Løsning av brøkrasjonelle ligninger. Algoritme for å løse rasjonelle ligninger

I dag skal vi finne ut hvordan vi skal løse rasjonelle brøklikninger.

La oss se: fra ligningene

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

rasjonelle brøklikninger er bare (2) og (4), mens (1) og (3) er hele ligninger.

Jeg foreslår å løse likning (4), og deretter formulere regelen.

Siden ligningen er brøk, må vi finne en fellesnevner. I denne ligningen er dette uttrykket 6 (x - 12) (x - 6). Så multipliserer vi begge sider av ligningen med en fellesnevner:

Etter reduksjon får vi hele ligningen:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

Etter å ha løst denne ligningen, er det nødvendig å sjekke om de oppnådde røttene snur nevnerne til brøkene i den opprinnelige ligningen til null.

Utvide parentesene:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 \u003d 5x 2 - 90x + 360, vi forenkler ligningen: 5x 2 - 162x + 1008 \u003d 0.

Finne røttene til ligningen
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 og x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

Ved x = 8,4 og 24 er fellesnevneren 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0, noe som betyr at disse tallene er røttene til ligning (4).

Svar: 8,4; 24.

Når vi løser den foreslåtte ligningen, kommer vi til følgende bestemmelser:

1) Vi finner en fellesnevner.

2) Multipliser begge sider av ligningen med en fellesnevner.

3) Vi løser den resulterende hele ligningen.

4) Vi sjekker hvilken av røttene som snur fellesnevneren til null og ekskluderer dem fra løsningen.

La oss nå se på et eksempel på hvordan de resulterende stillingene fungerer.

Løs ligningen:

1) Fellesnevner: x 2 - 1

2) Vi multipliserer begge deler av ligningen med en fellesnevner, vi får hele ligningen: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) Vi løser ligningen: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 og x 2 = 2

4) Når x \u003d -1, fellesnevneren x 2 - 1 \u003d 0. Tallet -1 er ikke en rot.

For x \u003d 2 er fellesnevneren x 2 - 1 ≠ 0. Tallet 2 er roten av ligningen.

Svar: 2.

Som du kan se, fungerer bestemmelsene våre. Ikke vær redd, du vil lykkes! Det viktigste finne fellesnevneren riktig Og gjør transformasjonene nøye. Vi håper at når du løser rasjonelle brøklikninger, vil du alltid få de riktige svarene. Hvis du har spørsmål eller ønsker å øve på å løse slike ligninger, kan du registrere deg for leksjoner med forfatteren av denne artikkelen, veileder J.

blog.site, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Minste fellesnevner brukes for å forenkle denne ligningen. Denne metoden er anvendelig i tilfelle det er umulig å skrive denne ligningen med ett rasjonelt uttrykk på hver side av ligningen (og bruke kryssmultiplikasjonsmetoden). Denne metoden brukes når en rasjonell ligning med tre eller flere brøker er gitt (ved to brøker er det bedre å bruke kryssvis multiplikasjon).

Finn den minste fellesnevneren for brøker (eller minste felles multiplum). NOZ er det minste tallet som er jevnt delelig med hver nevner.

Noen ganger er NOZ et åpenbart tall. For eksempel, hvis ligningen er gitt: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, så er det åpenbart at det minste felles multiplum av tallene 3, 2 og 6 vil være 6.
Hvis NOD ikke er åpenbar, skriv ned multiplene av den største nevneren og finn blant dem en som også er et multiplum av de andre nevnerne. Du kan ofte finne NOD ved ganske enkelt å multiplisere to nevnere sammen. For eksempel, hvis ligningen x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 er gitt, så er NOZ = 8*9 = 72.
Hvis en eller flere nevnere inneholder en variabel, er prosessen noe mer komplisert (men ikke umulig). I dette tilfellet er NOZ et uttrykk (som inneholder en variabel) som er delelig med hver nevner. For eksempel, i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), fordi dette uttrykket er delelig med hver nevner: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multipliser både telleren og nevneren for hver brøk med et tall som er lik resultatet av å dele NOZ med den tilsvarende nevneren for hver brøk. Siden du multipliserer både telleren og nevneren med samme tall, multipliserer du en brøkdel med 1 (for eksempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).

Så i vårt eksempel, multipliser x/3 med 2/2 for å få 2x/6, og gang 1/2 med 3/3 for å få 3/6 (3x + 1/6 trenger ikke å multipliseres fordi nevneren er 6).
Fortsett på samme måte når variabelen er i nevneren. I vårt andre eksempel NOZ = 3x(x-1), så 5/(x-1) ganger (3x)/(3x) er 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ganger 3(x-1)/3(x-1) for å få 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multipliser med (x-1)/(x-1) og du får 2(x-1)/3x(x-1).

Se etter "x". Nå som du har redusert brøkene til en fellesnevner, kan du kvitte deg med nevneren. For å gjøre dette, multipliser hver side av ligningen med en fellesnevner. Løs deretter den resulterende ligningen, det vil si finn "x". For å gjøre dette, isoler variabelen på den ene siden av ligningen.

I vårt eksempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan legge til to brøker med samme nevner, så skriv ligningen som: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multipliser begge sider av ligningen med 6 og bli kvitt nevnerne: 2x+3 = 3x +1. Løs og få x = 2.
I vårt andre eksempel (med en variabel i nevneren) ser ligningen slik ut (etter reduksjon til en fellesnevner): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Ved å multiplisere begge sider av ligningen med NOZ, blir du kvitt nevneren og får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Løs og få: x = -5/14.

"Rasjonelle ligninger med polynomer" er et av de mest opptrådte temaene i USE-testene i matematikk. Av denne grunn bør repetisjonen gis spesiell oppmerksomhet. Mange elever står overfor problemet med å finne diskriminanten, overføre indikatorer fra høyre side til venstre side og bringe ligningen til en fellesnevner, noe som gjør det vanskelig å gjennomføre slike oppgaver. Å løse rasjonelle ligninger som forberedelse til eksamen på nettstedet vårt vil hjelpe deg raskt å takle oppgaver av enhver kompleksitet og bestå testen perfekt.

Velg utdanningsportalen "Shkolkovo" for vellykket forberedelse til den enhetlige eksamen i matematikk!

For å kjenne reglene for beregning av ukjente og enkelt få de riktige resultatene, bruk vår nettjeneste. Shkolkovo-portalen er en unik plattform der materialet som er nødvendig for å forberede seg til eksamen, samles inn. Lærerne våre systematiserte og presenterte i en forståelig form alle de matematiske reglene. I tillegg inviterer vi skoleelever til å prøve seg på å løse typiske rasjonelle ligninger, hvis basis kontinuerlig oppdateres og suppleres.

For mer effektiv forberedelse til testing, anbefaler vi at du følger vår spesielle metode og starter med å gjenta reglene og løse enkle problemer, gradvis gå videre til mer komplekse. Dermed vil kandidaten kunne fremheve de vanskeligste temaene for seg selv og fokusere på studiet.

Begynn å forberede den endelige testingen med Shkolkovo i dag, og resultatet lar deg ikke vente! Velg det enkleste eksemplet fra de gitte. Hvis du raskt mestrer uttrykket, gå videre til en vanskeligere oppgave. Så du kan forbedre kunnskapen din opp til å løse USE-oppgaver i matematikk på profilnivå.

Utdanning er tilgjengelig ikke bare for nyutdannede fra Moskva, men også for skolebarn fra andre byer. Bruk for eksempel et par timer om dagen på å studere på portalen vår, og ganske snart vil du kunne takle ligninger av enhver kompleksitet!

Løsning av rasjonelle brøklikninger

Hvis du er en elev i åttende klasse, og plutselig hendte det at du gikk glipp av en leksjon eller gikk glipp av det læreren snakket om, er denne artikkelen for deg!

Til å begynne med, la oss finne ut hva det er - rasjonelle brøklikninger? I enhver lærebok er det en slik definisjon: En brøk-rasjonell ligning er en ligning av formen\(fxg(x)=0\) .

Og selvfølgelig, denne definisjonen forteller deg ingenting. Så gir jeg eksempler, og du prøver å identifisere et mønster, finne noe felles.

\(((-2x-4)\over (x^2-4))=((x+5)\over (x-2))\)\(((3x^2-6)\over 2(x+1)) =x-1\)\((x\over x-2 ) + (8\over(4-x^2)) - (1\over x+2)=0\)

Og disse ligningene er ikke brøkrasjonelle:

\(3x^2+x-25=0 \) \(((2-x)\over (2))+((3x\over 5))=4\)\(((2x-1)\over 2)+(5x\over6)-(1-x\over 3)=3x-2\)

De to siste ligningene er definitivt ikke brøkrasjonelle, til tross for at de består av brøker. Men det viktigste er at det ikke er noen variabel (bokstav) i nevneren. Men i en rasjonell brøklikning er det alltid en variabel i nevneren.

Så, etter at du har bestemt nøyaktig hva ligningen er foran deg, vil vi begynne å løse den. Det første du må gjøre er indikert med tre store bokstaver,O.D.Z.Hva betyr disse bokstavene?OM sprengning D akseptabel Wideer. Hva dette betyr i vitenskapen om matematikk, vil jeg ikke forklare nå, målet vårt er å lære å løse ligninger, og ikke gjenta emnet "Algebraiske brøker". Men for vårt formål betyr dette følgende: vi tar nevneren eller nevnerne til brøkene våre, skriver dem ut separat og merker at de ikke er lik null.

Hvis vi bruker ligningene våre som eksempel\(((-2x-4)\over x^2-4)=(x+5\over x-2)\), vi gjør dette:

ODZ: \(x^2-4≠0 \)

\(x-2≠0 \)

\((3x^2-6\over 2(x+1)) =x-1 \)

ODZ: \(x+1≠0\)

Hvorfor spesifiserte de ikke en faktor på 2? Det er så tydelig at 2≠0

\((x\over x-2)+(8\over 4-x^2)-(1\over x+2)=0\)

ODZ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Så langt ser det ut til at alt er enkelt. Hva blir det neste? Det neste trinnet vil avhenge av hvor avansert du er i matte. Hvis du kan, løs disse fortegnsligningeneog hvis du ikke kan, la det være som det er for nå. Og vi går videre.

Videre må alle brøkene som er inkludert i ligningene representeres som en enkelt brøk. For å gjøre dette må du finne fellesnevneren til brøken. Og til slutt skriv ut hva som skjedde i telleren og sett likhetstegn mellom dette uttrykket til null. Og løs deretter ligningen.

La oss gå tilbake til eksemplene våre:\((-2x-4\over x^2-4)=(x+5 \over x-2) \) ODZ: \(x^2-4≠0\)

\((-2x-4\over x^2-4)-(x+5 \over x-2)=0 \)\(x-2≠0 \)

Flyttet brøken til venstre, mens du endret skiltet. Vi legger merke til at nevneren\(x^2-4 \) kan faktoriseres ved hjelp av formelen for redusert multiplikasjon\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) , og i telleren kan du ta den felles faktoren "-2" ut av braketten.

\((-2(x+2)\over (x+2)(x-2)) -(x+5\over x-2)=0\)

Nok en gang ser vi på ODZ, har vi det? Spise! Da kan vi redusere den første brøken med x+2 . Hvis det ikke er ODZ, er det umulig å redusere! Vi får:

\((-2\over x-2)-(x+5 \over x-2)=0\)

Brøker har en fellesnevner, så de kan trekkes fra:

\((-2-x-5\over x-2)=0\)

Vi er oppmerksomme, siden vi trekker fra brøkene, endrer vi "+"-tegnet i den andre brøken til et minus! Vi gir i telleren som termer:

\((-x-7 \over x-2)=0\)

Husk at en brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null. Det faktum at nevneren ikke er lik null, indikerte vi i ODZ. Det er på tide å indikere at telleren er null:

\(-x-7=0\)

Dette er en lineær ligning, flytt "-7" til høyre, endre tegnet:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

La oss snakke om ODZ:\(x^2-4≠0 \) \(x-2≠0\). Hvis du var i stand til å bestemme, så løs det slik:\(x^2≠4 \) \(x≠2\)

\(x_1≠2 \) \(x_2≠-2\)

Og hvis de ikke kunne bestemme seg, så erstatter vi i ODZ i stedet for "x" det som skjedde. Vi har\(x=-7\)

Deretter: \((-7)^2-4≠0\) ? Utført? Utført!

Så svaret på ligningen vår er:\(x=-7\)

Tenk på følgende ligning: \((3x^2-6\over 2(x+1))=(x-1)\)

Vi løser det på samme måte. Først spesifiserer vi ODZ:\(x+1≠0\)

Overfør deretter x-1 til venstre tilskriver vi umiddelbart nevneren 1 til dette uttrykket, dette kan gjøres, siden nevneren 1 ikke påvirker noe.

Vi får: \((3x^2-6\over 2(x+1)) -(x-1\over1)=0\)

Ser etter en fellesnevner\(2(x+1)\) . Vi multipliserer den andre brøken med dette uttrykket.

Fikk: \((3x^2-6\over2(x+1)) -((x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)) =0\)

\(( 3x^2-6-2x^2+2\over2(x+1)) =0 \)

Hvis det er vanskelig, skal jeg forklare:\(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) Og siden det er et "-"-tegn før den andre brøken, endrer vi tegnene til det motsatte ved å kombinere disse brøkene til ett.

Legg merke til at \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) og skriv det om slik:\(((x-2)(x+2)\over2(x+1)) =0\)

Deretter bruker vi definisjonen av en brøk lik null. En brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null. Det faktum at nevneren ikke er lik null, indikerte vi i ODZ, indikerer vi at telleren er lik null.\((x-2)(x+2)=0\) . La oss løse denne ligningen. Den har to multiplikatorer. x-2 og x+2 . Husk at produktet av to faktorer er null når en av faktorene er null.

Altså: x+2 =0 eller x-2 =0

Fra den første ligningen får vi x=-2, fra andre x=2 . Vi overfører nummeret og endrer skiltet.

På det siste stadiet sjekker vi ODZ: x+1≠0

Vi erstatter tallene 2 og -2 med x.

Vi får 2+1≠0 . Utført? Ja! Så x=2 er roten vår. Vi sjekker følgende:-2+1≠0 . Utført. Ja. Derfor x=-2, også vår rot. Så svaret er: 2 og -2.

Vi løser den siste ligningen uten forklaring. Algoritmen er den samme:

For å bruke forhåndsvisningen, opprette deg en Google-konto (konto) og logg inn: https://accounts.google.com

Forhåndsvisning:

Leksjon om emnet "Løsning av rasjonelle brøklikninger." 8. klasse

Leksjonens mål:

Opplæringen:

konsolidering av konseptet med en rasjonell brøkligning;
å vurdere ulike måter å løse rasjonelle brøklikninger på;
vurdere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger, inkludert betingelsen om at brøken er lik null;
å lære løsningen av rasjonelle brøklikninger i henhold til algoritmen.

Utvikler:

utvikling av evnen til å fungere korrekt med den ervervede kunnskapen, til å tenke logisk;
utvikling av intellektuelle ferdigheter og mentale operasjoner - analyse, syntese, sammenligning og generalisering;
utvikling av initiativ, evnen til å ta beslutninger, ikke stoppe der;
utvikling av kritisk tenkning;
utvikling av forskningskompetanse.

Pleie:

utdanning av kognitiv interesse for emnet;
utdanning av uavhengighet i å løse pedagogiske problemer;
utdanning av vilje og utholdenhet for å oppnå de endelige resultatene.

Leksjonstype : leksjon - konsolidering og systematisering av kunnskap, ferdigheter og evner.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Hei folkens! I dag i leksjonen vil vi vurdere ulike måter å løse rasjonelle brøklikninger på. Ligninger er skrevet på tavlen, se nøye på dem. Kan du løse alle disse ligningene?

1. 7 x - 14 = 0

Ligninger der venstre og høyre side er rasjonelle brøkuttrykk kalles rasjonelle brøklikninger. Hva tror du vi skal studere i dag i leksjonen? Formuler temaet for leksjonen. Så vi åpner notatbøker og skriver ned emnet for leksjonen "Løsning av rasjonelle brøklikninger".

2. Aktualisering av kunnskap. Frontalundersøkelse, muntlig arbeid med klassen, løsning av likninger

Vennligst svar på følgende spørsmål:

Hva kalles ligning #1? ( Lineær .) Metode for å løse lineære ligninger. (Flytt alt med det ukjente til venstre side av ligningen, alle tall til høyre. Ta med like vilkår. Finn den ukjente multiplikatoren).

Løs ligning #1

Hva kalles ligning 3? ( Torget. ) Metoder for å løse andregradsligninger. (Valg av hele kvadratet, etter formler, ved å bruke Vieta-setningen og dens konsekvenser.)

Løs ligning #3

Hva er ligning #2? ( Proporsjon ). Hva er en proporsjon? (Likestilling av to relasjoner.) Hovedegenskapen til proporsjoner. (Hvis andelen er sann, er produktet av de ekstreme leddene lik produktet av de midterste leddene.)

Løs ligning #2

Løsning:

9 x \u003d 18 ∙ 5

9 x = 90

X = 90:9

X = 10

Svar: 10

Hvilken rasjonell brøkligning kan du prøve å løse ved å bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon? (nr. 5). Men siden denne ligningen har en nevner som inneholder det ukjente, er det nødvendig å skrive ...? ODZ.

Løsning:

ODZ: x ≠ − 2, x ≠ 4

(x - 2)(x - 4) = (x + 2)(x + 3)

X 2 - 4 x - 2 x + 8 \u003d x 2 + 3 x + 2 x + 6

x 2 - 6 x - x 2 - 5 x \u003d 6 - 8

11 x = -2

X \u003d -2: (-11)

Svar:

La oss løse ligning nr. 4. Hvilken egenskap brukes til å løse denne ligningen? (Hvis begge sider av ligningen multipliseres med samme tall som ikke er null, oppnås en ligning som tilsvarer den gitte.)

Løsning:

| ∙ 6

3 x - 3 + 4 x \u003d 5x

7 x - 5 x \u003d 3

2 x = 3

x=3:2

x = 1,5

Svar: 1.5

Hvilken rasjonell brøklikning kan løses ved å multiplisere begge sider av ligningen med nevneren? (nr. 6).

Løsning:

| ∙ (7 - x)

12 \u003d x (7 - x)

12 \u003d 7 x - x 2

x 2 - 7 x + 12 = 0

D \u003d 1\u003e 0, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 4.

Svar: 3; 4.

La oss nå løse ligning #7 på to måter.

Løsning:

1 vei:

ODZ: x ≠ 0, x ≠ 5

Når er en brøk lik null? (En brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.)

x ² - 3 x - 10 = 0

D \u003d 49\u003e 0, x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2

X = 5 tilfredsstiller ikke ODZ. De sier at 5 er en fremmed rot.

Svar: - 2

Løsning:

2-veis:

| ∙ x (x - 5) ODZ: x ≠ 0, x ≠ 5

x (x - 3) + x - 5 = x + 5

x ² - 3 x + x - 5 - x - 5 \u003d 0

x ² - 3 x - 10 = 0

D \u003d 49\u003e 0, x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2

X = 5 tilfredsstiller ikke ODZ. 5 - fremmed rot.

Svar: - 2

La oss prøve å formulere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger på denne måten. Barna formulerer selv algoritmen.

Flytt alt til venstre.
Bring brøker til en fellesnevner.
Løs ligningen ved å bruke regelen: en brøk er null når telleren er null og nevneren ikke er null.
Ekskluder fra røttene de som snur nevneren til null (ved hjelp av ODZ eller ved å krysse av)
Skriv ned svaret.

En annen måte å løse.

Algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger:

1. Finn fellesnevneren for brøkene som inngår i ligningen;

2. Multipliser begge sider av ligningen med en fellesnevner; ikke glem å skrive odz

3. Løs den resulterende hele ligningen;

4. Eliminer fra røttene de som snur fellesnevneren til null (ved å bruke DPV eller ved å krysse av)

5. Skriv ned svaret.

Du kan også løse ligningen ved å bruke hovedegenskapen til proporsjonen, og husk å ekskludere fra røttene de som snur nevneren til null (ved å bruke ODZ eller hake)

8. Oppsummering av leksjonen.

Så i dag i leksjonen ble vi kjent med rasjonelle brøklikninger, lærte å løse disse ligningene på forskjellige måter. I neste leksjon, hjemme, vil du ha muligheten til å konsolidere den ervervede kunnskapen.

Hvilken metode for å løse rasjonelle brøklikninger er etter din mening enklere, mer tilgjengelig, mer rasjonell? Uansett metode for å løse rasjonelle brøklikninger, hva bør ikke glemmes? Hva er "sluen" med rasjonelle brøklikninger?

Takk alle sammen, leksjonen er over.