Понятие о формулах численного интегрирования. Учебное пособие по Математическим методам в географии

Страница 1

Кафедра «Высшей математики»
Реферат:

Выполнил: Матвеев Ф.И.
Проверила: Бурлова Л.В.

Улан-Удэ.2002

1.Численные методы интегрирования

2.Вывод формулы Симпсона

3.Геометрическая иллюстрация

4.Выбор шага интегрирования

5.Примеры

1. Численные методы интегрирования
Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла

посредством ряда значений подынтегральной функции
.

Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.

Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции
полиномом степени . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.

Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции
сплайном-кусочным полиномом.

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.

суммарная погрешность

погрешность усечения

погрешность округления

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества

разбиений отрезка
. Однако при этом возрастает погрешность округления

за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины частичного отрезка.
2. Вывод формулы Симпсона
Если для каждой пары отрезков
построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию
на отрезке
. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с
в точках :

Проинтегрируем
:

Формула:

и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла
значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми
,
и параболой, проходящей через точки

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке
существуют непрерывные производные
. Составим разность

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку
непрерывна на
и функция неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором (то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку
- непрерывная функция;
).

Дифференцируя
дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для
другое выражение:

, где

Из обеих оценок для
следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:

,
.

Если отрезок
интегрирования слишком велик, то его разбивают на
равных частей (полагая
), после чего к каждой паре соседних отрезков
,
,...,
применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде:

(1)

(2)

Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

,
(3)

Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если
не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность.

Например, для функции форма трапеции при
для
дает точный результат
, тогда как по формуле Симпсона получаем

3. Геометрическая иллюстрация

На отрезке
длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки
,
. Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми
, принимают равной интегралу
.

Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное.

Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.

(4)

Это формула Симпсона «трех восьмых».

Для произвольного отрезка интегрирования
формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем (
точек).

, m=2,3,... (5)

- целая часть

Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков:

(6)

- количество отрезков разбиения;

- степень используемого полинома;

- производная -го порядка в точке
;

- шаг разбиения.

В таблице 1 выписаны коэффициенты
. Каждая строка соответствует одному набору промежутков
узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.

Таблица 1:

k	C0	A0	a1	a2	a3	a4	a5	a6
2		1	4	1
				1	4	1
						1	4	1
		1	4	2		2	4	1	

Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде:
(7),

где - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции;

h - шаг интегрирования;

p - порядок метода.

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.

(8)

(8) - апостериорная оценка. Тогда Iуточн.= +Ro (9),
уточненное значение интеграла
.

Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом
, то есть:

из системы трех уравнений:

с неизвестными I,А и p получаем:

(10)

Из (10) следует
(11)

Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла
и
, вычисляемые по методу трапеции с шагами и
, связаны соотношением:

Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами и
, справедливы соотношения:

,

(13)

4. Выбор шага интегрирования
Для выбора шага интегрирования можно воспользоваться выражением остаточного члена. Возьмем, например, остаточный член формулы Симпсона:

Если 

, то 

.

По заданной точности  метода интегрирования из последнего неравенства определяем подходящий шаг.

,
.

Однако такой способ требует оценки
(что на практике не всегда возможно). Поэтому пользуются другими приемами определения оценки точности, которые по ходу вычислений позволяют выбрать нужный шаг h.

Разберем один из таких приемов. Пусть

,

где - приближенное значение интеграла с шагом . Уменьшим шаг в два раза, разбив отрезок
на две равные части
и
(
).

Предположим теперь, что
меняется не слишком быстро, так что
почти постоянна: . Тогда
и
, откуда
, то есть
.

Отсюда можно сделать такой вывод: если
, то есть если
,
, а - требуемая точность, то шаг подходит для вычисления интеграла с достаточной точностью. Если же
, то расчет повторяют с шагом и затем сравнивают
и
и т.д. Это правило называется правилом Рунге.

Однако при применении правила Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость
от обратно пропорциональная) и при достаточно малых может оказаться больше погрешности метода. Если превышает
, то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение .

При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что
. Если имеется только таблица значений , то проверку
«на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств
уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.

Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами
, причем
. Вычисление значений . Тогда
(14).

За меру точности метода Симпсона принимают величину:

5. Примеры
Пример 1. Вычислить интеграл
по формуле Симпсона, если
задана таблицей. Оценить погрешность.

Таблица 3.

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

Решение: Вычислим по формуле (1) при
и
интеграл .

По правилу Рунге получаем
Принимаем .

Пример 2. Вычислить интеграл
.

Решение: Имеем
. Отсюда h=
=0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона

i
0	0		y0=1,00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0,50000=yn
		3,45955(1)	2,72818(2)

По формуле Симпсона получим:

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена . Очевидно:-0,289687

4

2,35

-0,70271

-0,299026

2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380

2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510

2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672

2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109

 3.

Заменим подынтегральную функцию, входящую в (2.50), интерполяционным многочленом Лагранжа нулевой степени, проходящим через середину отрезка - точку х = (а + Ь)/2 (рис. 2.5). Площадь криволинейной трапеции можно заменить площадью прямоугольника, т. е.

Формула (2.52) носит название ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ или ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ. Ее погрешность составляет

Разложение функции f(x) в ряд относительно середины отрезка имеет вид

Подставив выражение (2.54) в (2.53), получим

Рис. 2.5

При вычислении ошибки интегрирования уничтожился не только первый, но и второй член разложения, что связано с симметричным выбором узла интегрирования. И хотя по построению формула точна для многочленов нулевого порядка, выбор симметричного узла интерполяции привел к тому, что формула точна для любой линейной функции.

Значение остаточного члена в формуле прямоугольников (2.53) может быть велико, так как разность (6 - а) может быть достаточно большой. Для повышения точности введем сетку

с достаточно мелким шагом h t = jc (- x t _ j и применим формулу прямоугольников на каждом шаге сетки. Тогда получим обобщенную формулу прямоугольников

с величиной остаточного члена

На равномерной сетке с шагом h t «= х ( - x t _ j = const формула (2.56) упрощается и имеет вид

величина остаточного члена составляет Заменяя в (2.58) сумму интегралом, получаем

Для справедливости оценки остаточного члена (2.58) необходимо существование непрерывной второй производной; если вторая производная f"x) - кусочно-непрерывная, то удается сделать лишь мажорантную оценку, заменяя f"(x) ее максимальной величиной на [а, 6]. Тогда, если обозначить М 2 = max | f"(x) | [а остаточный член

В том случае, когда функция f(x ) задана в виде таблицы, ее значение в середине интервала неизвестно. Это значение находится, как правило, интерполированием, что приводит к ухудшению точности формулы.

В случае таблично заданных функций удобно в качестве узлов интерполяции выбрать начало и конец отрезка интегрирования, т. е. заменить функцию f(x) многочленом Лагранжа первой степени. Имеем

Рис. 2.6

В этом случае величина интеграла, равная площади криволинейной трапеции, приближенно заменяется величиной площади трапеции (рис. 2.6). Поэтому получаем

имея в виду, что х 0 = а, х г = Ь. Эта формула носит название ФОРМУЛЫ ТРАПЕЦИЙ. При использовании формулы трапеций для

оценки погрешности интегрирования вычислим J dx по

формулам (2.18). Имеем

Погрешность формулы трапеций вдвое больше погрешности формулы прямоугольников. Это объясняется тем, что выбор в формуле прямоугольников в качестве узла интерполяции симметричного узла приводит к повышению ее точности.

Для повышения точности формулы (2.61) введем на отрезке [а, Ь] сетку

Подсчитывая значение интеграла для каждого интервала и суммируя эти значения, получаем обобщенную формулу трапеций

со значением остаточного члена

Эти формулы упрощаются на сетке с постоянным шагом Л = Л (= Xj - д:, t = const (i - 0, 1, - 1):

Введем обозначение М 2 ~ max |ГХ^)1(а &] На практике пользуются мажорантной оценкой величины остаточного члена

Таким образом, формула трапеций (как и формула прямоугольников) имеет второй порядок точности относительно шага сетки, и погрешность асимптотически стремится к нулю при h -» 0 с точностью до членов более высокого порядка малости.

Для повышения порядка точности формулы численного интегрирования заменим подынтегральную кривую параболой - интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, выбрав в качестве узлов интерполяции концы и середину отрезка интегрирования: х 0 = а, х х ~ (а + Ь)/ 2, х г = Ъ (рис. 2.7).

В этом случае, проинтегрировав интерполяционный многочлен для равноотстоящих узлов, получим

Рис. 2.7

При этом значение остаточного члена R ~ J Д 2 (х) dx оценивается приближенным соотношением °

Формулу (2.67) называют ФОРМУЛОЙ СИМПСОНА. Для неравноотстоящих узлов х 0 , Xj, х 2 величина F составляет

Как и в предыдущих двух случаях, для повышения точности формулы (2.67) введем сетку с достаточно малым шагом. Суммируя значения нтегралов, полученных по (2.67) для каждого интервала, получаем обобщенную формулу Симпсона (парабол), которая на равномерной сетке имеет вид

а величина остаточного члена -

Таким образом, формула парабол имеет четвертый порядок точности относительно шага сетки. Введем обозначение М 4 = = max |/ IV (x)| :

.
Тогда .
Будем использовать линейную интерполяцию подынтегральной функции.
Если вместо отрезка [-1; 1] взять в качестве узлов интерполяции подвижные узлы t1, t2, то нужно выбрать эти значения так, чтобы площадь трапеции, ограниченнной сверху прямой, проходящей через точки A1 (t1, φ(t1)) и A2 (t2, φ(t2)) была равной интегралу от любого многочлена некоторой наивысшей степени.
Полагая, что это многочлен третьей степени, вычислим t1, t2, которые получаются равными и , отличаясь лишь нумерацией значений.
Далее разбивая отрезок интегрирования на n частей, применяя к каждому из них описанную выше идею, можно получить формулу Гаусса:

численное интегрирование формула программирование

Введение

1. Методы численного интегрирования

2. Квадратурные формулы

3. Автоматический выбор шага интегрирования

Заключение

Библиографический список

Введение

Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.

При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида

. (1)

Если функция непрерывна на отрезке [a , b ] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:

.

В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f (x ) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.

Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f (x i ) = y i в некоторых узлах x i Î[a , b ]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P (x ), проходящий через полученные точки (x i , y i ), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):

.

При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:

, (2) - узлы интерполирования, A i – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.

Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (х ),осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R , характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.

1. Методы численного интегрирования

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла

Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.

Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки

в соответствующем отрезке.

В зависимости от выбора

мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6) (5) (6)

Формула трапеции:

Формула Симпсона

b, a - концы рассматриваемого отрезка.

Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок на 6 равных отрезков: h=

По формуле левых прямоугольников:

По формуле трапеции:

По формуле Симпсона:

А результат полученный аналитически равен

=1

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

2. Квадратурные формулы

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b ] на п равных частей длиной

. Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х 0 = а , х 1 = a + h , ..., x n = b отметим ординаты y 0 , y 1 ,…, y n кривой f (x ), т.е. вычислим у i = f (x i ), x i = a+ ih = x i -1 + h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и y i , где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:
. (3)

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f (x ) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h , что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

. (4)

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f (x ), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):

. (5)

Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной

. На каждом отрезке [x i , x i+2 ] подынтегральную функцию f (х ) заменим параболой, проходящей через точки (x i , y i ), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i +2). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона: . (7)

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:

Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:

где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n . При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:

Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.

3. Автоматический выбор шага интегрирования

В результате расчета по формулам (3) - (8) получают приближенное значение интеграла, которое может отличаться от точного на некоторую величину, называемую погрешностью интегрирования. Ошибка определяется формулой остаточного члена R , различной для каждого из методов интегрирования. Если требуется вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышающей e, то необходимо выбрать такой шаг интегрирования h , чтобы выполнялось неравенство R (h ) £e. На практике используют автоматический выбор значения h , обеспечивающего достижение заданной погрешности. Сначала вычисляют значение интеграла I (n ), разбивая интервал интегрирования на п участков, затем число участков удваивают и вычисляют интеграл I (2n ). Процесс вычислений продолжают до тех пор, пока не станет справедливым условие.