Основные теоремы динамики. Общие теоремы динамики

Лекция 3. Общие теоремы динамики

Динамика системы материальных точек является важным разделом теоретической механики. Здесь в основном рассматриваются задачи о движении механических систем (систем материальных точек) с конечным числом степеней свободы – максимальным числом независимых параметров, определяющих положение системы. Главная задача динамики системы – изучение законов движения твердого тела и механических систем.

Наиболее простой подход к исследованию движения системы, состоящий из N материальных точек, сводиться к рассмотрению движений каждой отдельной точки системы. При этом должны быть определены все силы, действующие на каждую точку системы, в том числе и силы взаимодействия между точками.

Определяя ускорения каждой точки в соответствии со вторым законом Ньютона (1.2), получим для каждой точки три скалярных дифференциальных закона движения второго порядка, т.е. 3 N дифференциальных закона движения для всей системы.

Для нахождения уравнений движения механической системы по заданным силам и начальным условиям для каждой точки системы, полученные дифференциальные законы нужно проинтегрировать. Эта задача трудна даже в случае двух материальных точек, которые движутся только под действием сил взаимодействия по закону всемирного притяжения (задача о двух телах), и исключительно трудна в случае трех взаимодействующих точек (задача о трех телах).

Поэтому необходимо отыскать такие методы решения задач, которые бы приводили к решаемым уравнениям и давали представление о движении механической системы. Общие теоремы динамики, являясь следствием дифференциальных законов движения, позволяют избежать сложности, возникающие при интегрировании и получать необходимые результаты.

3. 1. Общие замечания

Точки механической системы будем нумеровать индексами i , j , k и т.д., которые пробегают все значения 1, 2, 3… N , где N – число точек системы. Физические величины, относящиеся к k -й точке, обозначаются таким же индексом, что и точка. Например, выражают соответственно радиус-вектор и скорость k -й точки.

На каждую из точек системы действуют силы двоякого происхождения: во-первых, силы, источники которых лежат вне системы, называемые внешними силами и обозначаемые ; во-вторых, силы со стороны других точек данной системы, называемые внутренними силами и обозначаемые . Внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона. Рассмотрим простейшие свойства внутренних сил, действующих на всю механическую систему в любом ее состоянии.

Первое свойство. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулю .

Действительно, если рассмотреть какие-либо две произвольные точки системы, например и (рис. 3.1) , то для них , т.к. силы действия и противодействия всегда равны по модулю, действуют вдоль одной линии действия в противоположном направлении, которое соединяет взаимодействующие точки. Главный вектор внутренних сил состоит из пар сил взаимодействующих точек, следовательно

(3.1)

Второе свойство. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства равна нулю .

Рассмотрим систему моментов сил и относительно точки О (рис. 3.1) . Из (рис. 3.1) . видно, что

т.к. обе силы имеют одинаковые плечи и противоположные направления векторных моментов. Главный момент внутренних сил относительно точки О состоит из векторной суммы таких выражений и равен нулю. Следовательно,

Пусть заданы внешние и внутренние силы, действующие на механическую систему, состоящую из N точек (рис. 3.2) . Если к каждой точке системы приложить равнодействующую внешних сил и равнодействующую всех внутренних сил , то для любой k -й точки системы можно составить дифференциальные уравнения движения. Всего таких уравнений будет N :

а в проекциях на неподвижные оси координат 3 N :

(3.4)

Векторные уравнения (3.3) или эквивалентные им скалярные уравнения (3.4) представляют дифференциальные законы движения материальных точек всей системы. Если все точки движутся параллельно одной плоскости или одной прямой, то число уравнений (3.4) в первом случае будет 2 N , во втором N .

Пример 1. Два груза массой и связаны между собой нерастяжимым тросом, перекинутым через блок (рис. 3.3) . Пренебрегая силами трения, а также массой блока и троса, определить закон движения грузов и натяжения троса.

Решение . Система состоит из двух материальных тел (связанных нерастяжимым тросом), движущихся параллельно одной оси х. Запишем дифференциальные законы движения в проекциях на ось х для каждого тела.

Пусть правый груз опускается с ускорением , тогда левый груз будет подниматься с ускорением . Мысленно освобождаемся от связи (троса) и заменяем ее реакциями и (рис. 3.3) . Считая тела свободными, составим дифференциальные законы движения в проекции на ось х (имеется в виду, что натяжения нити являются внутренними силами, а вес грузов – внешними):

Поскольку и (тела связаны нерастяжимым тросом), получаем

Решая эти уравнения относительно ускорения и натяжения троса Т , получим

Отметим, что натяжение троса при не равно силе тяжести соответствующего груза.

3. 2. Теорема о движении центра масс

Известно, что твердое тело и механическая система в плоскости может двигаться достаточно сложно. К первой теореме о движении тела и механической системы можно прийти следующим образом: бросить к.-л. предмет, состоящий из множества скрепленных между собой твердых тел. Ясно, что он полетит по параболе. Это выявилось при изучении движения точки. Однако теперь объект не точка. Он поворачивается, покачивается в процессе полета вокруг некого эффективного центра, который движется по параболе. Первая теорема о движении сложных предметов говорит о том, что некий эффективный центр есть центр масс движущегося предмета. Центр масс не обязательно находится в самом теле, он может лежать и где-то вне его.

Теорема. Центр масс механической системы движется как материальная точка массой равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Для доказательства теоремы перепишем дифференциальные законы движения (3.3) в следующем виде:

(3.5)

где N – число точек системы.

Сложим почленно уравнения между собой:

(а)

Положение центра масс механической системы относительно выбранной системы координат определяется формулой (2.1): где М – масса системы. Тогда левая часть равенства (а) запишется

Первая сумма, стоящая в правой части равенства (а), равна главному вектору внешних сил, а последняя по свойству внутренних сил равна нулю. Тогда равенство (а), с учетом (б) перепишется

, (3.6)

т.е. произведение массы системы на ускорение центра ее массы равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Из уравнения (3.6) следует, что внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс. Однако в ряде случаев являются причиной появления внешних сил, приложенных к системе. Так, внутренние силы, приводящие во вращение ведущие колеса автомобиля, вызывают действие на него внешней силы сцепления, приложенной к ободу колеса.

Пример 2. Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, установлен на горизонтальной гладкой плоскости и прикреплен к ней жестко закрепленными с поверхностью брусками К и L (рис. 3.4) .

Диск 1 радиусом R неподвижен. Диск 2 массой m и радиусом r скреплен с кривошипом , длиной R + r в точке С 2 . Кривошип вращается с постоянной

угловой скоростью . В начальный момент кривошип занимал правое горизонтальное положение. Пренебрегая массой кривошипа, определить наибольшее горизонтальное и вертикальное усилия, действующие на бруски, если общая масса станины и колеса 1 равна М. Также рассмотреть поведение механизма при отсутствии брусков.

Решение . Система состоит из двух масс (N =2 ): неподвижного диска 1 со станиной и подвижного диска 2. Направим ось у через центр тяжести неподвижного диска по вертикали вверх, ось х – вдоль горизонтальной плоскости.

Запишем теорему о движении центра масс (3.6) в координатной форме

Внешними силами этой системы являются: вес станины и неподвижного диска – Mg , вес подвижного диска – mg , - суммарная горизонтальная реакция болтов, - нормальная суммарная реакция плоскости. Следовательно,

Тогда законы движения (б) перепишутся

Вычислим координаты центра масс механической системы:

; (г)

как видно из (рис. 3.4) , , , (угол поворота кривошипа ), . Подставляя эти выражения в (г) и вычисляя вторые производные по времени t от , , получим, что

(д)

Подставляя (в) и (д) в (б), находим

Горизонтальное давление, действующее на бруски, имеет наибольшее и наименьшее значения, когда cos = 1 соответственно, т.е

Давление механизма на горизонтальную плоскость имеет наибольшее и наименьшее значения, когда sin соответственно, т.е.

Фактически решена первая задача динамики: по известным уравнениям движения центра масс системы (д) восстанавливаются силы, участвующие в движении.

В условиях отсутствия брусков K и L (рис. 3.4) , механизм может начать подпрыгивать над горизонтальной плоскостью. Это будет иметь место, когда , т.е. когда , отсюда следует, что угловая скорость вращения кривошипа, при которой происходит подпрыгивание механизма, должна удовлетворять равенству

3. 3. Закон сохранения движения центра масс

Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, т.е. , то из (3.6) следует, что ускорение центра масс равно нулю, следовательно, скорость центра масс является постоянной по модулю и направлению. Если, в частности, в начальный момент центр масс находится в покое, то он покоится в течение всего времени, пока главный вектор внешних сил равен нулю.

Из этой теоремы вытекает несколько следствий.

· Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы.

· Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

· Если проекция главного вектора внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется.

· Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изменить движение его центра масс (она может вызвать только вращение тела вокруг центра масс).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий закон сохранения движения центра масс.

Пример 3. Два груза массами и соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через блок (рис. 3.5) , закрепленный на клине массой М. Клин опирается на гладкую горизонтальную плоскость. В начальный момент система находилась в покое. Найти перемещение клина по плоскости при опускании первого груза на высоту Н. Массой блока и нити пренебречь.

Решение. Внешними силами, действующими на клин вместе с грузами, являются силы тяжести , и Mg , а также нормальная реакция гладкой горизонтальной поверхности N. Следовательно,

Поскольку в начальный момент система находилась в покое, имеем .

Вычислим координату центра масс системы при и в момент t 1 , когда груз весом g опустится на высоту H .

Для момента :

где , , х – соответственно координаты центра масс грузов весом g, g и клина весом М g .

Предположим, что клин в момент времени переместится в положительном направлении оси Ox на величину L , если груз весом опустится на высоту Н. Тогда, для момента

т.к. грузы вместе с клином передвинутся на L вправо, a груз переместится на расстояние по клину вверх. Так как , то после вычислений получим

3.4. Количество движения системы

3.4.1. Вычисление количества движения системы

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

Единица измерения количества движения -

Количеством движения механической системы называют векторную сумму количества движения отдельных точек системы, т.е.

где N – число точек системы.

Количество движения механической системы можно выразить через массу системы М и скорость центра масс . Действительно,

т.е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Направление совпадает с направлением (рис. 3.6)

В проекциях на прямоугольные оси имеем

где , , - проекции скорости центра масс системы.

Здесь М – масса механической системы; не меняется при движении системы.

Этими результатами особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.

Из формулы (3.7) видно, что если механическая система движется так, что ее центр масс остается неподвижным, то количество движения системы остается равным нулю.

3.4.2. Элементарный и полный импульс силы

Действие силы на материальную точку в течение времени dt можно охарактеризовать элементарным импульсом . Полный импульс силы за время t , или импульс силы , определяют по формуле

или в проекциях на координаты оси

(3.8а)

Единица импульса силы - .

3.4.3. Теорема об изменении количества движения системы

Пусть к точкам системы приложены внешние и внутренние силы. Тогда для каждой точки системы можно применить дифференциальные законы движения (3.3), имея в виду, что :

Суммируя по всем точкам системы, получим

По свойству внутренних сил и по определению имеем

(3.9)

Умножая обе части этого уравнения на dt , получим теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме:

, (3.10)

т.е. дифференциал количества движения механической системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на точки механической системы.

Вычисляя интеграл от обеих частей (3.10) по времени от 0 до t , получим теорему в конечной или интегральной форме

(3.11)

В проекциях на координатные оси будем иметь

Изменение количества движения механической системы за время t , равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время.

Пример 4. Груз массой m спускается вниз по наклонной плоскости из состояния покоя под действием силы F , пропорциональной времени: , где (рис. 3.7) . Какую скорость приобретет тело через t секунд после начала движения, если коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f .

Решение. Изобразим силы, приложенные к грузу: mg – сила тяжести груза, N – нормальная реакция плоскости, - сила трения скольжения груза о плоскость, причем . Направление всех сил изображено на (рис. 3.7) .

Направим ось х вдоль наклонной плоскости вниз. Запишем теорему об изменении количества движения (3.11) в проекции на ось х :

(а)

По условию , т.к. в начальный момент времени груз находился в состоянии покоя. Сумма проекций импульсов всех сил на ось х равна

Следовательно,

3.4.4. Законы сохранения количества движения

Законы сохранения получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения. Возможны два частных случая.

· Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю, т.е. , то из теоремы следует (3.9) , что ,

т.е. если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению.

· Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю, например Ох, т.е. , то проекция количества движения на эту ось величина постоянная .

Рассмотрим пример применения закона сохранения количества движения.

Пример 5. Баллистический маятник представляет собой тело массой , подвешенное на длинной нити (рис. 3.8) .

Пуля массой , движущаяся со скоростью V и попадающая в неподвижное тело, застревает в нем, и тело отклоняется. Какова была скорость пули, если тело поднялось на высоту h ?

Решение. Пусть тело с застрявшей пулей приобрело скорость . Тогда, пользуясь законом сохранения количества движения при взаимодействии двух тел, можно записать .

Скорость можно вычислить, воспользовавшись законом сохранения механической энергии . Тогда . В результате находим

Пример 6 . Вода входит в неподвижный канал (рис. 3.9) переменного сечения со скоростью под углом к горизонту; площадь поперечного сечения канала при входе ; скорость воды у выхода из канала и составляет угол с горизонтом.

Определить горизонтальную составляющую реакции, которую вода оказывает на стенки канала. Плотность воды .

Решение. Будем определять горизонтальную составляющую реакции, оказываемой стенками канала на воду. Эта сила равна по модулю и противоположна по знаку искомой силе. Имеем, согласно (3.11а),

. (а)

Вычисляем массу объема жидкости, поступающей в канал за время t:

Величина rАV 0 называется секундной массой - масса жидкости, протекающей через любое сечение трубы в единицу времени.

Такое же количество воды покидает канал за это же время. Начальная и конечная скорости даны в условии.

Вычислим правую часть равенства (а) которая определяет сумму проекций на горизонтальную ось внешних сил, приложенных к системе (воде). Единственной горизонтальной силой является горизонтальная составляющая равнодействующей реакции стенок R x . Эта сила при установившемся движении воды является постоянной. Поэтому

. (в)

Подставляя (б) и (в) в (а), получаем

3.5. Кинетический момент системы

3.5.1. Главный момент количества движения системы

Пусть - радиус-вектор точки массой системы относительно некоторой точки А, называемой центром (рис. 3.10) .

Моментом количества движения (кинетическим моментом) точки относительно центра А называется вектор , определяемый по формуле

. (3.12)

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр А и вектор .

Моментом количества движения (кинетическим моментом) точки относительно оси называется проекция на эту ось момента количества движения точки относительно любого выбранного на данной оси центра.

Главным моментом количества движения (кинетическим моментом) системы относительно центра А называется величина

(3.13)

Главным моментом количества движения (кинетическим моментом) системы относительно оси называется проекция на эту ось главного момента количества движения системы относительно любого выбранного на данной оси центра.

3.5.2. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения

Совместим неподвижную точку О тела, лежащую на оси вращения О z , с началом системы координат Оху z , оси которой будут вращаться вместе с телом (рис. 3.11) . Пусть - радиус-вектор точки тела относительно начала координат, его проекции на оси обозначим , , . Проекции вектора угловой скорости тела на те же оси обозначим 0, 0, ().

Довольно часто удается выделить важные особенности движения механической системы, не прибегая к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения. Это достигается применением общих теорем динамики.

5.1. Основные понятия и определения

Внешние и внутренние силы. Любая сила, действующая на точку механической системы, обязательно является либо активной силой, либо реакцией связи. Всю совокупность сил, действующих на точки системы, можно разделить на два класса иначе: на внешние силы и внутренние силы (индексы е и i - от латинских слов externus - внешний и internus - внутренний). Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в состав рассматриваемой системы. Внутренними называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.

Это разделение зависит от того, какие материальные точки и тела включены исследователем в рассматриваемую механическую систему. Если расширить состав системы, включив в нее дополнительно точки и тела, то некоторые силы, которые для прежней системы были внешними, для расширенной системы могут стать внутренними.

Свойства внутренних сил. Поскольку эти силы являются силами взаимодействия между частями системы, они входят в полную систему внутренних сил «двойками», организованными в соответствии с аксиомой действия-противодействия. У каждой такой «двойки» сил

главный вектор и главный момент относительно произвольного центра равны нулю. Так как полная система внутренних сил состоит только из «двоек», то

1) главный вектор системы внутренних сил равен нулю,

2) главный момент системы внутренних сил относительно произвольной точки равен нулю.

Массой системы называется арифметическая сумма масс тк всех точек и тел, образующих систему:

Центром масс (центром инерции) механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор и координаты которой определяются формулами

где - радиусы-векторы и координаты точек, образующих систему.

Для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают, в других случаях это разные геометрические точки.

Вместе с инерциальной системой отсчета часто рассматривают одновременно неинерциальную систему отсчета, движущуюся поступательно. Ее оси координат (оси Кёнига) выбирают так, чтобы начало отсчета С постоянно совпадало с центром масс механической системы. В соответствии с определением центр масс неподвижен в осях Кёнига и находится в начале координат.

Моментом инерции системы относительно оси называется скалярная величина равная сумме произведений масс тк всех точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Если механической системой является твердое тело, для нахождения 12 можно воспользоваться формулой

где - плотность, объем, занимаемый телом.

Рассмотрим движение некоторой системы материальных томен относительно неподвижной системы координат Когда система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если отбросить наложенные на систему связи и заменить их действие соответствующими реакциями.

Разобьем все силы, приложенные к системе, на внешние и внутренние; в те и другие могут входить реакции отброшенных

связей. Через и обозначим главный вектор и главный момент внешних сил относительно точки А.

1. Теорема об изменении количества движения. Если - количество движения системы, то (см. )

т. е. справедлива теорема: производная по времени от количества движения системы равняется главному вектору всех внешних сил.

Заменяя вектор через его выражение где - масса-системы, - скорость центра масс, уравнению (4.1) можно придать другую форму:

Это равенство означает, что центр масс системы движется, как материальная точкащ масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, геометрически равная главному вектору всех внешних сил системы. Последнее утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции) системы.

Если то из (4.1) следует, что вектор количества движения постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим три скалярных первых интеграла, дифференциальных уравнений двнзкепня системы:

Эти интегралы носят назвапие интегралов количества движения. При скорость центра масс постоянна, т. е. он движется равномерно и прямолинейно.

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо одну ось, например на ось равна нулю, то имеем один первый интеграл или если же равны нулю» две проекции главного вектора, то существует два интеграла количества движения.

2. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть А - некоторая произвольная точка пространства (движущаяся или неподвижная), которая не обязательно совпадает с какой-либо определенной материальной точкой системы во все время движения. Ее скорость в неподвижной спстеме координат обозначим через Теорема об изменении кинетического момента материальной системы относительно точки А имеет вид

Если точка А неподвижна, то и равенство (4.3) принимает более простой вид:

Это равенство выражает теорему об пзмепении кинетического момента системы относительно неподвижной точки: производная по времени от кинетического момента системы, вычисленного относительно некоторой неподвижной точки, равняется главному моменту всех внешних сил относительно этой точки.

Если то согласно (4.4) вектор кинетического момента постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим скалярных первых интеграла дифференциальных уравнений двпжеиия системы:

Эти интегралы посят название интегралов кинетического момента или интегралов площадей.

Если точка А совпадает с центром масс системы, то Тогда первое слагаемое в правой части равенства (4.3) обращается в нуль и теорема об изменении кинетического момента имеет ту же форму записи (4.4), что и в случае неподвижной точки А. Отметим (см. п. 4 § 3), что в рассматриваемом случае абсолютный кинетический момент системы в левой части равенства (4.4) может быть заменен равный ему кинетический момент системы в ее движении относительно центра масс.

Пусть - некоторая неизменная ось пли ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы, а - кинетический момент системы относительно этой оси. Из (4.4) следует, что

где - момент внешних сил относительно оси . Если во все время движения то имеем первый интеграл

В работах С. А. Чаплыгина получено несколько обобщений теоремы об изменении кинетического момента, которые применены затем при решении ряда задач о качении шаров. Дальнейшие обобщения теоремы об изменении кпнетпческога момента и их приложения в задачах дннамики твердого тела содержатся в работах . Основные результаты этих работ связаны с теоремой об изменении кинетического момента относительно подвижной , постоянно проходящей через некоторую движущуюся точку А. Пусть - единичный вектор, направленный вдоль этой оси. Умножив скалярно на обе части равенства (4.3) и добавив к его обепм частям слагаемое получим

При выполнении кинематического условия

из (4.7) следует уравнение (4.5). И если во все время движения и выполняется условие (4.8), то существует первый интеграл (4.6).

Если связи системы идеальны и допускают в числе виртуальных перемещений вращения системы как твердого тела вокруг оси и, то главный момент реакций относительно оси и равен нулю , и тогда величина в правой части уравнения (4.5) представляет собой главный момент всех внешних активных сил относительно оси и. Равенство нулю этого момента и выполнимость соотношения (4.8) будут в рассматриваемом случае достаточными условиями для существования интеграла (4.6).

Если направление оси и неизменно то условие (4.8) запишется в виде

Это равенство означает, что проекции скорости центра масс и скорости точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой являются параллельными. В работе С. А. Чаплыгина вместо (4.9) требуется выполнение менее общего условия где X - произвольная постоянная величина.

Заметим, что условие (4.8) не зависит от выбора точки на . Действительно , пусть Р - произвольная точка на оси . Тогда

и, следовательно,

В заключение отметим геометрическую интерпретацию Резаля уравнений (4.1) и (4.4): векторы абсолютных скоростей концов векторов и равны соогвегственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил относительно точки А.

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра теоретической механики и теории механизмов и машин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

методического комплекса для студентов группы специальностей

74 06 Агроинженери я

В 2-х частях Часть 1

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7 Т 33

Составители:

кандидат физико-математических наук, доцентЮ. С. Биза , кандидат технических наук, доцентН. Л. Ракова , старший преподавательИ. А. Тарасевич

Рецензенты:

кафедра теоретической механики Учреждения образования «Белорусский национальный технический университет» (заведующий

кафедрой теоретической механики БНТУ доктор физико-математических наук, профессорА. В. Чигарев );

ведущий научный сотрудник лаборатории «Виброзащита механических систем» ГНУ «Объединенный институт машиностроения

НАН Беларуси», кандидат технических наук, доцент А. М. Гоман

Теоретическая механика. Раздел «Динамика» : учебно-

Т33 метод. комплекс. В 2-х ч. Ч. 1 / сост.: Ю. С. Биза, Н. Л. Ракова, И. А. Тарасевич. – Минск: БГАТУ, 2013. – 120 с.

ISBN 978-985-519-616-8.

В учебно-методическом комплексе представлены материалы по изучению раздела «Динамика», часть 1, входящего в состав дисциплины «Теоретическая механика». Включает курс лекций, основные материалы по выполнению практических занятий, задания и образцы выполнения заданий для самостоятельной работы и контроля учебной деятельности студентов очной и заочной форм обучения.

УДК 531.3(07) ББК 22.213я7


ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................
1. НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНО-
МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА..................................................
1.1. Глоссарий.................................................................................
1.2. Темы лекций и их содержание...............................................
Глава 1. Введение в динамику. Основные понятия
классической механики....................................................................
Тема 1. Динамика материальной точки...........................................
1.1. Законы динамики материальной точки
(законы Галилея – Ньютона) ......................................................
1.2. Дифференциальные уравнения движения

1.3. Две основные задачи динамики..........................................


Тема 2. Динамика относительного движения
материальной точки..........................................................................
Вопросы для повторения............................................................
Тема 3. Динамика механической системы.....................................
3.1. Геометрия масс. Центр масс механической системы......
3.2. Внутренние силы..................................................................
Вопросы для повторения............................................................
Тема 4. Моменты инерции твердого тела.......................................
4.1. Моменты инерции твердого тела
относительно оси и полюса...................................................
4.2. Теорема о моментах инерции твердого тела
относительно параллельных осей
(теорема Гюйгенса – Штейнера) ................................................
4.3. Центробежные моменты инерции.......................................
Вопросы для повторения...........................................................
Глава 2. Общие теоремы динамики материальной точки

Тема 5. Теорема о движении центра масс системы.......................
Вопросы для повторения............................................................
Задачи для самостоятельного изучения....................................
Тема 6. Количество движения материальной точки
и механической системы..................................................................
6.1. Количество движения материальной точки 43
6.2. Импульс силы.......................................................................
6.3. Теорема об изменении количества движения
материальной точки....................................................................
6.4. Теорема об изменении главного вектора
количества движения механической системы..........................
Вопросы для повторения............................................................
Задачи для самостоятельного изучения....................................
Тема 7. Момент количества движения материальной точки
и механической системы относительно центра и оси..................
7.1. Момент количества движения материальной точки
относительно центра и оси.........................................................
7.2. Теорема об изменении момента количества движения
материальной точки относительно центра и оси......................
7.3. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы относительно центра и оси.................
Вопросы для повторения............................................................
Задачи для самостоятельного изучения....................................
Тема 8. Работа и мощность сил.......................................................
Вопросы для повторения............................................................
Задачи для самостоятельного изучения....................................
Тема 9. Кинетическая энергия материальной точки
и механической системы..................................................................
9.1. Кинетическая энергия материальной точки
и механической системы. Теорема Кенига...............................
9.2. Кинетическая энергия твердого тела
при различном движении............................................................
9.3. Теорема об изменении кинетической энергии
материальной точки....................................................................

9.4. Теорема об изменении кинетической энергии
механической системы................................................................
Вопросы для повторения............................................................
Задачи для самостоятельного изучения....................................
Тема 10. Потенциальное силовое поле
и потенциальная энергия.................................................................
Вопросы для повторения............................................................
Тема 11. Динамика твердого тела...................................................
Вопросы для повторения............................................................
2. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЯ
ПО МОДУЛЮ...................................................................................

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ.........................
4. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ
РАБОТ ДЛЯ CТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ
ФОРМ ОБУЧЕНИЯ........................................................................
5. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) СТУДЕНТОВ
ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ.................................
6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..........................................................

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика – наука об общих законах механического движения, равновесия и взаимодействия материальных тел.

Это одна из фундаментальных общенаучных физико-математи- ческих дисциплин. Она является теоретической основой современной техники.

Изучение теоретической механики, наряду с другими физикоматематическими дисциплинами, способствует расширению научного кругозора, формирует способности к конкретному и абстрактному мышлению и способствует повышению общей технической культуры будущего специалиста.

Теоретическая механика, являясь научной базой всех технических дисциплин, способствует развитию навыков рациональных решений инженерных задач, связанных с эксплуатацией, ремонтом и конструированием сельскохозяйственных и мелиоративных машин и оборудования.

По характеру рассматриваемых задач механику разделяют на статику, кинематику и динамику. Динамика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных сил.

В учебно-методическом комплексе (УМК) представлены материалы по изучению раздела «Динамика», который включает курс лекций, основные материалы для проведения практических работ, задания и образцы выполнения для самостоятельных работ и контроля учебной деятельности студентов очнойи заочной форм обучения.

В результате изучения раздела «Динамика» студент должен усвоить теоретические основы динамики и овладеть основными методами решения задач динамики:

Знать методы решения задач динамики, общие теоремы динамики, принципы механики;

Уметь определять законы движения тела в зависимости от действующих на него сил; применять законы и теоремы механики для решения задач; определять статические и динамические реакции связей, ограничивающих движение тел.

Учебной программой дисциплины «Теоретическая механика» предусмотрено общее количество аудиторных часов – 136, в т. ч. на изучение раздела «Динамика» – 36 часов.

1. НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА

1.1. Глоссарий

Статика – раздел механики, в котором излагается общее учение о силах, изучается приведение сложных систем сил к простейшему виду и устанавливаются условия равновесия различных систем сил.

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучают движение материальных объектов вне зависимости от причин, вызывающих это движение, т. е. вне зависимости от сил, действующих на эти объекты.

Динамика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел (точек) под действием приложенных сил.

Материальная точка – материальное тело, различие в движении точек которого является несущественным.

Масса тела – это скалярная положительная величина, зависящая от количества вещества, содержащегося в данном теле, и определяющая его меру инертности при поступательном движении.

Система отсчета – система координат, связанная с телом, по отношению к которому изучается движение другого тела.

Инерциальная система – система, в которой выполняются первый и второй законы динамики.

Импульс силы – векторная мера действия силы в течение некоторого времени.

Количество движения материальной точки – векторная мера ее движения, равная произведению массы точки на вектор ее скорости.

Кинетическаяэнергия – скалярная мерамеханического движения.

Элементарная работа силы – это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы.

Кинетическая энергия – скалярная мера механического движения.

Кинетическая энергия материальной точки – скалярная по-

ложительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Кинетическая энергия механической системы – арифме-

тическая сумма кинетических энергий всех материальных точек этой системы.

Сила – мера механического взаимодействия тел, характеризующая его интенсивность и направленность.

1.2. Темы лекций и их содержание

Раздел 1. Введение в динамику. Основные понятия

классической механики

Тема 1. Динамика материальной точки

Законы динамики материальной точки (законы Галилея – Ньютона). Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики для материальной точки. Решение второй задачи динамики; постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям.

Литература:, стр. 180-196, , стр. 12-26.

Тема 2. Динамика относительного движения материальной

Относительное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения относительного движения точки; переносная и кориолисова силы инерции. Принцип относительности в классической механике. Случай относительного покоя.

Литература: , стр. 180-196, , стр. 127-155.

Тема 3. Геометрия масс. Центр масс механической системы

Масса системы. Центр масс системы и его координаты.

Литература: , стр. 86-93, стр. 264-265

Тема 4. Моменты инерции твердого тела

Моменты инерции твердого тела относительно оси и полюса. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Осевые моменты инерции некоторых тел.

Центробежные моменты инерции как характеристика асимметрии тела.

Литература: , стр. 265-271, , стр. 155-173.

Раздел 2. Общие теоремы динамики материальной точки

и механической системы

Тема 5. Теорема о движении центра масс системы

Теорема о движении центра масс системы. Следствия из теоремы о движении центра масс системы.

Литература: , стр. 274-277, , стр. 175-192.

Тема 6. Количество движения материальной точки

и механической системы

Количество движения материальной точки и механической системы. Элементарный импульс и импульс силы за конечный промежуток времени. Теорема об изменении количества движения точки и системы в дифференциальной и интегральной формах. Закон сохранения количества движения.

Литература: , стр.280-284, , стр. 192-207.

Тема 7. Момент количества движения материальной точки

и механической системы относительно центра и оси

Момент количества движения точки относительно центра и оси. Теорема об изменении момента количества движения точки. Кинетический момент механической системы относительно центра и оси.

Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента системы. Закон сохранения кинетического момента.

Литература: , стр. 292-298, , стр. 207-258.

Тема 8. Работа и мощность сил

Элементарная работа силы, ее аналитическое выражение. Работа силы на конечном пути. Работа силы тяжести, силы упругости. Равенство нулю суммы работ внутренних сил, действующих в твердом теле. Работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Мощность. Коэффициент полезного действия.

Литература: , стр. 208-213, , стр. 280-290.

Тема 9. Кинетическая энергия материальной точки

и механической системы

Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения. Теорема Кенига. Теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной и интегральной формах. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной и интегральной формах.

Литература: , стр. 301-310, , стр. 290-344.

Тема 10. Потенциальное силовое поле и потенциальная

Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция. Работа силы на конечном перемещении точки в потенциальном силовом поле. Потенциальная энергия.

Литература: , стр. 317-320, , стр. 344-347.

Тема 11. Динамика твердого тела

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

Литература: , стр. 323-334, , стр. 157-173.

Раздел 1. В ведение в динамику. Основные понятия

классической механики

Материальноетело – тело, имеющеемассу.

Материальная точка – материальное тело, различие в движении точек которого является несущественным. Это может быть как тело, размерами которого при его движении можно пренебречь, так и тело конечных размеров, если оно движется поступательно.

Материальными точками называют также частицы, на которые мысленно разбивается твердое тело при определении некоторых его динамических характеристик. Примеры материальных точек (рис. 1):а – движение Земли вокруг Солнца. Земля – материальная точка;б – поступательное движение твердого тела. Твердое тело – матери-

альная точка, т. к. V B = V A ; a B = a A ; в – вращение тела вокруг оси.

Частица тела – материальная точка.

Инертность – свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил.

Сила – количественная мера механического взаимодействия между телами или между телом (точкой) и полем (электрическим, магнитным и т. д.).

Сила – векторная величина, характеризующаяся величиной, точкой приложения и направлением (линией действия) (рис. 2: А – точка приложения;АВ – линия действия силы).

Рис. 2

В динамике наряду с постоянными силами имеют место и переменные силы, которые могут зависеть от времени t , скоростиϑ , расстоянияr или от совокупности этих величин, т. е.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ ) .


Примеры таких сил приведены на рис. 3: a −			– вес тела;
	(ϑ) – сила сопротивления воздуха;б −	Т =	– сила тяги

электровоза; в − F = F (r ) – сила отталкивания от центраO или притяженияк нему.

Инерциальная с истема – система, в которой выполняются первый и второй законы динамики. Это неподвижная система координат либо система, движущаяся равномерно ипрямолинейнопоступательно.

Движение в механике – это изменение положения тела в пространстве и во времени по отношению к другим телам.

Пространство в классической механике трехмерное, подчиняющееся эвклидовой геометрии.

Время – скалярная величина, одинаково протекающая в любых системахотсчета.

Система единиц – это совокупность единиц измерения физических величин. Для измерения всех механических величин достаточно трех основных единиц: единицы длины, времени, массы или силы.




Механическая	Размерность	Обозначения	Размерность	Обозначения
величина
			сантиметр



	килограмм-

Все остальные единицы измерения механических величин – производные от этих. Применяются два типа систем единиц: международная система единиц СИ (или более мелкая – СГС) и техническаясистемаединиц– МКГСС.

Тема1. Динамикаматериальнойточки

1.1. Законы динамики материальной точки (законы Галилея – Ньютона)

Первыйзакон (законинерции).

Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил или под действием уравновешенной системы сил, называется движением по инерции.

Например , движение тела по гладкой (сила трения равна нулю) го-

ризонтальной поверхности (рис. 4: G – вес тела;N - нормальная реакция плоскости).

Так как G = − N , тоG + N = 0.

При ϑ 0 ≠ 0 тело движется с той же скоростью; приϑ 0 = 0 тело покоится (ϑ 0 – начальная скорость).

Второй закон (основной закон динамики).

Произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а ее направление совпадает с направлением ускорения.

а б

Математически этот закон выражается векторным равенством

При F = const,

a = const – движение точки равнопеременное. Ес-

ли a ≠ const, α

– движение замедленное (рис. 5, а );

a ≠ const,

a –

– движение ускоренное (рис. 5, б );m – масса точки;

вектор ускорения;

– векторсилы; ϑ 0 – вектор скорости).

При F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – точка движется равномерно и прямолинейно либо приϑ 0 = 0 – покоится (закон инерции). Второй

закон позволяет установить связь между массой m тела, находящегося вблизи земной поверхности, и его весомG .G = mg , гдеg –

ускорение свободного падения.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия). Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль прямой, соединяющей

эти точки, в противополо жные стороны.

Так ка к силыF 1 = − F 2 приложены к разным точкам, то система сил(F 1 , F 2 ) не является уравновешенной, т. е.(F 1 , F 2 )≈ 0 (рис. 6).

В свою очередь

m a = m a

– отношение

масс взаимодействующих точек обратно пропорционально их ускорениям.

Четвертый закон (закон независимости действия сил). Ускорение, получаемое точкой при действии на нее одновремен-

но нескольких сил, равно геометрической сумме тех ускорений, которые получила бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

Пояснение(рис. 7).

т а n

а 1 а кF n

Равнодействующая R сил(F 1 ,...F k ,...F n ) .

Так как ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , то

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , т. е. четвертый закон эквивалентен

k = 1

правилу сложения сил.

1.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть на материальную точку действуют одновременно несколько сил, среди которых есть как постоянные, так и переменные.

Запишем второй закон динамики в виде

= ∑

(t ,

k = 1

, ϑ=

r – радиус-вектор движущейся

точки, то (1.2) содержит производные от r и представляет собой дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме или основное уравнение динамики материальной точки.

Проекции векторного равенства (1.2): - наосидекартовыхкоординат(рис. 8, а )

max = md
max = md	= ∑ F kx;
	k = 1
may = md
may = md	= ∑ F ky;	(1.3)
	k = 1

maz = m	= ∑ F kz;
maz = m	= ∑ F kz;
	k = 1

Наестественнойоси(рис. 8, б )


maτ				= ∑ F k τ ,
maτ				= ∑ F k τ ,
				k = 1

				= ∑ F k n ;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

b on o

Уравнения (1.3) и (1.4) являются дифференциальными уравнениями движения материальной точки соответственно в декартовых осях координат и естественных осях, т. е. естественными дифференциальными уравнениями, которые обычно применяются при криволинейном движении точки, если траектория точки и ее радиус кривизны известны.

1.3. Две основные задачи динамики для материальной точки и их решение

Первая(прямая) задача.

Зная закон движения и массу точки, определить силу, действующуюнаточку.

Для решения этой задачи необходимо знать ускорение точки. В задачах этого типа оно может быть задано непосредственно либо задан закон движения точки, в соответствии с которым оно может бытьопределено.

1. Так, если движение точки задано в декартовых координатах

x = f 1 (t ) , y = f 2 (t ) иz = f 3 (t ) , то определяются проекции ускоре-

ния на оси координатx =

d 2 x

d 2 y

d 2 z

А затем – проек-

ции F x ,F y иF z силы на эти оси:

,k ) = F F z . (1.6)

2. Если точка совершает криволинейное движение и известен закон движения s = f (t ) , траектория точки и ее радиус кривизны ρ, то

удобно пользоваться естественными осями, а проекции ускорения на эти оси определяются по известным формулам:

Накасательнуюось

a τ = d ϑ = d 2 2 s – касательное ускорение;dt dt

Наглавнуюнормаль

ds 2

a n = ϑ 2 = dt – нормальное ускорение.

Проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Тогда проекции силынаестественныеоси

F = m			F = m

Модульинаправлениесилыопределяютсяпоформулам:

F =F τ 2 +F n 2 ; cos (

; cos(

Вторая(обратная) задача.

Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики.

Начальные условия движения точки в декартовых осях – это координаты точки x 0 , y 0 , z 0 и проекции начальной скоростиϑ 0 на эти

оси ϑ 0 x = x 0 , ϑ 0 y = y 0 иϑ 0 z = z 0 в момент времени, соответствую-

щий началу движения точки и принимаемый равным нулю. Решение задач этого типа сводится к составлению диффе-

ренциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.

Вопросы на повторение

1. Что изучает динамика?

2. Какое движение называется движением по инерции?

3. При каком условии материальная точка будет покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно?

4. В чем суть первой основной задачи динамики материальной точки? Второй задачи?

5. Запишите естественные дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Задачи для самостоятельного изучения

1. Точка массой m = 4 кг движется по горизонтальной прямой с ускорениемa = 0,3 t . Определить модуль силы, действующей на точку в направлении ее движения в момент времениt = 3 c .

2. Деталь массой m = 0,5 кг скользит вниз по лотку. Под каким углом к горизонтальной плоскости должен располагаться лоток, чтобы деталь двигалась с ускорениемa = 2 м/с 2 ? Угол выразить

в градусах.

3. Точка массойm = 14 кг движется по осиОх c ускорениемa х = 2 t . Определить модуль силы, действующей на точку в направлении движения в момент времениt = 5 c .

(МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ) – IV вариант

1. Основное уравнение динамики материальной точки, как известно, выражено уравнением . Дифференциальные уравнения движения произвольных точек несвободной механической системы согласно двух способов деления сил можно записать в двух формах:

(1) , где k=1, 2, 3, … , n – количество точек материальной системы.

(2)

где - масса k-той точки; - радиус вектор k-той точки, - заданная (активная) сила, действующая на k-тую точку или равнодействующая всех активных сил, действующих на k-тую точку. - равнодействующая сил реакций связей, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внутренних сил, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внешних сил, действующая на k-тую точку.

При помощи уравнений (1) и (2) можно стремиться решать как первую, так и вторую задачи динамики. Однако решение второй задачи динамики для системы очень усложняется не только с математической точки зрения, но и потому, что мы сталкиваемся с принципиальными трудностями. Они заключаются в том, что как для системы (1), так и для системы (2) число уравнений значительно меньше числа неизвестных.

Так, если использовать (1), то известными для второй (обратной) задачи динамики будут и , а неизвестными будут и . Векторных уравнений будет «n », а неизвестных - «2n».

Если же исходить из системы уравнений (2), то известные и часть внешних сил . Почему часть? Дело в том, что в число внешних сил входят и внешние реакции связей, которые неизвестны. К тому же неизвестными будут ещё и .

Таким образом, как система (1), так и система (2) НЕЗАМКНУТА. Нужно добавлять уравнения, учитывая уравнения связей и возможно ещё нужно накладывать некоторые ограничения на сами связи. Что делать?

Если исходить из (1), то можно пойти по пути составления уравнений Лагранжа первого рода. Но такой путь не рационален потому, что чем проще задача (меньше степеней свободы), тем труднее с точки зрения математики ее решать.

Тогда обратим внимание на систему (2), где - всегда неизвестны. Первый шаг при решении системы – это нужно исключить эти неизвестные. Следует иметь в виду, что нас, как правило, не интересуют внутренние силы при движении системы, то есть при движении системы не нужно знать, как движется каждая точка системы, а достаточно знать как движется система в целом.

Таким образом, если различными способами исключить из системы (2) неизвестные силы , то получаем некоторые соотношения, т. е. появляются некоторые общие характеристики для системы, знание которых позволяют судить о том, как движется система в общем. Эти характеристики вводятся при помощи так называемых общих теорем динамики. Таких теорем четыре:

1. Теорема о движении центра масс механической системы ;

2. Теорема об изменении количества движения механической системы ;

3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы ;

4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы .