Ligninger. Online ligninger X 5 0 løsning

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = 0

Først må du finne én rot ved å bruke utvalgsmetoden. Vanligvis er det en divisor av fribegrepet. I dette tilfellet, divisorene til tallet 6 er ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ tall 1

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ tall -1 er ikke en rot av et polynom

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ tall 2 er roten til polynomet

Vi har funnet 1 av røttene til polynomet. Roten til polynomet er 2, som betyr at det opprinnelige polynomet må være delelig med x - 2. For å utføre delingen av polynomer bruker vi Horners skjema:

	4	-19	19	6
2

Koeffisientene til det opprinnelige polynomet vises i den øverste linjen. Roten vi fant er plassert i den første cellen i den andre raden 2. Den andre linjen inneholder koeffisientene til polynomet som er resultatet av divisjon. De telles slik:

4 -19 19 6 2 4	I den andre cellen i den andre raden skriver vi tallet 1, ganske enkelt ved å flytte den fra den tilsvarende cellen i den første raden.
4 -19 19 6 2 4 -11	2 ∙ 4 - 19 = -11
4 -19 19 6 2 4 -11 -3	2 ∙ (-11) + 19 = -3
4 -19 19 6 2 4 -11 -3 0	2 ∙ (-3) + 6 = 0

Det siste tallet er resten av divisjonen. Hvis det er lik 0, så har vi regnet ut alt riktig.

Dermed faktoriserte vi det opprinnelige polynomet:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)

Og nå gjenstår det bare å finne røttene til kvadratisk ligning

4x 2 - 11x - 3 = 0
D = b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ ligningen har 2 røtter

Vi har funnet alle røttene til ligningen.

å løse matematikk. Finn raskt løse en matematisk ligning i modus på nett. Nettstedet www.site tillater løse ligningen nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ligning online. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk på forskjellige stadier, må du bestemme deg ligninger på nettet. For å få et svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ligninger online vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ligninger på nettet- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse eventuelle algebraiske ligninger på nettet, trigonometriske ligninger på nettet, transcendentale ligninger på nettet, og ligninger med ukjente parametere i modus på nett. Ligninger tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelp matematiske ligninger det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ligninger kan finnes ved å formulere oppgaven i matematisk språk i formen ligninger Og Bestemme seg for mottatt oppgave i modus på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ligning, trigonometrisk ligning eller ligninger inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan Bestemme seg for online og få det nøyaktige svaret. Når du studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løse ligninger. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen på nett. Derfor for løse matematiske ligninger på nettet vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ligninger online, trigonometriske ligninger på nettet, og transcendentale ligninger på nettet eller ligninger med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne røttene til ulike matematiske ligninger ressurs www.. Løsning ligninger på nettet selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online ligningsløsning på nettsiden www.site. Du må skrive ligningen riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det gjenstår bare å sammenligne svaret med løsningen din på ligningen. Å sjekke svaret tar ikke mer enn et minutt, det er nok løse ligningen på nettet og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide løse ligninger på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ligningen med ukjente parametere.

I. Lineære ligninger

II. Kvadratiske ligninger

øks 2 + bx +c= 0, en≠ 0, ellers blir ligningen lineær

Røttene til en kvadratisk ligning kan beregnes på forskjellige måter, for eksempel:

Vi er flinke til å løse andregradsligninger. Mange ligninger av høyere grader kan reduseres til andregradsligninger.

III. Ligninger redusert til kvadratisk.

endring av variabel: a) biquadratisk ligning øks 2n+ bx n+ c = 0,en ≠ 0,n ≥ 2

2) symmetrisk ligning av grad 3 – formens ligning

3) symmetrisk ligning av grad 4 – formens ligning

øks 4 + bx 3 + cx 2 +bx + en = 0, en≠ 0, koeffisienter a b c b a eller

øks 4 + bx 3 + cx 2 –bx + en = 0, en≠ 0, koeffisienter a b c (–b) a

Fordi x= 0 er ikke en rot av ligningen, da er det mulig å dele begge sider av ligningen med x 2, da får vi:.

Ved å gjøre substitusjonen løser vi den andregradsligningen en(t 2 – 2) + bt + c = 0

La oss for eksempel løse ligningen x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0, del begge sider med x 2 ,

, etter utskifting får vi ligningen t 2 – 2t – 3 = 0

– ligningen har ingen røtter.

4) Formens ligning ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Øks 2, koeffisienter ab = cd

For eksempel, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Ved å multiplisere 1–4 og 2–3 parentes får vi ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2, del begge sider av ligningen med x 2, får vi:

Vi har ( t+ 14)(t + 11) = 4.

5) Homogen ligning av grad 2 - en ligning av formen P(x,y) = 0, hvor P(x,y) er et polynom, hvor hvert ledd har grad 2.

Svar: -2; -0,5; 0

IV. Alle likningene ovenfor er gjenkjennelige og typiske, men hva med likninger av vilkårlig form?

La et polynom gis P n ( x) = en n x n+ en n-1 x n-1 + ...+ en 1x+ en 0, hvor en n ≠ 0

La oss vurdere metoden for å redusere graden av ligningen.

Det er kjent at hvis koeffisientene en er heltall og en n = 1, deretter heltallsrøttene til ligningen P n ( x) = 0 er blant divisorene til frileddet en 0 . For eksempel, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0, delere av tallet 5 er tallene 5; -5; 1; -1. Deretter P 4 (1) = 0, dvs. x= 1 er roten til ligningen. La oss senke graden av ligningen P 4 (x) = 0 ved å dele polynomet med et “hjørne” med faktoren x –1, får vi

P 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).

Like måte, P 3 (1) = 0, da P 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5), dvs. ligningen P 4 (x) = 0 har røtter x 1 = x 2 = 1. La oss vise en kortere løsning på denne ligningen (ved hjelp av Horners skjema).

	1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

Midler, x 1 = 1 betyr x 2 = 1.

Så, ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Hva gjorde vi? Vi senket graden av ligningen.

V. Tenk på symmetriske ligninger av grad 3 og 5.

EN) øks 3 + bx 2 + bx + en= 0, åpenbart x= –1 er roten til ligningen, så senker vi graden av ligningen til to.

b) øks 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + en= 0, åpenbart x= –1 er roten til ligningen, så senker vi graden av ligningen til to.

La oss for eksempel vise løsningen til ligning 2 x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

	2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

x = –1

Vi får ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. Dette betyr at røttene til ligningen er: 1; 1; -1; –2; –0,5.

VI. Her er en liste over forskjellige ligninger som skal løses i klassen og hjemme.

Jeg foreslår at leseren løser ligning 1–7 selv og får svarene...

Andregradsligninger studeres i 8. klasse, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er helt nødvendig.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før du studerer spesifikke løsningsmetoder, merk at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

1. De har ingen røtter;
2. Ha nøyaktig én rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske ligninger og lineære, der roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0 gis Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac.

Du må kunne denne formelen utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
3. Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

Oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

La oss skrive ut koeffisientene for den første ligningen og finne diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på en lignende måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen som er igjen er:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er null - roten vil være én.

Vær oppmerksom på at koeffisientene er skrevet ned for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig, men du vil ikke blande oddsen og gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du får taket på det, trenger du etter en stund ikke å skrive ned alle koeffisientene. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mye.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til selve løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformel for røttene til en kvadratisk ligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du vil få samme tall, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når du erstatter negative koeffisienter i formelen. Her igjen vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, skriv ned hvert trinn - og veldig snart vil du bli kvitt feil.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at en andregradsligning er litt forskjellig fra det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Det er lett å legge merke til at disse ligningene mangler ett av begrepene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de krever ikke engang beregning av diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b = c = 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 = 0. En slik ligning har åpenbart en enkelt rot: x = 0.

La oss vurdere de resterende tilfellene. La b = 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning på formen ax 2 + c = 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer av et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening for (−c /a) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis i en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0 er ulikheten (−c /a) ≥ 0 tilfredsstilt, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c /a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var det ikke nødvendig med en diskriminant - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c /a) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis det er negativt, vil det ikke være røtter i det hele tatt.

La oss nå se på ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Å ta den felles faktoren ut av parentes

Produktet er null når minst én av faktorene er null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis, la oss se på noen av disse ligningene:

Oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Det er ingen røtter, fordi et kvadrat kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Først må du finne én rot ved å bruke utvalgsmetoden. Vanligvis er det en divisor av fribegrepet. I dette tilfellet, divisorene til tallet 12 er ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. La oss begynne å erstatte dem én etter én:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ tall 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ tall -1 er ikke en rot av et polynom

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ tall 2 er roten til polynomet

Vi har funnet 1 av røttene til polynomet. Roten til polynomet er 2, som betyr at det opprinnelige polynomet må være delelig med x - 2. For å utføre delingen av polynomer bruker vi Horners skjema:

	2	5	-11	-20	12
2

Koeffisientene til det opprinnelige polynomet vises i den øverste linjen. Roten vi fant er plassert i den første cellen i den andre raden 2. Den andre linjen inneholder koeffisientene til polynomet som er resultatet av divisjon. De telles slik:

2 5 -11 -20 12 2 2	I den andre cellen i den andre raden skriver vi tallet 2, ganske enkelt ved å flytte den fra den tilsvarende cellen i den første raden.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Det siste tallet er resten av divisjonen. Hvis det er lik 0, så har vi regnet ut alt riktig.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Men dette er ikke slutten. Du kan prøve å utvide polynomet på samme måte 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Igjen leter vi etter en rot blant deler av det frie begrepet. Talldelere -6 er ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ tall 1 er ikke en rot av et polynom

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ tall -1 er ikke en rot av et polynom

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ tall 2 er ikke en rot av et polynom

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ tall -2 er roten til polynomet

La oss skrive den funnet roten inn i Horner-skjemaet vårt og begynne å fylle ut de tomme cellene:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	I den andre cellen i den tredje raden skriver vi tallet 2, ganske enkelt ved å flytte den fra den tilsvarende cellen i den andre raden.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Dermed faktoriserte vi det opprinnelige polynomet:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Polynom 2x 2 + 5x - 3 kan også faktoriseres. For å gjøre dette kan du løse andregradsligningen gjennom diskriminanten, eller du kan se etter roten blant divisorene til tallet -3. På en eller annen måte vil vi komme til den konklusjon at roten til dette polynomet er tallet -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	I den andre cellen i den fjerde raden skriver vi tallet 2, ganske enkelt ved å flytte den fra den tilsvarende cellen i den tredje raden.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Dermed dekomponerte vi det opprinnelige polynomet i lineære faktorer:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)

Og røttene til ligningen er.