Уравнения высшего порядка допускающие понижение порядка. Методы понижения порядка уравнения

Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.

1. Уравнения вида y (n) =f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, ,… .
Пример . Решить уравнение xy""=1 . Можем записать , следовательно, y"=ln|x| + C 1 и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. В уравнениях вида F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y (k) = z(x). Тогда y (k +1) =z"(x),…,y (n) = z (n - k) (x) и мы получаем уравнение F(x,z,z",..,z (n - k)) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n - k) рассмотренного в случае 1 типа.
Пример 1 . Решить уравнение x 2 y"" = (y") 2 . Делаем замену y"=z(x) . Тогда y""=z"(x) . Подставляя в исходное уравнение, получаем x 2 z"=z 2 . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем
Пример 2 . Решить уравнение x 3 y"" +x 2 y"=1 .Делаем замену переменных: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 или u"x 2 -xu+xu=1 или u"x^2=1. Откуда: u"=1/x 2 или du/dx=1/x 2 или u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Поскольку z=u/x, то z = -1/x 2 +c 1 /x. Поскольку y"=z, то dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2 . Ответ: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y",y"",…,y (n))=0 , не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y"=p(y) , где p - новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Пример . Решить уравнение (y") 2 +2yy""=0 . Делаем стандартную замену y"=p(y) , тогда y″=p′·p . Подставляя в уравнение, получаем Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y"=0, но оно содержится в полученном выше.

4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.

Примеры .
1. Если обе части уравнения yy"""=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC , или, что то же самое, y″=Cy . Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y"+1))" = (lny)" . Из последнего соотношения следует, что ln(y"+1) = lny + lnC 1 , или y"=C 1 y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Решить уравнения, допускающие понижение порядка можно с помощью специального сервиса

одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является ме-тод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью заме-ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть дано уравнение

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у " =р(х). Тогда у "" =p " (x) и получаем ДУ первого порядка: p " =ƒ(х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y " =р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как уравнение (3.6) можно записать в виде dy " =ƒ(х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y "" =ƒ(х), получаем: y " = или y " =j1 (x)+с 1 . Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: - общее решение данного уравнения. Если дано уравнение то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения:

Пример 3.1. Решить уравнение

Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

Пусть дано уравнение

Обозначим у " =р, где р=р(х) - новая неизвестная функция. Тогда у "" =p " и уравнение (3.7) принимает вид p " =ƒ(х;р). Пусть р=j(х;с 1) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на y " , получаем ДУ: y " =j(х;с 1). Оно имеет вид (3.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (3.7) будет иметь вид

Частным случаем уравнения (3.7) является уравнение

которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y (к) =р(х). Тогда у (к+1) =p " ; ...; y (n) =p (n-k) и уравнение (3.9) примет вид F(x;p;p " ;... ;p (n-κ))=0. Частным случаем уравнения (3.9) является уравнение

С помощью замены y (n-1) =p(x), y (n) =p " это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример 3.2. Решить уравнение

Решение: Полагаем у"=р, где Тогда Это уравнение с разделяющимися переменными: Интегрируя, получим Возвращаясь к исходной переменной, получим y"=с 1 х,

- общее решение уравнения.

III. Рассмотрим уравнение

которое не содержит явно независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(y), зависящую от переменной у, полагая у"=р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р =р(у(х)):

т. е. Теперь уравнение (3.10) запишется в виде

Пусть р=j(y;с 1) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(y) на y", получаем y"=j(y;с 1) - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (3.10):

Частным случаем уравнения (3.10) является ДУ

Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у " =p(у),

Так же поступаем при решении уравнения F(у; у " ; у"";...; у (n))=0. Его порядок можно понизить на единицу, положив y"=р, где р=р(y). По правилу дифференцирования сложной функции находим Затем найдем

р=uv=((-1+у)е -y +е -у +c 1) е+у, или р=c 1 ey+у. Заменяя р на у " , получаем: у"=c 1 -e y +у. Подставляя y"=2 и у=2 в это равенство, находим с 1:

2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.

Имеем у"=у. Отсюда у=с 2 е х. Находим с 2 из начальных условий: 2=с 2 е°, с 2 =2. Таким образом, у=2e x - частное решение данного

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и: (или - общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при: , . Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием, совпадают на пересечении интервалов определения.

Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удается далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удается понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.

1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная. Это позволяет принять за новый аргумент, а производную 1-го порядка принять за новую функцию. Тогда.

Таким образом, уравнение 2-го порядка для функции, не содержащее явно, свелось к уравнению 1-го порядка для функции. Интегрируя это уравнение, получаем общий интеграл или, а это есть дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции. Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: .

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях: , .

Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент, то примем за новую независимую переменную, а - за. Тогда и уравнение приобретает следующий вид для функции: .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: . Откуда следует, т.е. .

Так как при и, то подставляя начальные условия в последнее равенство, получаем, что и, что равносильно. В результате для функции имеем уравнение с разделяющимися переменными, решая которое, получаем. Используя начальные условия, получаем, что. Следовательно, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий начальным условиям, имеет вид: .

2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции.

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: , т.е. в уравнение явно не входит искомая функция. В этом случае вводят постановку. Тогда и уравнение 2-го порядка для функции переходит в уравнение 1-го порядка для функции. Проинтегрировав его, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции: . Решая последнее уравнение, получаем общий интеграл заданного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: .