Степенная функция y x p. Степенные функции, их свойства и графики

Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Свойства. Графики"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Степенные функции, область определения.

Ребята, на прошлом уроке мы узнали, как работать с числами с рациональным показателем степени. На этом уроке мы рассмотрим степенные функции и ограничимся случаем, когда показатель степени рациональный.
Мы будем рассматривать функции вида: $y=x^{\frac{m}{n}}$.
Рассмотрим сначала функции, у которых показатель степени $\frac{m}{n}>1$.
Пусть нам дана конкретная функция $y=x^2*5$.
Согласно определению, которое мы дали на прошлом уроке: если $x≥0$, то есть область определения нашей функции - это луч ${x}$. Давайте схематично изобразим наш график функции.

Свойства функции $y=x^{\frac{m}{n}}$, $0 2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $$,
б) $(2,10)$,
в) на луче $$.
Решение.
Ребята, вы помните как мы находили наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке в 10 классе?
Правильно, мы использовали производную. Давайте решим наш пример и повторим алгоритм поиска наименьшего и наибольшего значения.
1. Найдем производную заданной функции:
$y"=\frac{16}{5}*\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-x^3=8x^{\frac{3}{2}}-x^3=8\sqrt{x^3}-x^3$.
2. Производная существует на всей области определения исходной функции, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$y"=8\sqrt{x^3}-x^3=0$.
$8*\sqrt{x^3}=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ и $x_2=\sqrt{64}=4$.
Заданному отрезку принадлежит только одно решение $x_2=4$.
Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:
Ответ: $y_{наим.}=-862,65$ при $x=9$; $y_{наиб.}=38,4$ при $x=4$.

Пример. Решить уравнение: $x^{\frac{4}{3}}=24-x$.
Решение. График функции $y=x^{\frac{4}{3}}$ возрастает, а график функции $у=24-х$ убывает. Ребята, мы с вами знаем: если одна функция возрастает, а другая убывает, то они пересекаются только в одной точке, то есть у нас только одно решение.
Заметим:
$8^{\frac{4}{3}}=\sqrt{8^4}=(\sqrt{8})^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
То есть при $х=8$ мы получили верное равенство $16=16$, это и есть решение нашего уравнения.
Ответ: $х=8$.

Пример.
Построить график функции: $y=(x-3)^\frac{3}{4}+2$.
Решение.
График нашей функции получается из графика функции $y=x^{\frac{3}{4}}$, смещением его на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх.

Пример. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{4}{5}}$ в точке $х=1$.
Решение. Уравнение касательной определяется известной нам формулой:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
В нашем случае $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^{-\frac{4}{5}}=1$.
Найдем производную:
$y"=-\frac{4}{5}x^{-\frac{9}{5}}$.
Вычислим:
$f"(a)=-\frac{4}{5}*1^{-\frac{9}{5}}=-\frac{4}{5}$.
Найдем уравнение касательной:
$y=1-\frac{4}{5}(x-1)=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.
Ответ: $y=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^\frac{4}{3}$ на отрезке:
а) $$.
б) $(4,50)$.
в) на луче $$.
3. Решить уравнение: $x^{\frac{1}{4}}=18-x$.
4. Построить график функции: $y=(x+1)^{\frac{3}{2}}-1$.
5. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{3}{7}}$ в точке $х=1$.

Функции у = ах, у = ax 2 , у = а/х - являются частными видами степенной функции при n = 1, n = 2, n = -1 .

В случае если n дробное число p / q с четным знаменателем q и нечетным числителем р , то величина может иметь два знака , а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х , причем она симметрична верхней части.

Видим график двузначной функции у = ±2х 1/2 , т. е. представленный параболой с горизонтальной осью.

Графики функций у = х n при n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Эти графики проходят через точку (1; 1).

Когда n = -1 получаем гиперболу . При n < - 1 график степенной функции располагается сначала выше гиперболы, т.е. между х = 0 и х = 1 , а потом ниже (при х > 1 ). Если n > -1 график проходит наоборот. Отрицательные значений х и дробные значения n аналогичны для положительных n .

Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у , не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.

Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение

Показательная функция - это обобщение произведения n чисел, равных a :
y(n) = a n = a·a·a···a ,
на множество действительных чисел x :
y(x) = a x .
Здесь a - фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции .
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a .

Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,... , показательная функция является произведением x множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : .
При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел () :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

, , , , .

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем более сильное убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область определения	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	нет	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Если , то
.
Если , то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :

Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3 5 x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
f(z) = a z
где z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда


.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n - целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Разложение в ряд

.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

1. Степенная функция, ее свойства и график;

2. Преобразования:

Параллельный перенос;

Симметрия относительно осей координат;

Симметрия относительно начала координат;

Симметрия относительно прямой y = x;

Растяжение и сжатие вдоль осей координат.

3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;

4. Логарифмическая функция , ее свойства и график;

5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функция: y = x\n - ее свойства и график.

Степенная функция, ее свойства и график

y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p , где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

1. Показатель p = 2n - четное натуральное число.

y = x 2n , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
• множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
• функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
• функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.

График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .

2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число

В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;
• множество значений - множество R;
• функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y = x 2n-1 y = x 3 .

3. Показатель p = -2n , где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:

• множество значений - положительные числа y>0;
• функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
• функция является возрастающей на промежутке x0.

График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .

4. Показатель p = -(2n-1) , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x = 0;
• множество значений - множество R, кроме y = 0;
• функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = -x -(2n-1) ;
• функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0 .

График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .