Utvidet Pythagoras teorem. Ulike måter å bevise Pythagoras teorem

Pythagoras teorem er det viktigste utsagnet om geometri. Teoremet er formulert som følger: arealet av et kvadrat bygget på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena.

Vanligvis tilskrives oppdagelsen av denne uttalelsen den gamle greske filosofen og matematikeren Pythagoras (VI århundre f.Kr.). Men en studie av de babylonske kileskrifttavlene og gamle kinesiske manuskripter (kopier av enda eldre manuskripter) viste at denne uttalelsen var kjent lenge før Pythagoras, kanskje et årtusen før ham. Fordelen med Pythagoras var at han oppdaget beviset for denne teoremet.

Sannsynligvis ble det faktum angitt i Pythagoras teorem først etablert for likebenede rettvinklede trekanter. Det er nok å se på mosaikken av svarte og lyse trekanter vist i fig. 1 for å bekrefte gyldigheten av trekantens setning: et kvadrat bygget på hypotenusen inneholder 4 trekanter, og et kvadrat som inneholder 2 trekanter er bygget på hvert ben. For bevis generell sak i det gamle India arrangert på to måter: i en firkant med en side, fire rettvinklede trekanter med ben av lengder og ble avbildet (fig. 2, a og 2, b), hvoretter de skrev ett ord "Se!". Og faktisk, når vi ser på disse figurene, ser vi at til venstre er en figur fri for trekanter, bestående av to kvadrater med sider og henholdsvis arealet er likt, og til høyre - et kvadrat med en side - arealet er lik. Derfor, , som er utsagnet til Pythagoras teorem.

Men i to årtusener var det ikke dette visuelle beviset som ble brukt, men et mer komplekst bevis oppfunnet av Euclid, som er plassert i hans berømte bok "Beginnings" (se Euclid and his "Beginnings"), Euclid senket høyden fra toppen rett vinkel på hypotenusen og beviste at dens fortsettelse deler kvadratet bygget på hypotenusen i to rektangler, hvis arealer er lik arealene til de tilsvarende firkantene bygget på bena (fig. 3). Tegningen som ble brukt i beviset for denne teoremet kalles spøkefullt "pytagoreiske bukser". I lang tid ble han ansett som et av symbolene for matematisk vitenskap.

I dag er det flere titalls ulike bevis Pythagoras teoremer. Noen av dem er basert på en skillevegg av firkanter, der firkanten bygget på hypotenusen består av deler som inngår i skilleveggene til firkantene bygget på bena; andre - på komplementet til like tall; den tredje - på det faktum at høyden, senket fra toppunktet av den rette vinkelen til hypotenusen, deler den rette trekanten i to trekanter som ligner på den.

Pythagoras teorem ligger til grunn for det meste geometriske beregninger. Selv i det gamle Babylon ble det brukt til å beregne lengden på høyden likebent trekant i henhold til lengdene på basen og siden, pilen til segmentet i henhold til diameteren på sirkelen og lengden på korden, ble forholdene mellom elementene i noen vanlige polygoner etablert. Ved hjelp av Pythagoras teorem er generaliseringen bevist, noe som gjør det mulig å beregne lengden på siden som ligger motsatt en spiss eller stump vinkel:

Av denne generaliseringen følger det at tilstedeværelsen av en rett vinkel i ikke bare er tilstrekkelig, men også en nødvendig betingelse for oppfyllelsen av likheten. Formel (1) innebærer relasjonen mellom lengdene på diagonalene og sidene til et parallellogram, med hvilket det er lett å finne lengden på medianen til en trekant fra lengdene på sidene.

Basert på Pythagoras teorem, er det også utledet en formel som uttrykker arealet til en hvilken som helst trekant i form av lengdene på sidene (se Herons formel). Pythagoras teorem ble selvfølgelig også brukt til å løse ulike praktiske problemer.

I stedet for firkanter på sidene av en rettvinklet trekant, kan du bygge alle former som ligner hverandre (likesidede trekanter, halvsirkler osv.). I dette tilfellet er arealet av figuren bygget på hypotenusen lik summen av arealene til figurene bygget på bena. En annen generalisering er knyttet til overgangen fra plan til rom. Den er formulert som følger: kvadratet på lengden på diagonalen til et rektangulært parallellepiped er lik summen kvadrater av dens mål (lengde, bredde og høyde). Et lignende teorem er også sant i flerdimensjonale og til og med uendelig dimensjonale tilfeller.

Pythagoras teorem eksisterer bare i euklidisk geometri. Det foregår verken i Lobatsjovskys geometri eller i andre ikke-euklidiske geometrier. Det er heller ingen analog til Pythagoras teorem på sfæren. To meridianer som danner en vinkel på 90° og ekvator avgrenset en likesidet sfærisk trekant på sfæren, som alle tre er rette vinkler. For ham, ikke som på flyet.

Beregn avstanden mellom punkter og ved hjelp av Pythagoras teorem koordinatplan i henhold til formelen

Etter at Pythagoras teorem ble oppdaget, dukket spørsmålet opp om hvordan man finner alle trippel av naturlige tall som kan være sider av rette trekanter (se Fermats store teorem). De ble oppdaget av pytagoreerne, men noen generelle metoder for å finne slike tredobler av tall var kjent til og med babylonerne. En av kileskrifttablettene inneholder 15 trillinger. Blant dem er det trillinger som består av så store tall at det ikke kan være snakk om å finne dem ved utvalg.

HIPPOKRATE HELVETE

Hippokratiske hull - figurer avgrenset av buer av to sirkler, og dessuten slik at i radier og lengde felles akkord av disse sirklene, ved hjelp av et kompass og en rettekant, kan du konstruere kvadrater med samme areal som dem.

Fra generaliseringen av Pythagoras teorem til halvsirkler følger det at summen av arealene til de rosa hullene vist i figuren til venstre er lik arealet av den blå trekanten. Derfor, hvis vi tar en likebenet rettvinklet trekant, får vi to hull, hvis strandareal vil være lik halvparten av trekantens areal. Prøver å løse problemet med å kvadrere en sirkel (jf. Klassiske problemer antikken), fant den antikke greske matematikeren Hippokrates (5. århundre f.Kr.) flere flere hull, hvis områder er uttrykt i form av områdene til rettlinjede figurer.

En fullstendig liste over flodhest-hull ble oppnådd først på 1800- og 1900-tallet. gjennom bruk av Galois teorimetoder.

Pythagoras teorem

Skjebnen til andre teoremer og problemer er særegen... Hvordan kan man forklare for eksempel en slik eksepsjonell oppmerksomhet fra matematikere og matematikere til Pythagoras teorem? Hvorfor var mange av dem ikke fornøyd med de allerede kjente bevisene, men fant sine egne, og brakte antallet bevis til flere hundre i løpet av tjuefem relativt observerbare århundrer?
Når vi snakker om Pythagoras teorem begynner det uvanlige allerede med navnet. Det antas at det på ingen måte var Pythagoras som formulerte det for første gang. Det er også tvilsomt at han ga henne bevis. Hvis Pythagoras - ekte ansikt(noen tviler til og med på dette!), da levde han mest sannsynlig på 600-500-tallet. f.Kr e. Selv skrev han ikke noe, han kalte seg selv en filosof, som i hans forståelse betydde "å streve etter visdom", grunnla Pythagorean Union, hvis medlemmer var engasjert i musikk, gymnastikk, matematikk, fysikk og astronomi. Tilsynelatende var han også en stor taler, som det fremgår av følgende legende knyttet til oppholdet hans i byen Croton: skisserte pliktene til de unge mennene, at de eldste i byen ba om å ikke forlate dem uten undervisning. I denne andre talen pekte han på lovligheten og moralens renhet, som grunnlaget for familien; i de to neste henvendte han seg til barn og kvinner. Konsekvens siste tale der han spesielt fordømte luksus var at tusenvis av dyrebare kjoler ble levert til tempelet til Hera, for ikke en eneste kvinne våget å vise seg i dem på gaten lenger ... "Likevel, tilbake i det andre århundre av vår tidsregning, dvs. etter 700 år levde og arbeidet de fullstendig ekte folk, fremragende vitenskapsmenn som tydelig var påvirket av den pytagoreiske unionen og med stor respekt for det, ifølge legenden, Pythagoras skapte.
Det er også utvilsomt at interessen for teoremet er forårsaket både av det faktum at det inntar en av de sentrale stedene i matematikk, og av tilfredsstillelsen til forfatterne av bevisene som overvant vanskelighetene, som den romerske poeten Quintus Horace Flaccus om. , som levde før vår tid, sa godt: "Det er vanskelig å uttrykke kjente fakta" .
Opprinnelig etablerte teoremet forholdet mellom arealene av kvadrater bygget på hypotenusen og bena i en rettvinklet trekant:
.
Algebraisk formulering:
PÅ høyre trekant kvadratet av lengden på hypotenusen er lik summen av kvadratene av lengdene på benene.
Det vil si, angir lengden på hypotenusen til trekanten gjennom c, og lengden på bena gjennom a og b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Begge formuleringene av teoremet er ekvivalente, men den andre formuleringen er mer elementær, den krever ikke arealbegrepet. Det vil si at det andre utsagnet kan verifiseres uten å vite noe om arealet og ved å måle bare lengdene på sidene i en rettvinklet trekant.
Den inverse Pythagoras teorem. For hver trio positive tall a, b og c slik at
a 2 + b 2 = c 2, det er en rettvinklet trekant med bena a og b og hypotenusen c.

Bevis

På dette øyeblikket i vitenskapelig litteratur 367 bevis på denne teoremet ble registrert. Sannsynligvis er Pythagoras teorem den eneste teoremet med et så imponerende antall bevis. En slik variasjon kan bare forklares med den grunnleggende betydningen av teoremet for geometri.
Selvfølgelig, konseptuelt, kan alle deles inn i et lite antall klasser. De mest kjente av dem: bevis etter områdemetoden, aksiomatiske og eksotiske bevis (for eksempel ved bruk av differensialligninger).

Gjennom lignende trekanter

Følgende bevis på den algebraiske formuleringen er det enkleste av bevisene bygget direkte fra aksiomene. Spesielt bruker den ikke konseptet med området til en figur.
La ABC være en rettvinklet trekant med rett vinkel C. Tegn en høyde fra C og angi grunnflaten med H. Trekant ACH ligner trekant ABC i to vinkler.
På samme måte ligner trekant CBH på ABC. Vi introduserer notasjonen

vi får

Hva er ekvivalent

Legger til, får vi

eller

Områdebevis

Følgende bevis, til tross for deres tilsynelatende enkelhet, er ikke så enkle i det hele tatt. Alle bruker egenskapene til området, beviset på det er mer komplisert enn beviset for selve Pythagoras teorem.

Bevis via ekvivalens

1. Ordne fire like rette trekanter som vist på figuren.
2. En firkant med sidene c er et kvadrat, siden summen av to skarpe hjørner 90° og den rette vinkelen er 180°.
3. Arealet av hele figuren er på den ene siden lik arealet av en firkant med side (a + b), og på den annen side summen fire trekanter og indre firkant.

Q.E.D.

Bevis gjennom ekvivalens

Et eksempel på et av disse bevisene er vist på tegningen til høyre, der kvadratet som er bygget på hypotenusen, omdannes ved permutasjon til to kvadrater bygget på bena.

Euklids bevis

Ideen til Euklids bevis er som følger: la oss prøve å bevise at halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen er lik summen av de halve arealene av kvadratene bygget på bena, og deretter arealene til de store og to små rutene er like. Tenk på tegningen til venstre. Vi bygget firkanter på sidene av en rettvinklet trekant på den og tegnet en stråle s fra toppunktet til rett vinkel C vinkelrett på hypotenusen AB, den kutter kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ , henholdsvis. Det viser seg at arealene til disse rektanglene er nøyaktig lik arealene til firkantene bygget på de tilsvarende bena. La oss prøve å bevise at arealet av kvadratet DECA er lik arealet av rektangelet AHJK For å gjøre dette bruker vi en hjelpeobservasjon: Arealet av en trekant med samme høyde og base som den gitte rektangel er lik halve arealet av det gitte rektangelet. Dette er en konsekvens av å definere arealet av en trekant som halvparten av produktet av basen og høyden. Fra denne observasjonen følger det at arealet av trekanten ACK er lik arealet av trekanten AHK (ikke vist), som igjen er lik halve arealet av rektangelet AHJK. La oss nå bevise at arealet av trekanten ACK også er lik halvparten av arealet av kvadratet DECA. Det eneste som må gjøres for dette er å bevise likheten mellom trekantene ACK og BDA (siden arealet av trekanten BDA er lik halvparten av kvadratets areal med egenskapen ovenfor). Denne likheten er åpenbar, trekantene er like i to sider og vinkelen mellom dem. Nemlig - AB=AK,AD=AC - likheten mellom vinklene CAK og BAD er lett å bevise med bevegelsesmetoden: la oss rotere trekanten CAK 90° mot klokken, da er det åpenbart at de tilsvarende sidene til de to trekantene som vurderes vil sammenfaller (på grunn av det faktum at vinkelen ved toppen av kvadratet er 90°). Argumentet om likheten mellom arealene til kvadratet BCFG og rektangelet BHJI er fullstendig analogt. Dermed har vi bevist at arealet av kvadratet bygget på hypotenusen er summen av arealene til kvadratene bygget på bena.

Bevis for Leonardo da Vinci

Hovedelementene i beviset er symmetri og bevegelse.

Tenk på tegningen, som man kan se av symmetrien, segmentet CI kutter kvadratet ABHJ i to identiske deler (siden trekantene ABC og JHI er like i konstruksjon). Ved å bruke en 90 graders rotasjon mot klokken ser vi likheten mellom de skraverte figurene CAJI og GDAB. Nå er det klart at arealet av figuren som er skyggelagt av oss, er lik summen av halvparten av arealene til rutene bygget på bena og arealet til den opprinnelige trekanten. På den annen side er det lik halve arealet av kvadratet bygget på hypotenusen, pluss arealet av den opprinnelige trekanten. Det siste trinnet i beviset overlates til leseren.

Pass på at trekanten du får oppgitt er en rettvinklet trekant, siden Pythagoras setning kun gjelder for rette trekanter. I rette trekanter er en av de tre vinklene alltid 90 grader.

En rett vinkel i en rettvinklet trekant er indikert med en firkant i stedet for en kurve, som representerer ikke-rette vinkler.

Merk sidene av trekanten. Utpek bena som "a" og "b" (beina er sider som krysser hverandre i rette vinkler), og hypotenusen som "c" (hypotenusen er den største siden av en rettvinklet trekant som ligger motsatt den rette vinkelen).

Bestem hvilken side av trekanten du vil finne. Pythagoras teorem lar deg finne hvilken som helst side av en rettvinklet trekant (hvis de to andre sidene er kjent). Bestem hvilken side (a, b, c) som må finnes.

For eksempel gitt en hypotenus lik 5, og gitt et ben lik 3. I dette tilfellet må du finne det andre benet. Vi kommer tilbake til dette eksemplet senere.
Hvis de to andre sidene er ukjente, er det nødvendig å finne lengden på en av de ukjente sidene for å kunne anvende Pythagoras teorem. For å gjøre dette, bruk det grunnleggende trigonometriske funksjoner(hvis du får verdien av en av de ikke-rette vinklene).

Erstatt i formelen a 2 + b 2 \u003d c 2 verdiene gitt til deg (eller verdiene funnet av deg). Husk at a og b er ben, og c er hypotenusen.

I vårt eksempel, skriv: 3² + b² = 5².

Firkant hver kjent side. Eller la gradene stå igjen – du kan kvadre tallene senere.

I vårt eksempel, skriv: 9 + b² = 25.

Isolere ukjent side på den ene siden av ligningen. For å gjøre dette, flytt kjente verdier til den andre siden av ligningen. Hvis du finner hypotenusen, er den i Pythagoras teorem allerede isolert på den ene siden av ligningen (så ingenting trenger å gjøres).

I vårt eksempel flytter du 9 til høyre side av ligningen for å isolere den ukjente b². Du vil få b² = 16.

Ekstrakt Kvadratrot fra begge sider av ligningen etter at det ukjente (kvadrat) er tilstede på den ene siden av ligningen, og det frie leddet (tall) er tilstede på den andre siden.

I vårt eksempel er b² = 16. Ta kvadratroten av begge sider av ligningen og få b = 4. Så den andre etappen er 4.

Bruk Pythagoras teorem i Hverdagen, fordi den kan brukes i store tall praktiske situasjoner. For å gjøre dette, lær å gjenkjenne rette trekanter i hverdagen - i enhver situasjon der to objekter (eller linjer) krysser hverandre i rette vinkler, og et tredje objekt (eller linje) forbinder (diagonalt) toppen av de to første objektene (eller linjer), kan du bruke Pythagoras teorem for å finne den ukjente siden (hvis de to andre sidene er kjent).

Eksempel: Gitt en stige som lener seg mot en bygning. Nedre del trapp er plassert 5 meter fra bunnen av veggen. Øverste del trapp er plassert 20 meter fra bakken (opp veggen). Hva er lengden på stigen?
- "5 meter fra bunnen av veggen" betyr at a = 5; "er 20 meter fra bakken" betyr at b = 20 (det vil si at du får to ben i en rettvinklet trekant, siden bygningens vegg og jordoverflaten skjærer hverandre i rette vinkler). Lengden på stigen er lengden på hypotenusen, som er ukjent.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - c = √425
  - c = 20,6. Dermed er den omtrentlige lengden på trappen 20,6 meter.

Et animert bevis på Pythagoras teorem er en av de fundamental teoremer av euklidisk geometri, som etablerer forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Det antas at det ble bevist av den greske matematikeren Pythagoras, som det er oppkalt etter (det er andre versjoner, spesielt en alternativ mening om at denne teoremet er i generelt syn ble formulert av den pytagoreiske matematikeren Hippasus).
Teoremet sier:

I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet bygget på hypotenusen lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena.

Angir lengden på hypotenusen til trekanten c, og lengdene på bena som en og b, vi får følgende formel:

Dermed etablerer Pythagoras teorem en relasjon som lar deg bestemme siden av en rettvinklet trekant, og kjenne lengdene til de to andre. Pythagoras teorem er et spesialtilfelle av cosinussetningen, som bestemmer forholdet mellom sidene vilkårlig trekant.
Den omvendte påstanden er også bevist (også kalt omvendt teorem Pythagoras):

For alle tre positive tall a, b og c slik at a ? +b? = c ?, det er en rettvinklet trekant med bena a og b og hypotenusen c.

Visuelle bevis for trekanten (3, 4, 5) fra Chu Pei 500-200 f.Kr. Teoremets historie kan deles inn i fire deler: kunnskap om pythagoras tall, kunnskap om forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant, kunnskap om forholdet tilstøtende hjørner og bevis på teoremet.
Megalittiske strukturer rundt 2500 f.Kr i Egypt og Nord-Europa, inneholder rettvinklede trekanter med heltallssider. Barthel Leendert van der Waerden antok at de pytagoreiske tallene i disse dager ble funnet algebraisk.
Skrevet mellom 2000 og 1876 f.Kr papyrus fra Midtriket Egypt Berlin 6619 inneholder et problem hvis løsning er de pytagoreiske tallene.
Under regjeringen til Hammurabi den store, en vibylonsk tavle Plimpton 322, skrevet mellom 1790 og 1750 f.Kr. inneholder mange oppføringer nært knyttet til pythagoras tall.
I Budhayana-sutraene, som stammer fra forskjellige versjoner 8. eller 2. århundre f.Kr i India, inneholder pythagoras tall utledet algebraisk, en formulering av Pythagoras teorem, og et geometrisk bevis for en likebenet rettvinklet trekant.
Apastamba Sutraene (cirka 600 f.Kr.) inneholder numerisk bevis Pythagoras teoremer ved bruk av arealberegning. Van der Waerden mener at det var basert på tradisjonene til forgjengerne. I følge Albert Burko er dette det originale beviset på teoremet, og han foreslår at Pythagoras besøkte Arakoni og kopierte det.
Pythagoras, hvis leveår vanligvis er angitt 569 - 475 f.Kr. bruker algebraiske metoder beregning av pytagoreiske tall, ifølge Proklovs kommentarer om Euklid. Proclus levde imidlertid mellom 410 og 485 e.Kr. I følge Thomas Giese er det ingen indikasjon på forfatterskap til teoremet i fem århundrer etter Pythagoras. Men når forfattere som Plutarch eller Cicero tillegger teoremet til Pythagoras, gjør de det som om forfatterskapet er allment kjent og sikkert.
Rundt 400 f.Kr I følge Proclus ga Platon en metode for å beregne pythagoras tall, ved å kombinere algebra og geometri. Rundt 300 f.Kr., i Begynnelser Euklid, vi har det eldste aksiomatiske beviset som har overlevd til i dag.
Skrevet en gang mellom 500 f.Kr. og 200 f.Kr., kinesisk mattebok"Chu Pei" (? ? ? ?), gir et visuelt bevis på Pythagoras teorem, som i Kina kalles gugu-setningen (????), for en trekant med sider (3, 4, 5). Under Han-dynastiets regjeringstid, fra 202 f.Kr. før 220 e.Kr Pythagoras tall vises i boken "Nine Sections of the Mathematical Art" sammen med en omtale av rette trekanter.
Bruken av teoremet er først dokumentert i Kina, hvor det er kjent som gugu-teoremet (????) og i India, hvor det er kjent som Baskars teorem.
Mange diskuterer om Pythagoras teorem ble oppdaget én gang eller gjentatte ganger. Boyer (1991) mener at kunnskapen som finnes i Shulba Sutra kan være av mesopotamisk opprinnelse.
Algebraisk bevis
Firkanter dannes av fire rette trekanter. Mer enn hundre bevis på Pythagoras teoremet er kjent. Her er bevisene basert på eksistensteoremet for arealet til en figur:

Plasser fire like rette trekanter som vist på figuren.
Firkant med sider c er et kvadrat, siden summen av to spisse vinkler er , og den rettede vinkelen er .
Arealet til hele figuren er på den ene siden lik arealet til en firkant med siden "a + b", og på den andre siden summen av arealene til fire trekanter og det indre kvadratet .

Det er det som må bevises.
Ved likheten mellom trekanter
Bruk lignende trekanter. La ABC er en rettvinklet trekant der vinkelen C rett, som vist på bildet. La oss tegne en høyde fra et punkt c, og ring H skjæringspunkt med en side AB. Trekant dannet ACH som en trekant abc, siden de begge er rektangulære (per definisjon av høyde) og de deler en vinkel EN,åpenbart vil den tredje vinkelen være den samme i disse trekantene også. Tilsvarende mirkuyuyuchy, trekant CBH også lik triangel ABC. Fra likheten til trekanter: Hvis

Dette kan skrives som

Legger vi til disse to likhetene får vi

HB + c ganger AH = c ganger (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Med andre ord, Pythagoras teorem:

Euklids bevis
Bevis for Euklid i de euklidiske "prinsippene", Pythagoras teorem bevist ved metoden for parallellogrammer. La A, B, C hjørner av en rettvinklet trekant, med rett vinkel EN. Slipp en vinkelrett fra et punkt EN til siden motsatt hypotenusen i et kvadrat bygget på hypotenusen. Linjen deler kvadratet i to rektangler, som hver har samme areal som kvadratene som er bygget på bena. hovedide beviset er at de øvre firkantene gjøres om til parallellogrammer av samme areal, og så kommer tilbake og blir til rektangler i den nedre firkanten og igjen med samme areal.

La oss tegne segmenter CF og AD, vi får trekanter BCF og BDA.
hjørner DROSJE og BAG- rett; poeng C, A og G er kollineære. Også B, A og H.
hjørner CBD og FBA- begge er rette, deretter vinkelen ABD lik vinkelen fbc, siden begge er summen av en rett vinkel og en vinkel ABC.
Triangel ABD og FBC nivå på to sider og vinkelen mellom dem.
Fordi prikkene A, K og L– collineær, arealet av rektangelet BDLK er lik to områder av trekanten ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
På samme måte får vi CKLE = ACIH = AC 2
På den ene siden området CBDE lik summen av arealene til rektanglene BDLK og CKLE, på den annen side, arealet av torget BC2, eller AB 2 + AC 2 = BC 2.

Bruke differensialer
Bruk av differensialer. Pythagoras setning kan man komme frem til ved å studere hvordan inkrementet til en side påvirker lengden på hypotenusen som vist i figuren til høyre og bruke et lite regnestykke.
Som et resultat av veksten av siden en, fra lignende trekanter for infinitesimale trinn

Integrering får vi

Hvis en= 0 da c = b, så "konstanten" er b 2. Deretter

Som man kan se, skyldes rutene forholdet mellom inkrementer og sidene, mens summen er resultatet av det uavhengige bidraget til sidenes inkrementer, ikke åpenbart fra geometriske bevis. I disse ligningene da og dc er henholdsvis infinitesimale trinn av sidene en og c. Men i stedet for dem bruker vi? en og? c, så er grensen for forholdet hvis de har en tendens til null da / dc, derivat, og er også lik c / en, forholdet mellom lengdene på sidene til trekantene, som et resultat får vi differensial ligning.
Når det gjelder et ortogonalt system av vektorer, skjer det en likhet, som også kalles Pythagoras teorem:

Hvis - Dette er projeksjonene av vektoren på koordinatakser, så faller denne formelen sammen med den euklidiske avstanden og betyr at lengden på vektoren er lik roten kvadratsum kvadrater av dens komponenter.
En analog av denne likestillingen i saken endeløst system vektorer kalles Parsevals likhet.

Hver elev vet at kvadratet på hypotenusen alltid er lik summen av bena, som hver er i annen. Dette utsagnet kalles Pythagoras teorem. Hun er en av de mest kjente teoremer trigonometri og matematikk generelt. La oss vurdere det mer detaljert.

Konseptet med en rettvinklet trekant

Før vi går videre til vurderingen av Pythagoras teorem, der kvadratet av hypotenusen er lik summen av bena som kvadreres, bør vi vurdere konseptet og egenskapene til en rettvinklet trekant, som teoremet er gyldig for.

Trekant - flat figur, som har tre vinkler og tre sider. En rettvinklet trekant, som navnet tilsier, har en rett vinkel, det vil si at denne vinkelen er 90 o.

Fra felles egenskaper for alle trekanter er det kjent at summen av alle tre vinklene i denne figuren er 180 o , som betyr at for en rettvinklet trekant er summen av to vinkler som ikke er rette 180 o - 90 o = 90 o . Siste faktum betyr at enhver vinkel i en rettvinklet trekant som ikke er en rett vinkel alltid vil være mindre enn 90o.

Siden motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen. De to andre sidene er trekantens ben, de kan være like med hverandre, eller de kan være forskjellige. Det er kjent fra trigonometri at jo større vinkel en side ligger mot i en trekant, desto større er lengden på denne siden. Dette betyr at i en rettvinklet trekant vil hypotenusen (ligge motsatt 90 o-vinkelen) alltid være større enn noen av bena (ligge motsatt vinklene)< 90 o).

Matematisk notasjon av Pythagoras teorem

Denne teoremet sier at kvadratet på hypotenusen er lik summen av bena, som hver tidligere er kvadratisk. For å skrive denne formuleringen matematisk, tenk på en rettvinklet trekant der sidene a, b og c er henholdsvis de to bena og hypotenusen. I dette tilfellet kan teoremet, som er formulert som kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, representeres med følgende formel: c 2 \u003d a 2 + b 2. Herfra kan andre formler som er viktige for praksis fås: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) og c \u003d √ (a 2 + b 2).

Merk at i tilfelle av en rektangulær likesidet trekant, det vil si a \u003d b, ordlyden: kvadratet av hypotenusen er lik summen av bena, som hver er kvadratisk, matematisk skrevet som følger: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2 , hvorfra likheten følger: c \u003d a√2.

Historiereferanse

Pythagoras teorem, som sier at summen av bena, som hver er kvadratisk, er lik kvadratet på hypotenusen, var kjent lenge før den berømte greske filosofen trakk oppmerksomheten til den. Mange papyrus fra det gamle Egypt, så vel som leirtavler av babylonerne, bekrefter at disse folkene brukte den bemerkede egenskapen til sidene i en rettvinklet trekant. For eksempel en av de første egyptiske pyramider, Khafre-pyramiden, hvis konstruksjon dateres tilbake til det 26. århundre f.Kr. (2000 år før Pythagoras liv), ble bygget basert på kunnskapen om sideforholdet i en 3x4x5 rettvinklet trekant.

Hvorfor bærer teoremet nå navnet på en greker? Svaret er enkelt: Pythagoras er den første som matematisk beviser denne teoremet. På eksisterende babylonsk og egyptisk skriftlige kilder den snakker bare om bruken, men gir ikke noe matematisk bevis.

Det antas at Pythagoras beviste teoremet under vurdering ved å bruke egenskapene til lignende trekanter, som han oppnådde ved å tegne en høyde i en rettvinklet trekant fra en vinkel på 90 o til hypotenusen.

Et eksempel på bruk av Pythagoras teorem

Ta i betraktning en enkel oppgave: det er nødvendig å bestemme lengden på den skrånende trappen L, hvis det er kjent at den har en høyde H \u003d 3 meter, og avstanden fra veggen som trappen hviler mot til foten er P \u003d 2,5 meter.

PÅ denne saken H og P er bena, og L er hypotenusen. Siden lengden på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, får vi: L 2 \u003d H 2 + P 2, hvorfra L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2,5 2) \u003d 3,905 meter eller 3 m og 90, 5 cm