Invers funksjon 3. Gjensidig inverse funksjoner, grunnleggende definisjoner, egenskaper, grafer

Ferdige arbeider

DISSE VIRKER

Mye ligger allerede bak og nå er du ferdig utdannet, hvis du selvfølgelig skriver oppgaven i tide. Men livet er slik at først nå blir det klart for deg at etter å ha sluttet å være student, vil du miste alle studentglede, mange av dem du ikke har prøvd, utsette alt og utsette det til senere. Og nå, i stedet for å ta igjen, fikser du med oppgaven din? Det er en fin vei ut: last ned oppgaven du trenger fra nettsiden vår - og du vil umiddelbart ha mye fritid!
Diplomarbeid har blitt forsvart med suksess ved de ledende universitetene i republikken Kasakhstan.
Arbeidskostnad fra 20 000 tenge

KURS FUNGERER

Kursprosjektet er det første seriøse praktiske arbeidet. Det er med å skrive semesteroppgave at forberedelsene til utviklingen av avgangsprosjekter starter. Hvis en student lærer å angi innholdet i emnet korrekt i et kursprosjekt og tegne det riktig, vil han i fremtiden ikke ha problemer med verken å skrive rapporter, eller med å sette sammen avhandlinger, eller med å utføre andre praktiske oppgaver. For å hjelpe studentene med å skrive denne typen studentarbeid og for å avklare spørsmålene som dukker opp i løpet av forberedelsen, ble faktisk denne informasjonsdelen opprettet.
Arbeidskostnad fra 2 500 tenge

MASTEROPPGAVE

For tiden, i høyere utdanningsinstitusjoner i Kasakhstan og CIS-landene, er stadiet for høyere profesjonsutdanning, som følger etter bachelorgraden - mastergraden, veldig vanlig. I magistraten studerer studentene med sikte på å oppnå en mastergrad, som er anerkjent i de fleste land i verden mer enn en bachelorgrad, og som også er anerkjent av utenlandske arbeidsgivere. Resultatet av opplæring i magistraten er forsvaret av en masteroppgave.
Vi vil gi deg oppdatert analytisk og tekstlig materiale, prisen inkluderer 2 vitenskapelige artikler og et sammendrag.
Arbeidskostnad fra 35 000 tenge

PRAKTISK RAPPORTER

Etter å ha fullført en hvilken som helst type studentpraksis (pedagogisk, industriell, undergraduate) kreves en rapport. Dette dokumentet vil være en bekreftelse på studentens praktiske arbeid og grunnlaget for utformingen av vurderingen for praksisen. Vanligvis, for å lage en internship-rapport, må du samle inn og analysere informasjon om bedriften, vurdere strukturen og arbeidsplanen til organisasjonen der internshipet finner sted, utarbeide en kalenderplan og beskrive dine praktiske aktiviteter.
Vi vil hjelpe deg med å skrive en rapport om praksisplassen, under hensyntagen til detaljene i aktivitetene til en bestemt bedrift.

Leksjonens mål:

Pedagogisk:

å danne kunnskap om et nytt emne i samsvar med programmaterialet;
å studere egenskapen til inverterbarheten til en funksjon og å lære hvordan man finner en funksjon invers til en gitt en;

Utvikler:

utvikle selvkontroll ferdigheter, emne tale;
mestre konseptet med en invers funksjon og lære metodene for å finne en invers funksjon;

Pedagogisk: å danne kommunikativ kompetanse.

Utstyr: datamaskin, projektor, lerret, SMART Board interaktiv tavle, utdelingsark (selvstendig arbeid) for gruppearbeid.

I løpet av timene.

1. Organisatorisk øyeblikk.

Mål – forberede elevene til arbeid i klasserommet:

Definisjon av fraværende,

Studentenes holdning til arbeid, organisering av oppmerksomhet;

Melding om emnet og formålet med leksjonen.

2. Oppdatering av grunnleggende kunnskaper til elevene. frontavstemning.

Mål - å etablere riktigheten og bevisstheten til det studerte teoretiske materialet, repetisjonen av materialet som dekkes.<Приложение 1 >

En graf over funksjonen vises på den interaktive tavlen for studenter. Læreren formulerer oppgaven - å vurdere grafen til funksjonen og liste de studerte egenskapene til funksjonen. Studentene lister opp egenskapene til en funksjon i henhold til forskningsdesignet. Læreren, til høyre for grafen til funksjonen, skriver ned de navngitte egenskapene med en markør på den interaktive tavlen.

Funksjonsegenskaper:

På slutten av studien rapporterer læreren at de i dag på timen vil bli kjent med en annen egenskap ved funksjonen - reversibilitet. For en meningsfull studie av nytt materiale inviterer læreren barna til å bli kjent med hovedspørsmålene som elevene må svare på på slutten av timen. Spørsmål skrives på en ordinær tavle og hver elev har et utdelingsark (utdelt før timen)

Hva er en reversibel funksjon?
Er hver funksjon reversibel?
Hva er den inverse gitte funksjonen?
Hvordan er definisjonsdomenet og settet med verdier til en funksjon og dens inverse funksjon relatert?
Hvis funksjonen er gitt analytisk, hvordan definerer du den inverse funksjonen med en formel?
Hvis en funksjon er gitt grafisk, hvordan plotte dens inverse funksjon?

3. Forklaring av nytt materiale.

Mål - å danne kunnskap om et nytt emne i samsvar med programmaterialet; å studere egenskapen til inverterbarheten til en funksjon og å lære hvordan man finner en funksjon invers til en gitt en; utvikle fagstoff.

Læreren gjennomfører en presentasjon av stoffet i samsvar med stoffet i avsnittet. På den interaktive tavlen sammenligner læreren grafene til to funksjoner hvis definisjonsdomener og verdisett er de samme, men en av funksjonene er monoton og den andre ikke, og bringer dermed elevene inn under begrepet en inverterbar funksjon .

Læreren formulerer deretter definisjonen av en inverterbar funksjon og beviser den inverterbare funksjonsteoremet ved å bruke den monotone funksjonsgrafen på den interaktive tavlen.

Definisjon 1: Funksjonen y=f(x), x X kalles reversible, hvis den tar noen av verdiene bare på ett punkt av settet X.

Teorem: Hvis funksjonen y=f(x) er monoton på mengden X, så er den inverterbar.

Bevis:

La funksjonen y=f(x)øker med X La det gå x 1 ≠ x 2- to poeng av settet X.
For ordens skyld, la x 1< x 2.
Så fra hva x 1< x 2 følger det f(x 1) < f(x 2).
Dermed tilsvarer forskjellige verdier av argumentet forskjellige verdier av funksjonen, dvs. funksjonen er reversibel.

(Under beviset av teoremet lager læreren alle nødvendige forklaringer på tegningen med en tusj)

Før han formulerer definisjonen av en invers funksjon, ber læreren elevene finne ut hvilke av de foreslåtte funksjonene som er reversible? Den interaktive tavlen viser grafer over funksjoner og flere analytisk definerte funksjoner er skrevet:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Læreren introduserer definisjonen av en invers funksjon.

Definisjon 2: La en inverterbar fungere y=f(x) definert på settet X Og E(f)=Y. La oss matche hver y fra Y da den eneste meningen X, ved hvilken f(x)=y. Da får vi en funksjon som er definert på Y, A X er rekkevidden til funksjonen

Denne funksjonen er angitt x=f -1 (y) og kalles det inverse av funksjonen y=f(x).

Studentene inviteres til å trekke en konklusjon om forholdet mellom definisjonsdomenet og settet med verdier til inverse funksjoner.

For å vurdere spørsmålet om hvordan man finner den inverse funksjonen til en gitt, involverte læreren to elever. Dagen før fikk barna en oppgave fra læreren om å selvstendig analysere de analytiske og grafiske metodene for å finne den inverse gitte funksjonen. Læreren fungerte som konsulent ved å forberede elevene til timen.

Melding fra første elev.

Merk: monotoniteten til en funksjon er tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en invers funksjon. Men det er ikke nødvendig tilstand.

Eleven ga eksempler på ulike situasjoner når funksjonen ikke er monoton, men reversibel, når funksjonen ikke er monoton og ikke reversibel, når den er monoton og reversibel

Deretter introduserer studenten elevene for metoden for å finne den inverse funksjonen gitt analytisk.

Finne algoritme

Sørg for at funksjonen er monoton.
Uttrykk x i form av y.
Gi nytt navn til variabler. I stedet for x \u003d f -1 (y) skriver de y \u003d f -1 (x)

Løser deretter to eksempler for å finne funksjonen til inversen av det gitte.

Eksempel 1: Vis at det er en invers funksjon for funksjonen y=5x-3 og finn dens analytiske uttrykk.

Løsning. Den lineære funksjonen y=5x-3 er definert på R, øker på R, og dens rekkevidde er R. Derfor eksisterer den inverse funksjonen på R. For å finne dens analytiske uttrykk løser vi ligningen y=5x-3 mht. x; vi får Dette er den ønskede inverse funksjonen. Den er definert og øker med R.

Eksempel 2: Vis at det er en invers funksjon for funksjonen y=x 2, x≤0, og finn dens analytiske uttrykk.

Funksjonen er kontinuerlig, monoton i sitt definisjonsdomene, derfor er den inverterbar. Etter å ha analysert definisjonsdomenene og settet med verdier til funksjonen, er det gjort en tilsvarende konklusjon om det analytiske uttrykket for den inverse funksjonen.

Den andre eleven lager en presentasjon om grafikk hvordan finne den inverse funksjonen. I løpet av sin forklaring bruker studenten mulighetene til den interaktive tavlen.

For å få grafen til funksjonen y=f -1 (x), invers til funksjonen y=f(x), er det nødvendig å transformere grafen til funksjonen y=f(x) symmetrisk i forhold til den rette linjen y=x.

Under forklaringen på den interaktive tavlen utføres følgende oppgave:

Konstruer en graf for en funksjon og en graf for dens inverse funksjon i samme koordinatsystem. Skriv ned et analytisk uttrykk for den inverse funksjonen.

4. Primær fiksering av det nye materialet.

Mål - å etablere riktigheten og bevisstheten om forståelsen av det studerte materialet, å identifisere hull i den primære forståelsen av materialet, for å korrigere dem.

Elevene deles inn i par. De får utdelt ark med oppgaver der de jobber to og to. Tid til å fullføre arbeidet er begrenset (5-7 minutter). Ett elevpar jobber på datamaskinen, projektoren er slått av for denne gang og resten av barna kan ikke se hvordan elevene jobber på datamaskinen.

På slutten av tiden (det antas at flertallet av elevene har fullført arbeidet), viser den interaktive tavlen (projektoren slås på igjen) arbeidet til elevene, hvor det under prøven avklares at oppgaven ble utført i par. Om nødvendig utfører læreren korrigerende, forklarende arbeid.

Selvstendig arbeid i par<Vedlegg 2 >

5. Resultatet av leksjonen. På spørsmålene som ble stilt før foredraget. Kunngjøring av karakterer for timen.

Lekser §10. №№ 10.6(а,c) 10.8–10.9(b) 10.12(b)

Algebra og begynnelsen av analysen. Karakter 10 I 2 deler for utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova og andre; utg. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Vi har allerede støtt på et problem da det, gitt en funksjon f og en gitt verdi av argumentet, var nødvendig å beregne verdien av funksjonen på dette tidspunktet. Men noen ganger må man møte det omvendte problemet: å finne, gitt den kjente funksjonen f og dens bestemte verdi y, verdien av argumentet der funksjonen tar den gitte verdien y.

En funksjon som tar hver av sine verdier på et enkelt punkt i sitt definisjonsdomene kalles en inverterbar funksjon. For eksempel vil en lineær funksjon være reversibel funksjon. En kvadratisk funksjon eller en sinusfunksjon vil ikke være inverterbare funksjoner. Siden funksjonen kan ha samme verdi med forskjellige argumenter.

Invers funksjon

La oss anta at f er en vilkårlig inverterbar funksjon. Hvert tall fra området y0 tilsvarer bare ett tall fra domenet x0, slik at f(x0) = y0.

Hvis vi nå tildeler en verdi y0 til hver verdi av x0, vil vi få en ny funksjon. For eksempel, for en lineær funksjon f(x) = k * x + b, vil funksjonen g(x) = (x - b)/k være invers.

Hvis noen funksjon g på hvert punkt X området til den inverterbare funksjonen f tar verdien y slik at f(y) = x, så sier vi at funksjonen g- det er en invers funksjon til f.

Hvis vi har en graf for en reversibel funksjon f, så for å plotte grafen til den inverse funksjonen, kan vi bruke følgende utsagn: grafen til funksjonen f og funksjonen g invers til den vil være symmetriske i forhold til rett linje gitt av ligningen y = x.

Hvis funksjonen g er inversen til funksjonen f, vil funksjonen g være en inverterbar funksjon. Og funksjonen f vil være invers til funksjonen g. Det sies vanligvis at to funksjoner f og g er gjensidig inverse til hverandre.

Den følgende figuren viser grafer av funksjonene f og g som er gjensidig invers i forhold til hverandre.

La oss utlede følgende teorem: hvis en funksjon f øker (eller avtar) på et intervall A, så er den inverterbar. Funksjonen g invers til a, definert i området til funksjonen f, er også en økende (hhv. avtagende) funksjon. Denne teoremet kalles invers funksjonsteorem.

transkripsjon

1 Gjensidig inverse funksjoner To funksjoner f og g kalles gjensidig inverse dersom formlene y=f(x) og x=g(y) uttrykker samme forhold mellom variablene x og y, dvs. hvis likheten y=f(x) er sann hvis og bare hvis likheten x=g(y) er sann: y=f(x) x=g(y) Hvis to funksjoner f og g er gjensidig inverse, så g kalles den inverse funksjonen for f og omvendt, f er den inverse funksjonen for g. For eksempel er y=10 x og x=lgy gjensidig inverse funksjoner. Betingelsen for eksistensen av en gjensidig invers funksjon Funksjonen f har en invers hvis fra relasjonen y=f(x) variabelen x kan uttrykkes unikt i form av y. Det er funksjoner som det er umulig å unikt uttrykke argumentet for gjennom funksjonens gitte verdi. For eksempel: 1. y= x. For et gitt positivt tall y er det to verdier av argumentet x slik at x = y. For eksempel, hvis y \u003d 2, så x \u003d 2 eller x \u003d - 2. Derfor er det umulig å uttrykke x unikt gjennom y. Derfor har ikke denne funksjonen en gjensidig invers. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. For en gitt verdi av y (y 1), er det uendelig mange x-verdier slik at y=sinx. Funksjonen y=f(x) har en invers hvis en linje y=y 0 skjærer grafen til funksjonen y=f(x) ved ikke mer enn ett punkt (den kan ikke krysse grafen i det hele tatt hvis y 0 ikke tilhører rekkevidden til funksjonen f) . Denne betingelsen kan formuleres annerledes: ligningen f(x)=y 0 for hver y 0 har ikke mer enn én løsning. Betingelsen om at en funksjon har en invers er absolutt oppfylt dersom funksjonen er strengt økende eller strengt minkende. Hvis f er strengt økende, tar det for to forskjellige verdier av argumentet forskjellige verdier, siden den større verdien av argumentet tilsvarer den større verdien av funksjonen. Derfor har ligningen f(x)=y for en strengt monoton funksjon høyst én løsning. Eksponentialfunksjonen y \u003d a x er strengt tatt monoton, så den har en invers logaritmisk funksjon. Mange funksjoner har ikke invers. Hvis for noen b ligningen f(x)=b har mer enn én løsning, så har funksjonen y=f(x) ingen invers. På grafen betyr dette at linjen y=b skjærer grafen til funksjonen i mer enn ett punkt. For eksempel, y \u003d x 2; y=sinx; y=tgx.

2 Tvetydigheten til løsningen av ligningen f(x)=b kan håndteres hvis definisjonsdomenet til funksjonen f reduseres slik at verdiområdet ikke endres, men at det tar hver av verdiene. en gang. For eksempel, y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Den generelle regelen for å finne den inverse funksjonen for en funksjon: 1. løser likningen for x, finner vi; 2. Ved å endre betegnelsen på variabelen x til y, og y til x, får vi funksjonen invers til den gitte. Egenskaper for gjensidig inverse funksjoner Identiteter La f og g være gjensidig inverse funksjoner. Dette betyr at likhetene y=f(x) og x=g(y) er ekvivalente: f(g(y))=y og g(f(x))=x. For eksempel, 1. La f være en eksponentiell funksjon og g være en logaritmisk funksjon. Vi får: jeg. 2. Funksjonene y \u003d x 2, x 0 og y \u003d er gjensidig invers. Vi har to identiteter: og for x 0. Definisjonsdomene La f og g være gjensidig inverse funksjoner. Domenet til funksjonen f sammenfaller med domenet til funksjonen g, og omvendt faller domenet til funksjonen f sammen med domenet til funksjonen g. Eksempel. Domenet til eksponentialfunksjonen er hele tallaksen R, og dens domene er settet av alle positive tall. Den logaritmiske funksjonen har det motsatte: definisjonsdomenet er settet av alle positive tall, og verdidomenet er hele settet R. Monotonicitet Hvis en av de gjensidig inverse funksjonene er strengt økende, så er den andre strengt økende . Bevis. La x 1 og x 2 være to tall som ligger i domenet til funksjonen g, og x 1

3 Grafer over gjensidig inverse funksjoner Teorem. La f og g være gjensidig inverse funksjoner. Grafene til funksjonene y=f(x) og x=g(y) er symmetriske til hverandre med hensyn til halveringslinjen til vinkelen. Bevis. Ved definisjon av gjensidig inverse funksjoner uttrykker formlene y=f(x) og x=g(y) den samme avhengigheten mellom variablene x og y, noe som betyr at denne avhengigheten er avbildet av den samme grafen til en eller annen kurve C. Kurve C er en graffunksjoner y=f(x). Ta et vilkårlig punkt P(a; b) C. Dette betyr at b=f(a) og samtidig a=g(b). La oss konstruere et punkt Q symmetrisk til punktet P med hensyn til halveringslinjen til hvordan-vinkelen. Punkt Q vil ha koordinater (b; a). Siden a=g(b), så tilhører punktet Q grafen til funksjonen y=g(x): ja, for x=b er verdien av y=a lik g(x). Dermed ligger alle punkter symmetriske til punktene på kurven C med hensyn til den spesifiserte rette linjen på grafen til funksjonen y \u003d g (x). Eksempler på grafikkfunksjoner som er gjensidig inverse: y=e x og y=lnx; y=x 2 (x 0) og y=; y=2x4 og y=+2.

4 Derivert av en invers funksjon La f og g være gjensidig inverse funksjoner. Grafene til funksjonene y=f(x) og x=g(y) er symmetriske til hverandre med hensyn til halveringslinjen til vinkelen. La oss ta et punkt x=a og beregne verdien av en av funksjonene på dette punktet: f(a)=b. Da per definisjon av den inverse funksjonen g(b)=a. Punktene (a; f(a))=(a; b) og (b; g(b))=(b; a) er symmetriske i forhold til linjen l. Siden kurvene er symmetriske, er tangentene til dem også symmetriske i forhold til linjen l. Fra symmetri er vinkelen til en av linjene med x-aksen lik vinkelen til den andre linjen med y-aksen. Hvis den rette linjen danner en vinkel α med x-aksen, er dens helning lik k 1 =tgα; da har den andre linjen en helning k 2 =tg(α)=ctgα=. Dermed er helningskoeffisientene til linjer symmetriske med hensyn til linje l gjensidig inverse, dvs. k 2 =, eller k 1 k 2 = 1. Går vi til deriverte og tar i betraktning at stigningstallet til tangenten er verdien av den deriverte ved kontaktpunktet, konkluderer vi: Verdiene til deriverte av gjensidig inverse funksjoner i de tilsvarende punktene er gjensidig inverse, dvs. eksempel 1. Bevis at funksjonen f(x)=x 3, reversibel. Løsning. y=f(x)=x 3. Den inverse funksjonen vil være funksjonen y=g(x)=. La oss finne den deriverte av funksjonen g:. De. =. Oppgave 1. Bevis at funksjonen gitt av formelen er inverterbar 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Eksempel 2. Finn funksjonen invers til funksjonen y=2x+1. Løsning. Funksjonen y \u003d 2x + 1 øker, derfor har den en invers. Vi uttrykker x til og med y: vi får .. Går til allment akseptert notasjon, Svar: Oppgave 2. Finn de inverse funksjonene for disse funksjonene 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Kapittel 9 Grader En grad med en heltallseksponent. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Hvis selv, så ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). For eksempel, () => = = (), så

Hva vi skal studere: Leksjon om emnet: Undersøkelse av en funksjon for monotonisitet. Redusere og øke funksjoner. Forholdet mellom den deriverte og monotonisiteten til en funksjon. To viktige monotonitetsteoremer. Eksempler. Gutter, vi

6 Problemer som fører til begrepet en derivert La et materiell punkt bevege seg i en rett linje i én retning i henhold til loven s f (t), der t er tid og s er banen som reises av tidspunktet t Merk et bestemt øyeblikk

1 SA Lavrenchenko Forelesning 12 Inverse funksjoner 1 Begrepet en invers funksjon Definisjon 11 En funksjon kalles en-til-en hvis den ikke tar noen verdi mer enn én gang, som følger av

Forelesning 5 Deriverter av grunnleggende elementære funksjoner Sammendrag: Det gis fysiske og geometriske tolkninger av den deriverte av en funksjon av en variabel Eksempler på differensiering av en funksjon og en regel vurderes.

Kapittel 1. Grenser og kontinuitet 1. Numeriske mengder 1 0. Reelle tall Fra skolematematikken kjenner du naturlige N heltall Z rasjonelle Q og reelle R tall Naturlige og heltall

Numeriske funksjoner og numeriske sekvenser DV Lytkina NPP, I semester DV Lytkina (SibSUTI) Matematisk analyse av NPP, I semester 1 / 35 Innhold 1 Numerisk funksjon Funksjonsbegrep Numeriske funksjoner.

Forelesning 19 DERIVAT OG APPLIKASJONER. DEFINISJON AV DERIVAT. La oss ha en funksjon y=f(x) definert på et eller annet intervall. For hver verdi av argumentet x fra dette intervallet, funksjonen y=f(x)

Kapittel 5 Undersøke funksjoner ved hjelp av Taylor-formelen Lokalt ekstremum av en funksjonsdefinisjon

Institutt for matematikk og informatikk Elementer i høyere matematikk Utdannings- og metodologisk kompleks for studenter på videregående yrkesutdanning som studerer ved bruk av fjernteknologi Modul Differensialregning Satt sammen av:

Institutt for matematikk og informatikk Matematisk analyse Utdannings- og metodologisk kompleks for HPE-studenter som studerer med bruk av fjernteknologi Modul 4 Anvendelser av den deriverte Satt sammen av: Førsteamanuensis

Oppgaver for selvstendig beslutning. Finn domenet til 6x-funksjonen. Finn tangenten til helningsvinkelen til x-aksen til tangenten som går gjennom punktet M (;) i funksjonsgrafen. Finn tangenten til en vinkel

Emne Teori om grenser Praktisk øvelse Numeriske sekvenser Definisjon av en numerisk sekvens Avgrensede og uavgrensede sekvenser Monotone sekvenser Uendelig små

44 Eksempel Finn den totale deriverte av en kompleks funksjon = sin v cos w hvor v = ln + 1 w= 1 I følge formelen (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Nå finner vi den totale differensialen av den komplekse funksjonen f

MODUL «Anvendelse av kontinuitet og derivat. Anvendelse av den deriverte til studiet av funksjoner. Anvendelse av kontinuitet.. Metode for intervaller.. Tangent til grafen. Lagrange formel. 4. Anvendelse av derivatet

Moscow Institute of Physics and Technology Eksponentielle, logaritmiske ligninger og ulikheter, metoden for potensering og logaritme for å løse problemer. Metodeveiledning for forberedelse til olympiadene.

Kapittel 8 Funksjoner og grafer Variabler og avhengigheter mellom dem. To størrelser og kalles direkte proporsjonale hvis forholdet deres er konstant, dvs. hvis =, hvor er et konstant tall som ikke endres med endring

Utdanningsdepartementet i republikken Hviterussland UTDANNINGSINSTITUSJON "GRODNO STATE UNIVERSITY OPPEKT ETTER YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENTIAL OG LOGARITMISK

Emne Numerisk funksjon, dens egenskaper og graf Begrepet en numerisk funksjon Definisjonsdomenet og verdisettet til en funksjon La en numerisk mengde X gis En regel som matcher hvert tall X med en unik

I Definisjon av en funksjon av flere variabler Definisjonsdomene Når man studerer mange fenomener, må man forholde seg til funksjoner til to eller flere uavhengige variabler, for eksempel kroppstemperatur i et gitt øyeblikk

1. Bestemt integral 1.1. La f være en avgrenset funksjon definert på segmentet [, b] R. En partisjon av segmentet [, b] er et sett med punkter τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] slik at = x< x 1 < < x n 1

Forelesning Undersøkelse av en funksjon og konstruksjon av dens graf Abstrakt: Funksjonen undersøkes for monotonisitet, ekstremum, konveksitet-konkavitet, for eksistensen av asymptoter

Emne. Funksjon. Oppgavemetoder. Implisitt funksjon. Invers funksjon. Klassifisering av funksjoner Elementer i mengsteorien. Grunnleggende begreper Et av grunnbegrepene i moderne matematikk er begrepet et sett.

Emne 2.1 Numeriske funksjoner. Funksjon, dens egenskaper og graf La X og Y Noen tallsett Hvis hver i henhold til en regel F er tildelt et enkelt element, så sier de at

Algebra og begynnelsen av analysen, XI ALGEBRA OG BEGYNNELSEN AV ANALYSE

L.A. Strauss, I.V. Barinova-oppgaver med en parameter i Unified State Examination Guidelines y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Oppgaver med en parameter i BRUK [Tekst]: retningslinjer / L.A. Strauss, I.V.

Kapittel 3. Undersøkelse av funksjoner ved hjelp av derivater 3.1. Ekstremer og monotonisitet Betrakt en funksjon y = f () definert på et eller annet intervall I R. Det sies at den har et lokalt maksimum i punktet

Emne. Logaritmiske ligninger, ulikheter og ligningssystemer I. Generelle instruksjoner

Hva vi skal studere: Leksjon om emnet: Finne punktene til ytterpunktene til funksjoner. 1. Introduksjon. 2) Poeng av minimum og maksimum. 3) Ekstrem av funksjonen. 4) Hvordan beregne ekstremum? 5) Eksempler Gutter, la oss se

1 SA Lavrenchenko Forelesning 13 Eksponential- og logaritmiske funksjoner 1 Begrepet en eksponentiell funksjon Definisjon 11 En eksponentiell funksjon er en funksjon av formen base positiv konstant, hvor Funksjon

Webinar 5 Emne: Gjennomgang forberedelse til Unified State-eksamen (oppgave 8) Oppgave 8 Finn alle verdiene av parameteren a, for hver av disse har ligningen a a 0 enten syv eller åtte løsninger La, deretter t t Initial likning

Moscow State Technical University oppkalt etter N.E. Bauman Fakultet for grunnleggende vitenskap Institutt for matematisk modellering А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

Generell informasjon Oppgaver med parametere Ligninger med en oppgavemodul av type C 5 1 Forberedelse til Unified State Examination Dikhtyar M.B. 1. Absoluttverdien, eller modulen til tallet x, er tallet x selv, hvis x 0; nummer x,

I. V. Yakovlev Materialer i matematikk MathUs.ru Logaritme

13. Partielle deriverte av høyere orden La = ha og definert på D O. Funksjonene og kalles også førsteordens partielle deriverte av en funksjon eller første partielle deriverte av en funksjon. og generelt

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Den russiske føderasjonen

INNHOLD AV ALGEBRA OG BEGYNNELSEN AV FUNKSJONSANALYSE...10 Grunnleggende egenskaper ved funksjoner...11 Partall og oddetall...11 Periodisitet...12 Funksjonsnuller...12 Monotonisitet (økning, reduksjon)...13 Ekstremer (maksima

INTRODUKSJON TIL MATEMATISK ANALYSE Forelesning. Konseptet med et sett. Funksjonsdefinisjon grunnleggende egenskaper. Grunnleggende elementære funksjoner INNHOLD: Elementer i mengdlære Sett med reelle tall Numerisk

Emne 36 "Egenskaper til funksjoner" Vi vil analysere egenskapene til en funksjon ved å bruke eksemplet på grafen til en vilkårlig funksjon y = f (x): 1. Domenet til en funksjon er settet av alle verdiene til variabelen x som har tilsvarende

Asymptoter Graf av en funksjon Kartesisk koordinatsystem Lineær-brøkfunksjon Kvadrattrinomial Lineær funksjon Lokalt ekstremum Sett med kvadratiske trinomiale verdier Sett med funksjonsverdier

Ural Federal University, Institutt for matematikk og informatikk, Institutt for algebra og diskret matematikk Innledende bemerkninger Denne forelesningen er viet studiet av flyet. Materialet den inneholder

DIFFERENSIALLIGNINGER 1. Grunnleggende begreper En differensialligning med hensyn til en funksjon er en ligning som forbinder denne funksjonen med dens uavhengige variabler og med dens deriverte.

MATEMATIKKBRUK Oppgaver C5 7 Ulikheter (arealmetode) Indikasjoner og løsninger Referansemateriale Kilder Koryanov A G, Bryansk Send kommentarer og forslag til: [e-postbeskyttet] OPPGAVER MED PARAMETRE

Emne 41 "Oppgaver med en parameter" Hovedformuleringene av oppgaver med en parameter: 1) Finn alle parameterverdier, som hver tilfredsstiller en bestemt betingelse.) Løs en likning eller ulikhet med

Emne 39. "Diveriver av funksjoner" Funksjonen Den deriverte av en funksjon i punktet x 0 kalles grensen for forholdet mellom inkrementet til funksjonen og inkrementet til variabelen, det vil si = lim = lim + () Tabell over derivater: Derivater

Institutt for matematikk og informatikk Elementer i høyere matematikk Utdannings- og metodologisk kompleks for studenter ved videregående yrkesutdanning som studerer ved bruk av fjernteknologi Module Theory of Limits Satt sammen av: Førsteamanuensis

Avledet av en funksjon Dens geometriske og fysiske betydning Differensieringsteknikk Grunnleggende definisjoner La f () defineres på (,) a, b et fast punkt, argumentøkning ved et punkt,

Differensiering av en implisitt funksjon Tenk på funksjonen (,) = C (C = const) Denne ligningen definerer en implisitt funksjon () Anta at vi har løst denne ligningen og funnet et eksplisitt uttrykk = () Nå kan vi

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Yaroslavl State University oppkalt etter PG Demidov Institutt for diskret analyse SAMLING AV OPPGAVER FOR UAVHENGIG LØSNING PÅ TEMA FUNKSJONSGRENSE

Regional vitenskapelig-praktisk konferanse for utdannings-, forsknings- og designarbeid av studenter i klasse 6-11 "Anvendte og grunnleggende spørsmål om matematikk" Metodiske aspekter ved studiet av matematikk

Grenser og kontinuitet. Begrensning av en funksjon La funksjonen = f) være definert i et eller annet nabolag av punktet = a. Samtidig, på selve punktet a, er ikke funksjonen nødvendigvis definert. Definisjon. Tallet b kalles grensen

Unified State Examination in Mathematics, 7 års demo Del A Finn verdien av uttrykket 6p p med p = Løsning Bruk egenskapen til graden: Erstatt i det resulterende uttrykket Riktig

0.5 Logaritmiske ligninger og ulikheter. Brukte bøker:. Algebra og begynnelsen av analysen 0 - redigert av A.N. Kolmogorov. Uavhengige og kontrollerende arbeider på algebra 0- redigert av E.P. Ershov

System med oppgaver om emnet "Tangensialligning" Bestem tegnet på helningen til tangenten tegnet til grafen til funksjonen y f (), i punkter med abscisse a, b, c a) b) Angi punktene der den deriverte

Ulikheter med en parameter i den enhetlige staten eksamen VV Silvestrov

Algebraiske ligninger hvor Definisjon. Algebraisk er en ligning av formen 0, P () 0, noen reelle tall. 0 0 I dette tilfellet kalles variabelen ukjent, og tallene 0 kalles

Ligninger av en rett linje og et plan Ligning av en rett linje på et plan Generell ligning for en rett linje. Et tegn på parallellitet og perpendikularitet av linjer. I kartesiske koordinater er hver linje i Oxy-planet definert av

Graf av den deriverte av en funksjon Monotonisitetsintervaller for en funksjon Eksempel 1. Figuren viser en graf y =f (x) av den deriverte av funksjonen f (x) definert på intervallet (1;13). Finn intervallene for økende funksjon

Eksempel på grunnleggende MA-oppgaver og -spørsmål for semesteret Sequence Limit Simple Calculate Sequence Limit l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Beregn sekvensgrense

Problems in Analytical Geometry, Mech-Math, Moscow State University Problem Dan er et tetraeder O Uttrykk vektoren EF i form av vektorer O O O med begynnelsen i midten E av kanten O og slutter i punktet F i skjæringspunktet mellom medianene av trekanten Løsning La

Oppgavestilling Metode for halvering Metode for akkorder (metode for proporsjonale deler 4 Newtons metode (metode for tangenter 5 Metode for iterasjoner (metode for suksessive tilnærminger) Oppgavestilling La gitt

1. Uttrykk og transformasjoner 1.1 Roten til graden n Begrepet roten til graden n Egenskaper til gradens roten n: Roten til produktet og produktet av røttene: forenkle uttrykket; finne verdier Roten til en kvotient

FOREDRAG N4. Differensial av en funksjon av første og høyere orden. Invarians av differensialformen. Derivater av høyere orden. Anvendelse av differensialen i omtrentlige beregninger. 1. Konseptet med differensial ....

MODUL 7 "Eksponentielle og logaritmiske funksjoner". Generalisering av gradsbegrepet. Roten til graden og dens egenskaper.. Irrasjonelle ligninger.. Grad med en rasjonell eksponent.. Eksponentiell funksjon..

13. Eksponent og logaritme For å fullføre beviset for påstand 12.8, gjenstår det for oss å gi én definisjon og bevise én påstand. Definisjon 13.1. En serie a i kalles absolutt konvergent if

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJONEN NOVOSIBIRSK STATSUVERSITET SPESIALISERT UTDANNINGS- OG VITENSKAPSSENTER Matematikk Grad 10 FUNKSJONSFORSKNING Novosibirsk For verifisering

FOREDRAG N. Skalarfelt. Retningsbestemt derivat. Gradient. Tangentplan og overflate normal. Ekstrema av en funksjon av flere variabler. Betinget ekstremum Skalarfelt. Avledet mht

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON NOVOSIBIRSK STATSUVERSITET SPESIALISERT UTDANNINGS- OG VITENSKAPSSENTER Matematikk Karakter 0 GRENSER FOR SEKVENSER Novosibirsk Intuitiv

Definisjon av en invers funksjon og dens egenskaper: lemma om den gjensidige monotonisiteten til direkte og inverse funksjoner; symmetri av grafer av direkte og inverse funksjoner; teoremer om eksistensen og kontinuiteten til den inverse funksjonen for en funksjon som er strengt monoton på et segment, intervall og halvintervall. Eksempler på inverse funksjoner. Et eksempel på en problemløsning. Bevis på egenskaper og teoremer.

Definisjon og egenskaper

Definisjon av den inverse funksjonen
La funksjonen ha et domene X og et sett med verdier Y . Og la den ha eiendommen:
for alle .
Så for ethvert element fra settet Y, kan bare ett element i settet X assosieres, for hvilket . Denne korrespondansen definerer en funksjon kalt invers funksjon Til . Den inverse funksjonen er betegnet som følger:
.

Det følger av definisjonen at
;
for alle ;
for alle .

Egenskap om symmetrien til grafer for direkte og inverse funksjoner
Grafer for de direkte og inverse funksjonene er symmetriske i forhold til den direkte linjen.

Teorem om eksistensen og kontinuiteten til den inverse funksjonen på et segment
La funksjonen være kontinuerlig og strengt økende (minkende) på intervallet. Så på intervallet er den inverse funksjonen definert og kontinuerlig, som er strengt økende (minkende).

For en økende funksjon. For synkende - .

Teorem om eksistensen og kontinuiteten til den inverse funksjonen på et intervall
La funksjonen være kontinuerlig og strengt økende (avtagende) på et åpent begrenset eller uendelig intervall. Da er den inverse funksjonen definert og kontinuerlig på intervallet, som er strengt økende (minkende).

For en økende funksjon.
For synkende: .

På lignende måte kan man formulere et teorem om eksistensen og kontinuiteten til en invers funksjon på et halvintervall.

Hvis funksjonen er kontinuerlig og strengt tatt øker (minker) på halvintervallet eller , så defineres på halvintervallet eller den inverse funksjonen, som strengt tatt øker (minker). Her .

Hvis det er strengt økende, tilsvarer intervallene og intervallene og . Hvis strengt minkende, så intervallene og tilsvarer intervallene og .
Denne teoremet er bevist på samme måte som teoremet om eksistensen og kontinuiteten til den inverse funksjonen på et intervall.

Eksempler på inverse funksjoner

Arcsine

Plotter y= synd x og invers funksjon y = arcsin x.

Tenk på den trigonometriske funksjonen sinus: . Det er definert og kontinuerlig for alle verdiene av argumentet, men er ikke monotont. Imidlertid, hvis definisjonsdomenet er innsnevret, kan monotone seksjoner skilles. Så på segmentet er funksjonen definert, kontinuerlig, strengt økende og tar verdier fra -1 før +1 . Derfor har den en invers funksjon på seg, som kalles arcsine. Arcsine har et definisjonsdomene og et sett med verdier.

Logaritme

Plotter y= 2 x og invers funksjon y = stokk 2 x.

Den eksponentielle funksjonen er definert, kontinuerlig og strengt økende for alle verdiene av argumentet. Settet med verdiene er et åpent intervall. Den inverse funksjonen er logaritmen med to grunntall. Den har et omfang og et sett med verdier.

Kvadratrot

Plotter y=x 2 og invers funksjon.

Strømfunksjonen er definert og kontinuerlig for alle. Settet med verdiene er et halvt intervall. Men det er ikke monotont for alle verdiene av argumentet. På halvintervallet er det imidlertid kontinuerlig og strengt monotont økende. Derfor, hvis vi som domene tar mengden, så er det en invers funksjon, som kalles kvadratroten. Den inverse funksjonen har et definisjonsdomene og et sett med verdier.

Eksempel. Bevis på eksistensen og unikheten til en rot av grad n

Bevis at ligningen , hvor n er et naturlig tall, er et reelt ikke-negativt tall, har en unik løsning på settet med reelle tall, . Denne løsningen kalles den n-te roten av a. Det vil si at du må vise at ethvert ikke-negativt tall har en unik rot av grad n.

Tenk på en funksjon av variabel x :
(P1) .

La oss bevise at det er kontinuerlig.
Ved å bruke definisjonen av kontinuitet viser vi det
.
Vi bruker Newtons binomiale formel:
(P2)
.
La oss bruke de aritmetiske egenskapene til funksjonens grenser. Siden er bare det første leddet ikke null:
.
Kontinuitet er bevist.

La oss bevise at funksjonen (P1) strengt tatt øker som .
La oss ta vilkårlige tall forbundet med ulikheter:
, , .
Det må vi vise. La oss introdusere variabler. Deretter . Siden , er det sett fra (A2) at . Eller
.
Strenge økning er bevist.

Finn settet med funksjonsverdier for .
På punktet, .
La oss finne grensen.
For å gjøre dette, bruk Bernoulli-ulikheten. Når vi har:
.
Siden , da og .
Ved å bruke egenskapen til ulikheter til uendelig store funksjoner, finner vi at .
Dermed, , .

I følge inversfunksjonsteoremet er en invers funksjon definert og kontinuerlig på et intervall. Det vil si at for enhver er det en unik som tilfredsstiller ligningen. Siden vi har , betyr dette at for enhver , har ligningen en unik løsning, som kalles roten av graden n fra tallet x:
.

Bevis på egenskaper og teoremer

Bevis på lemmaet om den gjensidige monotonisiteten til direkte og omvendte funksjoner

La funksjonen ha et domene X og et sett med verdier Y . La oss bevise at den har en invers funksjon. Basert på, må vi bevise det
for alle .

La oss anta det motsatte. La det være tall, så. La samtidig. Ellers endrer vi notasjonen slik at den er . Da, på grunn av den strenge monotonisiteten til f, må en av ulikhetene gjelde:
hvis f er strengt økende;
hvis f er strengt synkende.
Det er . Det var en motsetning. Derfor har den en invers funksjon.

La funksjonen være strengt økende. La oss bevise at den inverse funksjonen også er strengt økende. La oss introdusere notasjonen:
. Det vil si at vi må bevise at hvis , da .

La oss anta det motsatte. La, men.

Hvis da . Denne saken er ute.

La . Deretter, på grunn av den strenge økningen av funksjonen , eller . Det var en motsetning. Derfor er bare tilfellet mulig.

Lemmaet er bevist for en strengt økende funksjon. Dette lemmaet kan bevises på lignende måte for en strengt minkende funksjon.

Bevis på en egenskap på symmetrien til grafer for direkte og inverse funksjoner

La være et vilkårlig punkt for den direkte funksjonsgrafen:
(2.1) .
La oss vise at punktet , symmetrisk til punktet A med hensyn til linjen , tilhører grafen til den inverse funksjonen:
.
Det følger av definisjonen av den inverse funksjonen at
(2.2) .
Derfor må vi vise (2.2).

Grafen til den inverse funksjonen y = f -1(x) er symmetrisk med grafen til den direkte funksjonen y = f (x) i forhold til den rette linjen y = x .

Fra punktene A og S slipper vi perpendikulære på koordinataksene. Deretter
, .

Gjennom punkt A trekker vi en linje vinkelrett på linjen. La linjene krysse i punkt C. Vi konstruerer et punkt S på linjen slik at . Da vil punktet S være symmetrisk med punktet A i forhold til den rette linjen.

Tenk på trekanter og . De har to sider like lange: og , og like vinkler mellom dem: . Derfor er de kongruente. Deretter
.

La oss vurdere en trekant. Fordi da
.
Det samme gjelder trekanten:
.
Deretter
.

Nå finner vi:
;
.

Så ligning (2.2):
(2.2)
er fornøyd fordi , og (2.1) er fornøyd:
(2.1) .

Siden vi har valgt punkt A vilkårlig, gjelder dette alle punktene i grafen:
alle punkter i grafen til funksjonen, reflektert symmetrisk i forhold til den rette linjen, tilhører grafen til den inverse funksjonen.
Da kan vi bytte plass. Som et resultat får vi
alle punktene i grafen til funksjonen, reflektert symmetrisk om den rette linjen, tilhører grafen til funksjonen.
Det følger at grafene til funksjonene og er symmetriske med hensyn til den rette linjen.

Eiendommen er påvist.

Bevis for teoremet om eksistensen og kontinuiteten til den inverse funksjonen på et intervall

La betegner definisjonsdomenet til funksjonen - segmentet.

1. La oss vise at settet med funksjonsverdier er intervallet:
,
Hvor .

Faktisk, siden funksjonen er kontinuerlig på segmentet, når den ifølge Weierstrass-teoremet sitt minimum og maksimum på det. Deretter, i henhold til Bolzano-Cauchy-teoremet, tar funksjonen alle verdier fra segmentet. Det vil si for enhver eksisterer , for hvilken . Siden det er et minimum og et maksimum, tar funksjonen kun segmentverdiene fra settet.

2. Siden funksjonen er strengt monoton, så er det i henhold til ovenstående en invers funksjon , som også er strengt monoton (øker hvis øker; og avtar hvis minker). Domenet til den inverse funksjonen er settet, og settet med verdier er settet.

3. Nå beviser vi at den inverse funksjonen er kontinuerlig.

3.1. La det være et vilkårlig indre punkt i segmentet: . La oss bevise at den inverse funksjonen er kontinuerlig på dette punktet.

La det svare til poenget. Siden den inverse funksjonen er strengt monotonisk, det vil si det indre punktet til segmentet:
.
I henhold til definisjonen av kontinuitet, må vi bevise at for enhver er det en funksjon slik at
(3.1) for alle .

Merk at vi kan ta vilkårlig liten. Faktisk, hvis vi har funnet en funksjon slik at ulikheter (3.1) er tilfredsstilt for tilstrekkelig små verdier på , vil de automatisk bli tilfredsstilt for alle store verdier på , hvis vi setter for .

La oss ta det så lite at punktene og tilhører segmentet:
.
La oss introdusere og ordne notasjonen:

.

Vi transformerer den første ulikheten (3.1):
(3.1) for alle .
;
;
;
(3.2) .
Siden det er strengt monotont, følger det det
(3.3.1) , hvis øker;
(3.3.2) hvis den avtar.
Siden den inverse funksjonen også er strengt monoton, innebærer ulikheter (3.3) ulikheter (3.2).

For enhver ε > 0 eksisterer δ, så |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε for alle |y - y 0 | < δ .

Ulikheter (3.3) definerer et åpent intervall hvis ender er atskilt fra punktet med avstander og . La det være den minste av disse avstandene:
.
På grunn av den strenge monotoniteten til , , . Derfor . Da vil intervallet ligge i intervallet definert av ulikheter (3.3). Og for alle verdier som tilhører den, vil ulikheter (3.2) bli tilfredsstilt.

Så, vi har funnet ut at for tilstrekkelig liten , eksisterer , slik at
kl.
La oss nå endre notasjonen.
For liten nok , finnes det slik at
kl.
Dette betyr at den inverse funksjonen er kontinuerlig ved indre punkter.

3.2. Vurder nå enden av definisjonsdomenet. Her forblir alle argumentene de samme. Bare ensidige nabolag av disse punktene må vurderes. I stedet for en prikk vil det være eller , og i stedet for en prikk - eller .

Så, for en økende funksjon, .
kl.
Den inverse funksjonen er kontinuerlig ved , fordi for enhver tilstrekkelig liten det er , slik at
kl.

For en avtagende funksjon, .
Den inverse funksjonen er kontinuerlig ved , fordi for enhver tilstrekkelig liten det er , slik at
kl.
Den inverse funksjonen er kontinuerlig ved , fordi for enhver tilstrekkelig liten det er , slik at
kl.

Teoremet er bevist.

Bevis for teoremet om eksistensen og kontinuiteten til den inverse funksjonen på intervallet

La betegner domenet til funksjonen - et åpent intervall. La være settet med verdiene. I følge ovenstående er det en invers funksjon som har et definisjonsdomene, et sett med verdier og er strengt monotonisk (øker hvis den øker og minker hvis den minker). Det gjenstår for oss å bevise det
1) settet er et åpent intervall, og det
2) den inverse funksjonen er kontinuerlig på den.
Her .

1. La oss vise at settet med funksjonsverdier er et åpent intervall:
.

Som ethvert ikke-tomt sett hvis elementer har en sammenligningsoperasjon, har settet med funksjonsverdier nedre og øvre grenser:
.
Her kan og være endelige tall eller symboler og .

1.1. La oss vise at punktene og ikke tilhører settet med verdier til funksjonen. Det vil si at settet med verdier ikke kan være et segment.

Hvis eller er peke på uendelig: eller , da er ikke et slikt punkt et element i settet. Derfor kan den ikke tilhøre et sett med verdier.

La (eller ) være et endelig tall. La oss anta det motsatte. La punktet (eller) tilhøre settet med verdier til funksjonen. Det vil si at det finnes slike som (eller ). Ta poeng og tilfredsstille ulikhetene:
.
Siden funksjonen er strengt monoton, altså
, hvis f øker;
hvis f er synkende.
Det vil si at vi har funnet et punkt der verdien av funksjonen er mindre (større enn ). Men dette er i strid med definisjonen av det nedre (øvre) ansiktet, ifølge hvilken
for alle .
Derfor poengene Og kan ikke tilhøre et sett med verdier funksjoner .

1.2. La oss nå vise at settet med verdier er et intervall , snarere enn en forening av intervaller og punkter. Det vil si for ethvert punkt finnes , for hvilket .

I henhold til definisjonene av de nedre og øvre ansiktene, i et hvilket som helst nabolag av punktene Og inneholder minst ett element i settet . La - et vilkårlig tall som tilhører intervallet : . Så for nabolaget finnes , for hvilket
.
For nabolaget finnes , for hvilket
.

Fordi det Og , At . Deretter
(4.1.1) Hvis øker;
(4.1.2) Hvis avtar.
Ulikheter (4.1) er lett å bevise ved selvmotsigelse. Men du kan bruke , ifølge hvilken på settet det er en invers funksjon , som er strengt økende if og reduserer strengt hvis . Da får vi umiddelbart ulikheter (4.1).

Så vi har et segment , Hvor Hvis øker;
Hvis avtar.
På slutten av segmentet tar funksjonen verdiene Og . Fordi det , så ved Bolzano-Cauchy-teoremet er det et poeng , for hvilket .

Fordi det , vi har altså vist at for evt finnes , for hvilket . Dette betyr at settet med funksjonsverdier er et åpent intervall .

2. La oss nå vise at den inverse funksjonen er kontinuerlig på et vilkårlig punkt intervall : . For å gjøre dette, bruk på segmentet . Fordi det , deretter den inverse funksjonen kontinuerlig på segmentet , inkludert på punktet .

Teoremet er bevist.

Referanser:
O.I. Demoner. Forelesninger om matematisk analyse. Del 1. Moskva, 2004.
CM. Nikolsky. Kurs i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 1983.