrasjon.

Ved å bruke integrasjon kan man utvide til en serie en funksjon som serieutvidelsen av dens deriverte er kjent eller lett kan finne.

Finn differensialen til funksjonen og integrer den over området fra 0 til x.