Разность где. Что такое разность? Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом «Инфоурок»

Проценты - одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3% избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74%, промышленное производство увеличилось на 3,2%, банк начисляет 8% годовых, молоко содержит 1,5% жира, ткань содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе.

Одним процентом от любой величины - денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. - называется одна сотая ее часть. Обозначается процент знаком %, Таким образом,
1% - это 0,01, или \(\frac{1}{100} \) часть величины

Приведем примеры:
- 1% от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) - это 2300/100 = 23 рубля;
- 1% от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), - это 1,45 млн. человек;
- 3%-я концентрация раствора соли - это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора - это часть, которую составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).

Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке "хлопок 100%" означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников.

Слово "процент" происходит от латинского pro centum, означающего "от сотни" или "на 100". Это словосочетание можно встретить и в современной речи. Например, говорят: "Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы". Если понимать это выражение буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова "процент": 7% - это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.

Знак "%" получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга "Руководство по коммерческой арифметике" Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали "cto" (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это "с/о" за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.

Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.

Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например:

\(58\% = \frac{58}{100} = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac{200}{100} = 2 \)

Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100:

\(0,58 = (0,58 \cdot 100)\% = 58\% \) \(0,045 = (0,045 \cdot 100)\% = 4,5\% \)

В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, пятая часть - 20%, три пятых - 60% и т.д.

Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например, в сообщениях "Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%" и "Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раз" говорится об одном и том же. Точно так же увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза - это значит увеличить на 200%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%.

Аналогично
- увеличить на 300% - это значит увеличить в 4 раза,
- уменьшить на 80% - это значит уменьшить в 5 раз.

Задачи на проценты

Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби. В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% ("целое"), а ее часть b выражается числом p%.

В зависимости от того, что неизвестно - а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.

1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти \(\frac{p}{100} \) от a, надо a умножить на \(\frac{p}{100} \):

\(b = a \cdot \frac{p}{100} \)

Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь \(\frac{p}{100} \). Например, 20% от 45 кг равны 45 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18x

2. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью \(\frac{p}{100} , \; (p \neq 0) \), надо b разделить на \(\frac{p}{100} \):
\(a = b: \frac{p}{100} \)

Таким образом, чтобы найти число по его части, составляющей р% этого числа, надо эту часть разделить на \(\frac{p}{100} \). Например, если 8% длины отрезка составляют 2,4 см, то длина всего отрезка равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а \((a \neq 0) \), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а затем эту часть выразить в процентах:

\(p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \) Значит, чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют \(\frac{9 \cdot 100}{180} = 5\% \) раствора.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.

Нетрудно заметить, что формулы

\(b = a \cdot \frac{p}{100}, \;\; a = b: \frac{p}{100}, \;\; p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \;\; (a,b,p \neq 0) \) взаимосвязаны, а именно, две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и, при желании, можно ею пользоваться, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.

Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.

Простой процентный рост

Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роеnа - наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 0,019 = 19 р., а всего 1019 р.

Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n - число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим S n .
Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или \(\frac{pn}{100}S \), а всего придется заплатить \(S + \frac{pn}{100}S = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Таким образом:
\(S_n = \left(1+ \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов. Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае
\(S_n = \left(1- \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает. Рост в этом случае "отрицательный".

Сложный процентный рост

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход - "проценты", как его обычно называют.

Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех лет не будет брать деньги со счета.

10% от 1000 р. составляют 0,1 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет
1000 + 100 = 1100 (р.)

10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет
1100 + 110 = 1210 (р.)

10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет
1210 + 121 = 1331 (р.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, "лобовом" подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.

А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 = 1,1 2 раз.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 1,1 2 = 1,1 3 раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое: 1,1 3 1000 = 1,331 1000 - 1331 (р.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна S n р.

Величина p% от S составляет \(\frac{p}{100}S \) р., и через год на счете окажется сумма
\(S_1 = S+ \frac{p}{100}S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S \)
то есть начальная сумма увеличится в \(1+ \frac{p}{100} \) раз.

За следующий год сумма S 1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
\(S_2 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)S_1 = \left(1+ \frac{p}{100} \right) \left(1+ \frac{p}{100} \right)S = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^2 S \)

Аналогично \(S_3 = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^3 S \) и т.д. Другими словами, справедливо равенство
\(S_n = \left(1+ \frac{p}{100} \right)^n S \)

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста , или просто формулой сложных процентов.

В данной статье мы опишем, как найти процент от числа , долю одного числа от другого. Где-то классе в пятом, на занимательных уроках математики дети начинают изучать такую тему как «проценты» . Тогда для любителей посчитать открывается увлекательный мир процентных соотношений и дробных чисел. Учителя дают для решения почтенное количество любопытных, увлекательных задач на определение процентов. Но в школьные годы дети думают, что им не обязательно пригодятся эти знания, а зря! Ведь эта тема всегда актуальна, тесно связана с повседневной жизнью и вполне может пригодиться в различных жизненных ситуациях.

Для чего важно уметь находить проценты от чисел

Уметь просчитывать проценты необходимо, однозначно, каждому. Вы спросите - почему? Просто любой человек практически ежедневно сталкивается с ценами на товары и услуги в тех или иных предприятиях и заведениях. Почти каждый второй имеет кредит, рассрочку, у многих есть сберегательные вклады в банках, и, возможно, даже не в одном. Налоги, страховка, покупки - в нашем мире почти везде задействованы проценты. Эта тема касается как финансовой, экономической так и других сфер нашей жизни. Но при решении детских задач из учебников 5-6 классов нет столько подводных камней, как при расчете взрослого кредита.

В школьной программе есть 3 закономерности для решения задач в процентах:

нахождение процента от числа;

нахождение процентного соотношения чисел

нахождение самого числа исходя из его же процента .

Не стоит забывать о том, что вычисление процентов очень часто используются в обыденности. Примером этого служит применение их в расчетах бюджета вашей семьи. Многие семьи берут кредиты такие как: «Автокредит», «Потребительский кредит», «Кредит на образование» ну и конечно же « Жилищный кредит», имеющий так же другое, более привычное нам название - «Ипотека».

Как обозначается процент от числа

Известно, что процент обозначается значком «%» . Используют разные определения термина.

Первое, известное всем: процент, это одна сотая часть числа.
Второе - это плата, взимаемая банком или иными лицами, выдающими финансовые средства в кредит, за их пользование. Это понятие крайне часто встречается людям в повседневной жизни.

Процента от числа - история происхождения понятия

Мало кто задумывался, откуда взялся этот термин. А ведь слово «процент» родом из Римской империи. Слово «pro centum» мало о чем Вам может рассказать. А ведь буквальное его обозначение означает «со ста» или же «за сотню». Сама идея выражать части целого в множестве равных долей родилась давным-давно еще в древнем Вавилоне. Тогда люди использовали шестидесятеричные дроби при своих расчетах. Люди жившие в Вавилоне оставили нам «на память» реестры, по которым рассчитывали проценты для подсчета суммы долга, «набежавшей» по процентам у заемщика.

Проценты имели огромную известность еще в Других государствах Древности. Люди, знающие точную науку математику, в Индии высчитывали проценты по тройному правилу использовали при своих расчетах пропорции. Римляне же, например, были профессионалами этой сферы, ведь они называли процентом те деньги, который неплательщик вынужден вернуть тому, кто их выдал, причем за каждую сотню. Еще тогда Парламент Рима принял максимум допустимого процента, который брали с должника, потому как бывали случаи, когда заимодатели чрезмерно старались получить свои процентные деньги. И именно от Римлян понятие процентов перешло ко всем остальным народам.

Кому нужно знать - как считать проценты?

Бухгалтер. Ему просто необходимо знать, как считать проценты. В любой компании, на любой работе, есть человек занимающийся начислением заработной платы. Рассчитывающий, вычитающий, умножающий ваши кровные, заработанные честным трудом, деньги. Кто это? Конечно бухгалтер. Например, он занимается вычетом процента от заработной платы. Этим процентом является налог, который на данный момент составляет 13% от дохода.
Банковский служащий. Ему тоже просто необходимо знание процента. Для чего? Да потому что именно этот сотрудник занимается кредитами, ипотеками, финансовыми вложениями. Он рассчитывает то, куда уходят деньги людей. Предоставляет информацию о том, сколько человек переплатит или получит в процессе сделки с банком.
Окулист. Врач, осматривающий глазное дно, изучающий то, насколько хорошо человек видит. Он определяет зрение. Он выпишет очки. Но со зрением, как и с очками, не все так просто - все мы индивидуальны, соответственно и зрение у нас разное. У кого то +(-) 1, а у кого то +(-) 0,75. И окулист как никто другой, знает толк в этом. И понять ему это дает не только образование, но и знание процентного соотношения.

Применение нахождения процентов в разных областях

Финансовое. Тут все элементарно - это та самая сумма, которую кредитозаемщик платит кредитору за то, что второй предоставил первому денежные средства во временное пользование. При этом условия выдачи оба лица оговаривают предварительно и индивидуально, закрепив финансовые отношения документально.

Лексика бизнеса. В бизнесе есть такое понятие - «работать за проценты». Означает это то, что человек готов работать и получать вознаграждение которое исчисляют из прибыли и оборота предприятия.

Значение в экономике. Некоторую сумму от прибыли, которую «заимодатель» выплачивает «кредитору» за денежный капитал, взятый в ссуду. Источником процентов является прибавочная стоимость, которая формируется при использовании его ссудного капитала.

Процент ссудный . Это, своего рода, отчисление за временное пользование финансами. Категория, которая функционирует в кредитных отношениях. Вкратце - это отношения между займодавцом и кредитозаемщиком, где у каждый заинтересован по своему при нахождении и получении процента. Это не является кредитом, потому как ссудный процент является лишь стоимостью прибыли от продукта. Получается, что сам процент - это просто вычет прибыли из суммы, которая находится в распоряжении заемщика.

Процент депозитный. Отчисление процентов за сохранение денежных средств в хранилищах, которую банк или иной кредитозаемщик берет. Есть два участника данных отношений. Первое лицо (займодавец) - клиент банка, второе (кредитозаемщик) - сам банк.

Как найти проценты — формула нахождения процента от числа (2 формулы с примерами)

Есть две простых формулы нахождения процентов от числа:

1. Первая формула, как можно посчитать процент от числа - нужное число разделить на сто и умножить на то количество процентов, которое необходимо.

X/100*Y=...
Где X - общее число, из которого нужно извлечь процент, Y - искомый процент от нее.

Пример из жизни: Вам нужно перевести 300 рублей родственнику на Камчатку. Вы воспользовались платежной системой «Жмотфинанс», в которой процент за перевод составляет 16% от суммы платежа. Таким образом нам нужно узнать, сколько будет 16 процентов от числа 300. Делим 300 на 100 и умножаем на 16. (300/100*16) = 48. Это и будет та сумма, которую заберет себе жадная платежная система.

2. И вторая, более простая формула - умножить число, из которого нужно извлечь (X) на 0,Y - где Y - это кол-во искомых процентов , получится нужная сумма процентов .

X* 0, Y... =
Где так же: X - общее число, Y - искомый процент от нее.

Пример из жизни: допустим, вы снова обратились в фирму «Жмотфинанс», которая за те же 16% готова осуществить перевод ваших средств в любую точку России. Но теперь вам нужно отправить другому родственнику, живущему во Владивостоке и уже другую сумму — 500 руб. Значит, нам нужно получить процент от числа 500. Для этого просто умножаем 500 на 0,16 (500*0,16) = 80. Грабительские 80 рублей в качестве процентов за перевод уходят в доход этой жадной компании.

Напоследок помните - алгебра, геометрия, физика, химия и многие другие науки пригодятся вам всегда. А умение найти процент от числа может даже послужить выгодой для вас в будущем. Числа и цифры играют важнейшую роль в будущем человека. А способность находить в уме проценты от любого числа может значительно облегчить вам жизнь и поможет избежать в нелепых и неловких ситуаций в повседневном обиходе.

Видео о расчете доли

Процентом называется одна сотая доля чего-либо. Из определения следует, что что-либо целое принимается за 100 процентов. Обозначается процент значком "%".

Как решать задачи, в которых требуется произвести расчет процентов от числа? Процент от числа можно высчитать как формулой, так и на калькуляторе.

Пример задания: Цена корзины яблок - 160 рублей. Цена корзины слив на 20% дороже. На сколько рублей дороже корзина слив?
Решение: В этом задании от нас требуется не что иное, как узнать, сколько рублей составляют 20% процентов от числа 160.

Формула вычисления процента:

1 способ

Так как 160 рублей - это 100%, то сначала узнаем, чему будет равен 1%. А затем умножим это число на нужные нам 20%.

160 / 100 * 20 = 1,6 * 20 = 32

Ответ: корзина слив дороже на 32 рубля.

2 способ

Второй способ - видоизмененный вариант первого способа. Умножим число, которое составляет 100% на десятичную дробь. Дробь эта получается при делении того количества процентов, которые надо найти, на 100. В нашем случае:

20% / 100 = 0,2

Умножаем 160 на 0,2 и получаем такой же ответ 32.

3 способ

3 способ - пропорция.

Составим пропорцию вида:

х = 20%
160 = 100%

Перемножаем части пропорции крест на крест и получаем уравнение:

х = (160 * 20) / 100
х = 32

Вычисление процента от числа на калькуляторе

Для того чтобы вычислить 20% от числа 160 на калькуляторе, нужно:

Сначала набрать на экране число 160 - то есть наши 100%
Затем нажать кнопку умножить " * "
умножать будем на количество процентов, которые нужно найти то есть на 20. Нажимаем 20
Теперь жмем клавишу %
На экране должен высветиться ответ: 32

Подробнее об алгоритмах вычисления процентов читайте в статье

Проценты от чисел необходимо высчитывать не только при решении задач и уравнений. Также это может потребоваться вам при совершении каких-либо покупок, получении кредита и проч. Поэтому уметь найти процент от числа должен абсолютно каждый, независимо от того, как он собирается учиться. Но сразу стоит отметить, что находить проценты крайне легко. Здесь нет никакой серьезной теории.

Как найти один процент от числа?

Процент — это сотая часть числа. То есть, если мы разделим какое-либо число на 100, то у нас получится один процент этого самого числа.

Например, нам необходимо найти 1% от 200. Мы берем 200, делим на 100 и получаем 2. Таким образом, 1% от 200 равен двум.

Это правило действует для любых чисел, как для целых, так и для десятичных дробей. Главное понять этот принцип. И вы сможете работать с процентами.

Как найти несколько процентов от числа?

Для того, чтобы найти несколько процентов, вам также необходимо разделить число на 100. Так вы получите 1%. Потом вы должны полученное значение умножить на то количество процентов, которое вы ищите.

Например, вам необходимо найти 5% от 300. Вы берете 300 и делите на 100. У вас получается 3. Это один процент. А вам надо понять, сколько будет 5%.

Значит, вы умножаете 3 на 5 и получаете 15. Ваша задача решена.

Как находить проценты на калькуляторе?

Стоит отметить, что в сложных ситуациях вам можно воспользоваться любым калькулятором. Там есть специальная функция по вычислению процентов.

Вы берете число процентов, умножаете его на первичное число и нажимаете на знак «%». При этом не стоит жать «равно» или иные клавиши.

Например, вам необходимо найти 9% от 851. Вы берете калькулятор и вводите 851 * 9 %. Все. У вас должен появиться тот ответ, который вам необходим.

Немного важных фактов

Чтобы лучше работать с такими действиями вам необходимо понять, что:

Половина любого числа — это 50%;
Четвертая часть — 25%;
Пятая часть — 20%.
Десятая часть соответственно 10%.

При этом важно знать, что 30% — это не третья часть числа. Кажется что оно именно так, но вот здесь как раз нестыковка.

Важно отметить, что решать сложные примеры с процентами необходимо при помощи пропорций и уравнений, которые подробно прописаны в курсе математике. Но если вы будете знать основные правила работы с данными действиями, то вам уже будет проще.