Gödels ufullstendighetsteorem i psykologi. Gödels teorem om ufullstendigheten av formell aritmetikk

09sep

Ethvert system av matematiske aksiomer, med utgangspunkt i et visst kompleksitetsnivå, er enten internt motstridende eller ufullstendig.

I 1900 ble verdenskonferansen for matematikere holdt i Paris, hvor David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) presenterte i form av teser de 23 viktigste, etter hans mening, oppgavene som teoretikere i det kommende tjuende århundre måtte løse. Nummer to på listen hans var en av dem enkle oppgaver, svaret på det virker åpenbart inntil du graver litt dypere. Snakker moderne språk, det var et spørsmål: er matematikk selvforsynt? Hilberts andre oppgave kokte ned til behovet for å strengt bevise at systemet av aksiomer – grunnleggende utsagn akseptert i matematikk som grunnlag uten bevis – er perfekt og fullstendig, det vil si at det lar en matematisk beskrive alt som eksisterer. Det var nødvendig å bevise at det var mulig å definere et slikt system av aksiomer at de for det første ville være gjensidig konsistente, og for det andre kunne man trekke en konklusjon fra dem om sannheten eller usannheten til ethvert utsagn.

La oss ta et eksempel fra skolegeometri. I standard euklidisk planimetri (geometri på et plan), kan det bevises uten tvil at påstanden "summen av vinklene til en trekant er 180°" er sann, og utsagnet "summen av vinklene til en trekant er 137 °” er falsk. I hovedsak er enhver påstand i euklidisk geometri enten usann eller sann, og det er ingen tredje mulighet. Og på begynnelsen av det tjuende århundre trodde matematikere naivt at den samme situasjonen burde observeres i ethvert logisk konsistent system.

Og så i 1931 en eller annen bebrillet wiener-matematiker Kurt Gödel- tok og publiserte en kort artikkel som rett og slett opprørte hele verden av såkalt "matematisk logikk." Etter lange og komplekse matematiske og teoretiske innledninger, etablerte han bokstavelig talt følgende. La oss ta ethvert utsagn som: "Antakelse nr. 247 i dette systemet av aksiomer kan ikke bevises logisk" og kalle det "påstand A." Så Gödel beviste ganske enkelt følgende fantastiske egenskap til ethvert system av aksiomer:

"Hvis påstand A kan bevises, så kan påstand ikke-A bevises."

Med andre ord, hvis sannheten i utsagnet "antakelse 247 er ubeviselig" kan bevises, så kan sannheten til utsagnet "antagelse 247 kan bevises" også bevises. Det vil si, for å gå tilbake til formuleringen av Hilberts andre problem, hvis et system av aksiomer er komplett (det vil si at enhver påstand i det kan bevises), så er det selvmotsigende.

Den eneste veien ut av denne situasjonen er å akseptere et ufullstendig system av aksiomer. Det vil si at du må tåle at i sammenheng med evt logisk system vi vil sitte igjen med "type A"-utsagn, som åpenbart er sanne eller usanne, og vi kan bedømme sannheten deres bare utenfor rammen av aksiomatikken vi har akseptert. Hvis det ikke finnes slike utsagn, så er vår aksiomatikk motstridende, og innenfor dens ramme vil det uunngåelig være formuleringer som både kan bevises og motbevises.

Så, formuleringen av den første, eller svake Gödels teorem om ufullstendighet: "Ethvert formelt system av aksiomer inneholder uavklarte antakelser". Men Gödel stoppet ikke der, og formulerte og beviste Gödels andre, eller sterke, ufullstendighetsteorem: «Den logiske fullstendigheten (eller ufullstendigheten) til ethvert system av aksiomer kan ikke bevises innenfor rammen av dette systemet. For å bevise eller motbevise det, kreves det ytterligere aksiomer (forsterkning av systemet).»

Det ville være tryggere å tro at Gödels teoremer er abstrakte av natur og ikke angår oss, men bare områder med sublim matematisk logikk, men faktisk viste det seg at de er direkte relatert til strukturen til den menneskelige hjernen. Engelsk matematiker og fysiker Roger Penrose (f. 1931) viste det Gödels teoremer kan brukes til å bevise at det er grunnleggende forskjeller mellom den menneskelige hjernen og en datamaskin. Betydningen av resonnementet hans er enkelt. Datamaskinen opptrer strengt logisk og er ikke i stand til å avgjøre om utsagn A er sann eller usann hvis den går utover aksiomatikken, og slike utsagn, ifølge Gödels teorem, eksisterer uunngåelig. En person, som står overfor et slikt logisk ubeviselig og ugjendrivelig utsagn A, er alltid i stand til å fastslå sannheten eller usannheten - basert på hverdagserfaring. I hvert fall i dette Menneskehjerne overlegen en datamaskin bundet av ren logiske kretser. Den menneskelige hjernen er i stand til å forstå den fulle dybden av sannheten i Gödels teoremer, men en datamaskinhjerne kan aldri. Derfor er den menneskelige hjernen alt annet enn en datamaskin. Han er i stand til å ta avgjørelser og vil bestå Turing-testen.

Ideen med bevis er å konstruere et uttrykk som skulle indikere det

egen ubevisbarhet. Denne konstruksjonen kan gjøres i tre trinn:

Det første trinnet er etableringen av en korrespondanse mellom formell aritmetikk og settet med heltall (Goedelisering);

Det andre trinnet er konstruksjonen av en spesiell egenskap som det er ukjent om det er et teorem for formell aritmetikk eller ikke;

Det tredje trinnet er substitusjon i stedet for x av et bestemt heltall assosiert med seg selv, dvs. erstatning av alle med disse tallene

Første etappe. Gedelisering av formell aritmetikk

Formell aritmetikk kan aritmetiseres (dvs. Godelized) på følgende måte: hver av dens teoremer er assosiert med et visst tall. Men siden hvert tall også er et teorem, kan hvert teorem på den ene siden betraktes som et teorem for formell aritmetikk, og på den andre siden som et teorem over settet av formell aritmetikk, dvs. metateorem som tilsvarer beviset for en viss teorem.

Dermed kan vi konkludere med at systemet med formell aritmetikk også inneholder sitt eget metasystem.

Nå vil vi presentere resultatene som er oppnådd mer spesifikt og i detalj.

For det første kan vi assosiere med hvert symbol og formell aritmetikk en spesiell kodebetegnelse, kalt inn i dette tilfellet Gödel nummer

For det andre assosierer vi hver sekvens av symboler med det samme Gödel-nummeret ved å bruke en komposisjonsfunksjon. La hvor representere sekvensene av symboler som danner

For det tredje (og dette er essensielt), er hvert bevis på en sekvens av aksiomer og substitusjonsregler (eller substitusjonsregler) assosiert med et tall der angir sekvensen av teoremer som brukes i beviset

Dermed tilsvarer hvert bevis i formell aritmetikk et visst tall - dets Gödel-tall. Ethvert resonnement i formell aritmetikk omdannes til beregninger på et sett naturlige tall.

Så, i stedet for å manipulere symboler, teoremer og bevis, kan du bruke

beregninger på et sett med heltall. Ethvert uttrykk som for eksempel følgende: "bevisbar i formell aritmetikk" tilsvarer nå et visst tall, som vi vil betegne som

La oss formulere følgende posisjon.

Formell metaritmetikk er inneholdt i settet med naturlige tall, som i seg selv er inneholdt i tolkningen av formell aritmetikk.

Denne situasjonen med formell aritmetikk ligner situasjonen med naturlig språk: når alt kommer til alt, er det ingenting som hindrer oss i å bruke det for å formulere dets grunnleggende konsepter og regler om det.

Riktig valg av funksjon gir mulighet for en entydig overgang fra A til, dvs. å tildele to forskjellige tall til to ulike bevis. For eksempel kan man velge Gödel-tallene på en slik måte at hvert symbol i alfabetet for formell aritmetikk tilsvarer sitt eget primtall, som vist for eksempel i Tabell. 3.2.

Tabell 3.2

Hver formel (bestående av tegn som varierer fra 1 til er igjen kodet av en sekvens som består av den første primtall, dvs. antall

hvor er et primtall.

I sin tur vil beviset, dvs. sekvensen av formler, kodes på lignende måte med tallet

Og omvendt, takket være denne metoden for å konstruere tall, blir det mulig, fra et visst tall, ved å dekomponere det til primære faktorer(på grunn av det unike ved dekomponeringen av naturlige tall til produkter av potenser av primtall) gå tilbake i to trinn til eksponenter, dvs. til primitive symboler for formell aritmetikk. Dette er selvsagt stort sett kun teoretisk, siden tallene fort blir for store

slik at de kan manipuleres. Det skal imidlertid bemerkes at den grunnleggende muligheten for denne operasjonen er avgjørende.

Eksempel. La et tall T gis, som tilsvarer et bevis og representerer et produkt av primtall:

Denne utvidelsen betyr at beviset for teoremet inneholder to trinn: ett som tilsvarer tallet 1981027125 253, og det andre til tallet 1981027125 211. Faktorerer vi hvert av disse tallene igjen i primfaktorer, får vi

Fra alfabetets kodetabell for formell aritmetikk (tabell 3.2) finner vi at våre Gödel-tall for disse to tallene

følgende bevis vil samsvare:

Fra formelen følger formelen

Dermed, i metaritmetikk, er verdien av det opprinnelige tallet hentet fra formell aritmetikk.

Andre fase. Gödels Lemma

Hvert tall T assosiert med et bevis tilsvarer et teorem som kan bevises i formell aritmetikk. "Goedelisert" formell aritmetikk kalles aritmetisert formell aritmetikk. Siden hvert aksiom og hver regel for aritmetisert formell aritmetikk tilsvarer en eller annen aritmetisk operasjon, er det ved hjelp av en systematisk test mulig å bestemme om gitt nummer T bevis på et eller annet teorem Tallene T danner i dette tilfellet et par konjugerte tall. Uttrykket og er konjugert” Presenterbar innenfor selve den aritmetiserte formelle aritmetikken. Dette betyr at det er et Gödel-nummer som digitalt uttrykker denne uttalelsen.

Vi har nådd det kritiske punktet for Gödels bevis. La A være et uttrykk for aritmetisert formell aritmetikk som inneholder en eller annen fri variabel. I stedet kan du erstatte et begrep. Spesielt kan du erstatte uttrykk A med selve uttrykket A. I dette tilfellet utfører talluttrykket A to forskjellige roller (se konstruksjonen ovenfor)

Cantor og Richard): det er både et sant uttrykk for substitusjon og en resulterende term. Vi vil betegne denne spesielle substitusjonen som Så formelen betyr at tallet er Gödel-tallet oppnådd ved å utføre substitusjonen - til uttrykk A:

Gödel konstruerer deretter et uttrykk (som er ukjent om det er et teorem eller et ikke-teorem) som han introduserer denne substitusjonen i. Uttrykket ser slik ut:

Tredje trinn. Endelig bytte

I aritmetisert formell aritmetikk er dette uttrykket representert i digital form. La E være Gödel-nummeret. Siden uttrykket inneholder en fri variabel, har vi rett til å utføre en substitusjon - over å erstatte tallet E og betegne - substitusjonen E:

Vi betegner dette andre uttrykket med a og dets Gödel-nummer med E. La oss gi tolkninger av uttrykket e.

Første tolkning. Det er ikke noe slikt par som følgende vil gjelde samtidig: på den ene siden er T nummeret på det aritmetiserte beviset på teoremet aritmetisert av seg selv, og på den andre siden vil det være en substitusjon. Men siden det er samme transformasjon som de andre, er den representerbar i termer og i deres kodebetegnelser - Gödel-tall og derfor eksisterer et slikt tall. Da finnes kanskje ikke T-nummeret.

Andre tolkning. Det er ikke noe aritmetisert bevis på T-setningen som ville være en -erstatning av E. Så hvis det ikke er noe bevis, er det fordi det i seg selv ikke er et teorem. Dette leder til den tredje tolkningen.

Tredje tolkning. Et uttrykk hvor Gödel-tallet er -substitusjon E er ikke et teorem for aritmetisert formell aritmetikk. Men det er her motsetningen ligger, siden det ved konstruksjon er seg selv som er en -erstatning av E og tallet er, etter konstruksjon, ikke noe annet enn selve tallet E. Herfra følger den endelige tolkningen av f.eks.

Jeg innrømmer at jeg leste selve ideen om å vurdere spørsmålet om Guds eksistens fra denne siden fra Anatoly Aleksandrovich Wasserman:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0 %BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92 %D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8. D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0. B4.D1.8B

Men jeg vil gjerne utvikle denne ideen og beskrive den litt mer detaljert.
I religion (så vel som i ikke-religion) er det en viss aksiomatikk av konstruksjon. I hvert fall i et ideelt tilfelle, hvis dette ikke bare er en blind tro, men et bevisst og informert valg. For eksempel kan et fysikkaksiom betraktes som "naturen er kjent gjennom fornuft og logiske konklusjoner, alle fysikkens lover er de samme på alle punkter i rommet og når som helst." For eksempel kan religionsaksiomet betraktes som utsagnet "Gud eksisterer og er den første årsaken til alle ting." Det er med andre ord ingen tvil om at alle de tallrike detaljene og grenene kan reduseres til flere viktige, ubeviselige utsagn, som er nettopp disse aksiomene.

La oss vurdere religiøs tro fra disse posisjonene. Religionens viktigste aksiom: "Gud eksisterer og er den første årsaken til alle ting."
La oss nå huske en av de viktigste matematiske teoremene, Gödels teorem.
http://elementy.ru/trefil/21142
Svak Gödels teorem: "Ethvert formelt system av aksiomer inneholder uavklarte antakelser" eller "hvis et system av aksiomer er komplett, så er det inkonsekvent."
Gödels sterke teorem: "Den logiske fullstendigheten (eller ufullstendigheten) til ethvert system av aksiomer kan ikke bevises innenfor rammen av dette systemet. For å bevise eller motbevise det, kreves det ytterligere aksiomer (forsterkning av systemet)."

La oss huske noen definisjoner. Et system av aksiomer er komplett hvis et utsagn formulert for et gitt system av aksiomer kan bevises (det vil si at det enten er sant eller usant). En uavklart antakelse er et utsagn som verken dens sannhet eller usannhet kan bevises, det vil si at utsagnet ikke er logisk beviselig. Et system av aksiomer er selvmotsigende hvis en og samme påstand kan bevises å være både sann og usann.

Fra Gödels teorem følger det at dersom gudsbegrepet inngår i et aksiomatisk system, så er ikke dette systemet komplett, det vil si at det er konsekvenser (fenomener) som ikke kan bevises, det vil si at de kan eksistere eller ikke eksisterer, dette er ikke beviselig.
Men dette motsier følgende to bestemmelser (velg den som er mest overbevisende): naturen inneholder ikke fenomener som kan betraktes som både eksisterende og ikke-eksisterende; ethvert naturfenomen enten eksisterer eller eksisterer ikke. Den andre posisjonen sier at Gud per definisjon er grunnårsaken til alt, derfor fører Gud enten til eksistensen av visse ting (utsagn) eller til deres ikke-eksistens, å referere til Gud kan enten bevise eller motbevise ethvert utsagn. Dette strider mot systemets ufullstendighet.

Ellers. Hvis vi inkluderer gudsbegrepet i det aksiomatiske systemet og antar at det er fullstendig (enhver påstand i et komplett system av aksiomer kan bevises), så vil et slikt system av aksiomer ifølge Gödels teorem være motstridende, det vil si at det vil være fenomener hvorom det kan bevises at de både eksisterer og ikke eksisterer.

Det er ingen vits i å inkludere Gud i et motstridende system av aksiomer, siden det er selvmotsigende, det vil si at det inneholder fenomener som kan bevises både eksisterer og ikke eksisterer, som, som sagt, motsier Guds natur og begrep.

Til slutt, hvis begrepet Gud ikke er inkludert i det aksiomatiske systemet, kan det ikke betraktes som det grunnleggende grunnlaget for universet, hvorfra alt som eksisterer følger, som i hovedsak motsier definisjonen av Gud.

For rettferdighet dette beviset det er nødvendig å anerkjenne gyldigheten av lovene for matematisk logikk (proposisjonell logikk + predikatkalkulus), som gjør det mulig å etablere lovene om konsekvens, sannhet, usannhet, inkonsistens, konsistens av utsagn og andre egenskaper og forhold mellom utsagn.

Hvis vi antar det matematisk logikk ikke er anvendelig for studiet av spørsmålet om Guds eksistens, så vil konsekvensen være at det ikke er mulig å studere dette spørsmålet ved hjelp av resonnement, ved hjelp av fornuft. Med andre ord, konsekvent fornuft kommer alltid til et negativt svar på spørsmålet om Guds eksistens.

Hva som skjer til slutt ... enhver til og med rasjonell person anerkjenner selvfølgelig gyldigheten av logikkens lover, noe som betyr at han alltid kommer til den konklusjon at Gud i definisjonen av "årsaken til alle ting" ikke eksisterer . En ikke-rasjonell person som hevder at Gud bare kan bli kjent gjennom følelser (og ikke fornuft), kan selvfølgelig si det, men det er ingen måte å overbevise en annen om dette; følelser kan ikke formidles. Dessuten er gudsbegrepet et begrep formulert av fornuften. Hvordan det foreslås å oversette begrepet fornuft til sensasjon, og til og med på en slik måte at det kan formidles til en annen person, er ikke klart. Igjen, selv en litt rasjonell person vil si at dette ikke er mulig: å oversette det abstrakte begrepet fornuft til å føle og føle det.

Til slutt er det et annet alternativ: "Gud er ikke den første årsaken til alt." Da oppstår ikke slike motsetninger, men dette er en betydelig svekkelse av religionens posisjon, siden det er nettopp det faktum at Gud skapte alt, at Gud er begynnelsen på all begynnelse, som er grunnlaget for en rekke utsagn om religion og begrunnelser i tvister.

P.S. Det er verdt å merke seg en mer nysgjerrig ting, interessant for fysikere. I denne definisjonen Gud sier ingenting om hans rasjonalitet. Det vil si at man kan legge til «Gud er den rasjonelle årsaken til alle ting», men dette er en innsnevring av definisjonen, som i utgangspunktet ikke er nødvendig for bevis. Uten intelligens kan begrepet "gud" lett erstattes med "singularitet og det store smellet– årsaken til alt som eksisterer.» Og svaret vil være det samme: singulariteten og big bang er ikke grunnårsaken til alt som eksisterer.
Ved å utføre enda større abstraksjon kan vi si at ikke et eneste fenomen eller årsak kan være grunnårsaken til alle ting, det vil si at grunnårsaken ikke eksisterer i prinsippet. Ved å resonnere innenfor rammen av enhver aksiomatikk, kan man komme til den konklusjon at grunnårsaken til alt ikke eksisterer. For å si det veldig enkelt, uansett hvor grunnleggende vi forstår universet, vil spørsmål alltid forbli i ånden: «hvor kom big bang fra, hvor kom singulariteten fra, hvor kom det pulserende universet fra, hvor kom det fra? multiverset kommer fra, hvorfor eksisterer universet alltid?» og så videre. Grunnårsaken til alt kan ikke finnes i prinsippet, den er ikke inneholdt i noe objekt, fenomen eller konsept. Derfor tilsvarer dette fraværet for en person. Teoretisk sett kan man anta eksistensen av en utenforstående observatør utenfor universet vårt, som vil svare på spørsmålet om hvor alt kom fra (det samme tilleggsaksiomet, en utvidelse i Gödels teorem), men da vil spørsmålet oppstå hvor den ytre observatøren, hans universet og grunnårsaken til alt dette kom fra.

Kurt Gödels ufullstendighetsteoremer var et vendepunkt i det 20. århundres matematikk. Og i manuskriptene hans, utgitt etter hans død, ble et logisk bevis på Guds eksistens bevart. Ved de siste julelesningene ble det laget en interessant rapport om denne lite kjente arven av førsteamanuensis ved Tobolsk Theological Seminary, teologikandidat, prest Dimitry KIRYANOV. "NS" ba om å forklare forskerens hovedideer.

Gödels ufullstendighetsteorem: Et hull i matematikk

— Er det noen populær måte å forklare Gödels ufullstendighetsteoremer på? Barberen barberer kun de som ikke barberer seg. Barberer en frisør seg? Har dette berømte paradokset noe med dem å gjøre?

Hovedtesen for det logiske beviset på Guds eksistens, fremsatt av Kurt Gödel: "Gud eksisterer i tanken. Men eksistens i virkeligheten er mer enn eksistensen bare i tanken. Derfor må Gud eksistere." På bildet: forfatteren av ufullstendighetsteoremet, Kurt Gödel, sammen med sin venn, forfatteren av relativitetsteorien, Albert Einstein. Priston. Amerika. 1950

– Ja, selvfølgelig gjør det det. Før Gödel var det problemet med aksiomatisering av matematikk og problemet med slike paradoksale setninger som formelt kan skrives på ethvert språk. For eksempel: "Denne påstanden er falsk." Hva er sannheten i denne uttalelsen? Hvis det er sant, så er det usant, hvis det er usant, så er det sant; Dette resulterer i et språklig paradoks. Gödel studerte aritmetikk og viste i sine teoremer at dens konsistens ikke kan bevises basert på dens selvinnlysende prinsipper: aksiomene addisjon, subtraksjon, divisjon, multiplikasjon, etc. Vi krever noen ekstra forutsetninger for å rettferdiggjøre det. Dette er på det meste den enkleste teorien, men hva med mer komplekse (fysikkligninger osv.)! For å rettferdiggjøre ethvert system av slutninger, er vi alltid tvunget til å ty til noen ekstra slutninger, som ikke er berettiget innenfor rammen av systemet.

For det første indikerer dette begrensningene til menneskesinnets krav i kunnskapen om virkeligheten. Det vil si at vi ikke kan si at vi skal bygge en slags omfattende teori om universet som vil forklare alt – en slik teori kan ikke være vitenskapelig.

— Hvordan føler matematikere nå om Gödels teoremer? Er det ingen som prøver å motbevise dem eller på en eller annen måte komme seg rundt dem?

"Det er som å prøve å motbevise Pythagoras teorem." Teoremene har strenge logiske bevis. Samtidig forsøkes det å finne restriksjoner på anvendeligheten av Gödels teoremer. Men hovedsakelig dreier debatten seg om de filosofiske implikasjonene av Gödels teoremer.

— Hvor langt har Gödels bevis på Guds eksistens blitt utviklet? Er den ferdig?

"Det ble utarbeidet i detalj, selv om forskeren selv ikke turte å publisere det før han døde." Gödel utvikler ontologisk (metafysisk. - "NS") argument først foreslått av Anselm fra Canterbury. I en fortettet form kan dette argumentet presenteres som følger: «Gud, per definisjon, er den Ene enn hvem ingenting større kan tenkes. Gud eksisterer i tenkningen. Men eksistens i virkeligheten er mer enn eksistensen bare i tanken. Derfor må Gud eksistere." Anselms argument ble senere utviklet av René Descartes og Gottfried Wilhelm Leibniz. Å tenke på det Høyeste Perfekte Vesen, som mangler eksistens, betyr altså, ifølge Descartes, å falle inn i en logisk motsetning. I sammenheng med disse ideene utvikler Gödel sin versjon av beviset, det passer bokstavelig talt på to sider. Dessverre er det umulig å presentere argumentet hans uten å introdusere det grunnleggende om svært kompleks modal logikk.

Selvfølgelig tvinger ikke den logiske feilfriheten i Gödels konklusjoner en person til å bli troende under presset fra bevisstyrken. Vi skal ikke være naive og tro at vi kan overbevise noen på en intelligent måte tenkende mannå tro på Gud ved å bruke et ontologisk argument eller andre bevis. Tro er født når en person står ansikt til ansikt med den åpenbare tilstedeværelsen av Guds øverste transcendentale virkelighet. Men vi kan nevne minst én person som ontologiske bevis førte til religiøs tro - forfatteren Clive Staples Lewis, han innrømmet selv dette.

Den fjerne fremtiden er den fjerne fortiden

— Hvordan behandlet samtiden Gödel? Var han venn med noen av de store forskerne?

— Einsteins assistent i Princeton vitner om det den eneste personen, som han var venn med i fjor livet, var Kurt Gödel. De var forskjellige i nesten alt – Einstein var omgjengelig og blid, mens Gödel var ekstremt alvorlig, fullstendig ensom og mistroisk. Men det hadde de generell kvalitet: Begge gikk direkte og oppriktig til vitenskapens og filosofiens sentrale spørsmål. Til tross for vennskapet med Einstein, hadde Gödel sitt eget spesifikke syn på religion. Han avviste ideen om Gud som et upersonlig vesen, slik Gud var for Einstein. Ved denne anledningen bemerket Gödel: «Einsteins religion er for abstrakt, som Spinozas og indisk filosofi. Spinozas Gud er mindre enn en person; min Gud er mer enn en person; siden Gud kan spille rollen som personlighet.» Det kan være ånder som ikke har en kropp, men som kan kommunisere med oss ​​og påvirke verden."

— Hvordan havnet Gödel i Amerika? Flykt fra nazistene?

— Ja, han kom til Amerika i 1940 fra Tyskland, til tross for at nazistene anerkjente ham som en arisk og en stor vitenskapsmann, og frigjorde ham fra militærtjeneste. Han og kona Adele tok seg gjennom Russland langs den transsibirske jernbanen. Han etterlot seg ingen minner fra denne reisen. Adele husker bare konstant frykt om natten, at de stopper og kommer tilbake. Etter åtte år med å bo i Amerika, ble Gödel amerikansk statsborger. Som alle søkere om statsborgerskap, måtte han svare på spørsmål angående den amerikanske grunnloven. Som en nøye person forberedte han seg veldig nøye til denne eksamen. Til slutt sa han at han hadde funnet en inkonsekvens i grunnloven: "Jeg har oppdaget en logisk legitim mulighet der USA kan bli et diktatur." Vennene hans erkjente at, uavhengig av de logiske fordelene ved Gödels argument, var denne muligheten rent hypotetisk, og advarte mot å snakke lenge om dette emnet i eksamen.

– Brukte Gödel og Einstein hverandres ideer i vitenskapelig arbeid?

— I 1949 uttrykte Gödel sine kosmologiske ideer i et matematisk essay, som ifølge Albert Einstein var et viktig bidrag til generell teori relativt. Gödel trodde at tiden - "den mystiske og samtidig selvmotsigende essensen som danner grunnlaget for verden og vår egen eksistens" - til slutt ville bli den største illusjon. Det "en dag" vil slutte å eksistere, og en annen form for eksistens vil komme, som kan kalles evighet. Denne ideen om tid førte den store logikeren til en uventet konklusjon. Han skrev: «Jeg er overbevist om et liv etter døden, uavhengig av teologi. Hvis verden er intelligent utformet, så må det være et liv etter døden."

- "Tid er en selvmotsigende enhet." Høres rart ut; den har noen fysisk mening?

— Gödel viste at innenfor rammen av Einsteins ligning er det mulig å konstruere en kosmologisk modell med lukket tid, der fjern fortid og fjern fremtid faller sammen. I denne modellen blir det teoretisk mulig reise i tide. Det høres rart ut, men det er matematisk uttrykkbart – det er poenget. Denne modellen kan ha eksperimentelle implikasjoner eller ikke. Det er en teoretisk konstruksjon som kan være nyttig for å konstruere nye kosmologiske modeller – eller kan vise seg å være unødvendig. Moderne teoretisk fysikk, spesielt kvantekosmologi, har en så kompleks matematisk struktur at det er svært vanskelig å gi en entydig filosofisk forståelse til disse strukturene. Dessuten er noen av dens teoretiske design så langt ikke testbare eksperimentelt av den enkle grunn at verifiseringen deres krever påvisning av partikler med svært høy energi. Husk hvordan folk ble skremt om lanseringen av Large Hadron Collider: betyr massemedia stadig skremte mennesker med den nærmer seg verdens ende. Det ble faktisk tatt på alvor vitenskapelig eksperiment på testing av modeller for kvantekosmologi og såkalte «grand unified theories». Hvis det var mulig å oppdage de såkalte Higgs-partiklene, ville dette være neste steg i vår forståelse av de mest tidlige stadier eksistensen av vårt univers. Men selv om det ikke er noen eksperimentelle data, fortsetter konkurrerende modeller av kvantekosmologi å forbli bare matematiske modeller.

Tro og intuisjon

— «...Min Gud er mer enn en person; siden Gud kan spille rollen som en person...» Likevel er Gödels tro langt fra den ortodokse bekjennelsen?

— Svært få av Gödels utsagn om troen hans har overlevd; de har blitt samlet inn bit for bit. Til tross for at Gödel laget de første utkastene til sin egen versjon av argumentet tilbake i 1941, snakket han ikke om det før i 1970, i frykt for latterliggjøringen av kollegene. I februar 1970, da han merket at døden nærmet seg, lot han assistenten sin kopiere en versjon av beviset hans. Etter Gödels død i 1978, ble en litt annen versjon av det ontologiske argumentet oppdaget i avisene hans. Kurt Gödels kone, Adele, sa to dager etter ektemannens død at Gödel, "selv om han ikke gikk i kirken, var religiøs og leste Bibelen i sengen hver søndag morgen."

Når vi snakker om forskere som Gödel, Einstein eller for eksempel Galileo eller Newton, er det viktig å understreke at de ikke var ateister. De så at bak universet er det et sinn, en viss Høy effekt. For mange forskere, troen på eksistensen Høyeste intelligens var en av konsekvensene av deres vitenskapelige refleksjon, og denne refleksjonen førte ikke alltid til at det oppsto en dyp religiøs forbindelse mellom mennesket og Gud. I forhold til Gödel kan vi si at han følte behov for denne forbindelsen, siden han understreket at han var teist og tenkte på Gud som person. Men hans tro kan selvfølgelig ikke kalles ortodoks. Han var så å si en «hjemmelutheraner».

– Du kan gi historiske eksempler: hvordan kommer forskjellige forskere til å tro på Gud? Her er genetikeren Francis Collins, ifølge hans bekjennelser førte studiet av strukturen til DNA ham til tro på Gud...

— Naturlig kunnskap om Gud i seg selv er ikke tilstrekkelig for kunnskap om Gud. Det er ikke nok å oppdage Gud ved å studere naturen, det er viktig å lære ham å kjenne gjennom åpenbaringen som Gud ga mennesket. En persons komme til tro, enten han er en vitenskapsmann eller ikke, er alltid avhengig av noe som går utover bare logiske eller vitenskapelige argumenter. Francis Collins skriver at han kom til tro i en alder av 27 etter en lang intellektuell debatt med seg selv og under påvirkning av Clive Staples Lewis. To mennesker er i samme historiske situasjon, i samme begynnelsesforhold: den ene blir troende, den andre ateist. For det første fører studiet av DNA til troen på Guds eksistens. En annen studier og kommer ikke til denne konklusjonen. To personer ser på et bilde: den ene synes det er vakkert, og den andre sier: «Så som så, et vanlig bilde!» Den ene har smak, intuisjon, og den andre har ikke. Professor i ortodokse St. Tikhon's humanitært universitet Vladimir Nikolaevich Katasonov, doktor i filosofi, en matematiker av utdanning, sier: "Ingen bevis i matematikk er mulig uten intuisjon: en matematiker ser først bildet, og formulerer deretter beviset."

Spørsmålet om en persons komme til tro er alltid et spørsmål som går utover bare logiske resonnementer. Hvordan kan du forklare hva som førte deg til tro? Mannen svarer: Jeg gikk til templet, tenkte, leste dette og hint, så universets harmoni; men det viktigste, det mest eksepsjonelle øyeblikket der en person plutselig vet at han har møtt Guds nærvær, kan ikke uttrykkes. Det er alltid et mysterium.

– Du kan identifisere problemer du ikke kan løse moderne vitenskap?

— Vitenskapen er tross alt et tilstrekkelig selvsikkert, uavhengig og godt fremskritt foretak til å si så hardt ut. Det er et godt og veldig nyttig verktøy i menneskehender. Siden Francis Bacons tid har kunnskap virkelig blitt en kraft som har forandret verden. Vitenskapen utvikler seg i samsvar med dens interne lover: vitenskapsmannen streber etter å forstå universets lover, og det er ingen tvil om at dette søket vil føre til suksess. Men samtidig er det nødvendig å anerkjenne vitenskapens grenser. Man bør ikke blande sammen vitenskap og de ideologiske spørsmålene som kan reises i forbindelse med vitenskap. Nøkkelsaker i dag forbindes ikke så mye med den vitenskapelige metoden, men med verdiorienteringer. Vitenskap i løpet av det lange tjuende århundre ble av mennesker oppfattet som et absolutt gode som bidrar til menneskehetens fremgang; og vi ser at det tjuende århundre ble det mest grusomme når det gjelder menneskelige tap. Og her oppstår spørsmålet om verdier vitenskapelige fremskritt, kunnskap generelt. Etiske verdier følger ikke av vitenskapen selv. En briljant vitenskapsmann kan finne opp et våpen for å ødelegge hele menneskeheten, og dette reiser et spørsmål om vitenskapsmannens moralske ansvar, som vitenskapen ikke kan svare på. Vitenskapen kan ikke vise mennesket meningen og hensikten med dets eksistens. Vitenskapen vil aldri kunne svare på spørsmålet, hvorfor er vi her? Hvorfor eksisterer universet? Disse spørsmålene løses på et annet kunnskapsnivå, som filosofi og religion.

— Foruten Gödels teoremer, er det andre bevis på at den vitenskapelige metoden har sine begrensninger? Innrømmer forskerne selv dette?

— Allerede på begynnelsen av 1900-tallet påpekte filosofene Bergson og Husserl relativ verdi vitenskapelig kunnskap om naturen. Det har nå blitt nesten universell oppfatning blant vitenskapsfilosofer at vitenskapelige teorier representerer hypotetiske modeller for å forklare fenomener. En av skaperne kvantemekanikk— Erwin Schrödinger sa det elementærpartikler er bare bilder, men vi kan lett klare oss uten dem. I følge filosofen og logikeren Karl Popper er vitenskapelige teorier som et nett som vi prøver å fange verden gjennom, de er ikke som fotografier. Vitenskapelige teorier er i konstant utvikling og endring. Skaperne av kvantemekanikk, som Pauli, Bohr og Heisenberg, snakket om grensene for den vitenskapelige metoden. Pauli skrev: «... Fysikk og psyke kan betraktes som tilleggsaspekter en og samme virkelighet» - og fokuserte på irreducerbarheten høyere nivåer være til de lavere. De ulike forklaringene dekker bare ett aspekt av saken om gangen, men en omfattende teori vil aldri bli oppnådd.

Universets skjønnhet og harmoni forutsetter muligheten for å kjenne det vitenskapelige metoder. Samtidig har kristne alltid forstått det ubegripelige i mysteriet bak dette materielle universet. Universet har ingen basis i seg selv og peker på den perfekte kilden til eksistens – Gud.

Jeg har lenge vært interessert i hva det oppsiktsvekkende Gödel-teoremet er. Og hvordan er det nyttig for livet. Og endelig klarte jeg å finne ut av det.

Den mest populære formuleringen av teoremet høres slik ut:
"Hvert system av matematiske aksiomer, med utgangspunkt i et visst kompleksitetsnivå, er enten internt motstridende eller ufullstendig."

Jeg vil oversette det til menneskelig ikke-matematisk språk som følger (et aksiom er den opprinnelige posisjonen til en teori, akseptert som sann innenfor rammen av denne teorien uten krav om bevis og brukt som grunnlag for beviset for dens andre bestemmelser) . I livet er et aksiom prinsippene som følges av en person, et samfunn, vitenskapelig retning, opplyser. Representanter for religion kaller aksiomer for dogmer. Følgelig blir alle våre prinsipper, ethvert system av synspunkter, som starter fra et visst nivå, internt motstridende eller ufullstendige. For å bli overbevist om sannheten til en viss uttalelse, må du gå utover rammen av dette trossystemet og bygge et nytt. Men det vil også være ufullkomment. Det vil si at PROSESSEN MED KOGNISJON ER UENDELIG. Verden kan ikke forstås fullt ut før vi når den opprinnelige kilden.

"...hvis vi anser evnen til å resonnere logisk for å være hovedkarakteristikken til menneskesinnet, eller i det minste dets hovedverktøy, så indikerer Gödels teorem direkte hjernens begrensede evner. Enig i at det er veldig vanskelig for en person oppdratt til å tro på tankens uendelige kraft tese om grensene for dens makt... Mange eksperter mener at de formelle beregningsmessige, "aristoteliske" prosessene som ligger til grunn logisk tenkning, utgjør bare en del menneskelig bevissthet. Det andre området, grunnleggende "ikke-beregningsmessig", er ansvarlig for slike manifestasjoner som intuisjon, kreativ innsikt og forståelse. Og hvis den første halvdelen av sinnet faller inn under Gödelske restriksjoner, så er den andre fri fra slike rammer... Fysiker Roger Penrose gikk enda lenger. Han foreslo eksistensen av noen kvanteeffekter av en ikke-beregningsmessig natur som sikrer implementeringen av kreative bevissthetshandlinger... En av de mange konsekvensene av Penrose-hypotesen kan spesielt være konklusjonen om den grunnleggende umuligheten av å skape kunstig intelligens basert på moderne dataenheter, selv om fremkomsten av kvantedatamaskiner fører til et stort gjennombrudd innen databehandling. Faktum er at enhver datamaskin bare kan modellere mer og mer detaljert arbeidet med den formelle-logiske, "beregningsmessige" aktiviteten til menneskelig bevissthet, men intellektets "ikke-beregningsmessige" evner er utilgjengelige for den.

En av de viktige konsekvensene av Gödels teorem er konklusjonen om at man ikke kan tenke i ekstremer. Alltid innenfor grensene eksisterende teori det vil være et utsagn som verken kan bevises eller motbevises. Eller, med andre ord, for et utsagn vil det alltid være et par som motbeviser det.

Neste konklusjon. Godt og ondt er bare to sider av samme sak, uten hvilke det ikke kan eksistere. Og det kommer fra prinsippet om at i universet er det bare én kilde til alt: godt og ondt, kjærlighet og hat, liv og død.

Enhver erklæring om fullstendighet av systemet er falsk. Du kan ikke stole på dogmer, for før eller siden vil de bli tilbakevist.

Slik sett er moderne religioner i en kritisk situasjon: kirkens dogmer motsetter seg utviklingen av våre ideer om verden. De prøver å presse alt inn i rammen av rigide konsepter. Men dette fører til det faktum at fra monoteisme, fra den eneste kilden til alle naturlige prosesser de beveger seg til hedenskap, hvor det er gode krefter og ondes krefter, det er en god gud et sted langt i himmelen, og der er djevelen (ondskapens gud), som lenge har lagt poten på alt som er på Jord. Denne tilnærmingen fører til deling av alle mennesker i venner og fiender, i rettferdige og syndere, i troende og kjettere, i venner og fiender.

Her er en annen kort tekst som populært avslører essensen som følger av Gödels teorem:
"Det ser ut til at dette teoremet har en viktig rolle filosofisk mening. Det er bare to alternativer:

a) Teorien er ufullstendig, dvs. teorimessig er det mulig å formulere et spørsmål som det verken kan utledes positivt eller negativt svar på fra teoriens aksiomer/postulater. Dessuten kan svarene på alle slike spørsmål gis innenfor rammen av en mer omfattende teori, der den gamle vil være et spesielt tilfelle. Men denne ny teori vil ha sine egne "ubesvarte spørsmål" og så videre i det uendelige.

b) Fullstendig, men motstridende. Ethvert spørsmål kan besvares, men noen spørsmål kan besvares både positivt og negativt på samme tid.

Vitenskapelige teorier tilhører den første typen. De er konsekvente, men det betyr at de ikke dekker alt. Det kan ikke være noen "finale" vitenskapelig teori. Enhver teori er ufullstendig og beskriver ikke noe, selv om vi ennå ikke vet nøyaktig hva. Man kan bare lage mer og mer omfattende teorier. For meg personlig er dette en grunn til optimisme, fordi det betyr at vitenskapens bevegelse fremover aldri vil stoppe.

«Den allmektige Gud» tilhører den andre typen. Den allmektige Gud er svaret på alle spørsmål. Og dette betyr automatisk at det fører til logisk absurditet. Paradokser som den "overveldende steinen" kan oppfinnes i partier.

Alt i alt, vitenskapelig kunnskap sant (konsistent), men beskriver ikke alt til enhver tid. Samtidig er det ingenting som hindrer oss i å skyve grensene for det kjente til det uendelige; lenger og lenger, og før eller siden, blir enhver ukjent kjent. Religion hevder å være det Full beskrivelse verden "akkurat nå", men samtidig automatisk feil (absurd)."

På en gang, da jeg nettopp startet min voksenlivet, jeg holdt på med programmering. Og det var et slikt prinsipp: Hvis det gjøres mange rettelser i programmet, må det skrives om igjen. Dette prinsippet samsvarer etter min mening med Gödels teorem. Hvis et program blir mer komplekst, blir det inkonsekvent. Og det vil ikke fungere riktig.

Nok et eksempel fra livet. Vi lever i en tid da tjenestemenn erklærer at hovedprinsippet for eksistens skal være loven. Det vil si rettssystemet. Men så snart lovverket begynner å bli mer komplekst og regelverket begynner å blomstre, begynner lovene å motsi hverandre. Det er dette vi ser nå. Du kan aldri lage noe slikt rettssystem, som vil beskrive alle aspekter av livet. Og på den annen side ville det vært rettferdig for alle. Fordi begrensningene i vår forståelse av verden alltid vil komme ut. Og menneskelige lover vil på et tidspunkt begynne å komme i konflikt med universets lover. Vi forstår mange ting intuitivt. Vi må også intuitivt bedømme andre menneskers handlinger. Det er nok for en stat å ha en grunnlov. Og basert på artiklene i denne grunnloven, regulere forhold i samfunnet. Men før eller siden må grunnloven endres.

Unified State Exam er et annet eksempel på feilslutningen i våre ideer om menneskelige evner. Vi prøver å teste hjernens beregningsevne i en eksamen. Men intuitive evner ble ikke lenger utviklet på skolen. Men en person er ikke en biorobot. Det er umulig å lage et poengsystem som kan identifisere alle mulighetene som ligger i en person, i hans bevissthet, i hans underbevissthet og i hans psyke.

For nesten 100 år siden gjorde Gödel utrolige fremskritt i å forstå universets lover. Men vi har fortsatt ikke vært i stand til å dra nytte av dette, med tanke på dette teoremet som svært spesialisert matematisk problem for en smal krets av mennesker som arbeider med noen abstrakte emner i sin krets. Sammen med kvanteteori og med Kristi lære gir Gödels teorem oss muligheten til å bryte ut av falske dogmers fangenskap, for å overvinne krisen som fortsatt vedvarer i vårt verdensbilde. Og det er mindre og mindre tid igjen.