Legge til enkle brøker. Operasjoner med brøker

Legge til og trekke fra brøker med like nevnere
Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere
Konseptet NOC
Redusere brøker til samme nevner
Hvordan legge til et helt tall og en brøk

1 Legge til og trekke fra brøker med like nevnere

For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere, men la nevneren være den samme, for eksempel:

For å trekke fra brøker med de samme nevnerne, må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme, for eksempel:

For å legge til blandede brøker, må du legge til hele delene separat, og deretter legge til brøkdelene deres, og skrive resultatet som en blandet brøk,

Hvis, når man legger til brøkdelene, blir resultatet Ikke riktig brøk, velg en hel del fra den og legg den til hele delen, for eksempel:

2 Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere

For å legge til eller trekke fra brøker med forskjellige nevnere, må du først redusere dem til samme nevner, og deretter fortsette som angitt i begynnelsen av denne artikkelen. Fellesnevneren for flere brøker er LCM (minste felles multiplum). For telleren for hver brøk, finner man tilleggsfaktorer ved å dele LCM med nevneren til denne brøken. Vi skal se på et eksempel senere, etter at vi forstår hva en NOC er.

3 minste felles multiplum (LCM)

Det minste felles multiplum av to tall (LCM) er det minste naturlige tallet som er delelig med begge tallene uten å etterlate en rest. Noen ganger kan NOC velges muntlig, men oftere, spesielt når man jobber med store tall, må du finne LOC skriftlig ved å bruke følgende algoritme:

For å finne LCM for flere tall, trenger du:

Del disse tallene inn i primære faktorer
Ta den største utvidelsen og skriv disse tallene som et produkt
Identifiser tall i andre utvidelser som ikke vises i den største utvidelsen (eller forekommer i den mindre antall ganger), og legg dem til arbeidet.
Multipliser alle tallene i produktet, dette vil være LCM.

La oss for eksempel finne LCM for tallene 28 og 21:

4 Redusere brøker til samme nevner

La oss gå tilbake til å legge til brøker med forskjellige nevnere.

Når vi reduserer brøker til samme nevner, lik LCM for begge nevnerne, må vi multiplisere tellerne til disse brøkene med ekstra multiplikatorer. Du kan finne dem ved å dele LCM med nevneren til den tilsvarende brøken, for eksempel:

For å redusere brøker til samme eksponent, må du først finne LCM (det vil si, minste antall, som er delelig med begge nevnerne) av nevnerne til disse brøkene, legg deretter tilleggsfaktorer til tellerne til brøkene. Du kan finne dem ved å dele fellesnevneren (CLD) med nevneren til den tilsvarende brøken. Deretter må du multiplisere telleren til hver brøk med en ekstra faktor, og sette LCM som nevner.

5Hvordan legge til et helt tall og en brøk

For å legge til et helt tall og en brøk, trenger du bare å legge dette tallet foran brøken, noe som for eksempel vil resultere i en blandet brøk.

For å legge til et helt tall til en brøk, er det nok å utføre en rekke handlinger, eller rettere sagt beregninger.

For eksempel har du 7 - et heltall; du må legge det til brøken 1/2.

Vi går frem som følger:

Vi ganger 7 med nevneren (2), vi får 14,
legge til 14 øverste del(1), kommer ut 15,
og erstatte nevneren.
resultatet er 15/2.

På denne enkle måten kan du legge hele tall til brøker.

Og for å isolere et helt tall fra en brøk, må du dele telleren med nevneren, og resten - og det blir en brøk.

Operasjonen med å legge til et heltall til en riktig ordinær brøk er ikke komplisert og involverer noen ganger ganske enkelt dannelsen av en blandet brøk der hele delen plassert til venstre for brøkdelen, for eksempel, vil en slik brøk blandes:

Men oftere enn ikke, å legge et helt tall til en brøk resulterer i en uekte brøk der telleren er større enn nevneren. Denne operasjonen utføres som følger: hele tallet er representert som en uekte brøk med samme nevner som brøken som legges til, og deretter legges tellerne til begge brøkene ganske enkelt til. I et eksempel vil det se slik ut:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Jeg tror det er veldig enkelt.

For eksempel har vi brøken 1/4 (dette er det samme som 0,25, det vil si en fjerdedel av hele tallet).

Og til dette kvartalet kan du legge til et hvilket som helst heltall, for eksempel 3. Du får tre og en kvart:

3,25. Eller i brøk er det uttrykt slik: 3 1/4

Ved å bruke dette eksemplet kan du legge til alle brøker med alle heltall.

Du må heve et helt tall til en brøk med nevneren 10 (6/10). Deretter bringer du den eksisterende brøken til en fellesnevner på 10 (35=610). Vel, utfør operasjonen som med vanlige brøker 610+610=1210 totalt 12.

Det er to måter å gjøre dette på.

1). En brøk kan konverteres til et helt tall og addisjon kan utføres. For eksempel er 1/2 0,5; 1/4 tilsvarer 0,25; 2/5 er 0,4 osv.

Ta heltall 5, som du må legge til brøken 4/5. La oss transformere brøken: 4/5 er 4 delt på 5 og vi får 0,8. Legger til 0,8 til 5 og vi får 5,8 eller 5 4/5.

2). Andre metode: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Å legge til brøker er enkelt matematisk operasjon, for eksempel må du legge til heltall 3 og brøken 1/7. For å legge til disse to tallene må du ha samme nevner, så du må gange tre med syv og dele på det tallet, så får du 21/7+1/7, nevner en, legg til 21 og 1, du får svaret 22/ 7.

Bare ta og legg til et heltall til denne brøken. La oss si at du trenger 6 + 1/2 = 6 1/2. Vel, hvis dette desimal så kan du gjøre det slik: 6+1.2=7.2.

For å legge til en brøk og et helt tall, må du legge brøken til hele tallet og skrive dem i skjemaet komplekst tall, for eksempel, når vi legger til en vanlig brøk med et heltall, får vi: 1/2 +3 =3 1/2; når du legger til en desimalbrøk: 0,5 +3 =3,5.

En brøk i seg selv er ikke et helt tall, fordi dens mengde ikke når det, og derfor er det ikke nødvendig å konvertere hele tallet til denne brøken. Derfor forblir heltallet et heltall og demonstrerer den fulle verdien, og brøken legges til det, og viser hvor mye dette heltallet mangler før det neste hele punktet legges til.

Akademisk eksempel.

10 + 7/3 = 10 hele og 7/3.

Hvis det selvfølgelig er heltall, summeres de med heltall.

12 + 5 7/9 = 17 og 7/9.

Det avhenger av hvilket heltall og hvilken brøk.

Hvis begge begrepene er positive, skal denne brøken legges til hele tallet. Resultatet blir et blandet tall. Dessuten kan det være 2 tilfeller.

Sak 1.

Brøken er riktig, dvs. teller mindre enn nevneren. Da vil det blandede antallet oppnådd etter oppgaven være svaret.

4/9 + 10 = 10 4/9 (ti komma fire niendedeler).

Tilfelle 2.

Brøken er uekte, dvs. telleren er større enn nevneren. Da kreves det litt konvertering. En uekte brøk skal gjøres om til et blandet tall, med andre ord, hele delen skal skilles. Dette gjøres slik:

Etter dette må du legge til hele delen av den uriktige brøkdelen til hele tallet og legge til brøkdelen til den resulterende mengden. På samme måte legges en helhet til et blandet tall.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 komma tre kvarter).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 poeng én).

Hvis ett av begrepene eller begge negativ, så utfører vi addisjonen i henhold til reglene for å legge til tall med forskjellige eller identiske tegn. Et helt tall er representert som forholdet mellom det tallet og 1, og deretter multipliseres både telleren og nevneren med et tall som er lik nevneren til brøken som hele tallet legges til.

3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (minus 1 poeng fire femtedeler).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (minus 8 poeng en tredjedel).

Kommentar.

Etter møtet negative tall, når de studerer handlinger med dem, bør elever i 6. klasse forstå det negativ brøkdelå legge til et positivt heltall er det samme som å trekke fra naturlig tall brøkdel. Denne handlingen er kjent for å utføres slik:

Faktisk, for å legge til en brøk og et heltall, trenger du ganske enkelt å konvertere det eksisterende heltall til en brøk, og å gjøre dette er like enkelt som å avskalle pærer. Du trenger bare å ta nevneren til en brøk (i eksemplet) og gjøre den til nevneren for et helt tall ved å multiplisere den med den nevneren og dele, her er et eksempel:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

Finn telleren og nevneren. En brøk inkluderer to tall: tallet som er plassert over linjen kalles telleren, og tallet som er plassert under linjen kalles nevneren. Nevneren står for Total deler som en helhet er delt inn i, og telleren er det betraktede antallet slike deler.

For eksempel, i brøken ½ er telleren 1 og nevneren er 2.

Bestem nevneren. Hvis to eller flere brøker har en fellesnevner, har slike brøker samme nummer under linjen, det vil si at i dette tilfellet er en viss helhet delt inn i samme antall deler. Å legge til brøker med fellesnevner er veldig enkelt, siden nevneren til den summerte brøken vil være den samme som brøkene som legges til. For eksempel:

Brøkene 3/5 og 2/5 har en fellesnevner på 5.
Brøkene 3/8, 5/8, 17/8 har en fellesnevner på 8.

Bestem tellerne. For å legge til brøker med en fellesnevner, legg til tellerne og skriv resultatet over nevneren til brøkene som legges til.

Brøkene 3/5 og 2/5 har teller 3 og 2.
Brøk 3/8, 5/8, 17/8 har tellere 3, 5, 17.

Legg sammen tellerne. I oppgave 3/5 + 2/5 legger du til tellerne 3 + 2 = 5. I oppgave 3/8 + 5/8 + 17/8 legger du til tellerne 3 + 5 + 17 = 25.

Skriv den totale brøken. Husk at når du legger til brøker med fellesnevner, forblir den uendret - bare tellerne legges til.

3/5 + 2/5 = 5/5
3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Konverter brøken om nødvendig. Noen ganger kan en brøk skrives som et helt tall i stedet for som en brøk eller desimal. For eksempel konverteres brøken 5/5 enkelt til 1, siden enhver brøk hvis teller er lik nevneren er 1. Se for deg en pai delt i tre deler. Hvis du spiser alle tre delene, har du spist hele (en) paien.

Enhver brøk kan konverteres til en desimal; For å gjøre dette, del telleren med nevneren. For eksempel kan brøken 5/8 skrives som følger: 5 ÷ 8 = 0,625.

Hvis mulig, forenkle brøken. En forenklet brøk er en brøk hvis teller og nevner ikke har felles faktorer.

Tenk for eksempel på brøken 3/6. Her har både telleren og nevneren felles deler, lik 3, det vil si at telleren og nevneren er helt delelig med 3. Derfor kan brøken 3/6 skrives som følger: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Om nødvendig, konverter uekte brøk til blandet fraksjon(blandet tall). En uekte brøk har en teller som er større enn nevneren, for eksempel 25/8 (en egen brøk har en teller mindre enn nevneren). En uekte brøk kan konverteres til en blandet brøk, som består av en heltallsdel (det vil si et helt tall) og en brøkdel (det vil si en egenbrøk). Følg disse trinnene for å konvertere en uekte brøk, for eksempel 25/8, til et blandet tall:

Del telleren til en uekte brøk med nevneren; skriv ned delkvotienten (hele svaret). I vårt eksempel: 25 ÷ 8 = 3 pluss litt rest. I i dette tilfellet hele svaret er hele delen av det blandede tallet.
Finn resten. I vårt eksempel: 8 x 3 = 24; trekk det resulterende resultatet fra den opprinnelige telleren: 25 - 24 = 1, det vil si at resten er 1. I dette tilfellet er resten telleren til brøkdelen av det blandede tallet.
Skriv en blandet brøk. Nevneren endres ikke (det vil si at den er lik nevneren til den uekte brøken), så 25/8 = 3 1/8.

Noe av det vanskeligste for en student å forstå er forskjellige handlinger med enkle brøker. Dette skyldes det faktum at det fortsatt er vanskelig for barn å tenke abstrakt, og brøker ser faktisk akkurat slik ut for dem. Derfor, når de presenterer materialet, tyr lærere ofte til analogier og forklarer subtraksjon og addisjon av brøker bokstavelig talt på fingrene. Selv om ikke en eneste matematikktime er komplett uten regler og definisjoner.

Enkle konsepter

Før du begynner med noen, er det tilrådelig å lære noen grunnleggende definisjoner og regler. I utgangspunktet er det viktig å forstå hva en brøk er. Det refererer til et tall som representerer en eller flere brøkdeler av en enhet. Hvis du for eksempel skjærer et brød i 8 stykker og legger 3 skiver av dem på en tallerken, vil 3/8 være en brøkdel. Dessuten vil det i denne skriften være en enkel brøk, der tallet over linjen er telleren, og under det er nevneren. Men hvis du skriver det ned som 0,375, vil det allerede være en desimalbrøk.

I tillegg er enkle fraksjoner delt inn i riktig, uegentlig og blandet. Den første inkluderer alle de hvis teller er mindre enn nevneren. Hvis tvert imot er nevneren mindre enn telleren, vil det allerede være en uekte brøk. Hvis det riktige tallet innledes med et heltall, kalles de blandede tall. Dermed er brøken 1/2 riktig, men 7/2 er det ikke. Og hvis du skriver det i denne formen: 3 1/2, så blir det blandet.

For å gjøre det lettere å forstå hva det å legge til brøker er og for å utføre det med letthet, er det også viktig å huske essensen i det følgende. Hvis telleren og nevneren multipliseres med samme tall, vil ikke brøken endres. Det er denne egenskapen som lar deg utføre enkle operasjoner med vanlige og andre brøker. Faktisk betyr dette at 1/15 og 3/45 i hovedsak er det samme tallet.

Legge til brøker med like nevnere

Å utføre denne handlingen forårsaker vanligvis ikke store problemer. Å legge til brøker i dette tilfellet er veldig lik en lignende operasjon med heltall. Nevneren forblir uendret, og tellerne legges ganske enkelt sammen. For eksempel, hvis du trenger å legge til brøkene 2/7 og 3/7, vil løsningen på skoleproblemet i notatboken være slik:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

I tillegg kan denne addisjonen av brøker forklares ved hjelp av enkelt eksempel. Ta et vanlig eple og skjær det for eksempel i 8 biter. Legg først ut 3 deler separat, og legg deretter til 2. Som et resultat vil koppen inneholde 5/8 av et helt eple. Samu aritmetisk problem skrevet som nedenfor:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Men ofte er det mer komplekse problemer der du må legge sammen, for eksempel 5/9 og 3/5. Det er her de første vanskelighetene oppstår med å jobbe med brøker. Tross alt vil det å legge til slike tall kreve ytterligere kunnskap. Nå må du fullt ut huske hovedeiendommen deres. For å legge til brøker fra eksemplet, må du først bringe dem til én fellesnevner. For å gjøre dette trenger du bare å multiplisere 9 og 5 sammen, multiplisere telleren "5" med henholdsvis 5 og "3" med 9. Dermed er følgende brøker allerede lagt til: 25/45 og 27/45. Nå gjenstår det bare å legge til tellerne og få svaret 52/45. På et stykke papir vil et eksempel se slik ut:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 1 7 / 45.

Men å legge til brøker med slike nevnere krever ikke alltid bare å multiplisere tallene under linjen. Først ser de etter den laveste fellesnevneren. For eksempel som for brøkene 2/3 og 5/6. For dem vil det være tallet 6. Men svaret er ikke alltid åpenbart. I dette tilfellet er det verdt å huske regelen for å finne det minste felles multiplum (forkortet LCM) av to tall.

Det forstås som den minst vanlige faktoren av to heltall. For å finne det, dekomponerer de hver til hovedfaktorer. Skriv nå ned de av dem som vises minst én gang i hvert tall. De multipliserer dem sammen og får samme nevner. I virkeligheten ser alt litt enklere ut.

For eksempel må du legge til brøkene 4/15 og 1/6. Så 15 oppnås ved å multiplisere de enkle tallene 3 og 5, og seks oppnås ved å multiplisere de enkle tallene to og tre. Dette betyr at LCM for dem vil være 5 x 3 x 2 = 30. Nå, dividere 30 med nevneren til den første brøken, får vi multiplikatoren for telleren - 2. Og for den andre brøken vil det være tallet 5 Dermed gjenstår det å legge til de ordinære brøkene 8/30 og 5/30 og få svaret 13/30. Alt er ekstremt enkelt. I notatboken bør du skrive ned denne oppgaven slik:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM(15; 6) = 30.

Tillegg av blandede tall

Nå kjenner du alle de grunnleggende tilleggsteknikkene enkle brøker, kan du prøve deg på mer komplekse eksempler. Og disse blir det blandede tall, som vi mener en brøkdel av denne formen: 2 2 / 3. Her er hele delen skrevet før egenbrøken. Og mange blir forvirret når de utfører handlinger med slike tall. I realiteten gjelder de samme reglene her.

For å legge til blandede tall, legg til hele deler og egenbrøker hver for seg. Og så er disse 2 resultatene oppsummert. I praksis er alt mye enklere, du trenger bare å øve litt. For eksempel krever problemet å legge til følgende blandede tall: 1 1/3 og 4 2/5. For å gjøre dette legger du først til 1 og 4 for å få 5. Legg deretter til 1/3 og 2/5 ved å bruke teknikker med laveste fellesnevner. Løsningen blir 15/11. Og det endelige svaret er 5 11/15. I en skolenotisbok vil det se mye kortere ut:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Legge til desimaler

I tillegg vanlige brøker, det er også desimaler. Forresten, de er mye mer vanlige i livet. For eksempel ser prisen i en butikk ofte slik ut: 20,3 rubler. Dette er samme brøkdel. Disse er selvfølgelig mye lettere å brette enn vanlige. I utgangspunktet trenger du bare å legge til 2 vanlige tall, det viktigste er å sette komma på rett sted. Det er her vanskeligheter oppstår.

For eksempel må du legge til 2,5 og 0,56. For å gjøre dette riktig, må du legge til en null til den første på slutten, og alt blir bra.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Det er viktig å vite at enhver desimal kan konverteres til en brøk, men ikke hver brøk kan skrives som en desimal. Så fra vårt eksempel, 2,5 = 2 1/2 og 0,56 = 14/25. Men en brøkdel som 1/6 vil bare være omtrent lik 0,16667. Den samme situasjonen vil skje med andre lignende tall - 2/7, 1/9 og så videre.

Konklusjon

Mange skolebarn som ikke forstår den praktiske siden ved å jobbe med brøker, behandler dette emnet uforsiktig. Imidlertid i flere disse grunnleggende kunnskap vil få deg til å sprekke som nøtter komplekse eksempler med logaritmer og finne deriverte. Derfor er det verdt en gang å forstå operasjonene med brøker grundig, slik at du senere ikke biter albuene i frustrasjon. Det er tross alt lite sannsynlig at en lærer på videregående kommer tilbake til dette allerede dekkede temaet. Enhver videregående elev bør kunne utføre slike øvelser.

Leksjonens innhold

Legge til brøker med like nevnere

Det er to typer addisjon av brøker:

Legge til brøker med like nevnere
Legge til brøker med forskjellige nevnere

La oss først lære å legge til brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret. La oss for eksempel legge til brøkene og . Legg til tellerne og la nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Legger du pizza til pizza, får du pizza:

Eksempel 2. Legg til brøker og .

Svaret viste seg å være en upassende brøkdel. Når slutten av oppgaven kommer, er det vanlig å kvitte seg med upassende brøker. For å bli kvitt en upassende brøkdel, må du velge hele delen av den. I vårt tilfelle er hele delen lett isolert - to delt på to er lik en:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker om en pizza som er delt i to deler. Legger du til mer pizza i pizzaen, får du en hel pizza:

Eksempel 3. Legg til brøker og .

Igjen legger vi sammen tellerne og lar nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Legger du til mer pizza i pizzaen får du pizza:

Eksempel 4. Finn verdien av et uttrykk

Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Tellerne må legges til og nevneren holdes uendret:

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza og legger til flere pizzaer, får du 1 hel pizza og flere pizzaer.

Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å legge til brøker med samme nevnere. Det er nok å forstå følgende regler:

For å legge til brøker med samme nevner, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret;

Legge til brøker med forskjellige nevnere

La oss nå lære hvordan du legger til brøker med forskjellige nevnere. Når du legger til brøker, må nevnerne til brøkene være de samme. Men de er ikke alltid like.

For eksempel kan brøker legges til fordi de har samme nevnere.

Men brøker kan ikke legges til med en gang, siden disse brøkene ulike nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.

Det er flere måter å redusere brøker til samme nevner. I dag skal vi se på bare en av dem, siden de andre metodene kan virke kompliserte for en nybegynner.

Essensen av denne metoden er at først LCM for nevnerne til begge brøkene søkes. LCM deles deretter med nevneren til den første brøken for å oppnå den første tilleggsfaktoren. De gjør det samme med den andre brøken - LCM deles på nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås.

Tellerne og nevnerne til brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene deres. Som et resultat av disse handlingene blir brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker.

Eksempel 1. La oss legge til brøkene og

Først og fremst finner vi det minste felles multiplum av nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Minste felles multiplum av disse tallene er 6

LCM (2 og 3) = 6

La oss nå gå tilbake til brøker og . Del først LCM med nevneren til den første brøken og få den første tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 6 med 3, vi får 2.

Det resulterende tallet 2 er den første tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den første brøken. For å gjøre dette, lag en liten skrå linje over brøken og skriv ned tilleggsfaktoren som finnes over den:

Vi gjør det samme med den andre brøken. Vi deler LCM med nevneren til den andre brøken og får den andre tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Del 6 med 2, vi får 3.

Det resulterende tallet 3 er den andre tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den andre brøken. Igjen lager vi en liten skrå linje over den andre brøken og skriver ned tilleggsfaktoren som finnes over den:

Nå har vi alt klart for tillegg. Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Se nøye på hva vi har kommet til. Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:

Dette fullfører eksemplet. Det viser seg å legge til.

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza, får du en hel pizza og en annen sjettedel av en pizza:

Å redusere brøker til samme (felles)nevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere brøkene og til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse to brøkene vil bli representert av de samme pizzastykkene. Den eneste forskjellen vil være at de denne gangen deles i like deler (redusert til samme nevner).

Den første tegningen representerer en brøk (fire stykker av seks), og den andre tegningen representerer en brøk (tre stykker av seks). Ved å legge til disse bitene får vi (syv av seks). Denne brøkdelen er upassende, så vi fremhevet hele delen av den. Som et resultat fikk vi (en hel pizza og en annen sjette pizza).

Vær oppmerksom på at vi har beskrevet dette eksemplet for detaljert. I utdanningsinstitusjoner Det er ikke vanlig å skrive så detaljert. Du må raskt kunne finne LCM for både nevnerne og tilleggsfaktorene til dem, samt raskt multiplisere de funnet tilleggsfaktorene med tellerne og nevnerne dine. Hvis vi var på skolen, ville vi måtte skrive dette eksemplet som følger:

Men det er også baksiden medaljer. Hvis du ikke tar detaljerte notater i de første stadiene av å studere matematikk, begynner slike spørsmål å dukke opp. "Hvor kommer det tallet fra?", "Hvorfor blir brøker plutselig til helt andre brøker? «.

For å gjøre det enklere å legge til brøker med forskjellige nevnere, kan du bruke følgende trinnvise instruksjoner:

Finn LCM for nevnerne til brøker;
Del LCM med nevneren for hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk;
Multipliser tellerne og nevnerne til brøker med tilleggsfaktorene deres;
Legg til brøker som har samme nevnere;
Hvis svaret viser seg å være en uekte brøk, velg hele delen;

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk .

La oss bruke instruksjonene ovenfor.

Trinn 1. Finn LCM for nevnerne til brøkene

Finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevnerne for brøker er tallene 2, 3 og 4

Trinn 2. Del LCM med nevneren for hver brøk og få en tilleggsfaktor for hver brøk

Del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 2. Del 12 med 2, vi får 6. Vi fikk den første tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den første brøken:

Nå deler vi LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Vi får den andre tilleggsfaktoren 4. Vi skriver den over den andre brøken:

Nå deler vi LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den tredje brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den tredje brøken:

Trinn 3. Multipliser tellerne og nevnerne til brøkene med tilleggsfaktorene deres

Vi multipliserer tellerne og nevnerne med tilleggsfaktorene deres:

Trinn 4. Legg til brøker med samme nevnere

Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Alt som gjenstår er å legge til disse brøkene. Legg det til:

Addisjonen passet ikke på én linje, så vi flyttet det gjenværende uttrykket til neste linje. Dette er tillatt i matematikk. Når et uttrykk ikke passer på en linje, flyttes det til neste linje, og det er nødvendig å sette et likhetstegn (=) på slutten av den første linjen og i begynnelsen av den nye linjen. Likhetstegnet på den andre linjen indikerer at dette er en fortsettelse av uttrykket som var på den første linjen.

Trinn 5. Hvis svaret viser seg å være en uekte brøkdel, velg hele delen av det

Svaret vårt viste seg å være en upassende brøkdel. Vi må fremheve en hel del av det. Vi fremhever:

Vi fikk svar

Å trekke fra brøker med like nevnere

Det er to typer subtraksjon av brøker:

Å trekke fra brøker med like nevnere
Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere

Først, la oss lære hvordan du trekker fra brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å trekke en annen fra en brøk, må du trekke telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, men la nevneren være den samme.

La oss for eksempel finne verdien av uttrykket . For å løse dette eksemplet må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret. La oss gjøre dette:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:

Eksempel 2. Finn verdien av uttrykket.

Igjen, fra telleren til den første brøken, trekk fra telleren til den andre brøken, og la nevneren være uendret:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk

Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Fra telleren til den første brøken må du trekke fra tellerne til de gjenværende brøkene:

Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å trekke fra brøker med de samme nevnerne. Det er nok å forstå følgende regler:

For å subtrahere en annen fra en brøk, må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret;
Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du markere hele delen av det.

Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere

For eksempel kan du trekke en brøk fra en brøk fordi brøkene har samme nevnere. Men du kan ikke trekke en brøk fra en brøk, siden disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.

Fellesnevneren er funnet ved å bruke samme prinsipp som vi brukte når vi adderte brøker med forskjellige nevnere. Først av alt, finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Deretter divideres LCM med nevneren til den første brøken og den første tilleggsfaktoren oppnås, som er skrevet over den første brøken. På samme måte deles LCM med nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås, som er skrevet over den andre brøken.

Brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene. Som et resultat av disse operasjonene konverteres brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker.

Eksempel 1. Finn betydningen av uttrykket:

Disse brøkene har forskjellige nevnere, så du må redusere dem til samme (felles) nevner.

Først finner vi LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Minste felles multiplum av disse tallene er 12

LCM (3 og 4) = 12

La oss nå gå tilbake til brøker og

La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. For å gjøre dette, del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Skriv en firer over den første brøken:

Vi gjør det samme med den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Skriv en treer over den andre brøken:

Nå er vi klare for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:

Vi fikk svar

La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza

Dette er den detaljerte versjonen av løsningen. Hvis vi var på skolen, måtte vi løse dette eksempelet kortere. En slik løsning vil se slik ut:

Å redusere brøker til en fellesnevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere disse brøkene til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse brøkene vil være representert av de samme pizzaskivene, men denne gangen deles de i like deler (redusert til samme nevner):

Det første bildet viser en brøk (åtte stykker av tolv), og det andre bildet viser en brøk (tre stykker av tolv). Ved å kutte tre stykker fra åtte stykker får vi fem stykker av tolv. Brøken beskriver disse fem stykkene.

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Disse brøkene har forskjellige nevnere, så først må du redusere dem til samme (felles) nevner.

La oss finne LCM for nevnerne til disse brøkene.

Nevnerne til brøkene er tallene 10, 3 og 5. Minste felles multiplum av disse tallene er 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nå finner vi tilleggsfaktorer for hver brøk. For å gjøre dette, del LCM med nevneren for hver brøk.

La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den første brøken er tallet 10. Del 30 med 10, vi får den første tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den første brøken:

Nå finner vi en tilleggsfaktor for den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 30 med 3, vi får den andre tilleggsfaktoren 10. Vi skriver den over den andre brøken:

Nå finner vi en tilleggsfaktor for den tredje brøken. Del LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den tredje brøken er tallet 5. Del 30 med 5, vi får den tredje tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den tredje brøken:

Nå er alt klart for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:

Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss avslutte dette eksemplet.

Fortsettelsen av eksemplet vil ikke passe på én linje, så vi flytter fortsettelsen til neste linje. Ikke glem likhetstegnet (=) på den nye linjen:

Svaret viste seg å være en vanlig brøk, og alt ser ut til å passe oss, men det er for tungvint og stygt. Vi bør gjøre det enklere. Hva kan bli gjort? Du kan forkorte denne brøken.

For å redusere en brøk, må du dele telleren og nevneren med (GCD) av tallene 20 og 30.

Så vi finner gcd av tallene 20 og 30:

Nå går vi tilbake til eksemplet vårt og deler telleren og nevneren av brøken med den funnet gcd, det vil si med 10

Vi fikk svar

Multiplisere en brøk med et tall

For å multiplisere en brøk med et tall, må du multiplisere telleren til brøken med det tallet og la nevneren være uendret.

Eksempel 1. Multipliser en brøk med tallet 1.

Multipliser telleren av brøken med tallet 1

Opptaket kan forstås som å ta halv 1 gang. For eksempel, hvis du tar pizza en gang, får du pizza

Fra multiplikasjonslovene vet vi at hvis multiplikaden og faktoren byttes, vil ikke produktet endres. Hvis uttrykket skrives som , vil produktet fortsatt være lik . Igjen fungerer regelen for å multiplisere et helt tall og en brøk:

Denne notasjonen kan forstås som å ta halvparten av en. For eksempel, hvis det er 1 hel pizza og vi tar halvparten av den, vil vi ha pizza:

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren av brøken med 4

Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:

Uttrykket kan forstås som å ta to kvarter 4 ganger. Tar du for eksempel 4 pizzaer, får du to hele pizzaer

Og hvis vi bytter ut multiplikanten og multiplikatoren, får vi uttrykket . Det vil også være lik 2. Dette uttrykket kan forstås som å ta to pizzaer fra fire hele pizzaer:

Tallet som multipliseres med brøken og nevneren for brøken løses opp hvis de har en felles faktor større enn én.

For eksempel kan et uttrykk evalueres på to måter.

Første vei. Multipliser tallet 4 med telleren for brøken, og la brøkens nevner stå uendret:

Andre vei. De fire som multipliseres og de fire i nevneren av brøken kan reduseres. Disse firerne kan reduseres med 4, siden den største felles divisor for to firere er selve fire:

Vi fikk samme resultat 3. Etter å ha redusert fireren, dannes nye tall i stedet for: to enere. Men å multiplisere en med tre, og deretter dele på en, endrer ingenting. Derfor kan løsningen skrives kort:

Reduksjonen kan utføres selv når vi bestemte oss for å bruke den første metoden, men på stadiet med å multiplisere tallet 4 og telleren 3 bestemte vi oss for å bruke reduksjonen:

Men for eksempel kan uttrykket bare beregnes på den første måten - multipliser 7 med nevneren til brøken, og la nevneren være uendret:

Dette skyldes det faktum at tallet 7 og nevneren til brøken ikke har en felles deler som er større enn én, og følgelig ikke kansellerer.

Noen elever forkorter feilaktig tallet som multipliseres og telleren til brøken. Du kan ikke gjøre dette. For eksempel er følgende oppføring ikke riktig:

Å redusere en brøk betyr det både teller og nevner vil bli delt på samme tall. I situasjonen med uttrykket utføres divisjon kun i telleren, siden å skrive dette er det samme som å skrive . Vi ser at divisjon utføres kun i telleren, og ingen divisjon forekommer i nevneren.

Multiplisere brøker

For å multiplisere brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere. Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du fremheve hele delen av det.

Eksempel 1. Finn verdien av uttrykket.

Vi fikk svar. Det er tilrådelig å redusere gitt brøk. Brøken kan reduseres med 2. Deretter siste avgjørelse vil ha følgende form:

Uttrykket kan forstås som å ta en pizza fra en halv pizza. La oss si at vi har en halv pizza:

Hvordan ta to tredjedeler fra denne halvdelen? Først må du dele denne halvdelen i tre like deler:

Og ta to fra disse tre delene:

Vi lager pizza. Husk hvordan pizza ser ut når den er delt i tre deler:

Ett stykke av denne pizzaen og de to stykkene vi tok vil ha samme dimensjoner:

Med andre ord, vi snakker om omtrent like stor pizza. Derfor er verdien av uttrykket

Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:

Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk

Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:

Svaret viste seg å være en vanlig brøk, men det ville vært bra om det ble forkortet. For å redusere denne brøken må du dele telleren og nevneren til denne brøken med den største felles divisor (GCD) av tallene 105 og 450.

Så la oss finne gcd-en til tallene 105 og 450:

Nå deler vi telleren og nevneren for svaret vårt med gcd som vi nå har funnet, det vil si med 15

Representerer et helt tall som en brøk

Ethvert heltall kan representeres som en brøk. For eksempel kan tallet 5 representeres som . Dette vil ikke endre betydningen av fem, siden uttrykket betyr "tallet fem delt på en", og dette er, som vi vet, lik fem:

Gjensidige tall

Nå skal vi bli kjent med veldig interessant emne i matematikk. Det kalles "omvendte tall".

Definisjon. Tilbake til nummeren er et tall som multiplisert meden gir en.

La oss erstatte i denne definisjonen i stedet for variabelen en nummer 5 og prøv å lese definisjonen:

Tilbake til nummer 5 er et tall som multiplisert med 5 gir en.

Er det mulig å finne et tall som, multiplisert med 5, gir ett? Det viser seg at det er mulig. La oss forestille oss fem som en brøk:

Multipliser deretter denne brøken med seg selv, bare bytt om teller og nevner. Med andre ord, la oss multiplisere brøken med seg selv, bare opp ned:

Hva vil skje som følge av dette? Hvis vi fortsetter å løse dette eksemplet, får vi ett:

Dette betyr at inversen av tallet 5 er tallet , siden når du ganger 5 med får du en.

Den gjensidige av et tall kan også finnes for et hvilket som helst annet heltall.

Du kan også finne den gjensidige av en hvilken som helst annen brøk. For å gjøre dette, bare snu den.

Å dele en brøk med et tall

La oss si at vi har en halv pizza:

La oss dele det likt mellom to. Hvor mye pizza får hver person?

Det kan sees at etter å ha delt halvparten av pizzaen, ble det oppnådd to like stykker, som hver utgjør en pizza. Så alle får en pizza.