Таблица степенных функций свойств и графиков. Степенная функция

Функция где Х – переменная величина, A – заданное число, называется Степенной функцией .

Если то – линейная функция, ее график – прямая линия (см. параграф 4.3, рис. 4.7).

Если то – квадратичная функция, ее график – парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.8).

Если то ее график – кубическая парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.9).

Степенная функция

Это обратная функция для

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.

6. наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7.

8. График функции Симметричен графику кубической параболы относительно прямой Y = X и изображен на рис. 5.1.

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: единственный нуль X = 0.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для X = 0, оно равно 0.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке

8. График функции (для каждого N Î N ) «похож» на график квадратичной параболы (графики функций изображены на рис. 5.2).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения:

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции (для каждого ) «похож» на график кубической параболы (графики функций изображены на рис. 5.3).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.

8. Асимптоты: (ось Оу ) – вертикальная асимптота;

(ось Ох ) – горизонтальная асимптота.

9. График функции (для любого N ) «похож» на график гиперболы (графики функций изображены на рис. 5.4).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

6. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на и убывающей на

7. Асимптоты: X = 0 (ось Оу ) – вертикальная асимптота;

Y = 0 (ось Ох ) – горизонтальная асимптота.

8. Графиками функций Являются квадратичные гиперболы (рис. 5.5).

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, функция принимает в точке X = 0; наибольшего значения не имеет.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для функции при условии

9. График функции «похож» на график функции при любом N и изображен на рис. 5.6.

Степенная функция

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули функции: X = 0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции Изображен на рис. 5.7.

Степенная функция, ее свойства и график Демонстрационный материал Урок-лекция Понятие функции. Свойства функции. Степенная функция, ее свойства и график. 10 класс Все права защищены. Copyright с Copyright с

Ход урока: Повторение. Функция. Свойства функций. Изучение нового материала. 1. Определение степенной функции.Определение степенной функции. 2. Свойства и графики степенных функций.Свойства и графики степенных функций. Закрепление изученного материала. Устный счет. Устный счет. Итог урока. Задание на дом.Задание на дом.

Область определения и область значений функции Все значения независимой переменной образуют область определения функции х y=f(x) f Область определения функции Область значений функции Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значений функции Функция. Свойства функции

График функции Пусть задана функция где хУ у х,75 3 0,6 4 0,5 График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Функция. Свойства функции

У х Область определения и область значений функции 4 y=f(x) Область определения функции: Область значений функции: Функция. Свойства функции

Четная функция у х y=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ОУ Функция у=f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения функции Функция. Свойства функции

Нечетная функция у х y=f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат О(0;0) Функция у=f(x) называется нечетной, если f(-x) = -f(x) для любого х из области определения функции Функция. Свойства функции

Определение степенной функции Функция, где р – заданное действительное число, называется степенной. р у=х р Р= х у 0 Ход урока

Степенная функция х у 1.Областью определения и областью значений степенных функций вида, где n – натуральное число, являются все действительные числа. 2. Эти функции – нечетные. График их симметричен относительно начала координат. Свойства и графики степенной функции

Степенные функции с рациональным положительным показателем Область определения- все положительные числа и число 0. Область значений функций с таким показателем – также все положительные числа и число 0. Эти функции не являются ни четными ни нечетными. у х Свойства и графики степенной функции

Степенная функция с рациональным отрицательным показателем. Областью определения и областью значений таких функций являются все положительные числа. Функции не являются ни четными ни нечетными. Такие функции убывают на всей своей области определения. у х Свойства и графики степенной функции Ход урока

Напомним свойства и графики степенных функций с целым отрицательным показателем.

При четных n, :

Пример функции:

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида - их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.

Рис. 1. График функции

При нечетных n, :

Пример функции:

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида - их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.

Рис. 2. График функции

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .

Для выполняется равенство:

Например: ; - выражение не существует по определению степени с отрицательным рациональным показателем; существует, т. к. показатель степени целый,

Перейдем к рассмотрению степенных функций с рациональным отрицательным показателем.

Например:

Для построения графика данной функции можно составить таблицу. Мы поступим иначе: сначала построим и изучим график знаменателя - он нам известен (рисунок 3).

Рис. 3. График функции

График функции знаменателя проходит через фиксированную точку (1;1). При построении графика исходной функции данная точка остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 4).

Рис. 4. График функции

Рассмотрим еще одну функцию из семейства изучаемых функций.

Важно, что по определению

Рассмотрим график функции, стоящей в знаменателе: , график данной функции нам известен, она возрастает на своей области определения и проходит через точку (1;1) (рисунок 5).

Рис. 5. График функции

При построении графика исходной функции точка (1;1) остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 6).

Рис. 6. График функции

Рассмотренные примеры помогают понять, каким образом проходит график и каковы свойства изучаемой функции - функции с отрицательным рациональным показателем.

Графики функций данного семейства проходят через точку (1;1), функция убывает на всей области определения.

Область определения функции:

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Функция непрерывна, принимает все положительные значения от нуля до плюс бесконечности.

Функция выпукла вниз (рисунок 15.7)

На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз. Рис. 7.

Рис. 7. Выпуклость функции

Важно понять, что функции данного семейства ограничены снизу нулем, но наименьшего значения не имеют.

Пример 1 - найти максимум и минимум функции на интервале \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \]

График (рис. 2).

Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$

Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем

Область определения -- все действительные числа.

$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения -- все действительные числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$

Функция возрастает на всей области определения.

$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

$f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$

\ \

Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$.

График (рис. 3).

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$

Степенная функция с целым показателем

Для начала введем понятие степени с целым показателем.

Определение 3

Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:

Рисунок 4.

Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.

Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.

Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем

Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения:

Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty)$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ на всей области определения