Mifano ya shughuli na nambari zisizo na mantiki. Nambari: asili, kamili, busara, halisi

Nyenzo katika kifungu hiki hutoa habari ya awali kuhusu nambari zisizo na mantiki. Kwanza tutatoa ufafanuzi wa nambari zisizo na maana na kuielezea. Hapo chini tunatoa mifano ya nambari zisizo na maana. Mwishowe, wacha tuangalie njia kadhaa za kujua ikiwa nambari iliyopewa wasio na akili au la.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi na mifano ya nambari zisizo na maana

Wakati wa kusoma sehemu za desimali, tulizingatia tofauti zisizo za muda desimali. Sehemu kama hizo huibuka wakati wa kupima urefu wa desimali wa sehemu ambazo haziwezi kulinganishwa na sehemu ya kitengo. Pia tulibaini kuwa sehemu zisizo na kikomo za decimal haziwezi kubadilishwa kuwa sehemu za kawaida (tazama kubadilisha sehemu za kawaida kuwa desimali na kinyume chake), kwa hivyo, nambari hizi sio nambari za busara, zinawakilisha kinachojulikana nambari zisizo na mantiki.

Kwa hivyo tunakuja ufafanuzi wa nambari zisizo na maana.

Ufafanuzi.

Nambari zilizomo nukuu ya desimali kuwakilisha sehemu za desimali zisizo za muda zisizo na kikomo, zinazoitwa nambari zisizo na mantiki.

Ufafanuzi ulioelezwa unatuwezesha kutoa mifano ya nambari zisizo na maana. Kwa mfano, sehemu ya desimali isiyo ya muda isiyo na kikomo 4.10110011100011110000... (idadi ya zile na sufuri huongezeka kwa moja kila wakati) ni nambari isiyo na mantiki. Hebu tutoe mfano mwingine wa nambari isiyo na mantiki: -22.353335333335... (idadi ya tatu zinazotenganisha nane huongezeka kwa mbili kila wakati).

Ikumbukwe kwamba nambari zisizo na mantiki hazipatikani kabisa katika mfumo wa sehemu za decimal zisizo za muda. Kawaida hupatikana katika fomu , nk, na pia kwa namna ya barua zilizoingia maalum. wengi zaidi mifano maarufu Nambari zisizo na mantiki katika nukuu hii ni mzizi wa mraba wa hesabu wa mbili, nambari "pi" π=3.141592..., nambari e=2.718281... na nambari ya dhahabu.

Nambari zisizo na mantiki pia inaweza kufafanuliwa kwa suala la nambari halisi, ambazo huchanganya nambari za busara na zisizo na mantiki.

Ufafanuzi.

Nambari zisizo na mantiki ni nambari halisi ambazo sio nambari za mantiki.

Je, nambari hii haina mantiki?

Wakati nambari haijatolewa kama sehemu ya desimali, lakini kama mzizi fulani, logarithm, n.k., basi kujibu swali la ikiwa haina mantiki ni ngumu sana katika hali nyingi.

Bila shaka, wakati wa kujibu swali lililoulizwa, ni muhimu sana kujua ni nambari gani ambazo sio za busara. Kutoka kwa ufafanuzi wa nambari zisizo na maana inafuata kwamba nambari zisizo na maana sio nambari za busara. Kwa hivyo, nambari zisizo na maana SI:

• sehemu za desimali zenye kikomo na zisizo na mwisho za muda.

Pia, muundo wowote wa nambari za busara zilizounganishwa na ishara za shughuli za hesabu (+, -, ·, :) sio nambari isiyo na maana. Hii ni kwa sababu jumla, tofauti, bidhaa na mgawo wa nambari mbili za busara ni nambari ya kimantiki. Kwa mfano, maadili ya misemo na ni nambari za busara. Hapa tunaona kwamba ikiwa misemo kama hiyo ina nambari moja isiyo na mantiki kati ya nambari za busara, basi thamani ya usemi mzima itakuwa nambari isiyo na mantiki. Kwa mfano, katika usemi nambari haina mantiki, na nambari zilizobaki ni za busara, kwa hivyo ni nambari isiyo na maana. Ikiwa ingekuwa nambari ya busara, basi mantiki ya nambari ingefuata, lakini sio busara.

Ikiwa usemi unaobainisha nambari una nambari kadhaa zisizo na mantiki, ishara za mizizi, logariti, kazi za trigonometric, nambari π, e, n.k., basi inahitajika kuthibitisha kutokuwa na mantiki au mantiki ya nambari fulani katika kila kesi mahususi. Hata hivyo, kuna idadi ya matokeo tayari kupatikana ambayo inaweza kutumika. Wacha tuorodheshe kuu.

Imethibitishwa kuwa mzizi wa kth wa nambari kamili ni nambari ya busara ikiwa nambari iliyo chini ya mzizi ni nguvu ya kth ya nambari nyingine katika hali zingine, mzizi kama huo hubainisha nambari isiyo na mantiki. Kwa mfano, nambari na hazina maana, kwani hakuna nambari kamili ambayo mraba wake ni 7, na hakuna nambari ambayo kuinua kwa nguvu ya tano kunatoa nambari 15. Na nambari sio zisizo na maana, kwani na.

Kama kwa logarithms, wakati mwingine inawezekana kudhibitisha kutokuwa na akili kwa kutumia njia ya kupingana. Kama mfano, wacha tuthibitishe kuwa logi 2 3 ni nambari isiyo na maana.

Wacha tuchukue kuwa logi 2 3 ni nambari ya busara, sio isiyo na maana, ambayo ni, inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya kawaida ya m/n. na uturuhusu kuandika mlolongo ufuatao wa usawa: . Usawa wa mwisho hauwezekani, kwa kuwa upande wake wa kushoto nambari isiyo ya kawaida , na upande wa kulia - hata. Kwa hivyo tulikuja kwa mkanganyiko, ambayo inamaanisha kuwa dhana yetu iligeuka kuwa sio sahihi, na hii ilithibitisha kuwa logi 2 3 ni nambari isiyo na maana.

Kumbuka kuwa lna kwa mantiki yoyote chanya na isiyo ya moja a ni nambari isiyo na mantiki. Kwa mfano, na ni nambari zisizo na maana.

Pia inathibitishwa kuwa nambari e a kwa mantiki yoyote isiyo ya sifuri a haina mantiki, na kwamba nambari π z kwa nambari yoyote isiyo sifuri z haina mantiki. Kwa mfano, nambari hazina mantiki.

Nambari zisizo na maana pia ni trigonometric kazi dhambi, cos , tg na ctg kwa thamani yoyote ya kimantiki na isiyo ya sufuri ya hoja. Kwa mfano, sin1 , tan(−4) , cos5,7 ni nambari zisizo na mantiki.

Kuna matokeo mengine yaliyothibitishwa, lakini tutajiwekea kikomo kwa yale ambayo tayari yameorodheshwa. Inapaswa pia kusema kwamba wakati wa kuthibitisha matokeo ya juu, nadharia inayohusishwa na nambari za algebra Na nambari za kupita maumbile.

Kwa kumalizia, tunaona kwamba hatupaswi kufanya hitimisho la haraka kuhusu kutokuwa na maana kwa nambari zilizotolewa. Kwa mfano, inaonekana wazi kuwa nambari isiyo na maana ndani shahada isiyo na mantiki ni nambari isiyo na maana. Hata hivyo, hii sio wakati wote. Ili kuthibitisha ukweli uliotajwa, tunawasilisha shahada. Inajulikana kuwa - ni nambari isiyo na mantiki, na pia imethibitishwa kuwa - ni nambari isiyo na mantiki, lakini ni nambari ya kimantiki. Unaweza pia kutoa mifano ya nambari zisizo na maana, jumla, tofauti, bidhaa na mgawo ambao ni nambari za busara. Zaidi ya hayo, mantiki au kutokuwa na mantiki kwa nambari π+e, π−e, π·e, π π, π e na zingine nyingi bado hazijathibitishwa.

Bibliografia.

• Hisabati. Daraja la 6: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi / [N. Ya. Vilenkin na wengine]. - Toleo la 22., Mch. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.

Nambari zisizo na mantiki ni zipi? Kwa nini wanaitwa hivyo? Zinatumika wapi na ni nini? Watu wachache wanaweza kujibu maswali haya bila kufikiria. Lakini kwa kweli, majibu kwao ni rahisi sana, ingawa sio kila mtu anayahitaji na katika hali adimu sana

Asili na sifa

Nambari zisizo na kikomo ni nambari zisizo za muda usio na kipimo Haja ya kuanzisha dhana hii ni kwa sababu ya ukweli kwamba kutatua shida mpya zinazotokea, dhana zilizopo hapo awali za nambari halisi au halisi, kamili, asili na busara hazikutosha tena. Kwa mfano, ili kuhesabu ni kiasi gani ni mraba wa 2, unahitaji kutumia desimali zisizo na ukomo zisizo za muda. Kwa kuongeza, equations nyingi rahisi pia hazina ufumbuzi bila kuanzisha dhana ya nambari isiyo na maana.

Seti hii inaonyeshwa kama I. Na, kama ilivyo wazi tayari, maadili haya hayawezi kuwakilishwa kama sehemu rahisi, nambari ambayo itakuwa nambari kamili, na denominator itakuwa.

Kwa mara ya kwanza, kwa njia moja au nyingine, wanahisabati wa Kihindi walikutana na jambo hili katika karne ya 7 wakati iligunduliwa kuwa mizizi ya mraba ya kiasi fulani haiwezi kuonyeshwa kwa uwazi. Na uthibitisho wa kwanza wa uwepo wa nambari kama hizo unahusishwa na Hippasus ya Pythagorean, ambaye alifanya hivyo katika mchakato wa kusoma isosceles. pembetatu ya kulia. Wanasayansi wengine walioishi kabla ya enzi yetu walitoa mchango mkubwa katika utafiti wa seti hii. Kuanzishwa kwa dhana ya nambari zisizo na mantiki kulihusisha marekebisho ya zilizopo mfumo wa hisabati, ndiyo maana ni muhimu sana.

asili ya jina

Ikiwa uwiano uliotafsiriwa kutoka Kilatini ni "sehemu", "uwiano", basi kiambishi awali "ir"
anatoa neno hili maana kinyume. Kwa hivyo, jina la seti ya nambari hizi zinaonyesha kuwa haziwezi kuunganishwa na nambari kamili au sehemu na kuwa na mahali tofauti. Hii inafuatia kutoka kwa asili yao.

Mahali katika uainishaji wa jumla

Nambari zisizo na mantiki, pamoja na nambari za kimantiki, ni za kundi la nambari halisi au halisi, ambazo nazo ni za nambari changamano. Hakuna subsets, lakini kuna aina za algebraic na transcendental, kuhusu ambayo tutazungumza chini.

Mali

Kwa kuwa nambari zisizo na maana ni sehemu ya seti ya nambari halisi, mali zao zote ambazo zinasomwa katika hesabu (pia huitwa sheria za msingi za algebraic) zinatumika kwao.

a + b = b + a (commutativity);

(a + b) + c = a + (b + c) (ushirika);

a + (-a) = 0 (kuwepo kwa nambari iliyo kinyume);

ab = ba (sheria ya mabadiliko);

(ab)c = a(bc) (usambazaji);

a(b+c) = ab + ac (sheria ya usambazaji);

a x 1/a = 1 (kuwepo kwa nambari ya kubadilishana);

Ulinganisho pia unafanywa kwa mujibu wa mifumo ya jumla na kanuni:

Ikiwa a > b na b > c, basi a > c (transitivity ya uhusiano) na. na kadhalika.

Bila shaka, nambari zote zisizo na maana zinaweza kubadilishwa kwa kutumia msingi shughuli za hesabu. Hakuna sheria maalum wakati huo huo hakuna.

Kwa kuongeza, axiom ya Archimedes inatumika kwa nambari zisizo na maana. Inasema kwamba kwa idadi yoyote mbili a na b, ni kweli kwamba ikiwa unachukua kama muda wa kutosha, unaweza kuzidi b.

Matumizi

Licha ya ukweli kwamba katika maisha ya kawaida Si mara nyingi sana kwamba mtu hukutana nao nambari zisizo na maana haziwezi kuhesabiwa. Yao aina kubwa, lakini kwa kweli hazionekani. Nambari zisizo na mantiki ziko karibu nasi. Mifano ambayo inajulikana kwa kila mtu ni pi, ambayo ni 3.1415926..., au e, ambayo kimsingi ndiyo msingi. logarithm asili, 2.718281828... Katika algebra, trigonometry na jiometri zinapaswa kutumika daima. Kwa njia, maana maarufu ya "uwiano wa dhahabu", ambayo ni, uwiano wa sehemu kubwa kwa sehemu ndogo, na kinyume chake, pia.

ni ya seti hii. Kile kisichojulikana sana cha "fedha" pia.

Kwenye mstari wa nambari ziko mnene sana, ili kati ya idadi yoyote mbili iliyoainishwa kama ya busara, isiyo na akili hakika itatokea.

Bado zipo nyingi matatizo ambayo hayajatatuliwa kuhusishwa na seti hii. Kuna vigezo kama vile kipimo cha kutokuwa na busara na kawaida ya nambari. Wanahisabati wanaendelea kusoma mifano muhimu zaidi ili kubaini ikiwa ni ya kikundi kimoja au kingine. Kwa mfano, inaaminika kuwa e ni nambari ya kawaida, yaani, uwezekano wa tarakimu tofauti zinazoonekana katika notation yake ni sawa. Kuhusu pi, utafiti bado unaendelea kuhusu hilo. Kipimo cha kutokuwa na akili ni thamani inayoonyesha jinsi nambari fulani inavyoweza kukadiria kwa nambari za kimantiki.

Algebraic na transcendental

Kama ilivyotajwa tayari, nambari zisizo na mantiki zimegawanywa kwa algebraic na transcendental. Kwa masharti, kwa kuwa, kusema madhubuti, uainishaji huu hutumiwa kugawanya seti C.

Jina hili huficha nambari changamano, zinazojumuisha nambari halisi au halisi.

Kwa hivyo, aljebra ni thamani ambayo ni mzizi wa polynomia ambayo si sawa sawa na sifuri. Kwa mfano, mzizi wa mraba wa 2 utakuwa katika kategoria hii kwa sababu ni suluhu la mlinganyo x 2 - 2 = 0.

Nambari zingine zote halisi ambazo hazikidhi hali hii zinaitwa transcendental. Aina hii inajumuisha mifano maarufu zaidi na iliyotajwa tayari - nambari ya pi na msingi wa logarithm ya asili e.

Inashangaza, hakuna mmoja au mwingine ambaye hapo awali aliendelezwa na wanahisabati katika uwezo huu; Kwa pi, uthibitisho ulitolewa mnamo 1882 na kurahisishwa mnamo 1894, na kumaliza mjadala wa miaka 2,500 juu ya shida ya squaring duara. Bado haijasomwa kikamilifu, kwa hivyo wanahisabati wa kisasa wana kitu cha kufanya kazi. Kwa njia, ya kwanza ni ya kutosha hesabu halisi Thamani hii ilitekelezwa na Archimedes. Kabla yake, mahesabu yote yalikuwa takriban sana.

Kwa e (nambari ya Euler au Napier), uthibitisho wa kuvuka kwake ulipatikana mnamo 1873. Inatumika katika kutatua milinganyo ya logarithmic.

Mifano mingine ni pamoja na thamani za sine, kosine, na tangent kwa thamani yoyote isiyo ya sufuri ya aljebra.

Mengi ya kila mtu nambari za asili iliyoonyeshwa na herufi N. Nambari za asili ni nambari tunazotumia kuhesabu vitu: 1,2,3,4, ... Katika vyanzo vingine, nambari 0 pia inachukuliwa kuwa nambari ya asili.

Seti ya nambari zote kamili inaonyeshwa na herufi Z. Nambari zote ni nambari asilia, nambari sifuri na hasi:

1,-2,-3, -4, …

Sasa tunaongeza kwa seti ya nambari zote seti ya yote sehemu za kawaida: 2/3, 18/17, -4/5 na kadhalika. Kisha tunapata seti ya nambari zote za busara.

Seti ya nambari za busara

Seti ya nambari zote za busara inaonyeshwa na herufi Q. Seti ya nambari zote za busara (Q) ni seti inayojumuisha nambari za fomu m/n, -m/n na nambari 0. kama n,m inaweza kuwa nambari yoyote ya asili. Ikumbukwe kwamba nambari zote za kimantiki zinaweza kuwakilishwa kama sehemu ya desimali isiyo na kikomo au isiyo na kikomo ya PERIODIC. Mwongozo pia ni kweli kwamba sehemu yoyote ya desimali yenye kikomo au isiyo na kipimo inaweza kuandikwa kama nambari ya kimantiki.

Lakini vipi kuhusu, kwa mfano, nambari 2.0100100010...? Ni sehemu ya desimali NON-PERIODIC kabisa. Na haitumiki kwa nambari za busara.

KATIKA kozi ya shule Katika aljebra, nambari halisi (au halisi) pekee ndizo zinazosomwa. Mengi ya kila mtu nambari za kweli iliyoonyeshwa na herufi R. Seti ya R ina nambari zote za busara na zisizo na mantiki.

Wazo la nambari zisizo na maana

Nambari zisizo na ukomo zote ni sehemu za desimali zisizo za muda. Nambari zisizo na maana hazina sifa maalum.

Kwa mfano, nambari zote zinazopatikana kwa kutoa mzizi wa mraba wa nambari asilia ambazo si miraba ya nambari asilia zitakuwa zisizo na mantiki. (√2, √3, √5, √6, n.k.).

Lakini haupaswi kufikiria kuwa nambari zisizo na maana zinapatikana tu kwa kuchimba mizizi ya mraba. Kwa mfano, nambari "pi" pia haina maana, na inapatikana kwa mgawanyiko. Na haijalishi unajaribu sana, huwezi kuipata kwa kuchukua mzizi wa mraba wa nambari yoyote asili.

Kuelewa nambari, haswa nambari asilia, ni moja ya "ujuzi" wa zamani zaidi wa hesabu. Ustaarabu mwingi, hata wa kisasa, umehusisha sifa fulani za fumbo na nambari kwa sababu ya umuhimu wao mkubwa katika kuelezea asili. Ingawa sayansi ya kisasa na hisabati haithibitishi sifa hizi za "kichawi", umuhimu wa nadharia ya nambari hauwezi kupingwa.

Kihistoria, anuwai ya nambari za asili zilionekana kwanza, kisha sehemu za haraka na nambari chanya zisizo na mantiki ziliongezwa kwao. Nambari sifuri na hasi zilianzishwa baada ya vijisehemu hivi vya seti ya nambari halisi. Seti ya mwisho, iliyowekwa nambari ngumu, ilionekana tu na maendeleo ya sayansi ya kisasa.

Katika hisabati ya kisasa, nambari hazijaingizwa utaratibu wa kihistoria, ingawa karibu nayo.

Nambari za asili $\mathbb(N)$

Seti ya nambari asilia mara nyingi huashiriwa kama $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, na mara nyingi huwekwa sufuri kuashiria $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ inafafanua shughuli za kuongeza (+) na kuzidisha ($\cdot$) na sifa zifuatazo kwa $a,b,c\in \mathbb(N)$ yoyote:

1. $a+b\katika \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ seti $\mathbb(N)$ imefungwa chini ya shughuli za kuongeza na kuzidisha.
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ commutativity
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ associativity
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ usambazaji
5. $a\cdot 1=a$ ni kipengele kisichoegemea upande wowote cha kuzidisha

Kwa kuwa seti ya $\mathbb(N)$ ina kipengele cha upande wowote cha kuzidisha lakini si cha kuongezwa, kuongeza sufuri kwenye seti hii huhakikisha kwamba inajumuisha kipengele cha upande wowote cha kuongezwa.

Mbali na shughuli hizi mbili, mahusiano ya "chini ya" ($

1. $a b$ trichotomy
2. ikiwa $a\leq b$ na $b\leq a$, basi $a=b$ antisymmetry
3. ikiwa $a\leq b$ na $b\leq c$, basi $a\leq c$ ni mpito
4. ikiwa $a\leq b$ basi $a+c\leq b+c$
5. ikiwa $a\leq b$ basi $a\cdot c\leq b\cdot c$

Nambari kamili $\mathbb(Z)$

Mifano ya nambari kamili:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Kutatua mlinganyo $a+x=b$, ambapo $a$ na $b$ zinajulikana nambari asilia, na $x$ ni nambari asilia isiyojulikana, inahitaji kuanzishwa kwa operesheni mpya - kutoa(-). Ikiwa kuna nambari asilia $x$ inayotosheleza mlingano huu, basi $x=b-a$. Walakini, mlinganyo huu sio lazima uwe na suluhu kwenye seti $\mathbb(N)$, kwa hivyo mazingatio ya vitendo yanahitaji kupanua seti ya nambari asilia ili kujumuisha masuluhisho ya mlinganyo kama huo. Hii inasababisha kuanzishwa kwa seti ya nambari kamili: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Kwa kuwa $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, ni jambo la busara kudhani kwamba shughuli zilizoanzishwa hapo awali $+$ na $\cdot$ na mahusiano $ 1. $0+a=a+0=a$ kuna kipengele cha neutral kwa kuongeza
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ ipo nambari kinyume$-a$ kwa $a$

Mali 5:
5. ikiwa $0\leq a$ na $0\leq b$, basi $0\leq a\cdot b$

Seti $\mathbb(Z)$ pia imefungwa chini ya operesheni ya kutoa, yaani, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Nambari za busara $\mathbb(Q)$

Mifano ya nambari za busara:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Sasa fikiria milinganyo ya fomu $a\cdot x=b$, ambapo $a$ na $b$ zinajulikana nambari kamili, na $x$ haijulikani. Ili suluhisho liwezekane, inahitajika kuanzisha operesheni ya mgawanyiko ($:$), na suluhisho inachukua fomu $x=b:a$, ambayo ni, $x=\frac(b)(a)$. . Tena shida inatokea kwamba $x$ sio kila wakati $\mathbb(Z)$, kwa hivyo seti ya nambari zinahitaji kupanuliwa. Hii inatanguliza seti ya nambari za mantiki $\mathbb(Q)$ zenye vipengele $\frac(p)(q)$, ambapo $p\in \mathbb(Z)$ na $q\in \mathbb(N)$. Seti ya $\mathbb(Z)$ ni sehemu ndogo ambayo kila kipengele $q=1$, kwa hivyo $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ na shughuli za kuongeza na kuzidisha zinaenea hadi seti hii kulingana na sheria zifuatazo, ambazo huhifadhi mali zote hapo juu kwenye seti $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Mgawanyiko umeanzishwa kama ifuatavyo:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Kwenye seti $\mathbb(Q)$, equation $a\cdot x=b$ ina suluhu la kipekee kwa kila $a\neq 0$ (mgawanyiko kwa sifuri haujafafanuliwa). Hii inamaanisha kuwa kuna kipengele kinyume $\frac(1)(a)$ au $a^(-1)$:
$(\forall a\katika \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\lipo \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Agizo la seti $\mathbb(Q)$ linaweza kupanuliwa kama ifuatavyo:
$\frac(p_1)(q_1)

Seti $\mathbb(Q)$ ina mali moja muhimu: kati ya nambari mbili za busara kuna nambari zingine nyingi za busara, kwa hivyo, hakuna nambari mbili za busara zinazokaribiana, tofauti na seti za nambari asilia na nambari kamili.

Nambari zisizo na mantiki $\mathbb(I)$

Mifano ya nambari zisizo na mantiki:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \takriban 1.41422135...$
$\pi\takriban 3.1415926535...$

Kwa kuwa kati ya nambari zozote mbili za busara kuna nambari zingine nyingi za busara, ni rahisi kuhitimisha kimakosa kwamba seti ya nambari za busara ni mnene sana kwamba hakuna haja ya kuipanua zaidi. Hata Pythagoras alifanya makosa kama hayo wakati wake. Walakini, watu wa wakati wake tayari walikanusha hitimisho hili wakati wa kusoma masuluhisho ya equation $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) kwenye seti ya nambari za busara. Ili kutatua equation hiyo, ni muhimu kuanzisha dhana ya mizizi ya mraba, na kisha suluhisho la equation hii ina fomu $x=\sqrt(2)$. Mlinganyo kama $x^2=a$, ambapo $a$ ni nambari ya kimantiki inayojulikana na $x$ ni nambari isiyojulikana, huwa haina suluhu katika seti ya nambari za mantiki, na tena hitaji linatokea la kupanua wigo. kuweka. Seti ya nambari zisizo na mantiki hutokea, na nambari kama vile $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... ni za seti hii.

Nambari halisi $\mathbb(R)$

Muungano wa seti za nambari za busara na zisizo na maana ni seti ya nambari halisi. Kwa kuwa $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, ni busara tena kudhani kuwa shughuli na mahusiano ya hesabu yaliyoletwa huhifadhi mali zao kwenye seti mpya. Uthibitisho rasmi wa hii ni ngumu sana, kwa hivyo mali zilizotajwa hapo juu za shughuli za hesabu na uhusiano kwenye seti ya nambari halisi huletwa kama axioms. Katika algebra, kitu kama hicho huitwa uwanja, kwa hivyo seti ya nambari halisi inasemekana kuwa uwanja ulioamuru.

Ili ufafanuzi wa seti ya nambari halisi ikamilike, ni muhimu kuanzisha axiom ya ziada ambayo inatofautisha seti $\mathbb(Q)$ na $\mathbb(R)$. Tuseme kwamba $S$ ni sehemu ndogo isiyo tupu ya seti ya nambari halisi. Kipengele $b\in \mathbb(R)$ kinaitwa kikomo cha juu cha seti $S$ ikiwa $\forall x\in S$ inashikilia $x\leq b$. Kisha tunasema kwamba seti ya $S $ imefungwa hapo juu. Upeo mdogo zaidi wa juu wa seti $S$ unaitwa supremum na unaashiria $\sup S$. Dhana za ufungaji wa chini, zilizowekwa chini, na infinum $\inf S$ zinaletwa vile vile. Sasa axiom inayokosekana imeundwa kama ifuatavyo:

Seti ndogo yoyote isiyo tupu na yenye mipaka ya juu ya seti ya nambari halisi ina kiwango cha juu zaidi.
Inaweza pia kuthibitishwa kuwa uwanja wa nambari halisi zilizofafanuliwa kwa njia iliyo hapo juu ni ya kipekee.

Nambari tata$\mathbb(C)$

Mifano ya nambari changamano:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ ambapo $i = \sqrt(-1)$ au $i^2 = -1$

Seti ya nambari changamano inawakilisha jozi zote zilizopangwa za nambari halisi, ambayo ni, $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, ambayo shughuli za kuongeza na kuzidisha hufafanuliwa kama ifuatavyo:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Kuna aina kadhaa za kuandika nambari changamano, ambazo zinazojulikana zaidi ni $z=a+ib$, ambapo $(a,b)$ ni jozi ya nambari halisi, na nambari $i=(0,1)$ inaitwa kitengo cha kufikiria.

Ni rahisi kuonyesha kuwa $i^2=-1$. Kupanua seti $\mathbb(R)$ kwa seti $\mathbb(C)$ huturuhusu kubainisha mzizi wa mraba wa nambari hasi, ambayo ilikuwa sababu ya kuanzisha seti ya nambari changamano. Pia ni rahisi kuonyesha kuwa sehemu ndogo ya seti $\mathbb(C)$, iliyotolewa na $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, hutosheleza axioms zote za nambari halisi, kwa hivyo $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, au $R\subset\mathbb(C)$.

Muundo wa aljebra wa seti $\mathbb(C)$ kuhusiana na utendakazi wa kujumlisha na kuzidisha una sifa zifuatazo:
1. kubadilika kwa kujumlisha na kuzidisha
2. ushirikiano wa kuongeza na kuzidisha
3. $0+i0$ - kipengele cha upande wowote cha kuongeza
4. $1+i0$ - kipengele cha upande wowote cha kuzidisha
5. Kuzidisha ni kusambaza kwa heshima na kuongeza
6. Kuna kinyume kimoja cha kujumlisha na kuzidisha.

Sio shughuli zote zinazozingatiwa katika aljebra zinazowezekana katika uwanja wa nambari za busara. Mfano ni operesheni ya mizizi ya mraba. Kwa hivyo, ikiwa usawa unashikilia maadili ya , basi usawa haushiki kwa dhamana yoyote ya busara. Kwanza, tunaona kwamba nambari kamili haiwezi kuwa na mraba sawa na 2: kwa kuwa tuna na kwa hakika ni kubwa kuliko 2. Hebu sasa tuchukue kwamba sehemu ni: (sehemu inachukuliwa kuwa haiwezi kupunguzwa) na

Kwa hivyo lazima tuwe na nambari sawa (vinginevyo mraba haungekuwa sawa). Hebu tuweke.

Sasa inageuka kuwa na ni sawa, ambayo inapingana na dhana kwamba sehemu hiyo haiwezi kupunguzwa.

Hii inaonyesha kuwa katika uwanja wa nambari za busara nambari 2 haiwezi kuwa na mizizi ya mraba, ishara haina maana katika uwanja wa nambari za busara. Wakati huo huo, kazi: "tafuta upande wa mraba, ukijua kuwa eneo lake ni sawa na S" ni asili tu na kama na shida zingine zinazofanana ni kupanua zaidi dhana ya nambari, kuanzisha aina mpya ya nambari - nambari zisizo na maana.

Wacha tuonyeshe jinsi ya kutambulisha nambari zisizo na maana kwa kutumia mfano wa shida ya kuchimba mzizi wa mraba wa nambari 2; kwa urahisi tutajiwekea kikomo thamani chanya mzizi

Kwa kila nambari chanya ya kimantiki, moja ya ukosefu wa usawa au Ni wazi,. Kisha tunazingatia nambari na kupata mbili jirani kati yao na mali ambayo ya kwanza ina mraba chini ya mbili, na ya pili ina mraba zaidi ya mbili. Yaani, Vile vile, tukiendelea na mchakato huu, tunapata mfululizo wa kukosekana kwa usawa (ili kupata sehemu za desimali zilizoandikwa hapa, unaweza pia kutumia algoriti inayojulikana kwa takriban uchimbaji wa mizizi ya mraba, hatua ya 13):

Kwa kulinganisha kwanza sehemu zote, na kisha nambari ya kwanza, ya pili, ya tatu, n.k baada ya nambari ya decimal ya nambari za busara, kati ya miraba ambayo kuna 2, tunaweza kuandika kwa mpangilio maeneo haya ya desimali:

Mchakato wa kutafuta jozi za nambari za busara (zilizoonyeshwa kama sehemu ndogo za desimali) ambazo hutofautiana kwa kuongeza m zinaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Kwa hivyo, tunaweza kuzingatia sehemu (6.1) kama sehemu ya desimali isiyo na kikomo (isiyo ya muda, kwani ikiwa mara kwa mara ingewakilisha nambari ya busara).

Sehemu hii isiyo na kikomo isiyo ya muda, idadi yoyote ya maeneo ya desimali ambayo tunaweza kuandika, lakini ambayo haiwezekani kuandika ishara zote kwa wakati mmoja, inachukuliwa kama nambari sawa na (yaani, nambari ambayo mraba wake ni wa mraba). ni sawa na 2).

Tunawakilisha thamani hasi ya mzizi wa mraba wa mbili kama

au, kwa kutumia fomu ya bandia kuandika nambari katika fomu

Hebu sasa tujulishe ufafanuzi ufuatao: nambari isiyo na mantiki ni sehemu yoyote isiyo na kikomo ya desimali isiyo ya muda

ambapo a ni sehemu ya kutengeneza nambari (inaweza kuwa chanya, sawa na sifuri au hasi), na ni sehemu za desimali (tarakimu) za sehemu yake ya sehemu.

Imepewa isiyo na mwisho sehemu isiyo ya mara kwa mara Nambari isiyo na mantiki inafafanua mifuatano miwili ya sehemu za desimali zenye ukomo, zinazoitwa ukadiriaji wa desimali a kwa upungufu na kwa ziada:

Kwa mfano, kwa sisi kuandika

nk Hapa, kwa mfano, 1.41 ni ukadiriaji wa desimali na usahihi wa 0.01 kwa upungufu, na 1.42 kwa ziada.

Rekodi ya ukosefu wa usawa kati ya nambari isiyo na mantiki na makadirio ya desimali imejumuishwa katika ufafanuzi hasa wa dhana ya nambari isiyo na mantiki na inaweza kutumika kama msingi wa kubainisha uhusiano wa "zaidi ya" na "chini ya" kwa nambari zisizo na mantiki.

Uwezekano wa kuwakilisha nambari zisizo na mantiki kwa ukadiriaji wa desimali unaozidi kuwa sahihi pia unatokana na ufafanuzi wa shughuli za hesabu kwenye nambari zisizo na mantiki, ambazo kwa kweli hufanywa kwa makadirio yao yasiyo na mantiki kwa upungufu au ziada.

Vitendo vingi husababisha nambari zisizo na mantiki, kama vile kuchukua mzizi wa nguvu kutoka kwa nambari ya kimantiki (ikiwa haiwakilishi nguvu ya nambari nyingine ya kimantiki), logariti, n.k. Nambari isiyo na mantiki ni sawa na uwiano wa nambari ya kimantiki. mduara wa duara kwa kipenyo chake (kipengee 229).

Nambari zote za kimantiki na zisizo na mantiki kwa pamoja huunda seti ya nambari halisi (au halisi). Kwa hivyo, kila sehemu ya desimali, yenye kikomo au isiyo na kikomo (ya muda au isiyo ya muda), daima huamua nambari halisi.

Kila nambari halisi isipokuwa sifuri ni chanya au hasi.

Katika suala hili, hebu tukumbuke ufafanuzi ufuatao. Thamani kamili au moduli ya nambari halisi a ni nambari inayofafanuliwa kwa usawa a if

Kwa hivyo, moduli sio nambari hasi sawa na nambari hii yenyewe (mstari wa juu wa usawa); moduli ya nambari hasi ni sawa na nambari hii iliyochukuliwa kutoka ishara kinyume(mstari wa chini). Kwa mfano,

Kutoka kwa ufafanuzi wa moduli inafuata kwamba moduli ya nambari yoyote ni nambari isiyo ya hasi; ikiwa moduli ya nambari ni sawa na sifuri, basi nambari yenyewe ni sawa na sifuri katika hali zingine, moduli ni chanya.

Nambari halisi huunda uwanja wa nambari - uwanja wa nambari halisi: matokeo hatua ya busara juu ya nambari halisi inaonyeshwa tena kama nambari halisi. Kumbuka kuwa nambari zisizo na mantiki zinazochukuliwa kila moja hazifanyi uwanja au hata pete: kwa mfano, jumla ya nambari mbili zisizo na mantiki ni sawa na nambari ya busara 3.

Yetu insha fupi maendeleo ya dhana ya nambari, iliyojengwa kulingana na mpango

tutamalizia kwa kubainisha mengi zaidi mali muhimu makusanyo ya nambari halisi.

1. Nambari halisi huunda uwanja.

2. Uendeshaji kwenye nambari halisi unategemea sheria za kawaida(kwa mfano, kuongeza na kuzidisha - sheria za commutativity, associativity, distributivity, aya ya 1).

3. Kwa nambari zozote mbili halisi a na b, moja na moja tu kati ya uhusiano tatu hushikilia: a ni kubwa kuliko b (a > b), na ni chini ya , na ni sawa na . Kwa hiyo, wanasema kwamba seti ya nambari halisi imeagizwa.

4. Hatimaye, ni desturi kusema kwamba seti ya nambari halisi ina mali ya kuendelea. Maana iliyotolewa kwa usemi huu imeelezewa katika aya ya 8. Ni mali hii ambayo inatofautisha kwa kiasi kikubwa uwanja wa nambari halisi kutoka kwa uwanja wa nambari za busara.