Ni kwa nambari gani ishara ya ukosefu wa usawa ni sahihi? Somo la video "Sifa za usawa wa nambari"

Taarifa hiyo imethibitishwa.

Kwa kweli, kwa mfano, 2< 3, но

Mali 4. Ikiwa a > b na c > d, basi a + c > b+ d.

Ushahidi. Kwa kuwa a>b na c >d, basi tofauti a-b na c-d ni nambari chanya. Kisha jumla ya nambari hizi pia ni nambari chanya (a-b)+(c-d). Hebu tufungue mabano na kikundi (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Kwa kuzingatia usawa huu, usemi unaotokana (a+c)-(b+d) utakuwa nambari chanya. Kwa hiyo, a+ c> b+ d.

Ukosefu wa usawa wa fomu a>b, c >d au a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b,c

Mali 5. Ikiwa a > b, c > d, basi ac> bd, ambapo a, b, c, d ni nambari chanya.

Ushahidi. Kwa kuwa a>b na c ni nambari chanya, basi, kwa kutumia mali 3, tunapata ac > bc. Kwa kuwa c >d na b ni nambari chanya, basi bc > bd. Kwa hivyo, kwa mali ya kwanza ac > bd. Maana ya mali iliyothibitishwa ni kama ifuatavyo: “Ikiwa tutazidisha istilahi kwa istilahi kukosekana kwa usawa kwa maana sawa, ambayo pande zake za kushoto na kulia ni nambari chanya, tunapata usawa wa maana sawa.

Kwa mfano, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Mali 6. Iwapo a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Ushahidi. Iwapo tutazidisha n kutokana na kukosekana kwa usawa muda kwa muhula a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же shahada ya asili, kuweka ishara ya ukosefu wa usawa."

§ 3 Utumiaji wa mali

Hebu fikiria mfano wa matumizi ya mali ambazo tumezingatia.

Acha 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Wacha tukadirie jumla a + b. Kwa kutumia mali 4, tunapata 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Wacha tukadirie tofauti a - b. Kwa kuwa hakuna mali ya kutoa, tunabadilisha tofauti a - b na jumla ya + (-b). Kwanza hebu tukadirie (- b). Ili kufanya hivyo, kwa kutumia mali 3, pande zote mbili za usawa 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Tunapata -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Wacha tukadirie bidhaa a ∙ b. Kwa mali 5, tunazidisha usawa wa ishara sawa

Tulijifunza kuhusu ukosefu wa usawa shuleni, ambapo tunatumia kutofautiana kwa nambari. Katika makala hii tutazingatia mali ya kutofautiana kwa nambari, ambayo kanuni za kufanya kazi nao zinajengwa.

Mali ya kutofautiana ni sawa na mali ya kutofautiana kwa nambari. Sifa, uhalali wake utazingatiwa, na mifano itatolewa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Usawa wa nambari: ufafanuzi, mifano

Wakati wa kuanzisha dhana ya kutofautiana, tuna kwamba ufafanuzi wao unafanywa na aina ya rekodi. Kuna misemo ya aljebra ambayo ina ishara ≠,< , >, ≤ , ≥ . Hebu tupe ufafanuzi.

Ufafanuzi 1

Ukosefu wa usawa wa nambari inayoitwa ukosefu wa usawa ambapo pande zote mbili zina nambari na misemo ya nambari.

Tunazingatia usawa wa nambari shuleni baada ya kusoma nambari za asili. Operesheni hizo za kulinganisha zinasomwa hatua kwa hatua. Ya awali inaonekana kama 1< 5 , 5 + 7 >3. Baada ya hapo sheria zinaongezewa, na kutofautiana kuwa ngumu zaidi, basi tunapata usawa wa fomu 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Tabia za usawa wa nambari

Ili kufanya kazi na usawa kwa usahihi, lazima utumie mali ya kutofautiana kwa nambari. Wanatoka kwa dhana ya usawa. Dhana hii inafafanuliwa kwa kutumia taarifa, ambayo huteuliwa kama "zaidi" au "chini."

Ufafanuzi 2

• nambari a ni kubwa kuliko b wakati tofauti a - b ni nambari chanya;
• nambari a ni chini ya b wakati tofauti a - b ni nambari hasi;
• nambari a ni sawa na b wakati tofauti a - b ni sifuri.

Ufafanuzi hutumika wakati wa kusuluhisha ukosefu wa usawa na uhusiano "chini ya au sawa na," "kubwa kuliko au sawa na." Tunapata hilo

Ufafanuzi 3

• a ni kubwa kuliko au sawa na b wakati a - b ni nambari isiyo hasi;
• a ni chini ya au sawa na b wakati a - b ni nambari isiyo chanya.

Ufafanuzi utatumika kuthibitisha sifa za kutofautiana kwa nambari.

Mali ya msingi

Wacha tuangalie kukosekana kwa usawa kuu 3. Matumizi ya ishara< и >tabia ya sifa zifuatazo:

Ufafanuzi 4

• kupambana na reflexivity, ambayo inasema kwamba nambari yoyote a kutoka kwa ukosefu wa usawa a< a и a >a inachukuliwa kuwa sio sahihi. Inajulikana kuwa kwa usawa wowote a - a = 0 inashikilia, kwa hivyo tunapata hiyo a = a. Hivyo a< a и a >a si sahihi. Kwa mfano, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 sio sahihi.
• asymmetry. Wakati nambari a na b ziko hivi a< b , то b >a, na kama a > b, basi b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Sehemu ya pili yake inathibitishwa kwa njia sawa.

Mfano 1

Kwa mfano, kutokana na ukosefu wa usawa 5< 11 имеем, что 11 >5, ambayo ina maana ya ukosefu wake wa usawa wa nambari - 0, 27 > - 1, 3 itaandikwa upya kama - 1, 3< − 0 , 27 .

Kabla ya kuendelea na kwa mali ifuatayo, kumbuka kuwa kwa msaada wa asymmetry unaweza kusoma usawa kutoka kulia kwenda kushoto na kinyume chake. Kwa njia hii, usawa wa nambari unaweza kubadilishwa na kubadilishwa.

Ufafanuzi 5

• upitishaji. Wakati nambari a, b, c zinakidhi hali a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b na b > c , kisha a > c .

Ushahidi 1

Taarifa ya kwanza inaweza kuthibitishwa. Hali a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Sehemu ya pili na mali ya upitishaji imethibitishwa kwa njia sawa.

Mfano 2

Tunazingatia mali iliyochanganuliwa kwa kutumia mfano wa ukosefu wa usawa - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 na 1 8 > 1 32 inafuata kwamba 1 2 > 1 32.

Tofauti za nambari, ambazo zimeandikwa kwa kutumia ishara dhaifu za usawa, zina sifa ya kubadilika, kwa sababu a ≤ a na ≥ a inaweza kuwa na kesi ya usawa a = a. Wao ni sifa ya asymmetry na transitivity.

Ufafanuzi 6

Ukosefu wa usawa ambao una ishara ≤ na ≥ katika uandishi wao una sifa zifuatazo:

• reflexivity a ≥ a na a ≤ a huchukuliwa kuwa tofauti za kweli;
• antisymmetry, wakati ≤ b, kisha b ≥ a, na ikiwa ≥ b, basi b ≤ a.
• transitivity, wakati ≤ b na b ≤ c, kisha ≤ c, na pia, ikiwa ≥ b na b ≥ c, basi ≥ c.

Uthibitisho unafanywa kwa njia sawa.

Sifa zingine muhimu za usawa wa nambari

Ili kuongeza mali ya msingi ya kutofautiana, matokeo hutumiwa ambayo yana umuhimu wa vitendo. Kanuni ya njia hutumiwa kukadiria maadili ya misemo, ambayo kanuni za kutatua usawa zinatokana.

Kifungu hiki kinaonyesha sifa za usawa kwa ishara moja ya usawa mkali. Vile vile hufanyika kwa wale ambao sio kali. Wacha tuangalie mfano, kuunda ukosefu wa usawa ikiwa a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• ikiwa a > b, basi a + c > b + c;
• ikiwa ≤ b, basi a + c ≤ b + c;
• ikiwa ≥ b, basi a + c ≥ b + c.

Kwa uwasilishaji unaofaa, tunatoa taarifa inayolingana, ambayo imeandikwa na ushahidi hutolewa, mifano ya matumizi inaonyeshwa.

Ufafanuzi 7

Kuongeza au kuhesabu nambari kwa pande zote mbili. Kwa maneno mengine, wakati a na b inalingana na ukosefu wa usawa a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Ushahidi 2

Ili kuthibitisha hili, mlinganyo lazima ukidhi sharti a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество nambari za kweli inaweza kubadilishwa kwa kuongeza nambari kinyume- Pamoja.

Mfano 3

Kwa mfano, ikiwa tutaongeza pande zote mbili za usawa 7 > 3 kwa 15, basi tunapata hiyo 7 + 15 > 3 + 15. Hii ni sawa na 22 > 18.

Ufafanuzi 8

Wakati pande zote mbili za ukosefu wa usawa zinapozidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa c, tunapata ukosefu wa usawa wa kweli. Ikiwa unachukua nambari hasi, ishara itabadilika kuwa kinyume. Vinginevyo inaonekana kama hii: kwa a na b ukosefu wa usawa unashikilia wakati a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c.

Ushahidi 3

Wakati kuna kesi c> 0, ni muhimu kufanya tofauti kati ya kushoto na sehemu za kulia ukosefu wa usawa. Kisha tunapata kwamba a · c − b · c = (a -b) · c. Kutoka kwa hali A< b , то a − b < 0 , а c >0, basi bidhaa (a - b) · c itakuwa hasi. Inafuata kwamba a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Wakati wa kudhibitisha, mgawanyiko kwa nambari kamili unaweza kubadilishwa na kuzidisha na kinyume cha ile iliyotolewa, ambayo ni, 1 c. Wacha tuangalie mfano wa mali kwenye nambari fulani.

Mfano 4

Pande zote mbili za usawa 4 zinaruhusiwa< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sasa hebu tutengeneze matokeo mawili yafuatayo, ambayo hutumiwa katika kutatua usawa:

• Muhimu 1. Wakati wa kubadilisha ishara za sehemu za usawa wa nambari, ishara ya usawa yenyewe inabadilika kuwa kinyume, kama a< b , как − a >− b . Hii inafuata kanuni ya kuzidisha pande zote mbili kwa - 1. Inatumika kwa mpito. Kwa mfano, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Muhimu 2. Wakati wa kubadilisha sehemu za usawa wa nambari na nambari tofauti, ishara yake pia inabadilika, na usawa unabaki kuwa kweli. Kwa hivyo tunayo kwamba a na b ni nambari chanya, a< b , 1 a >1 b.

Wakati wa kugawanya pande zote mbili za usawa a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 tuna hiyo 15< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b inaweza kuwa sio sahihi.

Mfano 5

Kwa mfano, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ni mlinganyo usio sahihi.

Pointi zote zimeunganishwa na ukweli kwamba vitendo kwenye sehemu za ukosefu wa usawa hutoa usawa sahihi katika pato. Hebu fikiria mali ambapo awali kuna kutofautiana kwa idadi kadhaa, na matokeo yake hupatikana kwa kuongeza au kuzidisha sehemu zake.

Ufafanuzi 9

Wakati nambari a, b, c, d ni halali kwa ukosefu wa usawa a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Ushahidi 4

Wacha tuthibitishe kuwa (a + c) − (b + d) ni nambari hasi, basi tunapata hiyo + c.< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям nambari sawa. Kisha tunaongeza ukosefu wa usawa a< b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Mali hiyo hutumiwa kwa nyongeza ya muda baada ya muda ya tofauti tatu, nne au zaidi za nambari. Nambari a 1 , a 2 , … , a n na b 1 , b 2 , … , b n zinakidhi kukosekana kwa usawa a 1 .< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод induction ya hisabati, baada ya kupokea 1 + a 2 + ... + a n< b 1 + b 2 + … + b n .

Mfano 6

Kwa mfano, kutokana na kutofautiana kwa nambari tatu za ishara sawa - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Ufafanuzi 10

Kuzidisha kwa maneno ya pande zote mbili husababisha nambari chanya. Wakati a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Ushahidi 5

Ili kuthibitisha hili, tunahitaji pande zote mbili za ukosefu wa usawa a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Mali hii inachukuliwa kuwa halali kwa idadi ya nambari ambazo pande zote mbili za usawa lazima ziongezwe. Kisha a 1 , a 2 , … , a n Na b 1, b 2, ..., b n ni nambari chanya, ambapo 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Kumbuka kwamba wakati wa kuandika usawa kuna nambari zisizo nzuri, basi kuzidisha kwao kwa muda kwa muda husababisha kutofautiana kwa usahihi.

Mfano 7

Kwa mfano, ukosefu wa usawa 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Matokeo: Kuzidisha kwa maneno ya kukosekana kwa usawa a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Tabia za usawa wa nambari

Wacha tuzingatie sifa zifuatazo za usawa wa nambari.

1. a< a , a >a - usawa usio sahihi,
   a ≤ a, a ≥ a ni tofauti za kweli.
2. Ikiwa a< b , то b >a - antisymmetry.
3. Ikiwa a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Ikiwa a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Ikiwa a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Ikiwa a< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.

Muhimu 1: ikiwa a< b , то - a >-b.

Nambari ya 2: ikiwa a na b ni nambari chanya na a< b , то 1 a >1 b.

1. Ikiwa 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Ikiwa 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n ni nambari chanya na 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Muhimu 1: Kama a< b , a Na b ni nambari chanya, kisha n< b n .

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Sifa zifuatazo ni kweli kwa misemo yoyote ya nambari.

Mali 1. Ikiwa tutaongeza kitu kimoja kwa pande zote mbili za usawa wa kweli wa nambari usemi wa nambari, basi tunapata usawa sahihi wa nambari, yaani, ni kweli:; .

Ushahidi. Kama . Kwa kutumia sifa za kubadilisha, ushirika na usambazaji wa operesheni ya kuongeza tunayo: .

Kwa hivyo, kwa ufafanuzi wa uhusiano "kubwa kuliko" .

Mali 2. Tukiondoa usemi sawa wa nambari kutoka pande zote mbili za usawa wa kweli wa nambari, tunapata ukosefu wa usawa wa nambari, yaani, yafuatayo ni kweli: ;

Ushahidi. Kwa hali . Kutumia mali ya awali, tunaongeza maelezo ya nambari kwa pande zote mbili za usawa huu, na tunapata:.

Kutumia mali ya ushirika ya operesheni ya kuongeza, tunayo:, kwa hiyo , kwa hivyo.

Matokeo. Neno lolote linaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja ya usawa wa nambari hadi nyingine na ishara kinyume.

Mali 3. Ikiwa tutaongeza usawa sahihi wa nambari kwa muhula, tunapata usawa sahihi wa nambari, ambayo ni kweli:

Ushahidi. Kwa mali 1 tunayo: na, kwa kutumia mali ya mpito ya uhusiano "zaidi", tunapata: .

Mali 4. Ukosefu wa kweli wa nambari za maana tofauti unaweza kupunguzwa muda kwa neno, kuhifadhi ishara ya kutofautiana ambayo tunaondoa, yaani:;

Ushahidi. Kwa ufafanuzi wa usawa wa kweli wa nambari . Kwa mali 3, ikiwa. Kama matokeo ya sifa ya 2 ya nadharia hii, neno lolote linaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja ya ukosefu wa usawa hadi nyingine kwa ishara tofauti. Kwa hivyo, . Kwa hivyo, ikiwa.

Mali hiyo imethibitishwa kwa njia sawa.

Mali 5. Ikiwa pande zote mbili za usawa halali wa nambari zinazidishwa na usemi sawa wa nambari, ambayo inachukua thamani chanya, bila kubadilisha ishara ya ukosefu wa usawa, tunapata usawa sahihi wa nambari, ambayo ni:

Ushahidi. Kutoka kwa nini . Tuna: Kisha . Kwa kutumia hali ya usambazaji wa uendeshaji wa kuzidisha kuhusiana na kutoa, tuna: .

Kisha kwa ufafanuzi uhusiano huo ni "mkubwa kuliko".

Mali hiyo imethibitishwa kwa njia sawa.

Mali 6. Ikiwa pande zote mbili za usawa halali wa nambari zinazidishwa na usemi sawa wa nambari, ambayo inachukua maana hasi, kubadilisha ishara ya usawa kwa kinyume chake, tunapata usawa sahihi wa nambari, yaani:;

Mali 7. Ikiwa pande zote mbili za usawa wa kweli wa nambari zimegawanywa na usemi sawa wa nambari ambao huchukua thamani chanya, bila kubadilisha ishara ya ukosefu wa usawa, basi tunapata usawa wa kweli wa nambari, ambayo ni:

Ushahidi. Tuna: . Kwa mali 5, tunapata:. Kutumia ushirika wa operesheni ya kuzidisha, tunayo: kwa hivyo.

Mali hiyo imethibitishwa kwa njia sawa.

Mali 8. Ikiwa sehemu zote mbili za usawa sahihi wa nambari zinagawanywa na usemi sawa wa nambari ambayo inachukua thamani hasi, kubadilisha ishara ya kutofautiana kwa kinyume chake, basi tunapata usawa sahihi wa nambari, yaani:;

Ushahidi ya mali hii tuachane nayo.

Mali 9. Ikiwa tutazidisha, muhula baada ya muda, kurekebisha usawa wa nambari za maana sawa na sehemu hasi, kubadilisha ishara ya usawa kuwa kinyume, tunapata usawa sahihi wa nambari, ambayo ni:

Tunaacha uthibitisho wa mali hii.

Mali 10. Ikiwa tutazidisha, muhula baada ya muda, kurekebisha usawa wa nambari za maana sawa na sehemu chanya, bila kubadilisha ishara ya ukosefu wa usawa, tunapata usawa sahihi wa nambari, ambayo ni:

Tunaacha uthibitisho wa mali hii.

Mali 11. Ikiwa tutagawanya usawa sahihi wa nambari wa neno tofauti la maana kwa neno na sehemu chanya, kuhifadhi ishara ya ukosefu wa usawa wa kwanza, tunapata usawa sahihi wa nambari, ambayo ni:

;

.

Tunaacha uthibitisho wa mali hii.

Mfano 1. Je, ukosefu wa usawa Na sawa?

Suluhisho. Ukosefu wa pili wa usawa unapatikana kutoka kwa usawa wa kwanza kwa kuongeza kwa sehemu zake zote usemi sawa, ambao haufafanuliwa kwa . Hii ina maana kwamba nambari haiwezi kuwa suluhu kwa ukosefu wa usawa wa kwanza. Hata hivyo, ni suluhisho la usawa wa pili. Kwa hivyo kuna suluhu la ukosefu wa usawa wa pili ambao sio suluhisho la ukosefu wa usawa wa kwanza. Kwa hivyo, usawa huu sio sawa. Ukosefu wa usawa wa pili ni matokeo ya ukosefu wa usawa wa kwanza, kwani suluhisho lolote la usawa wa kwanza ni suluhisho la pili.

Aina kuu za kutofautiana zinawasilishwa, ikiwa ni pamoja na Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev kutofautiana. Mali ya usawa na vitendo juu yao huzingatiwa. Njia za msingi za kutatua usawa zinatolewa.

Fomula za usawa wa kimsingi

Mifumo ya kukosekana kwa usawa kwa wote

Ukosefu wa usawa wa jumla umeridhika kwa maadili yoyote ya idadi iliyojumuishwa ndani yao. Aina kuu za usawa wa ulimwengu wote zimeorodheshwa hapa chini.

1) | b | ≤ |a| + | b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ | 1 | + | 2 | + ... + |a n |

2) |a| + | b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - | b| |

3)
Usawa hutokea tu wakati 1 = a 2 = ... = a n.

4) Cauchy-Bunyakovsky usawa

Usawa unashikilia ikiwa na tu ikiwa α a k = β b k kwa zote k = 1, 2, ..., n na baadhi α, β, |α| + |β| > 0.

5) Ukosefu wa usawa wa Minkowski, kwa p ≥ 1

Mifumo ya usawa wa kutosheleza

Ukosefu wa usawa unaotosheleza huridhika wakati maadili fulani idadi iliyojumuishwa ndani yao.

1) Ukosefu wa usawa wa Bernoulli:
.
Katika zaidi mtazamo wa jumla:
,
ambapo , nambari za ishara sawa na kubwa kuliko -1 : .
Lema ya Bernoulli:
.
Tazama "Uthibitisho wa kutofautiana na lemma ya Bernoulli".

2)
kwa i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Ukosefu wa usawa wa Chebyshev
katika 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Na 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Katika 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Na b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Ukosefu wa usawa wa Chebyshev
katika 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Na 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n na k asili
.
Katika 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Na b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Tabia za usawa

Sifa za usawa ni seti ya sheria ambazo zimeridhika wakati wa kuzibadilisha. Chini ni mali ya kutofautiana. Inaeleweka kuwa kukosekana kwa usawa kwa asili kunakidhiwa kwa maadili ya x i (i = 1, 2, 3, 4) ambayo ni ya muda uliopangwa mapema.

1) Wakati utaratibu wa pande unabadilika, ishara ya kutofautiana inabadilika kinyume chake.
Ikiwa x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Ikiwa x 1 ≤ x 2, basi x 2 ≥ x 1.
Ikiwa x 1 ≥ x 2, basi x 2 ≤ x 1.
Ikiwa x 1 > x 2 basi x 2< x 1 .

2) Usawa mmoja ni sawa na tofauti mbili dhaifu ishara tofauti.
Ikiwa x 1 = x 2, basi x 1 ≤ x 2 na x 1 ≥ x 2.
Ikiwa x 1 ≤ x 2 na x 1 ≥ x 2, basi x 1 = x 2.

3) Mali ya upitishaji
Ikiwa x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ikiwa x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ikiwa x 1 ≤ x 2 na x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ikiwa x 1 ≤ x 2 na x 2 ≤ x 3, basi x 1 ≤ x 3.

4) Nambari sawa inaweza kuongezwa (kupunguzwa) kwa pande zote mbili za usawa.
Ikiwa x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ikiwa x 1 ≤ x 2, basi x 1 + A ≤ x 2 + A.
Ikiwa x 1 ≥ x 2, basi x 1 + A ≥ x 2 + A.
Ikiwa x 1 > x 2, basi x 1 + A > x 2 + A.

5) Ikiwa kuna usawa mbili au zaidi na ishara ya mwelekeo huo, basi pande zao za kushoto na za kulia zinaweza kuongezwa.
Ikiwa x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ikiwa x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ikiwa x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ikiwa x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, basi x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Semi sawa hutumika kwa ishara ≥, >.
Ikiwa usawa wa awali una ishara za kutofautiana zisizo kali na angalau usawa mmoja mkali (lakini ishara zote zina mwelekeo sawa), basi nyongeza husababisha usawa mkali.

6) Pande zote mbili za ukosefu wa usawa zinaweza kuzidishwa (kugawanywa) na nambari chanya.
Ikiwa x 1< x 2 и A >0, kisha A x 1< A · x 2 .
Ikiwa x 1 ≤ x 2 na A > 0, basi A x 1 ≤ A x 2.
Ikiwa x 1 ≥ x 2 na A > 0, basi A x 1 ≥ A x 2.
Ikiwa x 1 > x 2 na A > 0, basi A · x 1 > A · x 2.

7) Pande zote mbili za ukosefu wa usawa zinaweza kuzidishwa (kugawanywa) na nambari hasi. Katika kesi hiyo, ishara ya usawa itabadilika kinyume chake.
Ikiwa x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Ikiwa x 1 ≤ x 2 na A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ikiwa x 1 ≥ x 2 na A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ikiwa x 1 > x 2 na A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ikiwa kuna tofauti mbili au zaidi na wanachama chanya, na ishara ya mwelekeo huo, basi pande zao za kushoto na za kulia zinaweza kuzidishwa na kila mmoja.
Ikiwa x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kisha x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ikiwa x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kisha x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ikiwa x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 kisha x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ikiwa x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 kisha x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Semi sawa hutumika kwa ishara ≥, >.
Ikiwa usawa wa asili una ishara za usawa usio na usawa na angalau usawa mmoja mkali (lakini ishara zote zina mwelekeo sawa), basi kuzidisha husababisha usawa mkali.

9) Acha f(x) iwe kazi inayoongezeka mara kwa mara. Hiyo ni, kwa yoyote x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Kisha kazi hii inaweza kutumika kwa pande zote mbili za usawa, ambayo haitabadilisha ishara ya usawa.
Ikiwa x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ikiwa x 1 ≤ x 2 basi f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ikiwa x 1 ≥ x 2 basi f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ikiwa x 1 > x 2, basi f(x 1) > f(x 2).

10) Acha f(x) iwe kitendakazi cha kupungua kimonotonically, Hiyo ni, kwa x 1 > x 2 yoyote, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ikiwa x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2).
Ikiwa x 1 ≤ x 2 basi f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ikiwa x 1 ≥ x 2 basi f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ikiwa x 1 > x 2 basi f(x 1)< f(x 2) .

Mbinu za kutatua usawa

Kutatua usawa kwa kutumia njia ya muda

Mbinu ya muda inatumika ikiwa ukosefu wa usawa unajumuisha kigezo kimoja, ambacho tunaashiria kama x, na kina fomu:
f(x) > 0
wapi f(x) - kazi inayoendelea, kuwa na nambari ya mwisho pointi za mapumziko. Ishara ya usawa inaweza kuwa chochote: >, ≥,<, ≤ .

Mbinu ya muda ni kama ifuatavyo.

1) Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa kazi f(x) na uweke alama kwa vipindi kwenye mhimili wa nambari.

2) Tafuta alama za kutoendelea za chaguo za kukokotoa f(x). Kwa mfano, ikiwa hii ni sehemu, basi tunapata pointi ambazo denominator inakuwa sifuri. Tunaweka alama hizi kwenye mhimili wa nambari.

3) Tatua mlinganyo
f(x) = 0 .
Tunaashiria mizizi ya equation hii kwenye mhimili wa nambari.

4) Matokeo yake, mhimili wa nambari utagawanywa katika vipindi (sehemu) kwa pointi. Ndani ya kila muda uliojumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi, tunachagua hatua yoyote na kwa hatua hii tunahesabu thamani ya chaguo la kukokotoa. Ikiwa thamani hii ni kubwa kuliko sifuri, basi tunaweka ishara "+" juu ya sehemu (muda). Ikiwa thamani hii ni chini ya sifuri, basi tunaweka ishara "-" juu ya sehemu (muda).

5) Ikiwa ukosefu wa usawa una fomu: f(x) > 0, kisha chagua vipindi kwa ishara "+". Suluhisho la usawa ni kuchanganya vipindi hivi, ambavyo havijumuishi mipaka yao.
Ikiwa ukosefu wa usawa una fomu: f(x) ≥ 0, basi kwenye suluhisho tunaongeza pointi ambazo f(x) = 0. Hiyo ni, vipindi vingine vinaweza kuwa na mipaka iliyofungwa (mpaka ni wa muda). sehemu nyingine inaweza kuwa na mipaka iliyo wazi (mpaka sio wa muda).
Vile vile, ikiwa ukosefu wa usawa una fomu: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ikiwa ukosefu wa usawa una fomu: f(x) ≤ 0, basi kwenye suluhisho tunaongeza pointi ambazo f(x) = 0.

Kutatua usawa kwa kutumia mali zao

Njia hii inatumika kwa usawa wa utata wowote. Inajumuisha kutumia sifa (zilizowasilishwa hapo juu) kuleta ukosefu wa usawa kwa zaidi mtazamo rahisi na kupata suluhu. Inawezekana kabisa kwamba hii itasababisha sio moja tu, lakini mfumo wa kutofautiana. Hii mbinu ya ulimwengu wote. Inatumika kwa usawa wowote.

Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.

USAWA WA MISTARI NA KUTOKUWA NA USAWA I

§ 10 Mali ya msingi usawa wa nambari

1. Ikiwa a > b, Hiyo b< а , na, kinyume chake, ikiwa A< b , Hiyo b > a.

Ushahidi. Hebu a > b . Kwa ufafanuzi, hii inamaanisha kuwa nambari ( a -b ) ni chanya. Ikiwa tutaweka ishara ya minus mbele yake, basi nambari inayotokana ni ( a -b ) itakuwa dhahiri kuwa hasi. Ndiyo maana - ( a -b ) < 0, или b -a < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a .

Tunawaalika wanafunzi kuthibitisha kauli iliyo kinyume wao wenyewe.

Mali iliyothibitishwa ya kutofautiana inaruhusu tafsiri rahisi ya kijiometri: ikiwa hatua A iko kwenye mstari wa nambari kwa haki ya uhakika B, basi uhakika B upo upande wa kushoto wa hatua A, na kinyume chake (tazama Mchoro 20).

2. Ikiwa a>b,a b > c, Hiyo a > c.

Kijiometri, mali hii ni kama ifuatavyo. Wacha alama A (sambamba na nambari A ) iko upande wa kulia wa nukta B (inayolingana na nambari b ), na sehemu B, kwa upande wake, iko upande wa kulia wa nukta C (inayolingana na nambari Na ) Kisha hatua A italala zaidi kwa haki ya uhakika C (Mchoro 21).

Hebu tupe uthibitisho wa algebra mali hii ya ukosefu wa usawa.

Hebu a > b ,a b > c . Hii ina maana kwamba nambari ( a -b ) Na ( b-c ) ni chanya. Jumla ya nambari mbili chanya ni dhahiri chanya. Ndiyo maana ( a -b ) + (b-c ) > 0, au a -c > 0. Lakini hii ina maana kwamba A > Na .

3. Ikiwa a > b, basi kwa nambari yoyote Na a + c > b + c, a -c > b - c.

Kwa maneno mengine, ikiwa unaongeza nambari sawa kwa pande zote mbili za usawa wa nambari au kuondoa nambari sawa kutoka pande zote mbili, basi usawa hautakiukwa.

Ushahidi. Hebu a > b . Ina maana kwamba a -b > 0. Lakini a -b = (a + c ) - (b + c ) Ndiyo maana ( a + c ) - (b + c ) > 0. Na kwa ufafanuzi, hii ina maana kwamba a + c > b + c . Vile vile inaonyeshwa kuwa a -c > b - c .

Kwa mfano, tukiongeza 1 1/2 kwa pande zote mbili za ukosefu wa usawa 5 > 4, tunapata
6 1/2 > 5 1/2. Tukiondoa nambari 5 kutoka pande zote mbili za ukosefu huu wa usawa, tunapata 0 > - 1.

Matokeo. Neno lolote la sehemu moja ya usawa wa nambari linaweza kuhamishiwa sehemu nyingine ya ukosefu wa usawa kwa kubadilisha ishara ya neno hili hadi kinyume.

Hebu, kwa mfano, a + b > c . Inatakiwa kuthibitisha hilo a > c - b . Ili kuithibitisha, inatosha kuondoa nambari kutoka pande zote mbili za usawa huu b .

4. Hebu a > b. Kama c> 0, Hiyo ac > bc . Kama Na< 0 , Hiyo ac< bс .

Kwa maneno mengine, ikiwa pande zote mbili za usawa wa nambari zinazidishwa na nambari nzuri, basi usawa hautakiukwa;
Ikiwa pande zote mbili za usawa zinazidishwa na nambari hasi, basi ishara ya usawa itabadilika kuwa kinyume.

Kwa kifupi, mali hii imeundwa kama ifuatavyo:

Ukosefu wa usawa huhifadhiwa wakati wa kuzidisha kwa muda kwa nambari chanya na mabadiliko ya ishara kwa kinyume wakati wa kuzidisha kwa muda na nambari hasi.

Kwa mfano, kuzidisha ukosefu wa usawa 5 > 1 kwa muda na 7, tunapata 35 > 7. Kuzidisha usawa huo huo kwa muda kwa - 7 inatoa - 35< - 7.

Uthibitisho wa mali ya 4.

Hebu a > b. Hii ina maana kwamba idadi a -b vyema. Bidhaa ya nambari mbili chanya a -b Na Na , ni wazi, pia ni chanya, yaani ( a -b ) Na > 0, au
ac-bc> 0. Kwa hiyo ac > bc .

Kesi inatibiwa vivyo hivyo wakati nambari Na hasi. Bidhaa ya nambari chanya a -b kwa nambari hasi Na , kwa wazi, hasi, i.e.
(a-b) c< 0; Ndiyo maana aс - bс< 0, kutoka wapi ac< bс .

Matokeo. Ishara ya ukosefu wa usawa huhifadhiwa wakati wa kugawanya kwa muda na nambari chanya na kubadilishwa wakati wa kugawanya kwa muda na nambari hasi.

Hii inafuatia kutokana na ukweli kwamba mgawanyiko kwa idadi Na =/= 0 ni sawa na kuzidisha kwa nambari 1 / c .

Mazoezi

81. Je, inawezekana kuzidisha usawa wa 2 > 1 muhula kwa muhula?

A) A 2 + 1; b) | A |; V) A ; d) 1 - 2a + A 2

ili ishara ya ukosefu wa usawa ihifadhiwe?

82. Je, ni daima 5 X zaidi ya 4 X , A - katika kidogo katika ?

83. Nambari inaweza kuwa nini? X , ikiwa inajulikana kuwa - X > 7?

84. Panga nambari kwa mpangilio wa kupanda: a) a 2, 5a 2, 2a 2; b) 5 A , 2A ; V) A , A 2 , A 3. 85. Panga kwa utaratibu wa kushuka wa nambari

a -b , A - 2b , A - 3b .

86. Toa tafsiri ya kijiometri ya mali ya tatu ya kutofautiana kwa nambari.