Vietas teorem i irrasjonelle ligninger. Formel for røttene til en kvadratisk ligning

I. Vietas teorem for det gitte kvadratisk ligning.

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 +px+q=0 lik den andre koeffisienten tatt fra motsatt tegn, og produktet av røttene er lik fribegrepet:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 =q.

Finn røttene til den gitte kvadratiske ligningen ved å bruke Vietas teorem.

Eksempel 1) x 2 -x-30=0. Dette er den reduserte andregradsligningen ( x 2 +px+q=0), andre koeffisient p=-1, og det gratis medlemmet q=-30. Først, la oss sørge for at denne ligningen har røtter, og at røttene (hvis noen) vil bli uttrykt i heltall. For dette er det tilstrekkelig at den diskriminerende er perfekt firkant helt nummer.

Finne diskriminanten D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nå, ifølge Vietas teorem, må summen av røttene være lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, dvs. ( -s), og produktet er lik fritiden, dvs. ( q). Deretter:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 =-30. Vi må velge to tall slik at produktet deres er lik -30 , og beløpet er enhet. Dette er tall -5 Og 6 . Svar: -5; 6.

Eksempel 2) x 2 +6x+8=0. Vi har den reduserte andregradsligningen med den andre koeffisienten p=6 og gratis medlem q=8. La oss sørge for at det er heltallsrøtter. La oss finne diskriminanten D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminanten D 1 er det perfekte kvadratet av tallet 1 , som betyr røtter gitt ligning er heltall. La oss velge røttene ved å bruke Vietas teorem: summen av røttene er lik –р=-6, og produktet av røttene er lik q=8. Dette er tall -4 Og -2 .

Faktisk: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Svar: -4; -2.

Eksempel 3) x 2 +2x-4=0. I denne reduserte kvadratiske ligningen, den andre koeffisienten p=2, og det gratis medlemmet q=-4. La oss finne diskriminanten D 1, siden den andre koeffisienten er partall. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminanten er ikke et perfekt kvadrat av tallet, så det gjør vi konklusjon: røttene til denne ligningen er ikke heltall og kan ikke finnes ved å bruke Vietas teorem. Dette betyr at vi løser denne ligningen, som vanlig, ved å bruke formlene (i i dette tilfellet i henhold til formler). Vi får:

Eksempel 4). Skriv en andregradsligning ved å bruke røttene if x 1 = -7, x 2 = 4.

Løsning. Den nødvendige ligningen vil bli skrevet i formen: x 2 +px+q=0, og, basert på Vietas teorem –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Deretter vil ligningen ha formen: x 2 +3x-28=0.

Eksempel 5). Skriv en kvadratisk ligning ved å bruke røttene hvis:

II. Vietas teorem for en fullstendig andregradsligning ax 2 +bx+c=0.

Summen av røttene er minus b, delt på EN, produktet av røttene er lik Med, delt på EN:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙ x 2 =c/a.

Før vi går videre til Vietas teorem, introduserer vi en definisjon. Kvadratisk ligning av formen x² + px + q= 0 kalles redusert. I denne ligningen er den ledende koeffisienten lik en. For eksempel ligningen x² - 3 x- 4 = 0 reduseres. Enhver annengradsligning av formen øks² + b x + c= 0 kan reduseres ved å dele begge sider av ligningen med EN≠ 0. For eksempel ligning 4 x² + 4 x— 3 = 0 ved å dele på 4 reduseres til formen: x² + x- 3/4 = 0. La oss utlede formelen for røttene til den reduserte andregradsligningen for dette bruker vi formelen for røttene til en generell andregradsligning: øks² + bx + c = 0

Redusert ligning x² + px + q= 0 sammenfaller med en generell ligning der EN = 1, b = s, c = q. Derfor, for den gitte kvadratiske ligningen, har formelen formen:

det siste uttrykket kalles formelen for røttene til den reduserte andregradsligningen det er spesielt praktisk å bruke denne formelen når R- partall. La oss for eksempel løse ligningen x² — 14 x — 15 = 0

Som svar skriver vi at ligningen har to røtter.

For den reduserte andregradslikningen med positiv, gjelder følgende teorem.

Vietas teorem

Hvis x 1 og x 2 - røttene til ligningen x² + px + q= 0, da er formlene gyldige:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 = q, det vil si at summen av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

Basert på formelen for røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen, har vi:

Ved å legge til disse likhetene får vi: x 1 + x 2 = —R.

Ved å multiplisere disse likhetene, ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater, får vi:

Merk at Vietas teorem også er gyldig når diskriminanten er lik null, hvis vi antar at i dette tilfellet har kvadratisk ligning to identiske røtter: x 1 = x 2 = — R/2.

Uten å løse ligninger x² — 13 x+ 30 = 0 finn summen og produktet av røttene x 1 og x 2. denne ligningen D= 169 – 120 = 49 > 0, så Vietas teorem kan brukes: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. La oss se på noen flere eksempler. En av røttene til ligningen x² — px- 12 = 0 er lik x 1 = 4. Finn koeffisient R og den andre roten x 2 i denne ligningen. Etter Vietas teorem x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Fordi x 1 = 4, deretter 4 x 2 = - 12, hvorfra x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Som svar skriver vi ned den andre roten x 2 = - 3, koeffisient p = — 1.

Uten å løse ligninger x² + 2 x- 4 = 0 la oss finne summen av kvadratene av røttene. La x 1 og x 2 - røttene til ligningen. Etter Vietas teorem x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Fordi x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 da x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

La oss finne summen og produktet av røttene til ligning 3 x² + 4 x— 5 = 0. Denne ligningen har to ulike røtter, siden diskriminanten D= 16 + 4*3*5 > 0. For å løse ligningen bruker vi Vietas teorem. Denne teoremet er bevist for den gitte kvadratiske ligningen. Så la oss dele denne ligningen med 3.

Derfor er summen av røttene lik -4/3, og produktet deres er lik -5/3.

I generell sak røttene til ligningen øks² + b x + c= 0 er relatert med følgende likheter: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, For å få disse formlene er det nok å dele begge sider av denne kvadratiske ligningen med EN ≠ 0 og bruk Vietas teorem på den resulterende reduserte kvadratiske ligningen. La oss vurdere et eksempel: du må lage en redusert kvadratisk ligning hvis røtter x 1 = 3, x 2 = 4. Fordi x 1 = 3, x 2 = 4 - røttene til andregradsligningen x² + px + q= 0, deretter etter Vietas teorem R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Vi skriver svaret som x² — 7 x+ 12 = 0. Ved løsning av noen oppgaver brukes følgende teorem.

Teorem invers til Vietas teorem

Hvis tallene R, q, x 1 , x 2 er slik at x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Det x 1 Og x 2- røttene til ligningen x² + px + q= 0. Bytt inn på venstre side x² + px + q i stedet for R uttrykk - ( x 1 + x 2), og i stedet q- arbeid x 1 * x 2. Vi får: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Således, hvis tallene R, q, x 1 og x 2 er forbundet med disse relasjonene, da for alle X likestilling holder x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), som det følger av x 1 og x 2 - røttene til ligningen x² + px + q= 0. Ved å bruke teoremet invers til Vietas teorem, kan du noen ganger finne røttene til en kvadratisk ligning ved å velge. La oss se på et eksempel, x² — 5 x+ 6 = 0. Her R = — 5, q= 6. La oss velge to tall x 1 og x 2 slik at x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Når vi legger merke til at 6 = 2 * 3, og 2 + 3 = 5, ved teoremet invers til Vietas teorem, får vi at x 1 = 2, x 2 = 3 - røttene til ligningen x² — 5 x + 6 = 0.

En av metodene for å løse en andregradsligning er å bruke VIET-formler, som ble oppkalt etter FRANCOIS VIETTE.

Han var en kjent advokat, og tjenestegjorde på 1500-tallet fransk konge. I fritid studerte astronomi og matematikk. Han etablerte en forbindelse mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning.

Fordeler med formelen:

1 . Ved å bruke formelen kan du raskt finne en løsning. Fordi det ikke er nødvendig å legge inn den andre koeffisienten i kvadratet, så trekk 4ac fra den, finn diskriminanten og sett inn verdien i formelen for å finne røttene.

2 . Uten en løsning kan du bestemme tegnene til røttene og velge verdiene til røttene.

3 . Etter å ha løst et system med to poster, er det ikke vanskelig å finne røttene selv. I den ovennevnte kvadratiske ligningen er summen av røttene lik verdien av den andre koeffisienten med et minustegn. Produktet av røttene i den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik verdien av den tredje koeffisienten.

4 . Bruk disse røttene, skriv ned en andregradsligning, det vil si løs omvendt problem. For eksempel brukes denne metoden ved løsning av problemer i teoretisk mekanikk.

5 . Det er praktisk å bruke formelen når ledende koeffisient er lik én.

Feil:

1 . Formelen er ikke universell.

Vietas teorem 8. klasse

Formel
Hvis x 1 og x 2 er røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0, så:

Eksempler
x 1 = -1; x 2 = 3 - røttene til ligningen x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Omvendt teorem

Formel
Hvis tallene x 1, x 2, p, q er relatert av betingelsene:

Da er x 1 og x 2 røttene til ligningen x 2 + px + q = 0.

Eksempel
La oss lage en kvadratisk ligning ved å bruke røttene:

X 1 = 2 - ? 3 og x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 ) (2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Den nødvendige ligningen har formen: x 2 - 4x + 1 = 0.

Diskriminanten begynner, som andregradsligninger, å bli studert i et algebrakurs i 8. klasse. Du kan løse en andregradsligning gjennom en diskriminant og bruke Vietas teorem. Metoden for å studere kvadratiske ligninger, så vel som diskriminerende formler, er ganske mislykket lært til skolebarn, som mange ting i ekte utdanning. Derfor passerer de skoleår, utdanning i klasse 9-11 erstatter " høyere utdanning"og alle ser igjen - "Hvordan løser du en kvadratisk ligning?", "Hvordan finne røttene til ligningen?", "Hvordan finne diskriminanten?" Og...

Diskriminerende formel

Diskriminanten D i den andregradsligningen a*x^2+bx+c=0 er lik D=b^2–4*a*c.
Røttene (løsningene) til en kvadratisk ligning avhenger av tegnet til diskriminanten (D):
D>0 – ligningen har 2 forskjellige reelle røtter;
D=0 - ligningen har 1 rot (2 samsvarende røtter):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formelen for å beregne diskriminanten er ganske enkel, så mange nettsteder tilbyr en online diskriminantkalkulator. Vi har ikke funnet ut av denne typen skript ennå, så hvis noen vet hvordan man implementerer dette, vennligst skriv til oss på e-post Denne e-postadressen er beskyttet mot spambots. Du må ha JavaScript aktivert for å se den. .

Generell formel for å finne røttene til en kvadratisk ligning:

Vi finner røttene til ligningen ved hjelp av formelen
Hvis koeffisienten til en kvadratisk variabel er sammenkoblet, er det tilrådelig å beregne ikke diskriminanten, men dens fjerde del
I slike tilfeller finner man røttene til ligningen ved hjelp av formelen

Den andre måten å finne røtter på er Vietas teorem.

Teoremet er formulert ikke bare for andregradsligninger, men også for polynomer. Du kan lese dette på Wikipedia eller andre elektroniske ressurser. Men for å forenkle, la oss vurdere delen som angår de ovennevnte kvadratiske ligningene, det vil si ligninger av formen (a=1)
Essensen av Vietas formler er at summen av røttene til ligningen er lik koeffisienten til variabelen, tatt med motsatt fortegn. Produktet av røttene til ligningen er lik frileddet. Vietas teorem kan skrives i formler.
Utledningen av Vietas formel er ganske enkel. La oss skrive andregradsligningen gjennom enkle faktorer
Som du kan se, er alt genialt enkelt på samme tid. Det er effektivt å bruke Vietas formel når forskjellen i modulus til røttene eller forskjellen i modulene til røttene er 1, 2. For eksempel har følgende likninger, ifølge Vietas teorem, røtter




Frem til ligning 4 skal analysen se slik ut. Produktet av røttene til ligningen er 6, derfor kan røttene være verdiene (1, 6) og (2, 3) eller par med motsatt fortegn. Summen av røttene er 7 (koeffisienten til variabelen med motsatt fortegn). Herfra konkluderer vi med at løsningene til andregradsligningen er x=2; x=3.
Det er lettere å velge røttene til ligningen blant divisorene til frileddet, ved å justere fortegnet for å oppfylle Vieta-formlene. Til å begynne med virker dette vanskelig å gjøre, men med øvelse på en rekke andregradsligninger vil denne teknikken være mer effektiv enn å beregne diskriminanten og finne røttene til kvadratisk ligning på klassisk måte.
Som du kan se, er skoleteorien om å studere diskriminanten og metoder for å finne løsninger på ligningen blottet for praktisk mening - "Hvorfor trenger skolebarn en andregradsligning?", "Hva er den fysiske betydningen av diskriminanten?"

La oss prøve å finne ut av det Hva beskriver diskriminanten?

I algebrakurset studerer de funksjoner, skjemaer for å studere funksjoner og konstruere en graf over funksjoner. Av alle funksjonene inntar parabelen en viktig plass, hvis ligning kan skrives i formen
Så den fysiske betydningen av den kvadratiske ligningen er nullpunktene til parablen, det vil si skjæringspunktene for grafen til funksjonen med abscisseaksen Ox
Jeg ber deg huske egenskapene til parablene som er beskrevet nedenfor. Tiden vil komme for å ta eksamener, prøver eller opptaksprøver, og du vil være takknemlig for referansematerialet. Tegnet til den kvadrerte variabelen tilsvarer om grenene til parabelen på grafen vil gå opp (a>0),

eller en parabel med grener ned (a<0) .

Toppen av parabelen ligger midt mellom røttene

Fysisk betydning av diskriminanten:

Hvis diskriminanten er større enn null (D>0) har parabelen to skjæringspunkter med okseaksen.
Hvis diskriminanten er null (D=0) berører parabelen ved toppunktet x-aksen.
OG siste tilfelle, når diskriminanten er mindre enn null (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ufullstendige andregradsligninger

Enhver fullstendig andregradsligning ax 2 + bx + c = 0 kan bringes i tankene x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, hvis du først deler hvert ledd med koeffisienten a før x 2. Og hvis vi introduserer nye notasjoner (b/a) = p Og (c/a) = q, så vil vi ha ligningen x 2 + px + q = 0, som i matematikk heter gitt andregradsligning.

Røttene til den reduserte kvadratiske ligningen og koeffisientene s Og q knyttet til hverandre. Det er bekreftet Vietas teorem, oppkalt etter den franske matematikeren Francois Vieta, som levde på slutten av 1500-tallet.

Teorem. Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0 lik den andre koeffisienten s, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene - til fri sikt q.

La oss skrive disse relasjonene i følgende form:

La x 1 Og x 2 forskjellige røtter til den gitte ligningen x 2 + px + q = 0. I følge Vietas teorem x 1 + x 2 = -p Og x 1 x 2 = q.

For å bevise dette, la oss erstatte hver av røttene x 1 og x 2 i ligningen. Vi får to sanne likheter:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

La oss trekke den andre fra den første likheten. Vi får:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Vi utvider de to første leddene ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Etter tilstand er røttene x 1 og x 2 forskjellige. Derfor kan vi redusere likheten til (x 1 – x 2) ≠ 0 og uttrykke p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Den første likheten er bevist.

For å bevise den andre likheten, bytter vi inn i den første ligningen

x 1 2 + px 1 + q = 0 i stedet for koeffisienten p, et likt tall er (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Ved å transformere venstre side av ligningen får vi:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, som er det som måtte bevises.

Vietas teorem er bra fordi Selv uten å vite røttene til en kvadratisk ligning, kan vi beregne summen og produktet deres .

Vietas teorem hjelper til med å bestemme heltallsrøttene til en gitt kvadratisk ligning. Men for mange elever forårsaker dette vanskeligheter på grunn av det faktum at de ikke kjenner en klar handlingsalgoritme, spesielt hvis røttene til ligningen har forskjellige fortegn.

Så, den ovennevnte kvadratiske ligningen har formen x 2 + px + q = 0, hvor x 1 og x 2 er røttene. I følge Vietas teorem er x 1 + x 2 = -p og x 1 · x 2 = q.

Følgende konklusjon kan trekkes.

Hvis det siste leddet i ligningen innledes med et minustegn, så har røttene x 1 og x 2 forskjellige fortegn. I tillegg faller tegnet til den mindre roten sammen med tegnet til den andre koeffisienten i ligningen.

Basert på det faktum at når du legger til tall med forskjellige fortegn, trekkes modulene deres fra, og det resulterende resultatet blir innledet av tegnet på det større tallet i absolutt verdi, bør du fortsette som følger:

1. bestemme faktorene til tallet q slik at forskjellen deres er lik tallet p;
2. sett tegnet på den andre koeffisienten i ligningen foran det minste av de resulterende tallene; den andre roten vil ha motsatt fortegn.

La oss se på noen eksempler.

Eksempel 1.

Løs ligningen x 2 – 2x – 15 = 0.

Løsning.

La oss prøve å løse denne ligningen ved å bruke reglene foreslått ovenfor. Da kan vi med sikkerhet si at denne ligningen vil ha to forskjellige røtter, fordi D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Nå, fra alle faktorene til tallet 15 (1 og 15, 3 og 5), velger vi de som har forskjellen 2. Dette vil være tallene 3 og 5. Vi setter et minustegn foran det mindre tallet, dvs. tegn på den andre koeffisienten i ligningen. Dermed får vi røttene til ligningen x 1 = -3 og x 2 = 5.

Svar. x 1 = -3 og x 2 = 5.

Eksempel 2.

Løs ligningen x 2 + 5x – 6 = 0.

Løsning.

La oss sjekke om denne ligningen har røtter. For å gjøre dette finner vi en diskriminant:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Ligningen har to forskjellige røtter.

Mulige faktorer for tallet 6 er 2 og 3, 6 og 1. Forskjellen er 5 for paret 6 og 1. I dette eksemplet har koeffisienten til det andre leddet et plusstegn, derfor mindre antall vil ha samme tegn. Men før det andre tallet vil det være et minustegn.

Svar: x 1 = -6 og x 2 = 1.

Vietas teorem kan også skrives for en fullstendig andregradsligning. Så hvis den andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0 har røtter x 1 og x 2, så holder likhetene for dem

x 1 + x 2 = -(b/a) Og x 1 x 2 = (c/a). Imidlertid er anvendelsen av denne teoremet i en komplett kvadratisk ligning ganske problematisk, fordi hvis det er røtter, er det minst én av dem brøktall. Og det er ganske vanskelig å jobbe med å velge brøker. Men det er fortsatt en vei ut.

Tenk på den komplette andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0. Multipliser venstre og høyre side med koeffisienten a. Ligningen vil ha formen (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. La oss nå introdusere en ny variabel, for eksempel t = ax.

I dette tilfellet vil den resulterende ligningen bli til en redusert kvadratisk ligning av formen t 2 + bt + ac = 0, hvis røtter t 1 og t 2 (hvis noen) kan bestemmes av Vietas teorem.

I dette tilfellet vil røttene til den opprinnelige kvadratiske ligningen være

x 1 = (t 1 / a) og x 2 = (t 2 / a).

Eksempel 3.

Løs ligningen 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Løsning.

La oss lage en hjelpeligning. La oss multiplisere hvert ledd i ligningen med 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Vi gjør erstatningen t = 15x. Vi har:

t 2 – 11t + 30 = 0.

I følge Vietas teorem vil røttene til denne ligningen være t 1 = 5 og t 2 = 6.

Vi går tilbake til erstatningen t = 15x:

5 = 15x eller 6 = 15x. Så x 1 = 5/15 og x 2 = 6/15. Vi reduserer og får det endelige svaret: x 1 = 1/3 og x 2 = 2/5.

Svar. x 1 = 1/3 og x 2 = 2/5.

For å mestre å løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem, må elevene øve seg så mye som mulig. Dette er nettopp hemmeligheten bak suksess.

nettsiden, når du kopierer materialet helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.