Løsning av enkle lineære ligninger. Mer komplekse eksempler på ligninger

En ligning er et matematisk uttrykk som er en ligning som inneholder en ukjent. Hvis likheten er sann for alle tillatte verdier av de ukjente som er inkludert i den, kalles det en identitet; for eksempel: en relasjon som (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) gjelder for alle verdier av x.

Hvis en ligning som involverer en ukjent x gjelder bare for visse verdier av x, og ikke for alle verdier av x, som for en identitet, kan det være nyttig å bestemme de verdiene av x som ligningen er gyldig. Slike verdier av x kalles røtter eller løsninger av ligningen. For eksempel er tallet 5 roten av ligningen 2x + 7= 17.

I grenen av matematikk som kalles likningsteori, er hovedfaget metodene for å løse likninger. PÅ skolekurs algebra-ligninger vies stor oppmerksomhet.

Historien om studiet av ligninger går mange århundrer tilbake. De mest kjente matematikerne som bidro til utviklingen av ligningsteorien var:

Arkimedes (cirka 287-212 f.Kr.) - antikkens gresk vitenskapsmann, matematiker og mekaniker. I studiet av ett problem, som reduserer til kubikkligning, fant Arkimedes ut rollen til karakteristikken, som senere ble kjent som diskriminanten.

François Viet levde på 1500-tallet. Han ga et stort bidrag til studiet ulike problemer matematikk. Spesielt introduserte han den bokstavelige notasjonen for koeffisientene til en ligning og etablerte en forbindelse mellom røttene til en kvadratisk ligning.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - matematiker, mekaniker, fysiker og astronom. Forfatteren av St. 800 artikler om matematisk analyse, differensiallikninger, geometri, tallteori, omtrentlige beregninger, himmelmekanikk, matematikk, optikk, ballistikk, skipsbygging, musikkteori osv. Han hadde en betydelig innvirkning på utviklingen av vitenskapen. Han avledet formler (Euler-formler) som uttrykker trigonometriske funksjoner variabel x gjennom en eksponentiell funksjon.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), fransk matematiker og mekaniker. Han eier fremragende forskning, blant dem forskning på algebra (den symmetriske funksjonen til røttene til en ligning, på differensialligninger (teorien om entallsløsninger, metoden for variasjon av konstanter).

J. Lagrange og A. Vandermonde - franske matematikere. I 1771 ble metoden for å løse ligningssystemer (substitusjonsmetoden) for første gang brukt.

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - tysk matematiker. Skrev en bok som skisserer teorien om sirkeldelingsligninger (dvs. ligninger xn - 1 = 0), som på mange måter var en prototype på Galois-teorien. Bortsett fra vanlige metoder løse disse ligningene, etablert en forbindelse mellom dem og konstruksjonen av vanlige polygoner. Han, for første gang etter de gamle greske forskerne, tok et betydelig skritt fremover i denne saken, nemlig: han fant alle de verdiene av n som vanlig n-gon kan bygges med kompass og linjal. Lært hvordan du legger til. Han konkluderte med at likningssystemer kan adderes, divideres og multipliseres seg imellom.

O. I. Somov - beriket ulike deler av matematikken med viktige og tallrike verk, blant dem teorien om visse algebraiske ligninger høyere grader.

Galois Evariste (1811-1832), fransk matematiker. Hans viktigste fortjeneste er formuleringen av et sett med ideer, som han kom til i forbindelse med fortsettelsen av forskningen på løsbarheten til algebraiske ligninger, startet av J. Lagrange, N. Abel og andre, skapte teorien om algebraiske ligninger for høyere grader med en ukjent.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - I hans arbeid er geometriske metoder assosiert med analytiske metoder teori om differensialligninger med partielle deriverte. Arbeidene hans hadde også en betydelig innvirkning på teorien om ikke-lineære differensialligninger.

P. Ruffini - italiensk matematiker. Han viet en rekke arbeider til beviset på uløseligheten til ligningen av 5. grad, bruker systematisk lukketheten til settet av substitusjoner.

Til tross for at forskere har studert ligninger i lang tid, vet ikke vitenskapen hvordan og når folk fikk behov for å bruke ligninger. Det er bare kjent at problemer som fører til løsningen av de enkleste ligningene har blitt løst av mennesker siden de ble mennesker. Ytterligere 3 - 4 tusen år f.Kr. e. egypterne og babylonerne visste hvordan de skulle løse ligninger. Regelen for å løse disse ligningene faller sammen med den moderne, men det er ikke kjent hvordan de kom til dette punktet.

PÅ Det gamle Egypt og Babylon ble den falske posisjonsmetoden brukt. En likning av første grad med en ukjent kan alltid reduseres til formen ax + b = c, der a, b, c er heltall. Etter reglene aritmetiske operasjonerøks \u003d c - b,

Hvis b > c, så er c b et negativt tall. Negative tall var ukjent for egypterne og mange andre senere folkeslag (på lik linje med positive tall de begynte å bli brukt i matematikk først på det syttende århundre). For å løse problemene som vi nå løser med ligninger av første grad, ble falsk posisjonsmetoden oppfunnet. I papyrusen til Ahmes løses 15 problemer med denne metoden. Egypterne hadde et spesielt tegn å betegne ukjent nummer, som inntil nylig ble lest "hvordan" og oversatt med ordet "heap" ("heap" eller "ukjent antall" enheter). Nå leser de litt mindre unøyaktig: «aha». Løsningsmetoden som brukes av Ahmes kalles metoden for én falsk posisjon. Ved hjelp av denne metoden løses likninger på formen ax = b. Denne metoden består i å dele hver side av ligningen med a. Den ble brukt av både egypterne og babylonerne. På forskjellige folkeslag metoden med to falske posisjoner ble brukt. Araberne mekaniserte denne metoden og fikk den formen den gikk over i lærebøkene til europeiske folk, inkludert Magnitskys aritmetikk. Magnitsky kaller metoden for å løse den "falske regelen" og skriver i den delen av boken hans som forklarer denne metoden:

Zelo bo utspekulert er denne delen, Som du kan sette alt med den. Ikke bare det som er i statsborgerskap, Men også de høyere vitenskapene i verdensrommet, Even er oppført i himmelens sfære, Som de kloke er det behov.

Innholdet i Magnitskys dikt kan oppsummeres som følger: denne delen av aritmetikken er veldig vanskelig. Med dens hjelp kan du beregne ikke bare hva som trengs i daglig praksis, men det løser også de "høyere" spørsmålene som møter de "kloke". Magnitsky bruker en «falsk regel» i den formen araberne har gitt den, og kaller den «regningen av to feil» eller «vektingsmetoden». Indiske matematikere ga ofte problemer på vers. Lotus utfordring:

Over den stille innsjøen, et halvt mål over vannet, var Lotus-farge synlig. Han vokste opp alene, og vinden i en bølge bøyde ham til siden, og ikke lenger

Blomster over vannet. Fant hans fiskerøye To mål fra der han vokste opp. Hvor mange innsjøer her er vannet dypt? Jeg vil stille deg et spørsmål.

Typer ligninger

Lineære ligninger

Lineære ligninger er ligninger av formen: ax + b = 0, hvor a og b er noen konstanter. Hvis a ikke er lik null, har ligningen en enkelt rot: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).

For eksempel: løs en lineær ligning: 4x + 12 = 0.

Løsning: T. til a \u003d 4, og b \u003d 12, deretter x \u003d - 12: 4; x = - 3.

Sjekk: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Siden k 0 = 0, så er -3 roten til den opprinnelige ligningen.

Svar. x = -3

Hvis a er null og b er null, er roten av ligningen ax + b = 0 et hvilket som helst tall.

For eksempel:

0 = 0. Siden 0 er 0, så er roten av ligningen 0x + 0 = 0 et hvilket som helst tall.

Hvis a er null og b ikke er null, har ligningen ax + b = 0 ingen røtter.

For eksempel:

0 \u003d 6. Siden 0 ikke er lik 6, har 0x - 6 \u003d 0 ingen røtter.

Systemer av lineære ligninger.

Et system med lineære ligninger er et system der alle ligninger er lineære.

Å løse et system betyr å finne alle dets løsninger.

Før du løser et system med lineære ligninger, kan du bestemme antall løsninger.

La ligningssystemet gis: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Hvis a1 delt på a2 ikke er lik b1 delt på b2, så har systemet én unik løsning.

Hvis a1 delt på a2 er lik b1 delt på b2, men lik c1 delt på c2, så har systemet ingen løsninger.

Hvis a1 delt på a2 er lik b1 delt på b2, og lik c1 delt på c2, så har systemet uendelig mange løsninger.

Et ligningssystem som har minst én løsning kalles konsistent.

Et felles system kalles bestemt hvis det har endelig antall løsninger, og ubestemt hvis settet av dets løsninger er uendelig.

Et system som ikke har en enkelt løsning kalles inkonsistent eller inkonsekvent.

Måter å løse lineære ligninger på

Det er flere måter å løse lineære ligninger på:

1) Valgmetode. Dette er mest enkleste måten. Det består i at de velger alle tillatte verdier ukjent ved oppregning.

For eksempel:

Løs ligningen.

La x = 1. Deretter

4 = 6. Siden 4 ikke er lik 6, så var vår antagelse om at x = 1 feil.

La x = 2.

6 = 6. Siden 6 er lik 6, så var vår antagelse om at x = 2 riktig.

Svar: x = 2.

2) Måte å forenkle

Denne metoden ligger i det faktum at alle medlemmer som inneholder det ukjente overføres til venstre side, og kjent til høyre med motsatt tegn, gi lignende, og del begge sider av ligningen med koeffisienten til det ukjente.

For eksempel:

Løs ligningen.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Svar. x = 5.

3) Grafisk måte.

Den består i at det bygges en graf over funksjoner gitt ligning. Fordi i den lineære ligningen y \u003d 0, vil grafen være parallell med y-aksen. Skjæringspunktet for grafen med x-aksen vil være løsningen på denne ligningen.

For eksempel:

Løs ligningen.

La y = 7. Da = y = 2x + 3.

La oss bygge en graf over funksjonene til begge ligningene:

Måter å løse systemer med lineære ligninger

I syvende klasse studeres tre måter å løse ligningssystemer på:

1) Substitusjonsmetode.

Denne metoden består i at i en av ligningene uttrykkes en ukjent i form av en annen. Det resulterende uttrykket erstattes med en annen ligning, som deretter blir til en ligning med en ukjent, så er den løst. Den resulterende verdien av denne ukjente erstattes med en hvilken som helst ligning i det opprinnelige systemet, og verdien av den andre ukjente blir funnet.

For eksempel.

Løs ligningssystemet.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Erstatt det resulterende uttrykket med en annen ligning:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Erstatt den resulterende verdien i ligningen 3x + y \u003d 4.

31 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Undersøkelse.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Svar: x = 1; y = 1.

2) Metode for tilsetning.

Denne metoden er at hvis dette systemet består av ligninger som, når de legges til ledd for ledd, danner en ligning med en ukjent, og ved å løse denne ligningen får vi verdien av en av de ukjente. Den resulterende verdien av denne ukjente erstattes med en hvilken som helst ligning i det opprinnelige systemet, og verdien av den andre ukjente blir funnet.

For eksempel:

Løs ligningssystemet.

/ 3y - 2x \u003d 5,

\5x - 3y \u003d 4.

La oss løse den resulterende ligningen.

3x = 9; : (3) x = 3.

La oss erstatte den oppnådde verdien i ligningen 3y - 2x = 5.

3y - 23 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Så x = 3; y = 3 2/3.

Undersøkelse.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Svar. x = 3; y = 3 2/3

3) Grafisk måte.

Denne metoden er basert på det faktum at grafer av ligninger er plottet i ett koordinatsystem. Hvis grafene til ligningen skjærer hverandre, er koordinatene til skjæringspunktet løsningen på dette systemet. Hvis grafene til en ligning er parallelle linjer, har det gitte systemet ingen løsninger. Hvis grafene til ligningene smelter sammen til én rett linje, så har systemet uendelig mange løsninger.

For eksempel.

Løs ligningssystemet.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Vi konstruerer grafer av funksjoner y \u003d 2x - 5 og y \u003d 3 - 6x på samme koordinatsystem.

Grafene til funksjonene y \u003d 2x - 5 og y \u003d 3 - 6x skjærer hverandre i punkt A (1; -3).

Derfor vil løsningen på dette ligningssystemet være x = 1 og y = -3.

Undersøkelse.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Svar. x = 1; y = -3.

Konklusjon

Basert på alt det ovennevnte kan vi konkludere med at ligninger er nødvendige i moderne verden ikke bare for å løse praktiske problemer, men også som et vitenskapelig verktøy. Derfor har så mange forskere studert dette problemet og fortsetter å studere.

Ligningen som representerer kvadratisk trinomium, blir ofte referert til som en andregradsligning. Fra et algebras synspunkt beskrives det med formelen a*x^2+b*x+c=0. I denne formelen er x den ukjente som skal finnes (den kalles den frie variabelen); a, b og c er numeriske koeffisienter. Når det gjelder komponentene i dette, er det en rekke begrensninger: for eksempel bør koeffisienten a ikke være lik 0.

Løse ligningen: begrepet diskriminanten

Verdien av den ukjente x, ved hvilken kvadratisk ligning blir til en ekte likhet, kalles roten til en slik ligning. For å løse en kvadratisk ligning, må du først finne verdien av en spesiell koeffisient - diskriminanten, som vil vise antall røtter til den vurderte likheten. Diskriminanten beregnes med formelen D=b^2-4ac. I dette tilfellet kan resultatet av beregningen være positivt, negativt eller lik null.

I dette tilfellet bør man huske på at konseptet krever at bare koeffisienten a er strengt forskjellig fra 0. Derfor kan koeffisienten b være lik 0, og selve ligningen i dette tilfellet er a * x ^ 2 + c \u003d 0. I en slik situasjon bør koeffisientverdien lik 0 brukes i formlene for å beregne diskriminanten og røttene. Så diskriminanten i dette tilfellet vil bli beregnet som D=-4ac.

Løsning av ligningen med en positiv diskriminant

Hvis diskriminanten til kvadratisk ligningen viste seg å være positiv, kan vi konkludere fra dette at denne likheten har to røtter. Disse røttene kan beregnes ved hjelp av følgende formel: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Altså, for å beregne verdien av røttene til den kvadratiske ligningen for positiv verdi diskriminant brukt kjente verdier koeffisienter tilgjengelig i. Takket være bruken av summen og forskjellen i formelen for å beregne røttene, vil resultatet av beregningene være to verdier som gjør den aktuelle likheten til den riktige.

Løsning av ligningen med null og negativ diskriminant

Hvis diskriminanten til den kvadratiske ligningen viste seg å være lik 0, kan vi konkludere med at nevnte ligning har én rot. Strengt tatt har ligningen i denne situasjonen fortsatt to røtter, men på grunn av nulldiskriminanten vil de være like med hverandre. I dette tilfellet x=-b/2a. Hvis verdien av diskriminanten viser seg å være negativ i løpet av beregninger, bør det konkluderes med at den betraktede kvadratiske ligningen ikke har noen røtter, det vil si slike verdier av x hvor den blir til en sann likhet.

Og så videre, det er logisk å bli kjent med ligninger av andre typer. Neste i rekken er lineære ligninger, hvis målbevisste studie begynner i algebratimer i klasse 7.

Det er klart at du først må forklare hva en lineær ligning er, gi en definisjon av en lineær ligning, dens koeffisienter, vise den generell form. Deretter kan du finne ut hvor mange løsninger en lineær ligning har avhengig av verdiene til koeffisientene, og hvordan røttene finnes. Dette vil tillate deg å gå videre til å løse eksempler, og derved konsolidere den studerte teorien. I denne artikkelen vil vi gjøre dette: vi vil dvele i detalj på alle teoretiske og praktiske punkter angående lineære ligninger og deres løsning.

La oss si med en gang at her vil vi bare vurdere lineære ligninger med en variabel, og i en egen artikkel vil vi studere prinsippene for å løse lineære ligninger i to variabler.

Sidenavigering.

Hva er en lineær ligning?

Definisjonen av en lineær ligning er gitt av formen til dens notasjon. Dessuten, i forskjellige lærebøker i matematikk og algebra, har formuleringene av definisjonene av lineære ligninger noen forskjeller som ikke påvirker essensen av problemet.

For eksempel, i en algebra lærebok for klasse 7 av Yu. N. Makarycheva og andre, er en lineær ligning definert som følger:

Definisjon.

Skriv ligning øks=b, hvor x er en variabel, a og b er noen tall, kalles lineær ligning med én variabel.

La oss gi eksempler på lineære ligninger som tilsvarer den stemte definisjonen. For eksempel er 5 x=10 en lineær ligning med én variabel x, her er koeffisienten a 5, og tallet b er 10. Et annet eksempel: −2,3 y=0 er også en lineær ligning, men med variabelen y , hvor a=−2,3 og b=0 . Og i de lineære ligningene er x=−2 og −x=3.33 a ikke eksplisitt til stede og er lik henholdsvis 1 og −1, mens i den første ligningen b=−2 og i den andre - b=3.33 .

Et år tidligere, i læreboken i matematikk av N. Ya. Vilenkin, ble lineære ligninger med en ukjent, i tillegg til ligninger av formen a x = b, også ansett som ligninger som kan reduseres til denne formen ved å overføre ledd fra en del av ligningen til en annen med motsatt fortegn, samt ved å redusere like ledd. I følge denne definisjonen vil ligninger av formen 5 x=2 x+6 osv. er også lineære.

På sin side er følgende definisjon gitt i algebra-læreboken for 7 klasser av A. G. Mordkovich:

Definisjon.

Lineær ligning med én variabel x er en likning av formen a x+b=0 , der a og b er noen tall, kalt koeffisientene til den lineære likningen.

For eksempel er lineære ligninger av denne typen 2 x−12=0, her er koeffisienten a lik 2, og b er lik −12, og 0,2 y+4,6=0 med koeffisientene a=0,2 og b =4,6. Men samtidig er det eksempler på lineære ligninger som har formen ikke a x+b=0 , men a x=b , for eksempel 3 x=12 .

La oss, slik at vi ikke har noen avvik i fremtiden, under en lineær ligning med én variabel x og koeffisientene a og b vil vi forstå en ligning av formen a x+b=0 . Denne typen lineære ligninger ser ut til å være den mest berettigede, siden lineære ligninger er det algebraiske ligninger første grad. Og alle de andre ligningene ovenfor, samt ligninger som ved hjelp av tilsvarende transformasjoner reduseres til formen a x+b=0 , vil vi kalle ligninger som reduseres til lineære ligninger. Med denne tilnærmingen er ligningen 2 x+6=0 en lineær ligning, og 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, osv. er lineære ligninger.

Hvordan løse lineære ligninger?

Nå er det på tide å finne ut hvordan de lineære ligningene a x+b=0 løses. Med andre ord er det på tide å finne ut om den lineære ligningen har røtter, og i så fall hvor mange og hvordan du finner dem.

Tilstedeværelsen av røttene til en lineær ligning avhenger av verdiene til koeffisientene a og b. I dette tilfellet har den lineære ligningen a x+b=0

• den eneste roten ved a≠0 ,
• har ingen røtter for a=0 og b≠0 ,
• har uendelig mange røtter for a=0 og b=0 , i så fall er et hvilket som helst tall en rot av en lineær ligning.

La oss forklare hvordan disse resultatene ble oppnådd.

Vi vet at for å løse likninger er det mulig å gå fra den opprinnelige likningen til ekvivalente likninger, det vil si til likninger med samme røtter eller, som den opprinnelige, uten røtter. For å gjøre dette kan du bruke følgende ekvivalente transformasjoner:

• overføring av et ledd fra en del av ligningen til en annen med motsatt fortegn,
• og også multiplisere eller dividere begge sider av ligningen med samme tall som ikke er null.

Så, i en lineær ligning med en type variabel a x+b=0 kan vi flytte leddet b fra venstre side til høyre side med motsatt fortegn. I dette tilfellet vil ligningen ha formen a x=−b.

Og så foreslår delingen av begge deler av ligningen med tallet a seg selv. Men det er én ting: tallet a kan være lik null, i så fall er en slik deling umulig. For å håndtere dette problemet, vil vi først anta at tallet a er forskjellig fra null, og vurdere tilfellet med null a separat litt senere.

Så når a ikke er lik null, kan vi dele begge delene av ligningen a x=−b med a , etter det konverteres den til formen x=(−b):a , dette resultatet kan skrives ved å bruke en heltrukket linje som .

For a≠0 er altså den lineære ligningen a·x+b=0 ekvivalent med ligningen , hvorfra roten er synlig.

Det er lett å vise at denne roten er unik, det vil si at den lineære ligningen ikke har andre røtter. Dette lar deg gjøre den motsatte metoden.

La oss betegne roten som x 1 . Anta at det er en annen rot av den lineære ligningen, som vi betegner x 2, og x 2 ≠ x 1, som pga. definisjoner like tall gjennom forskjellen er ekvivalent med betingelsen x 1 − x 2 ≠0. Siden x 1 og x 2 er røttene til den lineære ligningen a x+b=0, så finner de numeriske likhetene a x 1 +b=0 og a x 2 +b=0 sted. Vi kan trekke fra de tilsvarende delene av disse likhetene, som egenskapene til numeriske likheter tillater oss å gjøre, vi har a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , derav a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 og deretter a (x 1 − x 2)=0 . Og denne likheten er umulig, siden både a≠0 og x 1 − x 2 ≠0. Så vi har kommet til en selvmotsigelse, som beviser det unike ved roten til den lineære ligningen a·x+b=0 for a≠0 .

Så vi har løst den lineære ligningen a x+b=0 med a≠0 . Det første resultatet gitt i begynnelsen av dette underavsnittet er begrunnet. Det er to til som oppfyller betingelsen a=0 .

For a=0 blir den lineære ligningen a·x+b=0 0·x+b=0 . Fra denne ligningen og egenskapen til å multiplisere tall med null, følger det at uansett hvilket tall vi tar som x, når vi erstatter det i ligningen 0 x+b=0, får vi den numeriske likheten b=0. Denne likheten er sann når b=0, og i andre tilfeller når b≠0 er denne likheten usann.

Derfor, for a=0 og b=0, er et hvilket som helst tall roten til den lineære ligningen a x+b=0, siden under disse forholdene, å erstatte et hvilket som helst tall i stedet for x gir den korrekte numeriske likheten 0=0. Og for a=0 og b≠0, har den lineære ligningen a x+b=0 ingen røtter, siden under disse forholdene vil substituering av et hvilket som helst tall i stedet for x føre til en feil numerisk likhet b=0.

Begrunnelsen ovenfor gjør det mulig å danne en sekvens av handlinger som gjør det mulig å løse enhver lineær ligning. Så, algoritme for å løse en lineær ligning er:

• Først, ved å skrive en lineær ligning, finner vi verdiene til koeffisientene a og b.
• Hvis a=0 og b=0, så har denne ligningen uendelig mange røtter, nemlig et hvilket som helst tall er en rot av denne lineære ligningen.
• Hvis a er forskjellig fra null, da
• koeffisienten b overføres til høyre side med motsatt fortegn, mens den lineære ligningen transformeres til formen a x=−b ,
• hvoretter begge deler av den resulterende ligningen blir delt med et tall som ikke er null, a, som gir den ønskede roten av den opprinnelige lineære ligningen.

Den skriftlige algoritmen er et uttømmende svar på spørsmålet om hvordan man løser lineære ligninger.

Avslutningsvis av dette avsnittet er det verdt å si at en lignende algoritme brukes til å løse likninger av formen a x=b. Forskjellen ligger i det faktum at når a≠0, blir begge deler av ligningen umiddelbart delt på dette tallet, her er b allerede i den ønskede delen av ligningen og den trenger ikke å overføres.

For å løse likninger av formen a x=b, brukes følgende algoritme:

• Hvis a=0 og b=0, så har ligningen uendelig mange røtter, som er alle tall.
• Hvis a=0 og b≠0, har den opprinnelige ligningen ingen røtter.
• Hvis a ikke er null, blir begge sider av ligningen delt med et tall a som ikke er null, hvorfra den eneste roten av ligningen lik b / a er funnet.

Eksempler på løsning av lineære ligninger

La oss gå videre til praksis. La oss analysere hvordan algoritmen for å løse lineære ligninger brukes. La oss presentere løsninger av typiske eksempler tilsvarende forskjellige betydninger koeffisienter til lineære ligninger.

Eksempel.

Løs den lineære ligningen 0 x−0=0 .

Beslutning.

I denne lineære ligningen er a=0 og b=−0 , som er det samme som b=0 . Derfor har denne ligningen uendelig mange røtter, et hvilket som helst tall er roten til denne ligningen.

Svar:

x er et hvilket som helst tall.

Eksempel.

Har den lineære ligningen 0 x+2,7=0 løsninger?

Beslutning.

PÅ denne saken koeffisienten a er lik null, og koeffisienten b til denne lineære ligningen er lik 2,7, det vil si at den er forskjellig fra null. Derfor har den lineære ligningen ingen røtter.

Lineære ligninger. Løsning, eksempler.

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Lineære ligninger.

Lineære ligninger er ikke de beste vanskelig tema skolens matematikk. Men det er noen triks der som kan pusle selv en utdannet student. Skal vi finne ut av det?)

En lineær ligning er vanligvis definert som en ligning av formen:

øks + b = 0 hvor a og b- alle tall.

2x + 7 = 0. Her a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Her a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Her a=12, b=1/2

Ikke noe komplisert, ikke sant? Spesielt hvis du ikke legger merke til ordene: "der a og b er alle tall"... Og hvis du legger merke til, men uforsiktig tenker på det?) Tross alt, hvis a=0, b=0(noen tall er mulig?), så får vi et morsomt uttrykk:

Men det er ikke alt! Hvis, si, a=0, en b=5, det viser seg noe ganske absurd:

Det som belaster og undergraver selvtilliten til matematikk, ja ...) Spesielt på eksamen. Men av disse merkelige uttrykkene må du også finne X! Som ikke eksisterer i det hele tatt. Og overraskende nok er denne X veldig lett å finne. Vi vil lære hvordan du gjør det. I denne leksjonen.

Hvordan gjenkjenne en lineær ligning i utseende? Det kommer an på hva utseende.) Trikset er at lineære ligninger kalles ikke bare formlikninger øks + b = 0 , men også eventuelle ligninger som er redusert til denne formen ved transformasjoner og forenklinger. Og hvem vet om det er redusert eller ikke?)

En lineær ligning kan tydelig gjenkjennes i noen tilfeller. Si, hvis vi har en ligning der det bare er ukjente i første grad, ja tall. Og det gjør ikke ligningen brøker delt på ukjent , det er viktig! Og divisjon etter Antall, eller en numerisk brøk - det er det! For eksempel:

Dette er en lineær ligning. Det er brøker her, men det er ingen x-er i kvadratet, i kuben osv., og det er ingen x-er i nevnerne, dvs. Nei divisjon på x. Og her er ligningen

kan ikke kalles lineær. Her er x-er alle i første grad, men det er det divisjon etter uttrykk med x. Etter forenklinger og transformasjoner kan du få en lineær ligning, og en kvadratisk ligning, og alt du liker.

Det viser seg at det er umulig å finne ut en lineær ligning i et eller annet intrikat eksempel før du nesten løser det. Det er opprørende. Men i oppgaver spør de som regel ikke om formen på ligningen, ikke sant? I oppgaver er likninger ordnet løse. Dette gjør meg glad.)

Løsning av lineære ligninger. Eksempler.

Hele løsningen av lineære ligninger består av identiske transformasjoner av ligninger. Disse transformasjonene (så mange som to!) ligger forresten til grunn for løsningene alle matematikkens ligninger. Med andre ord vedtaket noen Ligningen begynner med de samme transformasjonene. Når det gjelder lineære ligninger, ender det (løsningen) på disse transformasjonene med et fullverdig svar. Det er fornuftig å følge lenken, ikke sant?) Dessuten finnes det også eksempler på løsning av lineære ligninger.

La oss starte med det enkleste eksempelet. Uten noen fallgruver. La oss si at vi må løse følgende ligning.

x - 3 = 2 - 4x

Dette er en lineær ligning. X-er er alle i første potens, det er ingen divisjon med X. Men faktisk bryr vi oss ikke om hva ligningen er. Vi må løse det. Opplegget her er enkelt. Samle alt med x-er på venstre side av ligningen, alt uten x-er (tall) til høyre.

For å gjøre dette, må du overføre - 4x til venstre side, med skiltskifte, selvfølgelig, men - 3 - til høyre. Dette er forresten første identiske transformasjon av ligninger. Overrasket? Så de fulgte ikke linken, men forgjeves ...) Vi får:

x + 4x = 2 + 3

Vi gir lignende, vi vurderer:

Hva mangler vi fullstendig lykke? Ja, slik at det er en ren X til venstre! Fem kommer i veien. Bli kvitt de fem med andre identiske transformasjon av ligninger. Vi deler nemlig begge deler av ligningen på 5. Vi får et ferdig svar:

Et elementært eksempel, selvfølgelig. Dette er for en oppvarming.) Det er ikke veldig klart hvorfor jeg husket identiske transformasjoner her? OK. Vi tar oksen ved hornene.) La oss bestemme noe mer imponerende.

For eksempel, her er denne ligningen:

Hvor skal vi begynne? Med X - til venstre, uten X - til høyre? Kan være slik. I små skritt lang vei. Og du kan umiddelbart, på en universell og kraftig måte. Med mindre, selvfølgelig, i ditt arsenal er det identiske transformasjoner av ligninger.

jeg spør deg nøkkelspørsmål: Hva misliker du mest med denne ligningen?

95 personer av 100 vil svare: brøker ! Svaret er riktig. Så la oss bli kvitt dem. Så vi starter med en gang andre identiske transformasjon. Hva trenger du for å gange brøken til venstre med slik at nevneren blir fullstendig redusert? Det stemmer, 3. Og til høyre? Med 4. Men matematikk lar oss multiplisere begge sider med samme nummer. Hvordan kommer vi oss ut? La oss multiplisere begge sider med 12! De. på fellesnevner. Da blir de tre redusert, og de fire. Ikke glem at du må multiplisere hver del fullstendig. Slik ser det første trinnet ut:

Utvide parentesene:

Merk! Teller (x+2) Jeg tok i parentes! Dette er fordi når du multipliserer brøker, multipliseres telleren med hele, helt! Og nå kan du redusere brøker og redusere:

Åpne de resterende parentesene:

Ikke et eksempel, men ren nytelse!) Nå husker vi trolldommen fra lavere karakterer: med x - til venstre, uten x - til høyre! Og bruk denne transformasjonen:

Her er noen som:

Og vi deler begge deler med 25, dvs. bruk den andre transformasjonen igjen:

Det er alt. Svar: X=0,16

Legg merke til: for å bringe den originale forvirrende ligningen til en hyggelig form, brukte vi to (bare to!) identiske transformasjoner- oversettelse venstre-høyre med endring av fortegn og multiplikasjon-divisjon av ligningen med samme tall. den universell måte! Vi vil jobbe på denne måten noen ligninger! Absolutt hvilken som helst. Det er derfor jeg fortsetter å gjenta disse identiske transformasjonene hele tiden.)

Som du kan se, er prinsippet for å løse lineære ligninger enkelt. Vi tar ligningen og forenkler den med identiske transformasjoner før du mottar svar. Hovedproblemene her ligger i beregningene, og ikke i løsningsprinsippet.

Men ... Det er slike overraskelser i prosessen med å løse de mest elementære lineære ligningene at de kan drive inn i en sterk stupor ...) Heldigvis kan det bare være to slike overraskelser. La oss kalle dem spesielle tilfeller.

Spesielle tilfeller ved løsning av lineære ligninger.

Overrask først.

Anta at du har elementær ligning, noe som:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Litt lei, overfører vi med X til venstre, uten X - til høyre ... Med et tegnskifte er alt hake-kinar ... Vi får:

2x-5x+3x=5-2-3

Vi tror, ​​og ... herregud! Vi får:

I seg selv er ikke denne likestillingen kritikkverdig. Null er virkelig null. Men X er borte! Og vi må skrive i svaret, hva x er lik. Ellers teller ikke løsningen, ja...) En blindvei?

Rolig! I slike tvilsomme tilfeller sparer de mest generelle reglene. Hvordan løse likninger? Hva vil det si å løse en ligning? Det betyr, finn alle verdiene av x som, når de erstattes i den opprinnelige ligningen, vil gi oss den riktige likheten.

Men vi har riktig likestilling allerede skjedde! 0=0, hvor egentlig?! Det gjenstår å finne ut ved hvilke x-er dette oppnås. Hvilke verdier av x kan erstattes med opprinnelig ligning hvis disse x-ene fortsatt krympe til null? Kom igjen?)

Ja!!! X-er kan erstattes noen! Hva vil du. Minst 5, minst 0,05, minst -220. De vil fortsatt krympe. Hvis du ikke tror meg, kan du sjekke det.) Bytt inn x-verdier opprinnelig ligning og beregne. Hele tiden vil den rene sannheten bli oppnådd: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 og så videre.

Her er svaret ditt: x er et hvilket som helst tall.

Svaret kan skrives i forskjellige matematiske symboler, essensen endres ikke. Dette er et helt riktig og fullstendig svar.

Overraskelse nummer to.

La oss ta den samme elementære lineære ligningen og endre bare ett tall i den. Dette er hva vi skal bestemme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Etter de samme identiske transformasjonene får vi noe spennende:

Som dette. Løste en lineær ligning, fikk en merkelig likhet. snakker matematisk språk, vi fikk feil likestilling. Og snakker enkelt språk, dette er ikke sant. Rave. Men ikke desto mindre er dette tullet en god grunn til riktig avgjørelse ligninger.)

Igjen tenker vi fra generelle regler. Hva x, når den erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi oss riktig likestilling? Ja, ingen! Det finnes ingen slike xes. Uansett hva du erstatter, vil alt bli redusert, tull vil forbli.)

Her er svaret ditt: det finnes ingen løsninger.

Dette er også et helt gyldig svar. I matematikk forekommer slike svar ofte.

Som dette. Nå håper jeg at tapet av X-er i prosessen med å løse en hvilken som helst (ikke bare lineær) ligning ikke vil plage deg i det hele tatt. Saken er kjent.)

Nå som vi har behandlet alle fallgruvene i lineære ligninger, er det fornuftig å løse dem.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

I denne videoen skal vi analysere et helt sett med lineære ligninger som er løst ved hjelp av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Til å begynne med, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken av dem skal kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til de enkleste ved hjelp av algoritmen:

1. Åpne parentes, hvis noen;
2. Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
3. Lede som vilkår til venstre og høyre for likhetstegnet;
4. Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$ .

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger, etter alle disse manipulasjonene, viser seg at koeffisienten til variabelen $x$ er lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

1. Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når du får noe som $0\cdot x=8$, dvs. til venstre er null, og til høyre er et tall som ikke er null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
2. Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

Og la oss nå se hvordan det hele fungerer på eksemplet med virkelige problemer.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag tar vi for oss lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

1. Først av alt må du åpne brakettene, hvis noen (som i vår siste eksempel);
2. Ta så med lignende
3. Til slutt isolerer du variabelen, dvs. alt som er forbundet med variabelen - begrepene den er inneholdt i - overføres til den ene siden, og alt som forblir uten den overføres til den andre siden.

Deretter må du som regel bringe lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten ved "x", og vi vil få det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når man åpner parenteser, eller når man teller "pluss" og "minus".

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller slik at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi vil analysere disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med det meste enkle oppgaver.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Til å begynne med, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

1. Utvid eventuelt parentesene.
2. Utelukke variabler, dvs. alt som inneholder "x" overføres til den ene siden, og uten "x" - til den andre.
3. Vi presenterer lignende termer.
4. Vi deler alt med koeffisienten ved "x".

Selvfølgelig fungerer ikke denne ordningen alltid, den har visse finesser og triks, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave 1

I det første trinnet er vi pålagt å åpne brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dette stadiet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Merk: vi snakker kun om enkeltkomponenter. La oss skrive:

Vi gir lignende vilkår til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med en faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Her fikk vi svaret.

Oppgave #2

I denne oppgaven kan vi observere parentesene, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme konstruksjon, men la oss handle etter algoritmen, dvs. sequester variabler:

Her er noen som:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave #3

Den tredje lineære ligningen er allerede mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er noen få parenteser her, men de multipliseres ikke med noe, de står bare foran dem ulike tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne ut:

Vi utfører det siste trinnet - vi deler alt med koeffisienten ved "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

• Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
• Selv om det er røtter, kan null komme inn blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som resten, du bør ikke på en eller annen måte diskriminere det eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er knyttet til utvidelse av parenteser. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi skiltene til motsatte. Og så kan vi åpne den i henhold til standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Forstår dette enkelt faktum vil holde deg fra å gjøre dumme og sårende feil på videregående når det blir tatt for gitt å gjøre slike ting.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer kompliserte og en kvadratisk funksjon vil dukke opp når man utfører ulike transformasjoner. Du bør imidlertid ikke være redd for dette, for hvis vi, i henhold til forfatterens intensjon, løser en lineær ligning, vil nødvendigvis alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon reduseres i prosessen med transformasjon.

Eksempel #1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta personvernet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen som:

Denne ligningen har åpenbart ingen løsninger, så i svaret skriver vi som følger:

\[\variasjon \]

eller ingen røtter.

Eksempel #2

Vi utfører de samme trinnene. Første skritt:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen som:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver det slik:

\[\varnothing\],

eller ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. På eksemplet med disse to uttrykkene sørget vi nok en gang for at selv i de enkleste lineære ligningene, kan alt ikke være så enkelt: det kan være enten en, eller ingen, eller uendelig mange. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, i begge er det rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du utvider dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "x". Vennligst merk: multiplisere hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multipliseres.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men svært viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan braketten åpnes fra det synspunkt at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er gjort, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under bare skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ingen tilfeldighet at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens elementære transformasjoner hvor manglende evne til å klart og kompetent utføre enkle trinn fører til at elever på videregående kommer til meg og lærer å løse slike enkle ligninger igjen.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til automatisme. Du trenger ikke lenger utføre så mange transformasjoner hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss ta en retrett:

Her er noen som:

La oss gjøre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, ble de gjensidig utlignet, noe som gjør ligningen nøyaktig lineær, ikke kvadratisk.

Oppgave #2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss gjøre det første trinnet nøye: multipliser hvert element i den første parentesen med hvert element i den andre. Totalt bør fire nye termer oppnås etter transformasjoner:

Og utfør nå multiplikasjonen nøye i hvert ledd:

La oss flytte begrepene med "x" til venstre, og uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Vi har fått et definitivt svar.

Nyanser av løsningen

Den viktigste bemerkningen om disse to ligningene er denne: så snart vi begynner å multiplisere parenteser der det er mer enn et ledd, så gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat får vi fire terminer.

På den algebraiske summen

I det siste eksemplet vil jeg minne elevene på hva som er algebraisk sum. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: vi trekker sju fra én. I algebra mener vi med dette følgende: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv." Denne algebraiske summen skiller seg fra den vanlige aritmetiske summen.

Så snart når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner du å se konstruksjoner som ligner på de som er beskrevet ovenfor, du vil rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Avslutningsvis, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med en brøk

For å løse slike oppgaver, må ett trinn til legges til algoritmen vår. Men først vil jeg minne om algoritmen vår:

1. Åpne parenteser.
2. Separate variabler.
3. Ta med lignende.
4. Del med en faktor.

Akk, denne fantastiske algoritmen, på tross av all dens effektivitet, er ikke helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan utføres både før den første handlingen og etter den, nemlig å bli kvitt brøker. Algoritmen vil derfor være som følger:

1. Bli kvitt brøker.
2. Åpne parenteser.
3. Separate variabler.
4. Ta med lignende.
5. Del med en faktor.

Hva vil det si å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor er det mulig å gjøre dette både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske når det gjelder nevneren, dvs. overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge deler av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot fire\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr det ikke at du må gange hver av dem med "fire". La oss skrive:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå åpne den:

Vi utfører isolering av en variabel:

Vi gjennomfører reduksjonen av lignende vilkår:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi fikk siste avgjørelse, går vi over til den andre ligningen.

Eksempel #2

\[\frac(\venstre(1-x \høyre)\venstre(1+5x \høyre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem løst.

Det er faktisk alt jeg ønsket å fortelle i dag.

Viktige punkter

De viktigste funnene er som følger:

• Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
• Evne til å åpne parentes.
• Ikke bekymre deg hvis du har et sted kvadratiske funksjoner, mest sannsynlig, i ferd med ytterligere transformasjoner, vil de bli redusert.
• Røttene i lineære ligninger, selv de enkleste, er av tre typer: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, det er ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet, løs eksemplene som presenteres der. Følg med, det er mange flere interessante ting som venter på deg!