Свойства умножения натуральных чисел. Умножение суммы на натуральное число и наоборот

На этом уроке Вы познакомитесь с различными свойствами умножения и такими понятиями как произведение и множители.

Давайте рассмотрим такую задачу: в магазин привезли печенье в трех коробках по 15 пачек в каждой. Сколько всего пачек печенья привезли в магазин?

Решение: для нахождения общего количества пачек печенья в трех коробках надо к 15 прибавить 15 и еще раз прибавить 15, 15 + 15 + 15 = 45. Ответ: 45 пачек печенья всего привезли в магазин.

Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно записать короче: вместо 15 + 15 + 15 пишут 15 умножить на 3, значит 15 * 3 = 45. Число 45 называют произведением чисел 15 и 3, а числа 15 и 3 называют множителями.

Таким образом, получаем: умножить число М на натуральное число N - это значит найти сумму N слагаемых, каждое из которых равно М.

Само выражение М умноженное на N называют произведением, и значение этого выражения также называют произведением чисел М и N.

Числа М и N называют множителями.

Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже.

Например, произведение 12 и 10 равно 120, 12 - это первый множитель, 10 - это второй множитель, 120 - это произведение.

§ 2 Свойства умножения натуральных чисел

Как и в случае со сложением и вычитанием, умножение натуральных чисел также обладает некоторыми свойствами.

Первое свойство: от перестановки множителей произведение не меняется. Это свойство умножения называют переместительным, и с помощью букв его записывают так:

Например, 7 умножить на 8 будет 56, и 8 умножить на 7 тоже будет 56, значит 7х8 = 8х7.

Второе свойство - сочетательное свойство умножения. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

С помощью букв это свойство записывают так:

Например, произведение 7 и 5 надо умножить на 2, получаем 7х5=35, далее 35 умножить на 2, будет 70.

Или можно выполнить умножение, используя сочетательное свойство, а именно, сначала перемножить 5 и 2, будет 10, затем 10 умножить на 7, получится 70.

Следующее свойство: если число умножить на 1, то оно не изменится, то есть N умноженное на один, равно N. Так как сумма N слагаемых, каждое из которых единица, равна N.

Кстати, сумма N слагаемых, каждое из которых ноль, равна нулю, поэтому верно равенство: N х 0 = 0. Т.е. еще одно свойство умножения, произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Иногда при записи того или иного произведения, знак умножения - точку принято опускать. Знак умножения обычно не пишут перед буквенными множителями и перед скобками. Например, 10 умноженное на х записывают просто 10х или 5 умноженное на сумму (у + 8), записывают так:

Таким образом, на этом уроке Вы познакомились с различными свойствами умножения,такими как переместительное и сочетательное, а также свойствами нуля и единицы.

Список использованной литературы:

Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009

Образовательные цели урока:

совершенствовать навык умножения натуральных чисел;
учить использовать свойства умножения при вычислениях;
продолжить работу над текстовыми задачами.

Развивающие цели:

развивать логическое мышление;
активизировать мыслительную деятельность с помощью информационных технологий.

Воспитательные цели:

развивать память, внимание, навык самостоятельной и творческой деятельности;
прививать интерес к предмету, используя на уроке ИКТ.

Оборудование:

интерактивная доска,
компьютеры,
презентация к уроку,
раздаточный материал (кроссворд)
карточки “Мир растений”,
сигнальные карточки.

Ход урока

I. Организационный момент. Рефлексия. (Приложение 1 . Слайд 1. )

Сообщение темы и цели урока. (Слайд 2.)

Вступительное слово учителя:

“Сегодня мы будем не просто учениками 5 класса, а членами открытого акционерного общества. А кто из вас знает, что такое открытое акционерное общество?” Информация об ОАО. (Слайд 3.)

Учитель формулирует свое понимание этого термина вместе с учениками. Открытое акционерное общество (ОАО) – это организация, созданная для получения прибыли. Члены этой организации объединяют свои средства для приобретения некоторого предприятия, а взамен получают акции – ценные бумаги, которые свидетельствуют о том, что их держатели имеют право на часть имущества предприятия. Когда предприятие начинает приносить прибыль, владелец может получить часть этой прибыли (дивиденды). Каждое ОАО имеет свое название. Как будет называться акционерное общество, учащиеся узнают, выполнив следующее задание.

II. Фронтальный устный опрос с использованием интерактивной доски.

Учащиеся устно находят значения выражений и заполняют таблицу ответов. Узнают название ОАО, которое они будут создавать сегодня на уроке. (Слайд 4.)

На следующем этапе урока выясняется, кто может стать акционером. В него может вступить каждый, кто купит акцию нашего предприятия. В качестве платы берутся заполненные кроссворды. Учащимся раздаются кроссворды. (Приложение 3.)

III. Индивидуальная работа. Учащиеся разгадывают кроссворд. Взаимопроверка. (Слайд 5.)

IV. Историческая справка. Учитель делает сообщение о создании первых акционерных обществ. (Слайд 6.)

На следующем этапе урока учащиеся, чтобы открыть акционерное общество, в первую очередь должны приобрести помещение. Перед ними два дома. Один явно занят, а второй под вопросом. Необходимо рассмотреть внимательно первый дом, чтобы разрешить вопрос о приобретении второго дома.

V. Решение примеров. (Слайд 7.)

Второй дом раскрыл тайну своего вопроса, что позволяет начать свое дело в этом доме. Что нужно нам для этого сделать?

Ученики предлагают план действий:

Учащимся предлагаются задачи, с которыми все сталкиваются, кто собирается делать ремонт.

VI. Решение задач у доски . (Слайд 8–9.)

Проблема с ремонтом решена и даже с приобретением мебели. В нашем кафе будет уютно, если в нем будет звучать музыка.

VII. Музыкальная пауза. Учащиеся исполняют частушки. (Слайд 10.)

Хочешь здания построить иль машины создавать,
Постарайся лучше в школе математику познать.
Если в школе на уроках ты потратишь время зря,
То серьезным бизнесменом стать не сможешь никогда.
Чтобы стать предпринимателем знай ты обязательно
На уроках должен быть очень ты старательным.
Чтобы прибыль потекла к тебе сплошным потоком
Нужно быть внимательным в школе на уроках.
Мы подружки – хохотушки с вами распрощаемся.
Приглашаем вас в кафе там и повстречаемся.

С музыкальным оформлением вопрос решен, а теперь следует подумать, что будет в меню. Кафе называется “Сладкоежка”, то в нем должны быть сладкие продукты. Их изготовление требует большой изобретательности. Учащиеся тренируют изобретательность на следующем математическом задании.

VIII. Работа с учебником. (Слайд 11.)

№ 416 (стр. 69): повторение и закрепление свойств умножения.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Физкультминутка. (Слайд 12.)

X. Тест. Работа на компьютерах. (Слайд 13.) Учащиеся выполняют тесты на компьютерах. (Приложение 2.)

Подводятся итоги тестирования и выставляются оценки в дневники.

XI. Дополнительное задание. Найди ошибку и исправьее:

76 + 24 = 90;
190 – 67 = 123;
2005 + 15 = 2020;
1313: 13 = 11;
50 · 6 ·13 = 390;
72 · 11 = 792;
8 · 8 · 125 = 800;
(200 + 67) – 100 = 167.

XII. Учащиеся из набора слов составляют рекламу для своего кафе. (Слайд14.)

XIII. Итог урока.

Как называются числа при умножении?
Какие свойства умножения применяются для удобства вычислений?

XIV. Творческое домашнее задание. (Слайд 15.)

Карточки “ Из мира растений”.

XV. Рефлексия. (Слайд 16.)

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .

Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).

Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.

Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .

Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.

Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n , где n – произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.

Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .

Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .

Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.

В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.

Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

В которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3.
Значит, 25 3 = 75. Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями.

415. Выполните действия, применив сочетательное свойство умножения:

а) 50 (2 764); в) 125 (4 80);
б) (111 2) 35; г) (402 125) 8.

416. Вычислите, выбрав удобный порядок действий:

а) 483 2 5; в) 25 86 4;
б) 4 5 333; г) 250 3 40.

417. В магазин привезли 5 ящиков с красками. В каждом ящике 144 коробки, а в каждой коробке 12 тюбиков с красками. Сколько тюбиков привезли в магазин? Решите задачу двумя способами.

а) Построили 5 коттеджей по 80 м2 жилой площади и 2 коттеджа по 140 м2. Какова жилая площадь всех этих коттеджей?

б) Масса контейнера с четырьмя книжными шкафами 3 ц. Какова масса пустого контейнера, если масса одного шкафа 58 кг?

421. Привезли 12 ящиков яблок, по 30 кг в каждом, и 8 ящиков груш, по 40 кг в каждом. Какой смысл имеют следующие выражения:

а) 30 12; в) 40 8; д) 30 12 + 40 8;
б) 12 - 8; г) 40 - 30; е) 30 12 - 40 8?

422. Выполните действия:

а) (527 - 393) 8; г) 54 23 35;
б) 38 65 - 36 63; д) (247 - 189) (69 + 127);
в) 127 15 + 138 32; е) (1203 + 2837 - 1981) 21.

423. Запишите произведение:

а) 8 и х; б) 12 + а и 16; в) 25 -m и 28 + n г) а + b и m.

424. Укажите множители в произведении:

а) Зт; в) 4ab; д) (m + n)(k - 3);
б) 6(х + р); г) (х - у) 14; е) 5k(m + а).

а) произведение m и n;
б) утроенная сумма а и b;
в) сумма произведений чисел 6 и х и чисел 8 и у;
г) произведение разности чисел а и b и числа с.

426. Прочитайте выражение:

а) а (с + d); в) 3(m+ n); д) аb + с;
б) (4 - а) 8; г) 2(m - n); е) m - cd.

427. Найдите значение выражения:

а) 8а + 250 при а = 12; 15;

б) 14(6 + 12) при b = 13; 18.

428. Велосипедист ехал а ч со скоростью 12 км/ч и 2 ч со скоростью 8 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист за это время? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при а = 1; 2; 4.

429. Составьте выражение по условию задачи:

а) Из 6 книжных полок составлен шкаф. Высота каждой полки х см. Найдите высоту шкафа. Найдите значение выражения при х = 28; 33.
б) За один рейс автомашина МАЗ-25 перевозит 25 т груза. Сколько груза она перевезет за k рейсов? Найдите значение выражения при k = 10; 5; 0.

430. Цена одного волейбольного мяча х р., а баскетбольного мяча у р. Что означают выражения: Зх; 4у; bх + 2у; 15x - 2у; 4(х + у)?

431. Составьте задачу по выражению:

а) (80 + 60) -7; в) 28 4 + 35 5;
б) (65 - 40) -4; г) 96 5 - 82 3.

432. На вершину холма ведут пять тропинок. Сколько существует способов подняться на холм и спуститься с него, если подниматься и спускаться по разным тропинкам?

433. Какое из произведений больше: 67 2 или 67 3? Объясните, почему это так. Объясните, почему 190 8 < 195 12. Сделайте вывод.

434. Расставьте, не выполняя умножения, в порядке возрастания произведения: 56 24; 56 49; 13 24; 13 11; 74 49; 7 11.

435. Докажите, что:

а) 20 30 < 23 35 < 30 40;
б) 600 800 < 645 871 < 700 900;
в) 1200 < 36 42 < 2000;
г) 45 000 < 94 563 < 60 000.

436. Вычислите устно:

437. Какое число пропущено?

438. Восстановите цепочку вычислений:

439. Угадайте корни уравнения:

а) х + х = 64; б) 58 + у + у + у = 58; в) а + 2 = а - 1.

440. Придумайте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения:

а) х+ 15 = 45;

б) у - 12 = 18.

441. Сколько четырехзначных чисел можно составить из нечетных цифр, ели цифры в записи числа не повторяются?

442. Среди чисел 1, 0, 5, 11,9 найдите корни уравнения:

а) х + 19 = 30; в) 30 + х = 32 - х
б) 27 - х = 27 + х; г) 10 + х + 2 = 15 + х - 3.

443. Назовите несколько свойств луча. Какие из этих свойств есть у прямой?

444. Придумайте способ, с помощью которого можно быстро и просто вычислить значение выражения:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1.

445. Решите уравнение:

а) 127 + у = 357 - 85; в) 144 - у - 54 = 37;
б) 125 + у - 85 = 65; г). 52 + у + 87 = 159.

446. При каком значении буквы верно равенство:

а) 34 + а = 34; г) 58 - d = 0; ж) k - k = 0;
б) b + 18 = 18; д) m + 0 = 0; з) l + I = 0?
в) 75 - с = 75; е) 0 - n = 0;

447. Решите задачу:

а) В корзине несколько грибов. После того как из нее вынули 10 грибов, а затем в нее положили 14 грибов, в ней стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине первоначально?

б) У мальчика было 16 почтовых марок. Он купил еще несколько марок, после этого подарил младшему брату 23 марки, и у него осталось 19 марок. Сколько марок купил мальчик?

448. Упростите выражение:

1) (138 + m) - 95; 3) (х - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36; 4) (у - 56) + 114.

449. Найдите значение выражения:

1) 7480 - 6480: 120 + 80;

2) 1110 + 6890: 130 - 130.

450. Найдите значение выражения:

а) 704 + 704 + 704 + 704;

б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Представьте в виде суммы произведение:

а) 24-4; б) k 8; в) (x + y) 4: г) (2а - b) 5.

452. В магазин привезли 250 коробок, в каждой коробке по 54 пачки печенья. Какова масса всего печенья, если масса одной пачки 150 г?

453. В треугольнике ABC сторона АВ равна 27 см, и она больше стороны ВС в 3 раза. Найдите длину стороны АС, если периметр треугольника ABC равен 61 см.

454. Один станок-автомат производит 12 деталей в минуту, а другой - 15 таких же деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено за 20 мин работы первого станка и 15 мин работы второго станка?

455. Выполните умножение:

а) 56 24; в) 235 48; д) 203 504; ж) 2103 7214;
б) 37 85; г) 37 129; е) 210 3500; з) 5008 3020.

456. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч?

457. От деревни до города велосипедист ехал 4 ч со скоростью 12 км/ч. Сколько времени он потратит на обратный путь по той же дороге, если увеличит скорость на 4 км/ч?

458. Придумайте задачу по выражению:

а) 120 + 65-2; б) 168 -43-2; в) 15 4 + 12 4.

459. Сравните, не вычисляя, произведения (ответ запишите с помощью знака <):

а) 245 611 и 391 782;

б) 8976 1240 и 6394 906.

460. Запишите в порядке возрастания произведения:

172 191; 85 91; 85 104; 36 91; 36 75; 172 104.

461. Вычислите:

а) (18 384 4- 19 847) (384 - 201 - 183);
б) (2839 - 939) (577: 577).

462. Решите уравнение:

а) (х + 27) - 12 = 42; в) г - 35 - 64 = 16;
б) 115 - (35 + у) = 39; г) 28 - t + 35 = 53.

463. Сосчитайте, сколько четверок и сколько пятерок на рисунке 48, но только по особому правилу - считать нужно подряд и четверки, и пятерки: «Первая четверка, первая пятерка, вторая четверка, третья четверка, вторая пятерка и т. д.». Если сразу не удастся сосчитать, возвращайтесь к этому заданию еще и еще раз.

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Сборник конспектов уроков по математике скачать , календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам