Fjærpendel maksimal hastighet. EN

Leger under påvirkning av en elastisk kraft, hvis potensielle energi er proporsjonal med kvadratet av kroppens forskyvning fra likevektsposisjonen:

hvor k er fjærstivheten.

Med frie mekaniske vibrasjoner endres kinetiske og potensielle energier med jevne mellomrom. Ved det maksimale avviket til et legeme fra dets likevektsposisjon, forsvinner dets hastighet, og derfor dens kinetiske energi. I denne posisjonen når den potensielle energien til den oscillerende kroppen sin maksimale verdi. For en belastning på en horisontal fjær er potensiell energi energien til elastisk deformasjon av fjæren.

Når et legeme i sin bevegelse passerer gjennom likevektsposisjonen, er hastigheten maksimal. I dette øyeblikket har den maksimal kinetisk og minimal potensiell energi. Øke kinetisk energi oppstår på grunn av en nedgang potensiell energi. Med ytterligere bevegelse begynner potensiell energi å øke på grunn av en reduksjon i kinetisk energi, etc.

Under harmoniske svingninger oppstår således en periodisk transformasjon av kinetisk energi til potensiell energi og omvendt.

Hvis det ikke er friksjon i det oscillerende systemet, fullfør mekanisk energi under frie oscillasjoner forblir uendret.

For fjærvekt:

Den oscillerende bevegelsen av kroppen startes ved hjelp av Start-knappen. Stopp-knappen lar deg stoppe prosessen når som helst.

Viser grafisk forholdet mellom potensielle og kinetiske energier under svingninger til enhver tid. Merk at i fravær av demping total energi det oscillerende systemet forblir uendret, den potensielle energien når et maksimum med kroppens maksimale avvik fra likevektsposisjonen, og den kinetiske energien tar maksimal verdi når en kropp passerer gjennom en likevektsposisjon.

(1.7.1)

Hvis kulen forskyves fra likevektsposisjonen med en avstand x, vil fjærens forlengelse bli lik Δl 0 + x. Da vil den resulterende kraften ta verdien:

Tar vi hensyn til likevektstilstanden (1.7.1), får vi:

Minustegnet indikerer at forskyvningen og kraften er i motsatte retninger.

Elastisk kraft f har følgende egenskaper:

Den er proporsjonal med forskyvningen av ballen fra dens likevektsposisjon;
Den er alltid rettet mot likevektsposisjonen.

For å informere systemet om offset x, må du gjøre det motsatte elastisk kraft jobb:

Dette arbeid pågårå lage en reserve av potensiell energi til systemet:

Under påvirkning av en elastisk kraft vil ballen bevege seg mot likevektsposisjonen med en stadig økende hastighet. Derfor vil den potensielle energien til systemet avta, men den kinetiske energien vil øke (vi neglisjerer massen til fjæren). Etter å ha nådd likevektsposisjonen, vil ballen fortsette å bevege seg med treghet. Dette er sakte film og vil stoppe når den kinetiske energien er fullstendig omdannet til potensiell energi. Da vil den samme prosessen skje når ballen beveger seg inn motsatt retning. Hvis det ikke er friksjon i systemet, vil ballen oscillere i det uendelige.

Ligningen til Newtons andre lov i dette tilfellet er:

La oss transformere ligningen slik:

Ved å introdusere notasjonen får vi en lineær homogen differensial ligning andre bestilling:

Det er lett å verifisere det ved direkte substitusjon felles vedtak ligning (1.7.8) har formen:

hvor a er amplituden og φ er startfasen av oscillasjonen - konstanter. Derfor svingningen fjærpendel er harmonisk (fig. 1.7.2).

Ris. 1.7.2. Harmonisk svingning

På grunn av periodisiteten til cosinus, gjentas forskjellige tilstander i det oscillerende systemet etter en viss tidsperiode (oscillasjonsperiode) T, hvor oscillasjonsfasen mottar en økning på 2π. Du kan beregne perioden ved å bruke likheten:

som følger:

Antall oscillasjoner per tidsenhet kalles frekvens:

Frekvensenheten er frekvensen til en slik oscillasjon, hvis periode er 1 s. Denne enheten kalles 1 Hz.

Fra (1.7.11) følger det at:

Derfor er ω 0 antallet svingninger fullført på 2π sekunder. Mengden ω 0 kalles sirkulær eller syklisk frekvens. Ved å bruke (1.7.12) og (1.7.13) skriver vi:

Ved å differensiere () med hensyn til tid, får vi et uttrykk for ballens hastighet:

Fra (1.7.15) følger det at hastigheten også endres i henhold til en harmonisk lov og øker faseforskyvningen med ½π. Ved å differensiere (1.7.15), får vi akselerasjon:

1.7.2. Matematikkpendel

Matematisk pendel kalt et idealisert system som består av en uutvidelig vektløs tråd, hvorpå et legeme er suspendert, hvis hele massen er konsentrert på ett punkt.

Pendelens avvik fra likevektsposisjonen er preget av vinkelen φ som dannes av tråden med vertikalen (fig. 1.7.3).

Ris. 1.7.3. Matematikkpendel

Når pendelen avviker fra likevektsposisjonen, dreiemoment, som har en tendens til å returnere pendelen til sin likevektsposisjon:

La oss skrive den dynamiske ligningen for pendelen rotasjonsbevegelse, tatt i betraktning at treghetsmomentet er lik ml 2:

Denne ligningen kan reduseres til formen:

Begrenser oss til tilfellet med små oscillasjoner sinφ ≈ φ og introduserer notasjonen:

ligning (1.7.19) kan representeres som følger:

som sammenfaller i form med ligningen for oscillasjoner til en fjærpendel. Derfor vil løsningen være en harmonisk oscillasjon:

Fra (1.7.20) følger det at den sykliske frekvensen av svingninger matematisk pendel avhenger av lengden og akselerasjonen fritt fall. Ved å bruke formelen for oscillasjonsperioden () og (1.7.20), får vi det velkjente forholdet:

1.7.3. Fysisk pendel

En fysisk pendel kalles fast, i stand til å svinge rundt fast punkt, ikke sammenfallende med treghetssenteret. I likevektsposisjonen er treghetssenteret til pendelen C plassert under opphengspunktet O på samme vertikal (fig. 1.7.4).

Ris. 1.7.4. Fysisk pendel

Når pendelen avviker fra likevektsposisjonen med en vinkel φ, oppstår et rotasjonsmoment, som har en tendens til å returnere pendelen til likevektsposisjonen:

der m er massen til pendelen, l er avstanden mellom opphengspunktet og treghetssenteret til pendelen.

La oss skrive ligningen for dynamikken til rotasjonsbevegelse for pendelen, og ta i betraktning at treghetsmomentet er lik I:

For små vibrasjoner sinφ ≈ φ. Deretter introduserer notasjonen:

som også sammenfaller i form med ligningen for oscillasjoner til en fjærpendel. Av ligningene (1.7.27) og (1.7.26) følger det at for små avvik fysisk pendel fra likevektsposisjonen utfører den en harmonisk oscillasjon, hvis frekvens avhenger av pendelens masse, treghetsmomentet og avstanden mellom rotasjonsaksen og treghetssenteret. Ved å bruke (1.7.26), kan du beregne oscillasjonsperioden:

Ved å sammenligne formler (1.7.28) og () får vi at en matematisk pendel med lengde:

vil ha samme svingeperiode som den betraktede fysiske pendelen. Mengden (1.7.29) kalles gitt lengde fysisk pendel. Følgelig er den reduserte lengden på en fysisk pendel lengden på en matematisk pendel hvis svingeperiode er lik svingeperioden til en gitt fysisk pendel.

Et punkt på en rett linje som forbinder opphengspunktet med treghetssenteret, som ligger i en avstand på redusert lengde fra rotasjonsaksen, kalles svingsenter fysisk pendel. I følge Steiners teorem er treghetsmomentet til en fysisk pendel lik:

hvor I 0 er treghetsmomentet i forhold til treghetssenteret. Ved å erstatte (1.7.30) med (1.7.29), får vi:

Følgelig er den reduserte lengden alltid større enn avstanden mellom opphengspunktet og treghetssenteret til pendelen, slik at opphengspunktet og svingsenteret ligger langs forskjellige sider fra treghetssenteret.

1.7.4. Energi av harmoniske vibrasjoner

Med harmonisk vibrasjon skjer det en periodisk gjensidig konvertering av den kinetiske energien til det oscillerende legemet E k og den potensielle energien E p, forårsaket av virkningen av en kvasi-elastisk kraft. Disse energiene utgjør den totale energien E til oscillerende systemet:

La oss skrive ut det siste uttrykket

Men k = mω 2, så vi får et uttrykk for den totale energien til det oscillerende legemet

Dermed er den totale energien til en harmonisk vibrasjon konstant og proporsjonal med kvadratet på amplituden og kvadratet på den sirkulære frekvensen til vibrasjonen.

1.7.5. Dempede svingninger .

Når du studerer harmoniske vibrasjoner friksjons- og motstandskreftene som finnes i ekte systemer. Virkningen av disse kreftene endrer bevegelsens natur betydelig, svingningen blir falmer.

Hvis det i systemet, i tillegg til den kvasi-elastiske kraften, er motstandskrefter til mediet (friksjonskrefter), kan Newtons andre lov skrives som følger:

hvor r er friksjonskoeffisienten som karakteriserer egenskapene til mediet for å motstå bevegelse. La oss erstatte (1.7.34b) med (1.7.34a):

Grafen for denne funksjonen er vist i fig. 1.7.5 med heltrukket kurve 1, og stiplet linje 2 viser endringen i amplitude:

Med svært liten friksjon er perioden med dempet oscillasjon nær perioden med udempet fri vibrasjon(1.7.35.b)

Graden av reduksjon i amplituden til oscillasjoner bestemmes dempningskoeffisient: jo større β, jo sterkere er den hemmende effekten av mediet og jo raskere avtar amplituden. I praksis karakteriseres ofte graden av dempning logaritmisk dempingsreduksjon, betyr med dette en verdi lik naturlig logaritme forholdet mellom to påfølgende oscillasjonsamplituder atskilt med et tidsintervall lik oscillasjonsperioden:

;

Derfor er dempningskoeffisienten og logaritmisk dekrement dempningene er knyttet til et ganske enkelt forhold:

Med sterk demping viser formel (1.7.37) at svingeperioden er en tenkt størrelse. Bevegelsen i dette tilfellet er allerede kalt aperiodisk. Grafen for aperiodisk bevegelse er vist i fig. 1.7.6. Kontinuerlig og dempet svingninger kalt egen eller gratis. De oppstår på grunn av initial forskyvning eller starthastighet og gjennomføres i fravær ytre påvirkning på grunn av den opprinnelig akkumulerte energien.

1.7.6. Tvungede vibrasjoner. Resonans .

Tvunget oscillasjoner er de som oppstår i et system med deltakelse ekstern kraft, varierende i henhold til en periodisk lov.

La oss anta det materiell poeng i tillegg til den kvasi-elastiske kraften og friksjonskraften er det en ytre drivkraft

hvor Fo - amplitude; ω - sirkulær frekvens av oscillasjoner av drivkraften. La oss lage en differensialligning (Newtons andre lov):

Amplituden til tvungen oscillasjon (1.7.39) er direkte proporsjonal med amplituden til drivkraften og har kompleks avhengighet på dempningskoeffisienten til mediet og de sirkulære frekvensene til naturlige og tvungne oscillasjoner. Hvis ω 0 og β er gitt for systemet, så er amplituden tvangssvingninger har en maksimal verdi på noen en viss frekvens tvingende kraft kalles resonans.

Fenomenet i seg selv - å oppnå maksimal amplitude for gitt ω 0 og β - kalles resonans.

Ris. 1.7.7. Resonans

I fravær av motstand er amplituden til tvungne oscillasjoner ved resonans uendelig stor. I dette tilfellet, fra ω res =ω 0, dvs. resonans i et system uten demping oppstår når frekvensen til drivkraften faller sammen med frekvensen av naturlige svingninger. Grafisk avhengighet av amplituden til tvungne oscillasjoner på den sirkulære frekvensen til drivkraften ved forskjellige betydninger dempningskoeffisient er vist i fig. 5.

Mekanisk resonans kan være både gunstig og skadelig. De skadelige effektene av resonans skyldes hovedsakelig ødeleggelsene den kan forårsake. Så, i teknologi, med tanke på forskjellige vibrasjoner, er det nødvendig å gi mulige hendelser resonansforhold, ellers kan det oppstå ødeleggelser og katastrofer. Kroppene har vanligvis flere naturlige vibrasjonsfrekvenser og følgelig flere resonansfrekvenser.

Hvis dempningskoeffisienten til de indre organene til en person ikke var stor, så resonansfenomenene som oppsto i disse organene under påvirkning av ytre vibrasjoner eller lydbølger, kan føre til tragiske konsekvenser: ruptur av organer, skade på leddbånd, etc. Imidlertid observeres slike fenomener praktisk talt ikke under moderat ytre påvirkning, siden dempningskoeffisienten til biologiske systemer er ganske stor. Likevel, resonansfenomener under påvirkning av ytre mekaniske vibrasjoner oppstå i Indre organer. Dette er tilsynelatende en av grunnene til den negative effekten av infrasoniske vibrasjoner og vibrasjoner på menneskekroppen.

1.7.7. Selvsvingninger

Det finnes også oscillerende systemer som selv regulerer den periodiske påfyllingen av bortkastet energi og derfor kan svinge i lang tid.

Udempede oscillasjoner som eksisterer i ethvert system i fravær av en variabel ytre påvirkning kalles selvsvingninger, og selve systemene - selvsvingende.

Amplituden og frekvensen til selvsvingninger avhenger av egenskapene i det selvsvingende systemet selv; i motsetning til tvangssvingninger, bestemmes de ikke av ytre påvirkninger.

I mange tilfeller kan selvsvingende systemer representeres av tre hovedelementer (fig. 1.7.8): 1) selve oscillerende systemet; 2) energikilde; 3) regulator av energitilførsel til selve oscillerende systemet. Oscillerende system etter kanal tilbakemelding(Fig. 6) påvirker regulatoren, og informerer regulatoren om tilstanden til dette systemet.

Et klassisk eksempel på et mekanisk selvoscillerende system er en klokke der en pendel eller balanse er et oscillerende system, en fjær eller en hevet vekt er en energikilde, og et anker er en regulator av energistrømmen fra kilden. inn i det oscillerende systemet.

Mange biologiske systemer(hjerte, lunger osv.) er selvsvingende. Et typisk eksempel på et elektromagnetisk selvoscillerende system er generatorer av selvoscillerende svingninger.

1.7.8. Tillegg av svingninger i én retning

Tenk på tillegg av to harmoniske svingninger i samme retning og samme frekvens:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

En harmonisk oscillasjon kan spesifiseres ved hjelp av en vektor, hvis lengde er lik amplituden til oscillasjonene, og retningen danner en vinkel med en viss akse lik startfasen av oscillasjonene. Hvis denne vektoren roterer med vinkelhastighetω 0, vil projeksjonen på den valgte aksen endres i henhold til den harmoniske loven. Basert på dette vil vi velge en viss X-akse og representere oscillasjonene ved hjelp av vektorene a 1 og a 2 (fig. 1.7.9).

Av fig. 1.7.6 følger det at

Skjemaer der svingninger er avbildet grafisk som vektorer på et plan kalles vektordiagrammer.

Det følger av formel 1.7.40. Hva om faseforskjellen til begge oscillasjonene er null, er amplituden til den resulterende oscillasjonen lik summen av amplitudene til de adderte oscillasjonene. Hvis faseforskjellen til de tilførte oscillasjonene er lik, er amplituden til den resulterende oscillasjonen lik . Hvis frekvensene til de tilførte oscillasjonene ikke er de samme, vil vektorene som tilsvarer disse svingningene rotere med forskjellige hastigheter. I dette tilfellet pulserer den resulterende vektoren i størrelse og roterer med variabel hastighet. Følgelig er resultatet av addisjon ikke en harmonisk oscillasjon, men en kompleks oscillerende prosess.

1.7.9. Beats

La oss vurdere tillegget av to harmoniske oscillasjoner i samme retning, litt forskjellige i frekvens. La frekvensen til en av dem være lik ω, og den andre ω+∆ω, og ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Ved å legge til disse uttrykkene og bruke formelen for summen av cosinus får vi:

Oscillasjoner (1.7.41) kan betraktes som en harmonisk svingning med en frekvens ω, hvis amplitude varierer i henhold til loven. Denne funksjonen er periodisk med en frekvens som er to ganger frekvensen til uttrykket under modultegnet, dvs. med frekvensen ∆ω. Dermed er amplitudepulseringsfrekvensen, kalt slagfrekvensen, lik forskjellen i frekvensene til de tilførte oscillasjonene.

1.7.10. Tillegg av innbyrdes perpendikulære svingninger (Lissajous-figurer)

Hvis et materialpunkt svinger både langs x-aksen og langs y-aksen, vil det bevege seg langs en viss krumlinjet bane. La oscillasjonsfrekvensen være den samme og startfasen av den første oscillasjonen lik null, så skriver vi oscillasjonsligningene på formen:

Ligning (1.7.43) er ligningen til en ellipse, hvis akser er orientert vilkårlig i forhold til x- og y-koordinataksene. Orienteringen av ellipsen og størrelsen på dens halvakser avhenger av amplitudene a og b og faseforskjellen α. La oss vurdere noen spesielle tilfeller:

(m=0, ±1, ±2, …). I dette tilfellet har ligningen formen

Dette er ligningen til en ellipse, hvis akser faller sammen med koordinataksene, og dens halvakser er lik amplitudene (fig. 1.7.12). Hvis amplitudene er like, blir ellipsen en sirkel.

Fig.1.7.12

Hvis frekvensene til innbyrdes perpendikulære oscillasjoner avviker med en liten mengde ∆ω, kan de betraktes som svingninger med samme frekvens, men med en sakte skiftende faseforskjell. I dette tilfellet kan vibrasjonsligningene skrives

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

og uttrykket ∆ωt+α bør betraktes som en faseforskjell som sakte endres med tiden i henhold til en lineær lov. Den resulterende bevegelsen i dette tilfellet skjer langs en langsomt skiftende kurve, som suksessivt vil ha en form som tilsvarer alle verdier av faseforskjellen fra -π til +π.

Hvis frekvensene til gjensidig vinkelrette oscillasjoner ikke er de samme, har banen til den resulterende bevegelsen form av ganske komplekse kurver kalt Lissajous figurer. La for eksempel frekvensene til de tilførte oscillasjonene være relatert til 1 : 2 og faseforskjell π/2. Da har vibrasjonsligningene formen

x=a cos ωt, y=b cos.

I løpet av tiden et punkt klarer å bevege seg langs x-aksen fra en ytterposisjon til en annen, langs y-aksen, etter å ha forlatt nullposisjonen, klarer det å nå en ytterposisjon, så en annen og gå tilbake. Formen på kurven er vist i fig. 1.7.13. Kurven med samme frekvensforhold, men faseforskjellen lik null er vist i fig. 1.7.14. Forholdet mellom frekvensene til de tilførte oscillasjonene er inverst til forholdet mellom antall skjæringspunkter for Lissajous-figurer med rette linjer parallelle med koordinataksene. Følgelig, ved utseendet til Lissajous-figurene, kan man bestemme forholdet mellom frekvensene til de tilførte oscillasjonene eller den ukjente frekvensen. Hvis en av frekvensene er kjent.

Fig.1.7.13

Fig.1.7.14

Jo nærmere enhet den rasjonelle brøken som uttrykker forholdet mellom oscillasjonsfrekvenser, desto mer komplekse blir de resulterende Lissajous-figurene.

1.7.11. Bølgeforplantning i et elastisk medium

Hvis vibrasjoner av partiklene eksiteres hvor som helst i et elastisk (fast væske eller gassformig) medium, vil denne vibrasjonen på grunn av samspillet mellom partiklene forplante seg i mediet fra partikkel til partikkel med en viss hastighet v. prosessen med forplantning av vibrasjoner i rommet kalles bølge.

Partiklene i mediet der bølgen forplanter seg, trekkes ikke inn i translasjonsbevegelse av bølgen; de svinger bare rundt sine likevektsposisjoner.

Avhengig av retningene til partikkelsvingninger i forhold til retningen bølgen forplanter seg i, er det langsgående og tverrgående bølger. I en langsgående bølge svinger partikler av mediet langs bølgens forplantning. I en tverrbølge svinger partikler av mediet i retninger vinkelrett på bølgenes forplantningsretning. Elastiske tverrbølger kan bare oppstå i et medium som har skjærmotstand. Derfor, i flytende og gassformige medier, kan kun langsgående bølger oppstå. I et fast medium kan det oppstå både langsgående og tverrgående bølger.

I fig. Figur 1.7.12 viser partiklers bevegelse når en tverrbølge forplanter seg i et medium. Tallene 1, 2, osv. indikerer partikler som henger etter hverandre med en avstand lik (¼ υT), dvs. avstanden tilbakelagt av bølgen i løpet av en fjerdedel av perioden med svingninger utført av partiklene. I øyeblikket antatt å være null, nådde bølgen, som forplantet seg langs aksen fra venstre til høyre, partikkel 1, som et resultat av at partikkelen begynte å skifte oppover fra likevektsposisjonen og dra de følgende partikler med seg. Etter kvart av perioden når partikkel 1 den øvste likevektsposisjonen, partikkel 2. Etter nok ein kvart av perioden vil første del passere likevektsposisjonen, beveger seg i retning frå topp til bunn, andre partikkel vil nå den øverste posisjon, og den tredje partikkelen vil begynne å bevege seg oppover fra likevektsposisjonen. På et tidspunkt lik T, vil den første partikkelen fullføre hele oscillasjonssyklusen og vil være i samme bevegelsestilstand som det første øyeblikket. Bølgen på tidspunkt T, etter å ha passert banen (υT), vil nå partikkel 5.

I fig. Figur 1.7.13 viser partiklers bevegelse når en langsgående bølge forplanter seg i et medium. Alle argumenter angående oppførselen til partikler i en tverrbølge kan brukes på dette tilfellet med erstatning av forskyvninger oppover og nedover med forskyvninger til høyre og venstre.

Det kan sees fra figuren at når en langsgående bølge forplanter seg i et medium, dannes det vekslende kondensasjoner og sjeldenheter av partikler (kondenseringsstedene er skissert i figuren med stiplede linjer), og beveger seg i retningen av bølgens utbredelse med en hastighet v.

Ris. 1.7.15

Ris. 1.7.16

I fig. 1.7.15 og 1.7.16 viser vibrasjoner av partikler hvis posisjoner og likevekter ligger på aksen x. I virkeligheten vibrerer ikke bare partikler langs aksen x, men en samling av partikler inneholdt i et visst volum. Bølgeprosessen forplanter seg fra kildene til oscillasjoner og dekker flere og flere nye deler av rommet, den geometriske plasseringen av punktene som oscillasjonene når på tidspunktet t kalles bølgefront(eller bølgefront). Bølgefronten er overflaten som skiller den delen av rommet som allerede er involvert i bølgeprosessen fra området der svingninger ennå ikke har oppstått.

Den geometriske plasseringen av punkter som svinger i samme fase kalles bølgeoverflate . Bølgeoverflaten kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt i rommet som dekkes av bølgeprosessen. Følgelig er det et uendelig antall bølgeoverflater, mens det kun er én bølgefront i hvert øyeblikk. Bølgeoverflatene forblir ubevegelige (de passerer gjennom likevektsposisjonene til partikler som oscillerer i samme fase ). Bølgefronten beveger seg hele tiden.

Bølgeoverflater kan ha hvilken som helst form. I de enkleste tilfellene har de formen av et fly eller en kule. Følgelig kalles bølgen i disse tilfellene plan eller sfærisk. I en plan bølge er bølgeoverflatene et sett med plan parallelle med hverandre, i en sfærisk bølge - et sett med konsentriske kuler.

Ris. 1.7.17

La en plan bølge forplante seg langs aksen x. Deretter alle punkter i sfæren hvis posisjoner og likevekter har samme koordinat x(men forskjellen i koordinatverdier y Og z), svinge i samme fase.

I fig. 1.7.17 viser en kurve som gir en forskyvning ξ fra likevektsposisjonen til punkter med forskjellige x på et tidspunkt. Denne tegningen skal ikke oppfattes som et synlig bilde av en bølge. Figuren viser en graf over funksjoner ξ (x,t) for noen fast tidspunkt t. En slik graf kan konstrueres for både langsgående og tverrgående bølger.

Avstanden λ som en bølge forplanter seg over kort i en tid som er lik svingeperioden for partiklene i mediet kalles bølgelengde. Det er åpenbart det

der υ er bølgehastigheten, T er oscillasjonsperioden. Bølgelengden kan også defineres som avstanden mellom de nærmeste punktene på mediet som oscillerer med en faseforskjell lik 2π (se fig. 1.7.14)

Ved å erstatte T i forhold (1.7.45) til 1/ν (ν er oscillasjonsfrekvensen), får vi

Denne formelen kan også oppnås fra følgende betraktninger. I løpet av ett sekund utfører bølgekilden ν-svingninger, og genererer i mediet med hver oscillasjon en "topp" og en "bunn" av bølgen. Når kilden fullfører ν -th-oscillasjonen, vil den første "ryggen" ha tid til å reise en avstand υ. Følgelig må ν av "toppene" og "dalene" til bølgen passe innenfor lengden υ.

1.7.12. Planbølgeligning

Bølgeligningen er et uttrykk som gir forskyvningen av en oscillerende partikkel som funksjon av dens koordinater x, y, z og tid t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(som betyr koordinatene til partikkelens likevektsposisjon). Denne funksjonen må være periodisk med hensyn til tid t , og i forhold til koordinatene x, y, z. . Periodisitet i tid følger av at punkter ligger i avstand fra hverandre λ , svinge på samme måte.

La oss finne typen funksjon ξ i tilfelle av en plan bølge, forutsatt at oscillasjonene er harmoniske av natur. For å forenkle, la oss rette koordinataksene slik at aksen x falt sammen med retningen for bølgeutbredelsen. Da vil bølgeflatene stå vinkelrett på aksen x og siden alle punkter på bølgeoverflaten vibrerer likt, forskyvningen ξ vil kun avhenge av x Og t:

ξ = ξ (x, t) .

Fig.1.7.18

La vibrasjonene av punkter som ligger i flyet x = 0 (Fig. 1.7.18), ha formen

La oss finne typen oscillasjon av punkter i planet som tilsvarer en vilkårlig verdi x . For å reise en sti fra flyet x=0 for å nå dette planet, tar bølgen tid( υ - hastighet på bølgeutbredelse). Følgelig vibrasjonene av partikler som ligger i flyet x , vil henge i tid med τ fra vibrasjoner av partikler i flyet x = 0 , dvs. vil se ut

Så, planbølgeligning(langsgående og tverrgående), som strekker seg i aksens retning x , følgende:

Dette uttrykket definerer forholdet mellom tid t og det stedet x , der fasen har en fast verdi. Den resulterende dx/dt-verdien gir hastigheten som en gitt faseverdi beveger seg med. Differensierende uttrykk (1.7.48), får vi

Ligning for en bølge som forplanter seg i avtagende retning x :

Når vi utledet formel (1.7.53), antok vi at amplituden til oscillasjonene ikke er avhengig av x . For en plan bølge observeres dette i tilfellet når bølgeenergien ikke absorberes av mediet. Når den forplanter seg i et energiabsorberende medium, avtar intensiteten av bølgen gradvis med avstanden fra kilden til oscillasjoner - bølgedempning observeres. Erfaring viser at i et homogent medium skjer slik dempning i henhold til en eksponentiell lov:

Henholdsvis planbølgeligning, tatt i betraktning dempning, har følgende form:

(1.7.54)

(a 0 - amplitude ved punkter i planet x = 0).

Når svingninger finner sted i skolen, er de illustrert med to enkleste eksempler: en vekt på en fjær og en matematisk pendel (det vil si en punktvekt på en uuttrekkbar tråd) i et gravitasjonsfelt. I begge tilfeller observeres en viktig regularitet i svingningene: deres periode avhenger ikke av amplituden - i det minste så lenge denne amplituden forblir liten - men bestemmes bare av de mekaniske egenskapene til systemet.

La oss nå kombinere disse to eksemplene og vurdere svingningene til en vekt suspendert på en uttrekkbar fjær i et gravitasjonsfelt (fig. 1).

For enkelhets skyld neglisjerer vi den tredje dimensjonen og antar at denne fjærpendelen svinger strengt i figurens plan. I dette tilfellet kan vekten (som også regnes som en punktvekt) bevege seg i et vertikalt plan i alle retninger, og ikke bare opp-ned eller venstre-høyre, som vist i fig. 2. Men hvis vi igjen begrenser oss til bare små avvik fra likevektsposisjonen, så skjer horisontale og vertikale svingninger nesten uavhengig av hverandre, med sine egne perioder Tx Og T y.

Det ser ut til at siden disse svingningene er bestemt av helt forskjellige krefter og egenskaper til systemet, kan periodene deres være helt vilkårlige, på ingen måte relatert til hverandre. Det viser seg - nei!

Oppgave

Bevise at i en slik pendel er perioden med horisontale oscillasjoner alltid større enn perioden med vertikale: T x > T y.

Clue

Problemet kan til å begynne med overraske deg ved at det virker som ingenting er gitt, men noe må bevises. Men det er ikke noe galt med det. Når en oppgave er formulert på denne måten, betyr det at du kan introdusere for deg selv noen notasjoner du trenger, beregne med dem hva som kreves, og så komme til en konklusjon som allerede er er ikke avhengig fra disse verdiene. Gjør dette for denne oppgaven. Ta formlene for svingeperiodene, tenk på hvilke mengder de inkluderer, og sammenlign de to periodene med hverandre, del på hverandre.

Løsning

Periode med oscillasjon av en masse bob m på en stivningsfjær k og lengde L 0 er

Denne formelen endres ikke selv om vekten er suspendert i et gravitasjonsfelt med fritt fallakselerasjon g. Selvfølgelig vil likevektsposisjonen til vekten skifte nedover med en høyde Δ L = mg/k- det er med denne forlengelsen av fjæren at den elastiske kraften kompenserer for tyngdekraften. Men perioden med vertikale svingninger i forhold til denne nye likevektsposisjonen med den strakte fjæren vil forbli den samme.

Perioden med horisontale oscillasjoner til en strukket pendel uttrykkes i form av tyngdeakselerasjonen g og ham full lengde L = L 0 +Δ L:

Det er takket være den ekstra strekkingen i gravitasjonsfeltet at vi finner ut det

Det er løsningen.

Etterord

Til tross for sin tilsynelatende enkelhet, er en pendel på en fjær et system ganske rikt på fenomener. Dette er et av de enkleste eksemplene på et fint fenomen - Fermi-resonansen. Dette er hva det koker ned til: Generelt sett, hvis vekten på en eller annen måte trekkes tilbake og slippes, vil den svinge både vertikalt og horisontalt. Disse to typene vibrasjoner vil ganske enkelt overlappe hverandre og ikke forstyrre hverandre. Men hvis periodene med vertikale og horisontale svingninger er relatert av forholdet Tx = 2T y, så vil horisontale og vertikale vibrasjoner, som mot deres vilje, gradvis begynne å forvandle seg til hverandre, som i animasjonen til høyre. Vibrasjonsenergien vil så å si pumpes fra vertikale vibrasjoner til horisontale og omvendt.

Det ser slik ut: du drar vekten ned og slipper den. Først svinger den bare opp og ned, så begynner den av seg selv å svaie sidelengs, et øyeblikk blir svingningen nesten helt horisontal, for så å gå tilbake til vertikal igjen. Overraskende nok viser en strengt vertikal oscillasjon seg å være ustabil.

Forklaring på denne bemerkelsesverdige effekten, samt det magiske forholdet Tx:T y= 2:1, det er det. La oss betegne med x Og y vektens avvik fra likevektsposisjonen (akse y peker oppover). Med et slikt avvik øker den potensielle energien med mengden

Dette er en nøyaktig formel, den passer for alle avvik, store som små. Men hvis x Og y liten, betydelig mindre L, da er uttrykket omtrent lik

pluss andre termer som inneholder enda høyere grader av avvik. Mengder U y Og Ux- dette er vanlige potensielle energier som vertikale og horisontale vibrasjoner oppnås fra. Og her er verdien uthevet i blått U xy er et spesielt tilsetningsstoff som genererer interaksjon mellom disse svingningene. Takket være denne lille interaksjonen påvirker vertikale vibrasjoner horisontale vibrasjoner og omvendt. Dette blir helt gjennomsiktig hvis du utfører beregningene videre og skriver vibrasjonsligningen horisontalt og vertikalt:

hvor notasjonen er introdusert

Uten det blå tilsetningsstoffet ville vi ha de vanlige uavhengige vertikale og horisontale oscillasjonene med frekvenser ωy Og ω x. Dette tillegget spiller en rolle tvangskraft, i tillegg rocker vibrasjonene. Hvis frekvensene ωy Og ω x er vilkårlige, så fører ikke denne lille kraften til noen vesentlig effekt. Men hvis forholdet holder ωy = 2ω x, oppstår resonans: drivkraften for begge typer oscillasjoner inneholder en komponent med samme frekvens som selve oscillasjonen. Som et resultat svinger denne kraften sakte men jevnt en type vibrasjon og undertrykker den andre. Slik flyter horisontale og vertikale vibrasjoner inn i hverandre.

Ytterligere skjønnheter oppstår hvis vi ærlig tar hensyn til den tredje dimensjonen i dette eksemplet. Vi vil anta at vekten kan komprimere og dekomprimere fjæren vertikalt og svinge som en pendel i to horisontale retninger. Så, når resonansbetingelsen er oppfylt, sett ovenfra, skriver vekten ut en stjerneformet bane, som for eksempel i fig. 3. Dette skjer fordi oscillasjonsplanet ikke forblir stasjonært, men roterer – men ikke jevnt, men som i hopp. Mens oscillasjonen går fra side til side, holder dette planet mer eller mindre, og rotasjonen skjer i løpet av den korte perioden når svingningen er nesten vertikal. Vi inviterer leserne til å tenke selv hva som er årsakene til denne oppførselen og hva som bestemmer rotasjonsvinkelen til flyet. Og de som ønsker å stupe hodestups inn i dette ganske dype problemet kan se gjennom artikkelen Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring, som ikke bare gir en detaljert analyse av problemet, men også snakker om dets historie og sammenhengen mellom dette problemet med andre grener av fysikk, spesielt med atomfysikk.

En fjærpendel er et oscillerende system som består av et materialpunkt med massen m og en fjær. Tenk på en horisontal fjærpendel (fig. 13.12, a). Den består av en massiv kropp boret i midten og plassert på en horisontal stang som den kan gli uten friksjon (et ideelt oscillerende system). Stangen er festet mellom to vertikale støtter. En vektløs fjær er festet til kroppen i den ene enden. Den andre enden er festet til en støtte, som i det enkleste tilfellet er i ro i forhold til treghetsreferanserammen der pendelen svinger. I begynnelsen er ikke fjæren deformert, og kroppen er i likevektsposisjon C. Hvis kroppen ved å strekke eller komprimere fjæren tas ut av likevektsposisjonen, vil en elastisk kraft begynne å virke på den fra kl. siden av den deformerte fjæren, alltid rettet mot likevektsposisjonen. La oss komprimere fjæren, flytte kroppen til posisjon A, og slippe \(\upsilon_0=0).\) Under påvirkning av den elastiske kraften vil den begynne å bevege seg akselerert. I dette tilfellet, i posisjon A, virker den maksimale elastiske kraften på kroppen, siden her er den absolutte forlengelsen x m av fjæren størst. Derfor er akselerasjonen maksimal i denne posisjonen. Når kroppen beveger seg mot likevektsposisjonen, avtar den absolutte forlengelsen av fjæren, og følgelig avtar akselerasjonen gitt av den elastiske kraften. Men siden akselerasjonen under en gitt bevegelse er samrettet med hastigheten, øker hastigheten på pendelen og i likevektsposisjon vil den være maksimal. Etter å ha nådd likevektsposisjonen C, vil kroppen ikke stoppe (selv om fjæren i denne posisjonen ikke er deformert og den elastiske kraften er null), men med hastighet vil den bevege seg videre ved treghet og strekke fjæren. Den elastiske kraften som oppstår er nå rettet mot kroppens bevegelse og bremser den. Ved punkt D vil kroppens hastighet være lik null, og akselerasjonen vil være maksimal, kroppen vil stoppe et øyeblikk, hvoretter den, under påvirkning av den elastiske kraften, vil begynne å bevege seg i motsatt retning , til likevektsposisjonen. Etter å ha passert den igjen med treghet, vil kroppen, som komprimerer fjæren og bremser bevegelsen, nå punkt A (siden det ikke er friksjon), dvs. vil fullføre en fullstendig sving. Etter dette vil kroppsbevegelsen gjentas i den beskrevne sekvensen. Så årsakene til de frie svingningene til en fjærpendel er virkningen av den elastiske kraften som oppstår når fjæren deformeres og kroppens treghet.

I henhold til Hookes lov \(~F_x=-kx.\) Ved Newtons andre lov \(~F_x = ma_x.\) Derfor er \(~ma_x = -kx.\) Derfor

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) eller \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - dynamisk bevegelsesligning for en fjærpendel.

Vi ser at akselerasjonen er direkte proporsjonal med blandingen og er rettet motsatt av den. Ved å sammenligne den resulterende ligningen med ligningen for harmoniske svingninger \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) ser vi at fjærpendelen utfører harmoniske svingninger med en syklisk frekvens \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) Siden \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) da

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) er oscillasjonsperioden til fjærpendelen.

Ved å bruke samme formel kan du beregne svingningsperioden til en vertikal fjærpendel (fig. 13.12. b). Faktisk, i likevektsposisjonen, på grunn av tyngdekraftens virkning, er fjæren allerede strukket med en viss mengde x 0, bestemt av forholdet \(~mg=kx_0.\) Når pendelen er forskjøvet fra likevektsposisjonen O på X projeksjon av den elastiske kraften \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) og i henhold til Newtons andre lov \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Her erstatter verdien \(~kx_0 =mg,\) får vi bevegelsesligningen til pendelen \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) som faller sammen med bevegelsesligningen til den horisontale pendelen.

Litteratur

Aksenovich L. A. Fysikk i ungdomsskolen: Teori. Oppgaver. Tester: Lærebok. godtgjørelse for institusjoner som tilbyr allmennutdanning. miljø, utdanning / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K.S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - S. 377-378.

1. Virkningen på et legeme av en elastisk kraft proporsjonal med forskyvningen av kroppen x fra likevektsposisjonen og alltid rettet mot denne posisjonen.

2. Treghet til et oscillerende legeme, på grunn av hvilket det ikke stopper i likevektsposisjonen (når den elastiske kraften blir null), men fortsetter å bevege seg i samme retning.

Uttrykket for den sykliske frekvensen er:

hvor w er den sykliske frekvensen, k er fjærstivheten, m er massen.

Denne formelen viser at frekvensen av frie vibrasjoner ikke avhenger av startforholdene og er fullstendig bestemt av de egne egenskapene til selve oscillerende systemet - i dette tilfellet stivhet k og masse m.

Dette uttrykket definerer periode med fri oscillasjon av en fjærpendel.

Slutt på arbeidet -

Dette emnet tilhører seksjonen:

Reisehastighet gjennomsnittlig bakkehastighet øyeblikkelig hastighet/bevegelseshastighet

Kinematikk til et punkt er en gren av kinematikk som studerer den matematiske beskrivelsen av bevegelsen av materielle punkter. Kinematikkens hovedoppgave er.. hovedoppgaven til mekanikk er å bestemme posisjonen til et legeme til enhver tid. Mekanisk bevegelse er en endring i posisjonen til en kropp i rommet over tid i forhold til andre kropper..

Hvis du trenger ytterligere materiale om dette emnet, eller du ikke fant det du lette etter, anbefaler vi å bruke søket i vår database over verk:

Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet:

Hvis dette materialet var nyttig for deg, kan du lagre det på siden din på sosiale nettverk:

Alle emner i denne delen:

Elastisk bølgeenergi
fysisk felt energi flukstetthet vektor; numerisk lik energi

Maxwells lov om fordeling av molekyler i henhold til hastigheten på termisk bevegelse
Maxwells lov er beskrevet av en viss funksjon f(v), kaltjonen. Hvis vi deler området av molekylære hastigheter i små intervaller lik dv, da

Varme
Varme er en av to metoder for energioverføring kjent for moderne vitenskap - et mål på overføring av uordnet bevegelse. Mengden energi som overføres kalles mengden varme.

Varmemotorer og kjølemaskiner. Carnot syklus
Carnot-syklusen er en ideell termodynamisk syklus. Carnot varmemotor i drift