Baadhi ya derivatives ya kazi ya vigeu viwili.
Dhana na mifano ya ufumbuzi

Washa somo hili tutaendelea kufahamiana na kazi ya vigezo viwili na kuzingatia labda ya kawaida zaidi mgawo wa mada- kutafuta derivatives sehemu ya utaratibu wa kwanza na wa pili, pamoja na tofauti ya jumla ya kazi. Wanafunzi wa muda, kama sheria, hukutana na baadhi ya vipengele katika mwaka wa 1 katika muhula wa 2. Kwa kuongezea, kulingana na uchunguzi wangu, kazi ya kupata derivatives ya sehemu karibu kila wakati inaonekana kwenye mtihani.

Kwa kujifunza kwa ufanisi nyenzo zifuatazo kwa ajili yako muhimu kuwa na uwezo wa kupata zaidi au chini ya kujiamini derivativei za "kawaida" za utendaji wa kigezo kimoja. Unaweza kujifunza jinsi ya kushughulikia derivatives kwa usahihi katika masomo Jinsi ya kupata derivative? Na Inatokana na utendaji kazi changamano. Tunahitaji pia meza ya derivatives kazi za msingi na sheria za utofautishaji, ni rahisi zaidi ikiwa iko katika fomu iliyochapishwa. Ipate nyenzo za kumbukumbu iwezekanavyo kwenye ukurasa Fomula za hisabati na meza.

Wacha turudie haraka wazo la kazi ya anuwai mbili, nitajaribu kujizuia kwa kiwango cha chini kabisa. Kazi ya vigeu viwili kawaida huandikwa kama , na viambajengo vikiitwa vigezo vya kujitegemea au hoja.

Mfano: - utendakazi wa viambajengo viwili.

Wakati mwingine nukuu hutumiwa. Pia kuna kazi ambapo barua hutumiwa badala ya barua.

NA hatua ya kijiometri Kwa upande wa maono, kazi ya vigezo viwili mara nyingi huwakilisha uso wa nafasi ya tatu-dimensional (ndege, silinda, tufe, paraboloid, hyperboloid, nk). Lakini, kwa kweli, hii ni jiometri ya uchambuzi zaidi, na kwenye ajenda yetu uchambuzi wa hisabati, ambaye hajawahi kuniruhusu kudanganya, mwalimu wangu wa chuo kikuu ndiye hoja yangu kali.

Wacha tuendelee kwenye swali la kupata derivatives ya sehemu ya maagizo ya kwanza na ya pili. Lazima ripoti habari njema kwa wale ambao wamekunywa vikombe vichache vya kahawa na kuzingatia nyenzo ngumu sana: derivatives sehemu ni karibu sawa na derivatives "kawaida" ya kazi ya variable moja..

Kwa derivatives ya sehemu, sheria zote za utofautishaji na jedwali la derivatives ya kazi za kimsingi ni halali. Kuna tofauti chache tu ndogo, ambazo tutajua hivi sasa:

... ndio, kwa njia, kwa mada hii niliyounda kitabu kidogo cha pdf, ambayo itawawezesha "kupata meno yako" kwa saa chache tu. Lakini kwa kutumia tovuti, hakika utapata matokeo sawa - labda polepole kidogo:

Mfano 1

Tafuta agizo la kwanza na la pili derivatives ya sehemu ya chaguo la kukokotoa

Kwanza, hebu tutafute viasili vya sehemu za mpangilio wa kwanza. Kuna wawili kati yao.

Uteuzi:
au - sehemu inayotokana na "x"
au - sehemu inayotokana na "y"

Hebu tuanze na. Tunapopata derivative ya sehemu kwa heshima na "x", kibadilishaji kinachukuliwa kuwa kisichobadilika (nambari thabiti).

Maoni juu ya vitendo vilivyofanywa:

(1) Jambo la kwanza tunalofanya tunapotafuta sehemu ya derivative ni kuhitimisha zote kazi katika mabano chini ya mkuu na usajili.

Tahadhari, muhimu! HATUPOTEZI usajili wakati wa mchakato wa utatuzi. KATIKA kwa kesi hii, ikiwa unachora "kiharusi" mahali fulani bila , basi mwalimu, kwa kiwango cha chini, anaweza kuiweka karibu na mgawo (mara moja kuumwa sehemu ya uhakika kwa kutojali).

(2) Tunatumia kanuni za utofautishaji , . Kwa mfano rahisi kama hii, sheria zote mbili zinaweza kutumika kwa urahisi katika hatua moja. Makini na muhula wa kwanza: tangu inachukuliwa kuwa ya kudumu, na mara kwa mara yoyote inaweza kuchukuliwa nje ya ishara derivative, kisha tunaiweka nje ya mabano. Hiyo ni, katika hali hii sio bora kuliko nambari ya kawaida. Sasa hebu tuangalie muda wa tatu: hapa, kinyume chake, hakuna kitu cha kuchukua. Kwa kuwa ni ya mara kwa mara, pia ni ya mara kwa mara, na kwa maana hii sio bora kuliko neno la mwisho - "saba".

(3) Tunatumia derivatives za jedwali na .

(4) Wacha turahisishe, au, kama ninavyopenda kusema, "rekebisha" jibu.

Sasa. Tunapopata derivative ya sehemu kwa heshima na "y", basi kutofautianainachukuliwa kuwa ya kudumu (nambari thabiti).

(1) Tunatumia kanuni sawa za kutofautisha , . Katika kipindi cha kwanza tunachukua mara kwa mara nje ya ishara ya derivative, katika muda wa pili hatuwezi kuchukua chochote kwa kuwa tayari ni mara kwa mara.

(2) Tunatumia jedwali la derivatives ya kazi za msingi. Wacha tubadilishe kiakili "X" zote kwenye jedwali hadi "mimi". Hiyo ni, jedwali hili ni halali kwa (na kwa kweli kwa karibu barua yoyote). Hasa, fomula tunazotumia zinaonekana kama hii: na .

Nini maana ya sehemu derivatives?

Kwa asili, maagizo ya 1 ya sehemu yanafanana derivative ya "kawaida".:

-Hii kazi, ambayo ina sifa kiwango cha mabadiliko hufanya kazi katika mwelekeo wa na shoka, kwa mtiririko huo. Kwa hiyo, kwa mfano, kazi inaashiria mwinuko wa "kupanda" na "mteremko" nyuso katika mwelekeo wa mhimili wa abscissa, na kazi inatuambia kuhusu "misaada" ya uso sawa katika mwelekeo wa mhimili wa kuratibu.

! Kumbuka : hapa tunamaanisha maelekezo hayo sambamba kuratibu shoka.

Ili ufahamu bora Wacha tuzingatie nukta maalum kwenye ndege na tuhesabu thamani ya chaguo la kukokotoa ("urefu") ndani yake:
- na sasa fikiria kuwa uko hapa (JUU ya uso).

Wacha tuhesabu derivative ya sehemu kwa heshima na "x" katika hatua fulani:

Ishara mbaya ya derivative ya "X" inatuambia kuhusu kupungua hufanya kazi kwa hatua katika mwelekeo wa mhimili wa abscissa. Kwa maneno mengine, ikiwa tunafanya ndogo, ndogo (isiyo na kikomo) hatua kuelekea ncha ya mhimili (sambamba na mhimili huu), basi tutashuka chini ya mteremko wa uso.

Sasa tunapata asili ya "eneo la ardhi" katika mwelekeo wa mhimili wa kuratibu:

Derivative kwa heshima ya "y" ni chanya, kwa hiyo, katika hatua ya mwelekeo wa mhimili kazi. huongezeka. Ili kuiweka kwa urahisi, hapa tunasubiri kupanda kwa kupanda.

Kwa kuongeza, derivative ya sehemu katika hatua ina sifa kiwango cha mabadiliko kazi katika mwelekeo sambamba. Thamani kubwa inayotokana moduli- kadiri uso unavyozidi kuongezeka, na kinyume chake, ndivyo unavyokaribia sifuri, ndivyo uso unavyopendeza. Kwa hiyo, kwa mfano wetu, "mteremko" katika mwelekeo wa mhimili wa abscissa ni mwinuko zaidi kuliko "mlima" katika mwelekeo wa mhimili wa kuratibu.

Lakini hizo zilikuwa njia mbili za kibinafsi. Ni wazi kabisa kwamba kutokana na hatua tuliyofikia, (na kwa ujumla kutoka kwa hatua yoyote kwenye uso uliopeanwa) tunaweza kuelekea upande mwingine. Kwa hivyo, kuna shauku ya kuunda "ramani ya urambazaji" ya jumla ambayo inaweza kutujulisha juu ya "mazingira" ya uso. ikiwezekana kwa kila hatua kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa kwenye njia zote zinazopatikana. Nitazungumzia hili na mambo mengine ya kuvutia katika mojawapo ya masomo yafuatayo, lakini kwa sasa hebu turudi kwenye upande wa kiufundi wa suala hilo.

Wacha tupange sheria za kimsingi zinazotumika:

1) Tunapotofautisha kwa heshima na , utofauti unachukuliwa kuwa wa kudumu.

2) Wakati upambanuzi unafanywa kulingana na, basi inachukuliwa kuwa ya kudumu.

3) Sheria na jedwali la derivatives za kazi za kimsingi ni halali na zinatumika kwa tofauti yoyote (au nyingine yoyote) ambayo utofautishaji unafanywa.

Hatua ya pili. Tunapata derivatives za mpangilio wa pili. Kuna wanne kati yao.

Uteuzi:
au - kiingilio cha pili kwa heshima ya "x"
au - kiingilio cha pili kwa heshima ya "Y"
au - mchanganyiko inayotokana na "x kwa igr"
au - mchanganyiko inayotokana na "Y"

Hakuna matatizo na derivative ya pili. Akizungumza kwa lugha rahisi, derivative ya pili ni derivative ya kwanza.

Kwa urahisi, nitaandika upya sehemu ya maagizo ya kwanza ambayo tayari yamepatikana:

Kwanza, hebu tutafute derivatives mchanganyiko:

Kama unaweza kuona, kila kitu ni rahisi: tunachukua derivative ya sehemu na kuitofautisha tena, lakini katika kesi hii - wakati huu kulingana na "Y".

Vile vile:

KATIKA mifano ya vitendo mtu anaweza kutegemea usawa ufuatao:

Kwa hivyo, kupitia derivatives zilizochanganywa za mpangilio wa pili ni rahisi sana kuangalia ikiwa tumepata derivatives ya sehemu ya mpangilio wa kwanza kwa usahihi.

Tafuta derivative ya pili kwa heshima na "x".
Hakuna uvumbuzi, wacha tuichukue na uitofautishe kwa "x" tena:

Vile vile:

Ikumbukwe kwamba wakati wa kupata, unahitaji kuonyesha kuongezeka kwa umakini, kwa kuwa hakuna usawa wa kimiujiza wa kuyathibitisha.

Derivatives ya pili pia hupata matumizi makubwa ya vitendo, haswa, hutumiwa katika shida ya kupata extrema ya utendaji kazi wa vigezo viwili. Lakini kila kitu kina wakati wake:

Mfano 2

Kokotoa agizo la kwanza sehemu za sehemu za chaguo za kukokotoa kwenye hatua. Tafuta derivatives za mpangilio wa pili.

Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea(majibu mwishoni mwa somo). Ikiwa una ugumu wa kutofautisha mizizi, rudi kwenye somo Jinsi ya kupata derivative? Kwa ujumla, hivi karibuni utajifunza kupata derivatives kama hizo "kwa kuruka."

Hebu tuweke mikono yetu zaidi mifano tata:

Mfano 3

Angalia hiyo. Andika chini tofauti kamili agizo la kwanza.

Suluhisho: Tafuta sehemu ya agizo la kwanza:

Jihadharini na usajili: , karibu na "X" sio marufuku kuandika kwenye mabano kwamba ni mara kwa mara. Kidokezo hiki kinaweza kuwa muhimu sana kwa wanaoanza ili kurahisisha kupata suluhisho.

Maoni zaidi:

(1) Tunasogeza viunga vyote zaidi ya ishara ya derivative. Katika kesi hii, na, na, kwa hiyo, bidhaa zao zinachukuliwa kuwa idadi ya mara kwa mara.

(2) Usisahau jinsi ya kutofautisha mizizi kwa usahihi.

(1) Tunachukua viunga vyote kutoka kwa ishara ya derivative katika kesi hii, thabiti ni .

(2) Chini ya mkuu tuna bidhaa ya kazi mbili zilizobaki, kwa hivyo, tunahitaji kutumia sheria ya kutofautisha bidhaa. .

(3) Usisahau kwamba hii ni kazi ngumu (ingawa ni rahisi zaidi kati ya ngumu). Tunatumia kanuni inayolingana: .

Sasa tunapata derivatives mchanganyiko wa mpangilio wa pili:

Hii ina maana kwamba mahesabu yote yalifanywa kwa usahihi.

Hebu tuandike tofauti kamili. Katika muktadha wa kazi inayozingatiwa, haina maana kusema tofauti kamili ya kazi ya vigeu viwili ni nini. Ni muhimu kwamba tofauti hii mara nyingi sana inahitaji kuandikwa katika matatizo ya vitendo.

Agizo la kwanza tofauti kabisa kazi ya vigezo viwili ina fomu:

Kwa kesi hii:

Hiyo ni, unahitaji tu kubadilisha kijinga viingilio vilivyopatikana vya mpangilio wa kwanza kwenye fomula. Katika hali hii na kama hiyo, ni bora kuandika ishara tofauti katika nambari:

Na kulingana na maombi ya mara kwa mara kutoka kwa wasomaji, agizo la pili tofauti kamili.

Inaonekana kama hii:

Hebu tutafute kwa MAKINI viasili vya "herufi moja" vya mpangilio wa 2:

na uandike "monster", kwa uangalifu "ambatanisha" mraba, bidhaa na bila kusahau kuongeza mchanganyiko wa mchanganyiko:

Ni sawa ikiwa jambo linaonekana kuwa gumu, unaweza kurudi kwenye viingilio baadaye, baada ya kufahamu mbinu ya kutofautisha:

Mfano 4

Tafuta sehemu za sehemu ya agizo la kwanza la chaguo za kukokotoa . Angalia hiyo. Andika tofauti kamili ya agizo la kwanza.

Wacha tuangalie safu ya mifano iliyo na kazi ngumu:

Mfano 5

Pata agizo la kwanza sehemu za sehemu za chaguo za kukokotoa.

Suluhisho:

Mfano 6

Tafuta sehemu za sehemu ya agizo la kwanza la chaguo za kukokotoa .
Andika tofauti kamili.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako (jibu mwishoni mwa somo). Suluhisho kamili Sitoi kwa sababu ni rahisi sana

Mara nyingi, sheria zote hapo juu zinatumika kwa pamoja.

Mfano 7

Tafuta sehemu za sehemu ya agizo la kwanza la chaguo za kukokotoa .

(1) Tunatumia kanuni kutofautisha jumla

(2) Neno la kwanza katika kesi hii linachukuliwa kuwa la mara kwa mara, kwani hakuna kitu katika usemi ambacho kinategemea "x" - tu "y". Unajua, daima ni nzuri wakati sehemu inaweza kubadilishwa kuwa sifuri). Kwa muhula wa pili tunatumia kanuni ya kutofautisha bidhaa. Kwa njia, kwa maana hii, hakuna kitu kingebadilika ikiwa kazi ingetolewa badala yake - jambo muhimu ni kwamba hapa bidhaa ya kazi mbili, KILA ambayo inategemea "X", na kwa hiyo, unahitaji kutumia kanuni ya kutofautisha bidhaa. Kwa muhula wa tatu tunatumia kanuni ya kutofautisha kazi tata.

(1) Neno la kwanza katika nambari na denominator lina "Y", kwa hivyo, unahitaji kutumia sheria kutofautisha nukuu: . Neno la pili linategemea TU "x", ambayo ina maana inachukuliwa kuwa ya mara kwa mara na inageuka kuwa sifuri. Kwa muhula wa tatu tunatumia sheria kutofautisha kazi ngumu.

Kwa wale wasomaji ambao kwa ujasiri walifanya hivyo hadi mwisho wa somo, nitakuambia utani wa zamani wa Mekhmatov kwa unafuu:

Siku moja, derivative mbaya ilionekana kwenye nafasi ya kazi na kuanza kutofautisha kila mtu. Kazi zote zimetawanyika pande zote, hakuna mtu anataka kubadilisha! Na kazi moja tu haina kukimbia. Derivative inamkaribia na kumuuliza:

- Kwa nini usinikimbie?

-Ha. Lakini sijali, kwa sababu mimi ni "e kwa nguvu ya X", na hautanifanya chochote!

Ambayo derivative mbaya yenye tabasamu la siri hujibu:

- Hapa ndipo unapokosea, nitakutofautisha na "Y", kwa hivyo unapaswa kuwa sifuri.

Yeyote aliyeelewa utani huo amepata derivatives, angalau kwa kiwango cha "C").

Mfano 8

Tafuta sehemu za sehemu ya agizo la kwanza la chaguo za kukokotoa .

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na mfano wa tatizo ni mwisho wa somo.

Naam, hiyo ni karibu yote. Hatimaye, siwezi kusaidia lakini tafadhali wapenzi wa hisabati na mfano mmoja zaidi. Sio hata kuhusu amateurs, ni juu ya kila mtu ngazi tofauti mafunzo ya hisabati - kuna watu (na sio nadra sana) ambao wanapenda kushindana na kazi ngumu zaidi. Ingawa, mfano wa mwisho katika somo hili sio ngumu sana kwani ni mgumu kutoka kwa maoni ya hesabu.

Tofauti... Kwa wengine ni neno zuri la mbali, lakini kwa wengine ni neno lisiloeleweka linalohusishwa na hisabati. Lakini ikiwa hii ni zawadi yako kali, makala yetu itakusaidia kujua jinsi ya "kuandaa" vizuri tofauti na nini cha "kuitumikia" nayo.

Katika hisabati, tofauti inaeleweka kama sehemu ya mstari nyongeza za kazi. Wazo la utofautishaji limeunganishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa na nukuu ya kiingilio kulingana na Leibniz f′(x 0) = df/dx·x 0. Kulingana na hili, tofauti ya utaratibu wa kwanza kwa kazi f iliyofafanuliwa kwenye seti X ina fomu ifuatayo: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Kama unaweza kuona, ili kupata tofauti unahitaji kuwa na uwezo wa kupata derivatives kwa uhuru. Kwa hivyo, itakuwa muhimu kurudia sheria za kuhesabu derivatives ili kuelewa nini kitatokea katika siku zijazo. Kwa hivyo, wacha tuangalie kwa karibu utofautishaji kwa kutumia mifano. Tunahitaji kupata tofauti ya chaguo za kukokotoa zilizotolewa katika fomu hii: y = x 3 -x 4. Kwanza, hebu tutafute derivative ya chaguo za kukokotoa: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3. Kweli, sasa kupata tofauti ni rahisi kama ganda la pears: df = (3x 3 -4x 3) dx. Sasa tumepokea tofauti katika mfumo wa fomula; kwa vitendo, mara nyingi tunavutiwa na thamani ya dijiti ya tofauti kwa vigezo maalum x na ∆x. Kuna matukio wakati kipengele cha kukokotoa kinaonyeshwa kwa ukamilifu kulingana na x. Kwa mfano, y = x²-y x. Nyingine ya chaguo za kukokotoa ina fomu ifuatayo: 2x-(y x)′. Lakini jinsi ya kupata (y x)′? Utendakazi kama huo huitwa changamano na hutofautishwa kulingana na kanuni inayolingana: df/dx = df/dy·dy/dx. Katika kesi hii: df/dy = x·y x-1 , na dy/dx = y′. Sasa tunaweka kila kitu pamoja: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Tunapanga michezo yote katika mwelekeo mmoja: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, na matokeo yake tunapata: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/ dx. Kulingana na hili, dy = 2x dx/(1+x y x-1). Bila shaka, ni vizuri kwamba kazi hizo ni chache. Lakini sasa uko tayari kwa ajili yao pia. Mbali na tofauti za utaratibu wa kwanza zinazozingatiwa, pia kuna tofauti hali ya juu. Wacha tujaribu kutafuta utofautishaji wa chaguo la kukokotoa d /d(x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), ambayo itakuwa tofauti ya mpangilio wa pili kwa f(x). Kulingana na fomula f′(u) = d/du·f(u), ambapo u = f(x), tunachukua u = x 3 . Tunapata: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2. Tunarudisha uingizwaji na kupata jibu - 1 – x 3 – x 6 , x≠0. Huduma ya mtandaoni pia inaweza kukusaidia kupata tofauti. Kwa kawaida, hutatumia kwenye mtihani au mtihani. Lakini wakati wa kuangalia kwa uhuru usahihi wa uamuzi, jukumu lake ni ngumu kupindua. Mbali na matokeo yenyewe, pia inaonyesha ufumbuzi wa kati, grafu na muunganisho usio na kikomo kazi tofauti, pamoja na mizizi ya equation tofauti. Vikwazo pekee ni kwamba kazi imeandikwa kwenye mstari mmoja unapoandika, lakini baada ya muda unaweza kuzoea hili. Kweli, kwa kawaida, huduma kama hiyo haiwezi kukabiliana na kazi ngumu, lakini kila kitu ambacho ni rahisi zaidi ni juu yake. Matumizi ya vitendo Tofauti hupatikana kimsingi katika fizikia na uchumi. Kwa hivyo, katika fizikia, shida zinazohusiana na kuamua kasi na derivative yake, kuongeza kasi, mara nyingi hutatuliwa kwa kutofautisha. Na katika uchumi, tofauti ni sehemu muhimu ya kuhesabu ufanisi wa biashara na Sera ya fedha hali, kwa mfano, athari za kujiinua kifedha.

Makala hii inazungumzia kazi za kawaida utofautishaji. Vizuri hisabati ya juu kwa wanafunzi wa chuo kikuu, mara nyingi pia huwa na kazi za kutumia tofauti katika makadirio ya hesabu, na pia kutafuta suluhisho. milinganyo tofauti. Lakini jambo kuu ni kwamba kwa ufahamu wazi wa misingi, unaweza kukabiliana na kazi zote mpya kwa urahisi.

Acha y = f (x) iwe kazi inayoweza kutofautishwa, na hoja zake ziwe tofauti huru. Kisha differentialdy yake ya kwanza = f ′ (x)dx pia ni kazi otx; unaweza kupata tofauti ya chaguo hili la kukokotoa.

Tofauti ya tofauti ya kazi y = f (x) inaitwa yake tofauti ya pili(au tofauti ya mpangilio wa pili) na inaashiriwa na d 2 y au d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Hapa dx 2 inaashiria (dx )2.

Tofauti ya utaratibu wa tatu inafafanuliwa na kupatikana sawa: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3.

Kwa ujumla, tofauti ya mpangilio wa nth ni tofauti na tofauti ya (n- 1) utaratibu: d n y = d (d n - 1 y) =f (n) (x) (dx) n.

Kuanzia hapa tunapata kwamba f (n) (x) = d n y. Hasa, kwa n = 1, 2, 3, kwa mtiririko huo, tunapata: dx n

f ′ (x) =			f′′(x) =	d 2 y		f ′′′ (x) =	d 3 y	Wale. derivative ya kazi inaweza kuchukuliwa kama

uwiano wa tofauti yake ya utaratibu sambamba na shahada sambamba ya tofauti ya kutofautiana huru.

Kumbuka kuwa fomula zote hapo juu ni halali ikiwa tu x ni kigezo huru.

Mfano. Tafuta d 2 y ikiwa y = e 3 x yao ni tofauti ya kujitegemea: kwa kuwa y ′ = 3e 3 x ,y ′′ = 9e 3 x, basi tuna d 2 y = 9e 3 x dx 2.

Sheria za L'Hopital

Sheria za L'Hopital hutumiwa kufichua kutokuwa na uhakika wa fomu 0 0 na ∞ ∞, ambayo inaitwa msingi.

Nadharia 3. (Kanuni ya L'Hopital ya kufichua kutokuwa na uhakika wa fomu 0 0).

Acha vipengele f (x) na g (x) viendelee na kutofautishwa karibu na pointi 0 na

kutoweka katika hatua hii: f (x 0 ) = g (x 0 ) = 0. Acha g ′ (x )≠ 0 katika eneo la uhakika x 0 . Kama

kuna kikomo

f′(x)

L, basi

f(x)

f′(x)

g(x)

g’(x)

x→x0

x→x0

x→x0

Mfano. Tafuta lim1 − cos6 x .

x→ 0

2x2

Suluhisho: lim

1− cos 6x

PL.

6 dhambi 6x

PL.

36 kwa 6x

x→ 0

x→ 0

x→ 0

Nadharia 4. (Kanuni ya L'Hopital ya kufichua kutokuwa na uhakika wa fomu ∞ ∞).

Acha vipengele f (x) na g (x) viendelee na kutofautishwa karibu na pointi 0 (isipokuwa
labda pointi x 0), katika mtaa huu limf (x) = limg (x) = ∞,g ′ (x)≠ 0. Ikiwa kuna
	f′(x)			f(x)			f′(x)	x→x0	x→x0
kikomo lim
	g’(x)			g(x)
x→x0			x→x0			x→x0	g’(x)

tg 3 x

Mfano. Tafuta lim tg 5 x

x→π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim 3cos

PL.

PL.

x→

tg 5 x

x→

x→

cos2 5x

lim - 10 cos 5 x dhambi 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10 x

5 x →

− 6 cos 3x dhambi 3x

x→

dhambi 6x

x→

6 kos6x

Kutokuwa na uhakika wa fomu, [∞ - ∞],, [∞ 0], hupunguzwa kwa njia mbili kuu kwa mabadiliko yanayofanana.

Acha f (x)→ 0, na g (x)→ 0 katika → x 0. Kisha mabadiliko yafuatayo ni dhahiri:

lim(f (x) g (x)) =[ 0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x→x

x→x

x→x

g(x)

g(x)

Tafuta lim tg

π x

(2 − x).

x→2

2−x

0 = lim

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

PL.

x→2

x→2

π x

ctg 4

x→2

2 π x

Acha f (x)→ ∞, na g (x)→ ∞ kuja → x 0. Basi unaweza kufanya hivi:

lim (f (x) −g (x)) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f(x)

x→x0

x→x0

x→x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

Acha f (x)→ 1, na g (x)→ ∞, au f (x)→ ∞, na g (x)→ 0, au f (x)→ 0, na g (x)→ 0 saa → x 0.

Ili kupata kikomo cha fomu lim f (x) g (x), kumbuka sifa ya logariti

x→x0

e lnf (x) g (x) = f (x) g (x).

Mfano. Tafuta lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .

Acha kazi y = /(x) iweze kutofautishwa katika nukta x. Inaweza kugeuka kuwa katika hatua x tofauti ya dy = f"(x)dx, inayozingatiwa kama kazi ya x, pia ni kazi inayoweza kutofautishwa. Kisha kuna tofauti ya tofauti ya chaguo hili la kukokotoa, ambalo linaitwa pili. -agizo tofauti la chaguo za kukokotoa y = f(x) na linaashiria d2y Kwa hivyo, tofauti za maagizo ya juu hufafanuliwa vile vile: tofauti ya mpangilio wa nth ya chaguo za kukokotoa y = /(x) ni tofauti ya (n - 1) Tofauti ya mpangilio wa chaguo hili la kukokotoa la kutofautisha kwa kawaida huitwa tofauti ya mpangilio wa 1 wa chaguo za kukokotoa Y. = /(*) Hebu tutafute fomula zinazoonyesha tofauti za maagizo ya juu kutofautisha x, kuwa na tofauti za mpangilio wowote Kisha ambapo dx = Dz ni nyongeza fulani ya kigezo huru cha x, ambacho hakitegemei ufafanuzi wa x Kwa kuwa hapa f"(x)dx inazingatiwa kama chaguo la kukokotoa la x, kipengele cha dx ni mara kwa mara na inaweza kuchukuliwa nje ya ishara tofauti. Kwa hivyo, ili kuhesabu d(f"(x)), tunatumia fomula ya kutofautisha ya agizo la kwanza kwa chaguo za kukokotoa f"(x). Tunapata Kwa hiyo, tofauti ya utaratibu wa pili d2y ya kazi y = f (x) katika hatua x, inayofanana na tofauti sawa ya dx ya kutofautiana huru x, imedhamiriwa na fomula ambapo dx2 inaashiria (dx)2. Kwa kutumia mbinu induction ya hisabati, tunapata fomula ya tofauti ya mpangilio wa nth wa maagizo ya juu hoja kali Kikomo na mwendelezo wa utendakazi wa vekta ya hoja ya kadiri Inayotokana na chaguo za kukokotoa vekta kwa heshima na hoja yake ya ukubwa Kanuni za upambanuzi wapi. Kwa hivyo Wacha sasa iwe kazi ambayo inaweza kutofautishwa idadi ya kutosha ya nyakati. Kisha, kwa sababu ya kutofautiana kwa fomu ya tofauti ya kwanza, hapa ndani kesi ya jumla sio thamani ya kudumu, kwa hiyo, katika kesi wakati na ni tofauti ya kujitegemea, Kulinganisha fomula, tunahitimisha kuwa tofauti ya pili haina kutofautiana kwa fomu. Kumbuka kuwa ikiwa u ni kazi ya mstari i.e. Hiyo ni, kutofautiana kwa sura kunahifadhiwa. §12. Utofautishaji wa kitendakazi unaofafanuliwa kimawazo Wacha tuanzishe utendaji wa Cartesian kwenye ndege. mfumo wa mstatili kuratibu Wacha vitendakazi na V(0) viendelee kwenye muda a ^ t ^ (mabadiliko 3 katika kigezo. Ikiwa kigezo t kinazingatiwa kama wakati, basi kazi zilizobainishwa kuamua sheria ya mwendo wa uhakika M na kuratibu kwenye ndege Ufafanuzi. Seti (M) ya pointi zote za ndege, kuratibu (x, y) ambayo imedhamiriwa na equations (1), inaitwa /Moskomlu>u0om. Katika kesi hii, wanasema kwamba curve inatolewa kwa fomu ya parametric. Mfano. Kwa hivyo, kwa mfano, mduara wa radius R na kituo katika asili inaweza kubainishwa katika fomu ya parametric na milinganyo ambapo t ni thamani ya radius ya pembe kati ya mhimili wa Ox na vekta ya radius OM inayotolewa kwa uhakika. M(x,y) (Mchoro 15). Ikiwa tutaondoa parameter t kutoka kwa mfumo wa equation (1), basi equation moja iliyo na x na y itabaki, na kisha curve hii itaamuliwa na equation F (x, y) = 0. Kwa hivyo, ikiwa katika equations ( 2) sisi mraba sehemu za kushoto na kulia na kisha kuongeza equations kusababisha muda kwa muda, basi parameter t itakuwa kutengwa na mduara huu itaonyeshwa kwa equation tayari ukoo x2 + y2 = R2. Hata hivyo, si mara zote inawezekana kuwatenga parameter t. Na bado, ili kutatua shida kadhaa, kama vile, kwa mfano, kupata tangent kwa curve, lazima uweze kupata derivative ya y kwa heshima na x hata katika hali ambapo curve imetolewa kwa fomu ya parametric. Tutasema kwamba utegemezi wa utendakazi wa y kwa x umebainishwa kimawazo ikiwa vigezo vyote viwili x na y vimebainishwa kama kazi za kigezo t: . Hebu fikiria swali la kuhesabu derivative ya y kwa heshima na x katika kesi ya vipimo vya parametric ya kazi. Acha kazi zifafanuliwe na kuendelea kwa muda fulani (a,/3) wa mabadiliko t. Wacha kwa kazi) kuwepo utendaji wa kinyume Kisha y ni kazi changamano ya x: Wacha tufikirie kuwa kazi zinaweza kutofautishwa katika hatua t 6 (a, /3), na kazi t = d (x) inaweza kutofautishwa katika hatua inayolingana x. Halafu, kulingana na sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu, kazi y = gr [itatofautishwa katika hatua x.kwa ujumla, inabadilisha urefu na mwelekeo (na katika hali nyingine, hatua ya matumizi, kama vile vekta ya kasi). Ufafanuzi. Hodografu ya kitendakazi cha vekta n(t) ni seti ya alama zinazofuata mwisho wa vekta a(t) wakati hoja t inabadilika, wakati mwanzo wa vekta a(f) umewekwa kwenye sehemu maalum O katika. nafasi. Hodograph a (<) есть вообше некоторая кривая L в пространстве (рис. 16). Годографом радиуса-вектора г движущейся точки будет сама траектория L этой точки. Уравнение или называется векторным уравнением кривой L. Уравнения называются параметрическими уравнениями этой кривой. Пример. Например, уравнения являются параметрическими уравнениями одного витка винтовой линии (рис. 17). Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента Пусть вектор-функция а = a(t) определена в некоторой окрестности точки t = tc кроме, быть может, самой этой точки. Определение. Постоянный вектор А называется пределом вектор-функции а(£) при t t0, если для всякого е >0 kuna 6 > 0 kama kwamba kwa wote t ^ t0 kutosheleza hali \t -