Первообразная функции и общий вид.
а) Непосредственное интегрирование.
Нахождение интегралов функций, основанное на прямом применении свойств неопределенных интегралов и таблицы основных формул интегрирования. Рассмотрим пример нахождения интеграла функции путем непосредственного интегрирования.
Пример:
∫(х –3) 2 dх = ∫(х 2 –6х +9)dх = ∫х 2 dх - 6∫х dх +9∫dх = х 3 ∕3 -3 х 2 +9х +С.
В подавляющем большинстве случаев мы имеем дело с интегралами функций, которые нельзя найти непосредственным интегрированием. В этом случае необходимо сделать подстановку (заменить переменную).
б) Интегрирование подстановкой (замена переменной).
Интегрирование подстановкой, или как его часто называют, методом замены переменой, является одним из более эффективных и распространенных методов интегрирования. Способ подстановки состоит в том, чтобы перейти от данной переменной интегрирования к другой переменной с целью упростить подинтегральное выражение и привести его к одному из табличных видов интегралов. При этом выбор подстановки решается исполнителем индивидуально, т.к. не существует общих правил, указывающих какую подстановку в данном случае взять.
Пример: Найти интеграл ∫е 2х+3 dх .
Введем новую переменную t, связанную сх следующей зависимостью 2х + 3 =t.
Возьмем дифференциалы от левой и правой частей этого равенства: 2dх =dt;dх =dt/2.
Теперь вместо 2х + 3 иdх в подинтегральное выражение подставим их значения. Тогда получим: ∫е 2х+3 dх =∫е t dt=е t + С. Возвращаясь к прежней переменной, получим окончательно выражение:
∫е 2х+3 dх =е 2х+3 + С .
Чтобы убедиться в правильности взятия интеграла необходимо первообразную функцию е 2х+ 3 продифференцировать и проверить, будет ли ее производная равна подинтегральной функции:
(е 2х+ 3)" =е 2х+ 3 · (2х +3)" =е 2х+ 3 .
3. Определенный интеграл и его свойства.
Понятие определенного интеграла широко используется во многих областях науки и техники. С его помощью вычисляются площади, ограниченные кривыми, объемы произвольной формы, мощность и работа переменной силы, путь движущегося тела, моменты инерции и многие другие величины.
В
подавляющем большинстве случаев понятие
определенного интеграла вводится при
решении задач определения площади
криволинейной трапеции. Пусть имеется
непрерывная функция у =f(х
)
на отрезке [а,в
]. Фигуру, ограниченную
кривой у=f(х
) ординатамиа
А о, в
А п
и
отрезком [а,в
] оси абсцисс называют
криволинейной трапецией (рис.1).
Поставим перед собой задачу: определить площадь Sкриволинейной трапецииа А о А п в . Для этого разобьем отрезок [а,в ] нап не обязательно равных частей и обозначим точки деления таким образом:а =х о ‹х 1 ‹х 2 ‹ … ‹х п = в .
Из точек деления восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой у = f(х ). Таким образом, мы всю площадь, ограниченную кривой, разбили нап элементарных криволинейных трапеций. Восстановим из произвольных точек каждого отрезка ∆х i ординатыf(С i ) до пересечения с кривой у =f(х ). Далее построим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основанием ∆х i и высотой f(С i ). Элементарная площадьi -го прямоугольника будетS i =f(С i )(х i -х i -1 ), а вся площадьS п полученной ступенчатой фигуры будет равна сумме площадей прямоугольников:
S п =f(С о)(х 1 –х о) +f(С 1)(х 2 –х 1 ) + … +f(С п- 1)(х п –х п- 1).
Для
сокращения записи этой суммы вводят
символ
(сигма)
– знак, означающий суммирование величин.
Тогда
S п
=
.
Эта
сумма S п,
которая
называется интегральной суммой, может
быть или больше или меньше истинного
значения данной площади. Наиболее
близким значением к истинной величине
площади будет предел суммы при условии,
что элементарные отрезки будут дробиться
(п→
), а длина самого большого отрезка ∆х
max
будет стремиться к нулю, т.е.:
S=
(4)
Этот
предел интегральной суммы (если он
существует) называется определенным
интегралом
от функцииf(х
)
на отрезке [а
,в
] и обозначают:
=
(5)
(читается – “определенный интеграл от а дов эф от икс дэ икс”).
Числа а ив называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,f(х ) – подинтегральной функцией;х – переменной интегрирования. Применив формулы (4) и (5) можно записать. Что площадь криволинейной трапеции численно равна интегралу от функции, ограничивающей трапецию, взятому на интервале интегрирования [а ,в ]:
.
Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.
Рассмотрим свойства определенного интеграла .
1. Определенный интеграл
не зависит от обозначения переменной,
т.е.:
=
.
2. Определенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого:
=
f 1 (х
)dх +
f 2 (х
)dх
+ ….
Мы убедились в том, что производная имеет многочисленные применения: производная - это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); производная - это угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; производная помогает решать задачи на оптимизацию.
Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи: например, наряду с задачей об отыскании скорости по известному закону движения встречается и задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример 1.
По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой u = tg. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = u"(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна tg. Нетрудно догадаться, что
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили, что На самом деле, задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида 
произвольная константа, может служить законом движения, поскольку
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например, при t=0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства получаем s(0) = 0+С, т.е.S 0 = С. Теперь закон движения определен однозначно:
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения: например, возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня синус(sinх) и арксинус
(аrcsin х) и т.д. Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т.е. процесс отыскания функции по заданной производной - интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у - f(х) «производит на свет» новую функцию у"= f"(x) Функция у = f(х) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у"=f"(х), первичный образ, или, короче, первообразная.
Определение 1.
Функцию у = F(х) называют первообразной для функции у = f(х) на заданном промежутке X, если для всех х из X выполняется равенство F"(х)=f(х).
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры:
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для всех х справедливо равенство (х 2)" =2х.
2) функция у - х 3 является первообразной для функции у-Зх 2 , поскольку для всех х справедливо равенство (х 3)" = Зх 2 .
3) Функция у-sinх является первообразной для функции у=соsх, поскольку для всех х справедливо равенство (sinх)" =соsх.
4) Функция являетя первообразной для функции на промежутке поскольку для всех х > 0 справедливо равенство
Вообще, зная формулы для отыскания производных, нетрудно составить таблицу формул для отыскания первообразных.
Надеемся, вы поняли, как составлена эта таблица: производная функции, которая записана во втором столбце, равна той функции, которая записана в соответствующей строке первого столбца (проверьте, не поленитесь, это очень полезно). Например, для функции у = х 5 первообразной, как вы установите, служит функция (см. четвертую строку таблицы).
Замечания:
1. Ниже мы докажем теорему о том, что если у = F(х) - первообразная для функции у = f(х), то у функции у = f(х)бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = F(х) + С. Поэтому правильней было бы во втором столбце таблицы всюду добавить слагаемое С, где С - произвольное действительное число.
2. Ради краткости иногда вместо фразы «функция у = F(х) является первообразной для функции y = f(x)», говорят F(х) - первообразная для f(x)».
2. Правила отыскания первообразных
При отыскании первообразных, как и при отыскании производных, используются не только формулы (они указаны в таблице на с. 196), но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.
Правило 1.
Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Обращаем ваше внимание на некоторую «легковесность» этой формулировки. На самом деле следовало бы сформулировать теорему: если функции у = f(х) и у=g{х) имеют на промежутке X первообразные, соответственно у-F(х) и у-G(х), то и сумма функций у = f(х)+g(х) имеет на промежутке X первообразную, причем этой первообразной является функция у = F(х)+G(х). Но обычно, формулируя правила (а не теоремы), оставляют только ключевые слова - так удобнее для применения правила на практике
Пример 2.
Найти первообразную для функции у = 2х + соз х.
Решение.
Первообразной для 2х служит х"; первообразной для созх служит sin х. Значит, первообразной для функции у=2х + соз х будет служить функция у = х 2 + sin х (и вообще любая функция вида У = х 1 + sinх + С).
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.
Правило 2.
Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.
Пример 3.
Ре ш е н и е.
а) Первообразной для sin х служит -соз х; значит, для функции у = 5 sin х первообразной будет функция у = -5соз х.
б) Первообразной для соз x служит sin x; значит, для функции первообразной будет функция
в) Первообразной для х 3 служит первообразной для х служит первообразной для функции у = 1 служит функция у = х. Используя первое и второе правила отыскания первообразных, получим, что первообразной для функции у = 12х 3 + 8х-1 служит функция
Замечание.
Как известно, производная произведения не равна произведению производных (правило дифференцирования произведения более сложное) и производная частного не равна частному от производных. Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведения или первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!
Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы знаем, что производная функции у = f(кх+m) вычисляется по формуле
Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.
Правило 3.
Если у = F(х) - первообразная для функции у = f(х), то первообразной для функции у=f(кх+m) служит функция
В самом деле,
Это и означает, что является первообразной для функции у = f(кх+m).
Смысл третьего правила заключается в следующем. Если вы знаете, что первообразной для функции у = f(х) является функция у = F(х),а.вам нужно найти первообразную функции у = f(кх+m), то действуйте так: берите ту же самую функцию F, но вместо аргумента х подставьте выражение кх+m; кроме того, не забудьте перед знаком функции записать «поправочный множитель»
Пример 4.
Найти первообразные для заданных функций:
Решение
, а) Первообразной для sin х служит -соз х; значит, для функции у = sin2х первообразной будет функция
б) Первообразной для соз х служит sin х; значит, для функции первообразной будет функция
в) Первообразной для х 7 служит значит, для функции у=(4-5х) 7 первообразной будет функция
3. Неопределенный интеграл
Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной для заданной функции у = f(х)имеет не одно решение. Обсудим этот вопрос более детально.
Доказательство.
1. Пусть у = F(х) - первообразная для функции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство x"(х) = f(х). Найдем производную любой функции вида у = F(х)+С:
(F(х) +С) = F"(х) +С = f(x) +0 = f(x).
Итак, (F(х)+С) = f(х). Это значит, что у = F(х) +С является первообразной для функции у = f(х).
Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная у=F(х), то у функции {f = f(x) бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = F(х)+С является первообразной.
2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.
Пусть у=F 1 (х) и у=F(х) - две первообразные для функции У = f(x)на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F^ (х) = f(х); F"(х) = f(х).
Рaсмотрим функцию у = F 1 (х) -.F(х) и найдем ее производную: (F, (х) -F(х))" = F[(х)-F(х) = f(х) - f(х) = 0.
Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, F 1 (х)-F(х) =С, т.е. Fх) = F(х)+С.
Теорема доказана.
Пример 5. Задан закон изменения скорости от времени v = -5sin2t. Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).
Решение. Так как скорость - производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости, т.е. первообразную для функции v = -5sin2t. Одной из таких первообразных является функция , а множество всех первообразных имеет вид:
Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, s(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения t=0, S = 1,5, получим:
Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:
Определение 2. Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную у = F(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = F(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = f(x) и обозначают:
(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.
Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:
Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.
Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:
Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
Правило 3. Если
Пример 6. Найти неопределенные интегралы:
Решение , а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:
Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования:
В итоге получаем:
б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:
в) Для непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.
Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени:
Тогда последовательно находим:
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе
Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.
На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)
Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.
Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.
Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.
Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.
Что такое первообразная и как она считается
Мы знаем такую формулу:
\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]
Считается эта производная элементарно:
\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]
Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:
\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]
Но мы можем записать и так, согласно определению производной:
\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]
А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:
Аналогично запишем и такое выражение:
Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
Теперь мы можем сформулировать четкое определение.
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.
Вопросы о первообразной функции
Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:
- Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
- Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
- Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?
На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.
Решение задач со степенными функциями
\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]
Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:
\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]
Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:
\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]
Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:
\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]
Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.
Итак, что нам известно на данный момент:
- Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
- Для константы — $=const\to \cdot x$
- Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$
А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.
Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.
Решение реальных задач
Задача № 1
Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:
Задача № 2
Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:
Мы разбили дробь на сумму двух дробей.
Посчитаем:
Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]
\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]
\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]
Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно
- умножать (степени складываются);
- делить (степени вычитаются);
- умножать на константу;
- и т.д.
Решение выражений со степенью с рациональным показателем
Пример № 1
Посчитаем каждый корень отдельно:
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:
Пример № 2
\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]
Следовательно, мы получим:
\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]
Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:
Пример № 3
Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:
\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]
Перепишем:
Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Вспомним формулу квадрата разности:
\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]
Давайте перепишем нашу функцию:
Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:
\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]
\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]
Собираем все в общую конструкцию:
Задача № 2
В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:
\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]
С учетом этого факта можно записать так:
Давайте немного преобразуем нашу функцию:
Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:
\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]
\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]
\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]
Запишем полученную конструкцию:
Задача № 3
Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:
\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]
\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
Давайте напишем итоговое решение:
А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
- ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$
Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.
Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.
Еще раз переписываем наши конструкции:
В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.
Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:
И последняя:
И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.
Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой
Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?
Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.
Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.
Пример № 1
Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:
\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]
\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]
Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:
Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:
Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:
Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:
Пример № 2
В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:
\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]
Исходная конструкция запишется следующим образом:
Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:
\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]
Выражаем $C$:
Осталось отобразить итоговое выражение:
Решение тригонометрических задач
В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.
Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.
Задача № 1
Вспомним следующую формулу:
\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]
Исходя из этого, мы можем записать:
Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:
\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]
Перепишем выражение с учетом этого факта:
Задача № 2
Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.
Вспомним такую формулу:
\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:
\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]
Вот наша конструкция
Подставим координаты точки $M$:
Итого запишем окончательную конструкцию:
Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.
Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!
Немалых успехов достигли древние амурчане в обработке черных, цветных и драгоценных металлов
Влияние человека на природу, негативное воздействие
Объяснение знаков препинания Как объяснить запятую в предложении