Fractals katika idadi kuu. Swali la msingi la kazi

Fractals zimejulikana kwa karibu karne, zimesomwa vizuri na zina matumizi mengi maishani. Jambo hili ni msingi sana wazo rahisi: aina nyingi zisizo na mwisho za urembo na anuwai zinaweza kupatikana kutoka kwa miundo rahisi kwa kutumia shughuli mbili tu - kunakili na kuongeza

Dhana hii haina ufafanuzi mkali. Kwa hiyo, neno "fractal" sio neno la hisabati. Hili kwa kawaida ni jina linalopewa takwimu ya kijiometri inayotosheleza moja au zaidi sifa zifuatazo:

ina muundo tata katika ukuzaji wowote;
ni (takriban) inayofanana;
ina mwelekeo wa sehemu ya Hausdorff (fractal), ambayo ni kubwa zaidi kuliko ile ya juu;
inaweza kujengwa kwa taratibu za kujirudia.

Mwanzoni mwa karne ya 19 na 20, uchunguzi wa fractals ulikuwa wa matukio zaidi kuliko utaratibu, kwa sababu hapo awali wanahisabati walisoma vitu "nzuri" ambavyo vinaweza kusomwa kwa kutumia mbinu na nadharia za jumla. Mnamo 1872, mwanahisabati wa Ujerumani Karl Weierstrass aliunda mfano kazi inayoendelea, ambayo hakuna mahali pa kutofautisha. Hata hivyo, ujenzi wake ulikuwa wa kufikirika kabisa na mgumu kuelewa. Kwa hivyo, mnamo 1904, Swede Helge von Koch alikuja na curve inayoendelea ambayo haina tangent popote, na ni rahisi kuchora. Ilibadilika kuwa ina mali ya fractal. Lahaja moja ya curve hii inaitwa "Koch snowflake".

Mawazo ya kufanana kwa takwimu yalichukuliwa na Mfaransa Paul Pierre Levy, mshauri wa baadaye wa Benoit Mandelbrot. Mnamo 1938, nakala yake "Ndege na curves za anga na nyuso zinazojumuisha sehemu zinazofanana na nzima" ilichapishwa, ambayo ilielezea sehemu nyingine - Lévy C-curve. Vipande hivi vyote vilivyoorodheshwa hapo juu vinaweza kuainishwa kwa masharti kuwa aina moja ya frakti za kujenga (kijiometri).

Darasa lingine ni fractal zenye nguvu (algebraic), ambazo ni pamoja na seti ya Mandelbrot. Utafiti wa kwanza katika mwelekeo huu ulianza mwanzoni mwa karne ya 20 na unahusishwa na majina ya wanahisabati wa Kifaransa Gaston Julia na Pierre Fatou. Mnamo mwaka wa 1918, Julia alichapisha kitabu cha karibu kurasa mia mbili kilichotolewa kwa kurudia kazi ngumu. kazi za busara, ambayo inaelezea seti za Julia, familia nzima ya fractals inayohusiana kwa karibu na seti ya Mandelbrot. Kazi hii ilipewa tuzo na Chuo cha Kifaransa, lakini haikuwa na kielelezo kimoja, hivyo haikuwezekana kufahamu uzuri wa vitu vilivyo wazi. Licha ya ukweli kwamba kazi hii ilimfanya Julia kuwa maarufu kati ya wanahisabati wa wakati huo, ilisahaulika haraka.

Tahadhari tena kwa kazi ya Julia na Fatou iligeuka nusu karne tu baadaye, na ujio wa kompyuta: ni wao ambao walionyesha utajiri na uzuri wa ulimwengu wa fractals. Baada ya yote, Fatou hakuweza kamwe kutazama picha ambazo tunazijua sasa kama picha za seti ya Mandelbrot, kwa sababu nambari inayohitajika ya hesabu haiwezi kufanywa kwa mkono. Mtu wa kwanza kutumia kompyuta kwa hili alikuwa Benoit Mandelbrot.

Mnamo 1982, kitabu cha Mandelbrot "Fractal Geometry of Nature" kilichapishwa, ambamo mwandishi alikusanya na kupanga karibu habari zote kuhusu fractals zilizopatikana wakati huo na kuziwasilisha kwa njia rahisi na inayoweza kupatikana. Mandelbrot aliweka mkazo kuu katika uwasilishaji wake sio juu ya fomula nzito na ujenzi wa hesabu, lakini juu ya uvumbuzi wa kijiometri wa wasomaji. Shukrani kwa vielelezo vilivyopatikana kwa kutumia kompyuta na hadithi za kihistoria, ambazo mwandishi alipunguza kwa ustadi sehemu ya kisayansi ya monograph, kitabu hicho kikawa kinauzwa zaidi, na fractals ilijulikana kwa umma kwa ujumla. Mafanikio yao kati ya wasio na hisabati ni kwa kiasi kikubwa kutokana na ukweli kwamba kwa msaada wa ujenzi rahisi sana na kanuni ambazo hata mwanafunzi wa shule ya sekondari anaweza kuelewa, picha za utata wa kushangaza na uzuri hupatikana. Wakati kompyuta za kibinafsi zilipokuwa na nguvu za kutosha, hata mwelekeo mzima katika sanaa ulionekana - uchoraji wa fractal, na karibu mmiliki yeyote wa kompyuta angeweza kufanya hivyo. Sasa kwenye mtandao unaweza kupata tovuti nyingi zinazotolewa kwa mada hii kwa urahisi.

Je, mti, pwani ya bahari, wingu au mishipa ya damu mkononi mwetu? Kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa vitu hivi vyote havina kitu sawa. Hata hivyo, kwa kweli, kuna mali moja ya muundo ambayo ni ya asili katika vitu vyote vilivyoorodheshwa: vinafanana. Kutoka kwa tawi, kama kutoka kwa shina la mti, shina ndogo huenea, kutoka kwao hata ndogo, nk, yaani, tawi ni sawa na mti mzima. Imepangwa kwa njia sawa mfumo wa mzunguko: arterioles huondoka kwenye mishipa, na kutoka kwao - capillaries ndogo zaidi, ambayo oksijeni huingia kwenye viungo na tishu. Hebu tuangalie picha za nafasi pwani ya bahari: tutaona bays na peninsulas; Hebu tuangalie, lakini kutoka kwa jicho la ndege: tutaona bays na capes; Sasa hebu fikiria kwamba tumesimama ufukweni na kutazama miguu yetu: daima kutakuwa na kokoto zinazojitokeza zaidi ndani ya maji kuliko nyingine. Hiyo ni, ukanda wa pwani, wakati wa kuvuta ndani, unabaki sawa na yenyewe. Mtaalamu wa hisabati wa Marekani (ingawa alikulia Ufaransa) Benoit Mandelbrot aliita mali hii ya fractality ya vitu, na vitu hivyo wenyewe - fractals (kutoka Kilatini fractus - kuvunjwa).

Dhana hii haina ufafanuzi mkali. Kwa hiyo, neno "fractal" sio neno la hisabati. Kwa kawaida, fractal ni takwimu ya kijiometri ambayo inakidhi moja au zaidi ya mali zifuatazo: Ina muundo tata kwa ongezeko lolote la kiwango (tofauti na, kwa mfano, mstari wa moja kwa moja, sehemu yoyote ambayo ni takwimu rahisi zaidi ya kijiometri - sehemu. ) Ina (takriban) inafanana. Ina sehemu ya Hausdorff (fractal) mwelekeo, ambayo ni kubwa zaidi kuliko ile ya topolojia. Inaweza kujengwa kwa kutumia taratibu za kujirudia.

Jiometri na algebra

Utafiti wa fractals mwanzoni mwa karne ya 19 na 20 ulikuwa wa matukio zaidi kuliko utaratibu, kwa sababu hapo awali wanahisabati walisoma vitu "nzuri" ambavyo vinaweza kusomwa kwa kutumia mbinu na nadharia za jumla. Mnamo 1872, mwanahisabati wa Ujerumani Karl Weierstrass aliunda mfano wa utendaji unaoendelea ambao hauwezi kutofautishwa popote. Hata hivyo, ujenzi wake ulikuwa wa kufikirika kabisa na mgumu kuelewa. Kwa hivyo, mnamo 1904, Swede Helge von Koch alikuja na curve inayoendelea ambayo haina tangent popote, na ni rahisi kuchora. Ilibadilika kuwa ina mali ya fractal. Lahaja moja ya curve hii inaitwa "Koch snowflake".

Mawazo ya kufanana kwa takwimu yalichukuliwa na Mfaransa Paul Pierre Levy, mshauri wa baadaye wa Benoit Mandelbrot. Mnamo 1938, nakala yake "Ndege na mikondo ya anga na nyuso zinazojumuisha sehemu zinazofanana na nzima" ilichapishwa, ambayo ilielezea sehemu nyingine - Levy C-curve. Vipande hivi vyote vilivyoorodheshwa hapo juu vinaweza kuainishwa kwa masharti kuwa aina moja ya frakti za kujenga (kijiometri).

Darasa lingine ni fractal zenye nguvu (algebraic), ambazo ni pamoja na seti ya Mandelbrot. Utafiti wa kwanza katika mwelekeo huu ulianza mwanzoni mwa karne ya 20 na unahusishwa na majina ya wanahisabati wa Kifaransa Gaston Julia na Pierre Fatou. Mnamo 1918, Julia alichapisha kumbukumbu ya karibu kurasa mia mbili juu ya marudio ya kazi ngumu za busara, ambayo ilielezea seti za Julia, familia nzima ya fractals inayohusiana sana na seti ya Mandelbrot. Kazi hii ilipewa tuzo na Chuo cha Kifaransa, lakini haikuwa na kielelezo kimoja, hivyo haikuwezekana kufahamu uzuri wa vitu vilivyo wazi. Licha ya ukweli kwamba kazi hii ilimfanya Julia kuwa maarufu kati ya wanahisabati wa wakati huo, ilisahaulika haraka. Tahadhari iligeukia tena nusu karne baadaye na ujio wa kompyuta: ni wao ambao walifanya uonekane wa utajiri na uzuri wa ulimwengu wa fractals.

Vipimo vya Fractal

Kama unavyojua, kipimo (idadi ya vipimo) ya takwimu ya kijiometri ni idadi ya kuratibu zinazohitajika kuamua nafasi ya hatua iliyo kwenye takwimu hii.
Kwa mfano, nafasi ya hatua kwenye curve imedhamiriwa na kuratibu moja, juu ya uso (sio lazima ndege) na kuratibu mbili, na katika nafasi ya tatu-dimensional na kuratibu tatu.
Kutoka kwa mtazamo wa jumla wa hisabati, mtu anaweza kufafanua mwelekeo kwa njia hii: ongezeko la vipimo vya mstari, sema, kwa sababu ya mbili, kwa moja-dimensional (kutoka kwa mtazamo wa topolojia) vitu (sehemu) husababisha. ongezeko la ukubwa (urefu) kwa sababu ya mbili, kwa mbili-dimensional (mraba) ongezeko sawa la vipimo vya mstari husababisha ongezeko la ukubwa (eneo) kwa mara 4, kwa tatu-dimensional (mchemraba) - kwa mara 8. Hiyo ni, kipimo cha "halisi" (kinachojulikana kama Hausdorff) kinaweza kuhesabiwa kama uwiano wa logarithm ya ongezeko la "ukubwa" wa kitu hadi logarithm ya ongezeko la ukubwa wa mstari. Hiyo ni, kwa sehemu ya D=logi (2)/logi (2)=1, kwa ndege D=logi (4)/logi (2)=2, kwa ujazo D=logi (8)/logi (2 )=3.
Hebu sasa tuhesabu ukubwa wa curve ya Koch, ili kuunda ambayo sehemu ya kitengo imegawanywa katika sehemu tatu sawa na muda wa kati hubadilishwa na pembetatu ya equilateral bila sehemu hii. Wakati vipimo vya mstari wa sehemu ya chini zaidi huongezeka mara tatu, urefu wa curve ya Koch huongezeka kwa logi (4)/logi (3) ~ 1.26. Hiyo ni, mwelekeo wa curve ya Koch ni sehemu!

Sayansi na sanaa

Mpango wa kupata Curve ya Koch

Vita na Amani

Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, moja ya vitu vya asili ambavyo vina mali ya fractal ni ukanda wa pwani. Kuna kitu kimoja kilichounganishwa nayo, au kwa usahihi zaidi, na jaribio la kupima urefu wake. hadithi ya kuvutia, ambayo iliunda msingi wa makala ya kisayansi ya Mandelbrot, na pia inaelezwa katika kitabu chake "Fractal Geometry of Nature". Tunazungumza juu ya jaribio lililofanywa na Lewis Richardson, mwanahisabati, mwanafizikia na meteorologist mwenye talanta sana na eccentric. Moja ya mwelekeo wa utafiti wake ilikuwa ni jaribio la kutafuta maelezo ya hisabati sababu na uwezekano wa mgogoro wa silaha kati ya nchi hizo mbili. Miongoni mwa vigezo alivyozingatia ni urefu wa mpaka wa pamoja wa nchi hizo mbili zinazopigana. Alipokusanya data za majaribio ya nambari, aligundua data hiyo kwenye mpaka wa pamoja Uhispania na Ureno ni tofauti sana. Hii ilimpeleka kwenye ugunduzi ufuatao: urefu wa mipaka ya nchi inategemea mtawala ambaye tunapima naye. Kiwango kidogo, mpaka mrefu zaidi. Hii ni kutokana na ukweli kwamba kwa ukuzaji mkubwa inakuwa inawezekana kuzingatia bends zaidi na zaidi ya pwani, ambayo hapo awali ilipuuzwa kutokana na ugumu wa vipimo. Na ikiwa, kwa kila ongezeko la kiwango, hapo awali bila kuhesabiwa kwa bends ya mistari hufunuliwa, basi inageuka kuwa urefu wa mipaka hauna mwisho! Kweli, hii haifanyiki - usahihi wa vipimo vyetu una kikomo cha mwisho. Kitendawili hiki kinaitwa athari ya Richardson.

Fractals za kujenga (kijiometri).

Algorithm ya kuunda fractal inayojenga ndani kesi ya jumla ndivyo ilivyo. Kwanza kabisa, tunahitaji maumbo mawili ya kijiometri yanafaa, wacha tuwaite msingi na kipande. Katika hatua ya kwanza, msingi wa fractal ya baadaye inaonyeshwa. Kisha baadhi ya sehemu zake hubadilishwa na kipande kilichochukuliwa kwa kiwango kinachofaa - hii ni iteration ya kwanza ya ujenzi. Kisha takwimu inayotokana inabadilisha tena sehemu fulani kwa takwimu zinazofanana na kipande, nk Ikiwa tunaendelea mchakato huu ad infinitum, basi katika kikomo tutapata fractal.

Wacha tuangalie mchakato huu kwa kutumia Curve ya Koch kama mfano (tazama upau wa kando kwenye ukurasa uliopita). Curve yoyote inaweza kuchukuliwa kama msingi wa curve ya Koch (kwa "Koch snowflake" ni pembetatu). Lakini tutajiwekea kikomo kwa kesi rahisi - sehemu. Kipande ni mstari uliovunjika, umeonyeshwa juu katika takwimu. Baada ya marudio ya kwanza ya algorithm katika kwa kesi hii sehemu ya awali itafanana na kipande, kisha kila sehemu ya sehemu yake yenyewe itabadilishwa na mstari uliovunjika sawa na kipande, nk. Takwimu inaonyesha hatua nne za kwanza za mchakato huu.

Katika lugha ya hisabati: nguvu (algebraic) fractals

Fractals ya aina hii hutokea wakati wa kusoma mifumo ya nguvu isiyo ya mstari (kwa hivyo jina). Tabia ya mfumo kama huo inaweza kuelezewa na kazi ngumu isiyo ya mstari (polynomial) f (z). Wacha tuchukue hatua ya awali z0 kwenye ndege tata (tazama upau wa kando). Sasa fikiria mlolongo huo usio na kipimo wa nambari kwenye ndege changamano, ambayo kila inayofuata inapatikana kutoka kwa ile iliyotangulia: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn) ) Kulingana na nukta z0 ya mwanzo, mlolongo kama huo unaweza kuwa tofauti: huwa na ukomo kama n -> ∞; kuungana kwa hatua fulani ya mwisho; kwa mzunguko kuchukua mfululizo wa maadili yaliyowekwa; Chaguzi ngumu zaidi pia zinawezekana.

Nambari tata

Nambari changamano ni nambari inayojumuisha sehemu mbili - halisi na ya kufikirika, yaani, jumla rasmi x + iy (x na y hapa ni nambari halisi). mimi ndiye anayeitwa kitengo cha kufikirika, yaani, nambari inayotosheleza mlinganyo i^ 2 = -1. Nambari za msingi zinafafanuliwa juu ya nambari changamano. shughuli za hisabati- Kuongeza, kuzidisha, kugawanya, kutoa (operesheni ya kulinganisha pekee haijafafanuliwa). Mara nyingi hutumika kuonyesha nambari changamano uwakilishi wa kijiometri- kwenye ndege (inaitwa tata), sehemu halisi imepangwa kando ya mhimili wa abscissa, na sehemu ya kufikiria imepangwa kando ya mhimili wa kuratibu, na namba tata itafanana na hatua na kuratibu za Cartesian x na y.

Kwa hivyo, hatua yoyote z ya ndege tata ina tabia yake wakati wa kurudia kwa kazi f (z), na ndege nzima imegawanywa katika sehemu. Zaidi ya hayo, pointi zilizo kwenye mipaka ya sehemu hizi zina mali ifuatayo: na uhamisho mdogo wa kiholela, asili ya tabia zao hubadilika kwa kasi (pointi hizo huitwa pointi za bifurcation). Kwa hiyo, zinageuka kuwa seti za pointi ambazo zina aina moja maalum ya tabia, pamoja na seti za pointi za bifurcation, mara nyingi zina mali ya fractal. Hizi ndizo seti za Julia za chaguo za kukokotoa f (z).

Familia ya joka

Kwa kutofautisha msingi na kipande, unaweza kupata aina ya kushangaza ya fractals ya kujenga.
Aidha, shughuli kama hizo zinaweza kufanywa katika nafasi ya tatu-dimensional. Mifano ya fractals ya volumetric ni pamoja na "Sponge Menger", "Sierpinski piramidi" na wengine.
Familia ya joka pia inachukuliwa kuwa fractal yenye kujenga. Wakati mwingine huitwa kwa jina la wavumbuzi wao "Heavey-Harter dragons" (kwa sura yao wanafanana na dragons wa Kichina). Kuna njia kadhaa za kuunda curve hii. Rahisi na inayoonekana zaidi yao ni hii: unahitaji kuchukua karatasi ndefu (karatasi nyembamba, bora zaidi), na kuinama kwa nusu. Kisha uinamishe kwa nusu tena kwa mwelekeo sawa na mara ya kwanza. Baada ya kurudia mara kadhaa (kawaida baada ya mikunjo mitano au sita ukanda huwa mnene sana ili upinde kwa upole zaidi), unahitaji kurudisha ukanda nyuma, na ujaribu kuunda pembe 90˚ kwenye mikunjo. Kisha katika wasifu utapata curve ya joka. Bila shaka, hii itakuwa tu ukadiriaji, kama majaribio yetu yote ya kuonyesha vitu fractal. Kompyuta inaruhusu hatua nyingi zaidi za mchakato huu kuonyeshwa, na matokeo yake ni takwimu nzuri sana.

Seti ya Mandelbrot imeundwa kwa njia tofauti. Fikiria chaguo za kukokotoa fc (z) = z 2 +c, ambapo c ni nambari changamano. Wacha tutengeneze mlolongo wa chaguo hili la kukokotoa na z0=0; kulingana na parameta c, inaweza kugeukia kwa infinity au kubaki na kikomo. Zaidi ya hayo, maadili yote ya c ambayo mlolongo huu ni mdogo huunda seti ya Mandelbrot. Ilijifunza kwa undani na Mandelbrot mwenyewe na wanahisabati wengine, ambao waligundua mali nyingi za kuvutia za seti hii.

Inaweza kuonekana kuwa ufafanuzi wa seti za Julia na Mandelbrot ni sawa kwa kila mmoja. Kwa kweli, seti hizi mbili zinahusiana kwa karibu. Yaani, seti ya Mandelbrot ni maadili yote ya paramu tata c ambayo Julia seti fc (z) imeunganishwa (seti inaitwa kushikamana ikiwa haiwezi kugawanywa katika sehemu mbili zisizounganishwa, na hali zingine za ziada).

Fractals na maisha

Siku hizi, nadharia ya fractals hutumiwa sana katika maeneo mbalimbali ya shughuli za binadamu. Kwa kuongezea kitu cha kisayansi cha utafiti na uchoraji uliotajwa tayari, fractal hutumiwa katika nadharia ya habari kushinikiza data ya picha (sifa ya kufanana ya fractals hutumiwa hapa - baada ya yote, kukumbuka kipande kidogo cha picha. na mabadiliko ambayo unaweza kupata sehemu zilizobaki, kumbukumbu ndogo inahitajika kuliko kuhifadhi faili nzima). Kwa kuongeza usumbufu wa nasibu kwa fomula zinazofafanua fractal, unaweza kupata fractal stochastic ambayo huwasilisha vitu vya kweli - vitu vya misaada, uso wa hifadhi, mimea mingine, ambayo hutumiwa kwa mafanikio katika fizikia, jiografia na picha za kompyuta kufikia picha kubwa zaidi. kufanana kwa vitu vilivyoiga na halisi. Katika umeme wa redio, katika miaka kumi iliyopita, antena zilizo na sura ya fractal zilianza kuzalishwa. Kuchukua nafasi ndogo, hutoa mapokezi ya ishara ya ubora wa juu. Wanauchumi hutumia fractals kuelezea mikondo ya ubadilishaji wa sarafu (mali hii iligunduliwa na Mandelbrot zaidi ya miaka 30 iliyopita). Hii inahitimisha safari hii fupi katika ulimwengu wa ajabu na wa aina mbalimbali wa fractals.

Wakati sielewi kila kitu ninachosoma, sifadhaiki haswa. Ikiwa mada haikunijia baadaye, inamaanisha kuwa sio muhimu sana (angalau kwangu). Mada ikija tena, kwa mara ya tatu, nitapata nafasi mpya ya kuielewa vyema. Mada kama hizo ni pamoja na fractals. Nilijifunza juu yao kwanza kutoka kwa kitabu cha Nassim Taleb, na kisha kwa undani zaidi kutoka kwa kitabu cha Benoit Mandelbrot. Leo, kwa kutafuta "fractal" kwenye tovuti unaweza kupata maelezo 20.

Sehemu ya I. SAFARI YA KWENDA ASILI

KUTAJA MAANA YAKE KUJUA. Mwanzoni mwa karne ya 20, Henri Poincaré alisema hivi: “Unashangazwa na nguvu ambayo neno moja linaweza kuwa nayo. Hapa kuna kitu ambacho hakuna kitu kingeweza kusemwa hadi ilipobatizwa. Ilitosha kumpa jina ili muujiza utendeke” (ona pia). Hiki ndicho kilichotokea wakati mwanahisabati Mfaransa aliyezaliwa Poland Benoit Mandelbrot alipokusanya Neno mwaka wa 1975. Kutoka kwa maneno ya Kilatini frangere(kuvunja) na fractus(isiyoendelea, ya kipekee, ya sehemu) fractal imeundwa. Mandelbrot alikuza na kukuza fractal kwa ustadi kama chapa kulingana na mvuto wa kihemko na matumizi ya busara. Anachapisha monographs kadhaa, pamoja na Fractal Jiometri ya Asili (1982).

FRACTALS KATIKA ASILI NA SANAA. Mandelbrot alielezea mtaro wa jiometri iliyovunjika tofauti na Euclidean. Tofauti haikuhusiana na axiom ya usawa, kama katika jiometri ya Lobachevsky au Riemann. Tofauti ilikuwa kukataliwa kwa hitaji la msingi la Euclid la ulaini. Baadhi ya vitu asili yake ni mbaya, vinyweleo, au vimegawanyika, na vingi vina mali maalum"kwa kiwango sawa kwa kiwango chochote." Hakuna uhaba wa aina zinazofanana katika asili: alizeti na broccoli, shells za bahari, ferns, snowflakes, miamba ya milima, ukanda wa pwani, fjords, stalagmites na stalactites, umeme.

Watu walio wasikivu na waangalifu kwa muda mrefu wameona kwamba aina fulani huonyesha muundo unaojirudia pindi zinapotazamwa “karibu au kutoka mbali.” Tunapokaribia vitu vile, tunaona kwamba maelezo madogo tu yanabadilika, lakini sura ya jumla inabakia karibu bila kubadilika. Kulingana na hili, fractal inafafanuliwa kwa urahisi zaidi kama umbo la kijiometri iliyo na vipengele vinavyojirudia kwa kiwango chochote.

HADITHI NA UFUPI. Safu mpya ya fomu iliyogunduliwa na Mandelbrot ikawa mgodi wa dhahabu kwa wabunifu, wasanifu, na wahandisi. Idadi isiyohesabika ya fractals hujengwa kulingana na kanuni sawa za kurudia mara kwa mara. Kuanzia hapa, fractal inafafanuliwa kwa urahisi zaidi kama umbo la kijiometri ambalo lina vipengele vinavyojirudia kwa kiwango chochote. Fomu hii ya kijiometri haibadiliki ndani ya nchi (isiyobadilika), inajifananisha kwa kiwango na jumla katika mapungufu yake - umoja wa kweli, utata ambao unafunuliwa inapokaribia, na kwa mbali kuna triviality yenyewe.

NGAZI ZA SHETANI. Ishara za umeme zenye nguvu sana hutumiwa kuhamisha data kati ya kompyuta. Ishara kama hiyo ni tofauti. Kuingilia au kelele hutokea kwa nasibu katika mitandao ya umeme kutokana na sababu nyingi na husababisha kupoteza data wakati wa kuhamisha habari kati ya kompyuta. Mwanzoni mwa miaka ya sitini ya karne iliyopita, kikundi cha wahandisi wa IBM, ambao Mandelbrot walishiriki katika kazi yao, walipewa jukumu la kuondoa ushawishi wa kelele kwenye usambazaji wa data.

Uchanganuzi wa kina ulionyesha uwepo wa vipindi ambavyo hakuna kosa hata moja lililorekodiwa. Baada ya kutambua vipindi vinavyochukua saa moja, wahandisi waligundua kuwa kati yao vipindi vya kupita kwa ishara bila hitilafu pia ni mara kwa mara, na pause fupi hudumu kama dakika ishirini. Kwa hivyo, upitishaji wa data usio na makosa unaonyeshwa na pakiti za data za urefu tofauti na pause kwa kelele, wakati ambapo ishara hupitishwa bila makosa. Vifurushi vya hali ya juu vinaonekana kuwa na vifurushi vya hali ya chini vilivyojengwa ndani yao. Maelezo haya yanachukulia kuwa kuna kitu kama nafasi ya jamaa ya pakiti za daraja la chini ndani ya pakiti ya daraja la juu. Uzoefu umeonyesha kuwa uwezekano wa usambazaji wa nafasi hizi za pakiti hautegemei cheo chao. Tofauti hii inaonyesha kufanana kwa mchakato wa uharibifu wa data chini ya ushawishi wa kelele ya umeme. Utaratibu wenyewe wa kukata kusitisha bila hitilafu katika ishara wakati wa utumaji data haungeweza kutokea kwa wahandisi wa umeme kwa sababu hii ilikuwa mpya kwao.

Lakini Mandelbrot, ambaye alisoma hisabati safi, alifahamu vyema seti ya Cantor, iliyoelezwa nyuma mwaka wa 1883 na kuwakilisha vumbi kutoka kwa pointi zilizopatikana kulingana na algorithm kali. Kiini cha algorithm ya kujenga "Cantor dust" inakuja kwa zifuatazo. Chukua sehemu moja kwa moja. Ondoa theluthi ya kati ya sehemu kutoka kwake, ukiweka mwisho wa mwisho. Sasa hebu turudie operesheni sawa na sehemu za mwisho na kadhalika. Mandelbrot aligundua kwamba hii ndiyo hasa jiometri ya pakiti na pakiti wakati wa kusambaza ishara kati ya kompyuta. Hitilafu inajilimbikiza. Mkusanyiko wake unaweza kutekelezwa kama ifuatavyo. Katika hatua ya kwanza tunatoa thamani 1/2 kwa pointi zote kutoka kwa muda, katika hatua ya pili kutoka kwa muda thamani ya 1/4, thamani 3/4 kwa pointi kutoka kwa muda, nk. Muhtasari wa hatua kwa hatua wa maadili haya hukuruhusu kujenga kinachojulikana kama "ngazi ya shetani" (Mchoro 1). Kipimo cha "Cantor dust" ni nambari isiyo na mantiki sawa na 0.618..., inayojulikana kama "uwiano wa dhahabu" au "idadi ya kimungu".

Sehemu ya II. FRACTALS NDIO KIINI CHA JAMBO

TABASAMU BILA PAKA: FRACTAL DIMENSION. Dimension ni mojawapo ya dhana za kimsingi zinazoenda mbali zaidi ya hisabati. Euclid, katika kitabu cha kwanza cha Elements, alifafanua dhana za msingi za jiometri: uhakika, mstari, ndege. Kulingana na ufafanuzi huu, dhana ya nafasi ya Euclidean ya pande tatu ilibaki bila kubadilika kwa karibu miaka elfu mbili na nusu. Flirtations nyingi na nafasi za vipimo vinne, tano na zaidi haziongezi chochote kimsingi, lakini zinakabiliwa na kitu ambacho fikira za mwanadamu haziwezi kufikiria. Pamoja na ugunduzi wa jiometri ya fractal, mapinduzi makubwa yalitokea katika mawazo kuhusu mwelekeo. Vipimo vingi vimeonekana, na kati yao sio tu kamili, lakini pia ni sehemu, na hata isiyo na maana. Na vipimo hivi vinapatikana kwa uwakilishi wa kuona na hisia. Kwa kweli, tunaweza kufikiria kwa urahisi jibini na mashimo, mfano wa kati ambao mwelekeo wake ni mkubwa zaidi kuliko mbili, lakini hupungua kwa tatu kutokana na mashimo ya jibini, ambayo hupunguza mwelekeo wa wingi wa jibini.

Ili kuelewa mwelekeo wa sehemu au fractal, tunageukia kitendawili cha Richardson, ambacho kilibishana kuwa urefu wa ukanda wa pwani wa Briteni hauna kikomo! Louis Fry Richardson alishangaa kuhusu ushawishi wa kipimo cha kipimo kwenye ukubwa wa urefu uliopimwa wa ukanda wa pwani wa Uingereza. Wakati wa kuhama kutoka kwa kiwango cha ramani za contour hadi kiwango cha "kokoto za pwani," alifikia hitimisho la kushangaza na lisilotarajiwa: urefu wa ukanda wa pwani huongezeka kwa muda usiojulikana, na ongezeko hili halina kikomo. Mistari laini, iliyopinda haifanyi hivi. Data ya majaribio ya Richardson, iliyopatikana kwenye ramani za mizani inayozidi kuwa kubwa, ilionyesha ongezeko la polepole la urefu wa ukanda wa pwani na kupungua kwa hatua ya kipimo:

Katika fomula hii rahisi ya Richardson L kuna urefu uliopimwa wa pwani, ε ni ukubwa wa hatua ya kipimo, na β ≈ 3/2 ni kiwango cha ukuaji wa urefu wa pwani unaopatikana naye kwa kupungua kwa hatua ya kipimo. Tofauti na mduara, urefu wa ukanda wa pwani wa Uingereza huongezeka bila kuwa na kikomo cha 55. Haina mwisho! Tunapaswa kukubaliana na ukweli kwamba mikunjo iliyovunjika, isiyo laini haina urefu wa juu.

Walakini, utafiti wa Richardson ulipendekeza kuwa walikuwa na kipimo cha tabia cha kiwango ambacho urefu huongezeka kwa kupungua kwa kipimo. Ilibadilika kuwa ni thamani hii ambayo inatambua kwa siri mstari uliovunjika kama alama ya vidole utambulisho wa mtu. Mandelbrot alifasiri ukanda wa pwani kama kitu chenye kupunguka - kitu ambacho kipimo chake kinalingana na kipeo β.

Kwa mfano, vipimo vya mikunjo ya mipaka ya pwani kwa pwani ya magharibi ya Norway ni 1.52; kwa Uingereza - 1.25; kwa Ujerumani - 1.15; kwa Australia - 1.13; kwa pwani laini ya Afrika Kusini - 1.02 na, hatimaye, kwa mduara laini kabisa - 1.0.

Kuangalia kipande cha fractal, huwezi kusema ni nini mwelekeo wake. Na sababu sio ugumu wa kijiometri wa kipande; kipande kinaweza kuwa rahisi sana, lakini ukweli kwamba mwelekeo wa fractal hauonyeshi tu sura ya kipande, lakini pia muundo wa mabadiliko ya kipande katika mchakato wa ujenzi. fractal. Kipimo cha fractal ni, kama ilivyo, kuondolewa kutoka kwa fomu. Na shukrani kwa hili, thamani ya kipimo cha fractal inabaki kuwa tofauti; ni sawa kwa kipande chochote cha fractal kwa kiwango chochote cha kutazama. Haiwezi "kunyakua kwa vidole vyako," lakini inaweza kuhesabiwa.

KURUDIA FRACTAL. Kurudia kunaweza kufanywa kwa kutumia milinganyo isiyo ya mstari. Milinganyo ya mstari ina sifa ya mawasiliano ya moja hadi moja ya vigeu: kwa kila thamani X inalingana na thamani moja na moja pekee katika na kinyume chake. Kwa mfano, equation x + y = 1 ni ya mstari. Tabia kazi za mstari huamua kabisa, imedhamiriwa kipekee na hali ya awali. Tabia ya kazi zisizo za kawaida sio wazi sana, kwa sababu hali mbili tofauti za awali zinaweza kusababisha matokeo sawa. Kwa msingi huu, kurudia, kurudia kwa operesheni, inaonekana katika muundo mbili tofauti. Inaweza kuwa na tabia ya kumbukumbu ya mstari, wakati katika kila hatua ya mahesabu kuna kurudi kwa hali ya awali. Hii ni aina ya "kurudia kulingana na kiolezo". Uzalishaji wa serial kwenye mstari wa kusanyiko ni "marudio kulingana na kiolezo." Kurudia katika umbizo la marejeleo la mstari hakutegemei hali za kati za mageuzi ya mfumo. Hapa, kila marudio mapya huanza "kutoka jiko." Ni jambo tofauti kabisa wakati iteration ina umbizo la kujirudia, yaani, matokeo ya hatua ya awali ya kurudia inakuwa hali ya awali kwa inayofuata.

Urejeshaji unaweza kuonyeshwa na mfululizo wa Fibonacci, unaowakilishwa katika mfumo wa mlolongo wa Girard:

u n +2 = u n +1 + u n

Matokeo yake ni nambari za Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Katika mfano huu, ni wazi kabisa kwamba kazi inatumika yenyewe, bila kutaja thamani ya awali. Inaonekana kuteleza kwenye mfululizo wa Fibonacci, na kila matokeo ya marudio ya awali huwa thamani ya awali kwa inayofuata. Ni aina hii ya marudio ambayo hupatikana wakati wa kuunda fomu za fractal.

Hebu tuonyeshe jinsi marudio ya fractal yanatekelezwa katika algorithms kwa ajili ya kujenga "napkin ya Sierpinski" (kwa njia ya kukata na njia ya CIF).

Mbinu ya kukata. Hebu tuchukue pembetatu ya usawa na upande r. Katika hatua ya kwanza, kata katikati yake pembetatu ya usawa na urefu wa upande umepinduliwa chini r 1 = r 0/2. Kama matokeo ya hatua hii, tunapata pembetatu tatu za usawa na urefu wa upande r 1 = r 0/2, iko kwenye wima ya pembetatu ya asili (Mchoro 2).

Katika hatua ya pili, katika kila pembetatu tatu zilizoundwa, tunakata pembetatu zilizowekwa ndani na urefu wa upande. r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Matokeo: pembetatu 9 na urefu wa upande r 2 = r 0/4. Matokeo yake, sura ya "napkin ya Sierpinski" hatua kwa hatua inakuwa zaidi na zaidi. Kurekebisha hufanyika kwa kila hatua. Marekebisho yote yaliyotangulia, ni kama, "yamefutwa."

Mbinu ya SIF, au Mfumo wa Barnsley wa Mbinu ya Utendakazi Iliyorudiwa. Imetolewa: pembetatu ya usawa na kuratibu za pembe A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3/2). Z 0 ni hatua ya kiholela ndani ya pembetatu hii (Mchoro 3). Tunachukua kufa, kwa pande ambazo kuna herufi mbili A, B na C.

Hatua ya 1. Piga kete. Uwezekano wa kila herufi inayoonekana ni 2/6 = 1/3.

Ikiwa herufi A inaonekana, tunaunda sehemu z 0 -A, katikati ambayo tunaweka hatua z 1.
Ikiwa herufi B inaonekana, tunaunda sehemu z 0 -B, katikati ambayo tunaweka hatua z 1.
Ikiwa herufi C inaonekana, tunaunda sehemu z 0 -C, katikati ambayo tunaweka hatua z 1.

Hatua ya 2. Piga kete tena.

Ikiwa herufi A inaonekana, tunaunda sehemu z 1 -A, katikati ambayo tunaweka hatua z 2.
Ikiwa barua B inaonekana, tunajenga sehemu z 1 - B, katikati ambayo tunaweka hatua z 2.
Ikiwa barua C inaonekana, tunajenga sehemu z 1 - C, katikati ambayo tunaweka hatua z 2.

Kurudia operesheni mara nyingi, tunapata pointi z 3, z 4, ..., z n. Upekee wa kila mmoja wao ni kwamba uhakika ni nusu kabisa kutoka kwa uliopita hadi kipeo kilichochaguliwa kwa nasibu. Sasa, ikiwa tunatupa pointi za awali, kwa mfano, kutoka z 0 hadi z 100, basi wengine, na idadi kubwa ya kutosha, huunda muundo wa "napkin ya Sierpinski". pointi zaidi, iterations zaidi, kwa uwazi zaidi fractal Sierpinski inaonekana kwa mwangalizi. Na hii licha ya ukweli kwamba mchakato unaendelea kwa njia inayoonekana kuwa ya nasibu (shukrani kwa kete). "Sierpinski Napkin" ni aina ya kivutio cha mchakato, yaani, takwimu ambayo trajectories zote zilizojengwa katika mchakato huu na idadi kubwa ya kutosha ya marudio huwa. Kurekebisha picha ni mchakato wa mkusanyiko, kusanyiko. Kila nukta ya kibinafsi haiwezi kamwe kuendana na hatua ya fractal ya Sierpinski, lakini kila hatua inayofuata ya mchakato huu ulioandaliwa "kwa bahati" huvutiwa karibu na karibu na vidokezo vya "napkin ya Sierpinski".

KITANZI CHA MAONI. Mwanzilishi wa cybernetics, Norbert Wiener, alitumia nahodha wa mashua kama mfano kuelezea kitanzi cha maoni. Nahodha lazima abaki kwenye njia na anakagua kila mara jinsi mashua inavyokaa kwenye njia. Nahodha akiona kwamba mashua inakengeuka, anageuza usukani ili kuirudisha kwenye njia iliyowekwa. Baada ya muda fulani, anatathmini tena na tena kurekebisha mwelekeo wa harakati kwa kutumia usukani. Kwa hivyo, urambazaji unafanywa kwa kutumia marudio, marudio na ukadiriaji mfululizo wa mwendo wa mashua hadi kozi fulani.

Mzunguko wa kawaida wa kitanzi cha maoni unaonyeshwa kwenye Mtini. 4 Inakuja kubadilika vigezo vya kutofautiana(mwelekeo wa mashua) na parameter iliyodhibitiwa C (kozi ya mashua).

Fikiria ramani ya "Bernoulli shift". Wacha kama hali ya awali nambari fulani ya muda kutoka 0 hadi 1 imechaguliwa. Hebu tuandike nambari hii katika mfumo wa nambari ya binary:

x 0 = 0.01011010001010011001010...

Sasa hatua moja ya mageuzi kwa wakati ni kwamba mlolongo wa zero na zile huhamishiwa kushoto na nafasi moja, na tarakimu inayoishia. upande wa kushoto kutoka kwa koma, kutupwa:

x 1 = 0.1011010001010011001010...

x 2 = 0.011010001010011001010 ...

x 3 = 0.11010001010011001010 ...

Kumbuka kwamba ikiwa nambari za asili x 0 mantiki, basi katika mchakato wa kurudia maadili Xn ingiza mzunguko wa mara kwa mara. Kwa mfano, kwa nambari ya kwanza 11/24, wakati wa mchakato wa kurudia tunapata safu ya maadili:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Ikiwa maadili ya asili x 0 hazina mantiki, uchoraji wa ramani hautawahi kufikia utawala wa mara kwa mara. Muda wa thamani za awali \ 0 ∈ una pointi nyingi za busara na pointi nyingi zisizo na maana. Kwa hivyo, msongamano wa obiti za mara kwa mara ni sawa na msongamano wa obiti ambazo hazifikii utawala wa mara kwa mara. Katika kitongoji chochote cha thamani ya busara x 0 kuna thamani isiyo na maana ya parameter ya awali x 0 Katika hali hii ya mambo, unyeti wa hila kwa hali ya awali hutokea bila shaka. Hii ni ishara ya tabia kwamba mfumo uko katika hali ya machafuko ya nguvu.

ELEMENTARY VITANZI VYA MAONI. Nyuma ni hali ya lazima na matokeo ya kila mtazamo wa upande, kuchukua mwenyewe kwa mshangao. Aikoni ya kitanzi cha nyuma inaweza kuwa ukanda wa Möbius, ambapo upande wake wa chini na kila mduara hugeuka kuwa wa juu, wa ndani unakuwa wa nje na kinyume chake. Mkusanyiko wa tofauti katika mchakato wa reverse kwanza huondoa picha kutoka kwa asili, na kisha kuirudisha. Kwa mantiki, kitanzi cha nyuma kinaonyeshwa na kitendawili cha Epimenides: “Wakrete wote ni waongo.” Lakini Epimenides mwenyewe ni Mkrete.

KITANZI CHA AJABU. Kiini cha nguvu cha uzushi wa kitanzi cha ajabu kinakuja kwa ukweli kwamba picha, kubadilisha na kuwa tofauti zaidi na ya awali, katika mchakato wa deformations nyingi inarudi kwenye picha ya awali, lakini hairudii kamwe. Akielezea jambo hili, Hofstadter anatanguliza neno "kitanzi cha ajabu" katika kitabu. Anahitimisha kwamba Escher, Bach, na Gödel wote waligundua, au tuseme walitumia, vitanzi vya ajabu katika kazi na ubunifu wao katika sanaa nzuri, muziki na hisabati mtawalia. Escher katika Metamorphoses aligundua mshikamano wa ajabu wa ndege tofauti za ukweli. Aina za moja ya mitazamo ya kisanii hubadilishwa kwa plastiki kuwa aina za mtazamo mwingine wa kisanii (Mchoro 5).

Mchele. 5. Mauriti Escher. Kuchora mikono. 1948

Uajabu huu ulijidhihirisha kwa njia ya ajabu katika muziki. Moja ya kanuni za "Sadaka ya Muziki" ya Bach ( Canon kwa Tonos- Toni canon) imeundwa kwa njia ambayo mwisho wake dhahiri unabadilika bila kutarajia hadi mwanzo, lakini kwa mabadiliko ya ufunguo. Marekebisho haya yanayofuatana humpeleka msikilizaji juu zaidi na zaidi kutoka kwa sauti ya awali. Hata hivyo, kimiujiza, baada ya modulations sita sisi ni karibu nyuma. Sasa sauti zote zinasikika sawa na oktava ya juu kuliko mwanzo. Jambo la kushangaza tu ni kwamba, tukipanda ngazi za uongozi fulani, ghafla tunajikuta karibu katika sehemu ile ile tulipoanza safari yetu - kurudi bila kurudia.

Kurt Gödel aligundua vitanzi vya ajabu katika moja ya maeneo ya kale na mastered ya hisabati - nadharia ya nambari. Nadharia ya Gödel ilionekana kwa mara ya kwanza kama Theorem VI katika karatasi yake ya 1931 "On Formally Undecidable Propositions" katika Principle Mathematica. Nadharia inasema yafuatayo: michanganyiko yote ya aksiomatiki thabiti ya nadharia ya nambari ina maazimio yasiyoweza kuamuliwa. Mapendekezo ya nadharia ya nambari hayasemi chochote kuhusu pendekezo la nadharia ya nambari; si chochote zaidi ya mapendekezo ya nadharia ya nambari. Kuna kitanzi hapa, lakini hakuna cha ajabu. Kitanzi cha ajabu kimefichwa kwenye uthibitisho.

KIVUTIA WA AJABU. Kivutio (kutoka Kiingereza. kuvutia kuvutia) uhakika au mstari uliofungwa, kuvutia yenyewe trajectories zote zinazowezekana za tabia ya mfumo. Kivutio ni thabiti, ambayo ni, kwa muda mrefu, mfano pekee wa tabia unaowezekana ni kivutio; kila kitu kingine ni cha muda. Kivutio ni kitu cha wakati wa nafasi ambacho kinashughulikia mchakato mzima, kuwa sio sababu yake au athari yake. Inaundwa tu na mifumo yenye idadi ndogo ya digrii za uhuru. Vivutio vinaweza kuwa hatua, duara, torus na fractal. Katika kesi ya mwisho, kivutio kinaitwa "ajabu" (Mchoro 6).

Kivutio cha uhakika kinaelezea hali yoyote thabiti ya mfumo. Katika nafasi ya awamu, inawakilisha hatua ambayo trajectories za mitaa za "node", "focus" au "saddle" zinaundwa. Hivi ndivyo pendulum inavyofanya: kwa yoyote kasi ya awali na katika nafasi yoyote ya awali, baada ya muda wa kutosha, chini ya ushawishi wa msuguano, pendulum inacha na inakuja kwenye hali ya usawa imara. Kivutio cha mviringo (mzunguko) ni harakati ya kurudi na kurudi, kama pendulum bora (bila msuguano), kwenye duara.

Vivutio vya ajabu ( vivutio vya ajabu) inaonekana ya kushangaza tu kutoka kwa nje, lakini neno " kivutio cha ajabu"ilienea mara tu baada ya kuonekana mnamo 1971 kwa nakala ya David Ruel na Mholanzi Floris Takens, "Hali ya Machafuko" (tazama pia). Ruel and Takens waliuliza ikiwa kivutio chochote kilikuwa na seti sahihi ya sifa: uthabiti, idadi ndogo ya digrii za uhuru, na kutokuwepo kwa muda. Kwa mtazamo wa kijiometri, swali lilionekana kama fumbo safi. Je, njia iliyopanuliwa isiyo na kikomo, iliyoonyeshwa katika nafasi ndogo, inapaswa kuwa na umbo gani ili isijirudie kamwe au kujikatisha yenyewe? Ili kuzalisha tena kila mdundo, obiti lazima iwe na mstari mrefu usio na kikomo eneo mdogo kwa maneno mengine, kujimeza mwenyewe (Mchoro 7).

Mnamo 1971 fasihi ya kisayansi Tayari kulikuwa na mchoro mmoja wa kivutio kama hicho. Eduard Lorenz aliijumuisha kama kiambatisho kwa karatasi yake ya 1963 juu ya machafuko ya kuamua. Kivutio hiki kilikuwa dhabiti, kisicho cha mara kwa mara, kilikuwa na idadi ndogo ya digrii za uhuru na hajawahi kujivuka. Ikiwa kitu kama hiki kilifanyika, na alikuwa amerudi kwa uhakika kwamba tayari amepita, harakati hiyo ingerudiwa katika siku zijazo, na kutengeneza kivutio cha toroidal, lakini hii haikutokea.

Ajabu ya kivutio iko, kama Ruel aliamini, katika tatu zisizo sawa, lakini kwa mazoezi tabia zilizopo pamoja:

fracality (kiota, kufanana, uthabiti);
uamuzi (utegemezi wa hali ya awali);
umoja ( nambari ya mwisho kufafanua vigezo).

Sehemu ya III. WEPESI WA KUFIKIRIA WA MAUMBO YA FRACTAL

NAMBA ZA KUFIKIRI, PICHA ZA AWAMU NA UWEZEKANO. Jiometri ya Fractal inategemea nadharia ya nambari za kufikiria, picha za awamu zinazobadilika na nadharia ya uwezekano. Nadharia ya nambari dhahania inaruhusu kuwa kuna mzizi wa mraba wa minus moja. Gerolamo Cardano, katika kazi yake "Sanaa Kubwa" ("Ars Magna", 1545), aliwasilisha suluhisho la jumla kwa equation ya ujazo z 3 + pz + q = 0. Cardano hutumia nambari za kufikiria kama njia ya urasimi wa kiufundi kuelezea mizizi. ya equation. Anaona hali isiyo ya kawaida, ambayo anaionyesha kwa equation rahisi x 3 = 15x + 4. Mlinganyo huu una suluhisho moja dhahiri: x = 4. Hata hivyo, formula ya jumla inatoa matokeo ya ajabu. Ina mzizi wa nambari hasi:

Raphael Bombelli, katika kitabu chake juu ya algebra (L'Algebra, 1560), alisema kuwa = 2 ± i, na hii ilimruhusu mara moja kupata mzizi halisi x = 4. Katika hali kama hizo, wakati nambari ngumu zinaunganishwa, halisi. mzizi hupatikana, na nambari ngumu hutumika kama msaada wa kiufundi katika mchakato wa kupata suluhisho la equation ya ujazo.

Newton aliamini kwamba suluhu zilizo na mzizi wa minus moja zinapaswa kuzingatiwa "bila maana ya kimwili" na kutupwa. Katika karne ya 17-18, ufahamu uliundwa kwamba kitu cha kufikiria, cha kiroho, cha kufikiria sio halisi kuliko kila kitu halisi kilichochukuliwa pamoja. Tunaweza hata kutaja tarehe kamili ya Novemba 10, 1619, wakati Descartes alipounda ilani ya fikra mpya "cogito ergo sum". Kuanzia wakati huu na kuendelea, mawazo ni ukweli kabisa na usio na shaka: "ikiwa nadhani, basi hiyo inamaanisha kuwa nipo"! Kwa usahihi zaidi, mawazo sasa yanatambuliwa kama ukweli. Wazo la Descartes la mfumo wa kuratibu wa orthogonal, shukrani kwa nambari za kufikiria, hupata ukamilifu wake. Sasa inawezekana kujaza nambari hizi za kufikiria na maana.

Katika karne ya 19, kupitia kazi za Euler, Argand, Cauchy, na Hamilton, kifaa cha hesabu cha kufanya kazi na nambari changamano kilitengenezwa. Nambari yoyote changamano inaweza kuwakilishwa kama jumla ya X+iY, ambapo X na Y ndizo nambari halisi tulizozoea, na i kitengo cha kufikirika (kimsingi √–1). Kila nambari changamano inalingana na nukta iliyo na viwianishi (X, Y) kwenye kinachojulikana kama ndege changamano.

Wazo la pili muhimu - picha ya awamu ya mfumo wa nguvu - iliundwa katika karne ya 20. Baada ya Einstein kuonyesha kwamba kuhusiana na mwanga kila kitu kinatembea kwa kasi sawa, wazo la uwezekano wa kuelezea tabia ya nguvu ya mfumo katika muundo wa mistari ya kijiometri iliyohifadhiwa, kinachojulikana kama picha ya awamu ya mfumo wa nguvu. , alipata maana wazi ya kimwili.

Wacha tuonyeshe kwa kutumia mfano wa pendulum. Jean Foucault alifanya majaribio yake ya kwanza na pendulum mwaka wa 1851 kwenye pishi, kisha kwenye Observatory ya Paris, kisha chini ya dome ya Pantheon. Hatimaye, mwaka wa 1855, pendulum ya Foucault ilisimamishwa chini ya kanisa la Parisian la Saint-Martin-des-Champs. Urefu wa kamba ya pendulum ya Foucault ni 67 m, uzani wa uzito ni kilo 28. Kwa mbali sana, pendulum inaonekana kama hatua. Jambo huwa halina mwendo. Tunapokaribia, tunatofautisha mfumo na trajectories tatu za kawaida: oscillator ya harmonic (sinϕ ≈ ϕ), pendulum (oscillations nyuma na nje), propeller (mzunguko).

Ambapo mwangalizi wa ndani anaona moja ya tatu iwezekanavyo usanidi wa harakati za mpira, mchambuzi aliyeondolewa kwenye mchakato anaweza kudhani kuwa mpira hufanya moja ya harakati tatu za kawaida. Hii inaweza kuonyeshwa kwenye mpango mmoja. Ni muhimu kukubali kwamba tutahamisha "mpira kwenye kamba" hadi kwenye nafasi ya awamu ya dhahania ambayo ina viwianishi vingi kadiri idadi ya digrii za uhuru mfumo unaozingatiwa unavyo. Katika kesi hii, tunazungumza juu ya digrii mbili za kasi ya uhuru v na angle ya mwelekeo wa thread na mpira kwa wima ϕ. Katika kuratibu ϕ na v, trajectory ya oscillator ya harmonic ni mfumo wa miduara makini; kadiri pembe ϕ inavyoongezeka, duru hizi huwa mviringo, na wakati. ϕ = ± π kufungwa kwa mviringo hupotea. Hii inamaanisha kuwa pendulum imebadilika kuwa modi ya kieneza: v = jumla(Mchoro 8).

Mchele. 8. Pendulum: a) trajectory katika nafasi ya awamu ya pendulum bora; b) trajectory katika nafasi ya awamu ya pendulum swinging na damping; c) picha ya awamu

Katika nafasi ya awamu kunaweza kuwa hakuna urefu, muda, au harakati. Hapa kila tendo limetolewa kabla, lakini si kila tendo ni la kweli. Kinachobaki cha jiometri ni topolojia tu, badala ya hatua, vigezo, badala ya vipimo, vipimo. Yoyote hapa mfumo wa nguvu ina alama yake ya kipekee ya picha ya awamu. Na kati yao kuna picha za awamu ya ajabu kabisa: kuwa ngumu, imedhamiriwa na parameter moja; yakiwa ya kulinganishwa, hayana uwiano; zikiwa endelevu, ni za kipekee. Picha za awamu za ajabu kama hizo ni za kawaida kwa mifumo iliyo na usanidi wa vipande vya vivutio. Uwazi wa vituo vya kivutio (vivutio) huunda athari ya quantum ya hatua, athari ya pengo au kuruka, wakati trajectories kudumisha kuendelea na kuzalisha fomu moja kushikamana - kivutio ajabu.

UAINISHAJI WA FRACTALS. Fractal ina hypostases tatu: rasmi, uendeshaji na ishara, ambayo ni orthogonal kwa kila mmoja. Na hii ina maana kwamba sura ya fractal sawa inaweza kupatikana kwa algorithms tofauti, na nambari sawa ya mwelekeo wa fractal inaweza kuonekana katika fractal ambazo ni tofauti kabisa kwa umbo. Kwa kuzingatia maoni haya, tunaainisha fractal kulingana na ishara, sifa rasmi na za kiutendaji:

kwa maneno ya mfano, sifa ya mwelekeo wa fractal inaweza kuwa kamili au ya sehemu;
kwa mujibu wa sifa zao rasmi, fractals inaweza kuwa madhubuti, kama jani au wingu, na incoherent, kama vumbi;
Kwa mujibu wa vigezo vya uendeshaji, fractals inaweza kugawanywa katika kawaida na stochastic.

Fractals mara kwa mara hujengwa kulingana na kali algorithm fulani. Mchakato wa ujenzi unaweza kubadilishwa. Unaweza kurudia shughuli zote ndani utaratibu wa nyuma, kufuta picha yoyote iliyoundwa katika mchakato wa algorithm ya kuamua, hatua kwa hatua. Algorithm ya kuamua inaweza kuwa ya mstari au isiyo ya mstari.

Fractals ya Stochastic, sawa katika maana ya stochastic, hutokea wakati katika algorithm kwa ajili ya ujenzi wao, wakati wa mchakato wa iteration, vigezo vyovyote vinabadilika kwa nasibu. Neno "stochasticity" lilianza nyuma neno la Kigiriki stochasis- nadhani, dhana. Mchakato wa stochastic ni mchakato ambao asili yake ya mabadiliko haiwezi kutabiriwa kwa usahihi. Fractals huzalishwa kwa hiari ya asili (nyuso zenye makosa miamba, mawingu, mtiririko wa misukosuko, povu, geli, mtaro wa chembe za masizi, mabadiliko ya bei ya hisa na viwango vya mto, na zingine), hazina kufanana kwa kijiometri, lakini kwa ukaidi kuzaliana kwa kila kipande kwa wastani mali ya takwimu ya jumla. Kompyuta hukuruhusu kutoa mlolongo wa nambari za pseudorandom na kuiga mara moja algorithms na fomu za stochastic.

FRACTALS LINEAR. Fractals za mstari zimepewa jina kwa sababu zote zimeundwa kwa kutumia algoriti maalum ya mstari. Fractals hizi zinafanana, hazipotoshi na mabadiliko yoyote ya kiwango, na haziwezi kutofautishwa wakati wowote. Ili kujenga fractals vile, inatosha kutaja msingi na fragment. Vipengee hivi vitarudiwa mara nyingi, vikiwa vimekuzwa hadi kutokuwa na mwisho.

Vumbi la Cantor. Katika karne ya 19, mwanahisabati Mjerumani Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) alipendekeza kwa jumuiya ya hisabati seti ya ajabu ya nambari katika masafa kutoka 0 hadi 1. Seti hiyo ilikuwa na idadi isiyo na kikomo ya vipengele katika muda maalum na, zaidi ya hayo, ilikuwa na mwelekeo wa sifuri. Mshale uliorushwa bila mpangilio haungegonga hata kipengele kimoja cha seti hii.

Kwanza, unahitaji kuchagua sehemu ya urefu wa kitengo (hatua ya kwanza: n = 0), kisha ugawanye katika sehemu tatu na uondoe katikati ya tatu (n = 1). Ifuatayo, tutafanya sawa sawa na kila moja ya sehemu zinazosababisha. Kama matokeo ya idadi isiyo na kipimo ya marudio ya operesheni, tunapata seti inayotaka ya "Cantor dust". Sasa hakuna upinzani kati ya kutoendelea na kugawanyika kwa ukomo; "Vumbi la Cantor" ni zote mbili (ona Mchoro 1). "Cantor Vumbi" ni fractal. Kipimo chake cha fractal ni 0.6304...

Mojawapo ya analogi za pande mbili za seti ya Cantor yenye mwelekeo mmoja ilielezewa na mwanahisabati wa Kipolishi Waclaw Sierpinski. Inaitwa "carpet ya Cantor" au mara nyingi zaidi "zulia la Sierpinski". Yeye ni madhubuti binafsi sawa. Tunaweza kuhesabu mwelekeo wake wa fractal kama ln8/lnЗ = 1.89... (Mchoro 9).

MISTARI INAYOJAZA NDEGE. Hebu fikiria familia nzima ya fractals ya kawaida, ambayo ni curves ambayo inaweza kujaza ndege. Leibniz pia alisema: “Ikiwa tunafikiri kwamba mtu fulani anaweka dots nyingi kwenye karatasi kwa bahati mbaya,<… >Ninasema kwamba inawezekana kutambua mara kwa mara na muhimu, chini ya utawala fulani mstari wa kijiometri, ambayo itapitia pointi zote." Kauli hii ya Leibniz ilipingana na uelewa wa Euclidean wa vipimo kama idadi ndogo zaidi ya vigezo kwa usaidizi ambao nafasi ya nukta katika nafasi imedhamiriwa kipekee. Kwa kukosekana kwa uthibitisho mkali, mawazo haya ya Leibniz yalibaki kwenye pembezoni mwa fikra za kihisabati.

Curve ya peano. Lakini mnamo 1890, mwanahisabati wa Kiitaliano Giuseppe Peano alitengeneza mstari unaofunika kabisa uso wa gorofa, kupitia pointi zake zote. Ujenzi wa "Peano Curve" umeonyeshwa kwenye Mtini. 10.

Wakati mwelekeo wa kitopolojia wa mkunjo wa Peano ni sawa na moja, mwelekeo wake wa fractal ni d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. Ndani ya mfumo wa jiometri ya fractal, kitendawili kilitatuliwa kwa njia ya asili zaidi. njia. Mstari, kama wavuti, unaweza kufunika ndege. Katika kesi hii, mawasiliano ya moja kwa moja yanaanzishwa: kila hatua kwenye mstari inafanana na hatua kwenye ndege. Lakini mawasiliano haya sio moja kwa moja, kwa sababu kila hatua kwenye ndege inalingana na pointi moja au zaidi kwenye mstari.

Mzunguko wa Hilbert. Mwaka mmoja baadaye, mnamo 1891, karatasi ya mwanahisabati Mjerumani David Hilbert (1862-1943) ilitokea ambapo aliwasilisha curve inayofunika ndege bila makutano au tangency. Ujenzi wa "curve ya Hilbert" inavyoonyeshwa kwenye Mtini. kumi na moja.

Curve ya Hilbert ikawa mfano wa kwanza wa mikondo ya FASS (Kujaza nafasi, Kujiepuka, Mistari Rahisi na inayofanana). Kipimo cha fractal cha mstari wa Gilbert, kama curve ya Peano, ni mbili.

mkanda wa Minkowski. Hermann Minkowski, rafiki wa karibu wa Hilbert kutoka enzi za mwanafunzi wake, aliunda curve ambayo haifunika ndege nzima, lakini inaunda kitu kama utepe. Wakati wa kujenga "Minkowski strip," katika kila hatua, kila sehemu inabadilishwa na mstari uliovunjika unaojumuisha sehemu 8. Katika hatua inayofuata, kwa kila sehemu mpya operesheni inarudiwa kwa kiwango cha 1: 4. Kipimo cha fractal cha ukanda wa Minkowski ni d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1.5.

NONLINEAR FRACTALS. Ramani rahisi zaidi isiyo ya mstari ya ndege tata kwenye yenyewe ni ramani ya Julia z g z 2 + C, iliyojadiliwa katika sehemu ya kwanza. Ni hesabu katika mzunguko uliofungwa, ambapo matokeo ya mzunguko uliopita huzidishwa yenyewe na kuongeza ya. mara kwa mara fulani kwa hiyo, yaani ni kitanzi cha maoni ya quadratic (Mchoro 13).

Wakati wa mchakato wa kurudia kwa thamani maalum ya C ya mara kwa mara, kulingana na mahali pa kuanzia Z 0, uhakika Z n kwa n-> ∞ inaweza kuwa na mwisho au isiyo na mwisho. Kila kitu kinategemea nafasi ya Z 0 kuhusiana na asili z = 0. Ikiwa thamani iliyohesabiwa ni ya mwisho, basi imejumuishwa katika seti ya Julia; ikiwa inakwenda kwa infinity, basi imekatwa kutoka kwa seti ya Julia.

Sura ambayo hupatikana baada ya kutumia ramani ya Julia kwa pointi za uso fulani ni ya kipekee kuamua na parameter C. Kwa C ndogo hizi ni loops zilizounganishwa rahisi, kwa C kubwa hizi ni makundi ya pointi zilizokatwa lakini zilizoagizwa madhubuti. Kwa kiasi kikubwa, fomu zote za Julia zinaweza kugawanywa katika familia mbili kubwa - ramani zilizounganishwa na zisizounganishwa. Ya kwanza inafanana na "snowflake ya Koch", mwisho "vumbi la Cantor".

Aina mbalimbali za maumbo ya Julia ziliwashangaza wanahisabati walipoweza kuona maumbo haya kwa mara ya kwanza kwenye vichunguzi vya kompyuta. Majaribio ya kuorodhesha aina hii yalikuwa ya hali ya masharti sana na yalichemshwa kwa ukweli kwamba seti ya Mandelbrot ilichukuliwa kama msingi wa uainishaji wa ramani za Julia, mipaka ambayo, kama ilivyotokea, ilikuwa sawa na ramani za Julia. .

Wakati C = 0, kurudia ramani ya Julia inatoa mlolongo wa nambari z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 ... Matokeo yake, chaguzi tatu zinawezekana:

kwa |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
kwa |z 0 | > 1 wakati wa marudio nambari z n huongezeka kwa thamani kamili, ikielekea kutokuwa na mwisho. Katika kesi hii, kivutio ni kikubwa sehemu ya mbali, na tunatenga maadili kama haya kutoka kwa seti ya Julia;
kwa |z 0 | = 1 pointi zote za mlolongo zinaendelea kubaki kwenye hili mduara wa kitengo. Katika kesi hii, kivutio ni mduara.

Kwa hivyo, kwa C = 0, mpaka kati ya pointi za awali za kuvutia na za kuchukiza ni mduara. Katika kesi hii, ramani ina pointi mbili za kudumu: z = 0 na z = 1. Ya kwanza ni ya kuvutia, kwani derivative ya kazi ya quadratic katika sifuri ni 0, na ya pili ni ya kuchukiza, kwa kuwa derivative ya quadratic. kazi kwa thamani ya parameta ya moja ni sawa na mbili.

Hebu fikiria hali wakati C mara kwa mara ni namba halisi, i.e. tunaonekana kuhamia kwenye mhimili wa seti ya Mandelbrot (Mchoro 14). Katika C = -0.75, mpaka wa Julia huweka-intersects na kivutio cha pili kinaonekana. Fractal katika hatua hii ina jina la San Marco fractal, iliyotolewa na Mandelbrot kwa heshima ya kanisa kuu maarufu la Venetian. Kuangalia mchoro, si vigumu kuelewa kwa nini Mandelbrot alikuja na wazo la kutaja fractal kwa heshima ya muundo huu: kufanana ni ajabu.

Mchele. 14. Kubadilisha umbo la seti ya Julia kama thamani halisi ya C hupungua kutoka 0 hadi -1

Kupunguza zaidi C hadi -1.25, tunapata mpya fomu ya kawaida na nne pointi fasta, ambazo zimehifadhiwa hadi maadili C< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Mchele. 15. Kuonekana kwa aina mpya za seti ya Julia na kupungua kwa thamani halisi ya C< –1

Kwa hivyo, hata kubaki kwenye mhimili wa Mandelbrot fractal (C ya mara kwa mara ni nambari halisi), "tulikamata" kwenye uwanja wa tahadhari na kwa namna fulani tukaweka aina kubwa ya maumbo ya Julia kutoka kwa mduara hadi vumbi. Sasa hebu tuzingatie maeneo ya ishara ya Mandelbrot fractal na aina zinazofanana za Julia fractals. Kwanza kabisa, hebu tueleze fractal ya Mandelbrot kwa maneno ya "cardioid", "figo" na "vitunguu" (Mchoro 16).

Cardioid kuu na mduara wa karibu huunda sura ya msingi ya Mandelbrot fractal. Ziko karibu na idadi isiyo na kikomo ya nakala zake, ambazo kawaida huitwa figo. Kila moja ya buds hizi zimefunikwa bila mwisho kiasi kikubwa buds ndogo, sawa na kila mmoja. Buds mbili kubwa zaidi juu na chini ya cardioid kuu ziliitwa vitunguu.

Mfaransa Adrien Daudi na Bill Hubbard wa Marekani, ambaye alisoma fractal ya kawaida ya kuweka hii (C = -0.12 + 0.74i), aliiita "sungura fractal" (Mchoro 17).

Wakati wa kuvuka mpaka wa Mandelbrot fractal, Julia fractals kila wakati hupoteza mshikamano na kugeuka kuwa vumbi, ambalo kawaida huitwa "vumbi la Fatou" kwa heshima ya Pierre Fatou, ambaye alithibitisha kuwa kwa maadili fulani ya C, hatua ya mbali sana huvutia ndege nzima tata, isipokuwa kwa kuweka nyembamba sana sawa na vumbi (Mchoro 18).

STOCHASTIC FRACTALS. Kuna tofauti kubwa kati ya curve ya von Koch inayofanana kabisa na, kwa mfano, pwani ya Norway. Mwisho, ingawa haufanani kabisa, unaonyesha kufanana kwa maana ya takwimu. Curve zote mbili zimevunjwa sana hivi kwamba huwezi kuteka tangent kwa alama zao zozote, au, kwa maneno mengine, huwezi kuitofautisha. Curve kama hizo ni aina ya "monster" kati ya mistari ya kawaida ya Euclidean. Wa kwanza kuunda utendaji endelevu ambao hauna tanjiti katika sehemu zake zozote alikuwa Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Kazi yake iliwasilishwa kwa Chuo cha Royal Prussian mnamo Julai 18, 1872 na kuchapishwa mnamo 1875. Kazi zilizoelezewa na Weierstrass zinaonekana kama kelele (Mchoro 19).

Angalia grafu za taarifa za ubadilishaji wa hisa, muhtasari wa kushuka kwa joto au shinikizo la hewa, na utapata makosa ya kawaida. Zaidi ya hayo, kiwango kinapoongezeka, asili ya ukali huhifadhiwa. Na hii inatuhusu jiometri fractal.

Mwendo wa Brownian ni mojawapo ya mifano maarufu zaidi ya mchakato wa stochastic. Mnamo 1926 Jean Perrin alipokea Tuzo la Nobel kwa uchunguzi wa tabia Mwendo wa Brownian. Ni yeye aliyeangazia kujifananisha na kutotofautiana kwa njia ya Brownian.

Kwa hivyo, fractal ni seti ya hisabati inayojumuisha vitu sawa na seti hii. Kwa maneno mengine, ikiwa tunatazama kipande kidogo cha takwimu ya fractal chini ya ukuzaji, itaonekana kama sehemu kubwa ya takwimu hii au hata takwimu kwa ujumla. Kwa fractal, hata hivyo, kuongeza kiwango haimaanishi kurahisisha muundo. Kwa hivyo, katika viwango vyote tutaona picha ngumu sawa.

Tabia za fractal

Kulingana na ufafanuzi uliotajwa hapo juu, fractal kawaida huwakilishwa kama takwimu ya kijiometri inayotosheleza sifa moja au zaidi kati ya zifuatazo:

Ina muundo tata katika ukuzaji wowote;

Takriban binafsi sawa (sehemu ni sawa na nzima);

Ina mwelekeo wa sehemu, ambayo ni kubwa zaidi kuliko ile ya topolojia;

Inaweza kujengwa kwa kurudia.

Fractals katika ulimwengu unaotuzunguka

Licha ya ukweli kwamba wazo la "fractal" linaonekana kuwa la kufikirika sana, katika maisha unaweza kukutana na mifano mingi ya maisha halisi na hata ya vitendo ya jambo hili. Aidha, kutoka kwa ulimwengu unaozunguka lazima hakika kuzingatiwa, kwa sababu watatoa ufahamu bora wa fractal na vipengele vyake.

Kwa mfano, antena za vifaa mbalimbali, miundo ambayo hufanywa kwa kutumia njia ya fractal, zinaonyesha ufanisi wao wa uendeshaji ni 20% zaidi kuliko antenna za muundo wa jadi. Kwa kuongeza, antenna ya fractal inaweza kufanya kazi kwa utendaji bora katika aina mbalimbali za masafa kwa wakati mmoja. Ndio maana simu za rununu za kisasa hazina tena antena za nje za kifaa cha classical katika muundo wao - za mwisho zimebadilishwa na zile za ndani za fractal, ambazo zimewekwa moja kwa moja kwenye bodi ya mzunguko iliyochapishwa ya simu.

Fractals wamepokea umakini mkubwa na maendeleo ya teknolojia ya habari. Hivi sasa, algorithms ya compression imetengenezwa picha mbalimbali kwa kutumia fractals, kuna njia za kujenga vitu vya picha za kompyuta (miti, nyuso za mlima na bahari) kwa njia ya fractal, pamoja na mfumo wa fractal wa kugawa anwani za IP katika baadhi ya mitandao.

Katika uchumi, kuna njia ya kutumia fractals wakati wa kuchambua nukuu za hisa na sarafu. Labda msomaji anayefanya biashara kwenye soko la Forex ameona uchambuzi wa fractal katika hatua katika terminal ya biashara au hata kuitumia katika mazoezi.

Pia, pamoja na vitu vilivyotengenezwa na mwanadamu na mali ya fractal, pia kuna vitu vingi sawa katika mazingira ya asili. Mifano mizuri fractals ni matumbawe, shells za bahari, baadhi ya maua na mimea (broccoli, cauliflower), mfumo wa mzunguko wa damu na bronchi ya wanadamu na wanyama, mifumo inayoundwa kwenye kioo, na fuwele za asili. Vitu hivi na vingine vingi vina umbo la fractal iliyotamkwa.

Mara nyingi, uvumbuzi mzuri unaofanywa katika sayansi unaweza kubadilisha maisha yetu kwa kiasi kikubwa. Kwa mfano, uvumbuzi wa chanjo unaweza kuokoa watu wengi, lakini kuundwa kwa silaha mpya husababisha mauaji. Halisi jana (kwa kiwango cha historia) mwanadamu "alifuga" umeme, na leo hawezi tena kufikiria maisha yake bila hiyo. Walakini, pia kuna uvumbuzi ambao, kama wanasema, hubaki kwenye vivuli, licha ya ukweli kwamba pia wana athari moja au nyingine kwenye maisha yetu. Moja ya uvumbuzi huu ilikuwa fractal. Watu wengi hawajawahi hata kusikia juu ya dhana hii na hawataweza kuelezea maana yake. Katika makala hii tutajaribu kuelewa swali la nini fractal ni na kuzingatia maana ya neno hili kutoka kwa mtazamo wa sayansi na asili.

Agiza katika machafuko

Ili kuelewa fractal ni nini, tunapaswa kuanza mazungumzo kutoka kwa nafasi ya hisabati, lakini kabla ya kuingia ndani yake, tutafalsafa kidogo. Kila mtu ana udadisi wa asili, shukrani ambayo anajifunza Dunia. Mara nyingi, katika kutafuta ujuzi, yeye hujaribu kutumia mantiki katika hukumu zake. Kwa hiyo, kwa kuchambua taratibu zinazotokea karibu naye, anajaribu kuhesabu mahusiano na kupata mifumo fulani. Akili kubwa zaidi kwenye sayari iko busy kutatua shida hizi. Kwa kusema, wanasayansi wetu wanatafuta mifumo ambapo hakuna, na haipaswi kuwa na yoyote. Na bado, hata katika machafuko kuna uhusiano kati ya matukio fulani. Uunganisho huu ndio fractal ni. Kwa mfano, fikiria tawi lililovunjika lililolala barabarani. Tukiitazama kwa makini, tutaona kwamba pamoja na matawi yake yote na matawi yenyewe inaonekana kama mti. Kufanana huku kwa sehemu tofauti na nzima moja kunaonyesha ile inayoitwa kanuni ya kujirudia kujifananisha. Fractals zinaweza kupatikana kila mahali katika asili, kwa sababu aina nyingi za isokaboni na za kikaboni zinaundwa kwa njia sawa. Hizi ni mawingu, shells za bahari, shells za konokono, taji za miti, na hata mfumo wa mzunguko wa damu. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Maumbo haya yote ya nasibu yanaelezewa kwa urahisi na algorithm ya fractal. Sasa tumekuja kufikiria nini fractal ni kutoka kwa mtazamo wa sayansi halisi.

Baadhi ya ukweli kavu

Neno "fractal" lenyewe limetafsiriwa kutoka Kilatini kama "sehemu", "iliyogawanywa", "iliyogawanyika", na kuhusu yaliyomo katika neno hili, hakuna uundaji kama huo. Kawaida hufasiriwa kama seti inayofanana, sehemu ya yote, ambayo hurudia muundo wake kwa kiwango kidogo. Neno hili lilianzishwa katika miaka ya sabini ya karne ya ishirini na Benoit Mandelbrot, ambaye anatambuliwa kama baba. picha ya mchoro muundo fulani ambao, ukiongezwa, utakuwa sawa na yenyewe. Hata hivyo, msingi wa hisabati wa kuundwa kwa nadharia hii uliwekwa hata kabla ya kuzaliwa kwa Mandelbrot mwenyewe, lakini haikuweza kuendeleza mpaka kompyuta za elektroniki zilionekana.

Asili ya kihistoria, au Jinsi yote yalianza

Mwanzoni mwa karne ya 19 na 20, utafiti wa asili ya fractals ulikuwa wa mara kwa mara. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba wanahisabati walipendelea kusoma vitu ambavyo vinaweza kusomwa kulingana na nadharia za jumla na mbinu. Mnamo 1872, mwanahisabati wa Ujerumani K. Weierstrass aliunda mfano wa kazi inayoendelea ambayo haiwezi kutofautishwa popote. Walakini, ujenzi huu uligeuka kuwa wa kufikirika kabisa na mgumu kutambulika. Kisha akaja Msweden Helge von Koch, ambaye mwaka wa 1904 alijenga mkunjo unaoendelea ambao haukuwa na tanjiti popote. Ni rahisi kuteka na inageuka kuwa na mali ya fractal. Moja ya lahaja za Curve hii ilipewa jina la mwandishi wake - "Koch snowflake". Zaidi ya hayo, wazo la kufanana kwa takwimu lilitengenezwa na mshauri wa baadaye wa B. Mandelbrot, Mfaransa Paul Levy. Mnamo 1938, alichapisha nakala "Nyuso za ndege na anga na nyuso zinazojumuisha sehemu zinazofanana na zima." Ndani yake alieleza aina mpya- C-curve ya Levi. Takwimu zote zilizo hapo juu zimeainishwa kama fractals za kijiometri.

Vipande vya nguvu au aljebraic

Seti ya Mandelbrot ni ya darasa hili. Watafiti wa kwanza katika mwelekeo huu walikuwa wanahisabati wa Ufaransa Pierre Fatou na Gaston Julia. Mnamo 1918, Julia alichapisha karatasi kulingana na uchunguzi wa kurudiwa kwa busara kazi ngumu. Hapa alielezea familia ya fractals ambayo inahusiana kwa karibu na seti ya Mandelbrot. Licha ya ukweli kwamba kazi hii alimtukuza mwandishi kati ya wanahisabati, alisahaulika haraka. Na nusu karne tu baadaye, shukrani kwa kompyuta, kazi ya Julia ilipata maisha ya pili. Kompyuta zilifanya iwezekane kumfanya kila mtu aonekane uzuri na utajiri wa ulimwengu wa fractal ambazo wanahisabati wangeweza “kuona” kwa kuzionyesha kupitia utendaji. Mandelbrot alikuwa wa kwanza kutumia kompyuta kufanya mahesabu (kiasi kama hicho hakiwezi kufanywa kwa mikono) ambayo ilifanya iwezekane kuunda picha ya takwimu hizi.

Mtu mwenye mawazo ya anga

Mandelbrot alianza kazi yake ya kisayansi huko kituo cha utafiti IBM. Wakati wa kusoma uwezekano wa kusambaza data kwa umbali mrefu, wanasayansi walikabili ukweli hasara kubwa ambayo iliibuka kutokana na kuingiliwa kwa kelele. Benoit alikuwa akitafuta njia za kutatua tatizo hili. Kuangalia kupitia matokeo ya kipimo, aliona muundo wa ajabu, yaani: grafu za kelele zilionekana sawa kwenye mizani tofauti ya wakati.

Picha kama hiyo ilizingatiwa kwa muda wa siku moja na kwa siku saba au kwa saa moja. Benoit Mandelbrot mwenyewe mara nyingi alirudia kwamba hafanyi kazi na fomula, lakini anacheza na picha. Mwanasayansi huyu alikuwa tofauti kufikiri kimawazo, alitafsiri tatizo lolote la aljebra katika eneo la kijiometri, ambapo jibu sahihi ni dhahiri. Kwa hivyo haishangazi kwamba anajulikana kwa utajiri wake na akawa baba wa jiometri ya fractal. Baada ya yote, ufahamu wa takwimu hii unaweza kuja tu wakati unapojifunza michoro na kufikiri juu ya maana ya swirls hizi za ajabu zinazounda muundo. Mifumo ya Fractal haina vipengele sawa, lakini ni sawa kwa kiwango chochote.

Julia - Mandelbrot

Moja ya michoro ya kwanza ya takwimu hii ilikuwa tafsiri ya picha ya seti, ambayo ilizaliwa nje ya kazi ya Gaston Julia na iliendelezwa zaidi na Mandelbrot. Gaston alijaribu kufikiria jinsi seti ingefanana kulingana na fomula rahisi ambayo ilirudiwa kupitia kitanzi cha maoni. Hebu jaribu kueleza kile ambacho kimesemwa kwa lugha ya kibinadamu, kwa kusema, kwenye vidole. Kwa maalum thamani ya nambari kwa kutumia fomula tunapata thamani mpya. Tunaibadilisha katika fomula na kupata zifuatazo. Matokeo yake ni kubwa Ili kuwakilisha seti kama hiyo ni muhimu kufanya operesheni hii idadi kubwa ya nyakati: mamia, maelfu, mamilioni. Hivi ndivyo Benoit alivyofanya. Alishughulikia mlolongo na kuhamisha matokeo kwa fomu ya picha. Baadaye, alipaka rangi takwimu inayosababisha (kila rangi inalingana na idadi fulani ya marudio). Picha hii ya mchoro iliitwa "Mandelbrot fractal".

L. Seremala: sanaa iliyoundwa na asili

Nadharia ya Fractal ilipatikana haraka matumizi ya vitendo. Kwa kuwa inahusiana kwa karibu sana na taswira ya picha zinazofanana, wasanii walikuwa wa kwanza kupitisha kanuni na algoriti za kuunda fomu hizi zisizo za kawaida. Wa kwanza wao alikuwa mwanzilishi wa baadaye wa Pixar, Lauren Carpenter. Wakati akifanya kazi kwenye uwasilishaji wa mifano ya ndege, alikuja na wazo la kutumia picha ya milima kama msingi. Leo, karibu kila mtumiaji wa kompyuta anaweza kukabiliana na kazi hiyo, lakini katika miaka ya sabini ya karne iliyopita, kompyuta hazikuweza kufanya taratibu hizo, kwa sababu hapakuwa na wahariri wa picha au maombi ya graphics tatu-dimensional wakati huo. Na kisha Loren akakutana na kitabu cha Mandelbrot "Fractals: Form, Randomness and Dimension." Ndani yake, Benoit alitoa mifano mingi, akionyesha kwamba fractals zipo katika asili (fyva), alielezea maumbo yao mbalimbali na kuthibitisha kuwa yanaelezewa kwa urahisi na maneno ya hisabati. Ulinganisho huu mwanahisabati alitoa hoja juu ya manufaa ya nadharia aliyokuwa akiikuza ili kukabiliana na msururu wa ukosoaji kutoka kwa wenzake. Walibishana kuwa fractal ni haki Picha nzuri, ambayo haina thamani na ni bidhaa ya uendeshaji wa mashine za elektroniki. Seremala aliamua kujaribu njia hii kwa vitendo. Baada ya kusoma kwa uangalifu kitabu hicho, animator ya baadaye ilianza kutafuta njia ya kutekeleza jiometri ya fractal katika picha za kompyuta. Ilimchukua siku tatu tu kutoa picha halisi ya mandhari ya mlima kwenye kompyuta yake. Na leo kanuni hii inatumiwa sana. Kama inageuka, kuunda fractals haichukui muda mwingi na bidii.

Suluhisho la seremala

Kanuni ambayo Lauren alitumia ilikuwa rahisi. Inajumuisha kugawanya kubwa katika vipengele vidogo, na wale katika vidogo sawa, na kadhalika. Seremala, kwa kutumia pembetatu kubwa, aligawanyika kuwa ndogo 4, na kadhalika, hadi alipokuwa na mazingira ya kweli ya mlima. Kwa hivyo, akawa msanii wa kwanza kutumia algorithm ya fractal katika michoro ya kompyuta ili kuunda picha inayohitajika. Leo kanuni hii hutumiwa kuiga aina mbalimbali za asili za kweli.

Taswira ya kwanza ya 3D kwa kutumia algoriti ya fractal

Miaka michache baadaye, Lauren alitumia maendeleo yake katika mradi wa kiwango kikubwa - video ya uhuishaji Vol Libre, iliyoonyeshwa kwenye Siggraph mnamo 1980. Video hii ilishtua wengi, na muundaji wake alialikwa kufanya kazi katika Lucasfilm. Hapa mwigizaji aliweza kutambua uwezo wake kamili; aliunda mandhari ya pande tatu (sayari nzima) kwa filamu ya "Star Trek". Yoyote programu ya kisasa(“Fractals”) au programu ya michoro ya 3D (Terragen, Vue, Bryce) hutumia algoriti sawa kuiga muundo na nyuso.

Tom Beddard

Hapo awali, Beddard alikuwa mwanafizikia wa leza na sasa msanii na msanii wa dijitali, aliunda idadi ya maumbo ya kijiometri ya kuvutia sana, ambayo aliyaita Fabergé fractals. Kwa nje, zinafanana na mayai ya mapambo kutoka kwa vito vya Kirusi; wana muundo sawa wa kipaji, na ngumu. Beddard alitumia mbinu ya kiolezo kuunda uwasilishaji wake wa kidijitali wa miundo hiyo. Bidhaa zinazozalishwa zinashangaa na uzuri wao. Ingawa wengi wanakataa kulinganisha bidhaa iliyotengenezwa kwa mikono na programu ya kompyuta, ni lazima ikubalike kuwa fomu zinazotokana ni nzuri sana. Jambo kuu ni kwamba mtu yeyote anaweza kuunda fractal kama hiyo kwa kutumia maktaba ya programu ya WebGL. Inakuruhusu kuchunguza miundo mbalimbali ya fractal kwa wakati halisi.

Fractals katika asili

Watu wachache huzingatia, lakini takwimu hizi za kushangaza zipo kila mahali. Asili imeundwa kutoka kwa takwimu zinazofanana, hatuoni tu. Inatosha kutazama ngozi yetu au jani la mti kupitia glasi ya kukuza, na tutaona fractals. Au kuchukua, kwa mfano, mananasi au hata mkia wa peacock - zinajumuisha takwimu zinazofanana. Na aina ya broccoli ya Romanescu kwa ujumla inashangaza kwa kuonekana kwake, kwa sababu inaweza kuitwa kweli muujiza wa asili.

Pause ya muziki

Inabadilika kuwa fractals sio maumbo ya kijiometri tu, yanaweza pia kuwa sauti. Kwa hivyo, mwanamuziki Jonathan Colton anaandika muziki kwa kutumia algorithms ya fractal. Inadai kuwa inalingana na maelewano ya asili. Mtunzi huchapisha kazi zake zote chini ya leseni ya CreativeCommons Attribution-Nommercial, ambayo hutoa usambazaji wa bure, kunakili, na uhamisho wa kazi kwa wengine.

Kiashiria cha Fractal

Mbinu hii imepata matumizi yasiyotarajiwa sana. Kwa msingi wake, chombo cha kuchambua soko la soko la hisa kiliundwa, na, kwa sababu hiyo, kilianza kutumika katika soko la Forex. Siku hizi, kiashirio cha fractal kinapatikana kwenye majukwaa yote ya biashara na hutumiwa katika mbinu ya biashara inayoitwa kuzuka kwa bei. Mbinu hii ilitengenezwa na Bill Williams. Kama mwandishi anavyotoa maoni juu ya uvumbuzi wake, algorithm hii ni mchanganyiko wa "mishumaa" kadhaa, ambayo moja ya kati huonyesha kiwango cha juu au, kinyume chake, kiwango cha chini sana.

Hatimaye

Kwa hivyo tuliangalia fractal ni nini. Inabadilika kuwa katika machafuko ambayo yanatuzunguka, kwa kweli kuna aina bora. Asili ndiye mbunifu bora, mjenzi bora na mhandisi. Imepangwa kwa mantiki sana, na ikiwa hatuwezi kupata muundo, hii haimaanishi kuwa haipo. Labda tunahitaji kuangalia kwa kiwango tofauti. Tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba fractals bado ina siri nyingi ambazo bado hatujagundua.