Dermed beregnes lengden på vektoren som kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater
. Lengden til en n-dimensjonal vektor beregnes på samme måte
. Hvis vi husker at hver koordinat til en vektor er forskjellen mellom koordinatene til slutten og begynnelsen, får vi formelen for lengden på segmentet, dvs. Euklidisk avstand mellom punktene.

Skalært produkt to vektorer på et plan er produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:
. Det kan bevises at skalarproduktet av to vektorer = (x 1, x 2) og = (y 1 , y 2) er lik summen av produktene til de tilsvarende koordinatene til disse vektorene:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

I n-dimensjonalt rom er skalarproduktet av vektorene X= (x 1, x 2,...,x n) og Y= (y 1, y 2,...,y n) definert som summen av produktene av deres korresponderende koordinater: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Operasjonen med å multiplisere vektorer med hverandre ligner på å multiplisere en radmatrise med en kolonnematrise. Vi legger vekt på at resultatet blir et tall, ikke en vektor.

Det skalare produktet av vektorer har følgende egenskaper (aksiomer):

1) Kommutativ egenskap: X*Y=Y*X.

2) Fordelingsegenskap med hensyn til addisjon: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) For et hvilket som helst reelt tall 
.

4)
, hvis X ikke er en nullvektor;
ifX er en nullvektor.

Et lineært vektorrom der et skalært produkt av vektorer er gitt som tilfredsstiller de fire korresponderende aksiomene kalles Euklidisk lineær vektorrom.

Det er lett å se at når vi multipliserer en vektor med seg selv, får vi kvadratet av lengden. Så det er annerledes lengde en vektor kan defineres som kvadratroten av dens skalarkvadrat:.

Vektorlengden har følgende egenskaper:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, hvor er et reelt tall;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky ulikhet);

4) |X+Y||X|+|Y| ( trekantulikhet).

Vinkelen  mellom vektorer i n-dimensjonalt rom bestemmes basert på konseptet om et skalarprodukt. Faktisk, hvis
, Det
. Denne brøkdelen er ikke større enn én (ifølge Cauchy-Bunyakovsky-ulikheten), så herfra kan vi finne .

De to vektorene kalles ortogonal eller vinkelrett, hvis deres skalarprodukt er lik null. Fra definisjonen av skalarproduktet følger det at nullvektoren er ortogonal til enhver vektor. Hvis begge ortogonale vektorer er ikke-null, så er cos= 0, dvs.=/2 = 90 o.

La oss se igjen på figur 7.4. Det kan sees fra figuren at cosinus til vinkelen av helningen til vektoren til den horisontale aksen kan beregnes som
, og cosinus til vinkelenhellingen til vektoren til den vertikale aksen er som
. Disse tallene kalles vanligvis retning cosinus. Det er lett å verifisere at summen av kvadratene til retningscosinusene alltid er lik én: cos 2 +cos 2 = 1. På samme måte kan begrepene retningscosinus introduseres for rom med høyere dimensjoner.

Vektor plass basis

For vektorer kan vi definere begrepene lineær kombinasjon,lineær avhengighet Og selvstendighet ligner på hvordan disse konseptene ble introdusert for matriserader. Det er også sant at hvis vektorene er lineært avhengige, så kan minst én av dem uttrykkes lineært i form av de andre (dvs. det er en lineær kombinasjon av dem). Det motsatte er også sant: hvis en av vektorene er en lineær kombinasjon av de andre, så er alle disse vektorene sammen lineært avhengige.

Merk at hvis det blant vektorene a l , a 2 ,...a m er en nullvektor, så er dette settet med vektorer nødvendigvis lineært avhengig. Faktisk får vi l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 hvis vi for eksempel likestiller koeffisienten j ved nullvektoren til én, og alle andre koeffisienter til null. I dette tilfellet vil ikke alle koeffisientene være lik null ( j ≠ 0).

I tillegg, hvis en del av vektorene fra et sett med vektorer er lineært avhengige, så er alle disse vektorene lineært avhengige. Faktisk, hvis noen vektorer gir en nullvektor i sin lineære kombinasjon med koeffisienter som ikke begge er null, så kan de gjenværende vektorene multiplisert med nullkoeffisientene legges til denne summen av produkter, og det vil fortsatt være en nullvektor.

Hvordan bestemme om vektorer er lineært avhengige?

La oss for eksempel ta tre vektorer: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) og a 3 = (3, 1, 4, 3). La oss lage en matrise fra dem, der de vil være kolonner:

Da vil spørsmålet om lineær avhengighet reduseres til å bestemme rangeringen av denne matrisen. Hvis det viser seg å være lik tre, er alle tre kolonnene lineært uavhengige, og hvis det viser seg å være mindre, vil dette indikere en lineær avhengighet av vektorene.

Siden rangeringen er 2, er vektorene lineært avhengige.

Merk at løsningen på problemet også kan begynne med resonnement som er basert på definisjonen av lineær uavhengighet. Lag nemlig en vektorligning  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, som vil ha formen l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Da får vi et ligningssystem:

Å løse dette systemet ved hjelp av Gauss-metoden vil bli redusert til å oppnå samme trinnmatrise, bare det vil ha en kolonne til - frie termer. De vil alle være null, siden lineære transformasjoner av nuller ikke kan føre til et annet resultat. Det transformerte ligningssystemet vil ha formen:

Løsningen på dette systemet vil være (-с;-с; с), hvor с er et vilkårlig tall; for eksempel (-1;-1;1). Dette betyr at hvis vi tar  l = -1; 2 =-1 og 3 = 1, så l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, dvs. vektorene er faktisk lineært avhengige.

Fra det løste eksemplet blir det klart at hvis vi tar antall vektorer større enn dimensjonen til rommet, så vil de nødvendigvis være lineært avhengige. Faktisk, hvis vi tok fem vektorer i dette eksemplet, ville vi få en 4 x 5 matrise, hvis rangering ikke kunne være større enn fire. De. det maksimale antallet lineært uavhengige kolonner vil fortsatt ikke være mer enn fire. To, tre eller fire firdimensjonale vektorer kan være lineært uavhengige, men fem eller flere kan ikke. Følgelig kan ikke mer enn to vektorer være lineært uavhengige av planet. Alle tre vektorer i todimensjonalt rom er lineært avhengige. I tredimensjonalt rom er alle fire (eller flere) vektorer alltid lineært avhengige. Og så videre.

Derfor dimensjon plass kan defineres som det maksimale antallet lineært uavhengige vektorer som kan være i det.

Et sett med n lineært uavhengige vektorer av et n-dimensjonalt rom R kalles basis denne plassen.

Teorem. Hver vektor av lineært rom kan representeres som en lineær kombinasjon av basisvektorer, og på en unik måte.

Bevis. La vektorene e l , e 2 ,...e n danne et basisdimensjonalt rom R. La oss bevise at enhver vektor X er en lineær kombinasjon av disse vektorene. Siden, sammen med vektor X, vil antallet vektorer bli (n +1), vil disse (n +1) vektorene være lineært avhengige, dvs. det er tall l , 2 ,..., n ,, ikke samtidig lik null, slik at

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

I dette tilfellet 0, fordi ellers ville vi fått l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, der ikke alle koeffisientene l , 2 ,..., n er lik null. Dette betyr at basisvektorene vil være lineært avhengige. Derfor kan vi dele begge sider av den første ligningen med:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

hvor x j = -( j /),
.

Nå beviser vi at en slik representasjon i form av en lineær kombinasjon er unik. La oss anta det motsatte, dvs. at det er en annen representasjon:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

La oss trekke fra det begrep for begrep det tidligere oppnådde uttrykket:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Siden basisvektorene er lineært uavhengige, får vi at (y j - x j) = 0,
, dvs. y j ​​= x j . Så uttrykket viste seg å være det samme. Teoremet er bevist.

Uttrykket X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n kalles nedbrytning vektor X basert på e l, e 2,...e n, og tall x l, x 2,...x n - koordinater vektor x i forhold til dette grunnlaget, eller i dette grunnlaget.

Det kan bevises at hvis ikke-nullvektorer av et n-dimensjonalt euklidisk rom er parvis ortogonale, danner de en basis. Faktisk, la oss multiplisere begge sider av likheten l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 med en hvilken som helst vektor e i. Vi får  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 for  i.

Vektorer e l , e 2 ,...e n av n-dimensjonal euklidisk romform ortonormalt grunnlag, hvis disse vektorene er parvis ortogonale og normen for hver av dem er lik én, dvs. hvis e i *e j = 0 for i≠j и |е i | = 1 fori.

Teorem (ingen bevis). I hvert n-dimensjonale euklidiske rom er det en ortonormal basis.

Et eksempel på en ortonormal basis er et system med n enhetsvektorer e i, hvor den i-te komponenten er lik én og de resterende komponentene er lik null. Hver slik vektor kalles ort. For eksempel danner vektorvektorene (1, 0, 0), (0, 1, 0) og (0, 0, 1) grunnlaget for tredimensjonalt rom.

Foredrag: Vektorkoordinater; skalært produkt av vektorer; vinkel mellom vektorer

Vektorkoordinater

Så, som nevnt tidligere, er en vektor et rettet segment som har sin egen begynnelse og slutt. Hvis begynnelsen og slutten er representert av visse punkter, så har de sine egne koordinater på planet eller i rommet.

Hvis hvert punkt har sine egne koordinater, kan vi få koordinatene til hele vektoren.

La oss si at vi har en vektor hvis begynnelse og slutt har følgende betegnelser og koordinater: A(A x ; Ay) og B(B x ; By)

For å få koordinatene til en gitt vektor, er det nødvendig å trekke de tilsvarende koordinatene til begynnelsen fra koordinatene til slutten av vektoren:

For å bestemme koordinatene til en vektor i rommet, bruk følgende formel:

Punktprodukt av vektorer

Det er to måter å definere konseptet med et skalært produkt på:

• Geometrisk metode. I følge den er skalarproduktet lik produktet av verdiene til disse modulene og cosinus til vinkelen mellom dem.

• Algebraisk betydning. Fra et algebras synspunkt er skalarproduktet av to vektorer en viss mengde som oppnås som et resultat av summen av produktene til de tilsvarende vektorene.

Hvis vektorene er gitt i rommet, bør du bruke en lignende formel:

Egenskaper:

• Hvis du multipliserer to identiske vektorer skalært, vil ikke deres skalarprodukt være negativt:

• Hvis skalarproduktet av to identiske vektorer viser seg å være lik null, regnes disse vektorene som null:

• Hvis en viss vektor multipliseres med seg selv, vil skalarproduktet være lik kvadratet av sin modul:

• Skalarproduktet har en kommunikativ egenskap, det vil si at skalarproduktet ikke endres hvis vektorene omorganiseres:

• Skalarproduktet av vektorer som ikke er null kan bare være lik null hvis vektorene er vinkelrett på hverandre:

• For et skalarprodukt av vektorer, er den kommutative loven gyldig i tilfelle av å multiplisere en av vektorene med et tall:

• Med et skalarprodukt kan du også bruke fordelingsegenskapen til multiplikasjon:

Vinkel mellom vektorer

I tilfelle av et planproblem, kan skalarproduktet av vektorene a = (a x; a y) og b = (b x; b y) finnes ved å bruke følgende formel:

a b = a x b x + a y b y

Formel for skalarproduktet av vektorer for romlige problemer

Når det gjelder et romlig problem, kan skalarproduktet av vektorene a = (a x; a y; a z) og b = (b x; b y; b z) finnes ved å bruke følgende formel:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formel for skalarproduktet av n-dimensjonale vektorer

Når det gjelder et n-dimensjonalt rom, kan skalarproduktet av vektorene a = (a 1; a 2; ...; a n) og b = (b 1; b 2; ...; b n) finnes ved å bruke følgende formel:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Egenskaper til skalarproduktet til vektorer

1. Skalarproduktet av en vektor med seg selv er alltid større enn eller lik null:

2. Skalarproduktet av en vektor med seg selv er lik null hvis og bare hvis vektoren er lik nullvektoren:

a · a = 0<=>a = 0

3. Skalarproduktet av en vektor med seg selv er lik kvadratet av dens modul:

4. Operasjonen til skalar multiplikasjon er kommunikativ:

5. Hvis skalarproduktet av to vektorer som ikke er null er lik null, er disse vektorene ortogonale:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operasjonen til skalar multiplikasjon er distributiv:

(a + b) c = a c + b c

Eksempler på problemer for å beregne skalarproduktet til vektorer

Eksempler på beregning av skalarprodukt av vektorer for planproblemer

Finn skalarproduktet til vektorene a = (1; 2) og b = (4; 8).

Løsning: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Finn skalarproduktet av vektorene a og b hvis lengdene |a| = 3, |b| = 6, og vinkelen mellom vektorene er 60˚.

Løsning: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Finn skalarproduktet til vektorene p = a + 3b og q = 5a - 3 b hvis deres lengder |a| = 3, |b| = 2, og vinkelen mellom vektorene a og b er 60˚.

Løsning:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Et eksempel på beregning av skalarproduktet til vektorer for romlige problemer

Finn skalarproduktet til vektorene a = (1; 2; -5) og b = (4; 8; 1).

Løsning: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Et eksempel på beregning av punktproduktet for n-dimensjonale vektorer

Finn skalarproduktet til vektorene a = (1; 2; -5; 2) og b = (4; 8; 1; -2).

Løsning: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Kryssproduktet av vektorer og en vektor kalles tredje vektor , definert som følger:

2) vinkelrett, vinkelrett. (1"")

3) vektorene er orientert på samme måte som grunnlaget for hele rommet (positivt eller negativt).

Angi: .

Fysisk betydning av vektorproduktet

— kraftmoment i forhold til punkt O; - radius - vektor for kraftpåføringspunktet, da

Videre, hvis vi flytter den til punkt O, bør trippelen være orientert som en basisvektor.

Punktprodukt av vektorer

Vi fortsetter å håndtere vektorer. Ved første leksjon Vektorer for dummies Vi så på konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater og de enkleste problemene med vektorer. Hvis du kom til denne siden for første gang fra en søkemotor, anbefaler jeg på det sterkeste å lese introduksjonsartikkelen ovenfor, siden for å mestre materialet må du være kjent med begrepene og notasjonene jeg bruker, ha grunnleggende kunnskap om vektorer og kunne løse grunnleggende problemer. Denne leksjonen er en logisk fortsettelse av emnet, og i den vil jeg analysere i detalj typiske oppgaver som bruker skalarproduktet til vektorer. Dette er en VELDIG VIKTIG aktivitet.. Prøv å ikke hoppe over eksemplene; de ​​kommer med en nyttig bonus - øvelse vil hjelpe deg å konsolidere materialet du har dekket og bli bedre til å løse vanlige problemer innen analytisk geometri.

Addisjon av vektorer, multiplikasjon av en vektor med et tall.... Det ville være naivt å tro at matematikere ikke har funnet på noe annet. I tillegg til handlingene som allerede er diskutert, er det en rekke andre operasjoner med vektorer, nemlig: prikkprodukt av vektorer, vektorprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer. Det skalare produktet av vektorer er kjent for oss fra skolen, de to andre produktene tilhører tradisjonelt kurset i høyere matematikk. Emnene er enkle, algoritmen for å løse mange problemer er grei og forståelig. Den eneste tingen. Det er en anstendig mengde informasjon, så det er uønsket å prøve å mestre og løse ALT PÅ EN GANG. Dette gjelder spesielt for dummies; tro meg, forfatteren vil absolutt ikke føle seg som Chikatilo fra matematikk. Vel, ikke fra matematikk, selvfølgelig, heller =) Mer forberedte studenter kan bruke materialer selektivt, i en viss forstand, "få" den manglende kunnskapen, for deg vil jeg være en ufarlig grev Dracula =)

La oss endelig åpne døren og se med entusiasme på hva som skjer når to vektorer møter hverandre...

Definisjon av skalarproduktet til vektorer.
Egenskaper til skalarproduktet. Typiske oppgaver

Konseptet med et prikkprodukt

Først om vinkel mellom vektorer. Jeg tror alle intuitivt forstår hva vinkelen mellom vektorer er, men for sikkerhets skyld, litt mer detaljer. La oss vurdere gratis vektorer som ikke er null og . Hvis du plotter disse vektorene fra et vilkårlig punkt, vil du få et bilde som mange allerede har forestilt seg mentalt:

Jeg innrømmer, her beskrev jeg situasjonen bare på forståelsesnivå. Hvis du trenger en streng definisjon av vinkelen mellom vektorer, vennligst se læreboken; for praktiske problemer er det i prinsippet ikke til nytte for oss. Også HER OG HERI vil jeg ignorere nullvektorer på steder på grunn av deres lave praktiske betydning. Jeg har laget en reservasjon spesielt for avanserte besøkende på nettstedet som kan bebreide meg for den teoretiske ufullstendigheten i noen påfølgende uttalelser.

kan ta verdier fra 0 til 180 grader (0 til radianer), inklusive. Analytisk er dette faktum skrevet i form av en dobbel ulikhet: eller (i radianer).

I litteraturen blir vinkelsymbolet ofte hoppet over og enkelt skrevet.

Definisjon: Skalarproduktet av to vektorer er et TALL lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:

Nå er dette en ganske streng definisjon.

Vi fokuserer på viktig informasjon:

Betegnelse: skalarproduktet er betegnet med eller ganske enkelt.

Resultatet av operasjonen er et NUMBER: Vektor multipliseres med vektor, og resultatet er et tall. Faktisk, hvis lengdene på vektorer er tall, er cosinus til en vinkel et tall, så deres produkt vil også være et tall.

Bare et par eksempler på oppvarming:

Eksempel 1

Løsning: Vi bruker formelen . I dette tilfellet:

Svar:

Cosinusverdier finnes i trigonometrisk tabell. Jeg anbefaler å skrive det ut - det vil være nødvendig i nesten alle deler av tårnet og vil være nødvendig mange ganger.

Fra et rent matematisk synspunkt er det skalære produktet dimensjonsløst, det vil si at resultatet i dette tilfellet bare er et tall, og det er det. Fra et synspunkt av fysikkproblemer har et skalarprodukt alltid en viss fysisk betydning, det vil si at etter resultatet må en eller annen fysisk enhet angis. Et kanonisk eksempel på å beregne arbeidet til en kraft kan finnes i en hvilken som helst lærebok (formelen er nøyaktig et skalarprodukt). Arbeidet til en kraft måles i Joule, derfor vil svaret skrives ganske spesifikt, for eksempel .

Eksempel 2

Finn hvis , og vinkelen mellom vektorene er lik .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd, svaret er på slutten av leksjonen.

Vinkel mellom vektorer og punktproduktverdi

I eksempel 1 viste det seg at skalarproduktet var positivt, og i eksempel 2 viste det seg å være negativt. La oss finne ut hva tegnet til skalarproduktet avhenger av. La oss se på formelen vår: . Lengdene til vektorer som ikke er null er alltid positive: , så tegnet kan bare avhenge av verdien av cosinus.

Merk: For bedre å forstå informasjonen nedenfor, er det bedre å studere cosinusgrafen i manualen Funksjonsgrafer og egenskaper. Se hvordan cosinus oppfører seg på segmentet.

Som allerede nevnt, kan vinkelen mellom vektorene variere innenfor , og følgende tilfeller er mulige:

1) Hvis hjørne mellom vektorer krydret: (fra 0 til 90 grader), deretter , Og punktproduktet vil være positivt co-regissert, da regnes vinkelen mellom dem som null, og skalarproduktet vil også være positivt. Siden , forenkler formelen: .

2) Hvis hjørne mellom vektorer sløv: (fra 90 til 180 grader), da , og tilsvarende, prikkproduktet er negativt: . Spesialtilfelle: hvis vektorene motsatte retninger, så vurderes vinkelen mellom dem utvidet: (180 grader). Det skalære produktet er også negativt, siden

De omvendte utsagnene er også sanne:

1) Hvis , så er vinkelen mellom disse vektorene spiss. Alternativt er vektorene co-directional.

2) Hvis , så er vinkelen mellom disse vektorene stump. Alternativt er vektorene i motsatte retninger.

Men det tredje tilfellet er av spesiell interesse:

3) Hvis hjørne mellom vektorer rett: (90 grader), da skalarproduktet er null: . Det motsatte er også sant: hvis , da . Utsagnet kan formuleres kompakt som følger: Skalarproduktet av to vektorer er null hvis og bare hvis vektorene er ortogonale. Kort matematisk notasjon:

! Merk : La oss gjenta grunnleggende matematisk logikk: Et tosidig logisk konsekvensikon leses vanligvis "hvis og bare hvis", "hvis og bare hvis". Som du kan se, er pilene rettet i begge retninger - "fra dette følger dette, og omvendt - fra det følger dette." Hva er forresten forskjellen fra enveisfølge-ikonet? Ikonet sier bare det, at «av dette følger dette», og det er ikke et faktum at det motsatte er sant. For eksempel: , men ikke alle dyr er pantere, så i dette tilfellet kan du ikke bruke ikonet. Samtidig, i stedet for ikonet Kan bruk ensidig ikon. For eksempel, mens vi løste problemet, fant vi ut at vi konkluderte med at vektorene er ortogonale: - en slik oppføring vil være riktig, og enda mer passende enn .

Det tredje tilfellet har stor praktisk betydning, siden det lar deg sjekke om vektorer er ortogonale eller ikke. Vi vil løse dette problemet i den andre delen av leksjonen.

Egenskaper til dot-produktet

La oss gå tilbake til situasjonen når to vektorer co-regissert. I dette tilfellet er vinkelen mellom dem null, , og skalarproduktformelen har formen: .

Hva skjer hvis en vektor multipliseres med seg selv? Det er klart at vektoren er på linje med seg selv, så vi bruker den forenklede formelen ovenfor:

Nummeret ringes opp skalar firkant vektor, og er betegnet som .

Dermed, skalarkvadraten til en vektor er lik kvadratet på lengden til den gitte vektoren:

Fra denne likheten kan vi få en formel for å beregne lengden på vektoren:

Så langt virker det uklart, men målene for leksjonen vil sette alt på plass. For å løse problemene trenger vi også egenskapene til punktproduktet.

For vilkårlige vektorer og et hvilket som helst tall, er følgende egenskaper sanne:

1) – kommutativ eller kommutativ skalær produktlov.

2) – distribusjon eller distributive skalær produktlov. Du kan ganske enkelt åpne brakettene.

3) – assosiativ eller assosiativ skalær produktlov. Konstanten kan utledes fra skalarproduktet.

Ofte blir alle slags egenskaper (som også må bevises!) av studentene oppfattet som unødvendig søppel, som bare må memoreres og trygt glemmes umiddelbart etter eksamen. Det ser ut til at det som er viktig her, alle vet allerede fra første klasse at omorganisering av faktorene ikke endrer produktet: . Jeg må advare deg om at i høyere matematikk er det lett å rote til ting med en slik tilnærming. Så for eksempel er den kommutative egenskapen ikke sann for algebraiske matriser. Det er heller ikke sant for vektorprodukt av vektorer. Derfor er det som et minimum bedre å fordype seg i alle egenskaper du kommer over i et høyere matematikkkurs for å forstå hva som kan gjøres og hva som ikke kan gjøres.

Eksempel 3

.

Løsning: Først, la oss avklare situasjonen med vektoren. Hva er dette for noe? Summen av vektorer er en veldefinert vektor, som er betegnet med . En geometrisk tolkning av handlinger med vektorer finner du i artikkelen Vektorer for dummies. Den samme persillen med en vektor er summen av vektorene og .

Så, i henhold til tilstanden, er det nødvendig å finne det skalære produktet. I teorien må du bruke arbeidsformelen , men problemet er at vi ikke kjenner lengdene på vektorene og vinkelen mellom dem. Men tilstanden gir lignende parametere for vektorer, så vi tar en annen rute:

(1) Bytt ut uttrykkene til vektorene.

(2) Vi åpner parentesene i henhold til regelen for å multiplisere polynomer; en vulgær tungetråder finner du i artikkelen Komplekse tall eller Integrering av en brøk-rasjonell funksjon. Jeg vil ikke gjenta meg selv =) Forresten, den distributive egenskapen til skalarproduktet lar oss åpne parentesene. Vi har rett.

(3) I de første og siste leddene skriver vi kompakt skalarkvadrene til vektorene: . I det andre leddet bruker vi commuterbarheten til skalarproduktet: .

(4) Vi presenterer lignende termer: .

(5) I det første leddet bruker vi skalarkvadratformelen, som ble nevnt for ikke så lenge siden. I siste termin fungerer følgelig det samme: . Vi utvider det andre leddet i henhold til standardformelen .

(6) Erstatter disse betingelsene , og utfør NØYE de endelige beregningene.

Svar:

En negativ verdi av skalarproduktet angir det faktum at vinkelen mellom vektorene er stump.

Problemet er typisk, her er et eksempel for å løse det selv:

Eksempel 4

Finn skalarproduktet av vektorer og hvis det er kjent det .

Nå en annen vanlig oppgave, bare for den nye formelen for lengden til en vektor. Notasjonen her vil være litt overlappende, så for klarhetens skyld vil jeg skrive den om med en annen bokstav:

Eksempel 5

Finn lengden på vektoren if .

Løsning vil være som følger:

(1) Vi leverer uttrykket for vektoren.

(2) Vi bruker lengdeformelen: , og hele uttrykket ve fungerer som vektoren "ve".

(3) Vi bruker skoleformelen for kvadratet av summen. Legg merke til hvordan det fungerer her på en merkelig måte: – faktisk er det kvadratet av forskjellen, og faktisk er det slik det er. De som ønsker kan omorganisere vektorene: - det samme skjer, opp til omorganiseringen av begrepene.

(4) Det som følger er allerede kjent fra de to foregående problemene.

Svar:

Siden vi snakker om lengde, ikke glem å angi dimensjonen - "enheter".

Eksempel 6

Finn lengden på vektoren if .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

Vi fortsetter å presse nyttige ting ut av prikkproduktet. La oss se på formelen vår igjen . Ved å bruke proporsjonsregelen tilbakestiller vi lengdene på vektorene til nevneren på venstre side:

La oss bytte ut delene:

Hva er meningen med denne formelen? Hvis lengden av to vektorer og deres skalarprodukt er kjent, kan cosinus til vinkelen mellom disse vektorene, og følgelig selve vinkelen, beregnes.

Er et punktprodukt et tall? Antall. Er vektorlengder tall? Tall. Dette betyr at en brøk også er et tall. Og hvis cosinus til vinkelen er kjent: , så ved å bruke den inverse funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen: .

Eksempel 7

Finn vinkelen mellom vektorene og hvis det er kjent at .

Løsning: Vi bruker formelen:

På sluttfasen av beregningene ble en teknisk teknikk brukt - eliminering av irrasjonalitet i nevneren. For å eliminere irrasjonalitet multipliserte jeg telleren og nevneren med .

Så hvis , Det:

Verdiene til inverse trigonometriske funksjoner kan finnes av trigonometrisk tabell. Selv om dette skjer sjelden. I problemer med analytisk geometri, mye oftere noen klønete bjørn som , og verdien av vinkelen må finnes omtrentlig ved hjelp av en kalkulator. Faktisk vil vi se et slikt bilde mer enn en gang.

Svar:

Igjen, ikke glem å angi dimensjonene - radianer og grader. Personlig, for å åpenbart "løse alle spørsmål", foretrekker jeg å indikere begge (med mindre betingelsen, selvfølgelig, krever at svaret bare presenteres i radianer eller bare i grader).

Nå kan du selvstendig takle en mer kompleks oppgave:

Eksempel 7*

Det er gitt lengdene til vektorene og vinkelen mellom dem. Finn vinkelen mellom vektorene , .

Oppgaven er ikke så vanskelig som den er i flere trinn.
La oss se på løsningsalgoritmen:

1) I henhold til betingelsen må du finne vinkelen mellom vektorene og , så du må bruke formelen .

2) Finn skalarproduktet (se eksempel nr. 3, 4).

3) Finn lengden på vektoren og lengden på vektoren (se eksempel nr. 5, 6).

4) Slutten på løsningen faller sammen med eksempel nr. 7 - vi kjenner tallet , noe som betyr at det er enkelt å finne selve vinkelen:

En kort løsning og svar på slutten av timen.

Den andre delen av leksjonen er viet det samme skalarproduktet. Koordinater. Det blir enda enklere enn i første del.

Punktprodukt av vektorer,
gitt av koordinater på ortonormal basis

Svar:

Unødvendig å si er det mye hyggeligere å håndtere koordinater.

Eksempel 14

Finn skalarproduktet av vektorer og hvis

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Her kan du bruke assosiativiteten til operasjonen, det vil si ikke telle , men umiddelbart ta trippelen utenfor skalarproduktet og gange den med sist. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

På slutten av avsnittet, et provoserende eksempel på beregning av lengden på en vektor:

Eksempel 15

Finn lengdene på vektorer , Hvis

Løsning: Metoden i forrige seksjon foreslår seg selv igjen: men det er en annen måte:

La oss finne vektoren:

Og lengden i henhold til den trivielle formelen :

Punktproduktet er ikke aktuelt her i det hele tatt!

Det er heller ikke nyttig når du beregner lengden på en vektor:
Stoppe. Bør vi ikke dra nytte av den åpenbare egenskapen til vektorlengde? Hva kan du si om lengden på vektoren? Denne vektoren er 5 ganger lengre enn vektoren. Retningen er motsatt, men dette spiller ingen rolle, for vi snakker om lengde. Det er klart at lengden på vektoren er lik produktet modul tall per vektorlengde:
– modultegnet «spiser» tallets mulige minus.

Dermed:

Svar:

Formel for cosinus til vinkelen mellom vektorer som er spesifisert av koordinater

Nå har vi fullstendig informasjon for å bruke den tidligere utledede formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorer uttrykk gjennom vektorkoordinater:

Cosinus til vinkelen mellom planvektorer og spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:
.

Cosinus av vinkelen mellom romvektorer, spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:

Eksempel 16

Gitt tre hjørner av en trekant. Finn (topvinkel).

Løsning: I henhold til forholdene er tegningen ikke nødvendig, men likevel:

Den nødvendige vinkelen er markert med en grønn bue. La oss umiddelbart huske skolebetegnelsen på en vinkel: – spesiell oppmerksomhet til gjennomsnitt bokstav - dette er toppunktet til vinkelen vi trenger. For korthets skyld kan du også skrive ganske enkelt .

Fra tegningen er det ganske tydelig at trekantens vinkel sammenfaller med vinkelen mellom vektorene og med andre ord: .

Det er tilrådelig å lære hvordan man utfører analysen mentalt.

La oss finne vektorene:

La oss beregne skalarproduktet:

Og lengdene på vektorene:

Cosinus av vinkel:

Dette er nøyaktig rekkefølgen for å fullføre oppgaven som jeg anbefaler for dummies. Mer avanserte lesere kan skrive beregningene "på én linje":

Her er et eksempel på en "dårlig" cosinusverdi. Den resulterende verdien er ikke endelig, så det er liten vits i å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren.

La oss finne selve vinkelen:

Hvis du ser på tegningen, er resultatet ganske plausibelt. For å sjekke kan vinkelen også måles med vinkelmåler. Ikke skade skjermdekselet =)

Svar:

I svaret glemmer vi ikke det spurte om vinkelen til en trekant(og ikke om vinkelen mellom vektorene), ikke glem å angi det nøyaktige svaret: og den omtrentlige verdien av vinkelen: , funnet ved hjelp av en kalkulator.

De som har hatt glede av prosessen kan beregne vinklene og verifisere gyldigheten av den kanoniske likheten

Eksempel 17

En trekant er definert i rommet av koordinatene til toppene. Finn vinkelen mellom sidene og

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen

En kort siste del vil bli viet til anslag, som også involverer et skalært produkt:

Projeksjon av en vektor på en vektor. Projeksjon av en vektor på koordinatakser.
Retningskosinus til en vektor

Tenk på vektorene og:

La oss projisere vektoren på vektoren; for å gjøre dette utelater vi fra begynnelsen og slutten av vektoren perpendikulære til vektor (grønne stiplede linjer). Tenk deg at lysstråler faller vinkelrett på vektoren. Da vil segmentet (rød linje) være "skyggen" av vektoren. I dette tilfellet er projeksjonen av vektoren på vektoren LENGDEN til segmentet. Det vil si at PROJEKSJON ER ET TALL.

Dette NUMMERET er angitt som følger: , "stor vektor" angir vektoren HVILKEN prosjekt, "liten underskriftsvektor" angir vektoren PÅ som er projisert.

Selve oppføringen lyder slik: "projeksjon av vektor "a" på vektor "være".

Hva skjer hvis vektoren "be" er "for kort"? Vi tegner en rett linje som inneholder vektoren "være". Og vektor "a" vil allerede bli projisert til retningen til vektoren "være", ganske enkelt - til den rette linjen som inneholder vektoren "være". Det samme vil skje hvis vektoren "a" blir utsatt i det trettiende riket - den vil fortsatt lett projiseres på den rette linjen som inneholder vektoren "be".

Hvis vinkelen mellom vektorer krydret(som på bildet), da

Hvis vektorene ortogonal, da (projeksjonen er et punkt hvis dimensjoner anses som null).

Hvis vinkelen mellom vektorer sløv(i figuren, omorganiser vektorpilen mentalt), deretter (samme lengde, men tatt med et minustegn).

La oss plotte disse vektorene fra ett punkt:

Det er klart at når en vektor beveger seg, endres ikke projeksjonen