Utdanningsdepartementet i Republikken Hviterussland

Utdanningsinstitusjon

"Gomel State University dem. F. Skorina"

Matematisk fakultet

Institutt for MPM

Identiske transformasjoner av uttrykk og metoder for å lære elevene hvordan de skal utføres

Utfører:

Student Starodubova A.Yu.

Vitenskapelig rådgiver:

Cand. fysikk og matematikk Sciences, førsteamanuensis Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Introduksjon

1 Hovedtyper av transformasjoner og stadier av studien deres. Stadier for å mestre bruken av transformasjoner

Konklusjon

Litteratur

Introduksjon

De enkleste transformasjonene av uttrykk og formler, basert på egenskapene til aritmetiske operasjoner, utføres i grunnskole og 5. og 6. klasse. Dannelsen av ferdigheter og evner til å utføre transformasjoner skjer i et algebrakurs. Dette skyldes både den kraftige økningen i antall og variasjon av transformasjoner som utføres, og komplikasjonen av aktiviteter for å rettferdiggjøre dem og klargjøre vilkårene for anvendelighet, identifisering og studie av de generaliserte konseptene identitet, identisk transformasjon, tilsvarende transformasjon.

1. Hovedtyper av transformasjoner og stadier av deres studie. Stadier for å mestre bruken av transformasjoner

1. Begynnelsen av algebra

Et udelt system med transformasjoner brukes, representert av regler for å utføre handlinger på en eller begge deler av formelen. Målet er å oppnå flyt i å fullføre oppgaver for å løse enkle ligninger, forenkle formler som definerer funksjoner, og rasjonelt utføre beregninger basert på egenskapene til handlinger.

Typiske eksempler:

Løs ligninger:

A) ; b) ; V).

Identisk transformasjon (a); ekvivalent og identisk (b).

2. Dannelse av ferdigheter i å anvende bestemte typer transformasjoner

Konklusjoner: forkortede multiplikasjonsformler; transformasjoner assosiert med eksponentiering; transformasjoner knyttet til ulike klasser av elementære funksjoner.

Organisasjon hele systemet transformasjoner (syntese)

Målet er å lage en fleksibel og kraftig enhet som er egnet for bruk til å løse en rekke pedagogiske oppgaver . Overgangen til dette stadiet utføres under den siste repetisjonen av kurset i løpet av å forstå det allerede kjente materialet som er lært i deler, ved visse typer transformasjoner legger til transformasjoner av trigonometriske uttrykk til de tidligere studerte typene. Alle disse transformasjonene kan kalles "algebraiske"; "analytiske" transformasjoner inkluderer de som er basert på reglene for differensiering og integrasjon og transformasjon av uttrykk som inneholder passasjer til grenser. Forskjellen av denne typen ligger i naturen til settet som variablene i identiteter (visse sett med funksjoner) går gjennom.

Identitetene som studeres er delt inn i to klasser:

I – identiteter av forkortet multiplikasjon gyldig i en kommutativ ring og identiteter

rettferdig i feltet.

II – identiteter som forbinder aritmetiske operasjoner og grunnleggende elementære funksjoner.

2 Funksjoner ved organiseringen av oppgavesystemet når man studerer identitetstransformasjoner

Hovedprinsippet for å organisere oppgavesystemet er å presentere dem fra enkle til komplekse.

Treningssyklus– kombinere i en sekvens av øvelser flere aspekter ved å studere og teknikker for å organisere materialet. Når man studerer identitetstransformasjoner, er en syklus av øvelser assosiert med studiet av én identitet, rundt hvilke andre identiteter som er i naturlig forbindelse med den, grupperes. Syklusen, sammen med de utøvende, inkluderer oppgaver, som krever anerkjennelse av anvendeligheten av den aktuelle identiteten. Identiteten som studeres brukes til å utføre beregninger på ulike numeriske domener. Oppgavene i hver syklus er delt inn i to grupper. TIL først Disse inkluderer oppgaver utført under innledende bekjentskap med identitet. De serverer undervisningsmateriell i flere påfølgende leksjoner samlet av ett emne.

Andre gruppeøvelser kobler identiteten som studeres med ulike applikasjoner. Denne gruppen danner ikke en kompositorisk enhet - øvelsene her er spredt over ulike emner.

De beskrevne syklusstrukturene refererer til stadiet for å utvikle ferdigheter for å anvende spesifikke transformasjoner.

På syntesestadiet endres syklusene, grupper av oppgaver kombineres i retning av komplikasjon og sammenslåing av sykluser relatert til ulike identiteter, noe som bidrar til å øke rollen til handlinger for å gjenkjenne anvendeligheten til en bestemt identitet.

Eksempel.

Syklus av oppgaver for identitet:

I gruppe med oppgaver:

a) tilstede i form av et produkt:

b) Sjekk likheten:

c) Utvid parentesene i uttrykket:

.

d) Regn ut:

e) Faktoriser:

f) forenkle uttrykket:

.

Studentene har nettopp blitt kjent med formuleringen av en identitet, dens skriving i form av en identitet, og dens bevis.

Oppgave a) er knyttet til å fikse strukturen på identiteten som studeres, med å etablere en sammenheng med numeriske sett(sammenligning av tegnstrukturer av identitet og transformert uttrykk; erstatning av en bokstav med et tall i en identitet). I siste eksempel det er fortsatt nødvendig å redusere den til arten som studeres. I de følgende eksemplene (e og g) er det en komplikasjon forårsaket av den anvendte rollen som identitet og komplikasjonen av tegnstrukturen.

Oppgaver av type b) er rettet mot å utvikle erstatningskompetanse på. Rollen til oppgave c) er lik.

Eksempler på type d), der det er nødvendig å velge en av transformasjonsretningene, fullfører utviklingen av denne ideen.

Gruppe I-oppgaver er fokusert på å mestre strukturen til en identitet, operasjonen av substitusjon i de enkleste, fundamentalt viktigste tilfellene, og ideen om reversibiliteten av transformasjoner utført av en identitet. Berikelse er også veldig viktig språklige virkemidler, som viser ulike sider ved identitet. Tekstene til oppgavene gir en ide om disse aspektene.

II gruppe med oppgaver.

g) Bruk identiteten for , faktor polynomet .

h) Eliminer irrasjonalitet i nevneren til brøken.

i) Bevis at hvis er et oddetall, så er det delelig med 4.

j) Funksjonen er gitt ved et analytisk uttrykk

.

Bli kvitt modultegnet ved å vurdere to tilfeller: , .

k) Løs ligningen .

Disse oppgavene er rettet mot så mye som mulig full bruk og tar i betraktning spesifikasjonene til denne spesielle identiteten, forutsetter dannelsen av ferdigheter i å bruke identiteten som studeres for forskjellen av kvadrater. Målet er å utdype forståelsen av identitet ved å vurdere dens ulike anvendelser i ulike situasjoner, kombinert med bruk av stoff knyttet til andre emner i matematikkkurset.

eller .

Funksjoner ved oppgavesykluser relatert til identiteter for elementære funksjoner:

1) de studeres på grunnlag av funksjonelt materiale;

2) identitetene til den første gruppen dukker opp senere og studeres ved å bruke allerede utviklede ferdigheter for å utføre identitetstransformasjoner.

Den første gruppen av oppgaver i syklusen bør inkludere oppgaver for å etablere forbindelser mellom disse nye numeriske områdene og det opprinnelige området med rasjonelle tall.

Eksempel.

Regne ut:

;

.

Formålet med slike oppgaver er å mestre egenskapene til poster, inkludert symboler på nye operasjoner og funksjoner, og å utvikle matematiske taleferdigheter.

Mye av bruken av identitetstransformasjoner knyttet til elementære funksjoner, faller på løsningen av irrasjonelle og transcendentale ligninger. Sekvens av trinn:

a) finn funksjonen φ som gitt ligning f(x)=0 kan representeres som:

b) bytt inn y=φ(x) og løs likningen

c) løs hver av likningene φ(x)=y k, der y k er settet med røtter til likningen F(y)=0.

Ved bruk av den beskrevne metoden utføres trinn b) ofte implisitt, uten å introdusere en notasjon for φ(x). I tillegg foretrekker elevene ofte, fra de ulike veiene som fører til å finne et svar, å velge den som fører til den algebraiske ligningen raskere og enklere.

Eksempel. Løs ligningen 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (trinn a)

(2 x) 2-3 x 2 x = 0; 2 x (2 x -3) = 0; 2 x -3=0. (trinn b)

Eksempel. Løs ligningen:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Foreslå en uavhengig løsning.)

Klassifisering av oppgaver i sykluser knyttet til løsning av transcendentale ligninger, inkludert eksponentiell funksjon:

1) likninger som reduserer til likninger av formen a x =y 0 og har et enkelt, generelt svar:

2) likninger som reduserer til likninger av formen a x = a k, hvor k er et heltall, eller a x = b, hvor b≤0.

3) likninger som reduserer til likninger av formen a x =y 0 og krever eksplisitt analyse av formen hvor tallet y 0 er eksplisitt skrevet.

Oppgaver der identitetstransformasjoner brukes til å konstruere grafer og samtidig forenkle formler som definerer funksjoner, er til stor nytte.

a) Tegn graf funksjonen y=;

b) Løs ligningen lgx+lg(x-3)=1

c) på hvilket sett er formelen log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) en identitet?

Bruk av identitetstransformasjoner i beregninger.(Journal of Mathematics at School, nr. 4, 1983, s. 45)

Oppgave nr. 1. Funksjonen er gitt av formelen y=0,3x 2 +4,64x-6. Finn verdiene til funksjonen ved x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Oppgave nr. 2. Beregn benlengde høyre trekant, hvis lengden på hypotenusen er 3,6 cm, og det andre benet er 2,16 cm.

Oppgave nr. 3. Hva er arealet av tomten rektangulær form, med dimensjonene a) 0,64 m og 6,25 m; b) 99,8m og 2,6m?

a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Disse eksemplene gjør det mulig å identifisere praktisk bruk identitetstransformasjoner. Studenten skal gjøres kjent med vilkårene for gjennomførbarheten av transformasjonen (se diagrammer).

-

bilde av et polynom, der et hvilket som helst polynom passer inn i runde konturer. (Diagram 1)

-

betingelsen for gjennomførbarheten av å transformere produktet av et monomial og et uttrykk som tillater transformasjon til en forskjell av kvadrater er gitt. (skjema 2)

-

her betyr skyggeleggingen like monomialer og det er gitt et uttrykk som kan konverteres til en forskjell på kvadrater (skjema 3)

-

et uttrykk som åpner for en felles faktor.

Studentenes ferdigheter i å identifisere forhold kan utvikles ved å bruke følgende eksempler:

Hvilken av følgende uttrykk kan transformeres ved å ta den felles faktoren ut av parentes:

2)

3) 0,7a2 +0,2b2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

De fleste beregninger i praksis tilfredsstiller ikke betingelsene for tilfredsstillelse, så studentene trenger ferdigheter for å redusere dem til en form som tillater beregning av transformasjoner. I dette tilfellet er følgende oppgaver passende:

når du studerer å ta den felles faktoren ut av parentes:

konverter dette uttrykket, hvis mulig, til et uttrykk som er avbildet i diagram 4:

4) 2a*a2*a2;

5) 2n 4 + 3n 6 + n 9;

8) 15ab 2 + 5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Når du danner konseptet " identitetstransformasjon"Det bør huskes at dette betyr ikke bare at det gitte og det resulterende uttrykket som et resultat av transformasjonen tar like verdier for alle verdier av bokstavene som er inkludert i den, men også at vi under en identisk transformasjon går fra et uttrykk som definerer én beregningsmetode til et uttrykk som definerer en annen metode for å beregne samme verdi.

Skjema 5 (regelen for omregning av produktet av et monomer og et polynom) kan illustreres med eksempler

0,5a(b+c) eller 3,8(0,7+).

Øvelser for å lære å ta en felles faktor ut av parentes:

Regn ut verdien av uttrykket:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc ved a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) med a=1,4; b=2,8; c=5,2.

La oss illustrere med eksempler dannelsen av ferdigheter i beregninger og identitetstransformasjoner.(Journal of Mathematics at School, nr. 5, 1984, s. 30)

1) ferdigheter og evner tilegnes raskere og beholdes lenger hvis dannelsen skjer på et bevisst grunnlag (det didaktiske bevissthetsprinsippet).

1) Du kan formulere en regel for å legge til brøker med samme nevnere eller tidligere på spesifikke eksempler vurdere essensen av å legge til like andeler.

2) Ved faktorisering ved å ta fellesfaktoren ut av parentes er det viktig å se denne fellesfaktoren og deretter anvende fordelingsloven. Når du utfører de første øvelsene, er det nyttig å skrive hvert ledd i polynomet som et produkt, en av faktorene som er vanlig for alle vilkår:

3a3 -15a2b+5ab2 = a3a2 -a15ab+a5b2.

Det er spesielt nyttig å gjøre dette når en av monomialene til et polynom tas ut av parentes:

II. Første etappe dannelse av en ferdighet - mestring av en ferdighet (øvelser utføres med detaljerte forklaringer og poster)

(problemet med skiltet er løst først)

Andre fase– stadiet for å automatisere ferdigheten ved å eliminere noen mellomliggende operasjoner

III. Ferdighetsstyrke oppnås ved å løse eksempler som er varierte både i innhold og form.

Emne: "Å sette fellesfaktoren ut av parentes."

1. Skriv ned den manglende faktoren i stedet for polynomet:

2. Faktoriser slik at før parentesene er det et monomial med en negativ koeffisient:

3. Faktor slik at polynomet i parentes har heltallskoeffisienter:

4. Løs ligningen:

IV. Ferdighetsutvikling er mest effektivt når noen mellomliggende beregninger eller transformasjoner utføres muntlig.

(muntlig);

V. Ferdighetene og evnene som utvikles må være en del av det tidligere dannede systemet for kunnskap, ferdigheter og evner til elevene.

For eksempel, når du lærer å faktorisere polynomer ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler, tilbys følgende øvelser:

Faktoriser:

VI. Behovet for rasjonell utførelse av beregninger og transformasjoner.

V) forenkle uttrykket:

Rasjonalitet ligger i å åpne parentesene, fordi

VII. Konvertering av uttrykk som inneholder eksponenter.

nr. 1011 (Alg.9) Forenkle uttrykket:

nr. 1012 (Alg.9) Fjern multiplikatoren fra under rottegnet:

nr. 1013 (Alg.9) Skriv inn en faktor under rottegnet:

nr. 1014 (Alg.9) Forenkle uttrykket:

I alle eksemplene, utfør først enten faktorisering eller subtraksjon av fellesfaktoren, eller "se" den tilsvarende reduksjonsformelen.

nr. 1015 (Alg.9) Reduser fraksjonen:

Mange studenter opplever noen problemer med å transformere uttrykk som inneholder røtter, spesielt når de studerer likestilling:

Beskriv derfor i detalj uttrykk for skjemaet eller eller gå til en grad med en rasjonell eksponent.

nr. 1018 (Alg.9) Finn verdien av uttrykket:

nr. 1019 (Alg.9) Forenkle uttrykket:

2.285 (Skanavi) Forenkle uttrykket

og plott deretter funksjonen y Til

nr. 2.299 (Skanavi) Sjekk gyldigheten av likheten:

Transformasjon av uttrykk som inneholder en grad er en generalisering av ervervede ferdigheter og evner i studiet av identiske transformasjoner av polynomer.

nr. 2.320 (Skanavi) Forenkle uttrykket:

Algebra 7-kurset gir følgende definisjoner.

Def. To uttrykk hvis tilsvarende verdier er like for verdiene til variablene sies å være identisk like.

Def. Likhet er sant for alle verdier av variablene som kalles. identitet.

nr. 94 (Alg.7) Er likestillingen:

en)

c)

d)

Beskrivelsesdefinisjon: Å erstatte ett uttrykk med et annet identisk likt uttrykk kalles en identisk transformasjon eller ganske enkelt en transformasjon av et uttrykk. Identiske transformasjoner av uttrykk med variabler utføres basert på egenskapene til operasjoner på tall.

nr. (Alg.7) Blant uttrykkene

finne de som er identisk like.

Emne: "Identiske transformasjoner av uttrykk" (spørreteknikk)

Det første emnet for "Algebra-7" - "Uttrykk og deres transformasjoner" bidrar til å konsolidere de beregningsmessige ferdighetene som er tilegnet i klasse 5-6, systematisere og generalisere informasjon om transformasjoner av uttrykk og løsninger til ligninger.

Finne verdiene til numeriske og bokstavelige uttrykk gjør det mulig å gjenta med elevene handlingsreglene med rasjonelle tall. Evne til å prestere aritmetiske operasjoner med rasjonelle tall er grunnlaget for hele algebrakurset.

Når man vurderer transformasjoner av uttrykk, forblir formelle og operasjonelle ferdigheter på samme nivå som ble oppnådd i 5.-6.

Men her hever studentene seg til et nytt nivå i å mestre teori. Begrepene "identisk like uttrykk", "identitet", "identiske transformasjoner av uttrykk" introduseres, hvis innhold stadig vil bli avslørt og utdypet når man studerer transformasjoner av forskjellige algebraiske uttrykk. Det understrekes at grunnlaget for identitetstransformasjoner er egenskapene til operasjoner på tall.

Når du studerer emnet "Polynomer", dannes formelle operasjonelle ferdigheter med identiske transformasjoner av algebraiske uttrykk. Forkortede multiplikasjonsformler bidrar til den videre prosessen med å utvikle evnen til å utføre identiske transformasjoner av hele uttrykk; evnen til å bruke formler for både forkortet multiplikasjon og faktorisering av polynomer brukes ikke bare til å transformere hele uttrykk, men også i operasjoner med brøker, røtter , potenser med en rasjonell eksponent.

På 8. trinn øves de tilegnete ferdighetene til identitetstransformasjoner i handlinger med algebraiske brøker, kvadratrot og uttrykk som inneholder potenser med en heltallseksponent.

I fremtiden gjenspeiles teknikkene for identitetstransformasjoner i uttrykk som inneholder en grad med en rasjonell eksponent.

En spesiell gruppe identitetstransformasjoner består av trigonometriske uttrykk og logaritmiske uttrykk.

Obligatoriske læringsutbytte for et algebrakurs i klasse 7-9 inkluderer:

1) identitetstransformasjoner av heltallsuttrykk

a) åpne og omslutte braketter;

b) bringe lignende medlemmer;

c) addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av polynomer;

d) faktorisering av polynomer ved å sette fellesfaktoren utenfor parentes og forkortede multiplikasjonsformler;

e) dekomponering kvadratisk trinomium med multiplikatorer.

«Matematikk på skolen» (B.U.M.) s.110

2) identitetstransformasjoner rasjonelle uttrykk: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av brøker, samt anvende de oppførte ferdighetene når du utfører enkle kombinerte transformasjoner [s. 111]

3) elevene skal kunne utføre transformasjoner av enkle uttrykk som inneholder krafter og røtter. (s. 111-112)

Hovedtypene problemer ble vurdert, evnen til å løse som gjør at eleven kan få en positiv karakter.

En av de mest viktige aspekter Metodikken for å studere identitetstransformasjoner er å utvikle elevenes mål for å utføre identitetstransformasjoner.

1) - forenkling av den numeriske verdien av uttrykket

2) hvilken av transformasjonene som skal utføres: (1) eller (2) Analyse av disse alternativene er en motivasjon (foretrukket (1), siden i (2) er omfanget av definisjon begrenset)

3) Løs ligningen:

Faktorering ved løsning av ligninger.

4) Regn ut:

La oss bruke den forkortede multiplikasjonsformelen:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Finn verdien av uttrykket:

For å finne verdien, multipliser hver brøk med konjugatet:

6) Tegn graf funksjonen:

La oss velge hele delen: .

Forebygging av feil ved utførelse av identitetstransformasjoner kan oppnås ved å variere eksempler på implementering. I dette tilfellet praktiseres "små" teknikker, som som komponenter inngår i en større transformasjonsprosess.

For eksempel:

Avhengig av retningene til ligningen kan flere problemer vurderes: multiplikasjon av polynomer fra høyre til venstre; fra venstre til høyre - faktorisering. Venstre side er et multiplum av en av faktorene på høyre side osv.

I tillegg til å variere eksemplene kan du bruke unnskyldning mellom identiteter og numeriske likheter.

Den neste teknikken er forklaringen av identiteter.

For å øke elevenes interesse kan vi inkludere å finne på ulike måter problemløsning.

Leksjoner om å studere identitetstransformasjoner vil bli mer interessante hvis du vier dem til søker etter en løsning på problemet .

For eksempel: 1) reduser brøken:

3) bevis formelen til den "komplekse radikalen"

Ta i betraktning:

La oss transformere høyre side likestilling:

-

summen av konjugerte uttrykk. De kan multipliseres og divideres med konjugatet deres, men en slik operasjon vil føre oss til en brøk hvis nevner er forskjellen mellom radikalene.

Merk at det første leddet i den første delen av identiteten er et tall større enn det andre, så vi kan kvadre begge deler:

Praktisk leksjon №3.

Tema: Identiske transformasjoner av uttrykk (spørreteknikk).

Litteratur: «Workshop om MPM», s. 87-93.

Skilt høykultur beregninger og identitetstransformasjoner, studentene har solid kunnskap om egenskapene og algoritmene til operasjoner på eksakte og omtrentlige mengder og deres dyktige anvendelse; rasjonelle metoder for beregninger og transformasjoner og deres verifisering; evnen til å rettferdiggjøre bruken av metoder og regler for beregninger og transformasjoner, automatiske ferdigheter for feilfri utførelse av beregningsoperasjoner.

På hvilken klasse skal elevene begynne å jobbe med å utvikle de oppførte ferdighetene?

Linjen med identiske transformasjoner av uttrykk begynner med anvendelsen av rasjonelle beregningsteknikker. Den begynner med anvendelsen av rasjonelle beregningsteknikker for verdiene til numeriske uttrykk. (5. klasse)

Når man studerer slike emner skolekurs matematikk bør gis til dem Spesiell oppmerksomhet!

Elevers bevisste implementering av identitetstransformasjoner lettes av forståelsen av at algebraiske uttrykk ikke eksisterer alene, men i uløselig sammenheng med et visst numerisk sett er de generaliserte registreringer av numeriske uttrykk. Analogier mellom algebraiske og numeriske uttrykk (og deres transformasjoner) er logiske; bruken av dem i undervisningen bidrar til å forhindre at elevene gjør feil.

Identiske transformasjoner er ikke et eget tema i skolematematikkkurset; de studeres gjennom hele algebraforløpet og begynnelsen av matematisk analyse.

Matematikkprogrammet for trinn 1-5 er propedeutisk materiale for å studere identiske transformasjoner av uttrykk med en variabel.

I 7. klasse algebrakurs. definisjonen av identitet og identitetstransformasjoner introduseres.

Def. To uttrykk hvis tilsvarende verdier er like for alle verdier av variablene kalles. identisk like.

ODA. En likhet som er sann for alle verdier av variablene kalles en identitet.

Verdien av identitet ligger i at den lar et gitt uttrykk erstattes av et annet som er identisk likt det.

Def.Å erstatte ett uttrykk med et annet identisk like uttrykk kalles identisk transformasjon eller rett og slett transformasjon uttrykkene.

Identiske transformasjoner av uttrykk med variabler utføres basert på egenskapene til operasjoner på tall.

Grunnlaget for identitetstransformasjoner kan betraktes som likeverdige transformasjoner.

ODA. To setninger, som hver er en logisk konsekvens av den andre, kalles. tilsvarende.

ODA. Setning med variabler A kalles. konsekvens av en setning med variabler B, hvis domenet til sannhet B er en delmengde av domenet til sannhet A.

En annen definisjon av ekvivalente setninger kan gis: to setninger med variabler er ekvivalente dersom deres sannhetsdomener sammenfaller.

a) B: x-1=0 over R; A: (x-1) 2 over R => A~B, fordi områder av sannhet (løsning) faller sammen (x=1)

b) A: x=2 over R; B: x 2 =4 over R => sannhetsdomene A: x = 2; sannhetsdomene B: x=-2, x=2; fordi sannhetsdomenet til A er inneholdt i B, da: x 2 =4 er en konsekvens av påstanden x = 2.

Grunnlaget for identitetstransformasjoner er evnen til å representere samme tall i forskjellige former. For eksempel,

-

Denne representasjonen vil hjelpe når du studerer emnet " grunnleggende egenskaper brøker."

Ferdigheter i å utføre identitetstransformasjoner begynner å utvikle seg når du løser eksempler som ligner på følgende: "Finn den numeriske verdien av uttrykket 2a 3 +3ab+b 2 med a = 0,5, b = 2/3," som tilbys elever i klassetrinn. 5 og gi rom for propedeutisk funksjonsbegrep.

Når du studerer forkortede multiplikasjonsformler, bør du være oppmerksom på deres dype forståelse og sterke assimilering. For å gjøre dette kan du bruke følgende grafiske illustrasjon:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Spørsmål: Hvordan forklare elevene essensen av de gitte formlene basert på disse tegningene?

En vanlig feil er å forveksle uttrykkene «kvadrat av summen» og «kvadratsum». Lærerens indikasjon på at disse uttrykkene er forskjellige i operasjonsrekkefølgen virker ikke signifikant, siden elevene mener at disse handlingene utføres på de samme tallene og derfor ikke resultatet endres ved å endre rekkefølgen på handlingene.

Oppgave: Sminke muntlige øvelserå utvikle ferdighetene hos elevene til feilfri bruk av disse formlene. Hvordan kan vi forklare hvordan disse to uttrykkene er like og hvordan de skiller seg fra hverandre?

Det store utvalget av identiske transformasjoner gjør det vanskelig for elevene å orientere seg om formålet de utføres for. Uklar kunnskap om formålet med å utføre transformasjoner (i hvert enkelt tilfelle) har en negativ innvirkning på bevisstheten deres og fungerer som en kilde til massive feil blant elevene. Dette tyder på at det er viktig å forklare elevene målene med å utføre ulike identitetstransformasjoner. integrert del metoder for å studere dem.

Eksempler på motivasjoner for identitetstransformasjoner:

1. forenkling av å finne den numeriske verdien av et uttrykk;

2. velge en transformasjon av ligningen som ikke fører til tap av roten;

3. Når du utfører en transformasjon, kan du markere beregningsområdet;

4. bruk av transformasjoner i beregninger, for eksempel 99 2 -1=(99-1)(99+1);

For å styre beslutningsprosessen er det viktig at læreren har evnen til å gi en nøyaktig beskrivelse av essensen av feilen eleven har gjort. Nøyaktig feilkarakterisering er nøkkelen til det rette valget påfølgende handlinger utført av læreren.

Eksempler på elevfeil:

1. utføre multiplikasjon: studenten mottok -54abx 6 (7 celler);

2. Ved å heve til en potens (3x 2) 3 fikk eleven 3x 6 (7 karakterer);

3. transformere (m + n) 2 til et polynom, fikk eleven m 2 + n 2 (7. klasse);

4. Ved å redusere brøken eleven fikk (8 karakterer);

5. utføre subtraksjon: , eleven skriver ned (8. klasse)

6. Representerer brøken i form av brøker, fikk studenten: (8 karakterer);

7. Fjerning aritmetisk rot studenten fikk x-1 (karakter 9);

8. løse ligningen (9. klasse);

9. Ved å transformere uttrykket får eleven: (9. klasse).

Konklusjon

Studiet av identitetstransformasjoner utføres i nær forbindelse med numeriske sett studert i en bestemt klasse.

Først bør du be eleven forklare hvert trinn i transformasjonen, for å formulere reglene og lovene som gjelder.

I identiske transformasjoner av algebraiske uttrykk brukes to regler: substitusjon og erstatning med like. Substitusjon brukes oftest, pga Beregning ved hjelp av formler er basert på det, dvs. finn verdien av uttrykket a*b med a=5 og b=-3. Svært ofte neglisjerer elever parenteser når de utfører multiplikasjonsoperasjoner, og tror at multiplikasjonstegnet er underforstått. For eksempel er følgende oppføring mulig: 5*-3.

Litteratur

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Funksjonell og grafiske metoder løse eksamensoppgaver”, Mn..Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko" Vanlige feil på sentralisert testing", Mn..Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Trap tasks in centralized testing”, Mn..Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Løsningsmetoder trigonometriske problemer", Mn..Aversev, 2005

Blant de ulike uttrykkene som vurderes i algebra er viktig sted okkuperer summer av monomer. Her er eksempler på slike uttrykk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Summen av monomer kalles et polynom. Termene i et polynom kalles termer for polynomet. Monomialer er også klassifisert som polynomer, og vurderer et monomial for å være et polynom som består av ett medlem.

For eksempel et polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.

La oss representere alle termer i form av monomialer standard visning:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

La oss presentere lignende termer i det resulterende polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynom, der alle termer er monomer av standardformen, og blant dem er det ingen lignende. Slike polynomer kalles polynomer av standardform.

Bak grad av polynom av en standardform ta den høyeste av kreftene til medlemmene. Dermed har binomialet \(12a^2b - 7b\) tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den andre.

Vanligvis er vilkårene for standardformpolynomer som inneholder én variabel ordnet i synkende rekkefølge av eksponenter. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Summen av flere polynomer kan transformeres (forenkles) til et polynom av standardform.

Noen ganger må termene til et polynom deles inn i grupper, og omslutter hver gruppe i parentes. Siden omsluttende parenteser er den omvendte transformasjonen av åpningsparenteser, er det lett å formulere regler for åpning av parentes:

Hvis et "+"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentes med de samme tegnene.

Hvis et "-"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentesene med motsatte tegn.

Transformasjon (forenkling) av produktet av et monomial og et polynom

Ved å bruke den fordelende egenskapen til multiplikasjon kan du transformere (forenkle) produktet av et monom og et polynom til et polynom. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produktet av et monomer og et polynom er identisk lik summen av produktene til dette monomet og hvert av leddene til polynomet.

Dette resultatet er vanligvis formulert som en regel.

For å multiplisere et monomer med et polynom, må du multiplisere det monomet med hver av termene i polynomet.

Vi har allerede brukt denne regelen flere ganger for å multiplisere med en sum.

Produkt av polynomer. Transformasjon (forenkling) av produktet av to polynomer

Generelt er produktet av to polynom identisk lik summen av produktet av hvert ledd i ett polynom og hvert ledd i det andre.

Vanligvis brukes følgende regel.

For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre og legge til de resulterende produktene.

Forkortede multiplikasjonsformler. Sum kvadrater, forskjeller og forskjell av kvadrater

Med noen uttrykk i algebraiske transformasjoner må forholde seg til oftere enn andre. De kanskje vanligste uttrykkene er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), dvs. kvadratet av summen, kvadratet av forskjellen og forskjellen på kvadrater. Har du lagt merke til at navnene spesifiserte uttrykk som om ikke fullført, for eksempel, er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke bare kvadratet av summen, men kvadratet av summen av a og b. Kvadraten av summen av a og b forekommer imidlertid ikke så ofte; som regel, i stedet for bokstavene a og b, inneholder den forskjellige, noen ganger ganske komplekse, uttrykk.

Uttrykkene \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan enkelt konverteres (forenkles) til polynomer av standardformen; faktisk har du allerede møtt denne oppgaven når du multipliserer polynomer:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Det er nyttig å huske de resulterende identitetene og bruke dem uten mellomliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjelper dette.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadratet av summen lik summen firkanter og doble produktet.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet av forskjellen er lik summen av kvadrater uten det doble produktet.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskjellen av kvadrater er lik produktet av forskjellen og summen.

Disse tre identitetene gjør at man kan erstatte de venstre delene med de høyre delene i transformasjoner og omvendt - høyre delene med de venstre. Det vanskeligste er å se de tilsvarende uttrykkene og forstå hvordan variablene a og b erstattes i dem. La oss se på flere eksempler på bruk av forkortede multiplikasjonsformler.

Grunnleggende egenskaper ved addisjon og multiplikasjon av tall.

Kommutativ egenskap ved addisjon: omorganisering av vilkårene endrer ikke verdien av summen. For alle tall a og b er likheten sann

Kombinasjonsegenskap for addisjon: For å legge til et tredje tall til summen av to tall, kan du legge til summen av det andre og tredje til det første tallet. For alle tall a, b og c er likheten sann

Kommutativ egenskap ved multiplikasjon: omorganisering av faktorene endrer ikke verdien av produktet. For alle tall a, b og c er likheten sann

Kombinasjonsegenskap for multiplikasjon: for å multiplisere produktet av to tall med et tredje tall, kan du multiplisere det første tallet med produktet av det andre og tredje.

For alle tall a, b og c er likheten sann

Fordelingsegenskap: For å multiplisere et tall med en sum, kan du multiplisere det tallet med hvert ledd og legge til resultatene. For alle tall a, b og c er likheten sann

Fra de kommutative og kombinative egenskapene til addisjon følger det: i hvilken som helst sum kan du omorganisere begrepene på hvilken som helst måte du vil og vilkårlig kombinere dem i grupper.

Eksempel 1 La oss regne ut summen 1,23+13,5+4,27.

For å gjøre dette er det praktisk å kombinere den første termen med den tredje. Vi får:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Fra de kommutative og kombinative egenskapene til multiplikasjon følger det: i ethvert produkt kan du omorganisere faktorene på noen måte og vilkårlig kombinere dem i grupper.

Eksempel 2 La oss finne verdien av produktet 1,8·0,25·64·0,5.

Ved å kombinere den første faktoren med den fjerde, og den andre med den tredje, har vi:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Den fordelende egenskapen er også sann når et tall multipliseres med summen av tre eller flere ledd.

For eksempel, for alle tall a, b, c og d er likheten sann

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Vi vet at subtraksjon kan erstattes med addisjon ved å legge til minuenden det motsatte tallet av subtrahenden:

Dette tillater numerisk uttrykk type a-b betraktes som summen av tallene a og -b, et numerisk uttrykk av formen a+b-c-d betraktes som summen av tallene a, b, -c, -d osv. De betraktede egenskapene til handlinger er også gyldige for slike summer.

Eksempel 3 La oss finne verdien av uttrykket 3,27-6,5-2,5+1,73.

Dette uttrykket er summen av tallene 3,27, -6,5, -2,5 og 1,73. Ved å bruke egenskapene til addisjon får vi: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Eksempel 4 La oss beregne produktet 36·().

Multiplikatoren kan betraktes som summen av tallene og -. Ved å bruke den distributive egenskapen til multiplikasjon får vi:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Identiteter

Definisjon. To uttrykk hvis tilsvarende verdier er like for alle verdier av variablene kalles identisk like.

Definisjon. En likhet som er sann for alle verdier av variablene kalles en identitet.

La oss finne verdiene til uttrykkene 3(x+y) og 3x+3y for x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Vi fikk samme resultat. Fra distribusjonsegenskapen følger det at generelt, for alle verdier av variablene, er de tilsvarende verdiene til uttrykkene 3(x+y) og 3x+3y like.

La oss nå vurdere uttrykkene 2x+y og 2xy. Når x=1, y=2 tar de like verdier:

Du kan imidlertid spesifisere verdier av x og y slik at verdiene til disse uttrykkene ikke er like. For eksempel, hvis x=3, y=4, da

Uttrykkene 3(x+y) og 3x+3y er identisk like, men uttrykkene 2x+y og 2xy er ikke identisk like.

Likheten 3(x+y)=x+3y, sant for alle verdier av x og y, er en identitet.

Ekte numeriske likheter regnes også som identiteter.

Dermed er identiteter likheter som uttrykker de grunnleggende egenskapene til operasjoner på tall:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Andre eksempler på identiteter kan gis:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identiske transformasjoner av uttrykk

Å erstatte ett uttrykk med et annet identisk like uttrykk kalles en identisk transformasjon eller ganske enkelt en transformasjon av et uttrykk.

Identiske transformasjoner av uttrykk med variabler utføres basert på egenskapene til operasjoner på tall.

For å finne verdien av uttrykket xy-xz when gitte verdier x, y, z, du må utføre tre handlinger. For eksempel, med x=2,3, y=0,8, z=0,2 får vi:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Dette resultatet kan oppnås ved å utføre bare to trinn, hvis du bruker uttrykket x(y-z), som er identisk lik uttrykket xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Vi forenklet beregningene ved å erstatte uttrykket xy-xz identisk likt uttrykk x(y-z).

Identiske transformasjoner av uttrykk er mye brukt for å beregne verdiene til uttrykk og løse andre problemer. Noen identiske transformasjoner har allerede måttet utføres, for eksempel ved å bringe lignende termer, åpne parenteser. La oss huske reglene for å utføre disse transformasjonene:

for å bringe lignende vilkår, må du legge sammen koeffisientene deres og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen;

hvis det er et plusstegn før parentesene, kan parentesene utelates, mens tegnet for hvert ledd i parentes bevares;

Hvis det er et minustegn foran parentesene, kan parentesene utelates ved å endre fortegnet for hvert ledd i parentesen.

Eksempel 1 La oss presentere lignende termer i summen 5x+2x-3x.

La oss bruke regelen for å redusere lignende termer:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Denne transformasjonen er basert på den distributive egenskapen til multiplikasjon.

Eksempel 2 La oss åpne parentesene i uttrykket 2a+(b-3c).

Bruke regelen for å åpne parenteser foran med et plusstegn:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformasjonen som utføres er basert på den kombinatoriske egenskapen til tilsetning.

Eksempel 3 La oss åpne parentesene i uttrykket a-(4b-c).

La oss bruke regelen for å åpne parenteser med et minustegn foran:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformasjonen som utføres er basert på den distributive egenskapen til multiplikasjon og den kombinatoriske egenskapen til addisjon. La oss vise det. La oss representere det andre leddet -(4b-c) i dette uttrykket som et produkt (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Ved å søke angitte egenskaper handlinger får vi:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Leksjonstype: leksjon om generalisering og systematisering av kunnskap.

Leksjonens mål:

• Forbedre evnen til å anvende tidligere tilegnet kunnskap for å forberede seg til Statens eksamen i 9. klasse.
• Lære evnen til å analysere og tilnærme en oppgave kreativt.
• Fremme kultur og effektivitet av tenkning, kognitiv interesse til matematikk.
• Hjelp elevene med å forberede seg til statseksamenen.

• Systematisere teoretisk kunnskap studenter.
• Styrke den praktiske orienteringen av dette emnet som forberedelse til statseksamen.
• Bygg mentale ferdigheter - søk rasjonelle måter løsninger.

Utstyr: multimediaprojektor, arbeidsark, klokke.

Leksjonsplan: 1. Organisatorisk øyeblikk.

1. Oppdatering av kunnskap.
2. Utvikling av teoretisk materiale.
3. Leksjonssammendrag.
4. Hjemmelekser.

UNDER KLASSENE

I. Organisatorisk øyeblikk.

1) Hilsen fra læreren.

Kryptografi er vitenskapen om måter å transformere (kryptere) informasjon for å beskytte den mot ulovlige brukere. En av disse metodene kalles "grid". Det er en av de relativt enkle og er nært beslektet med regning, men en som ikke studeres på skolen. En prøve av gitteret er foran deg. Noen vil finne ut hvordan den skal brukes.

- løsningen på meldingen.

"Alt som slutter å trene, slutter å tiltrekke seg."

Francois Larachefoucauld.

2) Meldinger om emnet for leksjonen, leksjonsmål, timeplan.

– lysbilder i presentasjonen.

II. Oppdatering av kunnskap.

1) Muntlig arbeid.

1. Tall. Hvilke tall vet du?

– naturlige tall er tallene 1,2,3,4... som brukes ved telling

– heltall er tall...-4,-3,-2,-1,0,1, 2... naturlige tall, deres motsetninger og tallet 0.

– rasjonelle tall er hele tall og brøktall

– irrasjonell – dette er uendelige desimaler, ikke-periodiske brøker

– ekte – disse er rasjonelle og irrasjonelle.

2. Uttrykk. Hvilke uttrykk kjenner du til?

– numeriske er uttrykk som består av tall forbundet med aritmetiske symboler.

– alfabetisk – dette er et uttrykk som inneholder noen variabler, tall og handlingstegn.

– Heltall er uttrykk som består av tall og variabler som bruker operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med et tall.

– brøkdeler er hele uttrykk som bruker divisjon med et uttrykk med en variabel.

3. Transformasjoner. Hva er hovedegenskapene som brukes når du utfører transformasjoner?

– kommutativ – for alle tall a og b er det sant: a+b=b+a, ab=va

– assosiativ – for alle tall a, b, c, er følgende sant: (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)

– distributiv – for alle tall a, b, c er det sant: a(b+c)=av+ac

4. Gjør:

– ordne tallene i stigende rekkefølge: 0,0157; 0,105; 0,07

– ordne tallene i synkende rekkefølge: 0,0216; 0,12; 0,016

– ett av punktene markert på koordinatlinjen tilsvarer tallet v68. Hva er poenget med dette?

– hvilket punkt tilsvarer tallene?

– tallene a og b er markert på koordinatlinjen. Hvilket av følgende utsagn er sant?

III. Utvikling av teoretisk materiale.

1. Arbeid i notatbøker, ved tavlen.

Hver lærer har et arbeidsark der oppgaver skrives ned for arbeid i notatbøker i løpet av timen. I høyre kolonne på dette arket er det oppgaver for arbeid i klassen, og i venstre kolonne er det lekser.

Studenter kommer ut for å jobbe i styret.

Oppgave nr. 1. I så fall konverteres uttrykket til identisk lik.

Oppgave nr. 2. Forenkle uttrykket:

Oppgave nr. 3. Faktorer det ut:

a 3 – av – a 2 c + a 2; x 2 y – x 2 -y + x 3.

2x + y + y 2 – 4x 2; a – 3c +9c 2 -a 2 .

2. Selvstendig arbeid.

På arbeidsarkene har du selvstendig arbeid, under etter teksten er det en tabell der du skriver inn tallet under riktig svar. Det tar 7 minutter å fullføre jobben.

Test «Tall og konverteringer»

1. Skriv 0,00019 i standardform.

1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5

2. Ett av punktene markert på koordinatlinjen tilsvarer tallet

3. Om tallene a og b det er kjent at a>0, b>0, a>4b. Hvilken av følgende ulikheter er feil?

1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.

4.Finn verdien til uttrykket: (6x – 5y): (3x+y), hvis x=1,5 og y=0,5.

1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.

5.Hvilke av følgende uttrykk kan konverteres til (7 – x)(x – 4)?

1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);

3) – (x – 7)(4 – x); 4) (x – 7)(x-4).

Etter fullført arbeid utføres kontrollen ved hjelp av ASUOK-programmet (automatisert opplærings- og kontrollstyringssystem). Gutta utveksler notatbøker med skrivebordskameraten og sjekker testen sammen med læreren.

trening
Svar:	3	1	1	2	1

6. Leksjonssammendrag.

I dag i klassen løste du oppgaver valgt fra samlinger for å forberede deg til statseksamen. Dette er en liten del av det du må gjenta for å bestå eksamenen perfekt.

– Leksjonen er over. Hva syntes du var nyttig fra leksjonen?

"En ekspert er en person som ikke lenger tenker, han vet." Frank Hubbard.

7. Lekser

På papirarkene er det oppgaver som skal utføres hjemme.

Tallene og uttrykkene som utgjør det opprinnelige uttrykket kan erstattes med identiske like uttrykk. En slik transformasjon av det opprinnelige uttrykket fører til et uttrykk som er identisk likt med det.

For eksempel, i uttrykket 3+x, kan tallet 3 erstattes med summen 1+2, noe som vil resultere i uttrykket (1+2)+x, som er identisk lik det opprinnelige uttrykket. Et annet eksempel: i uttrykket 1+a 5 kan potensen a 5 erstattes med et identisk likt produkt, for eksempel av formen a·a 4. Dette vil gi oss uttrykket 1+a·a 4 .

Denne transformasjonen er utvilsomt kunstig, og er vanligvis en forberedelse til noen ytterligere transformasjoner. For eksempel, i summen 4 x 3 +2 x 2, under hensyntagen til gradens egenskaper, kan begrepet 4 x 3 representeres som et produkt 2 x 2 2 x. Etter denne transformasjonen vil det opprinnelige uttrykket ha formen 2 x 2 2 x+2 x 2. Tydeligvis har vilkårene i den resulterende summen en felles faktor på 2 x 2, så vi kan utføre følgende transformasjon - bracketing. Etter det kommer vi til uttrykket: 2 x 2 (2 x+1) .

Legge til og trekke fra samme tall

En annen kunstig transformasjon av et uttrykk er addisjon og samtidig subtraksjon av samme tall eller uttrykk. Denne transformasjonen er identisk fordi den i hovedsak tilsvarer å legge til null, og å legge til null endrer ikke verdien.

La oss se på et eksempel. La oss ta uttrykket x 2 +2·x. Hvis du legger til en til den og trekker fra en, vil dette tillate deg å utføre en annen identisk transformasjon i fremtiden - kvadrat binomialet: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografi.

• Algebra: lærebok for 7. klasse allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebok for elever utdanningsinstitusjoner/ A. G. Mordkovich. - 17. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.