Er det mulig å dele på null? Matematiker svarer. Hvorfor kan du ikke dele på null? Et illustrerende eksempel Ethvert tall multiplisert med 0 er lik

Svært ofte lurer mange på hvorfor det er umulig å bruke divisjon med null? I denne artikkelen vil vi gå i detalj om hvor denne regelen kom fra, samt hvilke handlinger som kan utføres med null.

I kontakt med

Null kan kalles et av de mest interessante tallene. Dette tallet har ingen betydning, det betyr tomhet i ordets sanneste betydning. Men hvis du setter null ved siden av et siffer, vil verdien av dette sifferet bli flere ganger større.

Nummeret er veldig mystisk i seg selv. Den ble brukt av det gamle mayafolket. For Mayaene betydde null «begynnelse», og nedtellingen av kalenderdager startet også fra null.

Et veldig interessant faktum er at tegnet på null og tegnet på usikkerhet var like for dem. Med dette ønsket Maya å vise at null er det samme identiske tegnet som usikkerhet. I Europa dukket betegnelsen null opp relativt nylig.

Dessuten kjenner mange til forbudet knyttet til null. Enhver person vil si det kan ikke deles på null. Dette sier lærere på skolen, og barn tar vanligvis ordet for det. Vanligvis er barn enten rett og slett ikke interessert i å vite dette, eller de vet hva som vil skje hvis de, etter å ha hørt et viktig forbud, umiddelbart spør "Hvorfor kan du ikke dele med null?". Men når man blir eldre våkner interessen, og man vil vite mer om årsakene til et slikt forbud. Det er imidlertid rimelige bevis.

Handlinger med null

Først må du bestemme hvilke handlinger som kan utføres med null. Eksistere flere typer aktiviteter:

Addisjon;
Multiplikasjon;
Subtraksjon;
Divisjon (null etter tall);
Eksponentiering.

Viktig! Hvis null legges til et hvilket som helst tall under addisjon, vil dette tallet forbli det samme og vil ikke endre sin numeriske verdi. Det samme skjer hvis du trekker null fra et hvilket som helst tall.

Med multiplikasjon og divisjon er ting litt annerledes. Hvis multipliser et hvilket som helst tall med null, da blir også produktet null.

Tenk på et eksempel:

La oss skrive dette som et tillegg:

Det er fem lagt til nuller totalt, så det viser seg at

La oss prøve å multiplisere en med null. Resultatet vil også være null.

Null kan også deles på et hvilket som helst annet tall som ikke er lik det. I dette tilfellet vil det vise seg, hvis verdi også vil være null. Den samme regelen gjelder for negative tall. Hvis du deler null på et negativt tall, får du null.

Du kan også heve et hvilket som helst tall til null effekt. I dette tilfellet får du 1. Det er viktig å huske at uttrykket "null til null makt" er absolutt meningsløst. Hvis du prøver å heve null til en hvilken som helst potens, får du null. Eksempel:

Vi bruker multiplikasjonsregelen, vi får 0.

Er det mulig å dele på null

Så her kommer vi til hovedspørsmålet. Er det mulig å dele på null som regel? Og hvorfor er det umulig å dele et tall med null, gitt at alle andre operasjoner med null eksisterer og gjelder? For å svare på dette spørsmålet, må du vende deg til høyere matematikk.

La oss starte med definisjonen av konseptet, hva er null? Skolelærere hevder at null er ingenting. Tomhet. Det vil si at når du sier at du har 0 penner, betyr det at du ikke har noen penner i det hele tatt.

I høyere matematikk er begrepet "null" bredere. Det betyr ikke tomt i det hele tatt. Her kalles null usikkerhet, for hvis du gjør litt research, viser det seg at ved å dele null på null, kan vi få et hvilket som helst annet tall som et resultat, som kanskje ikke nødvendigvis er null.

Vet du at de enkle regneoperasjonene du studerte på skolen ikke er så like innbyrdes? De mest grunnleggende trinnene er addisjon og multiplikasjon.

For matematikere eksisterer ikke begrepene "" og "subtraksjon". Anta: Hvis tre trekkes fra fem, vil to forbli. Slik ser subtraksjon ut. Imidlertid vil matematikere skrive det slik:

Dermed viser det seg at den ukjente forskjellen er et visst tall som må legges til 3 for å få 5. Det vil si at du ikke trenger å trekke fra noe, du trenger bare å finne et passende tall. Denne regelen gjelder tillegg.

Ting er litt annerledes med multiplikasjons- og divisjonsregler. Det er kjent at multiplikasjon med null fører til null resultat. For eksempel, hvis 3:0=x, så hvis du snur posten, får du 3*x=0. Og tallet som multipliseres med 0 vil gi null i produktet. Det viser seg at et tall som vil gi en annen verdi enn null i produktet med null ikke eksisterer. Dette betyr at deling med null er meningsløst, det vil si at det passer vår regel.

Men hva skjer hvis du prøver å dele null av seg selv? La oss ta x som et ubestemt tall. Det viser seg at ligningen er 0 * x \u003d 0. Det kan løses.

Hvis vi prøver å ta null i stedet for x, får vi 0:0=0. Det virker logisk? Men hvis vi prøver å ta et hvilket som helst annet tall i stedet for x, for eksempel 1, så ender vi opp med 0:0=1. Den samme situasjonen vil være hvis du tar et hvilket som helst annet nummer og plugg den inn i ligningen.

I dette tilfellet viser det seg at vi kan ta et hvilket som helst annet tall som en faktor. Resultatet vil være et uendelig antall forskjellige tall. Noen ganger er likevel divisjon med 0 fornuftig i høyere matematikk, men da er det vanligvis en viss betingelse som gjør at vi fortsatt kan velge ett passende tall. Denne handlingen kalles "usikkerhetsavsløring". I vanlig aritmetikk vil divisjon med null igjen miste sin betydning, siden vi ikke vil kunne velge ett tall fra settet.

Viktig! Null kan ikke deles på null.

Null og uendelig

Uendelig er veldig vanlig i høyere matematikk. Siden det rett og slett ikke er viktig for skolebarn å vite at det fortsatt er matematiske operasjoner med uendelighet, kan ikke lærere forklare barna ordentlig hvorfor det er umulig å dele på null.

Studentene begynner å lære de grunnleggende matematiske hemmelighetene først i det første året av instituttet. Høyere matematikk gir et stort sett med problemer som ikke har noen løsning. De mest kjente problemene er problemene med uendelighet. De kan løses med matematisk analyse.

Du kan også søke på uendelig elementære matematiske operasjoner: addisjon, multiplikasjon med et tall. Subtraksjon og divisjon er også ofte brukt, men til slutt kommer de likevel ned til to enkle operasjoner.

Men hva vil hvis du prøver:

Multipliser uendelig med null. I teorien, hvis vi prøver å multiplisere et hvilket som helst tall med null, vil vi få null. Men uendelighet er et ubestemt sett med tall. Siden vi ikke kan velge ett tall fra dette settet, har uttrykket ∞*0 ingen løsning og er absolutt meningsløst.
Null delt på uendelig. Dette er samme historie som ovenfor. Vi kan ikke velge ett tall, noe som betyr at vi ikke vet hva vi skal dele på. Uttrykket gir ikke mening.

Viktig! Uendelighet er litt annerledes enn usikkerhet! Uendelighet er en type usikkerhet.

La oss nå prøve å dele uendelighet med null. Det ser ut til at det burde være usikkerhet. Men hvis vi prøver å erstatte divisjon med multiplikasjon, får vi et veldig sikkert svar.

For eksempel: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Det blir slik matematisk paradoks.

Hvorfor du ikke kan dele på null

Tankeeksperiment, prøv å dele på null

Konklusjon

Så nå vet vi at null er gjenstand for nesten alle operasjoner som utføres med, bortsett fra en enkelt. Du kan ikke dele på null bare fordi resultatet er usikkerhet. Vi lærte også hvordan vi opererer på null og uendelig. Resultatet av slike handlinger vil være usikkerhet.

Tallet 0 kan representeres som en slags grense som skiller verden av reelle tall fra imaginære eller negative. På grunn av den tvetydige posisjonen, følger mange operasjoner med denne numeriske verdien ikke matematisk logikk. Manglende evne til å dele med null er et godt eksempel på dette. Og tillatte aritmetiske operasjoner med null kan utføres ved å bruke generelt aksepterte definisjoner.

Nulls historie

Null er referansepunktet i alle standard tallsystemer. Europeere begynte å bruke dette tallet relativt nylig, men vismennene i det gamle India brukte null i tusen år før det tomme tallet regelmessig ble brukt av europeiske matematikere. Allerede før indianerne var null en obligatorisk verdi i Mayas tallsystem. Dette amerikanske folket brukte duodesimalsystemet, og de begynte den første dagen i hver måned med en null. Interessant nok, blant Mayaene, falt tegnet for "null" fullstendig sammen med tegnet for "uendelig". Dermed konkluderte den gamle Mayaen at disse mengdene var identiske og ukjente.

Matematikkoperasjoner med null

Standard matematiske operasjoner med null kan reduseres til noen få regler.

Addisjon: hvis du legger til null til et vilkårlig tall, vil det ikke endre verdien (0+x=x).

Subtraksjon: når du trekker null fra et hvilket som helst tall, forblir verdien av det subtraherte uendret (x-0=x).

Multiplikasjon: et hvilket som helst tall multiplisert med 0 gir 0 i produktet (a*0=0).

Divisjon: Null kan deles på et hvilket som helst tall som ikke er null. I dette tilfellet vil verdien av en slik brøk være 0. Og deling med null er forbudt.

Eksponentiering. Denne handlingen kan utføres med et hvilket som helst tall. Et vilkårlig tall hevet til null vil gi 1 (x 0 =1).

Null til enhver potens er lik 0 (0 a \u003d 0).

I dette tilfellet oppstår det umiddelbart en motsetning: uttrykket 0 0 gir ikke mening.

Paradokser i matematikk

At deling med null er umulig, vet mange fra skolen. Men av en eller annen grunn er det ikke mulig å forklare årsaken til et slikt forbud. Faktisk, hvorfor eksisterer ikke divisjon-for-null-formelen, men andre handlinger med dette tallet er ganske rimelige og mulige? Svaret på dette spørsmålet er gitt av matematikere.

Saken er den at de vanlige regneoperasjonene som skoleelever studerer på barnetrinnet faktisk langt fra er så like som vi tror. Alle enkle operasjoner med tall kan reduseres til to: addisjon og multiplikasjon. Disse operasjonene er essensen av selve konseptet med et tall, og resten av operasjonene er basert på bruken av disse to.

Addisjon og multiplikasjon

La oss ta et standard subtraksjonseksempel: 10-2=8. På skolen betraktes det ganske enkelt: Hvis to blir tatt bort fra ti gjenstander, gjenstår åtte. Men matematikere ser ganske annerledes på denne operasjonen. Tross alt er det ingen operasjon som subtraksjon for dem. Dette eksemplet kan skrives på en annen måte: x+2=10. For matematikere er den ukjente forskjellen ganske enkelt tallet som må legges til to for å få åtte. Og ingen subtraksjon er nødvendig her, du trenger bare å finne en passende tallverdi.

Multiplikasjon og divisjon behandles på samme måte. I eksemplet 12:4=3 kan det forstås at vi snakker om deling av åtte gjenstander i to like hauger. Men i virkeligheten er dette bare en invertert formel for å skrive 3x4 \u003d 12. Slike eksempler for divisjon kan gis i det uendelige.

Eksempler for å dele på 0

Det er her det blir litt tydelig hvorfor det er umulig å dele på null. Multiplikasjon og divisjon med null har sine egne regler. Alle eksempler per divisjon av denne mengden kan formuleres som 6:0=x. Men dette er et invertert uttrykk for uttrykket 6 * x = 0. Men, som du vet, gir ethvert tall multiplisert med 0 kun 0 i produktet. Denne egenskapen er iboende i selve konseptet med en nullverdi.

Det viser seg at et slikt tall, som, når det multipliseres med 0, gir noen konkret verdi, ikke eksisterer, det vil si at dette problemet ikke har noen løsning. Man skal ikke være redd for et slikt svar, det er et naturlig svar på problemer av denne typen. Bare det å skrive 6:0 gir ingen mening, og det kan ikke forklare noe. Kort fortalt kan dette uttrykket forklares med det udødelige «ingen divisjon med null».

Er det en 0:0 operasjon? Faktisk, hvis operasjonen med å multiplisere med 0 er lovlig, kan null deles på null? Tross alt er en ligning av formen 0x5=0 ganske lovlig. I stedet for tallet 5 kan du sette 0, produktet vil ikke endre seg fra dette.

Faktisk, 0x0=0. Men du kan fortsatt ikke dele på 0. Som nevnt er divisjon bare det motsatte av multiplikasjon. Derfor, hvis du i eksemplet 0x5=0 må bestemme den andre faktoren, får vi 0x0=5. Eller 10. Eller uendelig. Å dele uendelighet med null – hvordan liker du det?

Men hvis noe tall passer inn i uttrykket, så gir det ikke mening, vi kan ikke velge ett fra et uendelig sett med tall. Og i så fall betyr det at uttrykket 0:0 ikke gir mening. Det viser seg at selv null ikke kan deles på null.

høyere matematikk

Divisjon med null er en hodepine for matematikk på videregående. Matematisk analyse studert ved tekniske universiteter utvider litt begrepet problemer som ikke har noen løsning. For eksempel, til det allerede kjente uttrykket 0:0, legges det til nye som ikke har noen løsning i skolematematikkkurs:

uendelig delt på uendelig: ?:?;
uendelig minus uendelig: ???;
enhet hevet til en uendelig potens: 1? ;
uendelig multiplisert med 0: ?*0;
noen andre.

Det er umulig å løse slike uttrykk med elementære metoder. Men høyere matematikk, takket være tilleggsmuligheter for en rekke lignende eksempler, gir endelige løsninger. Dette er spesielt tydelig i betraktningen av problemer fra teorien om grenser.

Usikkerhetsavsløring

I grenseteorien er verdien 0 erstattet med en betinget infinitesimal variabel. Og uttrykk der divisjon med null oppnås når du erstatter ønsket verdi, konverteres. Nedenfor er et standardeksempel på grenseutvidelse ved bruk av de vanlige algebraiske transformasjonene:

Som du kan se i eksemplet, bringer en enkel reduksjon av en brøk verdien til et helt rasjonelt svar.

Når man vurderer grensene for trigonometriske funksjoner, har uttrykkene deres en tendens til å bli redusert til den første bemerkelsesverdige grensen. Når man vurderer grensene der nevneren går til 0 når grensen erstattes, brukes den andre bemerkelsesverdige grensen.

L'Hopital-metoden

I noen tilfeller kan grensene for uttrykk erstattes med grensen for deres derivater. Guillaume Lopital er en fransk matematiker, grunnleggeren av den franske skolen for matematisk analyse. Han beviste at grensene for uttrykk er lik grensene for derivatene til disse uttrykkene. I matematisk notasjon er regelen hans som følger.

For tiden er L'Hopital-metoden vellykket brukt for å løse usikkerhetsfaktorer av typen 0:0 eller ?:?.

Hvordan dele og multiplisere med 0,1; 0,01; 0,001 osv.?

Skriv reglene for divisjon og multiplikasjon.

For å multiplisere et tall med 0,1 trenger du bare å flytte kommaet.

Det var for eksempel 56 , ble til 5,6 .

For å dele med samme tall, må du flytte kommaet i motsatt retning:

Det var for eksempel 56 , ble til 560 .

Med tallet 0.01 er alt det samme, men du må overføre det til 2 tegn, og ikke til ett.

Generelt, hvor mange nuller, så mye og overføring.

For eksempel er det et nummer 123456789.

Du må gange det med 0,000000001

Det er ni nuller i tallet 0,000000001 (vi teller også nullen til venstre for desimaltegnet), noe som betyr at vi forskyver tallet 123456789 med 9 sifre:

Det var 123456789 ble 0,123456789.

For ikke å multiplisere, men å dele med samme tall, skifter vi til den andre siden:

Det var 123456789 ble 123456789000000000.

For å skifte et heltall som dette, tilskriver vi det ganske enkelt en null. Og i brøken flytter vi kommaet.

Å dele et tall med 0,1 tilsvarer å multiplisere det tallet med 10

Å dele et tall med 0,01 tilsvarer å multiplisere det tallet med 100

Å dele på 0,001 er å multiplisere med 1000.

For å gjøre det lettere å huske, leser vi tallet som vi må dele fra høyre til venstre med, ignorerer kommaet og multipliserer med det resulterende tallet.

Eksempel: 50: 0,0001. Det er som å gange 50 med (les fra høyre til venstre uten komma - 10000) 10000. Det blir 500000.

Det samme med multiplikasjon, bare omvendt:

400 x 0,01 er det samme som å dele 400 med (les fra høyre til venstre uten komma - 100) 100: 400: 100 = 4.

Den som synes det er mer praktisk å overføre komma til høyre ved divisjon og til venstre ved multiplikasjon ved multiplikasjon og deling med slike tall, kan gjøre det.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Desimaldeling

JEG. For å dele et tall med en desimal, må du flytte kommaene i dividenden og divisoren like mange sifre til høyre som de er etter desimaltegnet i divisoren, og deretter dele med et naturlig tall.

Primery.

Utfør divisjon: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Beslutning.

Eksempel 1) 16,38: 0,7.

I skilleveggen 0,7 det er ett siffer etter desimaltegnet, derfor vil vi flytte kommaene i utbyttet og divisor ett siffer til høyre.

Da må vi dele 163,8 på 7 .

Utfør divisjon i henhold til regelen om å dele en desimalbrøk med et naturlig tall.

Vi deler som vi deler naturlige tall. Hvordan ta ned nummeret 8 - det første sifferet etter desimaltegnet (dvs. sifferet på tiendeplassen), så umiddelbart sette et privat komma og fortsett å dele.

Svar: 23.4.

Eksempel 2) 15,6: 0,15.

Flytt komma i utbytte ( 15,6 ) og divisor ( 0,15 ) to sifre til høyre, siden i divisor 0,15 det er to sifre etter desimaltegn.

Husk at så mange nuller du vil kan tilordnes til desimalbrøken til høyre, og desimalbrøken vil ikke endre seg fra dette.

15,6:0,15=1560:15.

Utfør deling av naturlige tall.

Svar: 104.

Eksempel 3) 3,114: 4,5.

Flytt kommaene i utbytte og divisor ett siffer til høyre og del 31,14 på 45 i henhold til regelen om å dele en desimalbrøk med et naturlig tall.

3,114:4,5=31,14:45.

Privat sett et komma så snart vi river figuren 1 på tiendeplass. Så fortsetter vi delingen.

For å fullføre divisjonen måtte vi tildele null til nummeret 9 - forskjell på tall 414 og 405 . (vi vet at nuller kan tilordnes til desimalbrøken til høyre)

Svar: 0,692.

Eksempel 4) 53,84: 0,1.

Vi overfører kommaer i utbyttet og deleren ved 1 nummer til høyre.

Vi får: 538,4:1=538,4.

La oss analysere likheten: 53,84:0,1=538,4. Vi legger merke til kommaet i utbyttet i dette eksemplet og kommaet i den resulterende kvotienten. Merk at kommaet i utbyttet er flyttet til 1 siffer til høyre, som om vi multipliserte 53,84 på 10. (Se videoen "Multipisere en desimal med 10, 100, 1000, osv.") Derav regelen for å dele en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 etc.

II. For å dele en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv., må du flytte kommaet til høyre med 1, 2, 3 osv. sifre. (Å dele en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv. er det samme som å multiplisere den desimalen med 10, 100, 1000 osv.)

Eksempler.

Utfør divisjon: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Beslutning.

Eksempel 1) 617,35: 0,1.

I følge regelen II inndeling i 0,1 tilsvarer å multiplisere med 10 , og flytt kommaet i utbyttet 1 siffer til høyre:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Eksempel 2) 0,235: 0,01.

Divisjon etter 0,01 tilsvarer å multiplisere med 100 , som betyr at vi overfører kommaet i utbyttet på 2 sifre til høyre:

2) 0,235:0,01=23,5.

Eksempel 3) 2,7845: 0,001.

Som inndeling i 0,001 tilsvarer å multiplisere med 1000 , og flytt deretter kommaet 3 sifre til høyre:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Eksempel 4) 26,397: 0,0001.

Del desimal med 0,0001 er det samme som å multiplisere det med 10000 (flytt et komma med 4 sifre Ikke sant). Vi får:

www.mathematics-repetition.com

Multiplikasjon og divisjon med tall som 10, 100, 0,1, 0,01

Denne videoopplæringen er tilgjengelig med abonnement

Har du allerede et abonnement? Å komme inn

I denne leksjonen skal vi se på hvordan du utfører multiplikasjon og divisjon med tall som 10, 100, 0,1, 0,001. Ulike eksempler på dette temaet vil også bli løst.

Multiplisere tall med 10, 100

Trening. Hvordan multiplisere tallet 25,78 med 10?

Desimalnotasjonen for et gitt tall er en forkortet notasjon for summen. Du må beskrive det mer detaljert:

Dermed må du multiplisere beløpet. For å gjøre dette kan du ganske enkelt multiplisere hvert ledd:

Det viser seg at.

Vi kan konkludere med at det er veldig enkelt å multiplisere en desimal med 10: du må flytte kommaet til høyre med én posisjon.

Trening. Multipliser 25.486 med 100.

Å multiplisere med 100 er det samme som å multiplisere to ganger med 10. Du må med andre ord flytte kommaet til høyre to ganger:

Divisjon av tall med 10, 100

Trening. Del 25,78 med 10.

Som i forrige tilfelle, er det nødvendig å representere tallet 25,78 som en sum:

Siden du må dele summen, tilsvarer dette å dele hvert ledd:

Det viser seg at for å dele med 10, må du flytte kommaet til venstre med en posisjon. For eksempel:

Trening. Del 124.478 med 100.

Å dele på 100 er det samme som å dele på 10 to ganger, så kommaet flyttes til venstre med 2 plasser:

Regel for multiplikasjon og divisjon med 10, 100, 1000

Hvis en desimalbrøk må multipliseres med 10, 100, 1000, og så videre, må du flytte kommaet til høyre så mange posisjoner som det er null i multiplikatoren.

Og omvendt, hvis desimalbrøken må deles på 10, 100, 1000, og så videre, må du flytte kommaet til venstre så mange posisjoner som det er null i multiplikatoren.

Eksempler når du trenger å flytte et komma, men det er ikke flere sifre

Å multiplisere med 100 betyr å flytte desimaltegnet til høyre med to plasser.

Etter skiftet kan du oppdage at det ikke er flere sifre etter desimaltegn, noe som betyr at brøkdelen mangler. Da trengs ikke kommaet, tallet viste seg å være et heltall.

Du må flytte 4 posisjoner til høyre. Men det er bare to sifre etter desimaltegn. Det er verdt å huske at det er en tilsvarende notasjon for brøken 56,14.

Nå er det enkelt å multiplisere med 10 000:

Hvis det ikke er veldig klart hvorfor du kan legge til to nuller til brøken i forrige eksempel, så kan tilleggsvideoen på lenken hjelpe med dette.

Tilsvarende desimaloppføringer

Oppføring 52 betyr følgende:

Setter vi 0 foran, får vi rekord 052. Disse postene er likeverdige.

Er det mulig å sette to nuller foran? Ja, disse oppføringene er likeverdige.

La oss nå se på desimalen:

Hvis vi tildeler null, får vi:

Disse oppføringene er likeverdige. På samme måte kan du tilordne flere nuller.

Dermed kan et hvilket som helst tall tildeles flere nuller etter brøkdelen og flere nuller før heltallsdelen. Dette vil være tilsvarende oppføringer med samme nummer.

Siden deling med 100 forekommer, er det nødvendig å flytte komma 2-posisjonene til venstre. Det er ingen sifre til venstre for desimaltegnet. Hele delen mangler. Denne notasjonen brukes ofte av programmerere. I matematikk, hvis det ikke er noen heltallsdel, sett null i stedet for det.

Du må skifte til venstre med tre posisjoner, men det er bare to posisjoner. Hvis du skriver flere nuller før tallet, vil dette være en ekvivalent notasjon.

Det vil si at når du skifter til venstre, hvis tallene er over, må du fylle dem med nuller.

I dette tilfellet er det verdt å huske at et komma alltid kommer etter heltallsdelen. Deretter:

Multiplikasjon og divisjon med 0,1, 0,01, 0,001

Multiplikasjon og divisjon med tallene 10, 100, 1000 er en veldig enkel prosedyre. Det samme gjelder tallene 0,1, 0,01, 0,001.

Eksempel. Multipliser 25,34 med 0,1.

La oss skrive desimalbrøken 0,1 i form av en alminnelig. Men å multiplisere med er det samme som å dele på 10. Derfor må du flytte komma 1-posisjonen til venstre:

På samme måte er å multiplisere med 0,01 å dele på 100:

Eksempel. 5,235 delt på 0,1.

Løsningen til dette eksemplet er konstruert på lignende måte: 0,1 er uttrykt som en vanlig brøk, og å dele med er det samme som å multiplisere med 10:

Det vil si at for å dele på 0,1, må du flytte kommaet til høyre med én posisjon, som tilsvarer å multiplisere med 10.

Regel for å multiplisere og dele på 0,1, 0,01, 0,001

Å multiplisere med 10 og dele på 0,1 er det samme. Kommaet må flyttes til høyre med 1 posisjon.

Å dele på 10 og gange med 0,1 er det samme. Kommaet må flyttes til høyre med 1 posisjon:

Løsning av eksempler

Konklusjon

I denne leksjonen ble reglene for å dele og multiplisere med 10, 100 og 1000. I tillegg ble reglene for å multiplisere og dividere med 0,1, 0,01, 0,001 vurdert.

Eksempler på anvendelse av disse reglene ble vurdert og avgjort.

Bibliografi

1. Vilenkin N. Ya. Matematikk: lærebok. for 5 celler. generell konst. 17. utg. – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Shevkin A.V. Ordoppgaver i matematikk: 5–6. – M.: Ileksa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. All skolematematikk i selvstendig og kontroll fungerer. Matematikk 5–6. – M.: Ileksa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V. Dannelse av beregningsevner i matematikktimer. 5.-9. klassetrinn. – M.: Ileksa, 2011 .

1. Internettportal "Festival for pedagogiske ideer" (Kilde)

2. Internett-portal "Matematika-na.ru" (Kilde)

3. Internett-portal "School.xvatit.com" (Kilde)

Hjemmelekser

3. Sammenlign uttrykksverdier:

Handlinger med null

I matematikk, tallet null inntar en spesiell plass. Faktum er at det faktisk betyr "ingenting", "tomhet", men dets betydning er veldig vanskelig å overvurdere. For å gjøre dette er det nok å huske i det minste hva med nullmerke og nedtellingen av koordinatene til punktposisjonen i et hvilket som helst koordinatsystem begynner.

Null mye brukt i desimaler for å bestemme verdiene til "blanke" sifre, både før og etter desimaltegn. I tillegg er en av de grunnleggende aritmetikkens regler knyttet til den, som sier at på null kan ikke deles. Hans logikk stammer faktisk fra selve essensen av dette tallet: det er faktisk umulig å forestille seg at en annen verdi fra den (og den selv også) ble delt inn i "ingenting".

FRA null alle aritmetiske operasjoner utføres, og heltall, ordinære og desimalbrøker kan brukes som "partnere", og alle kan ha både positive og negative verdier. Vi gir eksempler på implementeringen og noen forklaringer på dem.

Når du legger til null for et eller annet tall (både helt og brøk, både positivt og negativt), forblir verdien helt uendret.

tjuefire pluss null tilsvarer tjuefire.

Sytten komma tre åttende pluss null tilsvarer sytten komma tre åttedeler.

Former for selvangivelse Vi gjør deg oppmerksom på selvangivelsesskjemaer for alle typer skatter og avgifter: 1. Inntektsskatt. OBS, fra 10.02.2014 innsendes skattemeldingen i henhold til nye prøveerklæringer godkjent ved pålegg fra Skattedepartementet nr. 872 datert 30.12.2013.1. 1. Selvangivelse […]
Kvadrere summen og kvadrere differansereglene Formål: Å utlede formler for å kvadrere summen og differansen av uttrykk. Forventede resultater: å lære å bruke formlene til kvadratet av summen og kvadratet av differansen. Type leksjon: leksjon med problempresentasjon. I. Presentasjon av emnet og formålet med leksjonen II. Arbeid med emnet for leksjonen Når du multipliserer […]
Hva er forskjellen mellom privatisering av en leilighet med mindreårige barn og privatisering uten barn? Funksjoner ved deres deltakelse, dokumenter Eventuelle eiendomstransaksjoner krever nøye oppmerksomhet fra deltakerne. Spesielt hvis du planlegger å privatisere en leilighet med mindre barn. For at den skal bli anerkjent som gyldig, og […]
Størrelsen på den statlige avgiften for et gammelt internasjonalt pass for et barn under 14 år og hvor det skal betales. Klage til offentlige etater for å motta tjenester er alltid ledsaget av betaling av en statlig avgift. For å søke om utenlandsk pass må du også betale en føderal avgift. Hvor mye er størrelsen […]
Hvordan fylle ut et søknadsskjema for å erstatte pass ved 45 russiske pass må erstattes når aldersmerket er nådd - 20 eller 45 år. For å motta en offentlig tjeneste må du sende inn en søknad i det foreskrevne skjemaet, legge ved nødvendige dokumenter og betale […]
Hvordan og hvor å gi en donasjon for en andel i en leilighet Mange borgere står overfor en slik juridisk prosedyre som å donere fast eiendom som er i delt eierskap. Det er ganske mye informasjon om hvordan man gir en donasjon for en andel i en leilighet riktig, og det er ikke alltid pålitelig. Før start, […]

I denne leksjonen skal vi se på hvordan du utfører multiplikasjon og divisjon med tall som 10, 100, 0,1, 0,001. Ulike eksempler på dette temaet vil også bli løst.

Trening. Hvordan multiplisere tallet 25,78 med 10?

Desimalnotasjonen for et gitt tall er en forkortet notasjon for summen. Du må beskrive det mer detaljert:

Dermed må du multiplisere beløpet. For å gjøre dette kan du ganske enkelt multiplisere hvert ledd:

Det viser seg at.

Vi kan konkludere med at det er veldig enkelt å multiplisere en desimal med 10: du må flytte kommaet til høyre med én posisjon.

Trening. Multipliser 25.486 med 100.

Å multiplisere med 100 er det samme som å multiplisere to ganger med 10. Du må med andre ord flytte kommaet til høyre to ganger:

Trening. Del 25,78 med 10.

Som i forrige tilfelle, er det nødvendig å representere tallet 25,78 som en sum:

Siden du må dele summen, tilsvarer dette å dele hvert ledd:

Det viser seg at for å dele med 10, må du flytte kommaet til venstre med en posisjon. For eksempel:

Trening. Del 124.478 med 100.

Å dele på 100 er det samme som å dele på 10 to ganger, så kommaet flyttes til venstre med 2 plasser:

Hvis en desimalbrøk må multipliseres med 10, 100, 1000, og så videre, må du flytte kommaet til høyre så mange posisjoner som det er null i multiplikatoren.

Og omvendt, hvis desimalbrøken må deles på 10, 100, 1000, og så videre, må du flytte kommaet til venstre så mange posisjoner som det er null i multiplikatoren.

Eksempel 1

Å multiplisere med 100 betyr å flytte desimaltegnet til høyre med to plasser.

Etter skiftet kan du oppdage at det ikke er flere sifre etter desimaltegn, noe som betyr at brøkdelen mangler. Da trengs ikke kommaet, tallet viste seg å være et heltall.

Eksempel 2

Du må flytte 4 posisjoner til høyre. Men det er bare to sifre etter desimaltegn. Det er verdt å huske at det er en tilsvarende notasjon for brøken 56,14.

Nå er det enkelt å multiplisere med 10 000:

Hvis det ikke er veldig klart hvorfor du kan legge til to nuller til brøken i forrige eksempel, så kan tilleggsvideoen på lenken hjelpe med dette.

Tilsvarende desimaloppføringer

Oppføring 52 betyr følgende:

Setter vi 0 foran, får vi rekord 052. Disse postene er likeverdige.

Er det mulig å sette to nuller foran? Ja, disse oppføringene er likeverdige.

La oss nå se på desimalen:

Hvis vi tildeler null, får vi:

Disse oppføringene er likeverdige. På samme måte kan du tilordne flere nuller.

Dermed kan et hvilket som helst tall tildeles flere nuller etter brøkdelen og flere nuller før heltallsdelen. Dette vil være tilsvarende oppføringer med samme nummer.

Eksempel 3

Eksempel 4

Du må skifte til venstre med tre posisjoner, men det er bare to posisjoner. Hvis du skriver flere nuller før tallet, vil dette være en ekvivalent notasjon.

Det vil si at når du skifter til venstre, hvis tallene er over, må du fylle dem med nuller.

Eksempel 5

I dette tilfellet er det verdt å huske at et komma alltid kommer etter heltallsdelen. Deretter:

Multiplikasjon og divisjon med tallene 10, 100, 1000 er en veldig enkel prosedyre. Det samme gjelder tallene 0,1, 0,01, 0,001.

Eksempel. Multipliser 25,34 med 0,1.

La oss skrive desimalbrøken 0,1 i form av en alminnelig. Men å multiplisere med er det samme som å dele på 10. Derfor må du flytte komma 1-posisjonen til venstre:

På samme måte er å multiplisere med 0,01 å dele på 100:

Eksempel. 5,235 delt på 0,1.

Løsningen til dette eksemplet er konstruert på lignende måte: 0,1 er uttrykt som en vanlig brøk, og å dele med er det samme som å multiplisere med 10:

Det vil si at for å dele på 0,1, må du flytte kommaet til høyre med én posisjon, som tilsvarer å multiplisere med 10.

Å multiplisere med 10 og dele på 0,1 er det samme. Kommaet må flyttes til høyre med 1 posisjon.

Å dele på 10 og gange med 0,1 er det samme. Kommaet må flyttes til høyre med 1 posisjon:

Divisjon med null i matematikk, en divisjon der divisor er null. En slik deling kan formelt skrives som ⁄ 0, hvor er utbyttet.

I vanlig aritmetikk (med reelle tall) gir ikke dette uttrykket mening, fordi:

ved ≠ 0 er det ikke noe tall som, multiplisert med 0, gir, derfor kan ingen tall tas som en kvotient ⁄ 0;
ved = 0 er divisjon med null også udefinert, siden ethvert tall, multiplisert med 0, gir 0 og kan tas som en kvotient på 0 ⁄ 0.

Historisk sett er en av de første referansene til den matematiske umuligheten av å tildele verdien ⁄ 0 i George Berkeleys kritikk av infinitesimalregning.

Logiske feil

Siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med null, får vi alltid null som et resultat, når vi deler begge deler av uttrykket × 0 = × 0, som er sant uavhengig av verdien av og med 0, får vi uttrykket = , som er feil i tilfelle av vilkårlig gitte variabler. Siden null kan gis implisitt, men i form av et ganske komplekst matematisk uttrykk, for eksempel i form av forskjellen mellom to verdier redusert til hverandre ved algebraiske transformasjoner, kan en slik inndeling være en ganske uopplagt feil. Den umerkelige innføringen av en slik inndeling i bevisprosessen for å vise identiteten til åpenbart forskjellige størrelser, og dermed bevise enhver absurd påstand, er en av variantene av matematisk sofisme.

I informatikk

I programmering, avhengig av programmeringsspråk, datatype og verdien av utbyttet, kan et forsøk på å dele med null føre til ulike konsekvenser. Konsekvensene av divisjon med null i heltall og reell aritmetikk er fundamentalt forskjellige:

Forsøk heltall divisjon med null er alltid en kritisk feil som gjør det umulig å fortsette å kjøre programmet. Det fører enten til å kaste et unntak (som programmet kan håndtere selv, og dermed unngå en nødstopp), eller å umiddelbart stoppe programmet med en fatal feilmelding og eventuelt innholdet i anropsstakken. I noen programmeringsspråk, for eksempel Go, anses heltallsdivisjon med en nullkonstant som en syntaksfeil og får programmet til å avbryte kompileringen.
PÅ ekte aritmetiske konsekvenser kan være forskjellige på forskjellige språk:

kaste et unntak eller stoppe programmet, som med heltallsdivisjon;
oppnå en spesiell ikke-numerisk verdi som et resultat av operasjonen. I dette tilfellet blir ikke beregningene avbrutt, og resultatet kan deretter tolkes av selve programmet eller av brukeren som en meningsfull verdi eller som bevis på feilaktige beregninger. Prinsippet er mye brukt, ifølge at når du deler formen ⁄ 0, hvor ≠ 0 er et flyttall, er resultatet lik positiv eller negativ (avhengig av fortegnet på utbyttet) uendelig - eller, og når = 0, er resultatet en spesiell verdi NaN (forkortet fra engelsk ikke et tall - "ikke et tall"). Denne tilnærmingen er tatt i bruk i IEEE 754-standarden, som støttes av mange moderne programmeringsspråk.

Tilfeldig deling med null i et dataprogram kan noen ganger forårsake kostbare eller farlige feil i utstyret som styres av programmet. For eksempel, 21. september 1997, stengte en nulldeling i det datastyrte kontrollsystemet til den amerikanske marinekrysseren USS Yorktown (CG-48) alt elektronisk utstyr i systemet, noe som førte til at skipets kraftverk sluttet å fungere.

se også

Notater

Funksjon = 1 ⁄ . Når har en tendens til null fra høyre, har en tendens til uendelig; når har en tendens til null fra venstre, har en tendens til minus uendelig

Hvis du deler et tall med null på en vanlig kalkulator, vil det gi deg bokstaven E eller ordet Feil, det vil si "feil".

Datamaskinkalkulatoren i et lignende tilfelle skriver (i Windows XP): "Nulldeling er forbudt."

Alt samsvarer med regelen kjent fra skolen om at man ikke kan dele på null.

La oss se hvorfor.

Divisjon er den matematiske operasjonen som er inversen til multiplikasjon. Divisjon er definert gjennom multiplikasjon.

Del et tall en(dividende, for eksempel 8) med et tall b(divisor, for eksempel tallet 2) - betyr å finne et slikt tall x(kvotient), når multiplisert med en divisor b det viser seg delelig en(4 2 = 8), dvs. en delt på b betyr å løse likningen x · b = a.

Ligningen a: b = x er ekvivalent med ligningen x · b = a.

Vi erstatter divisjon med multiplikasjon: i stedet for 8: 2 = x skriver vi x 2 = 8.

8: 2 = 4 tilsvarer 4 2 = 8

18: 3 = 6 tilsvarer 6 3 = 18

20: 2 = 10 tilsvarer 10 2 = 20

Resultatet av divisjon kan alltid kontrolleres ved multiplikasjon. Resultatet av å multiplisere en divisor med en kvotient må være utbyttet.

På samme måte, la oss prøve å dele på null.

For eksempel, 6: 0 = ... Vi må finne et tall som, når multiplisert med 0, vil gi 6. Men vi vet at når multiplisert med null, oppnås alltid null. Det er ikke noe tall som, multiplisert med null, vil gi noe annet enn null.

Når de sier at det er umulig eller forbudt å dividere med null, betyr det at det ikke er noe tall som tilsvarer resultatet av en slik divisjon (det er mulig å dividere med null, men ikke å dividere :)).

Hvorfor sier de på skolen at man ikke kan dele på null?

Derfor, i definisjon operasjoner med å dele a med b, understrekes det umiddelbart at b ≠ 0.

Hvis alt som er skrevet ovenfor virket for komplisert for deg, er det helt på fingrene dine: Å dele 8 med 2 betyr å finne ut hvor mange toere du må ta for å få 8 (svar: 4). Å dele 18 med 3 betyr å finne ut hvor mange trippel du må ta for å få 18 (svar: 6).

Å dele 6 på null betyr å finne ut hvor mange nuller du må ta for å få 6. Uansett hvor mange nuller du tar, får du fortsatt null, men du får aldri 6, dvs. divisjon med null er ikke definert.

Et interessant resultat oppnås hvis du prøver å dele tallet med null på android-kalkulatoren. Skjermen vil vise ∞ (uendelig) (eller - ∞ hvis du deler på et negativt tall). Dette resultatet er feil, siden det ikke er noe tall ∞. Tilsynelatende har programmerere forvirret helt forskjellige operasjoner - å dele tall og finne grensen for en numerisk sekvens n / x, hvor x → 0. Når du deler null med null, vil NaN (Not a Number - Not a number) bli skrevet.

"Du kan ikke dele på null!" – De fleste elever lærer denne regelen utenat, uten å stille spørsmål. Alle barn vet hva "nei" er og hva som vil skje hvis du spør som svar på det: "Hvorfor?" Men faktisk er det veldig interessant og viktig å vite hvorfor det er umulig.

Saken er at de fire aritmetiske operasjonene - addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon - faktisk er ulik. Matematikere anerkjenner bare to av dem som fullverdige - addisjon og multiplikasjon. Disse operasjonene og deres egenskaper er inkludert i selve definisjonen av tallbegrepet. Alle andre handlinger er bygget på en eller annen måte fra disse to.

Tenk for eksempel på subtraksjon. Hva betyr 5 - 3 ? Eleven vil svare enkelt på dette: du må ta fem gjenstander, ta bort (fjerne) tre av dem og se hvor mange som gjenstår. Men matematikere ser på dette problemet på en helt annen måte. Det er ingen subtraksjon, kun addisjon. Derfor oppføringen 5 - 3 betyr et tall som, når det legges til et tall 3 vil gi nummeret 5 . Det er 5 - 3 er bare en forkortelse for ligningen: x + 3 = 5. Det er ingen subtraksjon i denne ligningen.

Divisjon med null

Det er bare en oppgave - å finne et passende nummer.

Det samme gjelder multiplikasjon og divisjon. Innspilling 8: 4 kan forstås som et resultat av delingen av åtte gjenstander i fire like hauger. Men det er egentlig bare en forkortet form av ligningen 4 x = 8.

Det er her det blir klart hvorfor det er umulig (eller rettere sagt umulig) å dele på null. Innspilling 5: 0 er en forkortelse for 0 x = 5. Det vil si at denne oppgaven er å finne et tall som, når multiplisert med 0 vil gi 5 . Men vi vet det når multiplisert med 0 viser seg alltid 0 . Dette er en iboende egenskap av null, strengt tatt en del av definisjonen.

Et tall som, når multiplisert med 0 vil gi noe annet enn null, eksisterer bare ikke. Det vil si at vårt problem ikke har noen løsning. (Ja, det skjer, ikke alle problemer har en løsning.) 5: 0 tilsvarer ikke noe spesifikt tall, og det står rett og slett ikke for noe og gir derfor ikke mening. Meningsløsheten til denne oppføringen uttrykkes kort ved å si at du ikke kan dele på null.

De mest oppmerksomme leserne på dette tidspunktet vil sikkert spørre: er det mulig å dele null med null?

Faktisk, siden ligningen 0 x = 0 vellykket løst. For eksempel kan du ta x=0, og så får vi 0 0 = 0. Det viser seg 0: 0=0 ? Men la oss ikke forhaste oss. La oss prøve å ta x=1. Få 0 1 = 0. Riktig? Midler, 0: 0 = 1 ? Men du kan ta et hvilket som helst tall og få 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.

Men hvis et nummer er passende, har vi ingen grunn til å velge noen av dem. Det vil si at vi ikke kan si hvilket tall som tilsvarer oppføringen 0: 0 . Og i så fall, så er vi tvunget til å innrømme at denne plata heller ikke gir mening. Det viser seg at selv null ikke kan deles på null. (I matematisk analyse er det tilfeller der man, på grunn av ytterligere betingelser for problemet, kan gi preferanse til et av de mulige alternativene for å løse ligningen 0 x = 0; i slike tilfeller snakker matematikere om "avsløring av ubestemthet", men i aritmetikk forekommer ikke slike tilfeller.)

Dette er funksjonen til divisjonsoperasjonen. Mer presist har multiplikasjonsoperasjonen og tallet knyttet til den null.

Vel, de mest grundige, etter å ha lest frem til dette punktet, kan spørre: hvorfor er det slik at du ikke kan dele på null, men du kan trekke fra null? På en måte er det her ekte matematikk begynner. Det kan bare besvares ved å bli kjent med de formelle matematiske definisjonene av numeriske sett og operasjoner på dem. Det er ikke så vanskelig, men av en eller annen grunn studeres det ikke på skolen. Men på forelesninger om matematikk på universitetet vil du i første omgang lære dette.

Divisjonsfunksjonen er ikke definert for et område der divisor er null. Du kan dele, men resultatet er ikke definert

Du kan ikke dele med null. Matematikk 2 klasser på videregående skole.

Hvis hukommelsen min tjener meg rett, så kan null representeres som en uendelig verdi, så det vil være uendelig. Og skolen «null – ingenting» er bare en forenkling, det er så mange av dem i skolematematikken. Men uten dem på noen måte, alt til rett tid.

Logg inn for å skrive et svar

Divisjon med null

Privat fra divisjon med null det er ikke noe annet tall enn null.

Begrunnelsen her er som følger: siden i dette tilfellet kan ingen tall tilfredsstille definisjonen av en kvotient.

La oss for eksempel skrive

Uansett hvilket tall du tar for testing (si 2, 3, 7), er det ikke bra fordi:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Hva skjer hvis du deler på 0?

osv., men du må få inn produktet 2,3,7.

Vi kan si at problemet med å dele på null et annet tall enn null ikke har noen løsning. Imidlertid kan et annet tall enn null deles med et tall som er vilkårlig nær null, og jo nærmere divisoren er null, jo større vil kvotienten være. Så hvis vi deler 7 med

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

så får vi private 70, 700, 7000, 70 000 osv. som øker i det uendelige.

Derfor sies det ofte at kvotienten for å dele 7 med 0 er "uendelig stor", eller "lik uendelig", og de skriver

\[7:0 = \infin\]

Betydningen av dette uttrykket er at hvis divisoren nærmer seg null, og utbyttet forblir lik 7 (eller nærmer seg 7), så øker kvotienten i det uendelige.

Regneeksempler

ADDISJON

Når du legger til null for et eller annet tall (både helt og brøk, både positivt og negativt), forblir verdien helt uendret.

Eksempel 1

tjuefire pluss null tilsvarer tjuefire.

Eksempel 2

Sytten komma tre åttende pluss null tilsvarer sytten komma tre åttedeler.

MULTIPLIKASJON

Når du multipliserer et hvilket som helst tall (heltall, brøk, positivt eller negativt) med null det viser seg null.

Eksempel 1

fem hundre og åttiseks ganger null er lik null.

Eksempel 2

Null ganger hundre og trettifem komma seks er lik null.

Eksempel 3

Null multiplisere med null er lik null.

INNDELING

Reglene for å dele tall inn i hverandre i tilfeller der ett av dem er null varierer avhengig av nøyaktig hvilken rolle null selv spiller: delelig eller divisor?

I tilfeller hvor null er et utbytte, er resultatet alltid lik det, uavhengig av verdien på divisor.

Eksempel 1

Null delt på to hundre og sekstifem lik null.

Eksempel 2

Null delt på sytten fem hundre nittiseks like null.

= 0

Dele null til null i henhold til reglene for matematikk er umulig. Dette betyr at når en slik prosedyre utføres, er kvotienten ubestemt. Dermed kan det teoretisk være absolutt et hvilket som helst tall.

0: 0 = 8 fordi 8 × 0 = 0

I matematikk, et problem som del null med null, gir ingen mening, siden resultatet er et uendelig sett. Dette utsagnet er imidlertid sant hvis ingen tilleggsdata er indikert som kan påvirke det endelige resultatet.

De, om noen, bør være å indikere graden av endring i størrelsen på både utbytte og divisor, og til og med før øyeblikket da de ble til null. Hvis det er definert, så et uttrykk som null delt på null, i de aller fleste tilfeller kan det gis en viss mening.