Gjentatt uavhengige tester kalles Bernoulli-forsøk hvis hver prøve kun har to mulige utfall og sannsynlighetene for utfall forblir de samme for alle forsøk.

Vi betegner disse sannsynlighetene som s og q. Utfall med sannsynlighet s vil bli kalt "suksess", og utfallet med sannsynlighet q- "fiasko".

Det er åpenbart det

Rommet med elementære hendelser for hver prøve består av to punkter. Plass av elementære arrangementer for n Bernoulli-rettssaken inneholder punkter, som hver representerer ett mulig utfall av den sammensatte opplevelsen. Siden forsøkene er uavhengige, er sannsynligheten for et hendelsesforløp lik produktet av sannsynlighetene for de tilsvarende utfallene. For eksempel sannsynligheten for et hendelsesforløp

(U, U, N, U, N, N, N)

er lik produktet

Eksempler på Bernoulli-tester.

1. Påfølgende kast av den "riktige" mynten. I dette tilfellet s = q = 1/2 .

Når du kaster en forutinntatt mynt, vil de tilsvarende sannsynlighetene endre verdiene.

2. Hvert resultat av eksperimentet kan betraktes som EN eller .

3. Hvis det er flere mulige utfall, kan en gruppe utfall skilles fra dem, som anses som "suksess", og kaller alle andre utfall for "fiasko".

For eksempel, i påfølgende kast med en terning, kan "suksess" forstås som et kast med 5, og "fiasko" kan forstås som et kast med et hvilket som helst annet antall poeng. I dette tilfellet s = 1/6, q = 5/6.

Hvis vi med "suksess" mener et partall poeng, og med "fiasko" et oddetall poeng, så s = q = 1/2 .

4. Gjentatt tilfeldig ekstraksjon av ballen fra urnen som inneholder ved hver test en hvit sand b svarte kuler. Hvis vi med suksess mener utvinning hvit ball, deretter , .

Feller gir følgende eksempel praktisk anvendelse Bernoulli testopplegg. Skiver produsert med masseproduksjon, kan variere i tykkelse, men ved testing klassifiseres de i gode og defekte - avhengig av om tykkelsen er innenfor de foreskrevne grensene. Og selv om produkter av mange grunner ikke kan matche Bernoulli-ordningen perfekt, setter denne ordningen den ideelle standarden for kvalitetskontroll av industrielle produkter, selv om denne standarden aldri oppnås helt nøyaktig. Maskiner kan endres, og derfor forblir ikke sannsynlighetene de samme; det er en viss stabilitet i maskinenes driftsmåte, som et resultat av at lange serier med identiske avvik er mer sannsynlig enn det som ville vært tilfellet med den faktiske uavhengigheten til testene. Fra et per det imidlertid ønskelig at prosessen er i samsvar med Bernoulli-ordningen, og det er viktig at dette kan oppnås innenfor visse grenser. Hensikten med overvåking er å oppdage allerede kl tidlig stadie betydelige avvik fra den ideelle ordningen og bruk dem som indikasjoner på et truende brudd på riktig drift av maskinen.

FORBUNDSBYRÅ FOR UTDANNING

Statens utdanningsinstitusjon

høyere profesjonsutdanning

"MATI" - RUSSISK STAT TEKNOLOGISK UNIVERSITET IM. K.E. TSIOLKOVSKY

Institutt for systemmodellering og informasjonsteknologi

Gjentakelse av tester. Bernoulli-opplegg

Metodiske instruksjoner for praktiske øvelser

i faget "Høyere matematikk"

Satt sammen av: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Moskva 2006 introduksjon

Metodiske instruksjoner er beregnet på dag og kveldsavdeling fakultet nr. 14 spesialiteter 150601, 160301, 230102. Instruksjoner fremhever de grunnleggende konseptene for emnet, bestemme rekkefølgen av å studere materialet. Et stort antall vurderte eksempler hjelper til med den praktiske utviklingen av emnet. Retningslinjer fungerer som et metodisk grunnlag for praktiske øvelser og utførelse av individuelle oppgaver.

BERNULLI-ORDNING. BERNULLI FORMEL

Bernoulli-opplegg- et opplegg med gjentatte uavhengige tester, der en eller annen hendelse OG kan gjentas mange ganger med konstant sannsynlighet R (OG)= R .

Eksempler på tester utført i henhold til Bernoulli-skjemaet: multipel kasting av en mynt eller en terning, lage et parti med deler, skyte mot et mål, etc.

Teorem. Hvis sannsynligheten for at en hendelse inntreffer OG i hver test er konstant og lik R, deretter sannsynligheten for at hendelsen OG Skal komme m en gang en n tester (uansett i hvilken rekkefølge), kan bestemmes av Bernoulli-formelen:

hvor q = 1 – s.

EKSEMPEL 1. Sannsynligheten for at forbruket av strøm i løpet av en dag ikke vil overstige den fastsatte normen er lik p= 0,75. Finn sannsynligheten for at strømforbruket i 4 dager i løpet av de neste 6 dagene ikke vil overstige normen.

BESLUTNING. Sannsynligheten for normalt strømforbruk i løpet av hver av de 6 dagene er konstant og lik R= 0,75. Derfor er sannsynligheten for overforbruk av strøm hver dag også konstant og lik q = 1R = 1  0,75 = 0,25.

Den ønskede sannsynligheten i henhold til Bernoulli-formelen er lik:

EKSEMPEL 2. Skytteren skyter tre skudd mot skiven. Sannsynligheten for å treffe målet med hvert skudd er p= 0,3. Finn sannsynligheten for at: a) ett mål blir truffet; b) alle tre målene; c) ingen mål; d) minst ett mål; e) mindre enn to mål.

BESLUTNING. Sannsynligheten for å treffe målet med hvert skudd er konstant og lik R=0,75. Derfor er sannsynligheten for en glipp q = 1 R = 1  0,3= 0,7. Totalt antall gjennomført eksperimenter n=3.

a) Sannsynligheten for å treffe ett mål med tre skudd er lik:

b) Sannsynligheten for å treffe alle tre skivene med tre skudd er:

c) Sannsynligheten for tre bom med tre skudd er lik:

d) Sannsynligheten for å treffe minst ett mål med tre skudd er lik:

e) Sannsynlighet for å treffe mindre enn to mål, dvs. enten ett mål eller ingen:

1. Moivre-Laplace lokale og integralteoremer

Hvis det utføres et stort antall tester, blir beregningen av sannsynligheter ved å bruke Bernoulli-formelen teknisk vanskelig, siden formelen krever operasjoner på enorme tall. Derfor finnes det enklere omtrentlige formler for å beregne sannsynlighetene for stor n. Disse formlene kalles asymptotiske og er definert av Poissons teorem, Laplaces lokale og integralsetninger.

Lokal de Moivre-Laplace teorem. OG OG skje m en gang en n n (n →∞ ), er omtrent lik:

hvor er funksjonen
og argumentasjonen

Jo mer n, emner mer nøyaktig utregning sannsynligheter. Derfor er det tilrådelig å bruke Moivre-Laplace-setningen når npq  20.

f ( x ) spesielle tabeller ble satt sammen (se vedlegg 1). Når du bruker et bord, husk funksjonsegenskaper f(x) :

Funksjon f(x) er jevn f(  x)= f(x) .

På X ∞ funksjon f(x) 0. I praksis kan vi anta at allerede kl X>4 funksjon f(x) ≈0.

EKSEMPEL 3. Finn sannsynligheten for at hendelsen OG forekommer 80 ganger i 400 forsøk hvis sannsynligheten for at hendelsen inntreffer OG i hver test er p= 0,2.

BESLUTNING. Etter tilstand n=400, m=80, s=0,2, q=0,8. Følgelig:

I henhold til tabellen bestemmer vi verdien av funksjonen f (0)=0,3989.

Moivre-Laplace integralteorem. Hvis sannsynligheten for at en hendelse inntreffer OG i hver prøve er konstant og forskjellig fra 0 og 1, deretter sannsynligheten for at hendelsen OG kommer fra m 1 før m 2 en gang en n tester med nok store tall n (n →∞ ), er omtrent lik:

hvor
- integrert eller Laplace-funksjon,

For å finne funksjonsverdier F( x ) det er utarbeidet spesielle tabeller (se for eksempel vedlegg 2). Når du bruker et bord, husk egenskapene til Laplace-funksjonen Ф(x) :

Funksjon Ф(x) er rart F(  x)=  Ф(x) .

På X ∞ funksjon Ф(x) 0,5. I praksis kan det vurderes som det X>5 funksjon Ф(x) ≈0,5.

F (0)=0.

EKSEMPEL 4. Sannsynligheten for at delen ikke har bestått kvalitetskontrollavdelingen er 0,2. Finn sannsynligheten for at 70 til 100 elementer vil være umerket blant 400 elementer.

BESLUTNING. Etter tilstand n=400, m 1 =70, m 2 =100, s=0,2, q=0,8. Følgelig:

I henhold til tabellen der verdiene til Laplace-funksjonen er gitt, bestemmer vi:

Ф(x 1 ) = F(  1,25 )=  F( 1,25 )=  0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.

Tidligere i avsnitt 1.4, begrepene avhengig og ikke-avhengig avhengige hendelser. Med et konsept uavhengige arrangementer koblet og mye brukt er konseptet med uavhengige eksperimenter eller forsøk.

Eksperimenter α 1 , α 2 , … , α n kalles uavhengige hvis en kombinasjon av deres utfall er en samling av uavhengige hendelser. Ellers hvis det utføres en rekke gjentatte tester i problemet α 1 , α 2 , …, α n under et konstant sett med forhold og i hver test en eller annen hendelse OG kan forekomme med en viss sannsynlighet s = s(OG) uavhengig av andre tester, og forekommer ikke med en sannsynlighet s(Ā ), så kalles disse testene uavhengige. Denne ordningen med uavhengige forsøk kalles Bernoulli-ordningen.

Ordningen er oppkalt etter Jacob Bernoulli, stamfaren til en familie av fremtredende sveitsiske forskere. (Jacob B., Johann B., Nikolai B., Daniel B. og andre). Jacob Bernoulli beviste det såkalte Bernoulli-teoremet - en viktig spesielt tilfelle lov store tall(se avsnitt 3.11). Dette teoremet refererer til sekvensen av uavhengige forsøk som vurderes her.

Eksempler på uavhengige tester er: a) flere ( n ganger) kaste en mynt; b) utvinning ( n ganger) identisk med berøringsballene fra urnen med deres påfølgende retur; c) ethvert sett med uavhengige tester (eksperimenter), hvor sannsynligheten for vellykkede utfall er den samme, for eksempel en serie skudd mot et mål, valg n detaljer fra deres helhet, studie n analyser stein en bestemt eiendom osv.

I Bernoulli-ordningen, forekomsten av en hendelse OG med sannsynlighet s = s(OG) kalles betinget suksess, og dens manglende forekomst ( motsatt hendelse Ā ) er en fiasko. Sannsynligheten for feil i hvert eksperiment av denne typen er q = 1 – s.

I praksis oppstår det vanligvis problemer med komplekse hendelser, der n eksperimenter som utgjør Bernoulli-ordningen, i m eksperimenter ( m < n) begivenhet OG kommer (dvs. ender med suksess), og i ( n – m) eksperimenter, forekommer ikke denne hendelsen (mislykkes). La P n ( k) - betegner sannsynligheten for at i produksjonen n erfaringer suksess kommer inn k eksperimenter (suksess er realisert k en gang). Følgende oppgave er satt: slipp innntester som tilsvarer Bernoulli-ordningen,ktestene var vellykkede. Vi må finne sannsynlighetenP n(k) (lyder: "Pfrantesterkvellykket"). Denne sannsynligheten beregnes av Bernoulli-formelen, som tilsvarer teoremet med samme navn.

Bernoullis teorem. Hvis sannsynligheten s begivenhet OG i hver av sekvensene n tester α 1 , α 2 , … , α n konstant, deretter sannsynligheten for at hendelsen OG Skal komme k en gang og kommer ikke n – k ganger, beregnes av Bernoulli-formelen:

P n ( k) = FRAnk p k qn-k , (2.1)

hvor q = 1- s.

Bevis. Faktisk, la hendelsene EN jeg og Ā į – henholdsvis forekomst og manglende opptreden av hendelsen OG i į den testen α Jeg ( Jeg = 1, 2, … , n). La også PÅ k betegner en hendelse som består i at i n uavhengig testarrangement OG dukket opp k en gang. På n= 3 og k= 2 hendelser PÅ 2 er uttrykt gjennom elementære hendelser OG į ( į = 1, 2, 3) i henhold til formelen:

PÅ 2 = OG 1 OG 2 Ā 3 + OG 1 Ā 2 OG 3 + Ā 1 OG 2 OG 3 .

PÅ generelt syn den siste formelen vil være slik

dvs. at hvert ledd av summen (2.2) tilsvarer forekomsten av en hendelse OG k tider og ( n – k) tider med manglende opptredener. Antallet av alle kombinasjoner (termer) i (2.2) er lik antall måter å velge mellom n tester k forsøk der arrangementet OG skjedde, dvs. antall kombinasjoner C n k. Sannsynligheten for hver slik kombinasjon, i henhold til teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser, er lik p k × q n – k, som s(OG į) = s, s(Ā į) = q, Jeg = 1,2,…,n. Men kombinasjoner i (2.2) er uforenlige hendelser. Derfor får vi i henhold til sannsynlighetsaddisjonsteoremet

Dermed holder Bernoulli-formelen

P n (k) = C n k p k q n-k .

Q.E.D.

Merknad 1. Teoremet formulert ovenfor refererer til tilfellet når i hver rettssak sannsynligheten for at en hendelse inntreffer OG konstant. Så for å beregne sannsynligheten P n ( k) Bernoulli-formelen (2.1) er gyldig. Hvis sannsynligheten for at en hendelse inntreffer OG i forsøk α 1 , α 2 , … , α n annerledes, dvs. sannsynligheter utgjør verdiene s 1 , s 2 , … , s n , i stedet for (2.1) er formelen gyldig:

Merknad 6. Sannsynligheten for at i n eksperimenter utført i henhold til Bernoulli-ordningen, vil suksess komme fra k 1 til k 2 ganger , beregnes med formelen P n ( k)) for spesifikke verdier n og s. Siden argumentasjonen k tar bare heltallsverdier, grafen er representert som punkter på planet ( k, P n ( k)). For klarhetens skyld er punktene forbundet med en stiplet linje, og en slik graf kalles distribusjonspolygon(fig.2.1). På s = 0,5, n= 6, som vist i figur 2.1, er polygonet symmetrisk om linjen x = np(hvis s nær 0,5, så er polygonen nær symmetrisk). I det små s polygonen er betydelig asymmetrisk, og det mest sannsynlige er frekvenser nær null. Figur 2.2 viser fordelingspolygonet for s= 0,2 med antall forsøk n= 6. For store s nær 1 er mest sannsynlig maksimale verdier. På fig. 2.3 viser utbredelsesområdet, for s= 0,8 og n= 6.

Ris. 2.3.

Derfor vil ditt nære tidsfordriv være ekstremt nyttig. I tillegg skal jeg fortelle deg hva som er galt overveldende flertall deltakere i lotterier og pengespill. …Nei, tro eller svakt håp"Hit the jackpot" har absolutt ingenting med det å gjøre ;-) Uten å blunke et øye, dykker vi ned i temaet:

Hva uavhengige tester ? Nesten alt er klart fra selve navnet. La oss ta noen tester. Hvis sannsynligheten for forekomst av en hendelse i hver av dem er ikke avhengig fra resultatene av resten av testene, så ... avslutter vi frasen i kor =) Godt gjort. Samtidig betyr ofte uttrykket "uavhengige tester". gjentatt uavhengige tester - når de utføres etter hverandre.

De enkleste eksemplene:
- en mynt kastes 10 ganger;
- En terning kastes 20 ganger.

Det er helt klart at sannsynligheten for å få hoder eller haler i en prøve ikke avhenger av resultatene fra andre kast. Et lignende utsagn gjelder selvfølgelig også for kuben.

Men sekvensiell fjerning av kort fra kortstokken er ikke en serie uavhengige tester - som du husker, er dette en kjede avhengige hendelser. Men hvis kortet returneres hver gang, vil situasjonen bli "som den skal være."

Jeg skynder meg å behage - vi har en annen Terminator som gjest, som er absolutt likegyldig til suksessene / fiaskoene hans, og derfor er skytingen hans en modell for stabilitet =):

Oppgave 1

Skytteren skyter 4 skudd mot skiven. Sannsynligheten for å treffe med hvert skudd er konstant og lik . Finn sannsynligheten for at:

a) skytteren vil bare treffe én gang;
b) skytteren vil treffe 2 ganger.

Beslutning: tilstand formulert generelt og sannsynligheten for å treffe målet med hvert skudd ansett som kjent. Hun er likestilt (hvis det er veldig vanskelig, tilordne en spesifikk verdi til parameteren, for eksempel,) .

Så snart vi vet , er det lett å finne sannsynligheten for en miss i hvert skudd:
, det vil si "ku" er også kjent mengde.

a) Tenk på en hendelse "Skytteren treffer bare én gang" og angi sannsynligheten med (indekser forstås som "ett treff av fire"). Denne begivenheten består av 4 inkompatible utfall: skytteren vil treffe den første eller i 2 eller i den 3 eller på 4 forsøk.

Finn sannsynligheten for at når 10 mynter kastes vil hoder komme opp på 3 mynter.

Her gjentas ikke testene, men utføres snarere samtidig, men likevel fungerer den samme formelen:.

Løsningen vil variere i betydning og noen kommentarer, spesielt:
måter du kan velge 3 mynter, som vil falle hoder.
er sannsynligheten for å få hoder på hver av de 10 myntene
etc.

I praksis støter man imidlertid ikke på slike problemer så ofte, og tilsynelatende er Bernoulli-formelen av denne grunn nesten stereotypisk bare forbundet med gjentatte tester. Selv om repeterbarhet ikke er nødvendig i det hele tatt, som det ble vist.

Neste oppgave for uavhengig avgjørelse:

Oppgave 3

terning kaste 6 ganger. Finn sannsynligheten for at 5 poeng:

a) faller ikke ut (vil falle 0 ganger);
b) vil falle ut 2 ganger;
c) droppe ut 5 ganger.

Avrund resultatene til 4 desimaler.

Rask løsning og svaret på slutten av leksjonen.

Åpenbart, i eksemplene under vurdering, er noen hendelser mer sannsynlige, og noen er mindre sannsynlige. Så, for eksempel, med 6 terningkast, selv uten noen beregninger, er det intuitivt klart at sannsynlighetene for hendelsene i punktene "a" og "be" er mye større enn sannsynligheten for at "fem" faller ut 5 ganger. La oss nå sette oppgaven for å finne

HØYEST antall forekomster av en hendelse i uavhengige forsøk

Igjen, på intuisjonsnivået i oppgave nr. 3, kan vi konkludere med at det mest sannsynlige antallet forekomster av "fem" er lik én - tross alt er det seks flater totalt, og med 6 terningkast , bør hver av dem falle i gjennomsnitt én gang. De som ønsker kan regne ut sannsynligheten og se om den er større enn de "konkurrerende" verdiene og .

La oss formulere et strengt kriterium: for å finne det mest sannsynlige antallet forekomster tilfeldig hendelse i uavhengige forsøk (med sannsynlighet i hvert forsøk) ledes av følgende doble ulikhet:

, og:

1) hvis verdien er brøk, så er det et enkelt mest sannsynlig tall ;
spesielt, hvis er et heltall, så er det det mest sannsynlige tallet: ;

2) hvis er et heltall, så eksisterer det to de mest sannsynlige tallene: og .

Det mest sannsynlige antallet forekomster av "fem" i 6 terningkast faller inn under det spesielle tilfellet i første ledd:

For å konsolidere materialet vil vi løse et par problemer:

Oppgave 4

Sannsynligheten for at en basketballspiller treffer kurven når han kaster ballen er 0,3. Finn det mest sannsynlige antallet treff i 8 kast og den tilsvarende sannsynligheten.

Og dette er, om ikke en Terminator, så i det minste en kaldblodig idrettsutøver =)

Beslutning: for å beregne det mest sannsynlige antallet treff, bruk dobbel ulikhet . PÅ denne saken:

- totalt kast;
- sannsynligheten for å treffe kurven med hvert kast;
er sannsynligheten for en miss på hvert kast.

Dermed er det mest sannsynlige antallet treff i 8 kast innenfor følgende grenser:

Fordi den venstre grensen er et brøktall (vare nr. 1), så er det en enkelt mest sannsynlig verdi, og den er åpenbart lik .

Bruker Bernoulli-formelen , beregn sannsynligheten for at det i 8 kast vil være nøyaktig 2 treff:

Svar: - det mest sannsynlige antallet treff med 8 kast,
er den tilsvarende sannsynligheten.

En lignende oppgave for en uavhengig løsning:

Oppgave 5

Mynten kastes 9 ganger. Finn sannsynligheten for det mest sannsynlige antallet forekomster av en ørn

Eksempel på løsning og svar på slutten av leksjonen.

Etter en spennende digresjon, la oss se på noen flere problemer, og så vil jeg dele hemmeligheten bak det riktige spillet gambling og lotterier.

Oppgave 6

Blant produktene som produseres på en automatisk maskin, er det i gjennomsnitt 60% av produktene av første klasse. Hva er sannsynligheten for at det blant 6 tilfeldig utvalgte elementer vil være:

a) fra 2 til 4 produkter av første klasse;
b) minst 5 produkter av første klasse;
c) minst ett produkt av lavere karakter.

Sannsynligheten for å produsere et førsteklasses produkt er ikke avhengig av kvaliteten på andre produserte produkter, så her snakker vi om uavhengig testing. Prøv å ikke forsømme analysen av tilstanden, ellers kan det vise seg at hendelsene avhengig Eller problemet er noe helt annet.

Beslutning: sannsynligheten er kryptert i prosent, som jeg minner om må deles på hundre: - sannsynligheten for at det valgte produktet vil være av 1. klasse.
Da: - sannsynligheten for at det ikke blir førsteklasses.

a) Begivenhet "Blant 6 tilfeldig utvalgte produkter vil det være fra 2 til 4 produkter av første klasse" består av tre inkompatible utfall:

blant produktene vil det være 2 førsteklasses eller 3 første klasse eller 4 første klasse.

Det er mer praktisk å håndtere utfall separat. Vi bruker Bernoulli-formelen tre ganger :

- sannsynligheten for at minst 5 av seks datamaskiner i løpet av dagen vil fungere uten feil.

Gitt verdi vil ikke passe oss heller, siden det er mindre enn den nødvendige påliteligheten til datasenteret:

Dermed er heller ikke seks datamaskiner nok. La oss legge til en til:

3) La det være datamaskiner i datasenteret. Da bør 5, 6 eller 7 datamaskiner fungere uten feil. Ved å bruke Bernoulli-formelen og addisjonsteorem for sannsynlighetene for uforenlige hendelser, finner vi sannsynligheten for at i løpet av dagen vil minst 5 datamaskiner av syv fungere uten feil.