Leksjon "Hvordan tegne grafen for funksjonen y = f(kx) hvis grafen til funksjonen y = f(x) er kjent". Diagramtransformasjoner

Materialet som presenteres i videoopplæringen er en fortsettelse av temaet plotting av funksjoner gjennom ulike transformasjoner. Vi skal se på hvordan grafen til funksjonen er bygget opp. y=f(kx) hvis grafen til funksjonen er kjent y=f(x) . PÅ denne saken k- noen ekte nummer, ikke lik null.

La oss først vurdere saken når k er et positivt tall. La oss for eksempel plotte funksjonen y=f(3 x) , hvis grafen til funksjonen y=f(X) vi har. På figuren viser koordinataksen en graf y=f(X) hvor det er punkter med koordinatene A og B. Velge vilkårlige verdier X og erstatte dem i funksjonen y=f(3 x), finn de tilsvarende verdiene til funksjonen på. Dermed oppnås punktene til grafen til funksjonen y=f(3 x) A 1 og B 1, hvis ordinater er de samme som punktene A og B. Det vil si at vi kan si det fra grafen til funksjonen y=f(x) ved komprimering med en faktor k til y-aksen kan du få en graf over funksjonen y=f(kx) . Det er viktig å merke seg at skjæringspunktene med y-aksen forblir på samme sted under kompresjon.

I tilfelle når k- negativt tall, graf over funksjonen y=f(kx) konverteres fra grafen til funksjonen y=f(x) ved å strekke seg fra y-aksen med en faktor 1/ k.

1) først bygges en del av bølgen til grafen til funksjonen y=syndX(se bilde);

2) fordi k= 2, grafen til funksjonen er komprimert y=sinx til ordinataksen er kompresjonsforholdet 2. Finn skjæringspunktet med aksen x. Fordi funksjonsgraf y=syndX skjærer x-aksen i punktet π, deretter grafen til funksjonen y=synd 2X krysser x-aksen i punktet π/k = π/2. På lignende måte finnes alle andre punkter i grafen til funksjonen y=synd 2x og hele grafen er bygget på disse punktene.

Tenk på det andre eksemplet - plotte en funksjonsgraf y=cos(x/2).

1) vi bygger en del av bølgen til grafen til funksjonen y \u003d cos X(se bilde);

2) fordi k=1/2, strekk grafen til funksjonen y=syndX fra y-aksen med en faktor på ½.

Finn skjæringspunktet for grafen med aksen X. Fordi funksjonsgraf y=cosX skjærer x-aksen i punktet π/2, deretter grafen til funksjonen y=cos(x/2) skjærer x-aksen i punktet π. På samme måte finner vi alle andre punkter i grafen til funksjonen y=cos(x/2), vil vi bygge hele grafen ved å bruke disse punktene.

Deretter vurderer du muligheten for å konstruere en graf av funksjonen y= f(kx), hvor k er et negativt tall. For eksempel når k= -1 funksjon y= f(kx) = f(- x). Figuren viser en graf y=f(X), hvor det er punkter med koordinatene A og B. Velge vilkårlige verdier av x og erstatte dem i funksjonen y= f(- x), finn de tilsvarende funksjonsverdiene på. Få poengene til grafen til funksjonen y= f(- x) A 1 og B 1, som vil være symmetriske til punktene A og B med hensyn til y-aksen. Det vil si når man bruker symmetri om y-aksen fra grafen til funksjonen y=f(kx) vi får grafen til funksjonen y=f(- x).

La oss gå videre til å plotte funksjonsgrafen y= f(kx) for k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) bygg en del av kartbølgen y=syndX;

2) fordi k= 4, vil vi strekke halvbølgen til grafen i forhold til abscisseaksen, hvor strekkfaktoren er 4;

3) utføre en symmetrisk transformasjon om x-aksen;

4) strekk fra y-aksen (strekkfaktoren er 2);

5) fullfør konstruksjonen av hele grafen.

I denne videoopplæringen undersøkte vi i detalj hvordan du bygger en funksjonsgraf trinn for trinn y=f(kx) til forskjellige verdier k.

TEKSTTOLKNING:

I dag vil vi bli kjent med transformasjonen som vil hjelpe deg å lære hvordan du grafer funksjonen y \u003d f (kx)

(y er lik ef fra argumentet som representerer produktet av ka og x), hvis grafen til funksjonen y \u003d f (x) er kjent (y er lik eff fra x), der ka er et hvilket som helst reelt tall (unntatt null) ".

1) Tenk på tilfellet når k er et positivt tall i et spesifikt eksempel, når k = 3. Det vil si at du må tegne grafen for funksjonen

y \u003d f (3x) (y er lik eff fra tre x), hvis grafen til funksjonen y \u003d f (x) er kjent. La på grafen til funksjonen y \u003d f (x) det er et punkt A med koordinater (6; 5) og B med koordinater (-3; 2). Dette betyr at f (6) \u003d 5 og f (- 3) \u003d 2 (ef fra seks er lik fem og ef fra minus tre er lik to). La oss følge bevegelsen til disse punktene når vi plotter funksjonen y \u003d f (3x).

Ta en vilkårlig verdi x = 2, beregn y ved å erstatte verdien av x i grafen til funksjonen y \u003d f (3x), vi får at y \u003d 5. (på skjermen: y \u003d f (3x) \u003d f (3 2) \u003d f ( 6) = 5.) ​​Det vil si at på grafen til funksjonen y \u003d f (3x) er det et punkt med A 1-koordinater (2; 5). Hvis x \u003d - 1, og deretter erstatte verdien av x i grafen til funksjonen y \u003d f (3x), får vi verdien y \u003d 2.

(På skjermen: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Det vil si at på grafen til funksjonen y \u003d f (3x) er det et punkt med koordinatene B 1 (- 1; 2). Så på grafen til funksjonen y \u003d f (3x) er det punkter med samme ordinat som på grafen til funksjonen y \u003d f (x), mens abscissen til punktet er to ganger mindre i absolutt verdi .

Det samme vil gjelde for andre punkter i grafen til funksjonen y \u003d f (x), når vi går videre til grafen for funksjonen y \u003d f (3x).

Vanligvis kalles en slik transformasjon kompresjon til y(y)-aksen med en faktor 3.

Derfor hentes grafen til funksjonen y = f (kx) fra grafen til funksjonen y = f (x) ved å krympe til y (y)-aksen med en koeffisient k. Merk at med en slik transformasjon forblir skjæringspunktet for grafen til funksjonen y \u003d f (x) med y-aksen på plass.

Hvis k er mindre enn én, så snakker de ikke om kompresjon med en koeffisient k, men om å strekke seg fra y-aksen med en koeffisient (det vil si hvis k =, så snakker de om strekking med koeffisient på 4).

EKSEMPEL 1. Tegn grafen for funksjonen y \u003d sin 2x (y er lik sinusen til to x).

Beslutning. La oss først bygge en halvbølge av grafen y \u003d sin x på intervallet fra null til pi. Siden koeffisienten er lik to, som betyr at k er et positivt tall større enn én, så vil vi komprimere grafen til funksjonen y \u003d sin x til ordinataksen med koeffisienten 2. Finn skjæringspunktet med OX-aksen. Hvis grafen til funksjonen y \u003d sin x skjærer OX-aksen i punktet π, vil grafen til funksjonen y \u003d sin 2x skjære i punktet (π: k \u003d π: 2 \u003d) (pi delt på ka er lik pi delt på to er lik pi med to) . På lignende måte finner vi alle de andre punktene i grafen til funksjonen y \u003d sin2 x. Så punktet til grafen til funksjonen y \u003d sin x med koordinater (; 1) vil tilsvare punktet til grafen til funksjonen y \u003d sin 2x med koordinater (; 1). Dermed får vi en halvbølge av grafen til funksjonen y \u003d sin 2x. Ved å bruke periodisiteten til funksjonen konstruerer vi hele grafen.

EKSEMPEL 2. Tegn grafen for funksjonen y \u003d cos (y er lik cosinus til den private x og to).

Beslutning. La oss først bygge en halvbølge av grafen y \u003d cos x. Siden k er et positivt tall mindre enn e enhet, vil vi strekke grafen til funksjonen y \u003d cos x fra y-aksen med en faktor på 2.

Finn skjæringspunktet med x-aksen. Hvis grafen til funksjonen y \u003d cos x skjærer OX-aksen i et punkt, vil grafen til funksjonen y \u003d cos skjære i punktet π. (: k =π: = π). På lignende måte finner vi alle andre punkter i grafen til funksjonen y \u003d cos. Dermed får vi én halvbølge av ønsket funksjonsgraf. Ved å bruke periodisiteten til funksjonen konstruerer vi hele grafen.

Tenk på tilfellet når k er lik minus én. Det vil si at du må plotte funksjonen y \u003d f (-x) (y er lik eff fra minus x), hvis grafen til funksjonen y \u003d f (x) er kjent. La det være punkt A på kartet med koordinater (4; 5) og punkt B (-5; 1). Dette betyr at f (4) = 5 og f (- 5) = 1.

Siden når vi erstatter formelen y \u003d f (-x) i stedet for x \u003d - 4, får vi y \u003d f (4) \u003d 5, så på grafen til funksjonen y \u003d f (-x) er et punkt med koordinatene A 1

(- 4; 5) (minus fire, fem). På samme måte hører grafen til funksjonen y \u003d f (-x) til punktet B 1 (5; 1). Det vil si at grafen til funksjonen y \u003d f (x) tilhører punktene A (4; 5) og B (-5; 1), og grafen funksjonene y \u003d f (-x) tilhører punktene A 1 (- 4; 5) og B 1 (5; 1). Disse punktparene er symmetriske om y-aksen.

Derfor kan grafen til funksjonen y \u003d f (-x) ved hjelp av symmetritransformasjonen om y-aksen hentes fra grafen til funksjonen y \u003d f (x).

3) Tenk til slutt på tilfellet der k er et negativt tall. Tatt i betraktning at likheten f (kx) = f (- |k|x) (ef fra produktet av ka ved x er lik eff fra produktet minus modulen til ka og x) er rettferdig, da vi snakker om å konstruere en graf for funksjonen y = f (- |k|x), som kan bygges i trinn:

1) plott funksjonen y \u003d f (x);

2) utsett den konstruerte grafen for kompresjon eller strekking til y-aksen med koeffisienten |k| (modul);

3) utføre en symmetritransformasjon om y-aksen

(y) oppnådd i andre ledd i grafen.

EKSEMPEL 3. Plott funksjonen y \u003d 4 sin (-) (y er fire ganger sinusen til kvotienten minus x med to).

Beslutning. Først av alt, husk at sin (- t) \u003d -sint (sinus til minus te er lik minus sinus til te), som betyr at y \u003d 4 sin (-) \u003d - 4 sin (y er lik minus fire ganger sinus til privat x med to ). Vi bygger i etapper:

1) La oss bygge en halvbølge av grafen til funksjonen y \u003d sinx.

2) Vi strekker den konstruerte grafen fra abscissen med faktor 4 og får en halvbølge av grafen til funksjonen

y \u003d 4sinx (y er fire ganger sinus av x).

3) På den konstruerte halvbølgen til grafen til funksjonen y \u003d 4sinx, bruker vi symmetritransformasjonen om x (x)-aksen og vi får halvbølgen til grafen til funksjonen y \u003d - 4sinx.

4) For en halvbølge av grafen til funksjonen y= - 4sinx vil vi strekke oss fra y-aksen med en faktor 2; vi får en halvbølge av grafen til funksjonen - 4 sin.

5) Ved å bruke den resulterende halvbølgen bygger vi hele grafen.

>> Hvordan tegne funksjonen y = f(kx) hvis grafen til funksjonen er kjent

§1. 3. Hvordan plotte en funksjonsgraf y \u003d f (kx), hvis grafen til funksjonen er kjent

I denne delen vil vi bli kjent med en annen transformasjon som tillater, å vite rute funksjon y \u003d / (x), er det ganske raskt å bygge en graf av funksjonen y \u003d f (Ax), der k er et hvilket som helst reelt tall (unntatt null). La oss vurdere flere tilfeller.

Oppgave 1. Når du kjenner grafen til funksjonen y \u003d f (x), plott funksjonen y - f (kx), der k er et positivt tall.
For å gjøre det lettere for deg å forstå essensen av saken, vurder spesifikt eksempel når k = 2. Hvordan plotte funksjonen y \u003d f (2x), hvis grafen til funksjonen y \u003d f (x) er kjent?

La det være punkter (4; 7) og (-2; 3) på grafen til funksjonen y \u003d f (x). Dette betyr at f (4) = 7 og f (-2) = 3. Hvor vil punktene bevege seg når vi plotter funksjonen y \u003d f (2x)? Se (fig. 50): hvis x \u003d 2, så y \u003d f (2x) \u003d f (2 2) \u003d f (4) \u003d 7. Så på grafen til funksjonen y \u003d f (2x) det er et punkt (2; 7 ). Videre, hvis x \u003d -1, så y \u003d f (2x) \u003d D-1-2) \u003d f (-2) \u003d 3. Så, på grafen til funksjonen y \u003d f (2x) ) det er et punkt (-1; 3) . Så på grafen til funksjonen y \u003d f (x) er det punkter (4; 7) og (-2; 3), og på grafen til funksjonen y \u003d f (2x) er det punkter (2) ; 7) og (- 1; 3), dvs. punkter med samme ordinat.

men dobbelt så liten (modulo) abscisse. Det samme er tilfellet med andre punkter i grafen til funksjonen y \u003d f (x), når vi går over til grafen for funksjonen y \u003d f (2x) (fig. 51). En slik transformasjon kalles vanligvis kompresjon til y-aksen med en faktor på 2.

Generelt er grafen til funksjonen y \u003d f (x) hentet fra grafen til funksjonen y-f (x) ved å krympe til y-aksen med en koeffisient k. Merk at med denne transformasjonen, skjæringspunktet til grafen av funksjonen y \u003d f (x) med y-aksen (hvis x = 0, så er kx = 0).

Imidlertid hvis til< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Eksempel 1 Bygg funksjonsgrafer:

Løsning: a) La oss bygge en halvbølge av grafen til funksjonen y \u003d sin x og strekke den fra y-aksen med en faktor på 2; får vi én halvbølge av den ønskede grafen til funksjonen (fig. 52). Deretter skal vi bygge hele grafen (fig. 53).

b) La oss bygge en halvbølge av grafen til funksjonen y \u003d cos x og komprimere den til y-aksen med en faktor på 2; vi får en halvbølge av den ønskede grafen til funksjonen y \u003d cos 2x (fig. 54). Deretter skal vi bygge hele grafen (fig. 55).

Oppgave 2. Når du kjenner til grafen til funksjonen y \u003d f (x), plott grafen til funksjonen y \u003d f (kx), hvor k \u003d -1. Med andre ord, vi snakker om å konstruere en graf for funksjonen y \u003d f (-x).

Anta at på grafen til funksjonen y \u003d f (x) er det punkter (3; 5) og (-6; 1). Dette betyr at f(З) = 5, og f(-6) = 1. Følgelig er det et punkt (-3; 5) på grafen til funksjonen y \u003d f (-x), siden når du erstatter i formel y \u003d f (-x) av verdien x \u003d -3 får vi y \u003d f (3) \u003d 5. På samme måte sørger vi for at grafen til funksjonen y \u003d f (-x) tilhører punktet (6; 1).

Så punktet (3; 5) som tilhører grafen til funksjonen y \u003d f (x) tilsvarer punktet (-3; 5) som tilhører grafen til funksjonen y \u003d f (-x); punktet (-6; 1) som tilhører grafen til funksjonen y \u003d f (x) tilsvarer punktet (6; 1) som tilhører grafen til funksjonen y \u003d f (-x). Disse punktparene er symmetriske om y-aksen (fig. 56).

Ved å oppsummere disse betraktningene kommer vi til følgende konklusjon: grafen til funksjonen y \u003d f (-x) kan hentes fra grafen til funksjonen " y \u003d f (x) ved å bruke en symmetritransformasjon om y-aksen.

Kommentar. Hvis vi snakker om å plotte en graf for en funksjon y = f (-x), så sjekker vi vanligvis først om funksjonen y = f (x) er partall eller oddetall. Hvis y \u003d f (x) - jevn funksjon, dvs. f (-x) \u003d f (x), så faller grafen til funksjonen y \u003d f (-x) sammen med grafen til funksjonen y \u003d f (x). Hvis y \u003d f (x) - merkelig funksjon, dvs. f (-x) \u003d -f (x), så i stedet for grafen til funksjonen y \u003d f (-x), kan du plotte funksjonen y \u003d -f (x).

Oppgave 3. Når du kjenner grafen til funksjonen y \u003d f (x), plott funksjonsgrafen y \u003d f (kx), der k er et negativt tall.
Siden i dette tilfellet er likheten f(kx) = f(-\k\x) sann, så snakker vi om å plotte funksjonen y = f(-\k\x). Dette kan gjøres i tre trinn:

1) bygg en graf av funksjonen y \u003d f (x);
2) å utføre sin kompresjon (eller strekking) til y-aksen med koeffisienten | til |;
3) utsett den komprimerte (eller strakte) grafen for en symmetritransformasjon rundt y-aksen.

Eksempel 2 Konstruer en graf av funksjonen y \u003d -3 cos (~ 2x).

Beslutning. Merk først av alt at cos(-2x)=cos2x.
1) La oss konstruere en graf av funksjonen y \u003d cosx, mer presist, en halvbølge av grafen (fig. 57a. Alle foreløpige konstruksjoner er indikert med stiplede linjer).
2) Vi vil strekke den konstruerte grafen fra x-aksen med en faktor 3; vi får en halvbølge av grafen til funksjonen y \u003d Zcos x.
3) La oss utsette den konstruerte halvbølgen til grafen til funksjonen y \u003d 3 cos x for en symmetritransformasjon om x-aksen; vi får en halvbølge av grafen til funksjonen y \u003d -3cos x.
4) La oss utføre for halvbølgen til grafen til funksjonen y \u003d -3cos x komprimering til y-aksen med en faktor på 2; vi får en halvbølge av grafen til funksjonen y \u003d -3cos2x (heltrukken linje i fig. 57a).
5) Ved å bruke den resulterende halvbølgen vil vi bygge hele grafen (fig. 576).

A.G. Mordkovich Algebra klasse 10

Kalendertematisk planlegging i matematikk, video i matematikk på nett, nedlasting av matematikk på skolen

Leksjonens innhold leksjonssammendrag støtteramme leksjonspresentasjon akselerative metoder interaktive teknologier Øve på oppgaver og øvelser selvransakelse workshops, treninger, case, oppdrag lekser diskusjon spørsmål retoriske spørsmål fra studenter Illustrasjoner lyd, videoklipp og multimedia fotografier, bilder grafikk, tabeller, skjemaer humor, anekdoter, vitser, tegneserier lignelser, ordtak, kryssord, sitater Tillegg sammendrag artikler brikker for nysgjerrige jukseark lærebøker grunnleggende og tilleggsordliste andre Forbedre lærebøker og leksjonerrette feil i læreboka oppdatere et fragment i læreboken elementer av innovasjon i leksjonen erstatte foreldet kunnskap med ny Kun for lærere perfekte leksjoner kalenderplan for et år retningslinjer diskusjonsprogrammer Integrerte leksjoner

2. Hvis 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Fig. 3.8). Dermed blir grafen til funksjonen komprimert eller strukket.

ÅÅ

y

y

0 x X 0 x X

Ris. 3.7 Fig. 3.8

Regel 2 La k > 1. Da fås grafen til funksjonen f(kx) fra grafen til funksjonen f(x) ved å klemme den langs OX-aksen k ganger (ellers: ved å klemme den til OY-aksen k ganger ).

La 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Eksempler. Konstruer grafer av funksjoner: 1)
og
;

2)
og
.

ÅÅ

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Ris. 3.9 Fig. 3.10

Kommentar. Vennligst merk: prikk liggende på OY-aksen forblir på plass. Faktisk tilsvarer et hvilket som helst punkt N(0, y) i grafen f(x) et punkt
grafikk f(kx).

Funksjonsgraf
fås ved å strekke grafen til funksjonen
fra OY-aksen med 2 ganger. I dette tilfellet igjen poenget forblir uendret (kurve (3) i fig. 3.9).

Plotte en funksjon y=f(-x).

Funksjonene f(x) og f(-x) har like verdier for motsatte verdier av argumentet x. Derfor vil punktene N(x;y) og M(-x;y) i deres grafer være symmetriske om OY-aksen.

Regel 3 For å bygge en graf f (-x), er det nødvendig å speile grafen til funksjonen f (x) om OY-aksen.

Eksempler. Plot funksjoner
og
.

Løsningene er vist i fig. 3.11 og 3.12.

Y
Y

Ris. 3.11 Fig. 3.12

Plotte en funksjon y=f(-kx), hvor k > 0.

Regel 4 Vi bygger en graf av funksjonen y \u003d f (kx) i samsvar med regel 2. Grafen til funksjonen f (kx) speiles fra OY-aksen i samsvar med regelen

scrap 3. Som et resultat får vi grafen til funksjonen f(-kx).

Eksempler. Plot funksjoner

.

Løsningene er vist i fig. 3.13 og 3.14.

s

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Ris. 3.13 Fig. 3.14

Plotte en funksjon
, hvor A > 0. Hvis A > 1, så for hver verdi
ordinere gitt funksjon A ganger større enn ordinaten til hovedfunksjonen f(x). I dette tilfellet strekkes grafen f(x) med A ganger langs OY-aksen (ellers: fra OX-aksen).

Hvis 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в ganger langs OY-aksen (eller bort fra OX-aksen).

Regel 5 La A > 1. Deretter grafen til funksjonen
hentes fra f(x)-grafen ved å strekke den A ganger langs OY-aksen (eller bort fra OX-aksen).

La 0< A < 1. Тогда график функции
hentes fra grafen f(x) ved å komprimere den til ganger langs OY-aksen (eller til OX-aksen).

Eksempler. Konstruer funksjonsgrafer 1)
,
og 2)
,

.

Y
Y

2

1

1
0p/2pp/3px

Ris. 3.15 Fig. 3.16

Plotte en funksjon
.

For alle
punktene N(x, y) til funksjonen f(x) og M(x, -y) til funksjonen -f(x) er symmetriske i forhold til aksen OX, så vi får regelen.

Regel 6Å plotte en funksjon
trenger en tidsplan
speilet om x-aksen.

Eksempler. Plot funksjoner
og
(fig. 3.17 og 3.18).

ÅÅ

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Ris. 3.17 Fig. 3.18

Plotte en funksjon
, hvor A>0.

Regel 7 Vi bygger en funksjonsgraf
, hvor A>0, i samsvar med regel 5. Den resulterende grafen speiles fra OX-aksen i samsvar med regel 6.

Plotte en funksjon
.

Hvis B>0, så for hver
ordinaten til den gitte funksjonen er B enheter større enn ordinaten til f(x). Hvis B<0, то для каждого
ordinaten til den første funksjonen minker med enheter sammenlignet med ordinaten f(x). Dermed får vi regelen.

Regel 8Å plotte en funksjon
i henhold til grafen y=f(x), må denne grafen flyttes langs OY-aksen med B-enheter opp hvis B>0, eller med enheter ned hvis B<0.

Eksempler. Konstruer grafer av funksjoner: 1) og

2)
(fig. 3.19 og 3.20).

Y

2

2

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Ris. 3.19 Fig. 3.20

Opplegg for å konstruere en graf for en funksjon .

Først og fremst skriver vi funksjonens ligning i skjemaet
og betegne
. Deretter er grafen til funksjonen konstruert i henhold til følgende skjema.

Vi plotter hovedfunksjonen f(x).

I samsvar med regel 1 plotter vi f(x-a).

Ved å komprimere eller strekke grafen f(x-a), under hensyntagen til tegnet til k, bygger vi i henhold til regel 2-4 en graf av funksjonen f .

Vennligst merk: grafen f(x-a) krymper eller strekker seg i forhold til den rette linjen x=a (hvorfor?)

Vennligst merk: ved hvert trinn i konstruksjonen fungerer den forrige grafen som grafen for hovedfunksjonen.

Eksempel. Tegn en funksjon
. Her er k=-2, altså
. Gitt oddetall
, vi har
.

(Fig. 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Ris. 3.21 Fig. 3.22

ÅÅ

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Ris. 3.23 Fig. 3.24

Oppgave 2.

Konstruksjon av grafer for funksjoner som inneholder fortegnet for modulen.

Løsningen av dette problemet består også av flere stadier. Når du gjør dette, husk definisjonen av modulen:

Plotte en funksjon
.

For de verdiene
, for hvilket
, vil være
. Derfor er her grafene for funksjonene
og f(x) er like. For det samme
, for hvilken f(x)<0, будет
. Men -f(x)-plottet er hentet fra f(x)-plottet ved å speile OX-aksen. Vi får regelen for å konstruere en graf for en funksjon
.

Regel 9 Vi bygger en graf av funksjonen y=f(x). Etter det, den delen av grafen f(x), hvor
, lar vi det være uendret, og delen hvor f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Kommentar. Vær oppmerksom på at diagrammet
ligger alltid over eller berører OX-aksen.

Eksempler. Plot funksjoner

(Fig. 3.24, 3.25, 3.26).

ÅÅ

2

Ris. 3.25 Fig. 3,26

Plotte en funksjon
.

Som
, deretter
, det vil si at det gis en jevn funksjon, hvis graf er symmetrisk om OY-aksen.

Regel 10 Vi bygger en graf av funksjonen y=f(x) med
. Vi reflekterer den konstruerte grafen fra OY-aksen. Da vil totaliteten av de to oppnådde kurvene gi en graf over funksjonen
.

Eksempler. Plot funksjoner

(Fig. 3.27, 3.28, 3.29)

Å Å Å

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Ris. 3.27 Fig. 3.28 Fig. 3,29

Plotte en funksjon
.

Vi bygger en funksjonsgraf
etter regel 10.

Vi bygger en funksjonsgraf
etter regel 9.

Eksempler. Plot funksjoner
og
.

Vi reflekterer den negative delen av grafen fra OX-aksen. Rute
vist i fig. 3.30.

ÅÅ

2 0 2 x -1 0 1 x

Ris. 3.30 Fig. 3,31

2. Vi plotter funksjonen
(Fig. 3.29).

Vi reflekterer den negative delen av grafen fra OX-aksen. Rute
vist i fig. 3,31.

Når du konstruerer en graf for en funksjon som inneholder fortegnene til modulen, er det svært viktig å kjenne intervallene for fortegnskonstansen til funksjonen. Derfor må løsningen av hvert problem begynne med definisjonen av disse hullene.

Eksempel. Tegn en funksjon
.

Domene . Uttrykkene x+1 og x-1 endrer fortegn ved punktene x=-1 og x=1. Derfor deler vi definisjonsdomenet inn i fire intervaller:

Gitt tegnene x+1 og x-1, har vi

;

;

.

Dermed kan funksjonen skrives uten modulo-tegn som følger:

Funksjoner
hyperbler tilsvarer, og funksjoner y=2 tilsvarer en rett linje. Videre konstruksjon kan utføres ved punkter (fig. 3.32).

Y

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Kommentar. Merk at for x=0 er funksjonen ikke definert. Funksjonen sies å gå i stykker på dette tidspunktet. På fig. 3.32 er dette markert med piler.

Oppgave 3. Plotte en funksjon gitt av flere analytiske uttrykk.

I forrige eksempel, funksjonen
vi har presentert flere analytiske uttrykk. Ja, i mellom
den endres i henhold til hyperbolens lov
; i mellomtiden
, bortsett fra x=0, er dette en lineær funksjon; i mellomtiden
igjen har vi en hyperbole
. Lignende funksjoner vil ofte forekomme i fremtiden. La oss vurdere et enkelt eksempel.

Togveien fra stasjon A til stasjon B består av tre seksjoner. I den første delen tar han fart, det vil si i intervallet
farten hans
, hvor
. I den andre delen beveger han seg med konstant hastighet, det vil si v \u003d c, if
. Til slutt, når du bremser, vil hastigheten være
. Altså i mellom
bevegelseshastigheten endres i henhold til loven

Parallell overføring.

OVERFØRING LANGS Y-AKSEN

f(x) => f(x) - b
La det være nødvendig å plotte funksjonen y \u003d f (x) - b. Det er lett å se at ordinatene til denne grafen for alle verdier av x på |b| enheter mindre enn de tilsvarende ordinatene til grafen til funksjonene y = f(x) for b>0 og |b| flere enheter - ved b 0 eller opp ved b For å plotte funksjonen y + b = f(x), plott funksjonen y = f(x) og flytt x-aksen til |b| enheter opp for b>0 eller med |b| enheter nede ved b

OVERFØRING LANGS X-AKSEN

f(x) => f(x + a)
La det være nødvendig å plotte funksjonen y = f(x + a). Tenk på en funksjon y = f(x), som på et tidspunkt tar x = x1 verdien y1 = f(x1). Det er klart at funksjonen y = f(x + a) vil ha samme verdi i punktet x2, hvis koordinat bestemmes fra likheten x2 + a = x1, dvs. x2 = x1 - a, og likheten som vurderes er gyldig for totaliteten av alle verdier fra funksjonens domene. Derfor kan grafen til funksjonen y = f(x + a) oppnås ved parallell forskyvning av grafen til funksjonen y = f(x) langs x-aksen til venstre med |a| ener for a > 0 eller til høyre ved |a| enheter for a For å plotte funksjonen y = f(x + a), plott funksjonen y = f(x) og flytt y-aksen til |a| enheter til høyre for a>0 eller |a| enheter til venstre for en

Eksempler:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Speilbilde.

GRATTERING AV EN FUNKSJON AV VISNING Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Det er klart at funksjonene y = f(-x) og y = f(x) har like verdier på punkter hvis abscisser er like i absolutt verdi, men motsatt i fortegn. Med andre ord, ordinatene til grafen til funksjonen y = f(-x) i området med positive (negative) verdier av x vil være lik ordinatene til grafen til funksjonen y = f(x) med negative (positive) x-verdier som tilsvarer absolutt verdi. Dermed får vi følgende regel.
For å plotte funksjonen y = f(-x), bør du plotte funksjonen y = f(x) og reflektere den langs y-aksen. Den resulterende grafen er grafen til funksjonen y = f(-x)

GRATTERING AV EN FUNKSJON AV VISNING Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordinatene til grafen til funksjonen y = - f(x) for alle verdiene av argumentet er like i absolutt verdi, men motsatt i fortegn til ordinatene til grafen til funksjonen y = f(x) for samme verdier av argumentet. Dermed får vi følgende regel.
For å plotte funksjonen y = - f(x), bør du plotte funksjonen y = f(x) og reflektere den om x-aksen.

Eksempler:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformasjon.

DEFORMASJON AV GRAFEN LANGS Y-AKSEN

f(x) => kf(x)
Betrakt en funksjon av formen y = k f(x), hvor k > 0. Det er lett å se at for like verdier av argumentet vil ordinatene til grafen til denne funksjonen være k ganger større enn ordinatene til grafen til funksjonen y \u003d f (x) for k > 1 eller 1/k ganger mindre enn ordinatene til grafen til funksjonen y = f (x) for k For å plotte grafen til funksjonen y = k f (x) bør du plotte funksjonen y = f(x) og øke dens ordinater med k ganger for k > 1 (strekk grafen langs ordinataksen) eller reduser ordinatene med 1/k ganger for k
k > 1- strekker seg fra okseaksen
0 - kompresjon til OX-aksen

GRAF DEFORMASJON LANGS X-AKSEN

f(x) => f(kx)
La det være nødvendig å plotte funksjonen y = f(kx), hvor k>0. Tenk på en funksjon y = f(x), som i vilkårlig poeng x = x1 tar verdien y1 = f(x1). Det er åpenbart at funksjonen y = f(kx) har samme verdi i punktet x = x2, hvis koordinat bestemmes av likheten x1 = kx2, og denne likheten er gyldig for totalen av alle verdier av x fra domenet til funksjonen. Følgelig blir grafen til funksjonen y = f(kx) komprimert (for k 1) langs abscisseaksen i forhold til grafen til funksjonen y = f(x). Dermed får vi regelen.
For å plotte funksjonen y = f(kx), plott funksjonen y = f(x) og reduser dens abscisse med k ganger for k>1 (komprimer grafen langs abscisse-aksen) eller øk abscissen med 1/k ganger for k
k > 1- kompresjon til Oy-aksen
0 - strekker seg fra OY-aksen

Arbeidet ble utført av Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov under tilsyn av Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014