Wakati wa kuhesabu polynomials za algebraic, ili kurahisisha mahesabu, tumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha . Kuna fomula saba kama hizo kwa jumla. Unahitaji kuwajua wote kwa moyo.

Inapaswa pia kukumbukwa kwamba badala ya a na b katika fomula kunaweza kuwa na nambari au polima zingine zozote za aljebra.

Tofauti ya mraba

Tofauti ya miraba ya nambari mbili ni sawa na bidhaa ya tofauti ya nambari hizi na jumla yao.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Mraba wa jumla

Mraba wa jumla wa nambari mbili ni sawa na mraba wa nambari ya kwanza pamoja na bidhaa mara mbili ya nambari ya kwanza na ya pili pamoja na mraba wa nambari ya pili.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Tafadhali kumbuka kuwa kwa fomula hii iliyofupishwa ya kuzidisha ni rahisi tafuta viwanja idadi kubwa bila kutumia kikokotoo au kuzidisha kwa muda mrefu. Hebu tueleze kwa mfano:

Tafuta 112 2.

Hebu tutenganishe 112 katika jumla ya nambari ambazo miraba yake tunaikumbuka vyema.2
112 = 100 + 1

Andika jumla ya nambari kwenye mabano na uweke mraba juu ya mabano.
112 2 = (100 + 12) 2

Wacha tutumie fomula ya mraba wa jumla:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

Kumbuka kwamba fomula ya jumla ya mraba pia ni halali kwa polynomia zozote za aljebra.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Onyo!!!

(a + b) 2 si sawa na 2 + b 2

Tofauti ya mraba

Mraba wa tofauti ya nambari mbili ni sawa na mraba wa nambari ya kwanza ukiondoa mara mbili ya bidhaa ya kwanza na ya pili pamoja na mraba wa nambari ya pili.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Inafaa pia kukumbuka mabadiliko muhimu sana:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Fomula iliyo hapo juu inaweza kuthibitishwa kwa kufungua tu mabano:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Mchemraba wa jumla

Mchemraba wa jumla ya nambari mbili sawa na mchemraba nambari ya kwanza pamoja na bidhaa mara tatu ya mraba wa nambari ya kwanza na ya pili pamoja na mara tatu ya bidhaa ya kwanza kwa mraba wa pili pamoja na mchemraba wa pili.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ni rahisi kukumbuka fomula hii "ya kutisha".

Jifunze kuwa 3 inakuja mwanzoni.

Polynomia mbili zilizo katikati zina coefficients ya 3.

KATIKAkumbuka kwamba nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri ni 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Ni rahisi kugundua kuwa katika fomula kuna kupungua kwa digrii a na kuongezeka kwa digrii b. Unaweza kuthibitisha hili:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Onyo!!!

(a + b) 3 si sawa na 3 + b 3

Mchemraba wa tofauti

Mchemraba wa tofauti ya nambari mbili ni sawa na mchemraba wa nambari ya kwanza minus mara tatu ya bidhaa ya mraba ya nambari ya kwanza na ya pili pamoja na mara tatu ya bidhaa ya nambari ya kwanza na mraba wa pili ukiondoa mchemraba. ya pili.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Njia hii inakumbukwa kama ile iliyopita, lakini kwa kuzingatia tu ubadilishaji wa ishara "+" na "-". Neno la kwanza la 3 linatanguliwa na "+" (kulingana na sheria za hisabati, hatuiandiki). Hii ina maana kwamba neno linalofuata litatanguliwa na "-", kisha tena "+", nk.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Jumla ya cubes ( Haipaswi kuchanganyikiwa na mchemraba wa jumla!)

Jumla ya cubes ni sawa na bidhaa ya jumla ya nambari mbili na mraba wa sehemu ya tofauti.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Jumla ya cubes ni bidhaa ya mabano mawili.

Mabano ya kwanza ni jumla ya nambari mbili.

Mabano ya pili ni mraba usio kamili wa tofauti kati ya nambari. Mraba usio kamili wa tofauti ni usemi:

A 2 - ab + b 2
Mraba huu haujakamilika, kwa sababu katikati badala ya mara mbili ya bidhaa bidhaa ya kawaida ya nambari.

Tofauti ya cubes (Sio kuchanganyikiwa na mchemraba tofauti !!!)

Tofauti ya cubes ni sawa na bidhaa ya tofauti ya nambari mbili na mraba wa sehemu ya jumla.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Kuwa mwangalifu wakati wa kuandika ishara.Ikumbukwe kwamba fomula zote zilizotolewa hapo juu pia hutumiwa kutoka kulia kwenda kushoto.

Njia rahisi ya kukumbuka fomula zilizofupishwa za kuzidisha, au... pembetatu ya Pascal.

Je, unatatizika kukumbuka fomula zilizofupishwa za kuzidisha? Sababu ni rahisi kusaidia. Unahitaji tu kukumbuka jinsi hii inavyoonyeshwa jambo rahisi, kama pembetatu ya Pascal. Kisha utakumbuka kanuni hizi daima na kila mahali, au tuseme, si kukumbuka, lakini kurejesha.

Pembetatu ya Pascal ni nini? Pembetatu hii inajumuisha coefficients ambayo huingia katika upanuzi wa shahada yoyote ya binomial ya fomu katika polynomial.

Wacha tupanue, kwa mfano:

Katika kiingilio hiki ni rahisi kukumbuka kuwa mchemraba wa nambari ya kwanza iko mwanzoni, na mchemraba wa nambari ya pili iko mwisho. Lakini kile kilicho katikati ni ngumu kukumbuka. Na hata ukweli kwamba katika kila neno linalofuata kiwango cha sababu moja hupungua kila wakati, na pili huongezeka - sio ngumu kugundua na kukumbuka; hali ni ngumu zaidi kwa kukumbuka coefficients na ishara (ni pamoja na au minus). ?).

Hivyo kwanza, tabia mbaya. Hakuna haja ya kuzikariri! Tunachora haraka pembetatu ya Pascal kwenye ukingo wa daftari, na hizi hapa - coefficients, tayari mbele yetu. Tunaanza kuchora na vitengo vitatu, moja juu, mbili chini, kulia na kushoto - ndio, tayari ni pembetatu:

Mstari wa kwanza, na moja 1, ni sifuri. Kisha inakuja ya kwanza, ya pili, ya tatu na kadhalika. Ili kupata mstari wa pili, unahitaji kugawa tena zile kwenye kingo, na katikati andika nambari iliyopatikana kwa kuongeza nambari mbili hapo juu:

Tunaandika mstari wa tatu: tena kando ya kitengo, na tena kupata nambari inayofuata kwenye mstari mpya, ongeza nambari zilizo juu yake katika ile iliyotangulia:

Kama unavyoweza kukisia, katika kila mstari tunapata mgawo kutoka kwa upanuzi wa binomial hadi polynomial:

Kweli, ni rahisi kukumbuka ishara: ya kwanza ni sawa na kwenye binomial iliyopanuliwa (tunapanua jumla - hiyo inamaanisha pamoja, tofauti - hiyo inamaanisha minus), na kisha ishara zinabadilishana!

Hili ni jambo muhimu - pembetatu ya Pascal. Itumie!

Fomula au sheria za kuzidisha kwa ufupi hutumika katika hesabu, au kwa usahihi zaidi katika aljebra, kwa mchakato wa haraka wa kuhesabu idadi kubwa. maneno ya algebra. Fomula zenyewe zimetokana na sheria zilizopo katika aljebra za kuzidisha polima kadhaa.

Matumizi ya fomula hizi hutoa suluhisho la haraka kwa anuwai matatizo ya hisabati, na pia husaidia kurahisisha misemo. Kanuni mabadiliko ya algebra hukuruhusu kufanya ghiliba kadhaa kwa misemo, kufuatia ambayo unaweza kupata upande wa kushoto wa usawa usemi ulio upande wa kulia, au kubadilisha. upande wa kulia usawa (kupata usemi upande wa kushoto baada ya ishara sawa).

Ni rahisi kujua fomula zinazotumiwa kwa kuzidisha kwa kifupi kutoka kwa kumbukumbu, kwani hutumiwa mara nyingi katika kutatua shida na hesabu. Imeorodheshwa hapa chini ni fomula kuu zilizojumuishwa orodha hii, na majina yao.

Mraba wa jumla

Ili kuhesabu mraba wa jumla, unahitaji kupata jumla inayojumuisha mraba wa muhula wa kwanza, mara mbili ya bidhaa ya muhula wa kwanza na wa pili na mraba wa pili. Katika mfumo wa usemi, sheria hii imeandikwa kama ifuatavyo: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Tofauti ya mraba

Ili kuhesabu mraba wa tofauti, unahitaji kuhesabu jumla inayojumuisha mraba wa nambari ya kwanza, mara mbili ya bidhaa ya nambari ya kwanza na ya pili (iliyochukuliwa kutoka. ishara kinyume) na mraba wa nambari ya pili. Katika mfumo wa usemi, sheria hii inaonekana kama hii: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Tofauti ya mraba

Njia ya tofauti ya nambari mbili za mraba ni sawa na bidhaa ya jumla ya nambari hizi na tofauti zao. Katika mfumo wa usemi, sheria hii inaonekana kama hii: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Mchemraba wa jumla

Ili kuhesabu mchemraba wa jumla ya maneno mawili, unahitaji kuhesabu jumla inayojumuisha mchemraba wa muhula wa kwanza, bidhaa mara tatu ya mraba wa muhula wa kwanza na ya pili, mara tatu ya bidhaa ya muhula wa kwanza na wa pili. mraba, na mchemraba wa muhula wa pili. Katika umbo la usemi, sheria hii inaonekana kama hii: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Jumla ya cubes

Kulingana na fomula, ni sawa na bidhaa ya jumla ya masharti haya na tofauti zao zisizo kamili za mraba. Katika umbo la usemi, sheria hii inaonekana kama hii: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Mfano. Ni muhimu kuhesabu kiasi cha takwimu iliyoundwa kwa kuongeza cubes mbili. Ukubwa tu wa pande zao hujulikana.

Ikiwa maadili ya upande ni ndogo, basi mahesabu ni rahisi.

Ikiwa urefu wa pande umeonyeshwa kwa nambari ngumu, basi katika kesi hii ni rahisi kutumia formula ya "Jumla ya Cubes", ambayo itarahisisha mahesabu.

Mchemraba wa tofauti

Usemi wa tofauti za ujazo unasikika kama hii: kama jumla ya nguvu ya tatu ya muhula wa kwanza, mara tatu bidhaa hasi ya mraba wa muhula wa kwanza na ya pili, mara tatu ya bidhaa ya muhula wa kwanza na mraba wa pili. na mchemraba hasi wa muhula wa pili. Kama usemi wa hisabati mchemraba wa tofauti unaonekana kama hii: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Tofauti ya cubes

Tofauti ya formula ya cubes hutofautiana na jumla ya cubes kwa ishara moja tu. Kwa hivyo, tofauti ya cubes ni formula, sawa na bidhaa tofauti kati ya nambari hizi kwa jumla ya sehemu zao za mraba. Kwa namna ya usemi wa hisabati, tofauti ya cubes inaonekana kama hii: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Mfano. Ni muhimu kuhesabu kiasi cha takwimu ambayo itabaki baada ya kutoa kutoka kwa kiasi cha mchemraba wa bluu takwimu ya volumetric rangi ya njano, ambayo pia ni mchemraba. Ukubwa wa upande tu wa mchemraba mdogo na mkubwa unajulikana.

Ikiwa maadili ya upande ni ndogo, basi mahesabu ni rahisi sana. Na ikiwa urefu wa pande umeonyeshwa kwa idadi kubwa, basi inafaa kutumia formula inayoitwa "Tofauti ya cubes" (au "Cube ya tofauti"), ambayo itarahisisha mahesabu.

Fomula za usemi zilizofupishwa hutumiwa mara nyingi sana katika mazoezi, kwa hivyo inashauriwa kujifunza zote kwa moyo. Hadi wakati huu, itatutumikia kwa uaminifu, ambayo tunapendekeza kuchapisha na kuweka mbele ya macho yako kila wakati:

Fomula nne za kwanza kutoka kwa jedwali lililokusanywa la fomula zilizofupishwa za kuzidisha hukuruhusu kuweka mraba na kubana jumla au tofauti ya misemo miwili. Ya tano imekusudiwa kuzidisha kwa ufupi tofauti na jumla ya misemo miwili. Na fomula ya sita na saba hutumika kuzidisha jumla ya semi mbili a na b kwa mraba wao usio kamili wa tofauti (hivi ndivyo usemi wa umbo a 2 -a b+b 2 unavyoitwa) na tofauti ya mbili. semi a na b kwa mraba usiokamilika wa jumla yao (a 2 + a·b+b 2 ) mtawalia.

Inafaa kuzingatia kuwa kila usawa kwenye jedwali ni kitambulisho. Hii inafafanua kwa nini fomula zilizofupishwa za kuzidisha pia huitwa vitambulisho vya kuzidisha vilivyofupishwa.

Wakati wa kutatua mifano, haswa ambayo polynomial imeundwa, FSU mara nyingi hutumiwa katika fomu na pande za kushoto na kulia zimebadilishwa:

Vitambulisho vitatu vya mwisho kwenye jedwali vina majina yao wenyewe. Fomula a 2 −b 2 =(a-b)·(a+b) inaitwa tofauti ya formula ya mraba, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - jumla ya formula ya cubes, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - tofauti ya formula ya cubes. Tafadhali kumbuka kuwa hatukutaja fomula zinazolingana na sehemu zilizopangwa upya kutoka kwa jedwali lililopita.

Fomula za ziada

Haitaumiza kuongeza vitambulisho vichache zaidi kwenye jedwali la fomula zilizofupishwa za kuzidisha.

Maeneo ya matumizi ya fomula zilizofupishwa za kuzidisha (FSU) na mifano

Kusudi kuu la fomula zilizofupishwa za kuzidisha (fsu) hufafanuliwa kwa jina lao, ambayo ni, inajumuisha maneno ya kuzidisha kwa ufupi. Walakini, wigo wa utumiaji wa FSU ni pana zaidi, na sio mdogo kwa kuzidisha kwa muda mfupi. Hebu tuorodhe maelekezo kuu.

Bila shaka maombi ya kati fomula zilizofupishwa za kuzidisha zinapatikana katika kufanya mabadiliko yanayofanana ya misemo. Mara nyingi fomula hizi hutumiwa katika mchakato maneno ya kurahisisha.

Mfano.

Rahisisha usemi 9·y−(1+3·y) 2 .

Suluhisho.

Katika usemi huu, squaring inaweza kufanywa kwa kifupi, tuna 9 y-(1+3 y) 2 =9 y-(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Kilichobaki ni kufungua mabano na kuleta masharti sawa: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na/au kulingana na maswali ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Katika somo lililopita tulishughulika na factorization. Tulifahamu njia mbili: kuweka kipengele cha kawaida kwenye mabano na kuweka kambi. Katika somo hili - njia ifuatayo yenye nguvu: fomula zilizofupishwa za kuzidisha. KATIKA noti fupi- FSU.

Fomula zilizofupishwa za kuzidisha (jumla na tofauti mraba, jumla na mchemraba tofauti, tofauti ya miraba, jumla na tofauti ya cubes) ni muhimu sana katika matawi yote ya hisabati. Zinatumika katika kurahisisha misemo, kutatua equations, kuzidisha polynomials, kupunguza sehemu, kutatua viunga, nk. Nakadhalika. Kwa kifupi, kuna kila sababu ya kukabiliana nao. Elewa zinatoka wapi, kwa nini zinahitajika, jinsi ya kuzikumbuka na jinsi ya kuzitumia.

Tunaelewa?)

Fomula zilizofupishwa za kuzidisha zinatoka wapi?

Usawa wa 6 na 7 haujaandikwa kwa njia inayojulikana sana. Ni aina ya kinyume. Hii ni kwa makusudi.) Usawa wowote hufanya kazi kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto. Ingizo hili linaifanya iwe wazi zaidi FSU zinatoka wapi.

Zinachukuliwa kutoka kwa kuzidisha.) Kwa mfano:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Hiyo ni, hakuna mbinu za kisayansi. Tunazidisha mabano kwa urahisi na kutoa sawa. Hivi ndivyo inavyogeuka fomula zote zilizofupishwa za kuzidisha. Kifupi kuzidisha ni kwa sababu katika fomula zenyewe hakuna kuzidisha mabano na kupunguzwa kwa zile zinazofanana. Kifupi.) Matokeo hutolewa mara moja.

FSU inahitaji kujulikana kwa moyo. Bila tatu za kwanza sio lazima kuota C, bila zingine - za B au A.)

Kwa nini tunahitaji fomula zilizofupishwa za kuzidisha?

Kuna sababu mbili za kujifunza, hata kukariri, kanuni hizi. Ya kwanza ni kwamba jibu lililopangwa tayari hupunguza idadi ya makosa moja kwa moja. Lakini hii sio zaidi sababu kuu. Lakini ya pili ...

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.