La oss bruke brøkreduksjon 23. Brøkreduksjon: regler og eksempler

I sist Vi har satt sammen en plan som du kan følge for å lære hvordan du raskt kan redusere brøker. La oss nå vurdere spesifikke eksempler reduksjon av fraksjoner.

Eksempler.

La oss sjekke om det største tallet er delelig med det minste tallet (teller for nevner eller nevner med teller)? Ja, i alle disse tre eksemplene er det største tallet delt på det mindre tallet. Dermed reduserer vi hver brøk med det minste av tallene (med telleren eller med nevneren). Vi har:

La oss sjekke om det største tallet er delelig med det minste tallet? Nei, den deler ikke.

Så går vi videre til å sjekke neste punkt: slutter inntastingen av både telleren og nevneren med en, to eller flere nuller? I det første eksemplet slutter telleren og nevneren på null, i det andre eksemplet to nuller, og i det tredje tre nuller. Dette betyr at vi reduserer den første brøken med 10, den andre med 100 og den tredje med 1000:

Vi har irreduserbare brøker.

Et større tall kan ikke deles på et mindre tall, og tall slutter ikke med null.

La oss nå sjekke om telleren og nevneren er i samme kolonne i multiplikasjonstabellen? 36 og 81 er begge delbare med 9, 28 og 63 er delbare med 7, og 32 og 40 er delbare med 8 (de er også delbare med 4, men hvis det er et valg, vil vi alltid redusere med en større). Dermed kommer vi til svarene:

Alle tall oppnådd er irreduserbare brøker.

Et større tall kan ikke deles på et mindre tall. Men posten til både telleren og nevneren ender på null. Så vi reduserer brøken med 10:

Denne andelen kan fortsatt reduseres. Vi sjekker multiplikasjonstabellen: både 48 og 72 er delbare med 8. Vi reduserer brøken med 8:

Vi kan også redusere den resulterende brøken med 3:

Denne fraksjonen er irreduserbar.

Det større tallet er ikke delelig med det mindre tallet. Telleren og nevneren slutter på null Dette betyr at vi reduserer brøken med 10.

Vi sjekker tallene som er oppnådd i telleren og nevneren for og. Siden summen av sifrene til både 27 og 531 er delelig med 3 og 9, kan denne brøken reduseres med enten 3 eller 9. Vi velger den største og reduserer med 9. Resultatet er en ikke-reduserbar brøk.

Hvis vi trenger å dele 497 på 4, så når vi deler vil vi se at 497 ikke er jevnt delelig med 4, dvs. resten av divisjonen gjenstår. I slike tilfeller sies det at den er fullført divisjon med resten, og løsningen er skrevet som følger:
497: 4 = 124 (1 rest).

Divisjonskomponentene på venstre side av likheten kalles det samme som i divisjon uten rest: 497 - utbytte, 4 - deler. Resultatet av divisjon når det deles med en rest kalles ufullstendig privat. I vårt tilfelle er dette tallet 124. Og til slutt er den siste komponenten, som ikke er i ordinær divisjon, rest. I tilfeller der det ikke er noen rest, sies ett tall å være delt med et annet uten spor, eller helt. Det antas at med en slik deling er resten null. I vårt tilfelle er resten 1.

Resten er alltid mindre enn divisoren.

Divisjon kan kontrolleres ved multiplikasjon. Hvis det for eksempel er en likhet 64: 32 = 2, kan kontrollen gjøres slik: 64 = 32 * 2.

Ofte i tilfeller hvor deling med en rest utføres, er det praktisk å bruke likheten
a = b * n + r,
hvor a er utbyttet, b er deleren, n er den ufullstendige kvotienten, r er resten.

Kvotienten av naturlige tall kan skrives som en brøk.

Telleren til en brøk er utbyttet, og nevneren er divisor.

Siden telleren til en brøk er utbyttet, og nevneren er divisor, tror at linjen i en brøk betyr delingshandlingen. Noen ganger er det praktisk å skrive divisjon som en brøk uten å bruke ":"-tegnet.

Kvotienten av delingen av naturlige tall m og n kan skrives som en brøk \(\frac(m)(n) \), der telleren m er utbyttet, og nevneren n er divisor:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Følgende regler er sanne:

For å få brøken \(\frac(m)(n)\), må du dele en på n like deler(aksjer) og ta m slike deler.

For å få brøken \(\frac(m)(n)\), må du dele tallet m med tallet n.

For å finne en del av en helhet, må du dele tallet som tilsvarer helheten med nevneren og multiplisere resultatet med telleren til brøken som uttrykker denne delen.

For å finne en helhet fra dens del, må du dele tallet som tilsvarer denne delen med telleren og multiplisere resultatet med nevneren til brøken som uttrykker denne delen.

Hvis både telleren og nevneren til en brøk multipliseres med det samme tallet (unntatt null), vil ikke verdien av brøken endres:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Hvis både telleren og nevneren for en brøk er delt med samme tall (unntatt null), vil ikke verdien av brøken endres:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Denne egenskapen kalles hovedegenskapen til en brøk.

De to siste transformasjonene kalles redusere en brøkdel.

Hvis brøker må representeres som brøker med samme nevner, kalles denne handlingen redusere fraksjoner til fellesnevner .

Riktige og uekte brøker. Blandede tall

Du vet allerede at en brøk kan oppnås ved å dele en helhet i like deler og ta flere slike deler. For eksempel betyr brøken \(\frac(3)(4)\) tre fjerdedeler av én. I mange av oppgavene i forrige avsnitt ble brøker brukt for å representere deler av en helhet. Sunn fornuft foreslår at delen alltid skal være mindre enn helheten, men hva med brøker som for eksempel \(\frac(5)(5)\) eller \(\frac(8)(5)\)? Det er tydelig at dette ikke lenger er en del av enheten. Dette er sannsynligvis grunnen til at brøker hvis teller er større enn eller lik nevneren kalles uekte brøker. Andre brøker, dvs. brøker hvis teller mindre enn nevneren, kalt riktige brøker.

Som du vet, noen vanlig brøk, både riktig og feil, kan betraktes som et resultat av å dele telleren med nevneren. Derfor, i matematikk, i motsetning til vanlig språk, betyr ikke uttrykket "uegentlig brøk" at vi har gjort noe galt, men bare at telleren til denne brøken er større enn eller lik nevneren.

Hvis et tall består av en heltallsdel og en brøk, så slik fraksjoner kalles blandede.

For eksempel:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 er heltallsdelen, og \(\frac(2)(3) \) er brøkdelen.

Hvis telleren til brøken \(\frac(a)(b)\) er delelig med et naturlig tall n, så for å dele denne brøken på n, må telleren divideres med dette tallet:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Hvis telleren til brøken \(\frac(a)(b)\) ikke er delelig med et naturlig tall n, så for å dele denne brøken på n, må du multiplisere nevneren med dette tallet:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Merk at den andre regelen også er sann når telleren er delelig med n. Derfor kan vi bruke det når det er vanskelig å bestemme ved første øyekast om telleren til en brøk er delelig med n eller ikke.

Handlinger med brøker. Legge til brøker.

Med brøktall, som med naturlige tall, kan du gjøre det aritmetiske operasjoner. La oss først se på å legge til brøker. Legg enkelt til brøker med samme nevnere. La oss for eksempel finne summen av \(\frac(2)(7)\) og \(\frac(3)(7)\). Det er lett å forstå at \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la nevneren være den samme.

Ved å bruke bokstaver kan regelen for å legge til brøker med like nevnere skrives som følger:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Hvis du trenger å legge til brøker med ulike nevnere, så må de først bringes til en fellesnevner. For eksempel:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

For brøker, som for naturlige tall, er de kommutative og assosiative egenskapene til addisjon gyldige.

Tilsetning av blandede fraksjoner

Notasjoner som \(2\frac(2)(3)\) kalles blandede fraksjoner. I dette tilfellet kalles tallet 2 hele delen blandet brøk, og tallet \(\frac(2)(3)\) er dens brøkdel. Oppføringen \(2\frac(2)(3)\) leses som følger: "to og to tredjedeler."

Når du deler tallet 8 med tallet 3, kan du få to svar: \(\frac(8)(3)\) og \(2\frac(2)(3)\). De uttrykker det samme brøktallet, dvs. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Dermed er den uekte brøken \(\frac(8)(3)\) representert som en blandet brøk \(2\frac(2)(3)\). I slike tilfeller sies det det uekte brøk fremhevet hele delen.

Å trekke fra brøker (brøktall)

Subtraksjon brøktall, som naturlige tall, bestemmes på grunnlag av handlingen addisjon: å trekke et annet fra ett tall betyr å finne et tall som, når det legges til det andre, gir det første. For eksempel:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) siden \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Regelen for å trekke fra brøker med like nevnere er lik regelen for å legge til slike brøker:
For å finne forskjellen mellom brøker med samme nevner, må du trekke fra telleren til den andre fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme.

Ved å bruke bokstaver er denne regelen skrevet slik:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplisere brøker

For å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere deres tellere og nevnere og skrive det første produktet som teller, og det andre som nevner.

Ved å bruke bokstaver kan regelen for å multiplisere brøker skrives som følger:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Ved å bruke den formulerte regelen kan du multiplisere en brøk med et naturlig tall, med en blandet brøk, og også multiplisere blandede brøker. For å gjøre dette må du skrive et naturlig tall som en brøk med nevneren 1, og en blandet brøk som en uekte brøk.

Resultatet av multiplikasjon bør forenkles (hvis mulig) ved å redusere brøken og isolere hele delen av den uekte brøken.

For brøker, som for naturlige tall, er de kommutative og kombinative egenskapene til multiplikasjon, samt den distributive egenskapen til multiplikasjon i forhold til addisjon, gyldige.

Inndeling av brøker

La oss ta brøken \(\frac(2)(3)\) og "snu" den, og bytter teller og nevner. Vi får brøken \(\frac(3)(2)\). Denne brøken kalles omvendt brøker \(\frac(2)(3)\).

Hvis vi nå «reverserer» brøken \(\frac(3)(2)\), vil vi få den opprinnelige brøken \(\frac(2)(3)\). Derfor kalles brøker som \(\frac(2)(3)\) og \(\frac(3)(2)\) gjensidig omvendt.

For eksempel, brøkene \(\frac(6)(5) \) og \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) og \(\frac (18) )(7)\).

Ved å bruke bokstaver kan gjensidige brøker skrives som følger: \(\frac(a)(b) \) og \(\frac(b)(a) \)

Det er klart at produktet av gjensidige fraksjoner er lik 1. For eksempel: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Ved å bruke gjensidige brøker kan du redusere deling av brøker til multiplikasjon.

Regelen for å dele en brøk med en brøk er:
For å dele en brøk med en annen, må du multiplisere utbyttet med den gjensidige av divisoren.

Ved å bruke bokstaver kan regelen for å dele brøker skrives som følger:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Hvis utbyttet eller deleren er naturlig tall eller blandet fraksjon, så for å bruke regelen for å dele brøker, må den først representeres som en uekte brøk.

I denne artikkelen skal vi se nærmere på hvordan reduserende fraksjoner. La oss først diskutere det som kalles å redusere en brøk. Etter dette, la oss snakke om å redusere en reduserbar brøkdel til en irreduserbar form. Deretter vil vi få tak i regelen for å redusere brøker og til slutt vurdere eksempler på anvendelsen av denne regelen.

Sidenavigering.

Hva vil det si å redusere en brøkdel?

Vi vet at vanlige brøker deles inn i reduserbare og irreduserbare brøker. Du kan gjette ut fra navnene at reduserbare brøker kan reduseres, men ikke reduserbare brøker.

Hva vil det si å redusere en brøkdel? Reduser fraksjon- dette betyr å dele telleren og nevneren med deres positive og forskjellig fra enhet. Det er klart at som et resultat av å redusere en brøk, oppnås en ny brøk med en mindre teller og nevner, og på grunn av den grunnleggende egenskapen til brøken er den resulterende brøken lik den opprinnelige.

La oss for eksempel redusere fellesbrøken 8/24 ved å dele telleren og nevneren med 2. Med andre ord, la oss redusere brøken 8/24 med 2. Siden 8:2=4 og 24:2=12, resulterer denne reduksjonen i brøken 4/12, som er lik den opprinnelige brøken 8/24 (se like og ulik brøk). Som et resultat har vi .

Reduserer vanlige fraksjoner til irreduserbar form

Vanligvis er det endelige målet med å redusere en brøk å oppnå en irreduserbar brøk som er lik den opprinnelige reduserbare brøken. Dette målet kan oppnås ved å redusere den opprinnelige reduserbare brøken med dens teller og nevner. Som et resultat av en slik reduksjon oppnås alltid en irreduserbar fraksjon. Faktisk en brøkdel er irreduserbar, siden det er kjent at Og -. Her vil vi si at den største felles deler Telleren og nevneren for brøken er det største antallet, som denne fraksjonen kan reduseres med.

Så, redusere en vanlig brøk til en irreduserbar form består av å dele telleren og nevneren til den opprinnelige reduserbare brøken med deres gcd.

La oss se på et eksempel, hvor vi går tilbake til brøken 8/24 og reduserer den med den største felles divisor av tallene 8 og 24, som er lik 8. Siden 8:8=1 og 24:8=3 kommer vi til den irreduserbare brøken 1/3. Så, .

Legg merke til at uttrykket "reduser en brøk" ofte betyr å redusere den opprinnelige brøken til dens irreduserbare form. Med andre ord, å redusere en brøk refererer veldig ofte til å dele telleren og nevneren med deres største felles faktor (i stedet for med noen felles faktor).

Hvordan redusere en brøkdel? Regler og eksempler for å redusere brøker

Det gjenstår bare å se på regelen for reduksjon av brøker, som forklarer hvordan man reduserer gitt brøk.

Regel for reduksjon av brøker består av to trinn:

først, gcd av telleren og nevneren for brøken er funnet;
for det andre deles telleren og nevneren til brøken på deres gcd, noe som gir en irreduserbar brøk lik den opprinnelige.

La oss ordne opp i det eksempel på å redusere en brøkdel etter oppgitt regel.

Eksempel.

Reduser brøken 182/195.

Løsning.

La oss utføre begge trinnene foreskrevet av regelen for å redusere en brøkdel.

Først finner vi GCD(182, 195) . Det er mest praktisk å bruke Euklid-algoritmen (se): 195=182·1+13, 182=13·14, det vil si GCD(182, 195)=13.

Nå deler vi telleren og nevneren til brøken 182/195 med 13, og vi får den irreduserbare brøken 14/15, som er lik den opprinnelige brøken. Dette fullfører reduksjonen av fraksjonen.

Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .

Svar:

Det er her vi kan avslutte med å redusere brøker. Men for å fullføre bildet, la oss se på ytterligere to måter å redusere brøker på, som vanligvis brukes i enkle tilfeller.

Noen ganger er telleren og nevneren for brøken som reduseres ikke vanskelig. Å redusere en brøk i dette tilfellet er veldig enkelt: du trenger bare å fjerne alle vanlige faktorer fra telleren og nevneren.

Det er verdt å merke seg at denne metoden følger direkte av regelen om reduserende brøker, siden produktet av alle vanlige primfaktorer for telleren og nevneren er lik deres største felles divisor.

La oss se på løsningen på eksempelet.

Eksempel.

Reduser fraksjonen 360/2 940.

Løsning.

La oss utvide telleren og nevneren til primære faktorer: 360=2.2.2.3.3.5 og 2.940=2.2.3.5.7.7. Dermed, .

Nå blir vi kvitt de vanlige faktorene i telleren og nevneren for enkelhets skyld, vi krysser dem ganske enkelt ut: .

Til slutt multipliserer vi de resterende faktorene: , og reduksjonen av brøken er fullført.

Her kort notat løsninger: .

Svar:

La oss vurdere en annen måte å redusere en brøk på, som består av sekvensiell reduksjon. Her, ved hvert trinn, reduseres brøken med en felles deler av telleren og nevneren, som enten er åpenbar eller lett å bestemme ved hjelp av

Mange elever gjør de samme feilene når de jobber med brøker. Og alt fordi de glemmer grunnleggende regler aritmetikk. I dag skal vi gjenta disse reglene på spesifikke oppgaver som jeg gir i timene mine.

Her er oppgaven jeg tilbyr til alle som forbereder seg til Unified State Exam i matematikk:

Oppgave. Nise spiser 150 gram mat per dag. Men hun vokste opp og begynte å spise 20 % mer. Hvor mange gram fôr spiser grisen nå?

Ikke riktig løsning. Dette er et prosentproblem som koker ned til ligningen:

Mange (veldig mange) reduserer tallet 100 i telleren og nevneren til en brøk:

Dette er feilen min elev gjorde akkurat den dagen da han skrev denne artikkelen. Tall som er avkortet er merket med rødt.

Unødvendig å si var svaret feil. Døm selv: grisen spiste 150 gram, men begynte å spise 3150 gram. Økningen er ikke 20 %, men 21 ganger, d.v.s. med 2000 %.

For å unngå slike misforståelser, husk den grunnleggende regelen:

Bare multiplikatorer kan reduseres. Vilkårene kan ikke reduseres!

Dermed ser den riktige løsningen på det forrige problemet slik ut:

Tall som er forkortet i teller og nevner er markert med rødt. Som du kan se, er telleren produktet, nevneren er det ordinært nummer. Derfor er reduksjonen helt lovlig.

Arbeid med proporsjoner

Et annet problemområde er proporsjoner. Spesielt når variabelen er på begge sider. For eksempel:

Oppgave. Løs ligningen:

Feil løsning - noen mennesker bokstavelig talt klør etter å forkorte alt med m:

Reduserte variabler vises i rødt. Uttrykket 1/4 = 1/5 viser seg å være fullstendig tull, disse tallene er aldri like.

Og nå - den riktige avgjørelsen. I hovedsak er det vanlig lineær ligning . Det kan løses enten ved å flytte alle elementene til én side, eller ved den grunnleggende proporsjonsegenskapen:

Mange lesere vil innvende: "Hvor er feilen i den første løsningen?" Vel, la oss finne ut av det. La oss huske regelen for å jobbe med ligninger:

Enhver ligning kan deles og multipliseres med et hvilket som helst tall, ikke-null.

Gikk du glipp av trikset? Du kan bare dele på tall ikke-null. Spesielt kan du dele med en variabel m bare hvis m != 0. Men hva om, tross alt, m = 0? La oss erstatte og sjekke:

Vi fikk riktig numerisk likhet, dvs. m = 0 er roten av ligningen. For de resterende m != 0 får vi et uttrykk på formen 1/4 = 1/5, som naturligvis er feil. Dermed er det ingen ikke-null røtter.

Konklusjon: å sette det hele sammen

Så for å løse rasjonelle brøklikninger husk tre regler:

Bare multiplikatorer kan reduseres. Tillegg er ikke mulig. Lær derfor å faktorisere telleren og nevneren;
Grunnleggende proporsjonsegenskap: produkt ekstreme elementer lik produktet av gjennomsnittene;
Ligninger kan bare multipliseres og divideres med andre tall k enn null. Saken k = 0 må kontrolleres separat.

Husk disse reglene og ikke gjør feil.

Inndeling og telleren og nevneren av brøken på deres felles deler, forskjellig fra en, kalles redusere en brøkdel.

For å redusere en vanlig brøk, må du dele telleren og nevneren med det samme naturlige tallet.

Dette tallet er den største felles divisor for telleren og nevneren for den gitte brøken.

Følgende er mulig skjema for beslutningsopptak Eksempler for å redusere vanlige brøker.

Studenten har rett til å velge hvilken som helst form for opptak.

Eksempler. Forenkle brøker.

Reduser brøken med 3 (del telleren med 3;

del nevneren med 3).

Reduser brøken med 7.

Vi utfører de angitte handlingene i telleren og nevneren til brøken.

Den resulterende fraksjonen reduseres med 5.

La oss redusere denne brøkdelen 4) på 5·7³- den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren, som består av fellesfaktorene til telleren og nevneren, tatt i potens med den minste eksponenten.

La oss faktorisere telleren og nevneren til denne brøken i primfaktorer.

Vi får: 756=2²·3³·7 Og 1176=2³·3·7².

Bestem GCD (største felles divisor) for telleren og nevneren til brøken 5) .

Dette er produktet av vanlige faktorer tatt med de laveste eksponentene.

GCD(756; 1176)= 2²·3·7.

Vi deler telleren og nevneren for denne brøken med deres gcd, dvs. med 2²·3·7 vi får en irreduserbar brøk 9/14 .

Eller det var mulig å skrive nedbrytningen av teller og nevner i form av et produkt av primfaktorer, uten å bruke potensbegrepet, og deretter redusere brøken ved å krysse ut de samme faktorene i telleren og nevneren. Når identiske multiplikatorer vil ikke forbli - vi multipliserer de resterende faktorene separat i telleren og separat i nevneren og skriver ut den resulterende brøken 9/14 .

Og til slutt var det mulig å redusere denne brøkdelen 5) gradvis, ved å bruke tegn på å dele tall på både telleren og nevneren av brøken. Vi resonnerer slik: tall 756 Og 1176 ende på et partall, som betyr at begge er delbare med 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Telleren og nevneren til den nye brøken er tall 378 Og 588 også delt inn i 2 . Vi reduserer brøken med 2 . Vi merker at tallet 294 - til og med, og 189 er oddetall, og reduksjon med 2 er ikke lenger mulig. La oss sjekke delebarheten til tall 189 Og 294 på 3 .

(1+8+9)=18 er delelig med 3 og (2+9+4)=15 er delelig med 3, derav tallene i seg selv 189 Og 294 er delt inn i 3 . Vi reduserer brøken med 3 . Lengre, 63 er delelig med 3 og 98 - Nei. La oss se på andre hovedfaktorer. Begge tallene er delbare med 7 . Vi reduserer brøken med 7 og vi får den irreduserbare brøken 9/14 .