Программа Excel высоко ценится как профессионалами, так и любителями, ведь работать с нею может пользователь любого уровня подготовки. Например, каждый желающий с минимальными навыками «общения» с Экселем может нарисовать простенький график, сделать приличную табличку и т.д.

Вместе с тем, эта программа даже позволяет выполнять различного рода расчеты, к примеру, расчет , но для этого уже необходим несколько иной уровень подготовки. Впрочем, если вы только начали тесное знакомство с данной прогой и интересуетесь всем, что поможет вам стать более продвинутым юзером, эта статья для вас. Сегодня я расскажу, что собой представляет среднеквадратичное отклонение формула в excel, зачем она вообще нужна и, собственно говоря, когда применяется. Поехали!

Что это такое

Начнем с теории. Средним квадратичным отклонением принято называть квадратный корень, полученный из среднего арифметического всех квадратов разностей между имеющимися величинами, а также их средним арифметическим. К слову, эту величину принято называть греческой буквой «сигма». Стандартное отклонение рассчитывается по формуле СТАНДОТКЛОН, соответственно, программа делает это за пользователя сама.

Суть же данного понятия заключается в том, чтобы выявить степень изменчивости инструмента, то есть, это, в своем роде, индикатор родом из описательной статистики. Он выявляет изменения волатильности инструмента в каком-либо временном промежутке. С помощью формул СТАНДОТКЛОН можно оценить стандартное отклонение при выборке, при этом логические и текстовые значения игнорируются.

Формула

Помогает рассчитать среднее квадратичное отклонение в excel формула, которая автоматически предусмотрена в программе Excel. Чтобы ее найти, необходимо найти в Экселе раздел формулы, а уже там выбрать ту, которая имеет название СТАНДОТКЛОН, так что очень просто.

После этого перед вами появится окошко, в котором нужно будет ввести данные для вычисления. В частности, в специальные поля следует вписать два числа, после чего программа сама высчитает стандартное отклонение по выборке.

Бесспорно, математические формулы и расчеты – вопрос достаточно сложный, и не все пользователи с ходу могут с ним справиться. Тем не менее, если копнуть немного глубже и чуть более детально разобраться в вопросе, оказывается, что не все так уж и печально. Надеюсь, на примере вычисления среднеквадратичного отклонения вы в этом убедились.

Видео в помощь

Занятие №4

Тема: «Описательная статистика. Показатели разнообразия признака в совокупности»

Основными критериями разнообразия признака в статистической совокупности являются: лимит, амплитуда, среднее квадратическое отклонение, коэффициент осцилляции и коэффициент вариации. На предыдущем занятии обсуждалось, что средние величины дают лишь обобщающую характеристику изучаемого признака в совокупности и не учитывают значения отдельных его вариант: минимальное и максимальное значения, выше среднего, ниже среднего и т.д.

Пример. Средние величины двух разных числовых последовательностей: -100; -20; 100; 20 и 0,1; -0,2; 0,1 абсолютно одинаковы и равны О. Однако, диапазоны разброса данных этих последовательностей относительного среднего значения сильно различны.

Определение перечисленных критериев разнообразия признака прежде всего осуществляется с учетом его значения у отдельных элементов статистической совокупности.

Показатели измерения вариации признака бывают абсолютные и относительные . К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, лимит, среднее квадратическое отклонение, дисперсию. Коэффициент вариации и коэффициент осцилляции относятся к относительным показателям вариации.

Лимит (lim)– это критерий, который определяется крайними значениями вариант в вариационном ряду. Другими словами, данный критерий ограничивается минимальной и максимальной величинами признака:

Амплитуда (Am) или размах вариации – это разность крайних вариант. Расчет данного критерия осуществляется путем вычитания из максимального значения признака его минимального значения, что позволяет оценить степень разброса вариант:

Недостатком лимита и амплитуды как критериев вариабельности является то, что они полностью зависят от крайних значений признака в вариационном ряду. При этом не учитываются колебания значений признака внутри ряда.

Наиболее полную характеристику разнообразия признака в статистической совокупности дает среднее квадратическое отклонение (сигма), которое является общей мерой отклонения вариант от своей средней величины. Среднее квадратическое отклонение часто называют также стандартным отклонением .

В основе среднего квадратического отклонения лежит сопоставление каждой варианты со средней арифметической данной совокупности. Так как в совокупности всегда будут варианты как меньше, так и больше, чем она, то сумма отклонений , имеющих знак "", будет погашаться суммой отклонений, имеющих знак "", т.е. сумма всех отклонений равна нулю. Для того, чтобы избежать влияния знаков разностей берут отклонения вариант от среднего арифметического в квадрате, т.е. . Сумма квадратов отклонений не равняется нулю. Чтобы получить коэффициент, способный измерить изменчивость, берут среднее от суммы квадратов – это величина носит название дисперсии:

По смыслу, дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины. Дисперсия – квадрат среднего квадратического отклонения .

Дисперсия является размерной величиной (именованной). Так, если варианты числового ряда выражены в метрах, то дисперсия дает квадратные метры; если варианты выражены в килограммах, то дисперсия дает квадрат этой меры (кг 2), и т.д.

Среднее квадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии:

, то при расчете дисперсии и среднего квадратического отклонения в знаменателе дроби вместо необходимо ставить .

Расчет среднего квадратического отклонения можно разбить на шесть этапов, которые необходимо осуществить в определенной последовательности:

Применение среднеквадратического отклонения:

а) для суждения о колеблемости вариационных рядов и сравнительной оценки типичности (представительности) средних арифметических величин. Это необходимо в дифференциальной диагностике при определении устойчивости признаков.

б) для реконструкции вариационного ряда, т.е. восстановления его частотной характеристики на основе правила «трех сигм» . В интервале (М±3σ) находится 99,7% всех вариант ряда, в интервале (М±2σ) - 95,5% и в интервале (М±1σ) - 68,3% вариант ряда (рис.1).

в) для выявления «выскакивающих» вариант

г) для определения параметров нормы и патологии с помощью сигмальных оценок

д) для расчета коэффициента вариации

е) для расчета средней ошибки средней арифметической величины.

Для характеристики любой генеральной совокупности, имеющей нормальный тип распределения , достаточно знать два параметра: среднюю арифметическую и среднее квадратическое отклонение.

Рисунок 1. Правило «трех сигм»

Пример.

В педиатрии среднеквадратическое отклонение используется для оценки физического развития детей путем сравнения данных конкретного ребенка с соответствующими стандартными показателями. За стандарт принимаются средние арифметические показатели физического развития здоровых детей. Сравнение показателей со стандартами проводят по специальным таблицам, в которых стандарты приводятся вместе с соответствующими им сигмальными шкалами. Считается, что если показатель физического развития ребенка находится в пределах стандарт (среднее арифметическое) ±σ, то физическое развитие ребенка (по этому показателю) соответствует норме. Если показатель находится в пределах стандарт ±2σ, то имеется незначительное отклонение от нормы. Если показатель выходит за эти границы, то физическое развитие ребенка резко отличается от нормы (возможна патология).

Кроме показателей вариации, выраженных в абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации, выраженные в относительных величинах. Коэффициент осцилляции - это отношение размаха вариации к средней величине признака. Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака. Как правило, эти величины выражаются в процентах.

Формулы расчета относительных показателей вариации:

Из приведенных формул видно, что чем больше коэффициент V приближен к нулю, тем меньше вариация значений признака. Чем больше V , тем более изменчив признак.

В статистической практике наиболее часто применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Арифметически отношение σ и средней арифметической нивелирует влияние абсолютной величины этих характеристик, а процентное соотношение делает коэффициент вариации величиной безразмерной (неименованной).

Полученное значение коэффициента вариации оценивается в соответствии с ориентировочными градациями степени разнообразия признака:

Слабое - до 10 %

Среднее - 10 - 20 %

Сильное - более 20 %

Использование коэффициента вариации целесообразно в случаях, когда приходится сравнивать признаки разные по своей величине и размерности.

Отличие коэффициента вариации от других критериев разброса наглядно демонстрирует пример .

Таблица 1

Состав работников промышленного предприятия

На основании приведенных в примере статистических характеристик можно сделать вывод об относительной однородности возрастного состава и образовательного уровня работников предприятия при низкой профессиональной устойчивости обследованного контингента. Нетрудно заметить, что попытка судить об этих социальных тенденциях по среднему квадратическому отклонению привела бы к ошибочному заключению, а попытка сравнения учетных признаков «стаж работы» и «возраст» с учетным признаком «образование» вообще была бы некорректной из-за разнородности этих признаков.

Медиана и перцентили

Для порядковых (ранговых) распределений, где критерием середины ряда является медиана, среднеквадратическое отклонение и дисперсия не могут служить характеристиками рассеяния вариант.

То же свойственно и для открытых вариационных рядов. Указанное обстоятельство связано с тем, что отклонения, по которым вычисляются дисперсия и σ, отсчитываются от среднего арифметического, которое не вычисляется в открытых вариационных рядах и в рядах распределений качественных признаков. Поэтому для сжатого описания распределений используется другой параметр разброса – квантиль (синоним - «nерцентиль»), пригодный для описания качественных и количественных признаков при любой форме их распределения. Этот параметр может использоваться и для перевода количественных признаков в качественные. В этом случае такие оценки присваиваются в зависимости от того, какому по порядку квантилю соответствует та или иная конкретная варианта.

В практике медико-биологических исследований наиболее часто используются следующие квантили:

– медиана;

, – квартили (четверти), где – нижний квартиль, – верхний квартиль.

Квантили делят область возможных изменений вариант в вариационном ряду на определенные интервалы. Медиана (квантиль) – это варианта, которая находится в середине вариационного ряда и делит этот ряд пополам, на две равные части (0,5 и 0,5 ). Квартиль делит ряд на четыре части: первая часть (нижний квартиль) – это варианта, отделяющая варианты, числовые значения которых не превышают 25% максимально возможного в данном ряду, квартиль отделяет варианты с числовым значением до 50% от максимально возможного. Верхний квартиль () отделяет варианты величиной до 75% от максимально возможных значений.

В случае асимметричности распределения переменной относительно среднего арифметического для его характеристики используются медиана и квартили. В этом случае используется следующая форма отображения средней величины – Ме (;). Например , исследуемый признак – «срок, в котором ребенок начал самостоятельно ходить» - в исследуемой группе имеет ассиметричное распределение. При этом, нижнему квартилю () соответствует срок начала ходьбы – 9,5 месяцев, медиане – 11 месяцев, верхнему квартилю () – 12 месяцев. Соответственно, характеристика средней тенденции указанного признака будет представлена, как 11 (9,5; 12) месяцев.

Оценка статистической значимости результатов исследования

Под статистической значимостью данных понимают степень их соответствия отображаемой действительности, т.е. статистически значимыми данными считаются те, которые не искажают и правильно отражают объективную реальность.

Оценить статистическую значимость результатов исследования – означает определить, с какой вероятностью возможно перенести результаты, полученные на выборочной совокупности, на всю генеральную совокупность. Оценка статистической значимости необходима для понимания того, насколько по части явления можно судить о явлении в целом и его закономерностях.

Оценка статистической значимости результатов исследования складывается из:

1. ошибок репрезентативности (ошибок средних и относительных величин) - m ;

2. доверительных границ средних или относительных величин;

3. достоверности разности средних или относительных величин по критерию t .

Стандартная ошибка средней арифметической или ошибка репрезентативности характеризует колебания средней. При этом необходимо отметить, что чем больше объем выборки, тем меньше разброс средних величин. Стандартная ошибка среднего вычисляется по формуле:

В современной научной литературе средняя арифметическая записывается вместе с ошибкой репрезентативности:

или вместе со среднеквадратическим отклонением:

В качестве примера рассмотрим данные по 1500 городских поликлиник страны (генеральная совокупность). Среднее число пациентов, обслуживающихся в поликлинике равно 18150 человек. Случайный отбор 10 % объектов (150 поликлиник) дает среднее число пациентов, равное 20051 человек. Ошибка выборки, очевидно связанная с тем, что не все 1500 поликлиник попали в выборку, равна разности между этими средними – генеральным средним (M ген) и выборочным средним (М выб). Если сформировать другую выборку того же объема из нашей генеральной совокупности, она даст другую величину ошибки. Все эти выборочные средние при достаточно больших выборках распределены нормально вокруг генеральной средней при достаточно большом числе повторений выборки одного и того же числа объектов из генеральной совокупности. Стандартная ошибка среднего m - это неизбежный разброс выборочных средних вокруг генеральной средней.

В случае, когда результаты исследования представлены относительными величинами (например, процентными долями) – рассчитывается стандартная ошибка доли:

где P – показатель в %, n – количество наблюдений.

Результат отображается в виде (P ± m)%. Например, процент выздоровления среди больных составил (95,2±2,5)%.

В том случае, если число элементов совокупности , то при расчете стандартных ошибок среднего и доли в знаменателе дроби вместо необходимо ставить .

Для нормального распределения (распределение выборочных средних является нормальным) известно, какая часть совокупности попадает в любой интервал вокруг среднего значения. В частности:

На практике проблема заключается в том, что характеристики генеральной совокупности нам неизвестны, а выборка делается именно с целью их оценки. Это означает, что если мы будем делать выборки одного и того же объема n из генеральной совокупности, то в 68,3% случаев на интервале будет находиться значение M (оно же в 95,5% случаев будет находиться на интервале и в 99,7% случаев – на интервале).

Поскольку реально делается только одна выборка, то формулируется это утверждение в терминах вероятности: с вероятностью 68,3% среднее значение признака в генеральной совокупности заключено в интервале, с вероятностью 95,5% - в интервале и т.д.

На практике вокруг выборочного значения строится такой интервал, который бы с заданной (достаточно высокой) вероятностью – доверительной вероятностью – «накрывал» бы истинное значение этого параметра в генеральной совокупности. Этот интервал называется доверительным интервалом .

Доверительная вероятность P – это степень уверенности в том, что доверительный интервал действительно будет содержать истинное (неизвестное) значение параметра в генеральной совокупности.

Например, если доверительная вероятность Р равна 90%, то это означает, что 90 выборок из 100 дадут правильную оценку параметра в генеральной совокупности. Соответственно, вероятность ошибки, т.е. неверной оценки генерального среднего по выборке, равна в процентах: . Для данного примера это значит, что 10 выборок из 100 дадут неверную оценку.

Очевидно, что степень уверенности (доверительная вероятность) зависит от величины интервала: чем шире интервал, тем выше уверенность, что в него попадет неизвестное значение для генеральной совокупности . На практике для построения доверительного интервала берется, как минимум, удвоенная ошибка выборки, чтобы обеспечить уверенность не менее 95,5%.

Определение доверительных границ средних и относительных величин позволяет найти два их крайних значения – минимально возможное и максимально возможное, в пределах которых изучаемый показатель может встречаться во всей генеральной совокупности. Исходя из этого, доверительные границы (или доверительный интервал) - это границы средних или относительных величин, выход за пределы которых вследствие случайных колебаний имеет незначительную вероятность.

Доверительный интервал может быть переписан в виде: , где t – доверительный критерий.

Доверительные границы средней арифметической величины в генеральной совокупности определяют по формуле:

М ген = М выб + t m M

для относительной величины:

Р ген = Р выб + t m Р

где М ген и Р ген - значения средней и относительной величины для генеральной совокупности; М выб и Р выб - значения средней и относительной величины, полученные на выборочной совокупности; m M и m P - ошибки средней и относительной величин; t - доверительный критерий (критерий точности, который устанавливается при планировании исследования и может быть равен 2 или 3); t m - это доверительный интервал или Δ – предельная ошибка показателя, полученного при выборочном исследовании.

Следует отметить, что величина критерия t в определенной мере связана с вероятностью безошибочного прогноза (р), выраженной в %. Ее избирает сам исследователь, руководствуясь необходимостью получить результат с нужной степенью точности. Так, для вероятности безошибочного прогноза 95,5% величина критерия t составляет 2, для 99,7% - 3.

Приведенные оценки доверительного интервала приемлемы лишь для статистических совокупностей с количеством наблюдений более 30. При меньшем объеме совокупности (малых выборках) для определения критерия t пользуются специальными таблицами. В данных таблицах искомое значение находится на пересечении строки, соответствующей численности совокупности (n-1) , и столбца, соответствующего уровню вероятности безошибочного прогноза (95,5%; 99,7%), выбранному исследователем. В медицинских исследованиях при установлении доверительных границ любого показателя принята вероятность безошибочного прогноза 95,5% и более. Это означает, что величина показателя, полученная на выборочной совокупности должна встречаться в генеральной совокупности как минимум в 95,5% случаев.

Вопросы по теме занятия:

Актуальность показателей разнообразия признака в статистической совокупности.

Общая характеристика абсолютных показателей вариации.

Среднее квадратическое отклонение, расчет, применение.

Относительные показатели вариации.

Медиана, квартильная оценка.

Оценка статистической значимости результатов исследования.

Стандартная ошибка средней арифметической, формула расчета, пример использования.

Расчет доли и ее стандартной ошибки.

Понятие доверительной вероятности, пример использования.

10. Понятие доверительного интервала, его применение.

Тестовые задания по теме с эталонами ответов:

1. К АБСОЛЮТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ ВАРИАЦИИ ОТНОСИТСЯ

1) коэффициент вариации

2) коэффициент осцилляции

4) медиана

2. К ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ ВАРИАЦИИ ОТНОСИТСЯ

1) дисперсия

4) коэффициент вариации

3. КРИТЕРИЙ, КОТОРЫЙ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КРАЙНИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ВАРИАНТ В ВАРИАЦИОННОМ РЯДУ

2) амплитуда

3) дисперсия

4) коэффициент вариации

4. РАЗНОСТЬ КРАЙНИХ ВАРИАНТ – ЭТО

2) амплитуда

3) среднее квадратичное отклонение

4) коэффициент вариации

5. СРЕДНИЙ КВАДРАТ ОТКЛОНЕНИЙ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗНАЧЕ­НИЙ ПРИЗНАКА ОТ ЕГО СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ – ЭТО

1) коэффициент осцилляции

2) медиана

3) дисперсия

6. ОТНОШЕНИЕ РАЗМАХА ВАРИАЦИИ К СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЕ ПРИЗ­НАКА – ЭТО

1) коэффициент вариации

2) среднее квадратичное отклонение

4) коэффициент осцилляции

7. ОТНОШЕНИЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ К СРЕД­НЕЙ ВЕЛИЧИНЕ ПРИЗНАКА – ЭТО

1) дисперсия

2) коэффициент вариации

3) коэффициент осцилляции

4) амплитуда

8. ВАРИАНТА, КОТОРАЯ НАХОДИТСЯ В СЕРЕДИНЕ ВАРИАЦИОН­НОГО РЯДА И ДЕЛИТ ЕГО НА ДВЕ РАВНЫЕ ЧАСТИ – ЭТО

1) медиана

3) амплитуда

9. В МЕДИЦИНСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ПРИ УСТАНОВЛЕНИИ ДОВЕ­РИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ЛЮБОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ПРИНЯТА ВЕРОЯТ­НОСТЬ БЕЗОШИБОЧНОГО ПРОГНОЗА

10. ЕСЛИ 90 ВЫБОРОК ИЗ 100 ДАЮТ ПРАВИЛЬНУЮ ОЦЕНКУ ПАРА­МЕТРА В ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ, ТО ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ P РАВНА

11. В СЛУЧАЕ, ЕСЛИ 10 ВЫБОРОК ИЗ 100 ДАЮТ НЕВЕРНУЮ ОЦЕНКУ, ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ РАВНА

12. ГРАНИЦЫ СРЕДНИХ ИЛИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН, ВЫХОД ЗА ПРЕДЕЛЫ КОТОРЫХ ВСЛЕДСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИМЕЕТ НЕЗНАЧИТЕЛЬНУЮ ВЕРОЯТНОСТЬ – ЭТО

1) доверительный интервал

2) амплитуда

4) коэффициент вариации

13. МАЛОЙ ВЫБОРКОЙ СЧИТАЕТСЯ ТА СОВОКУПНОСТЬ, В КОТОРОЙ

1) n меньше или равно 100

2) n меньше или равно 30

3) n меньше или равно 40

4) n близко к 0

14. ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОШИБОЧНОГО ПРОГНОЗА 95% ВЕЛИ­ЧИНА КРИТЕРИЯ t СОСТАВЛЯЕТ

15. ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОШИБОЧНОГО ПРОГНОЗА 99% ВЕЛИ­ЧИНА КРИТЕРИЯ t СОСТАВЛЯЕТ

16. ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, БЛИЗКИХ К НОРМАЛЬНОМУ, СОВОКУП­НОСТЬ СЧИТАЕТСЯ ОДНОРОДНОЙ, ЕСЛИ КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИА­ЦИИ НЕ ПРЕВЫШАЕТ

17. ВАРИАНТА, ОТДЕЛЯЮЩАЯ ВАРИАНТЫ, ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОТОРЫХ НЕ ПРЕВЫШАЮТ 25% МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОГО В ДАННОМ РЯДУ – ЭТО

2) нижний квартиль

3) верхний квартиль

4) квартиль

18. ДАННЫЕ, КОТОРЫЕ НЕ ИСКАЖАЮТ И ПРАВИЛЬНО ОТРАЖАЮТ ОБЪЕКТИВНУЮ РЕАЛЬНОСТЬ, НАЗЫВАЮТСЯ

1) невозможные

2) равновозможные

3) достоверные

4) случайные

19. СОГЛАСНО ПРАВИЛУ "ТРЕХ СИГМ", ПРИ НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕ­ДЕЛЕНИИ ПРИЗНАКА В ПРЕДЕЛАХ
БУДЕТ НАХОДИТЬСЯ

1) 68,3% вариант

$X$. Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Генеральная совокупность -- совокупность случайно отобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, проводимых в неизменных условиях при изучении одной случайной величины данного вида.

Определение 2

Генеральная дисперсия -- среднее арифметическое квадратов отклонений значений вариант генеральной совокупности от их среднего значения.

Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Тогда генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие генерального среднего квадратического отклонения.

Определение 3

Генеральное среднее квадратическое отклонение

\[{\sigma }_г=\sqrt{D_г}\]

Выборочная дисперсия

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Определение 4

Выборочная совокупность -- часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Определение 5

Выборочная дисперсия -- среднее арифметическое значений вариант выборочной совокупности.

Пусть значения вариант $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие выборочного среднего квадратического отклонения.

Определение 6

Выборочное среднее квадратическое отклонение -- квадратный корень из генеральной дисперсии:

\[{\sigma }_в=\sqrt{D_в}\]

Исправленная дисперсия

Для нахождения исправленной дисперсии $S^2$ необходимо умножить выборочную дисперсию на дробь $\frac{n}{n-1}$, то есть

С этим понятием также связано понятие исправленного среднего квадратического отклонения, которое находится по формуле:

В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной дисперсий за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Пример задачи на нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения

Пример 1

Выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:

Рисунок 1.

Найдем для нее выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.

Для решения этой задачи для начала сделаем расчетную таблицу:

Рисунок 2.

Величина $\overline{x_в}$ (среднее выборочное) в таблице находится по формуле:

\[\overline{x_в}=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}\]

\[\overline{x_в}=\frac{\sum\limits^k_{i=1}{x_in_i}}{n}=\frac{305}{20}=15,25\]

Найдем выборочную дисперсию по формуле:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

\[{\sigma }_в=\sqrt{D_в}\approx 5,12\]

Исправленная дисперсия:

\[{S^2=\frac{n}{n-1}D}_в=\frac{20}{19}\cdot 26,1875\approx 27,57\]

Исправленное среднее квадратическое отклонение.

Стандартное отклонение является одним из тех статистических терминов в корпоративном мире, которое позволяет поднять авторитет людей, сумевших удачно ввернуть его в ходе беседы или презентации, и оставляет смутное недопонимание тех, кто не знает, что это такое, но стесняется спросить. На самом деле большинство менеджеров не понимают концепцию стандартного отклонения и, если вы один из них, вам пора перестать жить во лжи. В сегодняшней статье я расскажу вам, как эта недооцененная статистическая мера позволит лучше понять данные, с которыми вы работаете.

Что измеряет стандартное отклонение?

Представьте, что вы владелец двух магазинов. И чтобы избежать потерь, важно, чтобы был четкий контроль остатков на складе. В попытке выяснить, кто из менеджеров лучше управляет запасами, вы решили проанализировать стоки последних шести недель. Средняя недельная стоимость стока обоих магазинов примерно одинакова и составляет около 32 условных единиц. На первый взгляд среднее значение стока показывает, что оба менеджера работают одинаково.

Но если внимательнее изучить деятельность второго магазина, можно убедится, что хотя среднее значение корректно, вариабельность стока очень высокая (от 10 до 58 у.е.). Таким образом, можно сделать вывод, что среднее значение не всегда правильно оценивает данные. Вот где на выручку приходит стандартное отклонение.

Стандартное отклонение показывает, как распределены значения относительно среднего в нашей . Другими словами, можно понять на сколько велик разброс величины стока от недели к неделе.

В нашем примере, мы воспользовались функцией Excel СТАНДОТКЛОН, чтобы рассчитать показатель стандартного отклонения вместе со средним.

В случае с первым менеджером, стандартное отклонение составило 2. Это говорит нам о том, что каждое значение в выборке в среднем откланяется на 2 от среднего значения. Хорошо ли это? Давайте рассмотрим вопрос под другим углом – стандартное отклонение равное 0, говорит нам о том, что каждое значение в выборке равно его среднему значению (в нашем случае, 32,2). Так, стандартное отклонение 2 ненамного отличается от 0, и указывает на то, что большинство значений находятся рядом со средним значением. Чем ближе стандартное отклонение к 0, тем надежнее среднее. Более того, стандартное отклонение близкое к 0, говорит о маленькой вариабельности данных. То есть, величина стока со стандартным отклонением 2, указывает на невероятную последовательность первого менеджера.

В случае со вторым магазином, стандартное отклонение составило 18,9. То есть стоимость стока в среднем отклоняется на величину 18,9 от среднего значения от недели к неделе. Сумасшедший разброс! Чем дальше стандартное отклонение от 0, тем менее точно среднее значение. В нашем случае, цифра 18,9 указывает на то, что среднему значению (32,8 у.е. в неделю) просто нельзя доверять. Оно также говорит нам о том, что еженедельная величина стока обладает большой вариабельностью.

Такова концепция стандартного отклонения в двух словах. Хотя оно не дает представление о других важных статистических измерениях (Мода, Медиана…), фактически стандартное отклонение играет решающую роль в большинстве статистических расчетов. Понимание принципов стандартного отклонения прольет свет на суть многих процессов вашей деятельности.

Как рассчитать стандартное отклонение?

Итак, теперь мы знаем, о чем говорит цифра стандартного отклонения. Давайте разберемся, как она считается.

Рассмотрим набор данных от 10 до 70 с шагом 10. Как видите, я уже рассчитал для них значение стандартного отклонения с помощью функции СТАНДОТКЛОН в ячейке H2 (оранжевым).

Ниже описаны шаги, которые предпринимает Excel, чтобы прийти к цифре 21,6.

Обратите внимание, что все расчеты визуализированы, для лучшего понимания. На самом деле в Excel расчет происходит мгновенно, оставляя все шаги за кулисами.

Для начала Excel находит среднее значение выборки. В нашем случае, среднее получилось равным 40, которое на следующем шаге отнимают от каждого значения выборки. Каждую полученную разницу возводят в квадрат и суммируют. У нас получилась сумма равная 2800, которую необходимо разделить на количество элементов выборки минус 1. Так как у нас 7 элементов, получается необходимо 2800 разделить на 6. Из полученного результата находим квадратный корень, это цифра будет стандартным отклонением.

Для тех, кому не совсем ясен принцип расчета стандартного отклонения с помощью визуализации, привожу математическую интерпретацию нахождения данного значения.

Функции расчета стандартного отклонения в Excel

В Excel присутствует несколько разновидностей формул стандартного отклонения. Вам достаточно набрать =СТАНДОТКЛОН и вы сами в этом убедитесь.

Стоит отметить, что функции СТАНДОТКЛОН.В и СТАНДОТКЛОН.Г (первая и вторая функция в списке) дублируют функции СТАНДОТКЛОН и СТАНДОТКЛОНП (пятая и шестая функция в списке), соответственно, которые были оставлены для совместимости с более ранними версиями Excel.

Вообще разница в окончаниях.В и.Г функций указывают на принцип расчета стандартного отклонения выборки или генеральной совокупности. Разницу между двумя этими массивами я уже объяснял в предыдущей .

Особенностью функций СТАНДОТКЛОНА и СТАНДОТКЛОНПА (третья и четвертая функция в списке), является то, что при расчете стандартного отклонения массива в расчет принимаются логические и текстовые значения. Текстовые и истинные логические значения равняются 1, а ложные логические значения равняются 0. Мне трудно представить ситуацию, когда бы мне могли понадобится эти две функции, поэтому, думаю, что их можно игнорировать.

• Ответы на экзаменационные вопросы по общественному здоровью и здравоохранению.
• 1. Общественное здоровье и здравоохранение как наука и область практической деятельности. Основные задачи. Объект, предмет изучения. Методы.
• 2. Здравоохранение. Определение. История развития здравоохранения. Современные системы здравоохранения, их характеристика.
• 3. Государственная политика в области охраны здоровья населения (Закон Республики Беларусь "о здравоохранении"). Организационные принципы государственной системы здравоохранения.
• 4. Страховая и частная формы здравоохранения.
• 5. Профилактика, определение, принципы, современные проблемы. Виды, уровни, направления профилактики.
• 6. Национальные программы профилактики. Роль их в укреплении здоровья населения.
• 7. Врачебная этика и деонтология. Определение понятия. Современные проблемы врачебной этики и деонтологии, характеристика.
• 8. Здоровый образ жизни, определение понятия. Социальные и медицинские аспекты здорового образа жизни (зож).
• 9. Гигиеническое обучение и воспитание, определение, основные принципы. Методы и средства гигиенического обучения и воспитания. Требования к лекции, санитарному бюллетеню.
• 10. Здоровье населения, факторы, влияющие на здоровье населения. Формула здоровья. Показатели, характеризующие общественное здоровье. Схема анализа.
• 11. Демография как наука, определение, содержание. Значение демографических данных для здравоохранения.
• 12. Статика населения, методика изучения. Переписи населения. Типы возрастных структур населения.
• 13. Механическое движение населения. Характеристика миграционных процессов, влияние их на показатели здоровья населения.
• 14. Рождаемость как медико-социальная проблема. Методика вычисления показателей. Уровни рождаемости по данным воз. Современные тенденции.
• 15. Специальные показатели рождаемости (показатели фертильности). Воспроизводство населения, типы воспроизводства. Показатели, методика вычисления.
• 16. Смертность населения как медико-социальная проблема. Методика изучения, показатели. Уровни общей смертности по данным воз. Современные тенденции.
• 17. Младенческая смертность как медико-социальная проблема. Факторы, определяющие ее уровень.
• 18. Материнская и перинатальная смертность, основные причины. Показатели, методика вычисления.
• 19. Естественное движение населения, факторы на него влияющие. Показатели, методика вычисления. Основные закономерности естественного движения в Беларуси.
• 20. Планирование семьи. Определение. Современные проблемы. Медицинские организации и службы планирования семьи в рб.
• 21. Заболеваемость как медико-социальная проблема. Современные тенденции и особенности в Республике Беларусь.
• 22. Медико-социальные аспекты нервно-психического здоровья населения. Организация психоневрологической помощи
• 23. Алкоголизм и наркомания как медико-социальная проблема
• 24. Болезни системы кровообращения как медико-социальная проблема. Факторы риска. Направления профилактики. Организация кардиологической помощи.
• 25. Злокачественные новообразования как медико-социальная проблема. Основные направления профилактики. Организация онкологической помощи.
• 26. Международная статистическая классификация болезней. Принципы построения, порядок пользования. Значение ее в изучении заболеваемости и смертности населения.
• 27. Методы изучения заболеваемости населения, их сравнительная характеристика.
• Методика изучения общей и первичной заболеваемости
• Показатели общей и первичной заболеваемости.
• Показатели инфекционной заболеваемости.
• Основные показатели, характеризующие важнейшую неэпидемическую заболеваемость.
• Основные показатели "госпитализированной" заболеваемости:
• 4) Заболевания с временной утратой трудоспособности (вопрос 30)
• Основные показатели для анализа заболеваемости с вут.
• 31. Изучение заболеваемости по данным профилактических осмотров населения, виды профилактических осмотров, порядок проведения. Группы здоровья. Понятие «патологическая пораженность».
• 32. Заболеваемость по данным о причинах смерти. Методика изучения, показатели. Врачебное свидетельство о смерти.
• Основные показатели заболеваемости по данным о причинах смерти:
• 33. Инвалидность как медико-социальная проблема Определение понятия, показатели. Тенденции инвалидности в Республике Беларусь.
• Тенденции инвалидности в рб.
• 34. Первичная медико-санитарная помощь (пмсп), определение, содержание, роль и место в системе медицинского обслуживания населения. Основные функции.
• 35. Основные принципы первичной медико-санитарной помощи. Медицинские организации первичной медико-санитарной помощи.
• 36. Организация медицинской помощи, предоставляемой населению амбулаторно. Основные принципы. Учреждения.
• 37. Организация медицинской помощи в условиях стационара. Учреждения. Показатели обеспеченности стационарной помощью.
• 38. Виды медицинской помощи. Организация специализированной медицинской помощи населению. Центры специализированной медицинской помощи, их задачи.
• 39. Основные направления совершенствования стационарной и специализированной помощи в Республике Беларусь.
• 40. Охрана здоровья женщин и детей в Республике Беларусь. Управление. Медицинские организации.
• 41. Современные проблемы охраны здоровья женщин. Организация акушерско-гинекологической помощи в Республике Беларусь.
• 42. Организация лечебно-профилактической помощи детскому населению. Ведущие проблемы охраны здоровья детей.
• 43. Организация охраны здоровья сельского населения, основные принципы оказания медицинской помощи сельским жителям. Этапы. Организации.
• II этап – территориальное медицинское объединение (тмо).
• III этап – областная больница и медицинские учреждения области.
• 45. Медико-социальная экспертиза (мсэ), определение, содержание, основные понятия.
• 46. Реабилитация, определение, виды. Закон Республики Беларусь «о предупреждении инвалидности и реабилитации инвалидов».
• 47. Медицинская реабилитация: определение понятия, этапы, принципы. Служба медицинской реабилитации в Республике Беларусь.
• 48. Городская поликлиника, структура, задачи, управление. Основные показатели деятельности поликлиники.
• Основные показатели деятельности поликлиники.
• 49. Участковый принцип организации амбулаторной помощи населению. Виды участков. Территориальный терапевтический участок. Нормативы. Содержание работы участкового врача-терапевта.
• Организация работы участкового терапевта.
• 50. Кабинет инфекционных заболеваний поликлиники. Разделы и методы работы врача кабинета инфекционных заболеваний.
• 52. Основные показатели, характеризующие качество и эффективность диспансерного наблюдения. Методика их вычисления.
• 53. Отделение медицинской реабилитации (омр) поликлиники. Структура, задачи. Порядок направления больных в омр.
• 54. Детская поликлиника, структура, задачи, разделы работы. Особенности оказания медицинской помощи детям в амбулаторных условиях.
• 55. Основные разделы работы участкового педиатра. Содержание лечебно-профилактической работы. Связь в работе с другими лечебно-профилактическими учреждениями. Документация.
• 56. Содержание профилактической работы участкового врача-педиатра. Организация патронажного наблюдения за новорожденными.
• 57. Структура, организация, содержание работы женской консультации. Показатели работы по обслуживанию беременных женщин. Документация.
• 58. Родильный дом, структура, организация работы, управление. Показатели деятельности родильного дома. Документация.
• 59. Городская больница, ее задачи, структура, основные показатели деятельности. Документация.
• 60. Организация работы приемного отделения больницы. Документация. Мероприятия по профилактике внутрибольничных инфекций. Лечебно-охранительный режим.
• Раздел 1. Сведения о подразделениях, установках лечебно-профилактической организации.
• Раздел 2. Штаты лечебно-профилактической организации на конец отчетного года.
• Раздел 3. Работа врачей поликлиники (амбулаторий), диспансера, консультации.
• Раздел 4. Профилактические медицинские осмотры и работа стоматологических (зубоврачебных) и хирургических кабинетов лечебно-профилактической организации.
• Раздел 5. Работа лечебно-вспомогательных отделений (кабинетов).
• Раздел 6. Работа диагностических отделений.
• 62. Годовой отчет о деятельности стационара (ф. 14), порядок составления, структура. Основные показатели деятельности стационара.
• Раздел 1. Состав больных в стационаре и исходы их лечения
• Раздел 2. Состав больных новорожденных, переведенных в другие стационары в возрасте 0-6 суток и исходы их лечения
• Раздел 3. Коечный фонд и его использование
• Раздел 4. Хирургическая работа стационара
• 63. Отчет о медицинской помощи беременным, роженицам и родильницам (ф. 32), структура. Основные показатели.
• Раздел I. Деятельность женской консультации.
• Раздел II. Родовспоможение в стационаре
• Раздел III. Материнская смертность
• Раздел IV. Сведения о родившихся
• 64. Медико-генетическое консультирование, основные учреждения. Его роль в профилактике перинатальной и младенческой смертности.
• 65. Медицинская статистика, ее разделы, задачи. Роль статистического метода в изучении здоровья населения и деятельности системы здравоохранения.
• 66. Статистическая совокупность. Определение, виды, свойства. Особенности проведения статистического исследования на выборочной совокупности.
• 67. Выборочная совокупность, требования, предъявляемые к ней. Принцип и способы формирования выборочной совокупности.
• 68. Единица наблюдения. Определение, характеристика учетных признаков.
• 69. Организация статистического исследования. Характеристика этапов.
• 70. Содержание плана и программы статистического исследования. Виды планов статистического исследования. Программа наблюдения.
• 71. Статистическое наблюдение. Сплошное и несплошное статистическое исследование. Виды несплошного статистического исследования.
• 72. Статистическое наблюдение (сбор материалов). Ошибки статистического наблюдения.
• 73. Статистическая группировка и сводка. Типологическая и вариационная группировка.
• 74. Статистические таблицы, виды, требования к построению.

81. Среднее квадратическое отклонение, методика расчета, применение.

Приближенный метод оценки колеблемости вариационного ряда - определение лимита и амплитуды, однако не учитывают значений вариант внутри ряда. Основной общепринятой мерой колеблемости количественного приз­нака в пределах вариационного ряда является среднее квадратичес­кое отклонение (σ - сигма) . Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем степень ко­леблемости данного ряда выше.

Методика расчета среднего квадратического отклонения включает следующие этапы:

1. Находят среднюю арифметическую величину (Μ).

2. Определяют отклонения отдельных вариант от средней арифмети­ческой (d=V-M). В медицинской статистике отклонения от средней обозначаются как d (deviate). Сумма всех от­клонений равняется нулю.

3. Возводят каждое отклонение в квадрат d 2 .

4. Перемножают квадраты отклонений на соответствующие частоты d 2 *p.

5. Находят сумму произведений (d 2 *p)

6. Вычисляют среднее квадратическое отклонение по формуле:

при n больше 30, или
при n меньше либо равно 30, где n - число всех вариант.

Значение среднего квадратичного отклонения:

1. Среднее квадратическое отклонение характеризует разброс вариант относительно средней величины (т.е. колеблемость вариационного ряда). Чем больше сигма, тем степень разнообразия данного ряда выше.

2. Среднее квадратичное отклонение используется для сравнительной оценки степени соответствия средней арифметической величины тому вариационному ряду, для которого она вычислена.

Вариации массовых явлений подчиняются закону нормального распределения. Кривая, отображающая это распределение, имеет вид плавной колоколообразной симметричной кривой (кривая Гаусса). Согласно теории вероятности в явлениях, подчиняющихся закону нормального распределения, между значениями средней арифметической и среднего квадратического отклонения существует строгая математическая зависимость. Теоретическое распределение вариант в однородном вариационном ряду подчиняется правилу трех сигм.

Если в системе прямоугольных координат на оси абсцисс отложить значения количественного признака (варианты), а на оси ординат - частоты встречаемости вариант в вариационном ряду, то по сторонам от средней арифметической равномерно располагаются варианты с большими и меньшими значениями.

Установлено, что при нормальном распределении признака:

68,3% значений вариант находится в пределах М1

95,5% значений вариант находится в пределах М2

99,7% значений вариант находится в пределах М3

3. Среднее квадратическое отлонение позволяет установить значения нормы для клинико-биологических показателей. В медицине интервал М1 обычно принимается за пределы нормы для изучаемого явления. Отклонение оцениваемой величины от средней арифметической больше, чем на 1 указывает на отклонение изучаемого параметра от нормы.

4. В медицине правило трех сигм применяется в педиатрии для индивидуальной оценки уровня физического развития детей (метод сигмальных отклонений), для разработки стандартов детской одежды

5. Среднее квадратическое отклонение необходимо для характеристики степени разнообразия изучаемого признака и вычисления ошибки средней арифметической величины.

Величина среднего квадра­тического отклонения обычно используется для сравнения колеблемости однотипных рядов. Если сравниваются два ряда с разными признаками (рост и масса тела, средняя длительность лечения в стационаре и больничная летальность и т.д.), то непосредственное сопоставление размеров сигм невозможно, т.к. среднеквадратичес­кое отклонение - именованная величина, выраженная в абсолютных числах. В этих случаях применяют коэффициент вариации (Cv ) , представляющий собой относительную величину: процентное отноше­ние среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле:

Чем выше коэффициент вариации, тем большая изменчивость данно­го ряда. Считают, что коэффициент вариации свыше 30 % свиде­тельствует о качественной неоднородности совокупности.