Jinsi ya kuchora utendaji y 1 2. Kazi na grafu

"Logarithm ya asili" - 0.1. Logarithms asili. 4. Vishale vya logarithmic. 0.04. 7.121.

"Daraja la 9 la kazi ya nguvu" - U. Parabola ya ujazo. Y = x3. Mwalimu wa darasa la 9 Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n ambapo n imetolewa nambari ya asili. X. Kipeo ni nambari ya asili kabisa (2n).

"Kazi ya Quadratic" - 1 Ufafanuzi kazi ya quadratic 2 Sifa za chaguo za kukokotoa Grafu 3 za chaguo za kukokotoa 4 Ukosefu wa usawa wa robo 5 Hitimisho. Sifa: Kutokuwepo kwa Usawa: Imetayarishwa na mwanafunzi wa darasa la 8A Andrey Gerlitz. Mpango: Grafu: -Vipindi vya monotonicity kwa > 0 kwa a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Utendaji wa Quadratic na grafu yake" - Solution.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-mali. Wakati a=1, fomula y=shoka inachukua fomu.

"Utendaji wa daraja la 8" - 1) Tengeneza kipeo cha parabola. Kupanga grafu ya kitendakazi cha quadratic. x. -7. Tengeneza grafu ya chaguo za kukokotoa. Aljebra darasa la 8 Mwalimu 496 Bovina shule T.V. -1. Mpango wa ujenzi. 2) Tengeneza mhimili wa ulinganifu x=-1. y.

Wacha tuchague kwenye ndege mfumo wa mstatili kuratibu na tutapanga maadili ya hoja kwenye mhimili wa abscissa X, na kwenye kuratibu - maadili ya kazi y = f(x).

Grafu ya kazi y = f(x) ni seti ya pointi zote ambazo abscissas ni ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi, na kuratibu ni sawa na maadili yanayolingana ya kazi.

Kwa maneno mengine, grafu ya kazi y = f (x) ni seti ya pointi zote za ndege, kuratibu. X, katika ambayo inakidhi uhusiano y = f(x).

Katika Mtini. 45 na 46 zinaonyesha grafu za utendaji y = 2x + 1 Na y = x 2 - 2x.

Kwa kusema kweli, mtu anapaswa kutofautisha kati ya grafu ya chaguo la kukokotoa (sawa ufafanuzi wa hisabati ambayo ilipewa hapo juu) na curve iliyochorwa, ambayo kila wakati hutoa mchoro sahihi zaidi au chini wa grafu (na hata wakati huo, kama sheria, sio grafu nzima, lakini sehemu yake tu, iko katika sehemu ya mwisho ya ndege). Katika kile kinachofuata, hata hivyo, kwa ujumla tutasema "graph" badala ya "mchoro wa grafu."

Kwa kutumia grafu, unaweza kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwa uhakika. Yaani, kama uhakika x = a ni ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa y = f(x), kisha kupata nambari f(a)(yaani maadili ya kazi katika uhakika x = a) unapaswa kufanya hivi. Inahitajika kupitia hatua ya abscissa x = a chora mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa kuratibu; mstari huu utaingiliana na grafu ya chaguo la kukokotoa y = f(x) kwa wakati mmoja; mratibu wa hatua hii, kwa mujibu wa ufafanuzi wa grafu, itakuwa sawa na f(a)(Mchoro 47).

Kwa mfano, kwa kazi f(x) = x 2 - 2x kwa kutumia grafu (Kielelezo 46) tunapata f (-1) = 3, f (0) = 0, f (1) = -l, f (2) = 0, nk.

Grafu ya chaguo za kukokotoa inaonyesha kwa uwazi tabia na sifa za chaguo la kukokotoa. Kwa mfano, kwa kuzingatia Mtini. 46 ni wazi kwamba kazi y = x 2 - 2x anakubali maadili chanya katika X< 0 na kwa x> 2, hasi - kwa 0< x < 2; thamani ndogo kazi y = x 2 - 2x inakubali saa x = 1.

Kuchora chaguo za kukokotoa f(x) unahitaji kupata pointi zote za ndege, kuratibu X,katika ambayo inakidhi equation y = f(x). Katika hali nyingi, hii haiwezekani kufanya, kwa kuwa kuna idadi isiyo na kipimo ya pointi hizo. Kwa hivyo, grafu ya chaguo la kukokotoa inaonyeshwa takriban - kwa usahihi mkubwa au mdogo. Rahisi zaidi ni njia ya kupanga grafu kwa kutumia pointi kadhaa. Inajumuisha ukweli kwamba hoja X kutoa nambari ya mwisho maadili - sema, x 1, x 2, x 3,..., x k na uunda jedwali linalojumuisha maadili ya chaguo-msingi yaliyochaguliwa.

Jedwali linaonekana kama hii:

Baada ya kukusanya jedwali kama hilo, tunaweza kuelezea vidokezo kadhaa kwenye grafu ya kazi y = f(x). Kisha, kuunganisha pointi hizi kwa mstari wa laini, tunapata mtazamo wa takriban wa grafu ya kazi y = f (x).

Ikumbukwe, hata hivyo, kwamba njia ya kupanga njama nyingi haiaminiki sana. Kwa kweli, tabia ya grafu kati ya pointi zilizokusudiwa na tabia yake nje ya sehemu kati ya pointi kali zilizochukuliwa bado haijulikani.

Mfano 1. Kuchora chaguo za kukokotoa y = f(x) mtu alikusanya jedwali la hoja na maadili ya kazi:

Pointi tano zinazolingana zinaonyeshwa kwenye Mtini. 48.

Kulingana na eneo la pointi hizi, alihitimisha kuwa grafu ya kazi ni mstari wa moja kwa moja (umeonyeshwa kwenye Mchoro 48 na mstari wa dotted). Je, hitimisho hili linaweza kuchukuliwa kuwa la kutegemeka? Isipokuwa kuna mambo ya ziada ya kuunga mkono hitimisho hili, haiwezi kuchukuliwa kuwa ya kuaminika. kuaminika.

Ili kuthibitisha kauli yetu, zingatia kazi

.

Mahesabu yanaonyesha kuwa maadili ya kazi hii katika pointi -2, -1, 0, 1, 2 yameelezwa hasa na jedwali hapo juu. Hata hivyo, grafu ya kazi hii sio mstari wa moja kwa moja kabisa (imeonyeshwa kwenye Mchoro 49). Mfano mwingine itakuwa kazi y = x + l + sinπx; maana zake pia zimeelezwa katika jedwali hapo juu.

Mifano hizi zinaonyesha kwamba katika fomu yake "safi" njia ya kupanga grafu kwa kutumia pointi kadhaa haiaminiki. Kwa hivyo, kupanga grafu ya kazi fulani, kawaida huendelea kama ifuatavyo. Kwanza, tunasoma mali ya kazi hii, kwa msaada ambao tunaweza kujenga mchoro wa grafu. Kisha, kwa kuhesabu maadili ya kazi katika pointi kadhaa (uchaguzi ambao unategemea mali iliyoanzishwa ya kazi), pointi zinazofanana za grafu hupatikana. Na hatimaye, curve hutolewa kupitia pointi zilizojengwa kwa kutumia mali ya kazi hii.

Tutaangalia baadhi ya sifa (rahisi na zinazotumiwa mara kwa mara) za kazi zinazotumiwa kupata mchoro wa grafu baadaye, lakini sasa tutaangalia baadhi ya mbinu zinazotumiwa kwa kawaida kwa ajili ya kujenga grafu.

Grafu ya chaguo za kukokotoa y = |f(x)|.

Mara nyingi ni muhimu kupanga kazi y = |f(x)|, wapi f(x) - nyuma kipengele hiki. Hebu tukumbushe jinsi hii inafanywa. A-kipaumbele thamani kamili nambari zinaweza kuandikwa

Hii ina maana kwamba grafu ya kazi y =|f(x)| inaweza kupatikana kutoka kwa grafu, kazi y = f(x) kama ifuatavyo: pointi zote kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa y = f(x), ambao waratibu wao sio hasi, wanapaswa kuachwa bila kubadilika; zaidi, badala ya vidokezo vya grafu ya chaguo la kukokotoa y = f(x) kuwa na kuratibu hasi, unapaswa kuunda alama zinazolingana kwenye grafu ya kazi y = -f(x)(yaani, sehemu ya grafu ya chaguo la kukokotoa
y = f(x), ambayo iko chini ya mhimili X, inapaswa kuonyeshwa kwa ulinganifu kuhusu mhimili X).

Mfano 2. Kitendaji cha grafu y = |x|.

Wacha tuchukue grafu ya kazi y = x(Mchoro 50, a) na sehemu ya grafu hii X< 0 (iliyolala chini ya mhimili X) iliyoakisiwa kwa ulinganifu kuhusiana na mhimili X. Matokeo yake, tunapata grafu ya kazi y = |x|(Mchoro 50, b).

Mfano 3. Kitendaji cha grafu y = |x 2 - 2x|.

Kwanza, hebu tupange kazi y = x 2 - 2x. Grafu ya kazi hii ni parabola, matawi ambayo yanaelekezwa juu, vertex ya parabola ina kuratibu (1; -1), grafu yake inaingiliana na mhimili wa x kwenye pointi 0 na 2. Kwenye muda (0; 2) kazi inachukua maadili hasi, kwa hivyo, tutaonyesha kwa ulinganifu sehemu hii ya grafu inayohusiana na mhimili wa abscissa. Mchoro wa 51 unaonyesha grafu ya kazi y = |x 2 -2x|, kulingana na grafu ya chaguo la kukokotoa y = x 2 - 2x

Grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) + g(x)

Fikiria tatizo la kuunda grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) + g(x). ikiwa grafu za kazi zimetolewa y = f(x) Na y = g(x).

Kumbuka kwamba kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa y = |f(x) + g(x)| ni seti ya zile thamani zote za x ambazo kazi zote y = f(x) na y = g(x) zimefafanuliwa, yaani, kikoa hiki cha ufafanuzi ni makutano ya vikoa vya ufafanuzi, chaguo za kukokotoa f(x) na g(x).

Wacha pointi (x 0, y 1) Na (x 0, y 2) kwa mtiririko huo ni mali ya grafu za vitendaji y = f(x) Na y = g(x), yaani y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Kisha hatua (x0;. y1 + y2) ni ya grafu ya kazi y = f(x) + g(x)(kwa f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. na sehemu yoyote kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa y = f(x) + g(x) inaweza kupatikana kwa njia hii. Kwa hiyo, grafu ya kazi y = f(x) + g(x) inaweza kupatikana kutoka kwa grafu za kazi y = f(x). Na y = g(x) kubadilisha kila nukta ( x n,y 1) michoro za kazi y = f(x) nukta (x n, y 1 + y 2), Wapi y 2 = g(x n), i.e. kwa kubadilisha kila nukta ( x n, y 1) grafu ya kazi y = f(x) kando ya mhimili katika kwa kiasi y 1 = g(x n) Katika kesi hii, pointi hizo tu zinazingatiwa X n ambayo kazi zote mbili zimefafanuliwa y = f(x) Na y = g(x).

Njia hii ya kupanga kazi y = f(x) + g(x) inaitwa nyongeza ya grafu za kazi y = f(x) Na y = g(x)

Mfano 4. Katika takwimu, grafu ya kazi ilijengwa kwa kutumia njia ya kuongeza grafu
y = x + sinx.

Wakati wa kupanga kazi y = x + sinx tulifikiri hivyo f(x) = x, A g(x) = sinx. Ili kupanga grafu ya kazi, tunachagua pointi na abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Thamani f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Hebu tuhesabu kwenye pointi zilizochaguliwa na kuweka matokeo kwenye meza.

Kuunda grafu za vitendaji vilivyo na moduli kawaida husababisha shida kubwa kwa watoto wa shule. Walakini, kila kitu sio mbaya sana. Inatosha kukumbuka algorithms chache za kutatua shida kama hizo, na unaweza kuunda grafu kwa urahisi hata kwa inayoonekana zaidi. kazi tata. Wacha tujue ni aina gani za algorithms hizi.

1. Kupanga grafu ya chaguo za kukokotoa y = |f(x)|

Kumbuka kwamba seti ya thamani za chaguo za kukokotoa y = |f(x)| : y ≥ 0. Hivyo, grafu za kazi hizo daima ziko kabisa katika nusu ya juu ya ndege.

Kupanga grafu ya chaguo za kukokotoa y = |f(x)| lina hatua nne rahisi zifuatazo.

1) Kwa uangalifu na kwa uangalifu jenga grafu ya kazi y = f (x).

2) Acha bila kubadilika alama zote kwenye grafu iliyo juu au kwenye mhimili wa 0x.

3) Onyesha sehemu ya grafu iliyo chini ya mhimili wa 0x kwa ulinganifu unaohusiana na mhimili wa 0x.

Mfano 1. Chora grafu ya kazi y = |x 2 - 4x + 3|

1) Tunajenga grafu ya kazi y = x 2 - 4x + 3. Kwa wazi, grafu ya kazi hii ni parabola. Wacha tupate kuratibu za sehemu zote za makutano ya parabola na shoka za kuratibu na kuratibu za vertex ya parabola.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Kwa hiyo, parabola huingilia mhimili wa 0x kwa pointi (3, 0) na (1, 0).

y = 0 2 - 4 0 + 3 = 3.

Kwa hiyo, parabola huingilia mhimili wa 0y kwenye hatua (0, 3).

Parabola vertex inaratibu:

x katika = -(-4/2) = 2, y katika = 2 2 - 4 2 + 3 = -1.

Kwa hiyo, uhakika (2, -1) ni vertex ya parabola hii.

Chora parabola kwa kutumia data iliyopatikana (Kielelezo 1)

2) Sehemu ya grafu iliyo chini ya mhimili wa 0x inaonyeshwa kwa ulinganifu kuhusiana na mhimili wa 0x.

3) Tunapata grafu ya kazi ya asili ( mchele. 2, iliyoonyeshwa kwa mstari wa vitone).

2. Kupanga chaguo za kukokotoa y = f(|x|)

Kumbuka kuwa utendakazi wa fomu y = f(|x|) ni sawa:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Hii ina maana kwamba grafu za utendaji kama huu zina ulinganifu kuhusu mhimili wa 0y.

Kupanga grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(|x|) kunajumuisha mfuatano rahisi wa vitendo.

1) Grafu chaguo za kukokotoa y = f(x).

2) Acha sehemu hiyo ya grafu ambayo x ≥ 0, yaani, sehemu ya grafu iliyoko kwenye nusu-ndege ya kulia.

3) Onyesha sehemu ya grafu iliyobainishwa katika nukta (2) kwa ulinganifu kwa mhimili wa 0y.

4) Kama grafu ya mwisho, chagua muungano wa curves zilizopatikana katika pointi (2) na (3).

Mfano 2. Chora grafu ya kazi y = x 2 - 4 · |x| + 3

Tangu x 2 = |x| 2, basi kazi asilia inaweza kuandikwa upya kama fomu ifuatayo: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Sasa tunaweza kutumia algorithm iliyopendekezwa hapo juu.

1) Tunaunda kwa uangalifu na kwa uangalifu mchoro wa kazi y = x 2 - 4 x + 3 (tazama pia mchele. 1).

2) Tunaacha sehemu hiyo ya grafu ambayo x ≥ 0, yaani, sehemu ya grafu iko kwenye nusu ya ndege ya kulia.

3) Onyesho upande wa kulia michoro ni linganifu kwa mhimili wa 0y.

(Kielelezo 3).

Mfano 3. Chora grafu ya chaguo za kukokotoa y = logi 2 |x|

Tunatumia mpango uliotolewa hapo juu.

1) Jenga grafu ya chaguo za kukokotoa y = logi 2 x (Kielelezo 4).

3. Kupanga chaguo za kukokotoa y = |f(|x|)|

Kumbuka kwamba utendakazi wa fomu y = |f(|x|)| pia ni sawa. Hakika, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), na kwa hivyo, grafu zao zina ulinganifu kuhusu mhimili wa 0y. Seti ya maadili ya kazi kama hizi: y ≥ 0. Hii ina maana kwamba grafu za kazi hizo ziko kabisa katika nusu ya juu ya ndege.

Ili kupanga chaguo za kukokotoa y = |f(|x|)|, unahitaji:

1) Tengeneza kwa uangalifu grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(|x|).

2) Acha bila kubadilika sehemu ya grafu iliyo juu au kwenye mhimili wa 0x.

3) Onyesha sehemu ya grafu iliyo chini ya mhimili wa 0x kwa ulinganifu unaohusiana na mhimili wa 0x.

4) Kama grafu ya mwisho, chagua muungano wa curves zilizopatikana katika pointi (2) na (3).

Mfano 4. Chora grafu ya chaguo za kukokotoa y = |-x 2 + 2|x| - 1 |.

1) Kumbuka kuwa x 2 = |x| 2. Hii ina maana kwamba badala ya kazi ya awali y = -x 2 + 2|x| - 1

unaweza kutumia kazi y = -|x| 2 + 2|x| - 1, kwani grafu zao zinalingana.

Tunaunda grafu y = -|x| 2 + 2|x| - 1. Kwa hili tunatumia algorithm 2.

a) Grafu kazi y = -x 2 + 2x - 1 (Kielelezo 6).

b) Tunaacha sehemu hiyo ya grafu ambayo iko katika nusu ya ndege ya kulia.

c) Tunaonyesha sehemu inayotokana ya grafu kwa ulinganifu kwa mhimili wa 0y.

d) Grafu inayotokana imeonyeshwa kwenye mstari wa alama kwenye takwimu (Kielelezo 7).

2) Hakuna alama juu ya mhimili wa 0x; tunaacha alama kwenye mhimili wa 0x bila kubadilika.

3) Sehemu ya grafu iliyo chini ya mhimili wa 0x inaonyeshwa kwa ulinganifu kuhusiana na 0x.

4) Grafu inayotokana imeonyeshwa kwenye takwimu na mstari wa dotted (Kielelezo 8).

Mfano 5. Grafu kazi y = |(2|x| - 4) / (|x| + 3)|

1) Kwanza unahitaji kupanga kazi y = (2|x| - 4) / (|x| + 3). Ili kufanya hivyo, tunarudi kwa Algorithm 2.

a) Panga kazi kwa uangalifu y = (2x - 4) / (x + 3) (Kielelezo 9).

Kumbuka kuwa chaguo hili la kukokotoa ni la mstari wa sehemu na grafu yake ni hyperbola. Ili kupanga curve, kwanza unahitaji kupata asymptotes ya grafu. Mlalo - y = 2/1 (uwiano wa coefficients ya x katika nambari na denominator ya sehemu), wima - x = -3.

2) Tutaacha sehemu hiyo ya grafu iliyo juu ya mhimili wa 0x au juu yake bila kubadilika.

3) Sehemu ya grafu iliyo chini ya mhimili wa 0x itaonyeshwa kwa ulinganifu kuhusiana na 0x.

4) Grafu ya mwisho imeonyeshwa kwenye takwimu (Kielelezo 11).

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.