Критерии выбросов в случае нормального распределения. Табличные значения критерия Ирвина для крайних элементов вариационного ряда В.В

При относительном скольжении деталей пар трения происходит повреждение контактирующих поверхностей. Этот вид повреждения поверхностных объемов детали называют износом. Потеря всего одной тысячной массы машины в результате изнашивания приводит к полной утрате работоспособности. Каждые три года...
(Механика. Основы расчёта и проектирования деталей машин)

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ И МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

Известны три основных критерия устойчивости сооружений: динамический, статический и энергетический, которые определяют и методику расчета сооружений на устойчивость. 1. Динамический (по Ляпунову) критерий основан на исследовании решений уравнений динамического движения отклоненной от начального...
(Строительная механика плоских стержневых систем)

КРИТЕРИИ ВЫБОРА КАНАЛОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РЕКЛАМЫ

Среди всех решений, которые принимаются в процессе планирования, наиболее важным является выбор конкретных медианосителей внутри каждого медиа. Как правило, медиапланеры стремятся выбирать те носители, которые позволяют добиться следующих целей: 1) добиться заданной частоты предъявления рекламного сообщения...
(Психология массовых коммуникаций)

Корреляционно-регрессионный анализ

Корреляция и регрессия относятся к методам выявления статистической зависимости между исследуемыми переменными. “На основе анализа эмпирических данных, собранных в ходе проведения исследования, описывается не только сам факт существования статистической зависимости, но и математическая формула функции...
(Маркетинговые исследования)

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

Одним из методов моделирования экономических процессов является корреляционно-регрессионный метод исследования. Моделирование представляет собой процесс выражения сложных взаимосвязанных экономических явлений средствами математических формул и символов. Сочетание качественного анализа с применением математических...
(Общая и прикладная статистика)

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Статистическое исследование экономических и технологических процессов в настоящее время является одним из важнейших инструментов при разработке систем управления процессами. Знание связей между параметрами позволяет выделить ключевые факторы, влияющие на качество готовой продукции или на исследуемые...
(Математика и экономико-математические модели)

Пусть - наблюдаемая выборка, - построенный по ней вариационный ряд. Проверяемая гипотеза заключается в том, что все принадлежат одной генеральной совокупности (выбросов нет). Альтернативная гипотеза - в наблюдаемой выборке есть выбросы.

Согласно критерию Шовене элемент выборки объема является выбросом, если вероятность его отклонения от среднего значения не больше .

Составляется следующая статистика Шовене :

где среднее значение,

Выборочная дисперсия

Определим, какое распределение имеет статистика при выполнении гипотезы. Для этого сделаем предположении, что уже при малых случайные величины и являются независимыми, тогда плотность распределения случайной величины имеет вид :

Значения этой функции распределения можно вычислить с помощью математического пакета Maple 14, подставляя вместо неизвестных параметров полученные значения.

Если статистика то значение () должно быть признано выбросом. Критические значения приведены в таблице (см. приложение А). Вместо в формулу (1.1) подставляем для проверки на наличие выбросов крайние значения.

Критерий Ирвина

Этот критерий используется в случае, когда дисперсия распределения известна заранее.

Из нормальной генеральной совокупности извлекается выборка объема, и составляется вариационный ряд (упорядочивается по возрастанию). Рассматриваются те же гипотезы и, что и в предыдущем критерии.

При наибольшее (наименьшее) значение признается выбросом с вероятностью. Критические значения занесены в таблицу.

Критерий Граббса

Пусть извлечена выборка, и по ней построен вариационный ряд. Проверяемая гипотеза заключается в том, что все () принадлежат одной генеральной совокупности. При проверке на выброс наибольшего выборочного значения альтернативная гипотеза заключается в том, что принадлежат одному закону, а - некоторому другому, существенно сдвинутому вправо. При проверке на выброс наибольшего значения выборки статистика критерия Граббса имеет вид

где вычисляется по формуле (1.2), а - по (1.3)

При проверке на выброс наименьшего выборочного значения альтернативная гипотеза предполагает, что принадлежит некоторому другому закону, существенно сдвинутому влево. В данном случае вычисляемая статистика принимает вид

где вычисляется по формуле (1.2), а - по (1.3).

Статистики или применяются, когда дисперсия известна заранее; статистики и -- когда дисперсия оценивается по выборке с помощью соотношения (1.3).

Максимальный или минимальный элемент выборки считается выбросом, если значение соответствующей статистики превысит критическое: или, где - задаваемый уровень значимости. Критические значения и приведены в сводных таблицах (см. приложение А). Получаемые в этом критерии статистики при выполнении нулевой гипотезы имеют такое же распределение, как и статистика в критерии Шовене.

При > 25 можно пользоваться приближениями для критических значений

где - -квантиль стандартного нормального распределения.

А аппроксимируется следующим образом

Если в извлеченной выборке известны дисперсия () и математическое ожидание (µ - среднее значение), то используется статистика

Критические значения этой статистики также занесены в таблицы. Если, то выброс признается значимым, и принимается альтернативная гипотеза.

Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически или очень редко – ошибки второго рода , они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина.

Метод Ирвина предполагает использование следующей формулы:

где среднее квадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

. (2)

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным. Значение критерия Ирвина для уровня значимости , т.е. с 5%-ной ошибкой, приведены в таблице 4.

Таблица 4.

	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

После выявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин их возникновения!

Если точно установлено, что аномалия вызвана ошибками первого рода, то соответствующие уровни ряда «поправляются» либо заменой простой средней арифметической соседних уровней ряда, либо значениями, полученными по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд в целом.

Метод проверки разностей средних уровней.

Реализация этого метода состоит из четырех этапов.

1. Исходный временной ряд разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части первых уровней исходного ряда, во второй – остальных уровней .

2. для каждой из этих частей вычисляются среднее значение и дисперсии:

3. проверка равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

с табличным (критическим) значением критерия Фишера с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) . В качестве чаще всего берут значения 0,1 (10%-ная ошибка), 0,05 (5%-ная ошибка), 0,01 (1%-ная ошибка). Величина называется доверительной вероятностью. Если расчетное (эмпирическое) значение F меньше табличного , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к четвертому этапу. В противном случае, гипотеза о равенстве дисперсий отвергается и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

4. проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

(3)

где среднее квадратическое отклонение разности средних:

.

Если расчетное значение меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости , гипотеза принимается, то есть тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение берется для числа степеней свободы, равного , при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

Метод Фостера-Стьюарта.

Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предыдущими. Кроме тренда самого ряда (тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т.д.

Реализация метода также состоит из четырех этапов.

1. производится сравнение каждого уровня со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:

2. вычисляются величины:

Нетрудно видеть, что величина , характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до (ряд монотонный). Величина характеризует изменение дисперсии уровней временного ряда и изменяется от (ряд монотонно убывает) до (ряд монотонно возрастает).

1. отклонение величины от величины математического ожидания величины для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

2. отклонение величины от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных (эмпирических) значений критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

где математическое ожидание величины , определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

Задача 19.1 Трещина расположенав поле действия максимальных растягивающих напряжений, вызванных взрывом одиночного цилиндрического заряда.Определить расстояние от заряда до трещины, при котором возможен ее рост.

Исходные данные : длина трещины 2l =0,1м; порода – кварциты с вязкостью разрушения К I =2,6∙10 6 Н/м 3/2 ; максимальное давление заряда в скважине P 0 =1,2∙10 10 Па.

Решение. Распределение максимальных квазистатических напряжений приближенно описывается зависимостями:

где и - радиальные и окружные напряжения;

Р 0 – максимальное давление при взрыве заряда в скважине;

r 0 – радиус заряда, м;

r – расстояние до рассматриваемой точки, м;

n – показатель степени, принимающий значения n =2 в упругой среде; в реальной среде с учетом формирования множества трещин в зонах измельчения и дробления показатель степени больше двух; экспериментальное значение находится в пределах n =2.1...2,3. В расчете используем среднюю величину n =2,2.

В соответствии с критерием Ирвина рост трещины происходит в случае, когда коэффициент интенсивности напряжений достигает значения вязкости разрушения:

К 1 = К c , (19.3)

где К I – коэффициент интенсивности напряжений, величина которого в рассматриваемом случае, с учетом знака растягивающих напряжений, вычисляется по формуле

. (19.4)

Подставляя (19.4) с учетом (19.1) и (19.2) в (19.3) после преобразований получим:

(19.5)

На рисунке 19.1 представлены результат расчета. При заданных условиях расстояние от заряда до трещины, при котором возможен ее рост, составляет 3,8 м. На очновании расчетной зависимости (19.5) можно утверждать, что чем больше радиус заряда, давление и полудлина трещины, тем больше радиус зоны дробления.

Параметры l и K I являются технологически неуправляемыми и характеризуют свойства породного массива. Управляемыми параметрами являются радиус заряда r 0 и величина максимального давления P 0 . Так, например, увеличение радиуса заряда в два раза приводит к линейному увеличению радиуса r зоны дробления также в два раза. Если же максимальное давление P 0 в скважине увеличить в два раза, то радиус r зоны дробления увеличивается примерно в 1,4 раза. Такой практический вывод следует из механики разрушения с использованием критерия Ирвина.

Задача 19.2 На контуре горизонтальной подземной горной выработки, пройденной в песчанике, действуют горизонтальные напряжения σ z , направленные вдоль оси выработки и окружные напряжения σ θ . В поверхностном слое выработки имеются хаотично расположенные трещины длиной 2l . Установить критические размеры трещин, при которых происходит их рост.

Исходные данные : σ z =10 МПа, σ θ =20 МПа. Вязкость разрушения песчанника для трещины в поле сдвиговых напряжений (трещина второго рода) составляет K II =0,96∙10 6 Н/м 3/2 .

Решение. На контуре выработки действуют следующие главные напряжения: σ 1 =20 МПа; σ 2 =10 МПа; σ 3 =0. Максимальные касательные напряжения, действующие в плоскости под углом 45ْ к поверхности выработки, составляют:

. (19.5)

Если трещина расположена в плоскости действия максимальных касательных напряжений, то ее предельный устойчивый размер можно определить, используя критерий Ирвина.

Метод Ирвина используется для выявления аномальных значений уровней временного ряда. Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровней временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда.

Причинами аномальных явлений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода, они подлежат выявлению и устранению.

Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически. Их относят к ошибкам второго рода, которые не подлежат устранению.

Для выявления аномальных наблюдений может быть использован метод Ирвина. В этом случае вычисляется коэффициент λ t , равный:

,
,
.

Расчетные значения λ 2 , λ 3 ,... сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина λ α . Если оказывается, что расчетное значение λ t больше табличного λ α , то соответствующее значение y t уровня ряда считается аномальным.

После выявления аномальных значений уровней ряда обязательно определение причин их возникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого рода, то они устраняются обычно заменой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой значением соответствующей трендовой кривой.

При проверке наличия аномальных колебаний с использованием метода Ирвина, получили следующие расчетные значения коэффициента λ t:

Таблица №13

Сравнивая найденные значения коэффициента λ t с табличным значением λ α , равным 1,3 для уровня значимости α = 0,05 и при n = 20 (число уровней временного ряда), получаем, что отдельные значения уровней ряда превосходят значение λ α , следовательно делаем вывод о том, что в данной модели присутствуют аномальные колебания, вызванные ошибками второго рода, которые устранению не подлежат.

Глава 8. Определение оптимального вида линии тренда. Прогноз показателей

Под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда.

Для выбора линии тренда, наилучшим образом отражающей общее направление процесса развития ставки рефинансирования Центрального Банка, уровня безработицы и инфляции, необходимо построить несколько линий тренда и выбрать ту из них, которая лучше отражает динамику развития того или иного процесса.

Для построения линий тренда необходимо использовать возможности ТР Excel, применив команду "Диаграмма" - "Добавить линию тренда". В диалоговом окне "Линия тренда" на вкладке "Тип" необходимо выбрать требуемый тип линии тренда и указать степень полинома. На вкладке "Параметры" необходимо установить переключатель "Показывать уравнение на диаграмме", "Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации".

После построения линий тренда, следует выбрать ту, которая наилучшим образом отражает динамику изменения того или иного процесса во времени.

Затем следует сделать прогноз значений на 3 периода вперед, используя выбранный тренд. Тренд, по которому необходимо сделать прогноз выбирается исходя из величины достоверности аппроксимации.

Для того чтобы сделать прогноз также необходимо воспользоваться возможностями ТР Excel. В данном случае необходимо в диалоговом окне "Линия тренда" на вкладке "Параметры" указать, на сколько периодов вперед необходимо сделать прогноз.

Данный прогноз позволяет определить, как через определенный промежуток времени изменится изучаемый показатель при неизменности остальных показателей.

После построения линии тренда для показателя ставки рефинансирования Центрального Банка, в качестве оптимальной линии тренда была выбрана линия тренда 2, которой соответствует уравнение:

Y = -0.0089х 3 +0ю3152х 2 -3.5642х+37.014; R 2 = 0.8048

Для показателя уровня безработицы в качестве оптимальной линии тренда была выбрана линия тренда 1, которой соответствует уравнение:

Y = -6E-06x 4 +0.0003x 3 -0.0038x 2 +0.0187x+0.0291; R 2 = 0.8771

Для показателя уровня инфляции в качестве оптимальной линии тренда была выбрана линия тренда 2, которой соответствует уравнение:

Y = -0.0064x 3 +0.2186x 2 -2.3701x+14.603; R 2 = 0.7703

Прогнозы, сделанные по выбранным линиям тренда дают наиболее точную характеристику повеления показателей в будущем.

z 1 прогнозное
z 2 прогнозное
y прогнозное
t прогнозное

Подставляя полученные прогнозные значения в ранее рассчитанное уравнение регрессии,

получаем у = 13,12990776.