liten. Siden med font-size:14.0pt">~ (se ), da ~ .

Med tanke på dette får vi:

så serien divergerer.

D) font-size:14.0pt">,

derfor skiller serien seg.

Betingelse er nødvendig, Men ikke nok seriekonvergensbetingelse: det er et sett med serier som, men som likevel divergerer.

Eksempel 3 Utforsk konvergensen til serien font-size:14.0pt"> Løsning. Legg merke til det https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , dvs. den nødvendige konvergensbetingelsen er oppfylt. delsum

venstre">

- en gang

so font-size:14.0pt"> som betyr at serien divergerer per definisjon.

Tilstrekkelige betingelser for konvergens av tegn-positive serier

La . Så serienfont-size:14.0pt"> Sammenligningstegn

La og er tegn-positive serier. Hvis ulikheten er tilfredsstilt for alle, følger konvergensen av serien fra konvergensen av serien, og fra divergensen til serien

Dette tegnet forblir gyldig hvis ulikheten https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, men bare starter fra et tall . Det kan tolkes som følger: hvis den større serien konvergerer, så konvergerer den mindre serien desto mer; hvis den mindre serien divergerer, divergerer den større også.

Eksempel 4 Utforsk radkonvergens 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Løsning.

A) Merk at font-size:14.0pt"> for alle . Serier med felles begrep

B) Sammenlign rad med rad ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> divergerer, så serien divergerer også.

Til tross for enkelheten i formuleringen av sammenligningskriteriet, er i praksis følgende teorem, som er dens konsekvens, mer praktisk.

Begrens tegn på sammenligning

La https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – positiv serie. Hvis det finnes avgrenset Og ikke-null limit , da både rader og

konvergere på samme tid eller divergere på samme tid.

Som en serie brukt for sammenligning med data, en serie av skjemaet . En slik serie kalles nær Dirichlet. I eksempel 3 og 4 ble det vist at Dirichlet-serien med og divergerer. Kan foreløpig-

si at raden er font-size:14.0pt"> .

Hvis , så raden kalt harmonisk. Den harmoniske serien divergerer.

Eksempel 5 Undersøk for konvergensserierved å bruke grensesammenligningskriteriet, if

Løsning. a) Siden for tilstrekkelig store https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, og

~, da ~ font-size:14.0pt">sammenligning med gitte harmoniske serier font-size:14.0pt">, dvs. .

font-size:14.0pt"> Siden grensen er endelig og ikke-null og den harmoniske serien divergerer, divergerer denne serien også.

B) For tilstrekkelig store https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> er det vanlige medlemmet av serien å sammenligne denne med:

Font-size:14.0pt">Serien konvergerer ( Dirichlet rad med font-size:16.0pt">), så denne serien konvergerer også.

I) , så uendelig liten font-size:14.0pt"> du kan

erstattes med verdien tilsvarende den på(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> med font-size: 20.0pt">). ;

;

;

G)

;

.

Slike beløp kalles endeløse rader, og deres vilkår er vilkår for serien. (En ellipse betyr at antall ledd er uendelig.) Løsninger på komplekse matematiske problemer kan sjelden representeres i eksakt form ved hjelp av formler. Imidlertid kan disse løsningene i de fleste tilfeller skrives som serier. Etter at en slik løsning er funnet, lar metodene til serieteorien oss estimere hvor mange termer av serien som må tas for spesifikke beregninger eller hvordan man skriver svaret i den mest praktiske formen. Sammen med numeriske serier kan vi vurdere den såkalte. funksjonelle rader, hvis termer er funksjoner. Mange funksjoner kan representeres ved hjelp av funksjonsserier. Studiet av numeriske og funksjonelle serier er en viktig del av kalkulus.

I eksemplene (1) og (2) er det relativt enkelt å gjette etter hvilken lov suksessive termer dannes. Loven om dannelsen av medlemmene i en serie kan være mye mindre åpenbar. For eksempel, for serie (3) vil det bli klart om denne serien er skrevet i følgende form:

Konvergerende rader.

Siden tillegg av et uendelig antall ledd i en serie er fysisk umulig, er det nødvendig å bestemme hva som skal forstås av summen av en uendelig rekke. Det kan tenkes at disse addisjons- og subtraksjonsoperasjonene utføres sekvensielt, den ene etter den andre, for eksempel på en datamaskin. Hvis de resulterende summene (del-summer) kommer nærmere og nærmere et visst tall, er det rimelig å kalle dette tallet summen av en uendelig rekke. Dermed kan summen av en uendelig rekke defineres som grensen for en sekvens av delsummer. Dessuten kalles en slik serie konvergent.

Å finne summen av serien (3) er ikke vanskelig hvis du legger merke til at den transformerte serien (4) kan skrives som

Påfølgende delsummer av serier (5) er

etc.; du kan se at delsummene har en tendens til 1. Dermed konvergerer denne serien og summen er 1.

Som et eksempel på uendelige serier, vurder uendelige desimalbrøker. Så, 0,353535... er en uendelig tilbakevendende desimalbrøk, som er en kompakt måte å skrive serien på

Loven om dannelse av suksessive medlemmer er klar her. På samme måte betyr 3.14159265...

men loven om dannelse av påfølgende medlemmer av serien er ikke åpenbar her: sifrene danner desimalutvidelsen av tallet s, og det er vanskelig å si umiddelbart hva for eksempel det 100.000. sifferet er, selv om dette tallet teoretisk kan beregnes.

Divergerende rader.

En uendelig serie som ikke konvergerer sies å divergere (en slik serie kalles avvikende). For eksempel en rad

divergerer, siden dens partielle summene er 1/2, 1, 1 1 / 2, 2,.... Disse summene har ikke en tendens til noen tall som en grense, siden vi ved å ta nok termer av serien kan lage en partial sum uansett hvor stor. Rad

divergerer også, men av en annen grunn: delsummene av denne serien blir vekselvis til 1, deretter til 0 og går ikke til grensen.

Oppsummering.

Å finne summen av en konvergent serie (med en gitt nøyaktighet) ved suksessivt å summere dens vilkår, selv om det er teoretisk mulig, er det praktisk talt vanskelig å implementere. For eksempel en rad

konvergerer, og summen innen ti desimaler er 1,6449340668, men for å beregne den med denne nøyaktigheten, vil det være nødvendig å ta ca. 20 milliarder medlemmer. Slike serier oppsummeres vanligvis ved først å transformere dem ved hjelp av ulike teknikker. I dette tilfellet brukes algebraiske eller beregningsmetoder; for eksempel kan man vise at summen av serier (8) er lik s 2 /6.

Notasjon.

Når du arbeider med uendelige serier, er det nyttig å ha praktisk notasjon. For eksempel kan sluttsummen av serier (8) skrives som

Denne oppføringen indikerer det n suksessivt satt til 1, 2, 3, 4 og 5, og resultatene legges sammen:

På samme måte kan serie (4) skrives som

hvor symbolet Ґ indikerer at vi har å gjøre med en uendelig rekke, og ikke med dens endelige del. Symbolet S (sigma) kalles summeringstegnet.

Uendelig geometrisk progresjon.

Vi var i stand til å summere serier (4) fordi det fantes en enkel formel for delsummene. På samme måte kan man finne summen av serier (2), eller generelt,

Hvis r tar verdier mellom –1 og 1. I dette tilfellet er summen av serier (9) lik 1/(1 – r); for andre verdier r serie (9) divergerer.

Du kan tenke på periodiske desimaler som 0,353535... som en annen måte å skrive en uendelig geometrisk progresjon på.

Dette uttrykket kan også skrives som

hvor serie (9) med r= 0,01; derfor er summen av serier (10) lik

På samme måte kan enhver periodisk desimalbrøk representeres som en vanlig brøk.

Tegn på konvergens.

I det generelle tilfellet er det ingen enkel formel for delsummene av en uendelig rekke, så spesielle metoder brukes for å etablere konvergensen eller divergensen til rekken. For eksempel, hvis alle ledd i en serie er positive, kan det vises at serien konvergerer hvis hver av dens vilkår ikke overskrider det tilsvarende leddet til den andre serien, som er kjent for å konvergere. I den aksepterte notasjonen kan dette skrives som følger: if en n i 0 og konvergerer, så konvergerer hvis 0 j b n Ј en n. For eksempel, siden serie (4) konvergerer og

da kan vi konkludere med at serie (8) også konvergerer. Sammenligning er hovedmetoden for å etablere konvergensen til mange serier ved å sammenligne dem med de enkleste konvergente seriene. Noen ganger brukes mer spesielle konvergenskriterier (de finnes i litteraturen om serieteori.) Her er noen flere eksempler på konvergente serier med positive termer:

Sammenligning kan også brukes til å fastslå divergensen til en serie. Hvis serien divergerer, divergerer serien også hvis 0 J b n Ј en n.

Eksempler på divergerende serier er seriene

og spesielt siden harmoniske serier

Divergensen til denne serien kan verifiseres ved å telle følgende delsummer:

etc. Dermed overstiger delsummene som ender på leddene 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, j delsummene til den divergerende serien (6), og derfor må serien (14) divergere.

Absolutt og betinget konvergens.

For linjer som

sammenligningsmetoden er ikke anvendelig, siden vilkårene i denne serien har forskjellige fortegn. Hvis alle ledd i serie (15) var positive, ville vi fått serie (3), som er kjent for å konvergere. Det kan vises at dette også innebærer konvergens av serier (15). Når ved å endre tegnene til de negative leddene i serien til de motsatte, kan den gjøres om til en konvergent, sier de at den opprinnelige serien konvergerer absolutt.

Den vekslende harmoniske serien (1) er ikke absolutt konvergent, siden serie (14), som består av de samme, men bare positive leddene, konvergerer ikke. Men ved hjelp av spesielle konvergenskriterier for alternerende serier kan man vise at rekken (1) faktisk konvergerer. En konvergent serie som ikke konvergerer absolutt kalles betinget konvergent.

Operasjoner med rader.

Basert på definisjonen av en konvergent serie, er det lett å vise at dens konvergens ikke brytes ved å slette eller tilordne et begrenset antall termer til den, samt ved å multiplisere eller dividere alle ledd i rekken med samme antall (av selvfølgelig, divisjon med 0 er ekskludert). For enhver omorganisering av vilkårene for en absolutt konvergent serie, blir dens konvergens ikke krenket, og summen endres ikke. For eksempel, siden summen av serien (2) er 1, vil summen av serien

er også lik 1, siden denne serien er hentet fra serie (2) ved å bytte naboledd (det første leddet med det andre osv.). Du kan vilkårlig endre rekkefølgen på vilkårene for en absolutt konvergent serie, så lenge alle medlemmene i den originale serien er til stede i den nye serien. På den annen side kan omorganisering av vilkårene for en betinget konvergent serie endre summen og til og med gjøre den divergerende. Dessuten kan betingelsene for en betinget konvergent serie alltid omorganiseres slik at den konvergerer til en hvilken som helst forhåndsbestemt sum.

To konvergerende serier S en n og S b n kan legges til (eller trekkes fra) ledd for ledd, slik at summen av den nye serien (som også konvergerer) legges til summene av den opprinnelige serien, i vår notasjon

Under tilleggsbetingelser, for eksempel, hvis begge seriene konvergerer absolutt, kan de multipliseres med hverandre, slik det gjøres for endelige summer, og den resulterende doble rekken ( se nedenfor) vil konvergere til produktet av summene til den opprinnelige serien.

Oppsummerbarhet.

Til tross for at vår definisjon av konvergensen til en uendelig serie virker naturlig, er den ikke den eneste mulige. Summen av en uendelig rekke kan bestemmes på andre måter. Tenk for eksempel på serie (7), som kan skrives kompakt som

Som vi allerede har sagt, tar dens delsummer verdiene 1 og 0 vekselvis, og derfor konvergerer ikke serien. Men hvis vi vekselvis danner parvise gjennomsnitt av dens delsummer (nåværende gjennomsnitt), dvs. Hvis vi først beregner gjennomsnittet av den første og andre delsummen, deretter gjennomsnittet av den andre og tredje, tredje og fjerde osv., vil hvert slikt gjennomsnitt være lik 1/2, og derfor vil grensen for parvise gjennomsnitt være også være lik 1/2. I dette tilfellet sies serien å kunne summeres ved den angitte metoden, og summen er lik 1/2. Det er foreslått mange metoder for summering, som gjør det mulig å henføre summer til ganske store klasser av divergerende serier og dermed bruke noen divergerende serier i beregninger. For de fleste formål er summeringsmetoden nyttig, men bare hvis den, brukt på en konvergent serie, gir sin endelige sum.

Serier med komplekse termer.

Så langt har vi stilltiende antatt at vi kun har å gjøre med reelle tall, men alle definisjoner og teoremer gjelder serier med komplekse tall (bortsett fra at summene som kan oppnås ved å omorganisere vilkårene i betinget konvergerende serier ikke kan ta vilkårlige verdier).

funksjonelle rader.

Som vi allerede har bemerket, kan medlemmene av en uendelig serie ikke bare være tall, men også funksjoner, for eksempel,

Summen av en slik serie er også en funksjon hvis verdi ved hvert punkt er oppnådd som grensen for delsummene beregnet på det punktet. På fig. 1 viser grafer av flere delsummer og summen av en serie (med x, varierende fra 0 til 1); s n(x) betyr summen av den første n medlemmer. Summen av serien er en funksjon lik 1 ved 0 J x x = 1. Den funksjonelle rekken kan konvergere for de samme verdiene x og være uenig med andre; i vårt eksempel konvergerer serien ved –1J x x.

Summen av en funksjonell serie kan forstås på forskjellige måter. I noen tilfeller er det viktigere å vite at delsummer er nær (i en eller annen forstand) en funksjon på hele intervallet ( en, b) enn å bevise konvergensen eller divergensen til serien på individuelle punkter. For eksempel angir en delsum n-th ordre gjennom s n(x), sier vi at serien konvergerer i middelkvadrat til summen s(x), Hvis

En serie kan konvergere i middelkvadraten selv om den ikke konvergerer på noe enkelt punkt. Det er også andre definisjoner av konvergensen til en funksjonell serie.

Noen funksjonelle serier er oppkalt etter funksjonene de inkluderer. Som et eksempel kan vi gi potensserier og summene deres:

Den første av disse seriene konvergerer for alle x. Den andre raden konvergerer for | x| r x r x| Ј 1 hvis r> 0 (unntatt når r er et ikke-negativt heltall; i sistnevnte tilfelle avsluttes serien etter et begrenset antall ledd). Formel (17) kalles den binomiale ekspansjonen i en vilkårlig grad.

Dirichlet-serien.

Dirichlet-serier er funksjonelle serier av formen S (1/ en n x), hvor tallene en nøke på ubestemt tid; Et eksempel på en Dirichlet-serie er Riemann zeta-funksjonen

Dirichlet-serier brukes ofte i tallteori.

trigonometrisk serie.

Dette er navnet på funksjonelle serier som inneholder trigonometriske funksjoner; trigonometriske serier av en spesiell type som brukes i harmonisk analyse kalles Fourier-serier. Et eksempel på en Fourier-serie er serien

F( x), som har følgende egenskap: hvis vi tar en spesifikk delsum av serier (18), for eksempel summen av de tre første leddene, så forskjellen mellom f(x) og denne delsummen beregnet for en viss verdi x, vil være liten for alle verdier x nær 0. Med andre ord, selv om vi ikke kan oppnå en god tilnærming av funksjonen f(x) på et bestemt tidspunkt x, langt fra null, tar selv veldig mange termer av serien, men for x nær 0, bare noen få av termene gir en veldig god tilnærming. Slike rader kalles asymptotisk. I numeriske beregninger er asymptotiske serier vanligvis mer nyttige enn konvergerende serier, siden de gir en ganske god tilnærming ved hjelp av et lite antall ledd. Asymptotiske serier er mye brukt i sannsynlighetsteori og matematisk fysikk.

Doble rader.

Noen ganger må du summere todimensjonale rekker av tall

Vi kan summere rad for rad og deretter legge til radsummene. Generelt sett har vi ingen spesiell grunn til å foretrekke rader fremfor kolonner, men hvis summeringen gjøres over kolonner først, kan resultatet bli annerledes. Tenk for eksempel på den doble raden

Her konvergerer hver rad til en sum lik 0, og summen av radsummene er derfor også lik null. På den annen side er summen av medlemmene i den første kolonnen 1 og alle de andre kolonnene er 0, så summen av summene over kolonnene er 1. De eneste "praktiske" konvergerende dobbeltseriene er de absolutt konvergerende dobbeltseriene : de kan summeres av rader eller kolonner, så vel som på andre måter, og beløpet er alltid det samme. Det er ingen naturlig definisjon av den betingede konvergensen til doble serier.

Grunnleggende definisjoner.

Definisjon. Summen av leddene til en uendelig tallsekvens kalles numeriske serier.

Samtidig tallene
vil bli kalt medlemmene av serien, og u n er et vanlig medlem av serien.

Definisjon. Summer
,n = 1, 2, … kalt private (del)beløp rad.

Dermed er det mulig å vurdere sekvenser av delsummer av serien S 1 , S 2 , …, S n , …

Definisjon. Rad
kalt konvergerende hvis sekvensen av dens delsummer konvergerer. Summen av den konvergerende rekken er grensen for sekvensen av dens delsummer.

Definisjon. Hvis sekvensen av delsummer av serien divergerer, dvs. har ingen grense, eller har en uendelig grense, så kalles serien avvikende og ingen beløp er tildelt ham.

radegenskaper.

1) Konvergensen eller divergensen til serien vil ikke bli krenket hvis du endrer, forkaster eller legger til et begrenset antall termer i serien.

2) Tenk på to rader
Og
, hvor C er et konstant tall.

Teorem. Hvis raden
konvergerer og summen erS, deretter raden
konvergerer også, og summen er CS. (C  0)

3) Tenk på to rader
Og
.sum eller forskjell disse radene vil bli kalt raden
, hvor elementene er oppnådd som et resultat av addisjon (subtraksjon) av de opprinnelige elementene med samme tall.

Teorem. Hvis radene
Og
konvergere og summene deres er lik, henholdsvis.SOg , deretter raden
konvergerer også og summen er likS +  .

Forskjellen på to konvergerende serier vil også være en konvergent serie.

Summen av en konvergent og divergerende serie vil være en divergerende serie.

Det er umulig å gi en generell uttalelse om summen av to divergerende serier.

Når man studerer serier, løses hovedsakelig to problemer: studiet av konvergens og å finne summen av seriene.

Cauchy kriterium.

(nødvendige og tilstrekkelige betingelser for konvergens av serien)

For rekkefølgen
var konvergent, er det nødvendig og tilstrekkelig at for evt
det var et nummerN, som kln > Nog eventuelles> 0, hvor p er et heltall, vil følgende ulikhet gjelde:

.

Bevis. (nødvendighet)

La
, deretter for et hvilket som helst tall
det er et tall N slik at ulikheten

utføres for n>N. For n>N og ethvert heltall p>0, gjelder også ulikheten
. Med tanke på begge ulikhetene får vi:

Behovet er bevist. Vi vil ikke vurdere beviset for tilstrekkelighet.

La oss formulere Cauchy-kriteriet for serien.

For et tall
var konvergent nødvendig og tilstrekkelig at for evt
det var et nummerNslik at kln> Nog eventuelles>0 ville tilfredsstille ulikheten

.

I praksis er det imidlertid lite hensiktsmessig å bruke Cauchy-kriteriet direkte. Derfor brukes som regel enklere konvergenskriterier:

1) Hvis raden
konvergerer, er det nødvendig at fellesbegrepet u n gravitert mot null. Denne betingelsen er imidlertid ikke tilstrekkelig. Vi kan bare si at hvis fellesbegrepet ikke har en tendens til null, så divergerer serien nøyaktig. For eksempel den såkalte harmoniske serien er divergent, selv om den vanlige termen har en tendens til null.

Eksempel. Undersøk konvergensen til en serie

La oss finne
- det nødvendige konvergenskriteriet er ikke oppfylt, så serien divergerer.

2) Hvis serien konvergerer, er sekvensen av dens partielle summene avgrenset.

Denne funksjonen er imidlertid heller ikke tilstrekkelig.

For eksempel divergerer serien 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… fordi sekvensen av dens delsummer avviker på grunn av det faktum at

Men i dette tilfellet er sekvensen av delsummer begrenset, fordi
for noen n.

Serier med ikke-negative medlemmer.

Når vi studerer serier med konstant fortegn, begrenser vi oss til å vurdere serier med ikke-negative termer, siden når bare multiplisert med -1, kan disse seriene brukes til å få serier med negative termer.

Teorem. For konvergens av serien
med ikke-negative termer er det nødvendig og tilstrekkelig at delsummene av serien er avgrenset.

Tegn på sammenligning av serier med ikke-negative termer.

La det være to rader
Og
på u n , v n  0 .

Teorem. Hvis u n  v n for noen n, deretter fra konvergensen av serien
følger seriens konvergens
, og fra divergensen i serien
følger divergensen i serien
.

Bevis. Angi med S n Og  n delsummer av serier
Og
. Fordi i følge teoremet, serien
konvergerer, så er dens delsummene avgrenset, dvs. for alle n n  M, der M er et tall. Men siden u n  v n, Det S n   n deretter delsummene av serien
er også avgrenset, og dette er tilstrekkelig for konvergens.

Eksempel. Undersøk for konvergensserier

Fordi
, og den harmoniske serien divergerer, så divergerer serien
.

Eksempel.

Fordi
, og raden
konvergerer (som en avtagende geometrisk progresjon), deretter serien
konvergerer også.

Følgende konvergenskriterium brukes også:

Teorem. Hvis
og det er en grense
, Hvorher et tall som ikke er null, deretter serien
Og
oppføre seg på samme måte når det gjelder konvergens.

Tegn av d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - fransk matematiker)

Hvis for en serie
med positive vilkår er det et tallq<1, что для всех достаточно больших nulikheten

så serien
konvergerer hvis for alle tilstrekkelig storntilstanden

så serien
divergerer.

Begrensende tegn på d'Alembert.

Den begrensende d'Alembert-testen er en konsekvens av d'Alembert-testen ovenfor.

Hvis det er en grense
, deretter kl < 1 ряд сходится, а при  > 1 - divergerer. Hvis = 1, så kan ikke spørsmålet om konvergens besvares.

Eksempel. Bestem konvergensen til en serie .

Konklusjon: serien konvergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen til en serie

Konklusjon: serien konvergerer.

Cauchy tegn. (radikalt trekk)

Hvis for en serie
med ikke-negative termer, finnes det et tallq<1, что для всех достаточно больших nulikheten

,

så serien
konvergerer hvis for alle tilstrekkelig stornulikheten

så serien
divergerer.

Konsekvens. Hvis det er en grense
, deretter på <1 ряд сходится, а при >1 rad divergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen til en serie
.

Konklusjon: serien konvergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen til en serie
.

De. Cauchys kriterium svarer ikke på spørsmålet om seriens konvergens. La oss kontrollere oppfyllelsen av de nødvendige konvergensbetingelsene. Som nevnt ovenfor, hvis serien konvergerer, vil den vanlige termen til serien ha en tendens til null.

,

dermed er den nødvendige betingelsen for konvergens ikke oppfylt, noe som betyr at serien divergerer.

Integrert Cauchy-test.

Hvis (x) er en kontinuerlig positiv funksjon som avtar på intervallet Og
deretter integralene
Og
oppføre seg på samme måte når det gjelder konvergens.

Variable rader.

Vekslende rader.

En vekslende serie kan skrives som:

Hvor

Leibniz tegn.

Hvis en vekslende serie absolutte verdieru Jeg avta
og fellesbegrepet har en tendens til null
, så konvergerer serien.

Absolutt og betinget konvergens av serier.

Vurder noen vekslende serier (med vilkår for vilkårlige tegn).

(1)

og en serie sammensatt av de absolutte verdiene av vilkårene i serien (1):

(2)

Teorem. Konvergensen av serie (2) innebærer konvergens av serie (1).

Bevis. Serie (2) er ved siden av ikke-negative termer. Hvis serie (2) konvergerer, er det ved Cauchy-kriteriet for enhver >0 et tall N slik at for n>N og ethvert heltall p>0 er følgende ulikhet sann:

I henhold til egenskapen til absolutte verdier:

Det vil si at i henhold til Cauchy-kriteriet, innebærer konvergens av serie (2) konvergens av serie (1).

Definisjon. Rad
kalt absolutt konvergent hvis serien konvergerer
.

Åpenbart, for serier med konstant fortegn, faller begrepene konvergens og absolutt konvergens sammen.

Definisjon. Rad
kalt betinget konvergent, hvis den konvergerer, og serien
divergerer.

d'Alemberts og Cauchys tester for alternerende serier.

La
- vekslende serier.

Tegn av d'Alembert. Hvis det er en grense
, deretter på <1 ряд
vil være absolutt konvergent, og når >

Cauchy tegn. Hvis det er en grense
, deretter på <1 ряд
vil være absolutt konvergent, og når >1 vil serien være divergent. Når =1 gir tegnet ikke svar om konvergensen til rekken.

Egenskaper til absolutt konvergerende serier.

1) Teorem. For seriens absolutte konvergens
det er nødvendig og tilstrekkelig at det kan representeres som forskjellen mellom to konvergerende serier med ikke-negative termer.

Konsekvens. En betinget konvergent serie er forskjellen mellom to divergerende serier med ikke-negative termer som har en tendens til null.

2) I en konvergent serie bevarer enhver gruppering av termene i serien som ikke endrer rekkefølgen konvergensen og størrelsen på serien.

3) Hvis en serie konvergerer absolutt, så konvergerer serien som er oppnådd fra den ved en hvilken som helst permutasjon av termer også absolutt og har samme sum.

Ved å omorganisere vilkårene til en betinget konvergent serie, kan man oppnå en betinget konvergent serie som har en hvilken som helst forhåndsbestemt sum, og til og med en divergerende serie.

4) Teorem. Med en hvilken som helst gruppering av medlemmer av en absolutt konvergent serie (i dette tilfellet kan antallet grupper enten være endelig eller uendelig, og antall medlemmer i en gruppe kan være enten endelig eller uendelig), oppnås en konvergent serie, summen hvorav er lik summen av den opprinnelige serien.

5) Hvis radene Og konvergerer absolutt og summene deres er henholdsvis like. S og , deretter en serie sammensatt av alle produktene i formen
tatt i hvilken som helst rekkefølge, konvergerer også absolutt og summen er lik S - produktet av summene av den multipliserte rekken.

Hvis imidlertid for å multiplisere betinget konvergerende serier, kan resultatet være en divergerende serie.

Funksjonelle sekvenser.

Definisjon. Hvis medlemmene i serien ikke er tall, men fungerer fra X, da heter serien funksjonelle.

Studiet av konvergensen av funksjonelle serier er vanskeligere enn studiet av numeriske serier. Den samme funksjonelle serien kan, for de samme verdiene av variabelen X konvergere, og i andre - divergere. Derfor er spørsmålet om konvergens av funksjonelle serier redusert til bestemmelsen av disse verdiene til variabelen X som serien konvergerer for.

Settet med slike verdier kalles konvergensregion.

Siden grensen for hver funksjon som er inkludert i seriens konvergensregion er et visst tall, vil grensen for den funksjonelle sekvensen være en viss funksjon:

Definisjon. Etterfølge ( f n (x) } konvergererå fungere f(x) på segmentet , hvis for et hvilket som helst tall >0 og et hvilket som helst punkt X fra segmentet under vurdering eksisterer det et tall N = N(, x) slik at ulikheten

utføres for n>N.

Med den valgte verdien >0 tilsvarer hvert punkt i segmentet sitt eget tall, og derfor vil det være et uendelig antall tall som tilsvarer alle punktene i segmentet. Hvis du velger det største av alle disse tallene, vil dette tallet passe for alle punktene i segmentet, dvs. vil være felles for alle punkter.

Definisjon. Etterfølge ( f n (x) } konvergerer jevntå fungere f(x) på intervallet hvis det for et hvilket som helst tall >0 er et tall N = N() slik at ulikheten

utføres for n>N for alle punktene i segmentet.

Eksempel. Vurder sekvensen

Denne sekvensen konvergerer på hele tallaksen til funksjonen f(x)=0 , fordi

La oss plotte denne sekvensen:

sinx

Som man kan se, øker antallet n sekvensgrafen nærmer seg aksen X.

funksjonelle rader.

Definisjon. Private (del)summer funksjonell rekkevidde
funksjoner kalles

Definisjon. Funksjonell rekkevidde
kalt konvergerende på punktet ( x=x 0 ) hvis sekvensen av dens delsummer konvergerer på dette punktet. Sekvensgrense
kalt sum rad
på punktet X 0 .

Definisjon. Settet med alle verdier X, som serien konvergerer for
kalt konvergensregion rad.

Definisjon. Rad
kalt jevnt konvergent på et segment hvis sekvensen av delsummer av denne serien konvergerer jevnt på dette segmentet.

Teorem. (Cauchy-kriterium for enhetlig konvergens av en serie)

For jevn konvergens av serien
nødvendig og tilstrekkelig for et hvilket som helst antall >0 det var et slikt tallN( ), som kln> Nog enhver helhets>0 ulikhet

vil holde for alle x på segmentet [en, b].

Teorem. (Weierstrass uniform konvergenstest)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - tysk matematiker)

Rad
konvergerer jevnt og absolutt på segmentet [en, b], hvis modulene til medlemmene i samme segment ikke overstiger de tilsvarende medlemmene i den konvergerende numeriske serien med positive medlemmer:

de. det er en ulikhet:

.

De sier også at i dette tilfellet den funksjonelle serien
hovedfag numeriske serier
.

Eksempel. Undersøk for konvergensserier
.

Fordi
alltid, det er åpenbart at
.

Det er kjent at den generelle harmoniske serien konvergerer når =3>1, så, i samsvar med Weierstrass-testen, konvergerer serien som studeres jevnt og dessuten i et hvilket som helst intervall.

Eksempel. Undersøk for konvergensserier .

På segmentet [-1,1] ulikheten
de. i følge Weierstrass-testen konvergerer serien som studeres på dette segmentet, og divergerer på intervallene (-, -1)  (1, ).

Egenskaper til jevnt konvergerende serier.

1) Teoremet om kontinuiteten til summen av en serie.

Hvis medlemmene av serien
- kontinuerlig i intervallet [en, b] funksjonen og serien konvergerer jevnt, deretter summenS(x) er en kontinuerlig funksjon på segmentet [en, b].

2) Teoremet om term-for-term integrasjon av en serie.

Ensartet konvergerende på intervallet [en, b] serier med kontinuerlige ledd kan integreres ledd for ledd på dette segmentet, dvs. en serie sammensatt av integraler av dens ledd over intervallet [en, b] , konvergerer til integralet av summen av serien over dette segmentet.

3) Teoremet om ledd-for-ledd differensiering av en serie.

Hvis medlemmene av serien
konvergerer på segmentet [en, b] er kontinuerlige funksjoner med kontinuerlige deriverte, og rekkene som er sammensatt av disse deriverte
konvergerer jevnt på dette intervallet, så konvergerer den gitte serien også jevnt og kan differensieres begrep for begrep.

Basert på at summen av rekken er en funksjon av variabelen X, kan du utføre operasjonen med å representere en funksjon som en serie (utvide en funksjon til en serie), som er mye brukt i integrasjon, differensiering og andre operasjoner med funksjoner.

I praksis brukes ofte utvidelse av funksjoner i en potensserie.

Power-serien.

Definisjon. kraft neste kalles en serie

.

For å studere konvergensen av kraftserier er det praktisk å bruke d'Alembert-testen.

Eksempel. Undersøk for konvergensserier

Vi bruker d'Alembert-tegnet:

.

Vi finner at denne serien konvergerer kl
og divergerer kl
.

La oss nå definere konvergensen ved grensepunktene 1 og –1.

For x = 1:
Serien konvergerer i henhold til Leibniz-testen (se fig. Leibniz tegn.).

For x = -1:
serie divergerer (harmoniske serier).

Abels teoremer.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - norsk matematiker)

Teorem. Hvis kraftserien
konvergerer klx = x 1 , så konvergerer det og dessuten absolutt for alle
.

Bevis. Etter betingelsen til teoremet, siden vilkårene i serien er begrenset, da

Hvor k er et konstant tall. Følgende ulikhet er sann:

Det kan sees av denne ulikheten at x< x 1 de numeriske verdiene til medlemmene i serien vår vil være mindre (i alle fall ikke mer) enn de tilsvarende medlemmene av serien på høyre side av ulikheten skrevet ovenfor, som danner en geometrisk progresjon. Nevneren for denne progresjonen ved at betingelsen for teoremet er mindre enn én, derfor er denne progresjonen en konvergent serie.

Derfor, basert på sammenligningstesten, konkluderer vi med at serien
konvergerer, som betyr serien
konvergerer absolutt.

Dermed hvis kraftserien
konvergerer på et punkt X 1 , så konvergerer den absolutt når som helst i intervallet med lengde 2 sentrert på et punkt X = 0.

Konsekvens. Hvis kl x = x 1 serier divergerer, så divergerer det for alle
.

For hver potensserie eksisterer det således et positivt tall R slik at for alle X slik at
serier konvergerer absolutt, og for alle
raden divergerer. I dette tilfellet kalles tallet R konvergensradius. Intervallet (-R, R) kalles konvergensintervall.

Merk at dette intervallet både kan lukkes på én eller to sider, og ikke lukkes.

Konvergensradiusen finner du ved å bruke formelen:

Eksempel. Finn konvergensområdet til en serie

Finne konvergensradius
.

Derfor konvergerer denne serien for enhver verdi X. Den vanlige termen i denne serien har en tendens til null.

Teorem. Hvis kraftserien
konvergerer for en positiv verdi x=x 1 , så konvergerer den jevnt i ethvert intervall inne
.

Handlinger med kraftserier.

Rader for tekanner. Løsningseksempler

Alle overlevende velkommen til det andre året! I denne leksjonen, eller rettere sagt, i en serie leksjoner, vil vi lære hvordan du administrerer rader. Emnet er ikke veldig vanskelig, men for å mestre det trenger du kunnskap fra det første kurset, spesielt må du forstå hva er grensen, og kunne finne de enkleste grensene. Men det er greit, i løpet av forklaringene vil jeg gi de passende koblingene til de nødvendige leksjonene. For noen lesere kan emnet for matematiske serier, løsningsmetoder, tegn, teoremer virke merkelig, og til og med pretensiøs, absurd. I dette tilfellet trenger du ikke "laste" mye, vi aksepterer fakta som de er, og lærer ganske enkelt å løse typiske, vanlige oppgaver.

1) Rader for tekanner, og for samovarer umiddelbart innhold :)

For ultrarask forberedelse av et emne det er et ekspresskurs i pdf-format, ved hjelp av det er det virkelig mulig å "heve" praksisen på bare en dag.

Konseptet med en tallserie

Generelt nummerserie kan skrives slik:
Her:
- matematisk ikon for summen;
– vanlig betegnelse for serien(husk dette enkle uttrykket);
- variabel - "teller". Rekorden betyr at summeringen utføres fra 1 til "pluss uendelig", det vil si at vi først har , så , deretter , og så videre - til uendelig. En variabel eller brukes noen ganger i stedet for en variabel. Summasjon starter ikke nødvendigvis fra én, i noen tilfeller kan den starte fra null, fra to eller fra en hvilken som helst naturlig tall.

I samsvar med "teller"-variabelen kan enhver serie males i detalj:
– og så videre i det uendelige.

Vilkår - Dette NUMMER, som kalles medlemmer rad. Hvis de alle er ikke-negative (større enn eller lik null), da heter en slik serie positiv talllinje.

Eksempel 1

Forresten, dette er allerede en "kamp" -oppgave - i praksis kreves det ganske ofte å spille inn flere medlemmer av serien.

Først da:
Så da:
Så da:

Prosessen kan fortsette på ubestemt tid, men i henhold til betingelsen var det påkrevd å skrive de tre første leddene i serien, så vi skriver ned svaret:

Legg merke til den grunnleggende forskjellen fra nummerrekkefølge,
der begrepene ikke summeres, men behandles som det.

Eksempel 2

Skriv ned de tre første leddene i serien

Dette er et eksempel for selvløsning, svaret er på slutten av leksjonen.

Selv for en tilsynelatende kompleks serie er det ikke vanskelig å beskrive den i utvidet form:

Eksempel 3

Skriv ned de tre første leddene i serien

Faktisk utføres oppgaven muntlig: mentalt erstatter i seriens vanlige term først, deretter og. Etter hvert:

La svaret være slik det er bedre å ikke forenkle de oppnådde vilkårene i serien, det er ikke overholder handlinger: , , . Hvorfor? Svar i skjemaet mye enklere og mer praktisk for læreren å sjekke.

Noen ganger er det omvendt

Eksempel 4

Det er ingen klar løsningsalgoritme her. du må bare se mønsteret.
I dette tilfellet:

For verifisering kan den resulterende serien "males tilbake" i utvidet form.

Men eksemplet er litt vanskeligere for en uavhengig løsning:

Eksempel 5

Skriv summen i sammenslått form med et felles ledd i rekken

Sjekk igjen ved å skrive serien i utvidet form

Konvergens av tallserier

Et av hovedmålene med emnet er undersøkelse av en serie for konvergens. I dette tilfellet er to tilfeller mulig:

1) Raddivergerer. Dette betyr at en uendelig sum er lik uendelig: enten summer generelt eksisterer ikke, som for eksempel i serien
(her er forresten et eksempel på en serie med negative termer). Et godt eksempel på en divergerende tallserie kom over i begynnelsen av leksjonen: . Her er det ganske åpenbart at hver neste term i serien er større enn den forrige, derfor og dermed divergerer serien. Et enda mer trivielt eksempel: .

2) Radkonvergerer. Dette betyr at en uendelig sum er lik noen endelig nummer: . Vær så snill: Denne serien konvergerer og summen er null. Et mer meningsfylt eksempel er uendelig minkende geometrisk progresjon, kjent for oss siden skolen: . Summen av medlemmene av en uendelig avtagende geometrisk progresjon beregnes ved hjelp av formelen: , hvor er det første medlemmet av progresjonen, og er dens basis, som som regel skrives som riktig brøker. I dette tilfellet: , . Dermed: Det oppnås et endelig tall, som betyr at rekken konvergerer, noe som måtte bevises.

Men i de aller fleste tilfeller finn summen av serien er ikke så enkelt, og derfor, i praksis, for å studere konvergensen til serien, brukes spesielle tegn, som er bevist teoretisk.

Det er flere tegn på konvergens av en serie: nødvendig kriterium for konvergens av en serie, sammenligningskriterier, d'Alemberts kriterium, Cauchys kriterier, tegn til Leibniz og noen andre tegn. Når skal du bruke hvilket tegn? Det avhenger av seriens vanlige betegnelse, billedlig talt - på seriens "stuffing". Og veldig snart vil vi legge alt i hyllene.

! For videre læring trenger du forstår godt, hva er grensen og det er godt å kunne avsløre usikkerheten i formen. For repetisjon eller studie av materialet, se artikkelen Grenser. Løsningseksempler.

Et nødvendig kriterium for konvergens av en serie

Hvis serien konvergerer, har dens vanlige term en tendens til null: .

Det motsatte er ikke sant i det generelle tilfellet, dvs. hvis , så kan serien både konvergere og divergere. Og så dette tegnet brukes til å rettferdiggjøre divergens rad:

Hvis den vanlige termen i serien går ikke i null, så divergerer serien

Eller kort sagt: hvis , så divergerer serien. Spesielt er en situasjon mulig når grensen ikke eksisterer i det hele tatt, som f.eks. grense. Her underbygget de umiddelbart divergensen til én serie :)

Men mye oftere er grensen for den divergerende serien lik uendelig, mens den i stedet for "x" fungerer som en "dynamisk" variabel. La oss oppdatere kunnskapen vår: grenser med "x" kalles funksjonsgrenser, og grenser med variabel "en" - grenser for numeriske sekvenser. Den åpenbare forskjellen er at variabelen "en" tar diskrete (diskontinuerlige) naturverdier: 1, 2, 3, etc. Men dette faktum har liten innvirkning på metodene for å løse grensene og metodene for å avsløre usikkerheter.

La oss bevise at serien fra det første eksemplet divergerer.
Felles medlem av serien:

Konklusjon: rad divergerer

Den nødvendige funksjonen brukes ofte i virkelige praktiske oppgaver:

Eksempel 6

Vi har polynom i teller og nevner. Den som nøye leste og forsto metoden for avsløring av usikkerhet i artikkelen Grenser. Løsningseksempler, absolutt fanget det når de høyeste potensene til telleren og nevneren lik, så er grensen endelig nummer .

Del teller og nevner med

Studieserie divergerer, siden det nødvendige kriteriet for konvergens av serien ikke er oppfylt.

Eksempel 7

Undersøk serien for konvergens

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Full løsning og svar på slutten av timen

Så når vi får en hvilken som helst tallserie, for det første vi sjekker (mentalt eller på et utkast): har dens vanlige term en tendens til null? Hvis det ikke strever, trekker vi opp en løsning etter eksempel nr. 6, 7 og gir svaret at rekken divergerer.

Hvilke typer tilsynelatende divergerende serier har vi vurdert? Det er umiddelbart klart at rader liker eller divergerer. Seriene fra eksempel nr. 6, 7 avviker også: når telleren og nevneren inneholder polynomer, og den høyeste graden av telleren er større enn eller lik den høyeste graden av nevneren. I alle disse tilfellene, når vi løser og designer eksempler, bruker vi det nødvendige kriteriet for konvergens av serien.

Hvorfor heter skiltet nødvendig? Forstå på den mest naturlige måten: for at serien skal konvergere, nødvendig slik at den vanlige termen har en tendens til null. Og alt ville være bra, men dette ikke nok. Med andre ord, hvis fellesleddet for serien har en tendens til null, BETYR DETTE IKKE at serien konvergerer- det kan både konvergere og divergere!

Møte:

Denne raden kalles harmoniske serier. Vennligst husk! Blant de numeriske seriene er han en prima ballerina. Mer presist, en ballerina =)

Det er lett å se det , MEN. I teorien om matematisk analyse er det bevist at den harmoniske serien divergerer.

Du bør også huske konseptet med en generalisert harmonisk serie:

1) Denne raden divergerer kl. For eksempel divergerer serien, , .
2) Denne raden konvergerer kl. For eksempel serien , , . Jeg understreker nok en gang at i nesten alle praktiske oppgaver spiller det ingen rolle for oss i det hele tatt hva summen av for eksempel serien er, selve faktumet om dens konvergens er viktig.

Dette er elementære fakta fra serieteorien som allerede er bevist, og når man løser et praktisk eksempel, kan man trygt referere for eksempel til divergensen til serien eller konvergensen til serien.

Generelt er materialet som vurderes veldig likt studie av upassende integraler, og de som har studert dette emnet vil finne det lettere. Vel, for de som ikke har studert, er det dobbelt enklere :)

Så, hva skal jeg gjøre hvis den vanlige termen i serien GÅR til null? I slike tilfeller, for å løse eksempler, må du bruke andre, tilstrekkelig tegn på konvergens / divergens:

Sammenligningskriterier for positive tallserier

Jeg trekker oppmerksomheten din at det her kun er snakk om positive tallserier (med ikke-negative medlemmer).

Det er to tegn på sammenligning, ett av dem vil jeg bare kalle tegn på sammenligning, en annen - begrensende tegn på sammenligning.

Vurder først sammenligningstegn, eller rettere sagt, den første delen av den:

Tenk på to positive numeriske serier og . Om kjent, at raden er konvergerer, og med utgangspunkt i et tall , ulikheten gjelder, deretter serien konvergerer også.

Med andre ord: Konvergensen til en serie med større ledd innebærer konvergensen til en serie med mindre ledd. I praksis er ulikheten ofte tilfredsstilt generelt for alle verdier av:

Eksempel 8

Undersøk serien for konvergens

Først sjekker vi(mentalt eller på utkast) utførelse:
, som betyr at det ikke var mulig å "gå av med lite blod".

Vi ser inn i "pakken" til den generaliserte harmoniske serien, og med fokus på høyeste grad finner vi en lignende serie: Det er kjent fra teorien at den konvergerer.

For alle naturlige tall gjelder den åpenbare ulikheten:

og større nevnere tilsvarer mindre brøker:
, som betyr at, i henhold til sammenligningskriteriet, serien som studeres konvergerer sammen med ved siden av .

Hvis du er i tvil, kan ulikheten alltid males i detalj! La oss skrive ned den konstruerte ulikheten for flere tall "no":
Hvis da
Hvis da
Hvis da
Hvis da
….
og nå er det helt klart at ulikheten gjelder for alle naturlige tall "en".

La oss analysere sammenligningskriteriet og det løste eksemplet fra et uformelt synspunkt. Likevel, hvorfor konvergerer serien? Her er hvorfor. Hvis serien konvergerer, så har den noen endelig beløp: . Og siden alle medlemmer av serien mindre tilsvarende medlemmer av serien, så er stumpen tydelig at summen av serien ikke kan være større enn tallet , og enda mer, ikke kan være lik uendelig!

På samme måte kan vi bevise konvergensen til "lignende" serier: , , etc.

! Merk at vi i alle tilfeller har «pluss» i nevnerne. Tilstedeværelsen av minst ett minus kan alvorlig komplisere bruken av den vurderte sammenligningsfunksjon. For eksempel, hvis serien sammenlignes på samme måte med en konvergent rekke (skriv ned flere ulikheter for de første leddene), så vil ikke betingelsen være oppfylt i det hele tatt! Her kan du unnvike og velge for sammenligning en annen konvergent serie, for eksempel, , men dette vil medføre unødvendige reservasjoner og andre unødvendige vanskeligheter. Derfor, for å bevise konvergensen til en serie, er det mye enklere å bruke marginalt sammenligningskriterium(se neste avsnitt).

Eksempel 9

Undersøk serien for konvergens

Og i dette eksemplet foreslår jeg at du vurderer det selv den andre delen av sammenligningsfunksjonen:

Om kjent, at raden er divergerer, og starter fra et tall (ofte fra første stund) ulikhet holder, da serien divergerer også.

Med andre ord: Divergensen til serien med mindre ledd innebærer divergensen til serien med større ledd.

Hva bør gjøres?
Det er nødvendig å sammenligne serien som studeres med en divergerende harmonisk serie. For en bedre forståelse, konstruer noen spesifikke ulikheter og sørg for at ulikheten er sann.

Løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen.

Som allerede nevnt, blir sammenligningsfunksjonen som nettopp ble betraktet i praksis sjelden brukt. Den virkelige «arbeidshesten» i tallserien er marginalt sammenligningskriterium, og kun når det gjelder bruksfrekvens tegn på d'Alembert.

Grensetegn for sammenligning av numeriske positive serier

Tenk på to positive numeriske serier og . Hvis grensen for forholdet mellom de vanlige medlemmene i disse seriene er lik endelig ikke-null tall: , da konvergerer eller divergerer begge seriene samtidig.

Når brukes grensesammenligningskriteriet? Grensetegnet for sammenligning brukes når "stuffingen" av serien er polynomer. Enten ett polynom i nevneren, eller polynom i både telleren og nevneren. Eventuelt kan polynomer være under røtter.

La oss ta for oss serien som det forrige sammenligningstegnet stoppet opp for.

Eksempel 10

Undersøk serien for konvergens

Sammenlign denne serien med den konvergerende serien. Vi bruker grensetesten for sammenligning. Det er kjent at serien konvergerer. Hvis vi kan vise at det er det endelig ikke-null antall, vil det bevises at serien også konvergerer.

Et endelig, ikke-null tall oppnås, noe som betyr at serien som studeres konvergerer sammen med ved siden av .

Hvorfor ble serien valgt for sammenligning? Hvis vi hadde valgt en hvilken som helst annen serie fra "klippet" av den generaliserte harmoniske serien, ville vi ikke ha lykkes i grensen endelig ikke-null tall (du kan eksperimentere).

Merk: når vi bruker funksjonen for marginal sammenligning, spiller ingen rolle, i hvilken rekkefølge for å komponere forholdet til vanlige medlemmer, i det betraktede eksemplet, kan forholdet trekkes omvendt: - dette ville ikke endre essensen av saken.