Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр. Поэтому общее число возможных элементарных исходов 10. Эти исходы равновозможные (цифра набрана наудачу) и образуют полную группу (хотя бы одна цифра обязательно будет набрана), то есть . Нужная цифра всего одна. Поэтому для события А А .

Пример 5. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько пар различных цифр, сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по 2, то есть . Поэтому общее число равновозможных элементарных исходов . Нужное сочетание двух цифр всего одно. Поэтому для события А благоприятен всего один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А к числу всех элементарных исходов: .

Пример 6. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, ровно 4 стандартных.

Решение. Пусть событие А – среди 6 взятых деталей ровно 4 стандартных. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, то есть числу сочетаний из 10 элементов по 6 (). Подсчитаем число исходов, благоприятных событию А : 4 стандартные детали можно взять из 7 стандартных деталей способами. При этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными. Их можно взять из 10-7=3 нестандартных деталей способами. Следовательно, число благоприятных исходов . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию А , к числу всех элементарных исходов.

В урне пять шаров разного размера. Какова вероятность вытянуть все шары по возрастанию, если известно, что одинаковых шаров нет?

Решение. Общее число возможных элементарных исходов опыта равно числу перестановок из пяти элементов , а число исходов, благоприятствующих событию, равно единице.

Искомая вероятность:

.

Задача 17.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и помня что они различны, набрал их на удачу. Какова вероятность того, что он набрал нужный номер?

Решение. Общее число возможных исходов опыта равно числу размещений из 10 по 2, т. е. . Число исходов, благоприятствующих событию, равно единице.

Искомая вероятность:

.

Задача 18.

В ящике стола имеется 15 тетрадей, 8 из них в клеточку.Наудачу взяли три тетради. Найти вероятность того, что все три взятые тетради окажутся высшего качества.

Решение. Так как порядок здесь роли не играет, то общее число всевозможных исходов будет равно числу сочетаний из 15 по 3, т. е. , а число благоприятствующих событию равно тоже числу сочетаний из 8 по 3.

Искомая вероятность:

.

Задача 19.

В группе 15 студентов, 8 из которых отличники. Наудачу (по списку) вызвали 6 студентов. Найти вероятность того, что 4 студента из вызванных окажутся отличниками.

Решение. Число всевозможных исходов опыта здесь равно числу сочетаний из 15 по 6, .

Благоприятной считаем такую комбинацию, в которой 4 студента-отличника, а 2 - нет. 4 отличника можно выбрать из 8 отличников способами, при этом остальные 6-4=2 студента (не отличники) выбираем из 15-8=7 студентов способами.

Если к каждой четверке отличников присоединить одну из пар

студентов, не отличников, то получим “благоприятные” группы из 6 человек. Их число равно m =.

Искомая вероятность:

Задача 20.

Первая трудность, которую преодолел Паскаль в своей переписке с шевалье де Маре, связана с точным подсчетом случаев. Речь шла об игре, при которой бросают три кости, и один из игроков заключает пари, что сумма на выброшенных гранях будет больше чем 10, а другой - что она будет равна или меньше 10. Легко видеть, что шансы обоих игроков равны. Но трудность была в следующем. Терпеливый учет очень большого числа партий показал шевалье де Маре, что тот кто ставит на сумму, большую 10, чаще выигрывает с 11,чем с12 очками. Однако, возражал Мере,11 очков можно получить шестью различными способами (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3), и 12 очков тоже можно получить шестью способами (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4). Ответ Паскаля очень прост: сочетание 6-4-1 не является простым, а шестикратным, так как, если пронумеровать кости или если каждую из трех костей окрасить по разному, чтобы можно было их различить, значение 6 может быть получено на каждой из трех костей, а значение 4 - на каждой из двух остающихся, что уже составляет шесть комбинаций. Напротив, такое сочетание, как 5-5-1, может быть получено только тремя различными способами, а сочетание 4-4-4 - единственным способом.

Следовательно, если желательно узнать действительное число различных способов получить 11 или получить 12 очков, то надо для каждого из этих случаев составлять сумму тех шести чисел, которые соответствуют сочетаниям,

тогда как для случая 12 очков мы имеем

Отсюда заключаем, что в среднем мы получаем 11 очков 27 раз, тогда как 12 очков мы получаем 25 раз, и этот результат отлично сошелся с наблюдениями шевалье де Мере.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1.34 . Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наугад. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение . Обозначим через А событие - набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует собы­тию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро­ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих со­бытию, к числу всех элементарных исходов:

Р (А) = 1/10.

Пример 1.35. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры "различны, набрал их на­угад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение . Обозначим через В событие - набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е. Таким образом, общее число возможных элементар­ных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (В) = 1/90.

Пример 1.36. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А).

Решение . Общее число равновозможных исходов испытания равно 6∙6 = 36 (каждое число выпавших очков на одном кубике может сочетаться со всеми числами очков другого кубика). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (I; 3), (3; I), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность

Р (А) = 3/36 =1/12.

Пример 1.37. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероят­ность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение . Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов ().

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей спо­собами; при этом остальные 6 - 4 = 2 детали должны быть нестан­дартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 - 7 = 3 нестандарт­ных деталей можно способами. Следовательно, число благоприя­тствующих исходов равно

Хотите научиться решать типовые задачи на эту тему? Используйте статьи-инструкции-калькуляторы:

• Задача про шары (в урне находится $k$ белых и $n$ черных шаров, вынимают $m$ шаров...)
• Задача про детали (в ящике находится $k$ стандартных и $n$ бракованных деталей, вынимают $m$ деталей...)
• Задача про лотерейные билеты (в лотерее участвуют $k$ выигрышных и $n$ безвыигрышных билета, куплено $m$ билетов...)


• Вычисление вероятности: подбрасывание игральных костей

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Решенные задачи

Задача 1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.

Задача 2. Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

Задача 3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

Задача 4. На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?

Задача 5. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?

Задача 6. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.

Задача 7. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

Задача 8. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".

Задача 9. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?

Задача 10. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, ... , 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

Задача 11. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

Задание №1

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Задание №2

Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины Х:

Найти интегральную функцию F(x)

Задание №3

В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Задание №4

Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, все эти три вынутые детали окажутся стандартными.

Задание №5
Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: = 0,8; = 0,7; = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Задание №6

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Задание №7

Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны – 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

Задание №8

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Задание №9

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Задание №10

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Задание №11

Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Задание №12

Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число Е, чтобы с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 не превысила Е.

Задание №13

Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет:

а) менее двух раз;

б) не менее двух раз.

Задание №14

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Задание №15

Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появления события в этих испытаниях было равно 25?

Задание №16

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения.

Найти: дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение (X) и построить многоугольник распределения.

Задание №17

Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

Задание №18

Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: а также известны математические ожидания этой величины и ее квадраты:

М(X)=2,3 и М(X)=5,9.

Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

Задание №19

Случайная величина Х задана интегральной функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1;1)

Задание №20
Дискретная случайная величина задана законом распределения

Найти интегральную функцию и построить ее график.

Задание №21

Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией
в интервале (0; π/3); вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (
)

Задание №22

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	1	2	4
р	0,1	0,3	0,6

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков

Задание №23

Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.

Задание №24

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	-5	2	3	4
р	0,4	0,3	0,1	0,2

Задание №25

Вероятность появления события а в каждом испытании равна ½. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события А будет заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.

Задание №26

xі	1	8	10	12
nі	5	3	8	4

Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

Задание №27

Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки

№ п/п	Численность занятых, человек	Число фирм
	7-12	4
	12-17	6
	17-22	4
	22-27	3
	Свыше 27	3

Задание №28

Выборка задана в виде распределения частот

xі	1	3	6	26
nі	8	40	10	2

Вычислить точечные оценки.

Задание №29

Для построенного интервального ряда рассчитайте доверительный интервал при γ=0,99 и t=2,861

№ п/п	Численность занятых, человек	Число фирм
	218-347	2
	347-476	5
	476-605	6
	605-734	4
	734-863	1
	863-992	2

Задание №30

Выборка задана в виде распределения частот

xі	2	4	8	15
nі	15	23	18	24

Построить полигон относительных частот.