For fullstendighetens skyld diskuterer vi kort nedenfor begrepene spektrum og spektraltetthet. Anvendelsen av disse viktige konseptene er beskrevet mer detaljert i. Vi bruker dem ikke til tidsserieanalyse i denne boken, så denne delen kan utelates ved første lesning.

Prøvespektrum. Ved bestemmelse av periodogrammet (2.2.5) antas det at frekvensene er harmoniske av grunnfrekvensen. Ved å introdusere spekteret slapper vi av denne antagelsen og lar frekvensen variere kontinuerlig i området 0-0,5 Hz. Definisjonen av et periodogram kan endres som følger:

, , (2.2.7)

hvor kalles prøvespekteret. Som et periodogram kan det brukes til å oppdage og estimere amplitudene til en sinusformet komponent av en ukjent frekvens skjult i støy, og det er faktisk enda mer praktisk, med mindre frekvensen er kjent for å være harmonisk relatert til den lange serien, dvs. Dessuten er det utgangspunktet for teorien spektral analyse, ved å bruke det viktige forholdet gitt i vedlegg A2.1. Dette forholdet etablerer en sammenheng mellom prøvetakingsanalysen av spekteret og estimater av autokovariansfunksjonen:

. (2.2.8)

Så prøvespekteret er cosinus Fourier-transformasjonen av prøveautokovariansfunksjonen.

Område. Periodogrammet og prøvespekteret er praktiske konsepter for å analysere tidsserier dannet av en blanding av sinusoider og cosinus med konstante frekvenser skjult i støy. Imidlertid kan stasjonære tidsserier av typen beskrevet i kap. 2.1 er preget av tilfeldige endringer i frekvens, amplitude og fase. For slike serier svinger prøvespekteret sterkt og tillater ingen rimelig tolkning.

Anta imidlertid at prøvespekteret har blitt beregnet for en tidsserie av observasjoner som er en realisering av en stasjonær normal prosess. Som nevnt ovenfor har ikke en slik prosess noen deterministiske sinusformede eller cosinuskomponenter, men vi kan formelt utføre en Fourier-analyse og få verdiene til , for enhver frekvens . Hvis iterasjoner av observasjoner genereres av en stokastisk prosess, kan vi samle en populasjon av verdier og . Da kan vi finne gjennomsnittet over iterasjoner av lengde , nemlig

. (2.2.9)

For store verdier kan det vises (se for eksempel ) at gjennomsnittsverdien av autokovarians ved gjentatte realisasjoner tenderer til den teoretiske autokovariansen, dvs.

Går vi til grensen i (2.2.9) for , definerer vi effektspekteret som

, . (2.2.10)

Merk at siden

så for at spekteret skal konvergere, må det avta med veksten så raskt at serien (2.2.11) konvergerer. Siden effektspekteret er cosinus Fourier-transformasjonen til autokovariansfunksjonen, er det å kjenne autokovariansfunksjonen matematisk ekvivalent med å kjenne kraftspekteret og omvendt. I det følgende vil vi referere til kraftspekteret ganske enkelt som spekteret.

Ved å integrere (2.2.10) i området fra 0 til 1/2 finner vi variansen til prosessen

. (2.2.12)

Derfor, akkurat som periodogrammet viser hvordan dispersjonen (2.2.6) av en serie bestående av en blanding av sinusoider og cosinus fordeler seg på ulike harmoniske komponenter, viser spekteret hvordan dispersjonen av en stokastisk prosess er fordelt over et kontinuerlig frekvensområde . Kan tolkes som en omtrentlig verdi av spredningen av prosessen i frekvensområdet fra til .

Normalisert spektrum. Noen ganger er det mer praktisk å definere spekteret (2.2.10) ved å bruke autokorrelasjoner i stedet for autokovarianser. Resulterende funksjon

, (2.2.13). Det kan imidlertid vises (se ) at prøvespekteret til en stasjonær tidsserie svinger sterkt rundt det teoretiske spekteret. Den intuitive forklaringen på dette er at samplingsspekteret tilsvarer å bruke et for smalt intervall i frekvensdomenet. Dette er analogt med å bruke et for smalt grupperingsintervall for histogrammet når man estimerer en normal sannsynlighetsfordeling ved å bruke et modifisert eller jevnet estimat

, (2.2.14)

hvor - spesielt utvalgte vekter, kalt korrelasjonsvinduet, kan du øke "båndbredden" til estimatet og få et jevnet spektrumestimat.

På fig. 2.8 vist prøveevaluering spekter av produktpartidata. Det kan sees at spredningen av serien hovedsakelig er konsentrert ved høye frekvenser. Dette skyldes de raske svingningene til den første serien vist i fig. 2.1.

La signalet s(t) er gitt i formen ikke periodisk funksjon, og den eksisterer bare på intervallet ( t 1 ,t 2) (eksempel - enkel puls). La oss velge en vilkårlig tidsperiode T, som inkluderer intervallet ( t 1 ,t 2) (se fig.1).

La oss betegne det periodiske signalet hentet fra s(t), som ( t). Så kan vi skrive Fourier-serien for den

For å komme til funksjonen s(t) følger i uttrykket ( t) la perioden gå til det uendelige. I dette tilfellet, antall harmoniske komponenter med frekvenser w=n 2s/T vil være uendelig stor, vil avstanden mellom dem ha en tendens til null (til en uendelig liten verdi:

amplitudene til komponentene vil også være uendelig små. Derfor er det ikke lenger mulig å snakke om spekteret til et slikt signal, siden spekteret blir kontinuerlig.

Det indre integralet er en funksjon av frekvensen. Det kalles signalets spektraltetthet, eller frekvensresponsen til signalet og betegnes d.v.s.

For generalitet kan grensene for integrasjon settes til å være uendelige, siden det er det samme der s(t) er lik null, og integralet er lik null.

Uttrykket for spektraltettheten kalles den direkte Fourier-transformasjonen. Den inverse Fourier-transformasjonen bestemmer tidsfunksjonen til et signal fra dets spektrale tetthet

de direkte (*) og inverse (**) Fourier-transformasjonene blir samlet referert til som et par Fourier-transformasjoner. Spektral tetthetsmodul

bestemmer amplitude-frekvenskarakteristikken (AFC) til signalet, og dets argument kalt fase-frekvenskarakteristikken (PFC) til signalet. Frekvensresponsen til signalet er en jevn funksjon, og faseresponsen er oddetall.

Betydningen av modulen S(w) er definert som amplituden til et signal (strøm eller spenning) per 1 Hz i et uendelig smalt frekvensbånd som inkluderer frekvensen av interesse w. Dimensjonen er [signal/frekvens].

Energispekteret til signalet. Hvis funksjonen s(t) har Fourier-effekttettheten til signalet ( signalenergi spektral tetthet) bestemmes av uttrykket:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Effektspekteret W() er en reell ikke-negativ jevn funksjon, som vanligvis kalles energispekteret. Effektspekteret, som kvadratet av modulen til signalspektraltettheten, inneholder ikke faseinformasjon om dets frekvenskomponenter, og derfor er det umulig å gjenopprette signalet fra effektspekteret. Dette betyr også at signaler med ulike fasekarakteristikk kan ha samme effektspektra. Spesielt påvirker ikke signalskiftet kraftspekteret. Sistnevnte gjør det mulig å få et uttrykk for energispekteret direkte fra uttrykk (5.2.7). I grensen, for identiske signaler u(t) og v(t) med et skift t 0, har den imaginære delen av spekteret Wuv () en tendens til nullverdier, og den reelle delen - til verdiene til modulen til spekteret. Med fullt tidsmessig sammenfall av signaler har vi:

de. signalenergien er lik integralet til kvadratmodulen av frekvensspekteret - summen av energien til frekvenskomponentene, og er alltid en reell verdi.

For et vilkårlig signal s(t), likheten

vanligvis kalt Parseval-likheten (i matematikk - Plancherel-teoremet, i fysikk - Rayleigh-formelen). Likheten er åpenbar, siden koordinat- og frekvensrepresentasjonene i hovedsak bare er forskjellige matematiske representasjoner av det samme signalet. Tilsvarende for interaksjonsenergien til to signaler:

Fra Parseval-likheten følger invariansen til det skalare produktet av signaler og normen med hensyn til Fourier-transformasjonen:

I en rekke rent praktiske problemer med opptak og overføring av signaler er energispekteret til signalet av meget betydelig betydning. Periodiske signaler oversettes til spektral region i form av Fourier-serier. Vi skriver et periodisk signal med en periode T i form av en Fourier-serie i kompleks form:

Intervallet 0-T inneholder et heltall av perioder av alle integrander av eksponentene, og er lik null, med unntak av eksponenten ved k = -m, for hvilken integralet er T. Følgelig er gjennomsnittsstyrken til en periodisk signal er lik summen av kvadratene til modulene til koeffisientene til Fourier-serien:

Energispekteret til signalet er energifordelingen til grunnsignalene som utgjør det ikke-harmoniske signalet på frekvensaksen. Matematisk er energispekteret til signalet lik kvadratet på modulen til spektralfunksjonen:

Følgelig viser amplitude-frekvensspekteret settet med amplituder til komponentene til de grunnleggende signalene på frekvensaksen, og fase-frekvensspekteret viser settet med faser

Modulen til spektralfunksjonen kalles ofte amplitudespektrum, og argumentet er fasespektrum.

I tillegg er det en invers Fourier-transformasjon som lar deg gjenopprette det opprinnelige signalet, og kjenne dets spektrale funksjon:

Ta for eksempel en rektangulær impuls:

Et annet eksempel på spektre:

Nyquist-frekvens, Kotelnikovs teorem .

Nyquist frekvens - i digital signalbehandling, en frekvens lik halvparten av samplingsfrekvensen. Oppkalt etter Harry Nyquist. Det følger av Kotelnikov-teoremet at ved sampling av et analogt signal vil det ikke være noe informasjonstap bare hvis spekteret (spektraltettheten) (den høyeste frekvensen til nyttesignalet) til signalet er lik eller lavere enn Nyquist-frekvensen. Ellers, når du gjenoppretter det analoge signalet, vil det være en overlapping av spektrale "haler" (frekvenssubstitusjon, frekvensmaskering), og formen på det gjenopprettede signalet vil bli forvrengt. Hvis signalspekteret ikke har noen komponenter over Nyquist-frekvensen, kan det (teoretisk) samples og deretter rekonstrueres uten forvrengning. Faktisk er "digitaliseringen" av et signal (transformasjonen av et analogt signal til et digitalt) assosiert med kvantisering av prøver - hver prøve registreres i form av en digital kode med endelig bitdybde, som et resultat av at kvantiseringsfeil (avrunding) legges til prøvene, under visse forhold betraktet som "kvantiseringsstøy".

Reelle signaler med begrenset varighet har alltid et uendelig bredt spekter, som avtar mer eller mindre raskt med økende frekvens. Derfor fører sampling av signaler alltid til tap av informasjon (forvrengning av bølgeformen under sampling-gjenoppretting), uansett hvor høy samplingsfrekvensen er. Ved den valgte samplingshastigheten kan forvrengning reduseres ved å undertrykke (pre-sampling) analoge signalspektrale komponenter over Nyquist-frekvensen, som krever et filter av meget høy orden for å unngå aliasing. Den praktiske implementeringen av et slikt filter er svært komplisert, siden amplitude-frekvenskarakteristikkene til filtrene ikke er rektangulære, men jevne, og et visst overgangsfrekvensbånd dannes mellom passbåndet og undertrykkelsesbåndet. Derfor velges samplingsfrekvensen med en margin, for eksempel i lyd-CDer brukes en samplingsfrekvens på 44100 Hz, mens den høyeste frekvensen i spekteret av lydsignaler anses å være 20 000 Hz. Nyquists frekvensmargin på 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz unngår frekvenssubstitusjon ved bruk av det implementerte lavordensfilteret.

Kotelnikovs teorem

For å gjenopprette det opprinnelige kontinuerlige signalet fra et samplet signal med små forvrengninger (feil), er det nødvendig å rasjonelt velge samplingstrinnet. Derfor, når du konverterer et analogt signal til et diskret, oppstår nødvendigvis spørsmålet om størrelsen på samplingstrinnet.. Intuitivt er det ikke vanskelig å forstå følgende idé. Hvis det analoge signalet har et lavfrekvent spektrum begrenset av en øvre frekvens Fe (dvs. funksjonen u(t) har form av en jevnt varierende kurve, uten skarpe endringer i amplitude), så er det usannsynlig at denne funksjonen endrer seg vesentlig over et visst lite samplingstidsintervall.amplitude. Det er ganske åpenbart at nøyaktigheten av å gjenopprette et analogt signal fra en sekvens av dets samples avhenger av verdien av samplingsintervallet. Jo kortere det er, jo mindre vil u(t)-funksjonen avvike fra en jevn kurve som går gjennom prøven. poeng. Men med en reduksjon i prøvetakingsintervallet øker kompleksiteten og volumet til prosessutstyr betydelig. Med et tilstrekkelig stort samplingsintervall øker sannsynligheten for forvrengning eller tap av informasjon når det analoge signalet gjenopprettes. Den optimale verdien av diskretiseringsintervallet fastsettes av Kotelnikov-teoremet (andre navn er sampling-teoremet, K. Shannon-setningen, X. Nyquist-setningen: teoremet ble først oppdaget i matematikk av O. Cauchy, og deretter beskrevet igjen av D. Carson og R. Hartley), bevist av ham i 1933 V. A. Kotelnikovs teorem har en viktig teoretisk og praktisk verdi: Lar deg prøve det analoge signalet korrekt og bestemmer beste måten dets gjenvinning ved mottakssiden i henhold til referanseverdiene.

I følge en av de mest kjente og enkle tolkningene av Kotelnikov-teoremet, kan et vilkårlig signal u(t), hvis spektrum er begrenset av en viss frekvens Fe, fullstendig gjenopprettes fra sekvensen av referanseverdiene som følger med et tidsintervall

Samplingsintervallet og frekvensen Fe(1) omtales i radioteknikk ofte som henholdsvis intervallet og Nyquist-frekvensen. Analytisk er Kotelnikov-teoremet representert av serien

hvor k er prøvenummeret; - signalverdi ved referansepunkter - øvre frekvens av signalspekteret.

Frekvensrepresentasjon av diskrete signaler .

De fleste signaler kan representeres som en Fourier-serie:

Funksjonen er ikke periodisk, så den kan ikke utvides i en Fourier-serie. På den annen side er funksjonen, på grunn av dens ubegrensede varighet, ikke integrerbar og kan derfor ikke representeres av Fourier-integralet. For å unngå disse vanskelighetene introduseres en hjelpefunksjon, som sammenfaller med funksjonen på intervallet og er lik null utenfor dette intervallet:

(5.15)

Funksjonen er integrerbar og det er en direkte Fourier-transformasjon for den (Fourier-integral):

(5.16)

kraftspektral tetthet tilfeldig signal (eller bare spektral tetthet ) kalles en funksjon av formen:

(5.17)

Spektral tetthet er en funksjon som karakteriserer fordelingen av gjennomsnittsverdiene til kvadratene til amplitudene til signalovertonene. Spektral tetthet har følgende egenskaper:

1. Jo raskere den stasjonære tilfeldige prosessen endres, desto bredere er grafen .

2. Individuelle topper i spektraltetthetsgrafen indikerer tilstedeværelsen av periodiske komponenter i et tilfeldig signal.

3. Spektraltettheten er en jevn funksjon:

(5.18)

Spektraltettheten er relatert til signalspredningen ved følgende korrespondanse:

(5.19)

Eksperimentelt blir spektraltettheten bestemt (beregnet) i henhold til følgende skjema:

Ris. 5.6.

Spektraltettheten er relatert til korrelasjonsfunksjonen følgende uttrykk(ifølge Khinchin-Wiener-teoremet):

(5.20)

(5.21)

Hvis vi utvider faktorene og bruker Euler-formelen og tar i betraktning at , og er partallsfunksjoner, og er en oddetallsfunksjon, kan uttrykk (5.20), (5.21) transformeres til følgende form:

(5.22)

(5.23)

Uttrykk (5.23), (5.24) brukes i praktiske beregninger. Det er lett å se at ved , uttrykk (5.24) bestemmer variansen til en stasjonær tilfeldig prosess:

(5.24)

Relasjonene som forbinder korrelasjonsfunksjonen og spektraltettheten har alle egenskapene som ligger i Fourier-transformasjonen og bestemmer følgende komparative egenskaper: jo bredere grafen er, jo smalere grafen, og omvendt, jo raskere avtar funksjonen, jo langsommere funksjon. avtar. Dette forholdet er illustrert av grafen i fig. (5.7), (5.8)

Ris. 5.7.

Ris. 5.8.

Linje 1 i begge figurene tilsvarer et sakte varierende tilfeldig signal, hvis spektrum domineres av lavfrekvente harmoniske. Linjer 2 tilsvarer et raskt skiftende signal, hvis spektrum domineres av høyfrekvente harmoniske.

Hvis et tilfeldig signal endrer seg veldig kraftig i tid og det praktisk talt ikke er noen korrelasjon mellom dets tidligere og etterfølgende verdier, har korrelasjonsfunksjonen form av en deltafunksjon (linje 3). Spektraltetthetsplottet i dette tilfellet er en horisontal linje i området. Dette indikerer at amplitudene til harmoniske er de samme over hele frekvensområdet. Et slikt signal kalles hvit støy (i analogi med hvitt lys, der, som kjent, intensiteten til alle komponenter er den samme).

Konseptet "hvit støy" er en matematisk abstraksjon. Fysisk er signaler i form av hvit støy ikke mulig, siden et uendelig bredt spekter tilsvarer en uendelig stor spredning, og følgelig en uendelig stor effekt. Imidlertid kan ofte virkelige systemer med et begrenset spektrum omtrent betraktes som hvit støy. Denne forenklingen er berettiget i tilfeller der signalspekteret er mye bredere enn båndbredden til systemet som påvirkes av signalet.

Tenk på den såkalte energiformen til Fourier-integralet. I kapittel 5 ble det presentert formler (7.15) og (7.16), som gir overgangen fra tidsfunksjonen til Fourierbildet og omvendt. Hvis en tilfeldig funksjon av tiden x (s) vurderes, kan disse formlene skrives på skjemaet for den

og integrere over alt

erstatt med uttrykk (11.54):

Verdien i hakeparenteser (11,57), som det er lett å se, er den opprinnelige funksjonen til tiden (11,55). Derfor er resultatet den såkalte Rayleigh-formelen (Parsevals teorem), som tilsvarer energiformen til Fourier-integralet:

Høyre side av (11.58) og (11.39) er en mengde proporsjonal med energien til prosessen som vurderes. Så, for eksempel, hvis vi vurderer strømmen som flyter gjennom en viss motstand med motstand K, vil energien som frigjøres i denne motstanden over tid være

Formler (11.58) og (11.59) og uttrykker energiformen til Fourier-integralet.

Imidlertid er disse formlene upraktiske fordi for de fleste prosesser har energien også en tendens til uendelig over et uendelig tidsintervall. Derfor er det mer praktisk å ikke forholde seg til energi, men med den gjennomsnittlige kraften til prosessen, som vil oppnås hvis energien deles med observasjonsintervallet. Da kan formel (11.58) representeres som

Vi introduserer notasjonen

kalles spektraltettheten. viktig

I henhold til dens fysiske betydning er spektraltettheten en mengde som er proporsjonal med den gjennomsnittlige kraften til prosessen i frekvensområdet fra co til co + d?co.

I noen tilfeller vurderes spektraltettheten bare for positive frekvenser, og dobler den samtidig, noe som kan gjøres, siden spektraltettheten er en jevn funksjon av frekvensen. Da skal for eksempel formel (11.62) skrives som

- spektral tetthet for positive frekvenser.

siden i dette tilfellet blir formlene mer symmetriske.

En svært viktig omstendighet er at spektraltettheten og korrelasjonsfunksjonen til tilfeldige prosesser er gjensidige Fourier-transformer, dvs. de er forbundet med integrerte avhengigheter av typen (11.54) og (11.55). Denne egenskapen er gitt uten bevis.

Dermed kan følgende formler skrives:

Siden spektraltettheten og korrelasjonsfunksjonen til og med er reelle funksjoner, presenteres noen ganger formler (11.65) og (11.66) i en enklere form;

)

Dette følger av at likestillingene finner sted:

og de imaginære delene kan forkastes etter substitusjon i (11.65) og (11.66), siden de virkelige funksjonene er til venstre.

ligger i det faktum at jo smalere spektraltetthetsgrafen (fig. 11.16, a), dvs. jo lavere frekvensene er representert i spektraltettheten, jo langsommere endres x-verdien over tid. Tvert imot, jo bredere grafen for spektraltetthet (fig. 11.16, b), dvs. jo større frekvenser som er representert i spektraltettheten, er tynnere struktur funksjon x(r) og jo raskere endringene.r i tid.

Som det fremgår av denne betraktningen, oppnås forholdet mellom typen spektral tetthet og typen tidsfunksjon omvendt sammenlignet med forholdet mellom korrelasjonsfunksjonen og selve prosessen (fig. 11.14). Det følger av dette at en smalere graf av korrelasjonsfunksjonen skal tilsvare en bredere graf av spektraltettheten og omvendt.

Og 8 (co). Disse funksjonene, i motsetning til impulsfunksjonene omtalt i kapittel 4, er jevne. Dette betyr at funksjonen 8(m) er plassert symmetrisk i forhold til origo og kan defineres som følger;

En lignende definisjon gjelder funksjon 8(co). Noen ganger blir den normaliserte spektraltettheten introdusert i betraktning, som er Fourier-bildet av den normaliserte korrelasjonsfunksjonen (11,52):

og derfor

hvor O er spredningen.

Gjensidige spektrale tettheter er også et mål på forholdet mellom to tilfeldige variabler. I fravær av kommunikasjon er de gjensidige spektrale tetthetene lik null.

La oss se på noen eksempler.

Denne funksjonen er vist i fig. 11.17 a. Fourier-bildet som tilsvarer det på grunnlag av tabell. 11.3 vil

Spekteret til prosessen består av en enkelt topp av impulsfunksjonstypen lokalisert ved koordinatenes origo (fig. 11.17, b).

Dette betyr at all kraften til prosessen under vurdering er konsentrert til kulefrekvensen, som er å forvente.

Denne funksjonen er vist i fig. 11.18, a, I samsvar med tabellen. 11,3 vil spektraltettheten være

3. For en periodisk funksjon utvidet i en Fourier-serie

i tillegg til den periodiske delen vil inneholde en ikke-periodisk komponent, så vil spekteret til denne funksjonen inneholde, sammen med individuelle linjer av impulsfunksjonstypen, også en kontinuerlig del (fig. 11.20). Individuelle topper på spektraltetthetsgrafen indikerer tilstedeværelsen av skjulte uregelmessigheter i funksjonen som studeres.

ikke inneholder en periodisk del, så vil den ha et kontinuerlig spektrum uten uttalte topper.

La oss vurdere noen stasjonære tilfeldige prosesser som er viktige i studiet av kontrollsystemer. Vi vil kun vurdere sentrert

I dette tilfellet vil middelkvadraten til den tilfeldige variabelen være lik variansen:

å ta hensyn til den konstante forskyvningen i kontrollsystemet er elementært.

(Fig. 11.21, a):

Et eksempel på en slik prosess er den termiske støyen til en motstand, som gir nivået på spektraltettheten til den kaotiske spenningen over denne motstanden

absolutt temperatur.

Basert på (11.68) tilsvarer spektraltettheten (11.71) korrelasjonsfunksjonen

det er ingen korrelasjon mellom påfølgende og tidligere verdier av den tilfeldige variabelen x.

og dermed uendelig kraft.

For å få en fysisk reell prosess er det praktisk å introdusere konseptet hvit støy med begrenset spektral tetthet (fig. 11.21, b):

Båndbredde for spektral tetthet.

Denne prosessen tilsvarer korrelasjonsfunksjonen

RMS-verdien til en tilfeldig variabel er proporsjonal med kvadratroten av frekvensbåndet:

Det er ofte mer praktisk å tilnærme avhengighet (11,73) med en jevn kurve. Til dette formålet kan du for eksempel bruke uttrykket

En faktor som bestemmer båndbredden.

Prosessen nærmer seg hvit støy, så

når det gjelder disse frekvensene

Integrasjon (11.77) over alle frekvenser gjør det mulig å bestemme spredningen:

Derfor kan spektraltettheten (11,77) skrives i en annen form:

Korrelasjonsfunksjon for denne prosessen

Korrelasjonsfunksjonen er også vist i fig. 11.21, c.

Overgangen fra en verdi til en annen er øyeblikkelig. Tidsintervallene følger Poisson-fordelingsloven (11.4).

En graf av denne typen oppnås for eksempel i den første tilnærmingen når man sporer et bevegelig mål med en radar. En konstant hastighetsverdi tilsvarer bevegelsen til målet i en rett linje. En endring i tegnet eller størrelsen på farten tilsvarer målets manøver.

Vil være gjennomsnittsverdien av tidsintervallet der vinkelhastigheten forblir konstant. For radar vil denne verdien være den gjennomsnittlige tiden målet beveger seg i en rett linje.

For å bestemme korrelasjonsfunksjonen er det nødvendig å finne gjennomsnittsverdien av produktet

Når du finner dette arbeidet, kan det være to tilfeller.

tilhører samme intervall. Deretter middelverdien av produktet vinkelhastigheter vil være lik middelkvadrat for vinkelhastigheten eller spredningen:

tilhører ulike intervaller. Da vil gjennomsnittsverdien av produktet av hastigheter være lik kulen:

siden produkter med positive og negative fortegn vil være like sannsynlige. Korrelasjonsfunksjonen vil være lik

Sannsynligheten for å finne dem i forskjellige intervaller.

Fraværssannsynlighet

For tidsintervall

siden disse hendelsene er uavhengige.

Som et resultat oppnår vi for et begrenset intervall Am

Modulens fortegnet ved m settes fordi uttrykket (11.80) må tilsvare en jevn funksjon. Uttrykket for korrelasjonsfunksjonen faller sammen med (11,79). Derfor må spektraltettheten til prosessen under vurdering falle sammen med (11,78):

Merk at, i motsetning til (11.78), er formelen for spektraltetthet (11.81) skrevet for vinkelhastigheten til prosessen (fig. 11.22). Hvis vi beveger oss fra vinkelhastighet til vinkel, får vi en ikke-stasjonær tilfeldig prosess med en varians som tenderer mot uendelig. Imidlertid har i de fleste tilfeller servosystemet, ved inngangen til hvilken denne prosessen fungerer, astaticisme av første og høyere orden. Derfor er den første feilkoeffisienten c0 til servosystemet lik null, og dens feil vil bare bli bestemt av inngangshastigheten og deriverte av høyere ordener, med hensyn til hvilke prosessen er stasjonær. Dette gjør det mulig å bruke spektraltettheten (11,81) for å beregne den dynamiske feilen til sporingssystemet.

3. Uregelmessig pitching. Noen gjenstander, som skip, fly og andre, som er under påvirkning av uregelmessige forstyrrelser (uregelmessige bølger, atmosfæriske forstyrrelser, etc.), beveger seg i henhold til en tilfeldig lov. forstyrrelsesfrekvenser som er nær deres naturlige oscillasjonsfrekvens. Den resulterende tilfeldige bevegelsen av objektet kalles uregelmessig rulling, i motsetning til vanlig rulling, som er en periodisk bevegelse.

Et typisk diagram over uregelmessig pitching er vist i fig. 11.23. Det kan sees fra betraktningen av denne grafen at, til tross for den tilfeldige naturen, dette

bevegelse er ganske nær periodisk.

I praksis blir korrelasjonsfunksjonen til uregelmessig rulling ofte tilnærmet av uttrykket

Spredning.

er vanligvis funnet ved å behandle eksperimentelle data (felttester).

Korrelasjonsfunksjonen (11.82) tilsvarer spektraltettheten (se tabell 11.3)

Ulempen med tilnærming (11.82) er at denne formelen kan beskrive oppførselen til en hvilken som helst mengde uregelmessig rulling (vinkel, vinkelhastighet eller vinkelakselerasjon). I dette tilfellet vil verdien av O tilsvare spredningen av vinkelen, hastigheten eller akselerasjon.

Hvis vi for eksempel skriver formel (11.82) for en vinkel, vil denne prosessen tilsvare en uregelmessig damask med en spredning for vinkelhastigheter som tenderer til uendelig, dvs. dette vil være en fysisk uvirkelig prosess.

En mer praktisk formel for å tilnærme stigningsvinkelen

Denne tilnærmingen tilsvarer imidlertid også en fysisk urealistisk prosess, siden spredningen av vinkelakselerasjonen viser seg å ha en tendens til uendelig.

For å oppnå en begrenset spredning av vinkelakselerasjon, enda mer komplekse formler tilnærminger, som ikke er gitt her.

Typiske kurver for korrelasjonsfunksjonen og den spektrale tettheten av uregelmessig rulling er vist i fig. 11.24.

1. Signaler og spektre. Teoretisk grunnlag for digital kommunikasjon

1. Signaler og spektre

1.1. Signalbehandling i digital kommunikasjon

1.1.1. Hvorfor "digital"

Hvorfor brukes "numre" i militære og kommersielle kommunikasjonssystemer? Det er mange grunner. Den største fordelen med denne tilnærmingen er den enkle rekonstruksjonen av digitale signaler sammenlignet med analoge. Tenk på fig. 1.1, som viser en ideell binær digital puls som forplanter seg gjennom en datakanal. Bølgeformen påvirkes av to hovedmekanismer: (1) siden alle kanaler og overføringslinjer har en ikke-ideell frekvensrespons, blir den ideelle pulsen forvrengt; og (2) uønsket elektrisk støy eller annen ekstern interferens forvrenger bølgeformen ytterligere. Jo lengre kanalen er, jo mer betydelig forvrenger disse mekanismene impulsen (fig. 1.1). Mens den overførte pulsen fortsatt kan detekteres pålitelig (før den degraderes til en tvetydig tilstand), blir pulsen forsterket av en digital forsterker, og gjenoppretter sin opprinnelige ideelle form. Momentumet blir "gjenfødt" eller gjenopprettet. Regenerative repeatere plassert i kommunikasjonskanalen i en viss avstand fra hverandre er ansvarlige for signalgjenoppretting.

Digitale kanaler er mindre utsatt for forvrengning og interferens enn analoge kanaler. Fordi binære digitale kanaler bare produserer et meningsfylt signal når de opererer i en av to tilstander - på eller av - må forstyrrelsen være stor nok til å flytte kanalens driftspunkt fra en tilstand til den andre. Å ha bare to tilstander letter signalgjenoppretting og forhindrer derfor akkumulering av støy eller andre forstyrrelser under overføring. Analoge signaler er derimot ikke to-tilstandssignaler; de kan ta et uendelig antall skjemaer. I analoge kanaler kan selv en liten forstyrrelse ugjenkjennelig forvrenge signalet. Når et analogt signal først er blitt forvrengt, kan ikke forstyrrelsen fjernes ved forsterkning. Siden støyakkumulering er uløselig knyttet til analoge signaler, kan de ikke reproduseres perfekt. Med digital teknologi gjør den svært lave feilraten pluss bruk av feildeteksjon og feilrettingsprosedyrer det mulig høy presisjon signal. Det gjenstår bare å merke seg at slike prosedyrer ikke er tilgjengelige med analoge teknologier.

Fig.1.1. Forvrengning og gjenoppretting av momentum

Det er andre viktige fordeler med digital kommunikasjon. Digitale kanaler er mer pålitelige og kan produseres til lavere priser enn analoge kanaler. I tillegg digitalt programvare tillater mer fleksibel implementering enn analog (f.eks. mikroprosessorer, digital svitsjing og storskala integrerte kretser (LSI)). Bruken av digitale signaler og tidsdelt multipleksing (TDM) er enklere enn analoge signaler og frekvensdelingsmultipleksing (FDM). Ved sending og veksling Forskjellige typer digitale signaler (data, telegraf, telefon, fjernsyn) kan betraktes som identiske: litt er tross alt litt. I tillegg, for enkel veksling og behandling, kan digitale meldinger grupperes i autonome enheter kalt pakker. Digitale teknologier inneholder naturligvis funksjoner som beskytter mot interferens og signalundertrykkelse, eller gir kryptering eller personvern. (Slike teknologier er omtalt i kapittel 12 og 14.) I tillegg er kommunikasjon hovedsakelig mellom to datamaskiner, eller mellom en datamaskin og digitale enheter eller en terminal. Slike digitale terminaler er bedre (og mer naturlig!) betjent av digitale kommunikasjonskanaler.

Hva betaler vi for fordelene med digitale kommunikasjonssystemer? Digitale systemer krever mer prosessering enn analoge systemer. I tillegg krever digitale systemer en betydelig mengde ressurser som skal allokeres til synkronisering på ulike nivåer (se kapittel 10). Analoge systemer er derimot lettere å synkronisere. En annen ulempe med digitale kommunikasjonssystemer er at kvalitetsforringelsen er av terskelkarakter. Hvis signal-til-støy-forholdet faller under en viss terskel, kan kvaliteten på tjenesten plutselig endre seg fra veldig god til veldig dårlig. I analoge systemer skjer imidlertid nedbrytningen jevnere.

1.1.2. Typisk boksdiagram og grunnleggende transformasjoner

Det funksjonelle blokkskjemaet vist i fig. 1.2 illustrerer signalutbredelse og prosesseringstrinn i et typisk digitalt kommunikasjonssystem (DCS). De øvre blokkene – formatering, kildekoding, kryptering, kanalkoding, multipleksing, pulsmodulasjon, båndpassmodulasjon, spredt spektrum og multippel tilgang – reflekterer signaltransformasjoner på vei fra kilde til sender. De nedre blokkene i diagrammet er signaltransformasjoner på vei fra mottakeren til mottakeren av informasjon, og faktisk er de motsatte av de øvre blokkene. Modulasjons- og demodulasjons-/deteksjonsenhetene blir samlet referert til som et modem. Begrepet "modem" kombinerer ofte flere signalbehandlingstrinn, vist i fig. 1,2; i dette tilfellet kan modemet betraktes som "hjernen" i systemet. Senderen og mottakeren kan sees på som "musklene" i systemet. For trådløse applikasjoner består en sender av en radiofrekvens (RF) oppskaleringskrets, en effektforsterker og en antenne, og en mottaker består av en antenne og en lavstøyforsterker (LNA). Omvendt frekvensreduksjon utføres ved utgangen til mottakeren og/eller demodulatoren.

På fig. 1.2 illustrerer samsvaret mellom blokkene til den øvre (sende) og nedre (mottakende) del av systemet. Signalbehandlingstrinnene som finner sted i senderen er hovedsakelig det motsatte av mottakertrinnene. På fig. 1.2 kildeinformasjonen konverteres til binære sifre (bits); bitene blir deretter gruppert i digitale meldinger eller meldingstegn. Hvert slikt tegn (hvor ) kan betraktes som et element i et begrenset alfabet som inneholder M elementer. Derfor, for M=2 meldingssymbolet er binært (det vil si at det består av en bit). Selv om binære tegn kan klassifiseres som M-ary (med M=2), vanligvis navnet " M-ary" brukes for saker M>2; Dette betyr at slike symboler består av en sekvens av to eller mer biter. (Sammenlign det lignende endelige alfabetet til DCS-systemer med det vi har i analoge systemer når meldingssignalet er elementet et uendelig antall mulige signaler.) For systemer som bruker kanalkoding (feilrettingskoder), konverteres en sekvens av meldingssymboler til en sekvens av kanalsymboler (kodesymboler), og hvert kanalsymbol er betegnet med . Siden meldingssymboler eller kanalsymboler kan bestå av en enkelt bit eller en gruppe av biter, kalles en sekvens av slike symboler en bitstrøm (Figur 1.2).

Tenk på nøkkelblokkene for signalbehandling vist i fig. 1,2; bare formaterings-, modulasjons-, demodulerings-/deteksjons- og synkroniseringstrinnene er nødvendige for DCS-systemer.

Formatering konverterer den opprinnelige informasjonen til biter, og sikrer dermed at informasjons- og signalbehandlingsfunksjonene er kompatible med DCS-systemet. Fra dette punktet i figuren og frem til pulsmodulasjonsblokken forblir informasjonen i form av en bitstrøm.

Ris. 1.2. Blokkskjema over et typisk digitalt kommunikasjonssystem

Modulering er prosessen der meldingssymboler eller kanalsymboler (hvis kanalkoding brukes) konverteres til signaler som er kompatible med kravene som stilles av datakanalen. Pulsmodulasjon er et annet nødvendig trinn, siden hvert symbol som må overføres først må konverteres fra binær representasjon(spenningsnivåer representerer binære 0-er og 1-er) til en smalbåndsbølgeform. Begrepet "smalbånd" (basisbånd) definerer et signal hvis spektrum starter fra (eller nær) den konstante komponenten og slutter med en endelig verdi (vanligvis ikke mer enn noen få megahertz). PCM-blokken inkluderer typisk filtrering for å minimere overføringsbåndbredden. Når pulsmodulasjon brukes på binære symboler, kalles det resulterende binære signalet et PCM-kodet signal (pulskodemodulasjon). Det finnes flere typer PCM-signaler (beskrevet i kapittel 2); i telefoniapplikasjoner blir disse signalene ofte referert til som kanalkoder. Når pulsmodulasjon brukes på ikke-binære symboler, blir det resulterende signalet referert til som M-ær pulsmodulert. Det finnes flere typer slike signaler, som også er beskrevet i kapittel 2, som fokuserer på puls-amplitudemodulasjon (PAM). Etter pulsmodulering har hvert meldingssymbol eller kanalsymbol form av et båndpasssignal, der . I enhver elektronisk implementering er bitstrømmen som går foran pulsmodulasjonen representert av spenningsnivåer. Spørsmålet kan oppstå hvorfor det er en egen blokk for pulsmodulasjon, når faktisk spenningsnivåene for binære nuller og enere allerede kan betraktes som ideelle rektangulære pulser, hvis varighet er lik overføringstiden til en bit? Det er to viktige forskjeller mellom disse spenningsnivåene og båndpasssignalene som brukes til modulering. For det første tillater pulsmodulasjonsblokken bruk av binære og M-ary signaler. Avsnitt 2.8.2 beskriver de ulike nyttige parameterne for disse signaltypene. For det andre genererer filtreringen utført i pulsmodulasjonsblokken pulser hvis varighet er lengre enn overføringstiden til en bit. Filtrering lar deg bruke lengre pulser; således blir pulsene spredt over tilstøtende bittidsluker. Denne prosessen kalles noen ganger pulsforming; den brukes til å holde overføringsbåndbredden innenfor et ønsket område av spekteret.

For applikasjoner som involverer radiofrekvensoverføring, er det neste viktige trinnet båndpassmodulasjon; det er nødvendig når overføringsmediet ikke støtter forplantningen av pulsede signaler. I slike tilfeller krever miljøet et båndpasssignal, hvor . Begrepet "båndpass" brukes for å reflektere at et smalbåndssignal blir forskjøvet av en bærebølge ved en frekvens som er mye større enn spektralkomponentene. Når signalet forplanter seg gjennom kanalen, påvirkes det av kanalens egenskaper, som kan uttrykkes i form av impulsresponsen (se avsnitt 1.6.1). Dessuten, i ulike punkter langs signalbanen forvrenger ytterligere tilfeldig støy det mottatte signalet, så mottak må uttrykkes i form av en korrupt versjon av signalet som kommer fra senderen. Det mottatte signalet kan uttrykkes som følger:

hvor "*"-tegnet representerer konvolusjonsoperasjonen (se vedlegg A) og er støyprosessen (se avsnitt 1.5.5).

I motsatt retning gir mottakerfronten og/eller demodulatoren en frekvensreduksjon for hvert båndpasssignal. Som forberedelse til deteksjon rekonstruerer demodulatoren smalbåndssignalet som en optimal konvolutt. Vanligvis er flere filtre knyttet til mottakeren og demodulatoren - filtrering gjøres for å fjerne uønskede høyfrekvente komponenter (under konvertering av et båndpasssignal til smalbånd) og pulsforming. Utjevning kan beskrives som en type filtrering som brukes i demodulatoren (eller etter demodulatoren) for å fjerne eventuelle signaldegraderingseffekter som kan være forårsaket av kanalen. Utjevning er nødvendig hvis kanalens impulsrespons er så dårlig at det mottatte signalet blir kraftig forvrengt. En equalizer (equalizer) er implementert for å kompensere for (dvs. fjerne eller dempe) enhver signalforvrengning forårsaket av den ikke-ideelle responsen. Til slutt konverterer samplingstrinnet den formede pulsen til en prøve for å gjenopprette (omtrent) kanalsymbolet eller meldingssymbolet (hvis ingen kanalkoding brukes). Noen forfattere bruker begrepene "demodulering" og "deteksjon" om hverandre. I denne boken refererer demodulasjon til gjenoppretting av et signal (båndbreddepuls), og deteksjon refererer til å ta en beslutning om den digitale verdien til det signalet.

De gjenværende stadiene av signalbehandling i modemet er valgfrie og er rettet mot å møte spesifikke systembehov. Kildekoding er konvertering av et analogt signal til digitalt (for analoge kilder) og fjerning av redundant (unødvendig) informasjon. Merk at et typisk DCS-system kan bruke enten kildekoding (for å digitalisere og komprimere bakgrunnsinformasjon), eller en enklere formateringskonvertering (kun for digitalisering). Systemet kan ikke bruke både kildekoding og formatering på samme tid, siden førstnevnte allerede inkluderer det nødvendige trinnet med å digitalisere informasjonen. Kryptering, som brukes for å sikre kommunikasjonshemmeligheten, hindrer en uautorisert bruker i å forstå meldingen og introdusere falske meldinger i systemet. Kanalkoding ved en gitt datahastighet kan redusere PE-feilsannsynligheten eller redusere signal-til-støy-forholdet som kreves for å oppnå den ønskede PE-sannsynligheten ved å øke overføringsbåndbredden eller komplisere dekoderen. Multipleksing og flertilgangsprosedyrer kombinerer signaler som kan ha forskjellige egenskaper eller kan komme fra forskjellige kilder slik at de kan dele noen av kommunikasjonsressursene (f.eks. spektrum, tid). Frekvensspredning kan gi et signal som er relativt immun mot forstyrrelser (både naturlig og tilsiktet) og kan brukes til å øke personvernet til de kommuniserende partene. Det er også en verdifull teknologi som brukes for multitilgang.

Signalbehandlingsblokker vist i fig. 1.2 representerer et typisk diagram av et digitalt kommunikasjonssystem; Imidlertid er disse blokkene noen ganger implementert i en litt annen rekkefølge. For eksempel kan multipleksing forekomme før kanalkoding eller modulasjon, eller, i en totrinns modulasjonsprosess (underbærebølge og bærebølge), kan den forekomme mellom to modulasjonstrinn. Tilsvarende kan frekvensutvidelsesblokken være plassert på forskjellige steder i den øverste raden i fig. 1,2; den nøyaktige plasseringen avhenger av den spesifikke teknologien som brukes. Synkronisering og dets nøkkelelement, synkroniseringssignalet, er involvert i alle stadier av signalbehandlingen i DCS-systemet. For enkelhets skyld kan synkroniseringsblokken i fig. 1.2 vises uten hensyn til noe, selv om han faktisk deltar i reguleringen av operasjoner i nesten hver blokk vist på figuren.

På fig. Figur 1.3 viser h(som kan tenkes på som signaltransformasjoner) delt inn i følgende ni grupper.

Fig.1.3. Store digitale kommunikasjonstransformasjoner

1. Formatering og koding av kilden

2. Smalbåndssignalering

3. Båndbreddesignalering

4. Utjevning

5. Kanalkoding

6. Forsegling og flergangstilgang

7. Spredt spektrum

8. Kryptering

9. Synkronisering

På fig. 1.3 Smalbåndssignaleringsblokk inneholder en liste over binære alternativer ved bruk av PCM-modulasjon eller linjekoder. Denne blokken spesifiserer også en ikke-binær kategori av signaler som kalles M-ær pulsmodulasjon. En annen transformasjon i fig. 1.3, merket Bandwidth signaling, er delt inn i to hovedblokker, koherent og ikke-koherent. Demodulering utføres vanligvis ved hjelp av referansesignaler. Ved å bruke kjente signaler som et mål på alle signalparametere (spesielt fase), sies demodulasjonsprosessen å være koherent; når faseinformasjon ikke brukes, sies prosessen å være usammenhengende.

Kanalkoding er opptatt av teknikker som brukes for å forbedre digitale signaler, som som et resultat blir mindre sårbare for degraderingsfaktorer som støy, fading og signalundertrykkelse. På fig. 1.3 er kanalkoding delt inn i to blokker, en bølgeformkodingsblokk og en strukturert sekvensblokk. Bølgeformkoding innebærer bruk av nye signaler som gir forbedret deteksjonskvalitet i forhold til det originale signalet. Strukturerte sekvenser inkluderer bruk av tilleggsbiter for å finne ut om det er en feil forårsaket av støy i kanalen. En slik teknologi, automatisk gjentatt forespørsel (ARQ), gjenkjenner ganske enkelt forekomsten av en feil og ber avsenderen om å sende meldingen på nytt; en annen teknikk, kjent som forward error correction (FEC), tillater automatisk feilkorrigering (med visse begrensninger). Når vi vurderer strukturerte sekvenser, vil vi diskutere tre vanlige metoder - blokk-, konvolusjons- og turbokoding.

I digital kommunikasjon involverer timing beregning av både tid og frekvens. Som vist i fig. 1.3 utføres synkronisering på fem nivåer. Referansefrekvensene til koherente systemer må synkroniseres med bærebølgen (og muligens underbærebølgen) i frekvens og fase. For ikke-koherente systemer er fasesynkronisering ikke nødvendig. Den grunnleggende tidssynkroniseringsprosessen er symbolsynkronisering (eller bitsynkronisering for binære symboler). Demodulatoren og detektoren må vite når de skal starte og avslutte symbol- og bitdeteksjonsprosessen; synkroniseringsfeil fører til en reduksjon i deteksjonseffektivitet. Det neste nivået av tidssynkronisering, rammesynkronisering, gjør at meldinger kan omorganiseres. OG siste nivå, nettverkssynkronisering, lar deg koordinere med andre brukere for å bruke ressursene effektivt.

1.1.3. Grunnleggende digital kommunikasjonsterminologi

Følgende er noen av hovedbegrepene som vanligvis brukes innen digital kommunikasjon.

En kilde til informasjon(informasjonskilde). En enhet som overfører informasjon gjennom DCS-systemet. Informasjonskilden kan være analog eller diskret. Utgangen fra en analog kilde kan ta på seg hvilken som helst verdi fra et kontinuerlig område av amplituder, mens utgangen fra en diskret informasjonskilde kan ta verdier fra et begrenset sett med amplituder. Analoge informasjonskilder konverteres til digitale gjennom prøvetaking eller kvantisering. Sampling og kvantiseringsmetoder kalt kildeformatering og koding (Figur 1.3).

Tekstmelding(tekstmelding). Sekvensen av tegn (fig. 1.4, EN). Ved digital dataoverføring er en melding en sekvens av tall eller tegn som tilhører et begrenset tegnsett eller alfabet.

Skilt(Karakter). Et element i alfabetet eller tegnsettet (fig. 1.4, b). Tegnene kan tilordnes til en sekvens av binære sifre. Det er flere standardiserte koder som brukes for tegnkoding, inkludert ASCII (American Standard Code for Information Interchange), EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code), Hollerith (Hollerith-kode), Baudot-kode, Murray-kode og morsekode.

Fig.1.4. Begrepsillustrasjon: a) tekstmeldinger; b) symboler;

c) bitstrøm (7-bits ASCII-kode); d) symboler, ;

e) digitalt båndpasssignal

binært siffer(binært siffer) (bit) (bit). Den grunnleggende informasjonsenheten for alle digitale systemer. Begrepet "bit" brukes også som en informasjonsenhet, som er beskrevet i kapittel 9.

bitstrøm(bitstrøm). En sekvens av binære sifre (nuller og enere). En bitstrøm blir ofte referert til som et basebåndsignal; dette innebærer at spektralkomponentene varierer fra (eller rundt) DC til en begrenset verdi, vanligvis ikke mer enn noen få megahertz. På fig. 1.4, er "HVORDAN"-meldingen representert ved bruk av en syv-bits ASCII-kode, og bitstrømmen vises i form av tonivåpulser. Sekvensen av pulser er avbildet av svært stiliserte (perfekt rektangulære) bølgeformer med gap mellom tilstøtende pulser. I et ekte system vil pulser aldri se slik ut, siden slike hull er helt ubrukelige. Ved en gitt datahastighet vil gap øke båndbredden som kreves for overføring; eller, gitt båndbredden, vil de øke tidsforsinkelsen som kreves for å motta meldingen.

Symbol(symbol) (digital melding) (digital melding). Et symbol er en gruppe av k biter sett under ett. Videre vil vi kalle denne blokken et meldingssymbol () fra et begrenset sett med symboler eller alfabet (fig. 1.4, d.) Størrelse på alfabetet M lik , hvor k er antall biter i et symbol. I smalbåndsoverføring vil hvert av symbolene være representert av et av settet med smalbånd pulssignaler . Noen ganger, når du sender en sekvens av slike pulser, brukes baud-enheten (baud) for å uttrykke pulshastigheten (symbolhastighet). For en typisk båndpassoverføring vil hver puls være representert av en av et sett med båndpasspulssignaler . For trådløse systemer sendes således et symbol ved å sende et digitalt signal for T sekunder. Det neste tegnet sendes i løpet av neste tidsluke, T. Det faktum at tegnsettet som overføres av DCS-systemet er begrenset, er hovedforskjellen mellom disse systemene og analoge kommunikasjonssystemer. DCS-mottakeren trenger bare å bestemme hvilken M mulige signaler har blitt overført; mens en analog mottaker nøyaktig må bestemme verdien som tilhører et kontinuerlig spekter av signaler.

digitalt signal(digital bølgeform). Beskrevet av et spennings- eller strømnivå, et signal (en puls for smalbåndsoverføring eller en sinusbølge for båndpassoverføring) som representerer et digitalt tegn. Egenskapene til signalet (for pulser - amplitude, varighet og plassering, eller for en sinusformet - amplitude, frekvens og fase) gjør at det kan identifiseres som et av symbolene i det endelige alfabetet. På fig. 1.4 d et eksempel på et digitalt båndpasssignal vises. Selv om signalet er sinusformet og derfor har en analog form, kalles det fortsatt digitalt fordi det koder for digital informasjon. I denne figuren er den digitale verdien indikert ved overføring i løpet av hvert tidsintervall T signal med en viss frekvens.

Overføringshastighet(datahastighet). Denne verdien i bits per sekund (bps) er gitt av (bps) hvor k biter definerer et tegn fra - tegnalfabetet, og T er varigheten Til-bit karakter.

1.1.4. Digitale og analoge ytelsesstandarder

Den grunnleggende forskjellen mellom analoge og digitale kommunikasjonssystemer er knyttet til metoden for å evaluere ytelsen deres. Analoge systemsignaler er på et kontinuum, så mottakeren må jobbe med et uendelig antall mulige signaler. Ytelsesmålet for analoge kommunikasjonssystemer er nøyaktighet, som signal-til-støy-forhold, prosentvis forvrengning eller forventet RMS-feil mellom overførte og mottatte signaler.

I motsetning til analoge, sender digitale kommunikasjonssystemer signaler som representerer tall. Disse sifrene danner et begrenset sett eller alfabet, og dette settet er kjent på forhånd for mottakeren. Kriteriet for kvaliteten på digitale kommunikasjonssystemer er sannsynligheten for feil deteksjon av et siffer eller sannsynligheten for en feil ().

1.2. Signalklassifisering

1.2.1. Deterministiske og tilfeldige signaler

Et signal kan klassifiseres som deterministisk (når det ikke er usikkerhet om verdien på noe tidspunkt) eller tilfeldig på annen måte. Deterministiske signaler er modellert av et matematisk uttrykk. Det er umulig å skrive et slikt uttrykk for et tilfeldig signal. Men når man observerer et tilfeldig signal (også kalt en tilfeldig prosess) over en tilstrekkelig lang periode, kan man notere noen mønstre som kan beskrives i form av sannsynligheter og det statistiske gjennomsnittet. En slik modell, i form av en probabilistisk beskrivelse av en tilfeldig prosess, er spesielt nyttig for å beskrive egenskapene til signaler og støy i kommunikasjonssystemer.

1.2.2. Periodiske og ikke-periodiske signaler

Et signal sies å være periodisk i tid hvis det eksisterer en konstant, slik at

for (1.2)

hvor gjennom t tiden er merket. Den minste verdien som tilfredsstiller denne betingelsen kalles perioden for signalet. Perioden bestemmer varigheten av en hel syklus av funksjonen. Et signal som det ikke er noen verditilfredsstillende ligning (1.2) for kalles ikke-periodisk.

1.2.3. Analoge og diskrete signaler

Det analoge signalet er en kontinuerlig funksjon av tiden, dvs. unikt definert for alle t. Et elektrisk analogt signal oppstår når et fysisk signal (som tale) konverteres til et elektrisk signal av en enhet. Til sammenligning, diskret signal er et signal som eksisterer i diskrete tidsintervaller; den er preget av en tallsekvens definert for hvert tidspunkt, kT, Hvor k er et heltall, og T- en fast tidsperiode.

1.2.4. Signaler uttrykt i form av energi eller kraft

Et elektrisk signal kan betraktes som en endring i spenning eller strøm med øyeblikkelig kraft påført en motstand R:

I kommunikasjonssystemer er strøm ofte normalisert (det antas at motstanden R er lik 1 Ohm, selv om det i en ekte kanal kan være hva som helst). Hvis det er nødvendig å bestemme den faktiske effektverdien, oppnås den ved å "denormalisere" den normaliserte verdien. I det normaliserte tilfellet har ligningene (1.3.a) og (1.3.6) samme form. Derfor, uavhengig av om signalet er representert av spenning eller strøm, lar den normaliserte formen oss uttrykke den øyeblikkelige kraften som

hvor er enten spenning eller strøm. Spredningen av energi i løpet av tidsintervallet () til et reelt signal med øyeblikkelig kraft oppnådd ved bruk av ligning (1.4) kan skrives som følger.

(1.5)

Den gjennomsnittlige effekten som forsvinner av signalet i løpet av dette intervallet er som følger.

(1.6)

Ytelsen til et kommunikasjonssystem avhenger av energien til det mottatte signalet; høyere energisignaler oppdages mer pålitelig (med færre feil) - deteksjonsarbeidet utføres av den mottatte energien. På den annen side er kraft hastigheten på energitilførselen. Dette punktet er viktig av flere grunner. Effekt bestemmer spenningen som skal påføres senderen og styrken til de elektromagnetiske feltene som skal tas i betraktning i radiosystemer (dvs. feltene i bølgelederne som forbinder senderen med antennen og feltene rundt antennens utstrålende elementer).

Ved analyse av kommunikasjonssignaler er det ofte ønskelig å jobbe med signalenergi. Vi vil kalle det et energisignal hvis og bare hvis det har en endelig energi som ikke er null til enhver tid (), der

(1.7)

I reell situasjon vi sender alltid signaler med endelig energi (). For å beskrive periodiske signaler, som per definisjon (ligning (1.2)) alltid eksisterer og derfor har uendelig energi, og å arbeide med tilfeldige signaler som også har ubegrenset energi, er det praktisk å definere en klasse med signaler uttrykt i termer av makt. Så det er praktisk å representere et signal som bruker effekt hvis det er periodisk og til enhver tid har en slutteffekt som ikke er null (), der

(1.8)

Et visst signal kan tilskrives enten energi eller periodisk. Et energisignal har endelig energi, men null gjennomsnittseffekt, mens et periodisk signal har null gjennomsnittseffekt, men uendelig energi. Signalet i systemet kan uttrykkes enten i form av energi eller periodiske verdier. Som en generell regel uttrykkes periodiske og tilfeldige signaler i form av kraft, og signaler som er deterministiske og ikke-periodiske uttrykkes i termer av energi.

Signalenergi og kraft er to viktige parametere for å beskrive et kommunikasjonssystem. Å klassifisere et signal som enten et energisignal eller et periodisk signal er en praktisk modell som letter matematisk behandling av ulike signaler og støy. Avsnitt 3.1.5 utvikler disse ideene i sammenheng med digitale kommunikasjonssystemer.

1.2.5. Enhetsimpulsfunksjon

En nyttig funksjon i kommunikasjonsteori er enhetsimpulsen, eller Dirac delta-funksjonen. Impulsfunksjonen er en abstraksjon, en impuls med en uendelig amplitude, null bredde og enhetsvekt (areal under impulsen), konsentrert på punktet der verdien av argumentet er null. Enhetsimpulsen er gitt av følgende relasjoner.

Ubegrenset på et punkt (1.11)

(1.12)

En enhetsimpuls er ikke en funksjon i ordets vanlige betydning. Hvis det går inn i en operasjon, er det praktisk å betrakte det som en puls med endelig amplitude, enhetsareal og varighet som ikke er null, hvoretter det er nødvendig å vurdere grensen da pulsvarigheten har en tendens til null. Grafisk kan det avbildes som en topp som ligger på et punkt hvis høyde er lik integralet av den eller området. Altså med en konstant EN representerer en impulsfunksjon hvis areal (eller vekt) er EN, og verdien er null overalt bortsett fra punktet .

Ligning (1.12) er kjent som siktings- (eller kvantiserings-) egenskapen til enhetsimpulsfunksjonen; integralet av en enhetsimpuls og en vilkårlig funksjon gir et utvalg av funksjonen ved punktet.

1.3. Spektral tetthet

Den spektrale tettheten til et signals egenskaper er fordelingen av energien eller kraften til et signal over en rekke frekvenser. Dette konseptet er spesielt viktig når man vurderer filtrering i kommunikasjonssystemer. Vi må være i stand til å evaluere signalet og støyen ved utgangen av filteret. Når man gjennomfører en slik vurdering, brukes energispektraltettheten (ESD) eller effektspektraldensiteten (power spectral density - PSD).

1.3.1. Spektral energitetthet

Den totale energien til et reelt energisignal definert i intervallet er beskrevet ved ligning (1.7). Ved å bruke Parsevals teorem kan vi relatere energien til et slikt signal uttrykt i tidsdomenet til energien uttrykt i frekvensdomenet:

, (1.13)

hvor er Fourier-transformasjonen av det ikke-periodiske signalet. ( Kort informasjon om Fourier-analyse finnes i vedlegg A.) Angi med det rektangulære amplitudespekteret definert som

(1.14)

Mengden er den spektrale energitettheten (ESD) til signalet. Derfor kan man fra ligning (1.13) uttrykke den totale energien ved å integrere spektraltettheten med hensyn til frekvens.

(1.15)

Denne ligningen viser at energien til signalet er lik arealet under grafen i frekvensdomenet. Spektral energitetthet beskriver signalenergien per båndbreddeenhet og måles i J/Hz. De positive og negative frekvenskomponentene gir like energibidrag, så for et reelt signal er verdien en jevn funksjon av frekvensen. Derfor er den spektrale energitettheten frekvenssymmetrisk om origo, og den totale signalenergien kan uttrykkes som følger.

(1.16)

1.3.2. Effektspektraltetthet

Gjennomsnittseffekten til et reelt signal i den periodiske representasjonen bestemmes av ligning (1.8). Hvis er et periodisk signal med en periode, er det klassifisert som et signal i den periodiske representasjonen. Uttrykket for gjennomsnittseffekten til et periodisk signal er gitt ved formel (1.6), hvor tidsgjennomsnittet tas over en periode.

(1.17a)

Parsevals teorem for et reelt periodisk signal har formen

, (1.17,b)

hvor leddene er de komplekse koeffisientene til Fourier-serien for et periodisk signal (se vedlegg A).

For å bruke ligning (1.17.6), er det bare nødvendig å vite verdien av koeffisientene . Effektspektraltettheten (PSD) til et periodisk signal, som er en reell, jevn og ikke-negativ funksjon av frekvensen og gir signalets effektfordeling over et frekvensområde, er definert som følger.

(1.18)

Ligning (1.18) definerer effektspektraltettheten til et periodisk signal som en sekvens av vektede deltafunksjoner. Derfor er PSD-en til et periodisk signal en diskret funksjon av frekvensen. Ved å bruke PSD definert i ligning (1.18), kan man skrive den gjennomsnittlige normaliserte kraften til det virkelige signalet.

(1.19)

Ligning (1.18) beskriver kun PSD for periodiske signaler. Hvis er et ikke-periodisk signal, kan det ikke uttrykkes i form av en Fourier-serie; hvis det er et ikke-periodisk signal i den periodiske representasjonen (som har uendelig energi), kan det hende at det ikke har en Fourier-transformasjon. Imidlertid kan vi fortsatt uttrykke effektspektraltettheten til slike signaler i grensen. Hvis vi danner en avkortet versjon av et ikke-periodisk signal i den periodiske representasjonen, og tar for dette bare verdiene fra intervallet (), vil det ha en endelig energi og den tilsvarende Fourier-transformasjonen . Det kan vises at effektspektraltettheten til et ikke-periodisk signal er definert som en grense.

(1.20)

Eksempel 1.1. Gjennomsnittlig merkeeffekt

a) Finn den gjennomsnittlige normaliserte signalstyrken ved bruk av tidsgjennomsnitt.

b) Utfør punkt a ved å summere spektralkoeffisientene.

Løsning

a) Ved å bruke ligning (1.17, a), har vi følgende.

b) Ved å bruke ligningene (1.18) og (1.19) får vi følgende.

(se vedlegg A)

1.4. autokorrelasjon

1.4.1. Energisignal autokorrelasjon

Korrelasjon er prosessen med å matche; autokorrelasjon er matching av et signal med sin egen forsinkede versjon. Autokorrelasjonsfunksjonen til et reelt energisignal er definert som følger.

for (1,21)

Autokorrelasjonsfunksjonen gir et mål på likheten til et signal med sin egen kopi, forskjøvet med tidsenheter. Variabelen spiller rollen som en skannings- eller søkeparameter. er ikke en funksjon av tid; det er bare en funksjon av tidsforskjellen mellom signalet og dets forskjøvede kopi.

Autokorrelasjonsfunksjonen til et virkelig energisignal har følgende egenskaper.

1.

3. autokorrelasjon og ESD er Fourier-transformasjoner av hverandre, som er indikert med en tohodet pil

4. verdien ved null er lik signalenergien

Ved tilfredsstillelse av avsnitt. 1-3 er en autokorrelasjonsfunksjon. Tilstand 4 er en konsekvens av tilstand 3, så det er ikke nødvendig å inkludere den i hovedsettet for å teste for autokorrelasjonsfunksjonen.

1.4.2. Autokorrelasjon av et periodisk signal

Autokorrelasjonen til et reelt periodisk signal er definert som følger.

for (1,22)

Hvis signalet er periodisk med en periode, kan tidsgjennomsnittet i ligning (1.22) tas over en periode, og autokorrelasjonen kan uttrykkes som følger.

for (1,23)

Autokorrelasjonen til et periodisk signal som tar reelle verdier har egenskaper som ligner på et energisignal.

1. symmetri i forhold til null

2. for alle er maksimumsverdien null

3. autokorrelasjon og ESD er Fourier-transformasjoner av hverandre

4.

1.5. tilfeldige signaler

Hovedoppgaven til et kommunikasjonssystem er å overføre informasjon over en kommunikasjonskanal. Alle nyttige meldingssignaler vises tilfeldig, dvs. mottakeren vet ikke på forhånd hvilke av de mulige meldingstegnene som vil bli overført. I tillegg, på grunn av ulike elektriske prosesser, oppstår det støy som følger med informasjonssignaler. Derfor trenger vi en effektiv måte å beskrive tilfeldige signaler på.

1.5.1. tilfeldige variabler

La den tilfeldige variabelen HA) er funksjonelt forhold mellom tilfeldige hendelser EN og et reelt tall. For enkelhets skyld angir vi den tilfeldige variabelen med X, og dens funksjonelle avhengighet av EN vil bli ansett som eksplisitt. En tilfeldig variabel kan være diskret eller kontinuerlig. Fordeling av en tilfeldig variabel X finnes ved uttrykket:

, (1.24)

hvor er sannsynligheten for at verdien blir akseptert; tilfeldig variabel X mindre enn et reelt tall X eller lik det. Fordelingsfunksjonen har følgende egenskaper.

2. Hvis

En annen nyttig funksjon knyttet til den tilfeldige variabelen X, er sannsynlighetstettheten, som skrives som følger.

(1,25,a)

Som i saken distribusjonsfunksjoner, sannsynlighetstettheten er en funksjon av et reelt tall X. Navnet "tetthetsfunksjon" kom fra det faktum at sannsynligheten for en hendelse er lik følgende.

Ved å bruke ligning (1.25.6) kan vi omtrent skrive ned sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X har en verdi som tilhører et veldig lite intervall mellom og .

Derfor, i grensen som har en tendens til null, kan vi skrive følgende.

Sannsynlighetstettheten har følgende egenskaper.

2. .

Dermed er sannsynlighetstettheten alltid ikke-negativ og har en enhetsareal. I teksten til boken vil vi bruke notasjonen for å betegne sannsynlighetstettheten for en kontinuerlig tilfeldig variabel. For å gjøre notasjonen lettere, vil vi ofte utelate indeksen X og skriv enkelt. Hvis en tilfeldig variabel X kan bare godta diskrete verdier, for å betegne sannsynlighetstettheten, vil vi bruke notasjonen .

1.5.1.1. Ensemble mener

Gjennomsnittsverdi, eller forventet verdi, av en tilfeldig variabel X er definert av uttrykket

, (1.26)

hvor kalles forventet verdi-operator. øyeblikk n-ste ordens sannsynlighetsfordeling av en tilfeldig variabel X kalt neste verdi.

(1.27)

For analyse av kommunikasjonssystemer er de to første momentene til variabelen viktige X. Ja, kl n=1 ligning (1.27) gir øyeblikket vurdert ovenfor, og når n= 1 - rotmiddelkvadratverdi X.

(1.28)

Man kan også definere sentrale øyeblikk, som er forskjellens øyeblikk X Og . sentralt øyeblikk andre orden (også kalt dispersjon) er som følger.

Spredning X også skrevet som , og Kvadratrot av denne verdien, kalles standardavviket X. Dispersjon er et mål på "spredningen" til en tilfeldig variabel X. Å spesifisere variansen til en tilfeldig variabel begrenser bredden på. Dispersjon og RMS er relatert av følgende forhold.

Dermed er variansen lik forskjellen mellom rotmiddelkvadrat og kvadratet av gjennomsnittet.

1.5.2. tilfeldige prosesser

En tilfeldig prosess kan sees på som en funksjon av to variabler: hendelser EN og tid. På fig. 1.5 viser et eksempel på en tilfeldig prosess. Viser N eksempel funksjoner av tid. Hver av prøvefunksjonene kan sees på som utgangen fra en separat støygenerator. For hvert arrangement har vi en enkelttidsfunksjon (dvs. eksempelfunksjon). Settet med alle eksempelfunksjoner kalles et ensemble. Til enhver tid er , en tilfeldig variabel hvis verdi avhenger av hendelsen. Og det siste, for en bestemt hendelse og for et bestemt tidspunkt, er et vanlig tall. For enkelhets skyld vil vi betegne den tilfeldige prosessen som X(t), og den funksjonelle avhengigheten av EN vil bli ansett som eksplisitt.

Fig.1.5. Tilfeldig støyprosess

1.5.2.1. Statistisk gjennomsnitt av en tilfeldig prosess

Siden verdien av en tilfeldig prosess ved hvert påfølgende tidspunkt er ukjent, kan en tilfeldig prosess hvis distribusjonsfunksjoner er kontinuerlig beskrives statistisk i form av en sannsynlighetstetthet. Generelt vil denne funksjonen for en tilfeldig prosess til forskjellige tider ha en annen form. I de fleste tilfeller er det urealistisk å empirisk bestemme sannsynlighetsfordelingen for en tilfeldig prosess. Samtidig, for behovene til kommunikasjonssystemer, er en delvis beskrivelse ofte tilstrekkelig, inkludert gjennomsnittet og autokorrelasjonsfunksjonen. Så la oss definere gjennomsnittet av den tilfeldige prosessen X(t) Hvordan

, (1.30)

hvor er en tilfeldig variabel oppnådd ved å vurdere en tilfeldig prosess på tidspunktet , a er sannsynlighetstettheten (tetthet over ensemblet av hendelser på tidspunktet ).

La oss definere autokorrelasjonsfunksjonen til den tilfeldige prosessen X(t) som en funksjon av to variabler og

hvor og er tilfeldige variabler oppnådd ved å vurdere X(t) til tider og hhv. En autokorrelasjonsfunksjon er et mål på forholdet mellom to tidsprøver av en enkelt tilfeldig prosess.

1.5.2.2. stasjonaritet

tilfeldig prosess X(t) kalles stasjonær i streng forstand hvis ingen av statistikken er påvirket av overføringen av tidens opprinnelse. En tilfeldig prosess kalles stasjonær i vid forstand hvis to av statistikkene, gjennomsnittet og autokorrelasjonsfunksjonen, ikke endres når tidens opprinnelse flyttes. Dermed er en prosess stort sett stasjonær hvis

Stasjonaritet i streng forstand innebærer stasjonaritet i vid forstand, men ikke omvendt. De fleste av kommunikasjonsteoriens nyttige resultater er basert på antakelsen om at tilfeldige informasjonssignaler og støy er stasjonære i vid forstand. Fra et praktisk synspunkt trenger ikke en tilfeldig prosess alltid å være stasjonær, det er nok å være stasjonær i et observerbart tidsintervall av praktisk interesse.

For stasjonære prosesser er autokorrelasjonsfunksjonen i ligning (1.33) ikke avhengig av tid, men kun av forskjellen . Med andre ord, alle verdipar X(t) til tider atskilt med intervallet , har samme korrelasjonsverdi. Derfor, for stasjonære systemer, kan funksjonen skrives enkelt som .

1.5.2.3. Autokorrelasjon av tilfeldige prosesser, stasjonær i vid forstand

Akkurat som varians tilbyr et mål på tilfeldighet for tilfeldige variabler, tilbyr autokorrelasjonsfunksjonen et lignende mål for tilfeldige prosesser. For prosesser som er stasjonære i vid forstand, avhenger autokorrelasjonsfunksjonen kun av tidsforskjellen.

For en stort sett stasjonær prosess med null gjennomsnitt, viser funksjonen hvor statistisk korrelert de tilfeldige variablene i prosessen er adskilt med sekunder. Den gir med andre ord informasjon om frekvensresponsen knyttet til den tilfeldige prosessen. Hvis den endrer seg sakte når den øker fra null til en verdi, viser dette at i gjennomsnitt prøveverdiene X(t), tatt til tider og , er nesten like. Derfor har vi rett til å forvente det i frekvensrepresentasjonen X(t) lave frekvenser vil dominere. På den annen side, hvis den avtar raskt med økende , ville man forvente det X(t) vil endre seg raskt over tid og vil derfor inkludere overveiende høye frekvenser.

Autokorrelasjonsfunksjonen til en prosess som er stasjonær i vid forstand og tar reelle verdier har følgende egenskaper.

1. symmetri i forhold til null

2. for alle er maksimumsverdien null

3. autokorrelasjon og kraftspektraltetthet er Fourier-transformasjoner av hverandre

4. verdien ved null er lik den gjennomsnittlige signalstyrken

1.5.3. Tidsgjennomsnitt og ergodisitet

For å beregne og ved å beregne gjennomsnitt over ensemblet, må vi gjennomsnittlige dem over alle prøvefunksjonene i prosessen, og derfor trenger vi fullstendig informasjon om den gjensidige fordelingen av i den første og andre tilnærmingen. I det generelle tilfellet er slik informasjon som regel ikke tilgjengelig.

Hvis en tilfeldig prosess tilhører en spesiell klasse som kalles klassen av ergode prosesser, er tidsgjennomsnittet lik ensemblegjennomsnittet, og de statistiske egenskapene til prosessen kan bestemmes ved å snitte en prøvefunksjon av prosessen over tid. For at en tilfeldig prosess skal være ergodisk, må den være stasjonær i streng forstand (omvendt er ikke nødvendig). For kommunikasjonssystemer, hvor stasjonaritet i vid forstand er tilstrekkelig for oss, er vi imidlertid kun interessert i gjennomsnittet og autokorrelasjonsfunksjonen.

En tilfeldig prosess sies å være ergodisk med hensyn til gjennomsnittet hvis

(1.35)

og ergodisk med hensyn til autokorrelasjonsfunksjonen if

(1.36)

Å teste en tilfeldig prosess for ergodisitet er vanligvis ganske vanskelig. I praksis brukes som regel en intuitiv antagelse om hensiktsmessigheten av å erstatte ensemblegjennomsnitt med tidsgjennomsnitt. Når man analyserer de fleste signaler i kommunikasjonskanaler (i fravær av impulseffekter), er det rimelig å anta at tilfeldige signaler er ergodiske med hensyn til autokorrelasjonsfunksjonen. Siden for ergodiske prosesser er tidsgjennomsnittene lik ensemblegjennomsnittene, kan fundamentale elektriske parametere, slik som amplituden til DC-komponenten, rotmiddelkvadratverdien og gjennomsnittseffekten, assosieres med momentene til den ergodiske tilfeldige prosessen.

1. Verdien er lik DC-komponenten til signalet.

2. Verdien er lik den normaliserte effekten til DC-komponenten.

3. Moment av andre orden X(t), , er lik den totale gjennomsnittlige normaliserte effekten.

4. Verdien er lik rms-verdien til signalet uttrykt i form av strøm eller spenning.

5. Spredningen er lik den gjennomsnittlige normaliserte effekten til vekselsignalet.

6. Hvis prosessmiddelverdien er null (dvs. ), så , og variansen er lik rms-verdien eller (en annen ordlyd) representerer variansen den totale effekten i den normaliserte lasten.

7. Standardavviket er standardverdien til det variable signalet.

8. Hvis , så er RMS-verdien til signalet.

1.5.4. Effektspektraltetthet og autokorrelasjon av en stokastisk prosess

tilfeldig prosess X(t) kan tilskrives et periodisk signal som har en slik effektspektral tetthet som angitt i ligning (1.20). Funksjonen er spesielt nyttig i kommunikasjonssystemer fordi den beskriver fordelingen av signaleffekt over et frekvensområde. Effektspektraltettheten lar deg estimere kraften til signalet som vil bli overført gjennom et nettverk med kjente frekvenskarakteristikker. Grunnleggende egenskaper kan formuleres som følger.

1. tar alltid reelle verdier

2. Til X(t) tar reelle verdier

3. autokorrelasjon og kraftspektraltetthet er Fourier-transformasjoner av hverandre

4. forhold mellom gjennomsnittlig normalisert effekt og effektspektral tetthet

På fig. 1,6 gitt visuell presentasjon autokorrelasjonsfunksjon og effektspektraltetthetsfunksjon. Hva betyr begrepet "korrelasjon"? Når vi er interessert i sammenhengen mellom to fenomener, spør vi hvor nært de er beslektet i oppførsel eller utseende og hvor mye de er sammenfallende. I matematikk beskriver autokorrelasjonsfunksjonen til et signal (i tidsdomenet) korrespondansen til et signal til seg selv, forskjøvet med en viss tid. En eksakt kopi anses å være opprettet og lokalisert på minus uendelig. Deretter flytter vi kopien sekvensielt i positiv retning av tidsaksen og spør hvordan de (originalversjonen og kopien) samsvarer med hverandre. Så flytter vi kopien enda et steg i positiv retning og spør hvor mye de matcher nå, og så videre. Korrelasjonen mellom to signaler er avbildet som en funksjon av tid, betegnet med ; i dette tilfellet kan tid betraktes som en skanneparameter.

På fig. 1.6 a-d situasjonen beskrevet ovenfor er avbildet på noen tidspunkter. Ris. 1.6 EN illustrerer et enkelt signal av en stort sett stasjonær tilfeldig prosess X(t). Signalet er en tilfeldig binær sekvens med positive og negative (bipolare) pulser med enhetsamplitude. Positive og negative impulser vises med like stor sannsynlighet. Varigheten av hver puls (binært siffer) er T sekunder, og gjennomsnittet, eller verdien av den konstante komponenten i den tilfeldige sekvensen, er null. På fig. 1.6 b den samme sekvensen vises, forskjøvet i tid med sekunder. I følge aksepterte betegnelser, er denne sekvensen betegnet med . La oss anta prosessen X(t) er ergodisk med hensyn til autokorrelasjonsfunksjonen, så vi kan bruke tidsgjennomsnitt i stedet for ensemblemidler for å finne. Verdien fås ved å multiplisere to sekvenser X(t) og med påfølgende funn av gjennomsnittet ved å bruke ligning (1.36), som er gyldig for ergodiske prosesser bare i grensen. Integrasjon over et heltall av perioder kan imidlertid gi oss et anslag på . Legg merke til hva som kan oppnås ved å skifte X(t) både i positiv og negativ retning. Et lignende tilfelle er illustrert i fig. 1.6 V, der den opprinnelige prøvesekvensen er brukt (fig. 1.6, EN) og den forskjøvede kopien (fig. 1.6, b). De skraverte områdene under produktkurven bidrar positivt til produktet, mens de grå områdene bidrar negativt. Integrasjon over sendetiden gir et punkt på kurven. Sekvensen kan forskyves ytterligere med, og hvert slikt skifte vil gi et punkt på den generelle autokorrelasjonsfunksjonen, vist i fig. 1.6 G. Med andre ord tilsvarer hver tilfeldig sekvens av bipolare pulser et autokorrelasjonspunkt på den generelle kurven vist i fig. 1.6 G. Maksimum av funksjonen er på et punkt (den beste tilpasningen er når , lik null, siden for alle ), og funksjonen faller av som . På fig. 1.6 G punktene som tilsvarer og vises.

Det analytiske uttrykket for autokorrelasjonsfunksjonen, vist i fig. 1.6 G, har følgende form.

(1.37)

Merk at autokorrelasjonsfunksjonen gir oss informasjon om frekvensen; det forteller oss noe om båndbredden til signalet. Samtidig er autokorrelasjon en tidsfunksjon; i formel (1.37) er det ingen termer avhengig av frekvensen. Så hvordan gir det oss båndbreddeinformasjon?

Fig.1.6. Autokorrelasjon og effektspektral tetthet

Fig.1.6. Autokorrelasjon og effektspektraltetthet (slutt)

Anta at signalet beveger seg veldig sakte (signalet har lav båndbredde). Hvis vi forskyver kopien av signalet langs aksen, og spør på hvert trinn av skiftet spørsmålet om hvor mye kopien og originalen samsvarer med hverandre, vil korrespondansen være ganske sterk i lang tid. Med andre ord, den trekantede autokorrelasjonsfunksjonen (fig. 1.6, G og formel 1.37) vil sakte avta med økende . La oss nå anta at signalet endrer seg raskt nok (dvs. vi har et stort bånd). I dette tilfellet til og med liten forandring vil føre til at korrelasjonen blir null og at autokorrelasjonsfunksjonen får en veldig smal form. Derfor gir sammenligning av autokorrelasjonsfunksjonene etter form litt informasjon om båndbredden til signalet. Avtar funksjonen gradvis? I dette tilfellet har vi et signal med et smalt bånd. Ligner formen på funksjonen en smal topp? Da har signalet et bredt bånd.

Autokorrelasjonsfunksjonen lar deg eksplisitt uttrykke effektspektraltettheten til et tilfeldig signal. Siden effektspektraltettheten og autokorrelasjonsfunksjonen er Fourier-transformasjoner av hverandre, kan effektspektraltettheten, , til en tilfeldig sekvens av bipolare pulser finnes som Fourier-transformasjonen av funksjonen, hvis analytiske uttrykk er gitt i ligning (1.37) . For å gjøre dette kan du bruke tabellen. A.1. Legg merke til det

(1.38)

Generell form funksjoner er vist i fig. 1.6 d.

Legg merke til at arealet under kurven for effektspektraltetthet representerer den gjennomsnittlige signaleffekten. Et praktisk mål på båndbredde er bredden på hovedspektralloben (se avsnitt 1.7.2). På fig. 1.6 d det er vist at båndbredden til signalet er relatert til den resiproke av symbolvarigheten eller pulsbredden. Ris. 1.6 f-k formelt gjenta fig. 1.6 helvete, bortsett fra at i de følgende figurene er pulsvarigheten kortere. Merk at for kortere pulser er funksjonen smalere (fig. 1.6, Og) enn for lengre (fig. 1.6, G). På fig. 1.6 Og; med andre ord, i tilfellet med en kortere pulsvarighet, er en forskyvning av , tilstrekkelig til å skape en null-match eller for et fullstendig tap av korrelasjon mellom de forskjøvede sekvensene. Siden i fig. 1.6 e pulsvarighet T mindre (høyere pulsoverføringshastighet) enn i fig. 1.6 EN, båndbelegget i fig. 1.6 Til mer båndbelegg for den lavere pulsfrekvensen vist i fig. 1.6 d.

1.5.5. Støy i kommunikasjonssystemer

Begrepet "støy" refererer til uønskede elektriske signaler som alltid er tilstede i elektriske systemer. Tilstedeværelsen av støy som er lagt på signalet "tilslører", eller maskerer, signalet; dette begrenser mottakerens mulighet til å ta nøyaktige avgjørelser om betydningen av symbolene, og begrenser derfor informasjonshastigheten. Støyens natur er variert og inkluderer både naturlige og kunstige kilder. Menneskeskapte støy er gnisttenningsstøy, støy fra koblingsimpulser og støy fra andre relaterte kilder til elektromagnetisk stråling. Naturlig støy kommer fra atmosfæren, solen og andre galaktiske kilder.

God teknisk design kan eliminere det meste av støy eller uønskede effekter gjennom filtrering, screening, modulasjonsvalg og optimal mottakerplassering. For eksempel utføres sensitive radioastronomimålinger vanligvis i avsidesliggende ørkenområder, langt fra naturlige støykilder. Imidlertid er det én naturlig støy, kalt termisk støy, som ikke kan elimineres. Termisk støy er forårsaket av termisk bevegelse av elektroner i alle dissipative komponenter - motstander, ledere, etc. De samme elektronene som er ansvarlige for elektrisk ledningsevne er også ansvarlige for termisk støy.

Termisk støy kan beskrives som en Gaussisk tilfeldig prosess med null gjennomsnitt. Gaussisk prosess n(t) er en tilfeldig funksjon, hvis verdi og på et vilkårlig tidspunkt t er statistisk karakterisert ved en Gaussisk sannsynlighetstetthetsfunksjon:

, (1.40)

hvor er variansen n. Den normaliserte Gaussiske prosesstetthetsfunksjonen med null gjennomsnitt oppnås under antagelsen om at . Den skjematisk normaliserte er vist i fig. 1.7.

Her er et tilfeldig signal, EN- et signal i kommunikasjonskanalen, og n er en tilfeldig variabel som uttrykker Gaussisk støy. Da uttrykkes som

, (1.41)

hvor, som ovenfor, er variansen n.

Fig.1.7. Normalisert () Gaussisk sannsynlighetstetthetsfunksjon

Gaussfordelingen brukes ofte som modell for støyen i et system, siden det er en sentral grensesetning, som sier at for svært generelle betingelser sum sannsynlighetsfordeling j statistisk uavhengige tilfeldige variabler adlyder den gaussiske fordelingen, og formen til individuelle distribusjonsfunksjoner spiller ingen rolle. Selv om individuelle støymekanismer vil ha en ikke-Gaussisk fordeling, vil settet av mange slike mekanismer ha en tendens til en Gaussisk fordeling.

1.5.5.1. hvit støy

Den viktigste spektrale egenskapen til termisk støy er at dens effektspektrale tetthet er den samme for alle frekvenser av interesse i de fleste kommunikasjonssystemer; med andre ord, en termisk støykilde utstråler ved alle frekvenser med lik effekt per båndbreddeenhet - fra DC til en frekvens i størrelsesorden Hz. Derfor antar en enkel termisk støymodell at dens effektspektrale tetthet er enhetlig for alle frekvenser, som vist i fig. 1.8 EN, og er skrevet i følgende form.

(1.42)

Her er en faktor på 2 inkludert for å vise at det er den tosidige effektspektrale tettheten. Når støyeffekten har en så jevn spektral tetthet, kaller vi denne støyen hvit. Adjektivet "hvit" brukes i samme betydning som for hvitt lys, og inneholder like deler av alle frekvenser i det synlige elektromagnetiske spekteret.

Fig.1.8. Hvit støy: a) effektspektral tetthet;

b) autokorrelasjonsfunksjon

Autokorrelasjonsfunksjonen for hvit støy er gitt av den inverse Fourier-transformasjonen av støyeffektspektraltettheten (se tabell A.1) og er skrevet som følger.

(1.43)

Dermed er autokorrelasjonen av hvit støy en deltafunksjon, vektet med en faktor og plassert ved punktet, som vist i fig. 1.8 b. Merk at er lik null for , dvs. to ulike prøver hvit støy korrelerer ikke, uansett hvor nærme de er.

Den gjennomsnittlige hvite støyeffekten er uendelig fordi båndbredden for hvit støy er uendelig. Dette kan sees ved å få følgende uttrykk fra ligningene (1.19) og (1.42).

(1.44)

Selv om hvit støy er en veldig nyttig abstraksjon, kan ingen støyprosess faktisk være hvit; men støyen som vises i mange virkelige systemer kan antagelig betraktes som hvit. Vi kan observere slik støy først etter at den har passert gjennom ekte system, som har en begrenset båndbredde. Derfor, så lenge båndbredden til støyen er vesentlig større enn båndbredden som brukes av systemet, kan støyen anses å ha en uendelig båndbredde.

Deltafunksjonen i ligning (1.43) betyr at støysignalet n(t) er absolutt ukorrelert med sin egen partiske versjon for noen . Ligning (1.43) viser at alle to prøver av hvit støyprosessen ikke er korrelert. Siden termisk støy er en gaussisk prosess og prøvene ikke er korrelerte, er støyprøvene også uavhengige. Dermed er effekten av en additiv hvit Gaussisk støykanal på deteksjonsprosessen at støyen uavhengig påvirker hvert overført symbol. En slik kanal kalles en minneløs kanal. Begrepet "additiv" betyr at støyen ganske enkelt legges over eller legges til signalet - ingen multiplikasjonsmekanismer eksisterer.

Fordi termisk støy er tilstede i alle kommunikasjonssystemer og er en betydelig støykilde for de fleste systemer, brukes termiske støyegenskaper (additiv, hvit og gaussisk) ofte til å modellere støy i kommunikasjonssystemer. Fordi null-middel gaussisk støy er fullt preget av sin varians, er denne modellen spesielt enkel å bruke i signaldeteksjon og optimal mottakerdesign. I denne boken vil vi anta (med mindre annet er oppgitt) at systemet er ødelagt av nullmiddeltilsetning av hvit gaussisk støy, selv om denne forenklingen noen ganger vil være for sterk.

1.6. Signaloverføring gjennom linjesystemer

Nå som vi har utviklet et sett med signal- og støymodeller, la oss se på egenskapene til systemene og deres effekt på signaler og støy. Siden et system kan karakteriseres like godt i både frekvens- og tidsdomener, er det i begge tilfeller utviklet metoder for å analysere responsen til et lineært system på et vilkårlig inngangssignal. Signalet som tilføres systemets inngang (fig. 1.9) kan beskrives enten som et tidssignal, eller gjennom Fourier-transformasjonen, . Bruk tidsanalyse gir tidsutgangen, og i prosessen vil funksjonen, impulsresponsen eller impulsresponsen til nettverket bestemmes. Når vi vurderer input i frekvensdomenet, må vi bestemme systemets frekvensrespons, eller overføringsfunksjon, som vil bestemme frekvensutgangen. Det antas at systemet er lineært og invariant med hensyn til tid. Det antas også at systemet ikke har latent energi i det øyeblikket inngangssignalet gis.

Fig.1.9. Lineært system og dets nøkkelparametere

1.6.1. impulsrespons

Det lineære, tidsinvariante systemet eller nettverket vist i fig. 1.9 er beskrevet (i tidsdomenet) av impulsresponsen, som er responsen til systemet når en enkelt puls påføres inngangen.

Tenk på begrepet "impulsrespons", som er ekstremt passende for denne hendelsen. Beskrivelsen av egenskapene til et system gjennom dets impulsrespons har en direkte fysisk tolkning. Ved inngangen til systemet påfører vi en enkelt puls (et uvirkelig signal med uendelig amplitude, null bredde og enhetsareal), som vist i fig. 1.10, EN. Tilførselen av en slik impuls til systemet kan betraktes som en "umiddelbar påvirkning". Hvordan vil systemet reagere («reagere») på en slik kraftpåføring (impuls)? Utgangssignalet er impulsresponsen til systemet. (En mulig form for denne responsen er vist i fig. 1.10, b.)

Nettverkets respons på et vilkårlig signal er en konvolusjon med , som er skrevet som følger.

(1.46)

Fig.1.10. En illustrasjon av konseptet "impulsrespons": a) inngangssignalet er enkelt impulsfunksjon; b) utgangssignalet er impulsresponsen til systemet

Her angir "*"-tegnet en konvolusjonsoperasjon (se avsnitt A.5). Systemet antas å være kausalt, noe som betyr at det ikke er noe signal ved utgangen før det tidspunktet signalet tilføres inngangen. Derfor kan den nedre grensen for integrasjon tas lik null, og utgangen kan uttrykkes på en litt annen måte.

(1,47,a)

eller i skjemaet

(1,47b)

Uttrykkene i ligningene (1.46) og (1.47) kalles konvolusjonsintegraler. Konvolusjon er et grunnleggende matematisk apparat som spiller viktig rolle i å forstå alle kommunikasjonssystemer. Hvis leseren ikke er kjent med denne operasjonen, bør han se avsnitt A.5 for utledning av ligninger (1.46) og (1.47).

1.6.2. Frekvensoverføringsfunksjon

Frekvensutgangen oppnås ved å bruke Fourier-transformasjonen på begge sider av ligningen (1.46). Siden konvolusjon i tidsdomenet blir multiplikasjon i frekvensdomenet (og omvendt), får vi fra likning (1.46) følgende.

(Det antas selvfølgelig at for alle .) Her , Fourier-transformasjonen av impulsresponsen, kalt frekvensoverføringsfunksjonen, frekvensresponsen eller frekvensresponsen til nettverket. Generelt er funksjonen kompleks og kan skrives som

, (1.50)

hvor er responsmodulen. Responsfasen er definert som følger.

(1.51)

(og angi de virkelige og imaginære delene av argumentet.)

Frekvensoverføringsfunksjonen til et lineært, tidsinvariant nettverk kan enkelt måles inn laboratorieforhold- i et nettverk med en harmonisk generator ved inngangen og et oscilloskop ved utgangen. Hvis inngangssignalet er uttrykt som

,

da kan utgangen skrives som følger.

Inngangsfrekvensen forskyves med verdien vi er interessert i; målinger ved inngangen og utgangen gjør at arten kan bestemmes.

1.6.2.1. Stokastiske prosesser og lineære systemer

Hvis en tilfeldig prosess danner inngangen til et lineært, tidsinvariant system, får vi ved utgangen av dette systemet også en tilfeldig prosess. Med andre ord gir hver prøvefunksjon i inngangsprosessen en prøvefunksjon av utgangsprosessen. Inngangseffektens spektraltetthet og utgangseffektens spektraltetthet er relatert av følgende forhold.

(1.53)

Ligning (1.53) gir en enkel måte å finne effektspektraltettheten ved utgangen av et lineært, tidsinvariant system når en tilfeldig prosess brukes som input.

I kapittel 3 og 4 skal vi se på signaldeteksjon i Gaussisk støy. Hovedegenskapen til Gaussiske prosesser vil bli brukt på et lineært system. Det vil bli vist at hvis en gaussisk prosess mates til et tidsinvariant lineært filter, så er den tilfeldige prosessen , som utdata, også gaussisk.

1.6.3. Overføring uten forvrengning

Hva skal til for at et nettverk skal oppføre seg som en ideell overføringskanal? Signalet ved utgangen til en ideell kommunikasjonskanal kan være forsinket i forhold til signalet ved inngangen; i tillegg kan disse signalene ha forskjellige amplituder (enkel reskalering), men som for alt annet - signalet skal ikke være forvrengt, dvs. den må ha samme form som inngangssignalet. Derfor, for en ideell uforvrengt overføring, kan vi beskrive utgangssignalet som

, (1.54)

hvor og er konstanter. Ved å bruke Fourier-transformasjonen på begge deler (se avsnitt A.3.1), har vi følgende.

(1.55)

Ved å erstatte uttrykk (1.55) i ligning (1.49), ser vi at den nødvendige overføringsfunksjonen til systemet for overføring uten forvrengning har følgende form.

(1.56)

Derfor, for å oppnå en ideell overføring uten forvrengning, må den totale responsen til systemet ha en konstant modul, og faseforskyvningen må være lineær i frekvens. Det er ikke nok at systemet forsterker eller kutter alle frekvenskomponenter likt. Alle harmoniske i signalet må komme til utgangen med samme forsinkelse slik at de kan summeres. Siden forsinkelsen er assosiert med faseskift og syklisk frekvens av relasjonen

, (1,57,a)

det er åpenbart at for at forsinkelsen til alle komponenter skal være den samme, må faseforskyvningen være proporsjonal med frekvensen. For å måle signalforvrengning forårsaket av forsinkelse, brukes ofte en karakteristikk kalt gruppeforsinkelse; det er definert som følger.

(1,57b)

For overføring uten forvrengning har vi altså to ekvivalente krav: fasen må være lineær i frekvens, eller gruppeforsinkelsen må være lik en konstant. I praksis vil signalet bli forvrengt når det passerer gjennom enkelte deler av systemet. For å eliminere denne forvrengningen kan fase- eller amplitudekorreksjonskretser (utjevning) introduseres i systemet. Generelt er forvrengning en generell I/O-karakteristikk for et system som bestemmer ytelsen.

1.6.3.1. Ideell filter

Det er urealistisk å konstruere et ideelt nettverk beskrevet av ligning (1.56). Problemet er at ligning (1.56) antar uendelig båndbredde, med systembåndbredden bestemt av området av positive frekvenser der modulen har en gitt verdi. (Generelt er det flere mål på båndbredde; de ​​vanligste er listet opp i avsnitt 1.7.) Som en tilnærming til et ideelt nettverk med uendelig båndbredde velger vi et avkortet nettverk som passerer uten forvrengning alle harmoniske med frekvenser mellom og hvor er den nedre grensefrekvensen, og er den øvre, som vist i fig. 1.11. Alle slike nettverk kalles ideelle filtre. Det antas at utenfor området, som kalles passbåndet (passbåndet), er responsamplituden til et ideelt filter null. Den effektive båndbredden bestemmes av filterbåndbredden og er Hz.

Hvis og , kalles filteret transmissive (fig. 1.11, EN). Hvis og har en endelig verdi, kalles det et lavpassfilter (fig. 1.11, b). Hvis den har en verdi som ikke er null og , kalles den et høypassfilter (fig. 1.11, V).

Fig.1.11. Overføringsfunksjon til ideelle filtre: a) ideelt overføringsfilter; b) et ideelt lavpassfilter; c) ideelt lavpassfilter

Ved å bruke ligning (1.59) og anta et ideelt lavpassfilter med Hz-båndbredden vist i fig. 1.11 b, kan overføringsfunksjonen skrives som følger.

(1.58)

Impulsresponsen til et ideelt lavpassfilter, vist i fig. 1.12 er uttrykt med følgende formel.

Fig.1.12. Impulsrespons av et ideelt lavpassfilter

hvor funksjonen er definert i ligning (1.39). Impulsresponsen vist i fig. 1.12 er ikke-årsakssammenheng; dette betyr at i det øyeblikket signalet tilføres inngangen (), er det en respons som ikke er null ved utgangen av filteret. Dermed bør det være åpenbart at det ideelle filteret beskrevet av ligning (1.58) faktisk ikke forekommer.

Eksempel 1.2. Sender hvit støy gjennom et ideelt filter

Hvit støy med effektspektral tetthet vist i figur 1.8, EN, påføres inngangen til det ideelle lavpassfilteret vist i fig. 1.11 b. Bestem effektspektraltettheten og autokorrelasjonsfunksjonen til utgangssignalet.

Løsning

Autokorrelasjonsfunksjonen er resultatet av å bruke den inverse Fourier-transformasjonen på kraftspektraltettheten. Autokorrelasjonsfunksjonen bestemmes av følgende uttrykk (se tabell A.1).

Ved å sammenligne resultatet oppnådd med formel (1.62), ser vi at det har samme form som impulsresponsen til et ideelt lavpassfilter vist i fig. 1.12. I dette eksemplet konverterer et ideelt lavpassfilter autokorrelasjonsfunksjonen til hvit støy (definert i form av deltafunksjonen) til en funksjon. Etter filtrering vil systemet ikke lenger ha hvit støy. Utgangsstøysignalet vil bare ha null korrelasjon med sine forskjøvede kopier når det skiftes med , hvor er et hvilket som helst heltall som ikke er null.

1.6.3.2. Implementerte filtre

Det enkleste lavpassfilteret som kan implementeres består av en motstand (R) og en kapasitans (C), som vist i fig. 1.13 EN; dette filteret kalles et RC-filter og dets overføringsfunksjon kan uttrykkes som følger.

, (1.63)

Hvor . Amplitudekarakteristikken og fasekarakteristikken er vist i fig. 1.13 b, V. Båndbredden til lavpassfilteret bestemmes ved halveffektpunktet; dette punktet representerer frekvensen der utgangssignaleffekten er halvparten av maksimumsverdien, eller frekvensen der utgangsspenningsamplituden er lik maksimalverdien.

Generelt uttrykkes halve effektpunktet i desibel (dB) som -3 dB-punktet, eller punktet 3 dB under maksimumsverdien. Per definisjon er verdien i desibel bestemt av forholdet mellom potenser, og .

(1,64, a)

Her og er spenninger, a og er motstander. I kommunikasjonssystemer brukes normalt normalisert kraft for analyse; i dette tilfellet regnes motstandene og som lik 1 ohm, da

Fig.1.13. RC-filter og dets overføringsfunksjon: a) RC-filter; b) amplitudekarakteristikk for RC-filteret; c) faserespons av RC-filteret

(1,64, b)

Amplituderesponsen kan uttrykkes i desibel som

, (1,64, tommer)

hvor og er inngangs- og utgangsspenningene, og inngangs- og utgangsmotstandene antas å være like.

Fra ligning (1.63) er det enkelt å sjekke at halveffektpunktet til RC lavpassfilteret tilsvarer rad/s, eller Hz. Dermed er båndbredden i hertz . Filterformfaktoren er et mål på hvor godt et ekte filter tilnærmer seg et ideelt. Det er vanligvis definert som forholdet mellom -60 dB og -6 dB filterbåndbredder. En tilstrekkelig liten formfaktor (ca. 2) kan oppnås i et transmisjonsfilter med en veldig skarp cutoff. Til sammenligning er formfaktoren til et enkelt RC lavpassfilter rundt 600.

Det er flere nyttige tilnærminger av karakteristikken til et ideelt lavpassfilter. En av dem er levert av Butterworth-filteret, som tilnærmer det ideelle lavpassfilteret med funksjonen

, (1.65)

hvor er den øvre grensefrekvensen (-3 dB) og er rekkefølgen til filteret. Jo høyere rekkefølge, desto høyere kompleksitet og kostnad for filterimplementering. På fig. 1.14 viser amplitudegrafer for flere verdier. Merk at etter hvert som og vokser, nærmer amplitudekarakteristikkene seg egenskapene til et ideelt filter. Butterworth-filtre er populære fordi de er den beste tilnærmingen til det ideelle tilfellet når det gjelder maksimal filterbåndbredde flathet.