Mali ya kuendelea ya seti ya nambari halisi. Axioms ya nambari halisi

Encyclopedic YouTube

1 / 5

✪ Axiomatics ya nambari halisi

✪ Utangulizi. Nambari halisi | matan #001 | Boris Trushin +

✪ Kanuni ya sehemu zilizowekwa kiota | matan #003 | Boris Trushin!

✪ Kanuni mbalimbali za mwendelezo | matan #004 | Boris Trushin!

✪ Axiom ya mwendelezo. Kanuni ya Cantor ya kupunguzwa kwa viota

Manukuu

Axiom ya mwendelezo

Pendekezo lifuatalo labda ni rahisi zaidi na linalofaa zaidi kwa uundaji wa maombi ya sifa ya kuendelea ya nambari halisi. Katika ujenzi wa axiomatic wa nadharia ya nambari halisi, taarifa hii, au sawa nayo, hakika imejumuishwa katika idadi ya axioms ya nambari halisi.

Axiom ya kuendelea (ukamilifu). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) ) na B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) ) na ukosefu wa usawa umeridhika, kuna idadi hiyo halisi ξ (\mtindo wa kuonyesha \xi ) hiyo kwa kila mtu a ∈ A (\mtindo wa kuonyesha a\katika A) na b ∈ B (\mtindo wa kuonyesha b\katika B) kuna uhusiano

Kijiometri, ikiwa tunachukulia nambari halisi kama vidokezo kwenye mstari ulionyooka, kauli hii inaonekana dhahiri. Ikiwa seti mbili A (\mtindo wa kuonyesha A) na B (\mtindo wa kuonyesha B) ni kwamba kwenye safu ya nambari vitu vyote vya moja viko upande wa kushoto wa vitu vyote vya pili, basi kuna nambari. ξ (\mtindo wa kuonyesha \xi ), kutenganisha seti hizi mbili, yaani, zinazolala upande wa kulia wa vipengele vyote A (\mtindo wa kuonyesha A)(isipokuwa labda ξ (\mtindo wa kuonyesha \xi )) na upande wa kushoto wa vipengele vyote B (\mtindo wa kuonyesha B)(kifungu sawa).

Ikumbukwe hapa kwamba licha ya "dhahiri" ya mali hii, kwa idadi ya busara sio kuridhika kila wakati. Kwa mfano, fikiria seti mbili:

A = ( x ∈ Swali: x > 0 , x 2< 2 } , B = { x ∈ Q: x >0 , x 2 > 2 ) (\displaystyle A=$x\in \mathbb (Q) :x>0,\;x^(2)<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^(2)>2$)

Ni rahisi kuona hiyo kwa vipengele vyovyote a ∈ A (\mtindo wa kuonyesha a\katika A) na b ∈ B (\mtindo wa kuonyesha b\katika B) ukosefu wa usawa a< b {\displaystyle a. Hata hivyo busara nambari ξ (\mtindo wa kuonyesha \xi ), kutenganisha seti hizi mbili, haipo. Kwa kweli, nambari hii inaweza tu kuwa 2 (\mtindo wa kuonyesha (\sqrt (2))), lakini sio mantiki.

Jukumu la axiom ya kuendelea katika ujenzi wa uchambuzi wa hisabati

Umuhimu wa axiom ya kuendelea ni kwamba bila hiyo ujenzi mkali wa uchambuzi wa hisabati hauwezekani. Kwa mfano, tunawasilisha taarifa kadhaa za msingi za uchambuzi, uthibitisho ambao unategemea kuendelea kwa nambari halisi:

(Nadharia ya Weierstrass). Kila mlolongo unaopakana wa kuongezeka kwa monotonically hukutana
(Theorem Bolzano - Cauchy). Chaguo za kukokotoa zinazoendelea kwenye sehemu inayochukua thamani za ishara tofauti kwenye ncha zake hupotea katika sehemu fulani ya ndani ya sehemu hiyo.
(Kuwepo kwa nguvu, kielelezo, logarithmic na kazi zote za trigonometric kwenye kikoa kizima cha ufafanuzi wa "asili"). Kwa mfano, imethibitishwa kuwa kwa kila mtu a > 0 (\displaystyle a>0) na nzima n ⩾ 1 (\mtindo wa kuonyesha n\geqslant 1) kuwepo n (\mtindo wa kuonyesha (\sqrt[(n)](a))), yaani, suluhisho la equation x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Hii hukuruhusu kuamua thamani ya usemi kwa mantiki yote x (\mtindo wa kuonyesha x):

A m / n = (a n) m (\mtindo wa kuonyesha a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\kulia)^(m))

Hatimaye, tena kutokana na kuendelea kwa mstari wa nambari, tunaweza kuamua thamani ya kujieleza a x (\mtindo wa kuonyesha a^(x)) tayari kwa kiholela x ∈ R (\mtindo wa kuonyesha x\katika \mathbb (R)). Vile vile, kwa kutumia mali ya mwendelezo, tunathibitisha kuwepo kwa nambari weka ⁡ b (\mtindo wa kuonyesha \logi _(a)(b)) kwa yoyote a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Kwa kipindi kirefu cha kihistoria, wanahisabati walithibitisha nadharia kutoka kwa uchambuzi, katika "maeneo nyembamba" akimaanisha uhalali wa kijiometri, na mara nyingi zaidi waliruka kabisa, kwani ilikuwa dhahiri. Dhana muhimu ya mwendelezo ilitumiwa bila ufafanuzi wowote wazi. Ilikuwa tu katika theluthi ya mwisho ya karne ya 19 ambapo mwanahisabati Mjerumani Karl Weierstrass alitoa hesabu ya uchanganuzi, akiunda nadharia ya kwanza kali ya nambari halisi kama sehemu za desimali zisizo na kikomo. Alipendekeza ufafanuzi wa kitamaduni wa kikomo katika lugha ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta), imethibitisha idadi ya taarifa ambazo zilizingatiwa "dhahiri" mbele yake, na hivyo kukamilisha ujenzi wa msingi wa uchambuzi wa hisabati.

Baadaye, mbinu nyingine za ufafanuzi wa nambari halisi zilipendekezwa. Katika mkabala wa aksiomatiki, mwendelezo wa nambari halisi hubainishwa kwa uwazi kama aksiom tofauti. Katika mbinu za kujenga za nadharia ya nambari halisi, kwa mfano, wakati wa kuunda nambari halisi kwa kutumia sehemu za Dedekind, mali ya mwendelezo (katika uundaji mmoja au mwingine) inathibitishwa kama nadharia.

Taarifa Nyingine za Mali ya Mwendelezo na Mapendekezo Sawa

Kuna taarifa kadhaa tofauti zinazoonyesha sifa ya mwendelezo wa nambari halisi. Kila moja ya kanuni hizi zinaweza kuchukuliwa kama msingi wa kuunda nadharia ya nambari halisi kama mshale wa mwendelezo, na zingine zote zinaweza kutolewa kutoka kwayo. Suala hili linajadiliwa kwa undani zaidi katika sehemu inayofuata.

Mwendelezo kulingana na Dedekind

Swali la kuendelea kwa idadi halisi Dedekind inazingatia katika kazi yake "Kuendelea na nambari zisizo na maana" . Ndani yake, analinganisha nambari za busara na vidokezo kwenye mstari wa moja kwa moja. Kama unavyojua, kati ya nambari za busara na vidokezo vya mstari wa moja kwa moja, unaweza kuanzisha mawasiliano wakati sehemu ya kuanzia na kitengo cha kipimo cha sehemu huchaguliwa kwenye mstari wa moja kwa moja. Kwa msaada wa mwisho, kwa kila nambari ya busara a (\mtindo wa kuonyesha a) jenga sehemu inayolingana, na kuiweka kando kulia au kushoto, kulingana na ikiwa kuna a (\mtindo wa kuonyesha a) nambari chanya au hasi, pata uhakika p (\mtindo wa maonyesho p) sambamba na nambari a (\mtindo wa kuonyesha a). Kwa hivyo kila nambari ya busara a (\mtindo wa kuonyesha a) inalingana na pointi moja na moja pekee p (\mtindo wa maonyesho p) kwenye mstari wa moja kwa moja.

Inabadilika kuwa kuna alama nyingi kwenye mstari ambazo hazihusiani na nambari yoyote ya busara. Kwa mfano, hatua iliyopatikana kwa kupanga urefu wa diagonal ya mraba iliyojengwa kwenye sehemu ya kitengo. Kwa hivyo, eneo la nambari za busara hazina hiyo ukamilifu, au mwendelezo, ambayo ni asili katika mstari ulionyooka.

Ili kujua mwendelezo huu unajumuisha nini, Dedekind anatoa maoni yafuatayo. Ikiwa a p (\mtindo wa maonyesho p) ni hatua fulani ya mstari, basi pointi zote za mstari huanguka katika madarasa mawili: pointi ziko upande wa kushoto p (\mtindo wa maonyesho p), na kuelekeza kulia p (\mtindo wa maonyesho p). uhakika sana p (\mtindo wa maonyesho p) inaweza kugawiwa kiholela kwa tabaka la chini au la juu. Dedekind anaona kiini cha mwendelezo katika kanuni ya kinyume:

Kijiometri, kanuni hii inaonekana wazi, lakini hatuko katika nafasi ya kuthibitisha. Dedekind anasisitiza kwamba, kimsingi, kanuni hii ni postulate, ambayo inaelezea kiini cha mali hiyo inayohusishwa na mstari wa moja kwa moja, ambao tunauita kuendelea.

Ili kuelewa vyema kiini cha mwendelezo wa mstari wa nambari kwa maana ya Dedekind, fikiria sehemu ya kiholela ya seti ya nambari halisi, ambayo ni, mgawanyiko wa nambari zote halisi katika madarasa mawili yasiyo tupu, ili nambari zote darasa moja liko kwenye mstari wa nambari upande wa kushoto wa nambari zote za pili. Madarasa haya yanaitwa kwa mtiririko huo chini na madarasa ya juu sehemu. Kinadharia, kuna uwezekano 4:

Darasa la chini lina kipengele cha juu, tabaka la juu halina kiwango cha chini
Darasa la chini halina kipengee cha juu zaidi, wakati darasa la juu lina kiwango cha chini
Daraja la chini lina kipengele cha juu zaidi na cha juu kina kipengele cha chini zaidi.
Darasa la chini halina kiwango cha juu na cha juu zaidi hakina kiwango cha chini.

Katika kesi ya kwanza na ya pili, kipengele cha juu cha kipengele cha chini au cha chini cha juu, kwa mtiririko huo, hutoa sehemu hii. Katika kesi ya tatu tunayo kuruka, na ya nne nafasi. Kwa hivyo, mwendelezo wa nambari ya nambari inamaanisha kuwa hakuna kuruka au mapungufu katika seti ya nambari halisi, ambayo ni kusema kwa mfano, hakuna voids.

Pendekezo hili pia ni sawa na kanuni ya mwendelezo ya Dedekind. Zaidi ya hayo, inaweza kuonyeshwa kuwa taarifa ya nadharia ya infimum inafuata moja kwa moja kutoka kwa uthibitisho wa nadharia kuu, na kinyume chake (tazama hapa chini).

Lema ya kifuniko cha mwisho (kanuni ya Heine-Borel)

Filamu Jalada Lema (Heine - Borel). Katika mfumo wowote wa vipindi vinavyofunika sehemu, kuna mfumo mdogo wa kikomo unaofunika sehemu hii.

Lema ya pointi ya kikomo (kanuni ya Bolzano-Weierstrass)

Kikomo Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Kila nambari isiyo na mipaka iliyowekwa ina angalau alama moja ya kikomo.. Kundi la pili linaonyesha ukweli kwamba seti ya nambari halisi ni , na uhusiano wa utaratibu ni sawa na shughuli za msingi za shamba. Kwa hivyo, vikundi vya kwanza na vya pili vya axioms inamaanisha kuwa seti ya nambari halisi ni uwanja uliopangwa. Kundi la tatu la axioms lina axiom moja - axiom ya kuendelea (au ukamilifu).

Ili kuonyesha usawa wa uundaji tofauti wa kuendelea kwa nambari halisi, mtu lazima athibitishe kwamba ikiwa mojawapo ya mapendekezo haya yanashikilia shamba lililoagizwa, basi wengine wote ni kweli.

Nadharia. Wacha iwe mpangilio uliopangwa holela . Kauli zifuatazo ni sawa:

Chochote kisicho tupu kinaweka na B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf (R))), hivi kwamba kwa vipengele vyovyote viwili a ∈ A (\mtindo wa kuonyesha a\katika A) na b ∈ B (\mtindo wa kuonyesha b\katika B) ukosefu wa usawa a ⩽ b (\mtindo wa kuonyesha a\leqslant b), kuna kipengele kama hicho ξ ∈ R (\mtindo wa kuonyesha \xi \katika (\mathsf (R))) hiyo kwa kila mtu a ∈ A (\mtindo wa kuonyesha a\katika A) na b ∈ B (\mtindo wa kuonyesha b\katika B) kuna uhusiano a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
Kwa sehemu yoyote katika R (\mtindo wa kuonyesha (\mathsf (R))) kuna kipengele kinachozalisha sehemu hii
Kila seti isiyo tupu imepakana juu A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) ina ukuu
Kila seti isiyo tupu imepakana chini A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) ina infimum

Kama inavyoonekana kutoka kwa nadharia hii, sentensi hizi nne hutumia tu kile kilichowashwa R (\mtindo wa kuonyesha (\mathsf (R))) ilianzisha uhusiano wa mpangilio wa mstari, na usitumie muundo wa shamba. Kwa hivyo, kila mmoja wao anaonyesha mali R (\mtindo wa kuonyesha (\mathsf (R))) kama seti iliyoagizwa kwa mstari. Sifa hii (ya seti ya kiholela iliyoagizwa kwa mpangilio, sio lazima seti ya nambari halisi) inaitwa. mwendelezo, au ukamilifu, kulingana na Dedekind.

Kuthibitisha usawa wa sentensi zingine tayari kunahitaji muundo wa uwanja.

Nadharia. Hebu iwe R (\mtindo wa kuonyesha (\mathsf (R)))- uwanja ulioamriwa kiholela. Sentensi zifuatazo ni sawa:

Maoni. Kama inavyoonekana kutoka kwa nadharia, kanuni ya sehemu zilizowekwa ndani yenyewe sio sawa Kanuni ya mwendelezo ya Dedekind. Kanuni ya sehemu zilizowekwa kwenye kiota hufuata kutoka kwa kanuni ya mwendelezo ya Dedekind, lakini kwa wanaozungumza inahitajika pia kwamba sehemu iliyoagizwa .

Mpango:

1 Axiom ya mwendelezo
2 Jukumu la axiom ya kuendelea katika ujenzi wa uchambuzi wa hisabati
3 Taarifa Nyingine za Mali ya Mwendelezo na Mapendekezo Sawa
- 3.1 Mwendelezo kulingana na Dedekind
- 3.2 Lemma kwenye sehemu zilizowekwa (kanuni ya Cauchy-Cantor)
- 3.3 Kanuni ya hali ya juu
- 3.4 Lema ya kifuniko cha mwisho (kanuni ya Heine-Borel)
- 3.5 Lema ya pointi ya kikomo (kanuni ya Bolzano-Weierstrass)
4 Usawa wa sentensi zinazoonyesha mwendelezo wa seti ya nambari halisi

Utangulizi

Mwendelezo wa nambari halisi- mali ya mfumo wa nambari halisi, ambayo seti ya nambari za busara hazina. Wakati mwingine, badala ya kuendelea, wanazungumza ukamilifu wa mfumo wa nambari halisi. Kuna uundaji kadhaa tofauti wa sifa ya mwendelezo, inayojulikana zaidi ambayo ni: Kanuni ya Dedekind ya mwendelezo wa nambari halisi, kanuni ya makundi nested Cauchy - Cantor, nadharia kuu. Kulingana na ufafanuzi unaokubalika wa nambari halisi, sifa ya mwendelezo inaweza kuwekwa kama axiom - katika muundo mmoja au mwingine, au kuthibitishwa kama nadharia.

1. Axiom ya kuendelea

Mchoro wa kijiometri wa axiom ya mwendelezo

Axiom ya kuendelea (ukamilifu). Chochote ambacho zisizo tupu huweka na , ili kwamba kwa vipengele vyovyote viwili na ukosefu wa usawa unashikilia, kuna nambari ξ ambayo kwa wote na uhusiano unashikilia.

Kijiometri, ikiwa tunachukulia nambari halisi kama vidokezo kwenye mstari ulionyooka, kauli hii inaonekana dhahiri. Ikiwa seti mbili A na B ni kwamba kwenye safu ya nambari vitu vyote vya moja viko upande wa kushoto wa vitu vyote vya pili, basi kuna nambari ξ, kutenganisha seti hizi mbili, yaani, zinazolala upande wa kulia wa vipengele vyote A(isipokuwa, labda, ξ yenyewe) na upande wa kushoto wa vitu vyote B(kifungu sawa).

Ikumbukwe hapa kwamba licha ya "dhahiri" ya mali hii, kwa idadi ya busara sio kuridhika kila wakati. Kwa mfano, fikiria seti mbili:

Ni rahisi kuona hiyo kwa vipengele vyovyote na usawa a < b. Hata hivyo busara hakuna nambari ξ inayotenganisha seti hizi mbili. Kwa kweli, nambari hii inaweza tu kuwa, lakini sio busara.

2. Jukumu la axiom ya kuendelea katika ujenzi wa uchambuzi wa hisabati

Umuhimu wa axiom ya kuendelea ni kwamba bila hiyo ujenzi mkali wa uchambuzi wa hisabati hauwezekani. Kwa mfano, tunawasilisha taarifa kadhaa za msingi za uchanganuzi, uthibitisho ambao unategemea mwendelezo wa nambari halisi:

Hatimaye, tena kutokana na kuendelea kwa mstari wa nambari, tunaweza kuamua thamani ya kujieleza a x tayari kwa kiholela. Vile vile, kwa kutumia mali ya kuendelea, tunathibitisha kuwepo kwa logi ya nambari a b kwa yoyote.

Kwa kipindi kirefu cha kihistoria, wanahisabati walithibitisha nadharia kutoka kwa uchambuzi, katika "maeneo nyembamba" yanayorejelea uhalalishaji wa kijiometri, na mara nyingi zaidi waliruka kabisa kwa sababu ilikuwa dhahiri. Dhana muhimu ya mwendelezo ilitumiwa bila ufafanuzi wowote wazi. Ni katika theluthi moja tu ya mwisho ya karne ya 19 ambapo mwanahisabati Mjerumani Karl Weierstrass alitoa hesabu ya uchanganuzi, akiunda nadharia ya kwanza kali ya nambari halisi kama sehemu za desimali zisizo na kikomo. Alipendekeza ufafanuzi wa classical wa kikomo katika lugha, alithibitisha idadi ya taarifa ambazo zilizingatiwa "dhahiri" mbele yake, na hivyo kukamilisha msingi wa uchambuzi wa hisabati.

3. Miundo mingine ya sifa ya mwendelezo na mapendekezo sawa

3.1. Mwendelezo kulingana na Dedekind

Swali la mwendelezo wa nambari halisi linazingatiwa na Dedekind katika kazi yake ya Mwendelezo na Nambari zisizo na maana. Ndani yake, analinganisha nambari za busara na pointi za mstari wa moja kwa moja. Kama unavyojua, mawasiliano yanaweza kuanzishwa kati ya nambari za busara na vidokezo vya mstari wa moja kwa moja wakati sehemu ya kuanzia na kitengo cha kipimo cha sehemu huchaguliwa kwa mstari wa moja kwa moja. Kwa msaada wa mwisho, kwa kila nambari ya busara a jenga sehemu inayolingana, na kuiweka kando kulia au kushoto, kulingana na ikiwa kuna a nambari chanya au hasi, pata uhakika uk sambamba na nambari a. Kwa hivyo kila nambari ya busara a inalingana na pointi moja na moja pekee uk kwenye mstari wa moja kwa moja.

Ili kujua mwendelezo huu unajumuisha nini, Dedekind anatoa maoni yafuatayo. Ikiwa a uk ni hatua fulani ya mstari, basi pointi zote za mstari huanguka katika madarasa mawili: pointi ziko upande wa kushoto uk, na kuelekeza kulia uk. uhakika sana uk inaweza kugawiwa kiholela kwa tabaka la chini au la juu. Dedekind anaona kiini cha mwendelezo katika kanuni ya kinyume:

Darasa la chini lina kipengele cha juu, darasa la juu halina kiwango cha chini
Darasa la chini halina kipengee cha juu zaidi, wakati darasa la juu lina kiwango cha chini
Daraja la chini lina kipengele cha juu zaidi na cha juu kina kipengele cha chini zaidi.
Darasa la chini halina kiwango cha juu na cha juu zaidi hakina kiwango cha chini.

Ikiwa tutaanzisha dhana ya sehemu ya seti ya nambari halisi, basi kanuni ya mwendelezo ya Dedekind inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo.

Kanuni ya mwendelezo ya Dedekind (ukamilifu). Kwa kila sehemu ya seti ya nambari halisi, kuna nambari inayozalisha sehemu hii.

Maoni. Uundaji wa Axiom of Continuity kuhusu kuwepo kwa nukta inayotenganisha seti mbili unakumbusha sana uundaji wa kanuni ya mwendelezo ya Dedekind. Kwa kweli, kauli hizi ni sawa, na, kwa asili, ni uundaji tofauti wa kitu kimoja. Kwa hiyo, kauli hizi zote mbili zinaitwa kanuni ya mwendelezo wa nambari halisi kulingana na Dedekind.

3.2. Lemma kwenye sehemu zilizowekwa (kanuni ya Cauchy-Cantor)

Lemma kwenye sehemu zilizowekwa (Cauchy - Kantor). Mfumo wowote wa sehemu zilizowekwa

ina makutano yasiyo tupu, ambayo ni, kuna angalau nambari moja ambayo ni ya sehemu zote za mfumo uliopewa.

Ikiwa, kwa kuongeza, urefu wa sehemu za mfumo uliopewa huelekea sifuri, ambayo ni,

basi makutano ya makundi ya mfumo huu yana hatua moja.

Mali hii inaitwa mwendelezo wa seti ya nambari halisi kwa maana ya Cantor. Itaonyeshwa hapa chini kwamba kwa sehemu zilizoagizwa na Archimedean mwendelezo kulingana na Cantor ni sawa na mwendelezo kulingana na Dedekind.

3.3. Kanuni ya hali ya juu

Kanuni ya ukuu. Kila seti isiyo tupu ya nambari halisi iliyofungwa hapo juu ina kiwango cha juu zaidi.

Katika kozi za calculus, pendekezo hili kawaida ni nadharia, na uthibitisho wake hufanya matumizi makubwa ya kuendelea kwa seti ya nambari halisi kwa namna moja au nyingine. Wakati huo huo, kinyume chake, inawezekana kutangaza kuwepo kwa supremum kwa seti yoyote isiyo na tupu iliyofungwa kutoka juu, na kutegemea hili kuthibitisha, kwa mfano, kanuni ya kuendelea ya Dedekind. Kwa hivyo, theorem ya juu ni mojawapo ya uundaji sawa wa sifa ya kuendelea ya nambari halisi.

Maoni. Badala ya supremum, mtu anaweza kutumia dhana mbili ya infimum.

Kanuni ya infimum. Kila seti isiyo tupu ya nambari halisi iliyofungwa hapa chini ina infimum.

3.4. Lema ya kifuniko cha mwisho (kanuni ya Heine-Borel)

Filamu Jalada Lema (Heine - Borel). Katika mfumo wowote wa vipindi vinavyofunika sehemu, kuna mfumo mdogo wa kikomo unaofunika sehemu hii.

3.5. Lema ya pointi ya kikomo (kanuni ya Bolzano-Weierstrass)

Kikomo Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Kila nambari isiyo na mipaka iliyowekwa ina angalau alama moja ya kikomo.

4. Usawa wa sentensi zinazoonyesha mwendelezo wa seti ya nambari halisi

Hebu tutoe maelezo ya awali. Kwa mujibu wa ufafanuzi wa axiomatic wa nambari halisi, seti ya nambari halisi inakidhi makundi matatu ya axioms. Kundi la kwanza ni axioms za shamba. Kundi la pili linaonyesha ukweli kwamba mkusanyiko wa nambari halisi ni seti iliyoagizwa kwa mstari, na uhusiano wa utaratibu ni sawa na shughuli za msingi za shamba. Kwa hivyo, vikundi vya kwanza na vya pili vya axioms inamaanisha kuwa seti ya nambari halisi ni uwanja ulioamuru. Kundi la tatu la axioms lina axiom moja - axiom ya kuendelea (au ukamilifu).

Ili kuonyesha usawa wa uundaji tofauti wa kuendelea kwa nambari halisi, mtu lazima athibitishe kwamba ikiwa mojawapo ya mapendekezo haya yanashikilia shamba lililoagizwa, basi wengine wote ni kweli.

Nadharia. Hebu iwe seti ya kiholela iliyoagizwa kwa mpangilio. Kauli zifuatazo ni sawa:

Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa nadharia hii, mapendekezo haya manne yanatumia tu yale ambayo uhusiano wa mpangilio wa mstari umeanzisha na haitumii muundo wa shamba. Kwa hivyo, kila mmoja wao anaonyesha mali kama seti iliyoamriwa kwa mstari. Sifa hii (ya seti ya kiholela iliyoagizwa kwa mpangilio, sio lazima seti ya nambari halisi) inaitwa. mwendelezo, au ukamilifu, kulingana na Dedekind.

Kuthibitisha usawa wa sentensi zingine tayari kunahitaji muundo wa uwanja.

Nadharia. Hebu iwe uwanja ulioagizwa kiholela. Sentensi zifuatazo ni sawa:

Maoni. Kama inavyoonekana kutoka kwa nadharia, kanuni ya sehemu zilizowekwa ndani yenyewe sio sawa Kanuni ya mwendelezo ya Dedekind. Kanuni ya sehemu zilizowekwa kiota hufuata kutoka kwa kanuni ya mwendelezo ya Dedekind, lakini kwa mazungumzo inahitajika pia kwamba sehemu iliyoagizwa itimize axiom ya Archimedes.

Uthibitisho wa nadharia zilizo hapo juu unaweza kupatikana katika vitabu kutoka kwa biblia iliyotolewa hapa chini.

Vidokezo

Zorich, V.A. Uchambuzi wa hisabati. Sehemu ya I. - Mh. 4, iliyorekebishwa .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 43.
Kwa mfano, katika ufafanuzi wa axiomatic wa nambari halisi, kanuni ya mwendelezo wa Dedekind imejumuishwa katika idadi ya axioms, na katika ufafanuzi wa kujenga wa nambari halisi kwa kutumia sehemu za Dedekind, taarifa hiyo hiyo tayari ni nadharia - tazama kwa mfano. Fikhtengolts, G. M.
Kudryavtsev, L. D. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. - Toleo la 5. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
Kudryavtsev, L. D. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. - Toleo la 5. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
Zorich, V.A. Uchambuzi wa hisabati. Sehemu ya I. - Mh. 4, iliyorekebishwa .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 81.
Dedekind, R. Nambari za kuendelea na zisizo na mantiki - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - Toleo la 4 lililosahihishwa. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Fasihi

Kudryavtsev, L. D. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. - Toleo la 5. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1
Fikhtengolts, G. M. Misingi ya uchambuzi wa hisabati. - toleo la 7. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X
Dedekind, R. Nambari za kuendelea na zisizo na mantiki - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - Toleo la 4 lililosahihishwa. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p. , Turing ukamilifu, Weka kizigeu, Weka tofauti, Weka digrii.

Ufafanuzi wa sehemu zilizowekwa. Uthibitisho wa lema ya Cauchy-Cantor kwenye sehemu zilizowekwa.

Maudhui

Ufafanuzi wa sehemu zilizowekwa

Acha a na b ziwe nambari mbili halisi (). Wacha iende. Seti ya nambari x inayotosheleza usawa inaitwa sehemu yenye ncha a na b . Sehemu hiyo imewekwa alama kama hii:

Mlolongo wa sehemu za nambari

inayoitwa mlolongo sehemu zilizowekwa, ikiwa kila sehemu inayofuata iko katika ile iliyotangulia:
.
Hiyo ni, miisho ya sehemu imeunganishwa na usawa:
.

Lemma kwenye sehemu zilizowekwa (kanuni ya Cauchy-Cantor)

Kwa mlolongo wowote wa sehemu zilizowekwa, kuna sehemu ambayo ni ya sehemu hizi zote.
Ikiwa urefu wa sehemu huelekea sifuri:
,
basi kuna jambo moja tu kama hilo.

Lema hii pia inaitwa nadharia ya sehemu iliyoorodheshwa au Kanuni ya Cauchy-Cantor.

Ushahidi

Kwa ushahidi sehemu ya kwanza ya lema, tunatumia axiom ya utimilifu wa nambari halisi.

Axiom ya utimilifu wa nambari halisi ni kama ifuatavyo. Acha seti A na B ziwe vikundi viwili vidogo vya nambari halisi hivi kwamba ukosefu wa usawa ushikilie vipengele vyovyote viwili na seti hizi. Halafu kuna nambari halisi c ambayo kwa wote na ukosefu wa usawa unashikilia:
.

Wacha tuitumie axiom hii. Hebu seti A iwe seti ya ncha za kushoto za makundi, na seti B iwe seti ya ncha za kulia. Kisha usawa unashikilia kati ya vipengele viwili vya seti hizi. Halafu inafuata kutoka kwa msisitizo wa utimilifu wa nambari halisi kwamba kuna nambari c ambayo kwa wote n ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia:
.
Inamaanisha kuwa hatua c ni ya sehemu zote.

Hebu tuthibitishe sehemu ya pili ya lema.

Wacha iwe. Kulingana na ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo, hii inamaanisha kuwa kwa nambari yoyote chanya kuna nambari asilia N ambayo inategemea ε hivi kwamba kwa nambari zote asili n > N kutokuwa na usawa.
(1) .

Hebu tuchukulie kinyume. Acha kuwe na mambo mawili tofauti c 1 na c 2 , c 1 ≠ c2 mali ya makundi yote. Hii ina maana kwamba ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia kwa wote n:
;
.
Kutoka hapa
.
Kuomba (1) tunayo:
.
Ukosefu huu wa usawa lazima ushikilie kwa maadili yoyote chanya ya ε. Kwa hivyo inafuata hiyo
c 1 = c2.

Lema imethibitishwa.

Maoni

Uwepo wa hatua ya sehemu zote hufuata kutoka kwa axiom ya ukamilifu, ambayo ni halali kwa nambari halisi. Axiom hii haitumiki kwa nambari za busara. Kwa hivyo, lemma kwenye sehemu zilizowekwa kiota pia haitumiki kwa seti ya nambari za busara.

Kwa mfano, tunaweza kuchagua sehemu ili ncha za kushoto na kulia ziungane kuwa nambari isiyo na mantiki . Kisha nambari yoyote ya busara, na ongezeko la n, ingeweza kuanguka nje ya mfumo wa makundi. Nambari pekee ambayo ni ya sehemu zote ni nambari isiyo na mantiki.

Marejeleo:
O.V. Mashetani. Mihadhara juu ya uchambuzi wa hisabati. Sehemu ya 1. Moscow, 2004.

Katika kozi ya hisabati ya shule, nambari halisi ziliamua kwa njia ya kujenga, kulingana na haja ya kufanya vipimo. Ufafanuzi kama huo haukuwa mkali na mara nyingi uliongoza watafiti katika mwisho usiofaa. Kwa mfano, swali la kuendelea kwa nambari halisi, yaani, ikiwa kuna voids katika seti hii. Kwa hiyo, wakati wa kufanya utafiti wa hisabati, ni muhimu kuwa na ufafanuzi mkali wa dhana chini ya utafiti, angalau ndani ya mfumo wa mawazo fulani ya angavu (axioms) ambayo yanaendana na mazoezi.

Ufafanuzi. Seti ya vipengele x, y, z, ..., inayojumuisha zaidi ya kipengele kimoja, inaitwa seti R nambari halisi ikiwa shughuli na mahusiano yafuatayo yameanzishwa kwa vitu hivi:

Kundi la axioms ni axioms ya operesheni ya kuongeza.

kwa wingi R operesheni ya kuongeza imeanzishwa, yaani, kwa jozi yoyote ya vipengele a na b jumla na kuashiria a + b
mimi 1. a+b=b+a, a, b R .

mimi 2 . a+(b+c)=(a+b)+c,a, b, c R .

I 3. Kuna kipengele kama hicho kinachoitwa sufuri na kuashiria 0, ambayo kwa yoyote a R hali a+0=a.

mimi 4. Kwa kipengele chochote a R kuna kipengele kinaitwa yeye kinyume na kuashiria - a, kwa ajili yake a+(-a)=0. Kipengele a+(-b), a, b R , inaitwa tofauti vipengele a na b na kuashiria a - b.

II - kikundi cha axioms - axioms ya uendeshaji wa kuzidisha. kwa wingi R operesheni imeingia kuzidisha, yaani, kwa jozi yoyote ya vipengele a na b kipengele kimoja kinafafanuliwa, kinachoitwa kazi na kuashiria a b, ili masharti yafuatayo yatimizwe:
II 1 . ab=ba, a, b R .

II 2 a(bc)=(ab)c, a, b, c R .

II 3 . Kuna kipengele kinaitwa kitengo na imeonyeshwa na 1, ambayo kwa yoyote a R hali a 1=a.

II 4 . Kwa mtu yeyote a 0 kuna kipengele kinaitwa yeye kinyume na kuashiria na au 1/ a, kwa ajili yake a=1. Kipengele a , b 0, kuitwa Privat kutoka kwa mgawanyiko a kwenye b na kuashiria a:b au au a/b.

II 5 . Uhusiano kati ya shughuli za kuongeza na kuzidisha: kwa yoyote a, b, c R hali imefikiwa ( ac+b)c=ac+bc.

Seti ya vitu ambayo inakidhi axioms ya vikundi vya I na II inaitwa sehemu ya nambari au sehemu tu. Na axioms sambamba huitwa axioms ya shamba.

III - kundi la tatu la axioms - axioms ya utaratibu. Kwa vipengele R uhusiano wa utaratibu umefafanuliwa. Inajumuisha zifuatazo. Kwa vipengele vyovyote viwili tofauti a na b moja ya mahusiano mawili anashikilia: aidha a b(soma" a chini au sawa b"), au a b(soma" a zaidi au sawa b"). Hii inadhania kuwa masharti yafuatayo yametimizwa:

III 1. a a kwa kila mtu a. Kutoka a b, b inapaswa a=b.

III 2 . Upitishaji. Ikiwa a a b na b c, basi a c.

III 3 . Ikiwa a a b, basi kwa kipengele chochote c hufanyika a+c b+c.

III 4 . Ikiwa a a 0,b 0, basi ab 0 .

Kundi la IV la axioms lina axiom moja - axiom ya kuendelea. Kwa seti zozote zisizo tupu X na Y kutoka R kwamba kwa kila jozi ya vipengele x X na y Y ukosefu wa usawa x < y, kuna kipengele a R, kukidhi hali

Mchele. 2

x < a < y, x X, y Y(Mchoro 2). Sifa zilizoorodheshwa hufafanua kabisa seti ya nambari halisi kwa maana kwamba sifa zake nyingine zote hufuata kutoka kwa mali hizi. Ufafanuzi huu unafafanua kipekee seti ya nambari halisi hadi asili maalum ya vipengele vyake. Tahadhari kwamba seti ina zaidi ya kipengele kimoja ni muhimu kwa sababu seti inayojumuisha sifuri pekee inatosheleza axiom zote kwa njia ya wazi. Katika kile kinachofuata, vipengele vya kuweka R vitaitwa nambari.

Hebu sasa tufafanue dhana zinazojulikana za nambari za asili, za busara na zisizo na maana. Nambari 1, 2 1+1, 3 2+1, ... zinaitwa nambari za asili, na seti yao imeonyeshwa N . Kutoka kwa ufafanuzi wa seti ya nambari za asili inafuata kwamba ina sifa zifuatazo: kama

1) A N ,

3) kwa kila kipengele x A kujumuisha x+ 1 A, kisha A=N .

Kwa kweli, kulingana na sharti 2) tunayo 1 A, kwa hivyo, kwa mali 3) na 2 A, na kisha, kulingana na mali hiyo hiyo, tunapata 3 A. Tangu nambari yoyote ya asili n hupatikana kutoka kwa 1 kwa kuongeza mfululizo 1 sawa kwake, basi n A, i.e. N A, na kwa kuwa hali ya 1 inakidhi ujumuishaji A N , basi A=N .

Kanuni ya uthibitisho inategemea mali hii ya nambari za asili. kwa kuanzishwa kwa hisabati. Ikiwa kuna taarifa nyingi, ambayo kila moja imepewa nambari ya asili (idadi yake) n=1, 2, ..., na ikithibitishwa kuwa:

1) taarifa iliyo na nambari 1 ni kweli;

2) kutoka kwa uhalali wa taarifa na nambari yoyote n N inafuata uhalali wa taarifa iliyo na nambari n+1;

basi uhalali wa kauli zote unathibitishwa, yaani, taarifa yoyote yenye nambari ya kiholela n N .

Nambari 0, + 1, + 2, ... kuitwa nambari nzima, seti yao inaashiria Z .

Andika nambari m/n, wapi m na n mzima, na n 0 wanaitwa nambari za busara. Seti ya nambari zote za busara imeonyeshwa Q .

Nambari halisi ambazo hazina mantiki zinaitwa isiyo na mantiki, seti yao inaashiria I .

Swali linatokea kwamba labda nambari za busara zinamaliza vipengele vyote vya kuweka R? Jibu la swali hili linatolewa na axiom ya mwendelezo. Hakika, axiom hii haishiki kwa nambari za busara. Kwa mfano, fikiria seti mbili:

Ni rahisi kuona kwamba kwa vipengele vyovyote na usawa hutimizwa. Hata hivyo busara hakuna nambari inayotenganisha seti hizi mbili. Kwa kweli, nambari hii inaweza tu kuwa, lakini sio busara. Ukweli huu unaonyesha kuwa kuna nambari zisizo na maana katika seti R.

Mbali na shughuli nne za hesabu kwenye nambari, unaweza kufanya upanuzi na uchimbaji wa mizizi. Kwa nambari yoyote a R na asili n shahada n hufafanuliwa kama bidhaa n mambo sawa na a:

A-kipaumbele a 0 1, a>0, a-n 1/ a n a 0, n- nambari ya asili.

Mfano. usawa wa Bernoulli: ( 1+x) n> 1+nx Thibitisha kwa kuingiza.

Hebu iwe a>0, n- nambari ya asili. Nambari b kuitwa mzizi n shahada kutoka miongoni mwa a, kama b n =a. Katika kesi hii, imeandikwa Kuwepo na upekee wa mzizi chanya wa shahada yoyote n kutoka kwa nambari yoyote chanya itathibitishwa hapa chini katika § 7.3.
Hata mizizi, a 0 ina maana mbili: ikiwa b = , k N , kisha na -b= . Kwa kweli, kutoka b 2k = a inafuata hiyo

(-b)2 k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Thamani isiyo hasi inaitwa yake thamani ya hesabu.
Ikiwa a r = p/q, wapi uk na q mzima, q 0, yaani. r ni nambari ya busara, basi a > 0

(2.1)

Hivyo shahada r imefafanuliwa kwa nambari yoyote ya busara r. Inafuata kutoka kwa ufafanuzi wake kwamba kwa busara yoyote r kuna usawa

a -r = 1/r.

Shahada a x(nambari x kuitwa kielelezo) kwa nambari yoyote halisi x hupatikana kwa kupanua shahada kwa kuendelea na kipeo cha busara (angalia Sehemu ya 8.2 kwa zaidi kuhusu hili). Kwa nambari yoyote a R nambari isiyo hasi

alimwita thamani kamili au moduli. Kwa maadili kamili ya nambari, ukosefu wa usawa

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Zinathibitishwa kwa kutumia mali I-IV ya nambari halisi.

Jukumu la axiom ya kuendelea katika ujenzi wa uchambuzi wa hisabati

Umuhimu wa axiom ya kuendelea ni kwamba bila hiyo ujenzi mkali wa uchambuzi wa hisabati hauwezekani. [ chanzo haijabainishwa siku 1351] Kwa kielelezo, tunawasilisha taarifa kadhaa za msingi za uchanganuzi, uthibitisho ambao unatokana na mwendelezo wa nambari halisi:

· (Nadharia ya Weierstrass). Kila mlolongo unaopakana wa kuongezeka kwa monotonically hukutana

· (Nadharia ya Bolzano-Cauchy). Chaguo za kukokotoa zinazoendelea kwenye sehemu inayochukua thamani za ishara tofauti kwenye ncha zake hupotea katika sehemu fulani ya ndani ya sehemu hiyo.

· (Kuwepo kwa nguvu, ufafanuzi, logarithmic na kazi zote za trigonometric kwenye kikoa kizima cha ufafanuzi wa "asili"). Kwa mfano, imethibitishwa kuwa kwa kila nambari kamili kuna , ambayo ni, suluhisho la equation. Hii hukuruhusu kuamua thamani ya usemi kwa mantiki yote:

Hatimaye, tena, kutokana na kuendelea kwa mstari wa nambari, inawezekana kuamua thamani ya kujieleza tayari kwa kiholela. Vile vile, kwa kutumia sifa ya mwendelezo, tunathibitisha kuwepo kwa nambari kwa .

Miundo mingine ya sifa ya mwendelezo na sentensi sawa[hariri | hariri maandishi ya wiki]

Mwendelezo kulingana na Dedekind[hariri | hariri maandishi ya wiki]

Makala kuu:Nadharia ya sehemu katika eneo la nambari za busara

Swali la mwendelezo wa nambari halisi linazingatiwa na Dedekind katika kazi yake ya Mwendelezo na Nambari zisizo na maana. Ndani yake, analinganisha nambari za busara na pointi za mstari wa moja kwa moja. Kama unavyojua, kati ya nambari za busara na vidokezo vya mstari wa moja kwa moja, unaweza kuanzisha mawasiliano wakati unachagua mahali pa kuanzia na kitengo cha kipimo cha sehemu kwenye mstari wa moja kwa moja. Kwa msaada wa mwisho, inawezekana kuunda sehemu inayolingana kwa kila nambari ya busara, na kuiweka kando kulia au kushoto, kulingana na ikiwa kuna nambari chanya au hasi, pata nukta inayolingana na nambari. . Kwa hivyo, kila nambari ya busara inalingana na nukta moja na moja tu kwenye mstari.

Ili kujua mwendelezo huu unajumuisha nini, Dedekind anatoa maoni yafuatayo. Ikiwa kuna hatua fulani ya mstari, basi pointi zote za mstari huanguka katika madarasa mawili: pointi ziko upande wa kushoto, na pointi ziko kulia. Hoja yenyewe inaweza kupewa kiholela ama kwa tabaka la chini au la juu. Dedekind anaona kiini cha mwendelezo katika kanuni ya kinyume:

1. Darasa la chini lina kipengele cha juu, darasa la juu halina kiwango cha chini

2. Hakuna kipengele cha juu katika darasa la chini, wakati kuna kipengele cha chini katika darasa la juu

3. Daraja la chini lina upeo na darasa la juu lina vipengele vya chini

4. Hakuna kipengele cha juu katika darasa la chini, na hakuna kipengele cha chini katika darasa la juu

Ikiwa tutaanzisha dhana ya sehemu ya seti ya nambari halisi, basi kanuni ya mwendelezo ya Dedekind inaweza kutengenezwa kama ifuatavyo.

Kanuni ya mwendelezo ya Dedekind (ukamilifu). Kwa kila sehemu ya seti ya nambari halisi, kuna nambari inayozalisha sehemu hii.

Lemma kwenye sehemu zilizowekwa (kanuni ya Cauchy-Cantor)[hariri | hariri maandishi ya wiki]

Makala kuu:Lemma kwenye sehemu zilizowekwa

Lemma kwenye sehemu zilizowekwa (Cauchy - Kantor). Mfumo wowote wa sehemu zilizowekwa

ina makutano yasiyo tupu, ambayo ni, kuna angalau nambari moja ambayo ni ya sehemu zote za mfumo uliopewa.

Ikiwa, kwa kuongeza, urefu wa sehemu za mfumo uliopewa huelekea sifuri, ambayo ni,

basi makutano ya makundi ya mfumo huu yana hatua moja.

Mali hii inaitwa mwendelezo wa seti ya nambari halisi kwa maana ya Cantor. Itaonyeshwa hapa chini kwamba kwa sehemu zilizoagizwa na Archimedean, mwendelezo wa Cantor ni sawa na mwendelezo wa Dedekind.

Kanuni ya hali ya juu[hariri | hariri maandishi ya wiki]

Kanuni ya ukuu. Kila seti isiyo tupu ya nambari halisi iliyofungwa hapo juu ina kiwango cha juu zaidi.

Maoni. Badala ya supremum, mtu anaweza kutumia dhana mbili ya infimum.

Kanuni ya infimum. Kila seti isiyo tupu ya nambari halisi iliyofungwa hapa chini ina infimum.

Lema ya kifuniko cha mwisho (kanuni ya Heine-Borel)[hariri | hariri maandishi ya wiki]

Makala kuu:Heine-Borel Lemma

Filamu Jalada Lema (Heine - Borel). Katika mfumo wowote wa vipindi vinavyofunika sehemu, kuna mfumo mdogo wa kikomo unaofunika sehemu hii.

Lema ya pointi ya kikomo (kanuni ya Bolzano-Weierstrass)[hariri | hariri maandishi ya wiki]

Makala kuu:Nadharia ya Bolzano-Weierstrass

Kikomo Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Kila nambari isiyo na mipaka iliyowekwa ina angalau alama moja ya kikomo.

Usawa wa sentensi zinazoonyesha mwendelezo wa seti ya nambari halisi[hariri | hariri maandishi ya wiki]

Ili kuonyesha usawa wa uundaji tofauti wa kuendelea kwa nambari halisi, mtu lazima athibitishe kwamba ikiwa mojawapo ya mapendekezo haya yanashikilia shamba lililoagizwa, basi wengine wote ni kweli.

Nadharia. Hebu iwe seti ya kiholela iliyoagizwa kwa mpangilio. Kauli zifuatazo ni sawa:

1. Chochote ambacho sio tupu kinawekwa na ni kwamba kwa vipengele vyovyote viwili na , kuna kipengele ambacho kwa wote na , uhusiano unashikilia.

2. Kwa sehemu yoyote ndani kuna kipengele ambacho hutoa sehemu hii

3. Kila seti isiyo tupu iliyowekewa mipaka hapo juu ina kiwango cha juu zaidi

4. Kila seti isiyo tupu iliyofungwa hapa chini ina infimum

Kuthibitisha usawa wa sentensi zingine tayari kunahitaji muundo wa uwanja.

Nadharia. Hebu iwe uwanja ulioagizwa kiholela. Sentensi zifuatazo ni sawa:

1. (kama seti iliyoagizwa kwa mstari) imekamilika Dedekind

2. Ili kutimiza kanuni ya Archimedes na kanuni ya makundi ya viota

3. Kwa kanuni ya Heine-Borel inatimizwa

4. Kwa kanuni ya Bolzano-Weierstrass inatimizwa

Uthibitisho wa nadharia zilizo hapo juu unaweza kupatikana katika vitabu kutoka kwa biblia iliyotolewa hapa chini.

· Kudryavtsev, L. D. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. - Toleo la 5. - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fikhtengolts, G. M. Misingi ya uchambuzi wa hisabati. - toleo la 7. - M.: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Mwendelezo na nambari zisizo na mantiki = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - Toleo la 4 lililosahihishwa. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

· Zorich, V.A. Uchambuzi wa hisabati. Sehemu ya I. - Mh. 4, iliyorekebishwa .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.

· Kuendelea kwa kazi na vikoa vya nambari: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - Toleo la 3. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.

4.5. Axiom ya mwendelezo

Vyovyote vile seti mbili zisizo tupu za nambari halisi A na

B , ambayo, kwa vipengele vyovyote a ∈ A na b ∈ B, ukosefu wa usawa

a ≤ b , kuna nambari λ ambayo kwa wote a ∈ A , b ∈ B

usawa a ≤ λ ≤ b .

Mali ya mwendelezo wa nambari halisi inamaanisha kuwa kwenye ukweli

hakuna "voids" kwenye mstari wa mshipa, yaani, pointi zinazowakilisha nambari hujaza

mhimili mzima halisi.

Wacha tutoe uundaji mwingine wa axiom ya mwendelezo. Kwa hili tunatanguliza

Ufafanuzi 1.4.5. Seti mbili A na B zitaitwa sehemu

seti za nambari halisi, ikiwa

1) seti A na B sio tupu;

2) muungano wa seti A na B hufanya seti ya yote halisi

nambari;

3) kila nambari ya kuweka A ni chini ya idadi ya kuweka B .

Hiyo ni, kila seti inayounda sehemu ina angalau moja

kipengele, seti hizi hazina vipengele vya kawaida na, ikiwa ∈ A na b ∈ B , basi

Seti A itaitwa darasa la chini, na seti B itaitwa darasa la juu.

darasa la sehemu. Tutateua sehemu kama A B .

Mifano rahisi zaidi ya sehemu ni sehemu zilizopatikana kama ifuatavyo.

njia ya kupuliza. Chukua nambari fulani α na uweke

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

vuka na ikiwa a ∈ A na b ∈ B , basi a< b , поэтому множества A и B образуют

sehemu. Vile vile, mtu anaweza kuunda sehemu, kwa seti

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

Sehemu kama hizo zitaitwa sehemu zinazozalishwa na nambari α au

tutasema kwamba nambari α hutoa sehemu hii. Hii inaweza kuandikwa kama

Sehemu zinazozalishwa na nambari yoyote zina mbili za kuvutia

sifa:

Mali 1. Aidha tabaka la juu lina idadi ndogo zaidi, na katika chini

darasa halina nambari kubwa zaidi, au tabaka la chini lina nambari kubwa zaidi

lo, na tabaka la juu sio dogo zaidi.

Mali 2. Nambari inayozalisha sehemu iliyotolewa ni ya kipekee.

Inabadilika kuwa axiom ya mwendelezo iliyoundwa hapo juu ni sawa na

inaambatana na taarifa inayoitwa kanuni ya Dedekind:

Kanuni ya Dedekind. Kwa kila sehemu, kuna nambari inayozalisha

hii ni sehemu.

Hebu tuthibitishe usawa wa kauli hizi.

Hebu dhana ya mwendelezo iwe halali, na baadhi ya se-

thamani ya A B. Halafu, kwa kuwa madarasa A na B yanakidhi masharti, fomula

axiom, kuna nambari λ kama vile ≤ λ ≤ b kwa nambari zozote

a ∈ A na b ∈ B . Lakini nambari λ lazima iwe ya moja na moja tu ya

madarasa A au B , kwa hivyo moja ya ukosefu wa usawa ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

au ndogo zaidi katika tabaka la juu na kutoa sehemu iliyotolewa.

Kinyume chake, acha kanuni ya Dedekind itimizwe na mbili zisiwe tupu

huweka A na B kiasi kwamba kwa wote a ∈ A na b ∈ B ukosefu wa usawa

a ≤ b . Bainisha kwa B seti ya nambari b ili a ≤ b kwa yoyote

b ∈ B na zote a ∈ A . Kisha B ⊂ B . Kwa seti A tunachukua seti ya nambari zote

vijiji visivyojumuishwa katika B.

Hebu tuthibitishe kwamba seti A na B zinaunda sehemu.

Hakika, ni dhahiri kwamba seti B sio tupu, kwani ina

seti isiyo tupu B . Seti A pia sio tupu, kwa sababu ikiwa nambari a ∈ A ,

basi nambari a - 1∉ B , kwani nambari yoyote iliyojumuishwa katika B lazima iwe angalau

nambari a , kwa hivyo a - 1∈ A .

seti ya nambari zote halisi, kwa mujibu wa uchaguzi wa seti.

Na hatimaye, ikiwa a ∈ A na b ∈ B , basi a ≤ b . Kweli, ikiwa ipo

nambari c inakidhi ukosefu wa usawa c > b , ambapo b ∈ B , kisha uwongo

usawa c > a (a ni kipengele cha kiholela cha seti A) na c ∈ B .

Kwa hivyo, A na B huunda sehemu, na kwa mujibu wa kanuni ya Dedekind, kuna nambari

lo λ , ikitoa sehemu hii, ambayo ni ama kubwa zaidi darasani

Hebu tuthibitishe kwamba nambari hii haiwezi kuwa ya darasa A . Halali-

lakini ikiwa λ ∈ A , basi kuna nambari a* ∈ A vile λ< a* . Тогда существует

nambari a′ iliyo kati ya nambari λ na a* . Kutoka kwa ukosefu wa usawa "< a* следует, что

a′ ∈ A , kisha kutoka kwa ukosefu wa usawa λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

class A , ambayo inakinzana na kanuni ya Dedekind. Kwa hivyo, nambari λ itafanya

ndio dogo zaidi katika darasa B na kwa wote a ∈ A na ukosefu wa usawa

a ≤ λ ≤ b , inavyotakiwa.◄

Kwa hivyo, mali iliyoundwa katika axiom na mali,

yaliyoundwa katika kanuni ya Dedekind ni sawa. Katika siku zijazo, hizi

mali ya seti ya nambari halisi tutaita mwendelezo

kulingana na Dedekind.

Kuendelea kwa seti ya nambari halisi kulingana na Dedekind inamaanisha

nadharia mbili muhimu.

Nadharia 1.4.3. (Kanuni ya Archimedes) Haijalishi nambari halisi

a, kuna nambari asilia n kiasi kwamba a< n .

Wacha tuchukue kuwa taarifa ya nadharia ni ya uwongo, ambayo ni, kuna vile

nambari fulani b0 hivi kwamba ukosefu wa usawa n ≤ b0 unashikilia kwa nambari zote asili

n. Wacha tugawanye seti ya nambari halisi katika madarasa mawili: katika darasa B tunagawa

nambari zote b zinazokidhi ukosefu wa usawa n ≤ b kwa n yoyote asilia.

Darasa hili sio tupu, kwani nambari b0 ni yake. Tunagawa kila kitu kwa darasa A

nambari zilizobaki. Darasa hili pia sio tupu, kwani nambari yoyote asilia

imejumuishwa katika A. Madarasa A na B hayaingiliani na umoja wao ni

seti ya nambari zote halisi.

Ikiwa tutachukua nambari za kiholela a ∈ A na b ∈ B , basi kuna asili

nambari n0 hivi kwamba a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A na B zinakidhi kanuni ya Dedekind na kuna nambari α hiyo

hutoa sehemu A B , ambayo ni, α ndio kubwa zaidi katika darasa A , au

bo mdogo zaidi katika darasa B . Ikiwa tunadhania kuwa α ni ya darasa A , basi

mtu anaweza kupata nambari asilia n1 ambayo ukosefu wa usawa α< n1 .

Kwa kuwa n1 pia imejumuishwa katika A , nambari α haitakuwa kubwa zaidi katika darasa hili,

kwa hivyo, dhana yetu si sahihi na α ndiyo ndogo zaidi ndani

darasa B.

Kwa upande mwingine, chukua nambari α − 1 ambayo ni ya darasa A . Fuata-

Kwa hivyo, kuna nambari asilia n2 kama vile α -1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

inafuata kwamba α ∈ A . Ukinzani unaotokea unathibitisha nadharia hiyo.◄

Matokeo. Haijalishi nambari a na b ni kama 0< a < b , существует

nambari asilia n ambayo ukosefu wa usawa na > b unashikilia.

Ili kuithibitisha, inatosha kutumia kanuni ya Archimedes kwa nambari

na kutumia mali ya ukosefu wa usawa.◄

Corollary ina maana rahisi ya kijiometri: Vyovyote viwili

sehemu, ikiwa ni kubwa zaidi yao, kutoka kwa moja ya ncha zake mfululizo

weka ndogo, basi kwa idadi ya hatua ya mwisho inawezekana kwenda zaidi

kata kubwa.

Mfano 1. Thibitisha kuwa kwa kila nambari isiyo hasi a ipo

nambari pekee isiyo hasi ni kama hiyo

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Nadharia hii juu ya uwepo wa mzizi wa hesabu wa digrii ya nth

kutoka kwa nambari isiyo hasi katika kozi ya shule ya algebra inakubaliwa bila uthibitisho

ahadi.

☺Kama a = 0 , basi x = 0 , hivyo uthibitisho wa kuwepo kwa hesabu

Mzizi wa a unahitajika tu kwa > 0 .

Fikiria kuwa > 0 na ugawanye seti ya nambari zote halisi

kwa madarasa mawili. Tunawapa darasa B nambari zote chanya x zinazotosheleza

tengeneza usawa x n > a , kwenye darasa A , mengine yote.

Kulingana na axiom ya Archimedes, kuna nambari za asili k na m kama hiyo

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a na 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A ina nambari chanya.

Ni wazi, A ∪ B = na ikiwa x1 ∈ A na x2 ∈ B , basi x1< x2 .

Hivyo madarasa A na B huunda sehemu. Nambari inayounda hii

sehemu, iliyoonyeshwa na t. Kisha t ndio nambari kubwa zaidi darasani

wote A , au wadogo kabisa katika darasa B .

Chukulia kuwa t ∈ A na t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

Kisha tunapata (t + h)< a . Это означает,

Kwa hivyo, ikiwa tutachukua h<

kwamba t + h ∈ A , ambayo inapingana na ukweli kwamba t ndicho kipengele kikubwa zaidi katika darasa A .

Vivyo hivyo, ikiwa tunadhania kuwa $ t $ ndio kitu kidogo zaidi cha darasa B,

kisha, kuchukua nambari h ambayo inakidhi ukosefu wa usawa 0< h < 1 и h < ,

tunapata (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a.

Hii ina maana kwamba t -h ∈ B na t haiwezi kuwa kipengele kidogo zaidi

darasa B. Kwa hivyo, t n = a .

Upekee hufuata kutokana na ukweli kwamba ikiwa t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Mfano 2. Thibitisha kwamba ikiwa a< b , то всегда найдется рациональное число r

hivyo kwamba a< r < b .

☺Ikiwa nambari a na b ni za kimantiki, basi nambari ni ya kimantiki na

inakidhi masharti yanayotakiwa. Tuseme kwamba angalau moja ya nambari a au b

isiyo na akili, kwa mfano, wacha tuseme kwamba nambari b haina mantiki. Imechukuliwa

pia tunabonyeza kwamba a ≥ 0 , kisha b > 0 . Tunaandika uwakilishi wa nambari a na b katika fomu

sehemu za desimali: a = α 0 ,α1α 2α 3.... na b = β 0 , β1β 2 β3... , ambapo sehemu ya pili haina mwisho

yenye mwisho na isiyo ya muda. Kuhusu uwakilishi wa nambari a, basi tutahesabu

kwamba ikiwa nambari a ni ya kimantiki, basi nukuu yake ama ina kikomo au ni

sehemu ya sauti ambayo kipindi chake si sawa na 9.

Tangu b > a , basi β 0 ≥ α 0 ; ikiwa β 0 = α 0 , basi β1 ≥ α1 ; ikiwa β1 = α1 , basi β 2 ≥ α 2

nk, na kuna thamani kama hiyo i , ambayo kwa mara ya kwanza itakuwa

kukidhi usawa mkali βi > α i . Kisha nambari β 0 , β1β 2 ...βi itakuwa ya busara

halisi na itakuwa kati ya nambari a na b.

Ikiwa a< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, ambapo n ni nambari asilia hivi kwamba n ≥ a. Kuwepo kwa idadi kama hiyo

inafuata kutoka kwa axiom ya Archimedes. ☻

Ufafanuzi 1.4.6. Acha mlolongo wa sehemu za mhimili halisi upewe

([ an ; bn ]), an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

vipindi ikiwa kwa yoyote n ukosefu wa usawa ≤ an+1 kushikilia na

Kwa mfumo kama huo, majumuisho

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn] ⊃ ... ,

yaani, kila sehemu inayofuata iko katika ile iliyotangulia.

Nadharia 1.4.4. Kwa mfumo wowote wa sehemu zilizowekwa kiota, zipo

angalau nukta moja ambayo imejumuishwa katika kila moja ya sehemu hizi.

Hebu tuchukue seti mbili A = (an ) na B = (bn ) . Wao si tupu na kwa yoyote

n na m, ukosefu wa usawa a< bm . Докажем это.

Ikiwa n ≥ m , basi an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Kwa hivyo madarasa A na B yanakidhi axiom ya mwendelezo na,

kwa hivyo, kuna nambari λ kama vile ≤ λ ≤ bn kwa n yoyote, i.e. Hii

nambari ni ya sehemu yoyote [ a ; bn] .◄

Katika kile kinachofuata (Nadharia 2.1.8), tunaboresha nadharia hii.

Kauli iliyoundwa katika Nadharia 1.4.4 inaitwa kanuni

Cantor, na seti inayokidhi hali hii itaitwa

imekoma kulingana na Cantor.

Tumethibitisha kuwa ikiwa seti iliyoagizwa ni Dede-inaendelea

kindu, basi kanuni ya Archimedes inatimizwa ndani yake na ni endelevu kulingana na Cantor.

Inaweza kuthibitishwa kuwa seti iliyoamuru ambayo kanuni

kanuni za Archimedes na Cantor zitaendelea kulingana na Dedekind. Ushahidi

ukweli huu ni zilizomo, kwa mfano, katika.

Kanuni ya Archimedes inaruhusu kila sehemu ya mstari wa moja kwa moja kulinganisha

ambayo ndio nambari chanya pekee inayokidhi masharti:

1. makundi sawa yanahusiana na idadi sawa;

2. Ikiwa hatua ya sehemu ya AC na sehemu za AB na BC zinalingana na nambari a na

b, kisha sehemu ya AC inalingana na nambari + b;

3. sehemu fulani inalingana na nambari 1.

Nambari inayolingana na kila sehemu na kukidhi masharti 1-3 kwa-

inaitwa urefu wa sehemu hii.

Kanuni ya Cantor inaturuhusu kuthibitisha hilo kwa kila chanya

nambari, unaweza kupata sehemu ambayo urefu wake ni sawa na nambari hii. Hivyo,

kati ya seti ya nambari chanya halisi na seti ya sehemu

kov, ambazo zimewekwa kutoka kwa sehemu fulani ya mstari wa moja kwa moja kwenye upande fulani

kutoka kwa hatua hii, mawasiliano ya moja kwa moja yanaweza kuanzishwa.

Hii inaruhusu sisi kufafanua mhimili wa nambari na kuanzisha mawasiliano kati ya

kusubiri kwa idadi halisi na pointi kwenye mstari. Ili kufanya hivyo, hebu tuchukue baadhi

Ninachora mstari na kuchagua hatua O juu yake, ambayo inagawanya mstari huu kuwa mbili

boriti. Tunaita moja ya miale hii chanya, na ya pili hasi.

jina. Kisha tutasema kwamba tumechagua mwelekeo kwenye mstari huu wa moja kwa moja.

Ufafanuzi 1.4.7. Mhimili halisi ni mstari wa moja kwa moja ambao

a) nukta O, inayoitwa asili au asili;

b) mwelekeo;

c) sehemu ya urefu wa kitengo.

Sasa, kwa kila nambari halisi a, tunahusisha nukta M kwenye nambari hiyo

piga kelele moja kwa moja ili

a) nambari 0 ililingana na asili;

b) OM = a - urefu wa sehemu kutoka asili hadi hatua M ilikuwa sawa na

nambari ya moduli;

c) ikiwa a ni chanya, basi uhakika unachukuliwa kwenye miale chanya na, es-

Ikiwa ni hasi, basi ni hasi.

Sheria hii inaanzisha mawasiliano ya moja kwa moja kati ya

seti ya nambari halisi na seti ya alama kwenye mstari.

Mstari wa nambari (mhimili) pia utaitwa mstari halisi

Hii pia inamaanisha maana ya kijiometri ya moduli ya nambari halisi.

la: moduli ya nambari ni sawa na umbali kutoka asili hadi hatua iliyoonyeshwa

kupanga nambari hii kwenye mstari wa nambari.

Sasa tunaweza kutoa tafsiri ya kijiometri kwa mali 6 na 7

moduli ya nambari halisi. Kwa C chanya ya nambari x, ridhisha-

sifa 6 hujaza muda (−C , C) , na nambari x zinazotosheleza

mali 7 iko kwenye miale (−∞,C) au (C , +∞) .

Tunaona mali moja ya ajabu ya kijiometri ya moduli halisi.

nambari halisi.

Moduli ya tofauti ya nambari mbili ni sawa na umbali kati ya pointi, kwa mtiririko huo

sambamba na nambari hizi kwenye mhimili halisi.

ry seti za nambari za kawaida.

Seti ya nambari za asili;

Seti ya nambari kamili;

Seti ya nambari za busara;

Seti ya nambari halisi;

Inaweka, kwa mtiririko huo, ya nambari kamili, ya busara na ya kweli

nambari halisi zisizo hasi;

Seti ya nambari changamano.

Kwa kuongeza, seti ya nambari halisi inaashiria (-∞, +∞) .

Sehemu ndogo za seti hii:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - sehemu;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly au nusu-sehemu;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) au (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) ni miale iliyofungwa.

Hatimaye, wakati mwingine tutahitaji mapungufu ambayo hatutajali

ikiwa miisho yake ni ya muda huu au la. Pengo kama hilo litakuwa

ashiria a, b.

§ 5 Mipaka ya seti za nambari

Ufafanuzi 1.5.1. Nambari iliyowekwa X inaitwa mipaka

kutoka juu ikiwa kuna nambari M ambayo x ≤ M ya kipengele chochote x kutoka

seti X.

Ufafanuzi 1.5.2. Nambari iliyowekwa X inaitwa mipaka

kutoka chini ikiwa kuna nambari m kama kwamba x ≥ m kwa kipengele chochote x kutoka

seti X.

Ufafanuzi 1.5.3. Nambari iliyowekwa X inaitwa mipaka,

ikiwa imefungwa kutoka juu na chini.

Katika nukuu ya mfano, ufafanuzi huu utaonekana kama hii:

seti ya X imefungwa kutoka juu ikiwa ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

imepakana kutoka chini ikiwa ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m na

imefungwa ikiwa ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Nadharia 1.5.1. Nambari iliyowekwa X inafungwa ikiwa na ikiwa tu

wakati kuna nambari C kama kwamba kwa vitu vyote x kutoka kwa seti hii

, ukosefu wa usawa x ≤ C umeridhika.

Acha seti ya X ifungwe. Tunaweka C \u003d max (m, M) - zaidi

idadi kubwa zaidi ya m na M . Kisha, kwa kutumia mali ya moduli ya kweli

nambari, tunapata ukosefu wa usawa x ≤ M ≤ M ≤ C na x ≥ m ≥ − m ≥ −C , kutoka wapi

si kwamba x ≤ C .

Kinyume chake, ikiwa x ≤ C , basi −C ≤ x ≤ C . Huu ndio mti-

ikitolewa ikiwa tutaweka M = C na m = −C .◄

Nambari M inayofunga seti X kutoka juu inaitwa ya juu

kuweka mpaka. Ikiwa M ndio kikomo cha juu cha seti ya X, basi yoyote

nambari M ′ , ambayo ni kubwa kuliko M , pia itakuwa kikomo cha juu cha seti hii.

Kwa hivyo, tunaweza kuzungumza juu ya seti ya mipaka ya juu ya seti

x. Onyesha seti ya mipaka ya juu na M . Kisha, ∀x ∈ X na ∀M ∈ M

usawa x ≤ M itakuwa kuridhika, kwa hiyo, kwa mujibu wa axiom, kuendelea

Kuna nambari M 0 kama vile x ≤ M 0 ≤ M . Nambari hii inaitwa

mpaka wa juu wa nambari iliyowekwa X au mpaka wa juu wa hii

seti au kiwango cha juu zaidi cha seti ya X na inaonyeshwa na M 0 = sup X .

Kwa hivyo, tumethibitisha kwamba kila seti ya nambari isiyo tupu,

iliyofungwa hapo juu daima ina kikomo cha juu kabisa.

Ni wazi, usawa M 0 = sup X ni sawa na masharti mawili:

1) ∀x ∈ X, x ≤ M 0, yaani, M 0 - kikomo cha juu cha kuweka

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X ili xε > M 0 − ε , yaani, hii gra-

nitsa haiwezi kuboreshwa (kupunguzwa).

Mfano 1. Zingatia seti X = ⎨1 − ⎬ . Hebu tuthibitishe kwamba sup X = 1 .

☺Kwa hakika, kwanza, ukosefu wa usawa 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; pili, ikiwa tunachukua nambari chanya ya kiholela ε, basi kwa

kanuni ya Archimedes, mtu anaweza kupata nambari asilia nε vile nε > . Hiyo-

wakati ukosefu wa usawa 1 − > 1 − ε umeridhika, yaani, amepata kipengele xnε ya

ya X kubwa kuliko 1 − ε , ambayo ina maana kwamba 1 ndiyo ya juu zaidi

Vile vile, mtu anaweza kuthibitisha kwamba ikiwa seti imefungwa chini, basi

ina makali ya chini ya chini, ambayo pia huitwa chini ya chini.

mpya au infimum ya seti ya X na inaonyeshwa na inf X .

Usawa wa m0 = inf X ni sawa na masharti:

1) ∀x ∈ X usawa x ≥ m0 inashikilia;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X ili ukosefu wa usawa xε< m0 + ε .

Ikiwa seti ya X ina kipengee kikubwa zaidi x0 , basi tutaiita

kipengele cha juu cha kuweka X na kuashiria x0 = max X . Kisha

sup X = x0 . Vile vile, ikiwa kuna kipengele kidogo zaidi katika seti, basi

tutaiita ndogo, kuashiria min X na itakuwa katika-

phimum ya seti X .

Kwa mfano, seti ya nambari za asili ina kipengele kidogo -

kitengo, ambayo pia ni infimum ya seti. Super-

mama hana seti hii, kwani haijafungwa kutoka juu.

Ufafanuzi wa mipaka sahihi ya juu na chini inaweza kupanuliwa hadi

seti zisizo na kikomo kutoka juu au chini, kuweka sup X = +∞ au, kwa mtiririko huo,

Sambamba, inf X = −∞ .

Kwa kumalizia, tunaunda mali kadhaa za mipaka ya juu na ya chini.

Mali 1. Acha X iwe seti ya nambari. Tambua kwa

− Seti ya X (− x | x ∈ X ) . Kisha sup (− X) = − inf X na inf (− X) = − sup X .

Mali 2. Acha X iwe seti ya nambari λ - halisi

nambari. Tambua kwa λ X seti ( λ x | x ∈ X ) . Kisha ikiwa λ ≥ 0, basi

sup ( λ X) = λ sup X , inf ( λ X) = λ inf X na, ikiwa λ< 0, то

sup ( λ X) = λ inf X , inf ( λ X) = λ sup X .

Mali 3. Acha X1 na X 2 ziwe seti za nambari. Tambua kwa

X1 + X 2 seti ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) na kupitia X1 - X 2 seti

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Kisha sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2, sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 na

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Mali 4. Hebu X1 na X 2 ziwe seti za nambari, vipengele vyote ambavyo

ryh sio hasi. Kisha

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Hebu tuthibitishe, kwa mfano, usawa wa kwanza katika mali 3.

Hebu x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 na x = x1 + x2 . Kisha x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 na

x ≤ sup X1 + sup X 2 , kutoka wapi (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Ili kudhibitisha usawa tofauti, chukua nambari

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

nini x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2 ambayo ni kubwa kuliko y na

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Uthibitisho wa mali iliyobaki unafanywa kwa njia sawa na

uongo kwa msomaji.

§ Seti 6 zinazoweza kuhesabika na zisizohesabika

Ufafanuzi 1.6.1. Fikiria seti ya nambari za n asili za kwanza

n = (1,2,..., n) na baadhi ya kuweka A . Ikiwezekana kuanzisha kwa pamoja

mawasiliano ya moja kwa moja kati ya A na n , basi seti A itaitwa

mwisho.

Ufafanuzi 1.6.2. Acha kuweka A ipewe. Nikiweza

kuanzisha mawasiliano ya moja kwa moja kati ya kuweka A na

seti ya nambari za asili, basi seti A itaitwa hesabu

Ufafanuzi 1.6.3. Ikiwa seti A ni ya mwisho au inaweza kuhesabiwa, basi tutafanya

kusema kwamba ni kitu zaidi ya kuhesabiwa.

Kwa hivyo, seti itahesabiwa ikiwa vipengele vyake vinaweza kuhesabiwa.

kuweka katika mlolongo.

Mfano 1. Seti ya nambari hata inaweza kuhesabiwa, kwani ramani n ↔ 2n

ni mawasiliano ya moja kwa moja kati ya seti ya asili

nambari na seti ya nambari sawa.

Kwa wazi, mawasiliano kama haya yanaweza kuanzishwa sio kwa njia moja.

zom. Kwa mfano, unaweza kuanzisha mawasiliano kati ya seti na seti

(namba kamili), kuanzisha mawasiliano kwa njia hii

Axiom ya kuendelea (ukamilifu). $A \seti ndogo \mathbb(R)$ na $B \seti ndogo \mathbb(R)$ $a\katika A$ na $b \katika B$ ukosefu wa usawa $a \ujanja b$ , kuna idadi halisi $\Xi$ hiyo kwa kila mtu $a\katika A$ na $b \katika B$ kuna uhusiano

$a \leqslant \xi \leqslant b$

Kijiometri, ikiwa tunachukulia nambari halisi kama alama kwenye mstari, kauli hii inaonekana dhahiri. Ikiwa seti mbili $A$ na $B$ ni kwamba kwenye safu ya nambari vitu vyote vya moja viko upande wa kushoto wa vitu vyote vya pili, basi kuna nambari. $\Xi$ , kutenganisha seti hizi mbili, yaani, zinazolala upande wa kulia wa vipengele vyote $A$ (isipokuwa labda $\Xi$ ) na upande wa kushoto wa vipengele vyote $B$ (kifungu sawa).

Ikumbukwe hapa kwamba licha ya "dhahiri" ya mali hii, kwa idadi ya busara sio kuridhika kila wakati. Kwa mfano, fikiria seti mbili:

A = $x \katika \ mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2$

Ni rahisi kuona hiyo kwa vipengele vyovyote $a\katika A$ na $b \katika B$ ukosefu wa usawa $a< b$ . Hata hivyo busara nambari $\Xi$ , kutenganisha seti hizi mbili, haipo. Kwa kweli, nambari hii inaweza tu kuwa $sqrt(2)$ , lakini haina mantiki.

Jukumu la axiom ya kuendelea katika ujenzi wa uchambuzi wa hisabati

(Nadharia ya Weierstrass). Kila mlolongo unaopakana wa kuongezeka kwa monotonically hukutana
(Nadharia ya Bolzano-Cauchy). Chaguo za kukokotoa zinazoendelea kwenye sehemu inayochukua thamani za ishara tofauti kwenye ncha zake hupotea katika sehemu fulani ya ndani ya sehemu hiyo.
(Kuwepo kwa nguvu, ufafanuzi, logarithmic na utendaji wote wa trigonometric juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi wa "asili"). Kwa mfano, imethibitishwa kuwa kwa kila mtu $a > 0$ na nzima $n \kuslant 1$ kuwepo $\sqrt[n](a)$ , yaani, suluhisho la equation $x^n=a, x>0$ . Hii hukuruhusu kuamua thamani ya usemi $a^x$ kwa wote wenye busara $x$ :

$a^(m/n) = \kushoto(\sqrt[n](a)\kulia)^m$

Hatimaye, tena kutokana na kuendelea kwa mstari wa nambari, tunaweza kuamua thamani ya kujieleza $a^x$ tayari kwa kiholela $x \katika \R$ . Vile vile, kwa kutumia mali ya mwendelezo, tunathibitisha kuwepo kwa nambari $\logi_(a)(b)$ kwa yoyote $a,b >0 , a\neq 1$ .

Kwa kipindi kirefu cha kihistoria, wanahisabati walithibitisha nadharia kutoka kwa uchambuzi, katika "maeneo nyembamba" akimaanisha uhalali wa kijiometri, na mara nyingi zaidi waliruka kabisa, kwani ilikuwa dhahiri. Dhana muhimu ya mwendelezo ilitumiwa bila ufafanuzi wowote wazi. Ni katika theluthi moja tu ya mwisho ya karne ya 19 ambapo mwanahisabati Mjerumani Karl Weierstrass alitoa hesabu ya uchanganuzi, akiunda nadharia ya kwanza kali ya nambari halisi kama sehemu za desimali zisizo na kikomo. Alipendekeza ufafanuzi wa kitamaduni wa kikomo katika lugha $\varepsilon - \delta$ , imethibitisha idadi ya taarifa ambazo zilizingatiwa "dhahiri" mbele yake, na hivyo kukamilisha ujenzi wa msingi wa uchambuzi wa hisabati.

Baadaye, mbinu nyingine za ufafanuzi wa nambari halisi zilipendekezwa. Katika mkabala wa aksiomatiki, mwendelezo wa nambari halisi hubainishwa kwa uwazi kama aksiom tofauti. Katika mbinu za kujenga nadharia ya nambari halisi, kama vile wakati wa kuunda nambari halisi kwa kutumia sehemu za Dedekind, sifa ya mwendelezo (katika uundaji mmoja au mwingine) inathibitishwa kama nadharia.

Taarifa Nyingine za Mali ya Mwendelezo na Mapendekezo Sawa

Mwendelezo kulingana na Dedekind

Swali la mwendelezo wa nambari halisi Dedekind anazingatia katika kazi yake " Kuendelea na nambari zisizo na maana". Ndani yake analinganisha nambari za busara na pointi za mstari wa moja kwa moja. Kama unavyojua, kati ya nambari za busara na vidokezo vya mstari wa moja kwa moja, unaweza kuanzisha mawasiliano wakati sehemu ya kuanzia na kitengo cha kipimo cha sehemu huchaguliwa kwenye mstari wa moja kwa moja. Kwa msaada wa mwisho, kwa kila nambari ya busara $a$ jenga sehemu inayolingana, na kuiweka kando kulia au kushoto, kulingana na ikiwa kuna $a$ nambari chanya au hasi, pata uhakika $uk$ sambamba na nambari $a$ . Kwa hivyo kila nambari ya busara $a$ inalingana na pointi moja na moja pekee $uk$ kwenye mstari wa moja kwa moja.

Ili kujua mwendelezo huu unajumuisha nini, Dedekind anatoa maoni yafuatayo. Ikiwa a $uk$ ni hatua fulani ya mstari, basi pointi zote za mstari huanguka katika madarasa mawili: pointi ziko upande wa kushoto $uk$ , na kuelekeza kulia $uk$ . uhakika sana $uk$ inaweza kugawiwa kiholela kwa tabaka la chini au la juu. Dedekind anaona kiini cha mwendelezo katika kanuni ya kinyume:

Lema ya kifuniko cha mwisho (kanuni ya Heine-Borel)

Filamu Jalada Lema (Heine - Borel). Katika mfumo wowote wa vipindi vinavyofunika sehemu, kuna mfumo mdogo wa kikomo unaofunika sehemu hii.

Lema ya pointi ya kikomo (kanuni ya Bolzano-Weierstrass)

Kikomo Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Kila nambari isiyo na mipaka iliyowekwa ina angalau alama moja ya kikomo.

Usawa wa sentensi zinazoonyesha mwendelezo wa seti ya nambari halisi

Hebu tutoe maelezo ya awali. Kulingana na ufafanuzi wa axiomatic wa nambari halisi, mkusanyiko wa nambari halisi hutosheleza vikundi vitatu vya axioms. Kundi la kwanza ni axioms za shamba. Kundi la pili linaonyesha ukweli kwamba seti ya nambari halisi ni seti iliyoagizwa kwa mstari, na uhusiano wa utaratibu ni sawa na shughuli za msingi za shamba. Kwa hivyo, vikundi vya kwanza na vya pili vya axioms inamaanisha kuwa seti ya nambari halisi ni uwanja ulioamuru. Kundi la tatu la axioms lina axiom moja - axiom ya kuendelea (au ukamilifu).

Ili kuonyesha usawa wa uundaji tofauti wa kuendelea kwa nambari halisi, mtu lazima athibitishe kwamba ikiwa mojawapo ya mapendekezo haya yanashikilia shamba lililoagizwa, basi wengine wote ni kweli.

Nadharia. Hebu iwe $\hisabati(R)$ - seti ya kiholela iliyoagizwa kwa mpangilio. Kauli zifuatazo ni sawa:

Chochote ambacho sio tupu huweka $A \seti ndogo \hisabati(R)$ na $B \seti ndogo \hisabati(R)$ , hivi kwamba kwa vipengele vyovyote viwili $a\katika A$ na $b \katika B$ ukosefu wa usawa $a \ujanja b$ , kuna kipengele kama hicho $\xi \katika \hisabati(R)$ hiyo kwa kila mtu $a\katika A$ na $b \katika B$ kuna uhusiano $a \leqslant \xi \leqslant b$
Kwa sehemu yoyote katika $\hisabati(R)$ kuna kipengele kinachozalisha sehemu hii
Kila seti isiyo tupu imepakana juu $A \seti ndogo \hisabati(R)$ ina ukuu
Kila seti isiyo tupu imepakana chini $A \seti ndogo \hisabati(R)$ ina infimum

Kama inavyoonekana kutoka kwa nadharia hii, sentensi hizi nne hutumia tu kile kilichowashwa $\hisabati(R)$ ilianzisha uhusiano wa mpangilio wa mstari, na usitumie muundo wa shamba. Kwa hivyo, kila mmoja wao anaonyesha mali $\hisabati(R)$ kama seti iliyoagizwa kwa mstari. Sifa hii (ya seti ya kiholela iliyoagizwa kwa mpangilio, sio lazima seti ya nambari halisi) inaitwa. mwendelezo, au ukamilifu, kulingana na Dedekind.

Kuthibitisha usawa wa sentensi zingine tayari kunahitaji muundo wa uwanja.

Nadharia. Hebu iwe $\hisabati(R)$ - uwanja ulioamriwa kiholela. Sentensi zifuatazo ni sawa:

$\hisabati(R)$ (kama seti iliyoagizwa kwa mstari) imekamilika Dedekind
Kwa $\hisabati(R)$ alitimiza kanuni ya Archimedes na kanuni ya makundi ya viota
Kwa $\hisabati(R)$ kanuni ya Heine-Borel inatimizwa
Kwa $\hisabati(R)$ kanuni ya Bolzano-Weierstrass inatimizwa

Maoni. Kama inavyoonekana kutoka kwa nadharia, kanuni ya sehemu zilizowekwa ndani yenyewe sio sawa Kanuni ya mwendelezo ya Dedekind. Kanuni ya sehemu zilizowekwa kwenye kiota hufuata kutoka kwa kanuni ya mwendelezo ya Dedekind, lakini kwa mazungumzo inahitajika pia kuhitaji uga ulioagizwa. $\hisabati(R)$ kuridhika na axiom ya Archimedes

Uthibitisho wa nadharia zilizo hapo juu unaweza kupatikana katika vitabu kutoka kwa biblia iliyotolewa hapa chini.

Andika hakiki juu ya kifungu "Kuendelea kwa seti ya nambari halisi"

Vidokezo

Fasihi

Kudryavtsev, L. D. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. - Toleo la 5. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.
Fikhtengolts, G. M. Misingi ya uchambuzi wa hisabati. - toleo la 7. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.
Dedekind, R.= Stetigkeit und irrationale Zahlen. - Toleo la 4 lililosahihishwa. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.
Zorich, V.A. Uchambuzi wa hisabati. Sehemu ya I. - Mh. 4, iliyorekebishwa .. - M .: "MTsNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.
Kuendelea kwa kazi na nyanja za nambari: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - Toleo la 3. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.

Sehemu inayoonyesha Mwendelezo wa seti ya nambari halisi

- Kwa hivyo ndiye ninayemhurumia - utu wa mwanadamu, amani ya akili, usafi, na sio migongo yao na paji la uso, ambayo, haijalishi unapiga viboko vipi, haijalishi unanyoa vipi, kila kitu kitabaki sawa migongo na paji la uso.
"Hapana, hapana, na mara elfu hapana, sitakubaliana nawe," Pierre alisema.

Jioni, Prince Andrei na Pierre waliingia kwenye gari na kuelekea Milima ya Bald. Prince Andrei, akimwangalia Pierre, mara kwa mara aliingilia ukimya na hotuba ambazo zilithibitisha kuwa alikuwa katika hali nzuri.
Alimwambia, akionyesha mashamba, kuhusu uboreshaji wake wa kiuchumi.
Pierre alikuwa kimya kimya, akijibu kwa maandishi, na alionekana kuzama katika mawazo yake mwenyewe.
Pierre alidhani kwamba Prince Andrei hakuwa na furaha, kwamba alikuwa amekosea, kwamba hakujua nuru ya kweli, na kwamba Pierre anapaswa kumsaidia, kumuangazia na kumfufua. Lakini mara tu Pierre alipofikiria jinsi na angesema nini, alikuwa na utangulizi kwamba Prince Andrei angeacha kila kitu katika mafundisho yake kwa neno moja, na hoja moja, na aliogopa kuanza, aliogopa kufichua kaburi lake mpendwa. kwa uwezekano wa kejeli.
"Hapana, unafikiria nini," Pierre alianza ghafla, akiinamisha kichwa chake na kuchukua fomu ya ng'ombe anayepiga, kwa nini unafikiria hivyo? Hupaswi kufikiria hivyo.
- Ninafikiria nini? Prince Andrew aliuliza kwa mshangao.
- Kuhusu maisha, juu ya kusudi la mtu. Haiwezi kuwa. Hiyo ndivyo nilivyofikiria, na iliniokoa, unajua nini? freemasonry. Hapana, hautabasamu. Freemasonry sio dhehebu la kidini, sio dhehebu la kitamaduni, kama nilivyofikiria, lakini Freemasonry ndio bora zaidi, usemi pekee wa mambo bora zaidi ya milele ya ubinadamu. - Na alianza kuelezea Prince Andrei Freemasonry, kama alivyoelewa.
Alisema kuwa Freemasonry ni mafundisho ya Ukristo, huru kutoka kwa minyororo ya serikali na kidini; fundisho la usawa, udugu na upendo.
– Udugu wetu mtakatifu pekee ndio wenye maana halisi ya maisha; kila kitu kingine ni ndoto," Pierre alisema. - Unaelewa, rafiki yangu, kwamba nje ya umoja huu kila kitu kimejaa uwongo na uwongo, na ninakubaliana na wewe kuwa hakuna kitu kilichobaki kwa mtu mwenye busara na mkarimu, mara tu, kama wewe, kuishi maisha yake, kujaribu. tu sio kuingilia wengine. Lakini chukua imani zetu za kimsingi, jiunge na udugu wetu, jitoe kwetu, jiruhusu uongozwe, na sasa utahisi, kama nilivyohisi, sehemu ya mnyororo huu mkubwa usioonekana, ambao mwanzo wake umefichwa mbinguni, - alisema. Pierre.
Prince Andrei, kimya, akitazama mbele yake, alisikiliza hotuba ya Pierre. Mara kadhaa, bila kusikia kelele za gari, aliuliza Pierre kwa maneno ambayo hayajasikika. Kutoka kwa uzuri maalum ambao uliangaza machoni pa Prince Andrei, na kutoka kwa ukimya wake, Pierre aliona kwamba maneno yake hayakuwa ya bure, kwamba Prince Andrei hatamkatisha na hatacheka maneno yake.
Waliendesha gari hadi kwenye mto uliofurika, ambao ilibidi wavuke kwa feri. Wakati gari na farasi zikiwekwa, walienda kwenye feri.
Prince Andrei, akiegemea matusi, alitazama kimya kando ya mafuriko yakiangaza kutoka kwa jua linalotua.
- Kweli, unafikiria nini juu yake? - aliuliza Pierre, - kwa nini uko kimya?
- Nadhani nini? Nilikusikiliza. Haya yote ni hivyo, - alisema Prince Andrei. - Lakini nyinyi mnasema: Jiunge na udugu wetu, na tutakuonyesha madhumuni ya maisha na madhumuni ya mwanadamu, na sheria zinazoongoza ulimwengu. Lakini sisi ni nani watu? Kwa nini unajua kila kitu? Mbona mimi peke yangu sioni unachokiona? Unauona ufalme wa wema na ukweli duniani, lakini mimi sioni.
Pierre alimkatisha. Je, unaamini katika maisha yajayo? - aliuliza.
- Kwa maisha yajayo? - alirudia Prince Andrei, lakini Pierre hakumpa wakati wa kujibu na akachukua marudio haya kwa kukataa, haswa kwani alijua imani za zamani za kutokuwepo kwa Prince Andrei.
- Unasema kwamba huwezi kuona eneo la wema na ukweli duniani. Na sikumwona, na huwezi kumwona ikiwa unatazama maisha yetu kama mwisho wa kila kitu. Duniani, haswa kwenye dunia hii (Pierre alielekeza kwenye uwanja), hakuna ukweli - kila kitu ni uwongo na uovu; lakini katika ulimwengu, katika ulimwengu wote, kuna ufalme wa kweli, na sisi sasa ni wana wa dunia, na milele wana wa ulimwengu wote. Je, sijisikii nafsini mwangu kuwa mimi ni sehemu ya jambo hili kubwa na lenye usawa. Je, sijisikii kuwa niko katika idadi hii kubwa isiyohesabika ya viumbe ambamo Uungu unadhihirika - nguvu ya juu kabisa, upendavyo - kwamba mimi ni kiungo kimoja, hatua moja kutoka kwa viumbe vya chini hadi vya juu zaidi. Ikiwa ninaona, naona ngazi hii inayoongoza kutoka kwa mmea hadi kwa mwanadamu, basi kwa nini nadhani kwamba ngazi hii imeingiliwa nami, na haiongoi zaidi na zaidi. Ninahisi sio tu kwamba siwezi kutoweka, kama vile hakuna chochote ulimwenguni kinachopotea, lakini kwamba nitakuwa daima na nimekuwa. Ninahisi kwamba kando yangu, roho huishi juu yangu na kwamba kuna ukweli katika ulimwengu huu.
"Ndio, hii ni fundisho la Herder," Prince Andrei alisema, "lakini sio kwamba, roho yangu, itanishawishi, lakini maisha na kifo, ndivyo vinavyosadikisha. Inakuhakikishia kwamba unaona kiumbe mpendwa kwako, ambaye ameunganishwa na wewe, ambaye ulikuwa na hatia mbele yako na ulitarajia kujihesabia haki (Prince Andrei alitetemeka kwa sauti yake na akageuka) na ghafla kiumbe hiki kinateseka, kinateseka na huacha kuwa . .. Kwa nini? Haiwezi kuwa hakuna jibu! Na ninaamini yeye ni ... Hiyo ndiyo inayoshawishi, hiyo ndiyo iliyonishawishi, - alisema Prince Andrei.
"Kweli, ndio, ndio," Pierre alisema, "sivyo ninasema pia!"
- Hapana. Ninasema tu kwamba sio mabishano ambayo yanakushawishi juu ya hitaji la maisha yajayo, lakini unapotembea maishani ukiwa umeshikana mkono na mtu, na ghafla mtu huyu hatoweka mahali popote, na wewe mwenyewe unasimama mbele ya shimo hili. angalia ndani yake. Na nikaangalia ...
- Kweli, kwa nini! Je! unajua kuna nini na mtu ni nini? Kuna maisha ya baadaye. Mtu fulani ni Mungu.
Prince Andrew hakujibu. Gari na farasi zilikuwa zimeletwa kwa muda mrefu upande wa pili na zilikuwa tayari zimewekwa chini, na jua lilikuwa tayari limetoweka hadi nusu, na baridi ya jioni ilifunika madimbwi karibu na kivuko na nyota, na Pierre na Andrei, kwa mshangao. ya lackeys, coachmen na flygbolag, walikuwa bado wamesimama juu ya feri na kuzungumza.
- Ikiwa kuna Mungu na kuna maisha ya baadaye, basi kuna ukweli, kuna wema; na furaha ya juu kabisa ya mwanadamu ni kujitahidi kuyafikia. Lazima tuishi, lazima tupende, lazima tuamini, - alisema Pierre, - kwamba hatuishi sasa kwenye kipande hiki cha ardhi, lakini tumeishi na tutaishi milele huko katika kila kitu (alisema angani). Prince Andrei alisimama akiegemea kwenye matusi ya kivuko na, akimsikiliza Pierre, bila kuondoa macho yake, akatazama mwonekano mwekundu wa jua juu ya mafuriko ya bluu. Pierre yuko kimya. Kulikuwa kimya kabisa. Kivuko kilikuwa kimetua zamani sana, na mawimbi ya mkondo yenye sauti hafifu pekee ndiyo yaligonga sehemu ya chini ya kivuko hicho. Ilionekana kwa Prince Andrei kwamba suuza hii ya mawimbi ilikuwa ikisema kwa maneno ya Pierre: "Kweli, amini hili."
Prince Andrei alipumua, na kwa uso wa kung'aa, wa kitoto na mwororo akamtazama Pierre mwenye furaha, mwenye shauku, lakini bado alikuwa na woga mbele ya rafiki yake mkuu.
"Ndio, ikiwa ndivyo ilivyo!" - alisema. "Walakini, twende tukaketi," Prince Andrei akaongeza, na kuondoka kwenye kivuko, akatazama angani, ambayo Pierre alimwonyesha, na kwa mara ya kwanza, baada ya Austerlitz, aliona anga ya juu, ya milele, ambayo aliona amelala kwenye uwanja wa Austerlitz, na kitu kilicholala kwa muda mrefu, kitu bora zaidi kilichokuwa ndani yake, ghafla kiliamka kwa furaha na ujana katika nafsi yake. Hisia hii ilitoweka mara tu Prince Andrei alipoingia katika hali ya kawaida ya maisha tena, lakini alijua kuwa hisia hii, ambayo hakujua jinsi ya kukuza, iliishi ndani yake. Mkutano na Pierre ulikuwa wa Prince Andrei enzi ambayo, ingawa kwa sura ilikuwa sawa, lakini katika ulimwengu wa ndani, maisha yake mapya yalianza.

Kulikuwa tayari kuingia wakati Prince Andrei na Pierre waliendesha gari hadi kwenye lango kuu la nyumba ya Lysogorsky. Walipokuwa wakiendesha gari, Prince Andrei kwa tabasamu alivuta hisia za Pierre kwenye machafuko ambayo yalikuwa yametokea kwenye ukumbi wa nyuma. Kikongwe aliyeinama akiwa na kibegi mgongoni, na mwanamume mfupi aliyevalia vazi jeusi na mwenye nywele ndefu, alipoona gari likiingia ndani, alikimbia kurudi nyuma kupitia lango. Wanawake wawili walikimbia baada yao, na wote wanne, wakitazama nyuma kwenye gari, walikimbia kwa hofu hadi kwenye ukumbi wa nyuma.
"Hizi ni Mashine za Mungu," Prince Andrei alisema. Walituchukua kama baba yao. Na hili ndilo jambo pekee ambalo hamtii: anaamuru kuwaendesha hawa watangatanga, na anawakubali.
- Watu wa Mungu ni nini? Pierre aliuliza.
Prince Andrei hakuwa na wakati wa kumjibu. Watumishi walitoka kwenda kumlaki, na akauliza mahali ambapo mkuu wa zamani alikuwa na ni muda gani walikuwa wakimngojea.
Mkuu huyo mzee alikuwa bado yuko mjini, na walikuwa wakimngojea kila dakika.
Prince Andrei alimwongoza Pierre kwenye makao yake, ambayo yalikuwa yakimngojea kwa mpangilio kamili katika nyumba ya baba yake, na yeye mwenyewe akaenda kwenye kitalu.
"Twende kwa dada yangu," Prince Andrei alisema, akirudi kwa Pierre; - Sijamwona bado, sasa amejificha na kukaa na watu wake wa Mungu. Mtumikie kwa haki, ataaibika, na utawaona watu wa Mungu. C "est curieux, ma parole. [Hii inashangaza, kwa uaminifu.]
- Qu "est ce que c" est que [Je! Watu wa Mungu ni nini? Pierre aliuliza.
- Lakini utaona.
Princess Mary alikuwa na aibu sana na aliona haya mahali walipoingia kwake. Katika chumba chake cha starehe na taa mbele ya kesi za icon, kwenye sofa, kwenye samovar, aliketi karibu naye mvulana mdogo mwenye pua ndefu na nywele ndefu, na katika cassock ya monastic.
Juu ya kiti cha mkono, kando yake, alikaa mwanamke mzee aliyekunjamana, mwembamba na sura ya upole ya uso wa mtoto.
Andrey, pourquoi ne pas m "avoir prevenu? [Andrey, kwa nini hawakunionya?] - alisema kwa dharau ya upole, akiwa amesimama mbele ya watembezi wake, kama kuku mbele ya kuku.
- Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Nimefurahi sana kukuona. Nimefurahiya sana kukuona,] alimwambia Pierre, huku akibusu mkono wake. Alimjua kama mtoto, na sasa urafiki wake na Andrei, bahati mbaya yake na mkewe, na muhimu zaidi, uso wake wa fadhili na rahisi, ulimfanya apendezwe naye. Alimtazama kwa macho yake mazuri, yenye kung'aa na alionekana kusema: "Ninakupenda sana, lakini tafadhali usicheke yangu." Baada ya kupeana maneno ya kwanza ya salamu, wakaketi.
"Ah, na Ivanushka yuko hapa," Prince Andrei alisema, akionyesha tabasamu kwa yule mtu anayetangatanga.
- Andrew! Alisema Princess Mary kwa kusihi.
- Il faut que vous sachiez que c "est une femme, [Jua kwamba huyu ni mwanamke] - alisema Andrei kwa Pierre.
Andre, au nom de Dieu! [Andrey, kwa ajili ya Mungu!] - alirudia Princess Marya.
Ilibainika kuwa mtazamo wa dhihaka wa Prince Andrei kwa watanganyika na maombezi yasiyo na maana kwao na Princess Marya yalikuwa ya kawaida, yalianzisha uhusiano kati yao.
- Mais, ma bonne amie, - alisema Prince Andrei, - vous devriez au contraire m "etre reconaissante de ce que j" explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme ... [Lakini, rafiki yangu, unapaswa kunishukuru. kwamba ninamweleza Pierre ukaribu wako na kijana huyu.]
- Kukasirika? [Kweli?] - Pierre alisema kwa udadisi na kwa umakini (ambayo Princess Mary alimshukuru sana), akitazama kupitia glasi kwenye uso wa Ivanushka, ambaye, akigundua kuwa ilikuwa juu yake, alitazama kila mtu kwa macho ya ujanja.
Princess Marya alikuwa na aibu isiyo ya lazima kwa watu wake mwenyewe. Hawakusita hata kidogo. Mwanamke mzee, akiinamisha macho yake, lakini akiwatazama wageni, akipiga kikombe chake juu ya sahani na kuweka kipande cha sukari karibu naye, kwa utulivu na bila kusonga akaketi kwenye kiti chake, akisubiri kupewa chai zaidi. Ivanushka, akinywa kutoka kwenye sufuria, aliwatazama vijana kwa macho ya mjanja, ya kike kutoka chini ya nyusi zake.
- Ambapo, katika Kyiv ilikuwa? Prince Andrei alimuuliza yule mzee.
- Kulikuwa, baba, - mwanamke mzee alijibu kwa upole, - kwenye Krismasi yenyewe, aliheshimiwa kuwasiliana na watakatifu, siri za mbinguni. Na sasa kutoka kwa Kolyazin, baba, neema kubwa imefungua ...
- Kweli, Ivanushka yuko pamoja nawe?
"Ninatembea peke yangu, mtoaji," Ivanushka alisema, akijaribu kuongea kwa sauti ya bass. - Ni katika Yukhnov tu walikubaliana na Pelageyushka ...
Pelageyushka alimkatisha mwenzake; Alionekana kutaka kusema alichokiona.
- Katika Kolyazin, baba, neema kubwa imefungua.
- Kweli, nakala mpya? aliuliza Prince Andrew.
"Inatosha, Andrei," Princess Mary alisema. - Usiniambie, Pelageushka.
- Hapana ... wewe ni nini, mama, kwa nini usiambie? Nampenda. Yeye ni mkarimu, aliyetolewa na Mungu, alinipa, mfadhili, rubles, nakumbuka. Nilipokuwa Kyiv, Kiryusha mjinga mtakatifu ananiambia - kweli mtu wa Mungu, anatembea bila viatu wakati wa baridi na majira ya joto. Kwa nini unatembea, anasema, kutoka mahali pako, nenda kwa Kolyazin, kuna icon ya miujiza, Mama Bikira Maria amefungua. Kwa maneno hayo, niliwaaga watakatifu na kwenda ...
Kila mtu alikuwa kimya, mzururaji mmoja alizungumza kwa sauti ya kipimo, akivuta hewa.
- Baba yangu, watu walinijia na kusema: neema kubwa imefunguliwa, kwa Mama Bikira aliyebarikiwa Mariamu anashuka kutoka kwenye shavu lake ...
"Kweli, sawa, utaniambia baadaye," Princess Marya alisema, akiona haya.
"Wacha nimuulize," Pierre alisema. - Ulijiona mwenyewe? - aliuliza.
- Jinsi, baba, yeye mwenyewe aliheshimiwa. Mwangaza wa uso wake ni kama nuru ya mbinguni, na kutoka kwenye shavu la mama yake hudondoka na kudondoka ...
"Lakini huu ni udanganyifu," Pierre alisema kwa ujinga, akimsikiliza kwa makini yule mtu anayetangatanga.
"Ah, baba, unazungumza nini!" - Pelageyushka alisema kwa mshtuko, akimgeukia Princess Marya kwa ulinzi.
"Wanawahadaa watu," alirudia.
- Bwana Yesu Kristo! - alivuka alisema mgeni. “Oh, usiongee, baba. Kwa hivyo mchambuzi mmoja hakuamini, alisema: "watawa wanadanganya", lakini kama alivyosema, alipofuka. Na aliota kwamba Mama Pecherskaya alimjia na kusema: "Niamini, nitakuponya." Kwa hiyo alianza kuuliza: nichukue na unipeleke kwake. Nakuambia ukweli, niliona mwenyewe. Wakamleta kipofu moja kwa moja kwake, wakaja, wakaanguka chini, wakasema: “Poza! Nitakupa wewe, asema, katika kile mfalme alilalamika. Niliona mwenyewe, baba, nyota imeingizwa ndani yake. Naam, kumekucha! Ni makosa kusema hivyo. Mungu ataadhibu, "aliongea Pierre kwa kufundisha.
- Nyota ilijikutaje kwenye picha? Pierre aliuliza.
- Je, ulimfanya mama yako kuwa jenerali? - alisema Prince Andrei akitabasamu.
Pelageushka ghafla aligeuka rangi na akashika mikono yake.
"Baba, baba, dhambi juu yako, una mtoto wa kiume!" aliongea, ghafla akageuka kutoka weupe na kuwa rangi angavu.
- Baba, ulisema nini, Mungu akusamehe. - Alijivuka. “Mungu, msamehe. Mama, hii ni nini? ... - alimgeukia Princess Marya. Aliinuka na karibu kulia akaanza kukusanya mkoba wake. Ni dhahiri aliogopa na kuona haya kwamba alifurahia baraka ndani ya nyumba ambamo wangeweza kusema hivi, na ilikuwa ni huruma kwamba sasa ilimbidi kunyimwa baraka za nyumba hii.
- Kweli, unatafuta nini? - alisema Princess Mary. Kwa nini ulikuja kwangu? ...
"Hapana, ninatania, Pelageushka," Pierre alisema. - Princesse, ma parole, je n "ai pas voulu l" mtoaji, [Binti, sikutaka kumuudhi,] nilifanya hivyo. Usifikiri, nilikuwa nikitania, - alisema, akitabasamu kwa woga na kutaka kurekebisha hatia yake. - Baada ya yote, ni mimi, na alikuwa akitania tu.
Pelageyushka alisimama kwa kushangaza, lakini kulikuwa na ukweli wa toba katika uso wa Pierre, na Prince Andrei alimtazama Pelageyushka kwa upole na kisha kwa Pierre hivi kwamba alitulia polepole.

Mzururaji alitulia na, akarudi kwenye mazungumzo, kisha akazungumza kwa muda mrefu juu ya Padre Amphilochius, ambaye alikuwa katika maisha matakatifu kiasi kwamba mkono wake ulinusa harufu ya mkono wake, na jinsi watawa aliowajua katika safari yake ya mwisho kwenda Kyiv walivyompa. funguo za mapango, na jinsi yeye, akichukua crackers pamoja naye, alitumia siku mbili katika mapango na watakatifu. “Nitaomba kwa mmoja, nitasoma, nitaenda kwa mwingine. Pine, nitaenda na kumbusu tena; na vile, mama, ukimya, neema ya namna hiyo hata hutaki kwenda kwenye nuru ya Mungu.
Pierre alimsikiliza kwa makini na kwa umakini. Prince Andrei aliondoka chumbani. Na baada yake, akiwaacha watu wa Mungu kumaliza chai yao, Princess Mary alimwongoza Pierre sebuleni.
“Wewe ni mkarimu sana,” alimwambia.
"Ah, sikufikiria kumuudhi, kwani ninaelewa na kuthamini hisia hizi!
Princess Mary alimtazama kimya na akatabasamu kwa upole. "Baada ya yote, nimekujua kwa muda mrefu na nakupenda kama kaka," alisema. Umempataje Andrew? aliuliza kwa pupa, hakumpa muda wa kusema chochote kwa kujibu maneno yake mazuri. “Ananitia wasiwasi sana. Afya yake ni bora wakati wa baridi, lakini chemchemi iliyopita jeraha lilifunguliwa, na daktari alisema kwamba lazima aende kwa matibabu. Na kimaadili, ninamuogopa sana. Yeye si tabia kama sisi wanawake kuteseka na kulia huzuni yake. Anaibeba ndani yake mwenyewe. Leo ni mchangamfu na mchangamfu; lakini ujio wako ndio ulikuwa na athari kama hiyo kwake: mara chache huwa hivyo. Ukiweza kumshawishi aende nje ya nchi! Anahitaji shughuli, na maisha haya laini, ya utulivu yanamharibu. Wengine hawatambui, lakini naona.
Saa 10 wahudumu walikimbilia barazani, wakasikia kengele za gari la mkuu wa zamani zikikaribia. Prince Andrei na Pierre pia walitoka kwenye ukumbi.
- Huyu ni nani? aliuliza mkuu wa zamani, akitoka nje ya gari na kubahatisha Pierre.
- AI ina furaha sana! busu, - alisema, baada ya kujifunza ni nani kijana asiyejulikana.
Mkuu huyo mzee alikuwa na roho nzuri na alimtendea Pierre kwa fadhili.
Kabla ya chakula cha jioni, Prince Andrei, akirudi kwenye masomo ya baba yake, alimkuta mkuu huyo wa zamani katika mabishano makali na Pierre.
Pierre alisema kwamba wakati ungefika ambapo hakutakuwa na vita tena. Mkuu wa zamani, akitania, lakini hakuwa na hasira, alimpa changamoto.
- Hebu damu nje ya mishipa, kumwaga maji, basi hakutakuwa na vita. Upuuzi wa mwanamke, upuuzi wa mwanamke, "alisema, lakini bado akampiga Pierre begani kwa upendo, akaenda kwenye meza, ambayo Prince Andrei, inaonekana hakutaka kuingia kwenye mazungumzo, alikuwa akipanga karatasi zilizoletwa na mkuu kutoka. Mji. Mkuu mzee alimsogelea na kuanza kuongea juu ya biashara.
- Kiongozi, Hesabu Rostov, hakutoa nusu ya watu. Alikuja jijini, aliamua kuita chakula cha jioni, - nilimuuliza chakula cha jioni kama hicho ... Lakini angalia hii ... Naam, ndugu, - Prince Nikolai Andreevich alimgeukia mtoto wake, akipiga Pierre kwenye bega, - umefanya vizuri rafiki yako, nilimpenda! Hunitia moto. Yule mwingine anaongea maneno ya busara, lakini sitaki kusikiliza, lakini anadanganya na kunichoma, mzee. Kweli, nenda, nenda, - alisema, - labda nitakuja, nitakaa kwenye chakula chako cha jioni. Nitapiga dau tena. Mpende mpumbavu wangu, Princess Mary, "alipiga kelele kwa Pierre kutoka mlangoni.
Pierre sasa tu, kwenye ziara yake kwenye Milima ya Bald, alithamini nguvu kamili na haiba ya urafiki wake na Prince Andrei. Haiba hii haikuonyeshwa sana katika uhusiano wake na yeye mwenyewe, lakini katika uhusiano na jamaa na kaya zote. Pierre, pamoja na mkuu wa zamani, mkali na Princess Mariamu mpole na mwoga, licha ya ukweli kwamba hakuwafahamu sana, mara moja alihisi kama rafiki wa zamani. Wote tayari walimpenda. Sio tu Binti Maria, aliyehongwa na tabia yake ya upole kwa wazururaji, alimtazama kwa macho ya kung'aa zaidi; lakini Prince Nikolai wa umri wa mwaka mmoja, kama babu yake alivyomwita, alitabasamu Pierre na kwenda mikononi mwake. Mikhail Ivanovich, m lle Bourienne alimtazama kwa tabasamu la furaha alipozungumza na mkuu wa zamani.