Jinsi ya kuangalia ikiwa kitendakazi ni sawa au isiyo ya kawaida. Kazi ya usawa na isiyo ya kawaida

Rudi mbele

Makini! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia ya kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili.

Malengo:

• kuunda dhana ya kazi hata na isiyo ya kawaida, kufundisha uwezo wa kuamua na kutumia mali hizi wakati wa kusoma kazi na kujenga grafu;
• kuendeleza shughuli za ubunifu za wanafunzi, kufikiri kimantiki, uwezo wa kulinganisha na kujumlisha;
• kulima bidii na utamaduni wa hisabati; kuendeleza ujuzi wa mawasiliano .

Vifaa: usakinishaji wa media titika, ubao mweupe unaoingiliana, vijitabu.

Fomu za kazi: mbele na kikundi chenye vipengele vya shughuli za utafutaji na utafiti.

Vyanzo vya habari:

1. Aljebra darasa la 9 A.G. Mordkovich. Kitabu cha kiada.
2. Aljebra daraja la 9 A.G. Mordkovich. Kitabu cha matatizo.
3. Aljebra daraja la 9. Kazi za kujifunza na maendeleo ya wanafunzi. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

WAKATI WA MADARASA

1. Wakati wa shirika

Kuweka malengo na malengo ya somo.

2. Kuangalia kazi ya nyumbani

Nambari 10.17 (kitabu cha shida cha daraja la 9. A.G. Mordkovich).

A) katika = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 kwa X ~ 0,4
4. f(X) >0 kwa X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Kazi huongezeka na X € [– 2; + ∞)
6. Kazi ni mdogo kutoka chini.
7. katika jina = - 3, katika naib haipo
8. Kazi ni ya kuendelea.

(Umetumia algorithm ya uchunguzi wa utendakazi?) Slaidi.

2. Hebu tuangalie meza uliyoulizwa kutoka kwenye slide.

Jaza meza
	Kikoa	Kazi sufuri	Vipindi vya uthabiti wa ishara		Kuratibu za pointi za makutano ya grafu na Oy
		x = -5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; -5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Kusasisha maarifa

- Kazi zimetolewa.
- Bainisha upeo wa ufafanuzi kwa kila kitendakazi.
– Linganisha thamani ya kila chaguo la kukokotoa kwa kila jozi ya thamani za hoja: 1 na – 1; 2 na -2.
- Kwa kazi gani kati ya hizi katika kikoa cha ufafanuzi usawa unashikilia f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (ingiza data iliyopatikana kwenye jedwali) Slaidi

		f(1) na f(– 1)	f(2) na f(– 2)	michoro	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		na haijafafanuliwa

4. Nyenzo mpya

- Wakati wa kufanya kazi hii, watu, tuligundua mali nyingine ya kazi, ambayo haukuifahamu, lakini sio muhimu sana kuliko zingine - hii ni usawa na tabia isiyo ya kawaida. Andika mada ya somo: "Kazi za hata na zisizo za kawaida", kazi yetu ni kujifunza kuamua usawa na usio wa kawaida wa kazi, ili kujua umuhimu wa mali hii katika utafiti wa kazi na njama za grafu.
Kwa hivyo, hebu tutafute ufafanuzi katika kitabu cha kiada na tusome (uk. 110) . Slaidi

Def. 1 Kazi katika = f (X), iliyofafanuliwa kwenye seti ya X inaitwa hata, ikiwa kwa thamani yoyote XЄ X inatekelezwa usawa f(–x)= f(x). Toa mifano.

Def. 2 Kazi y = f(x), iliyofafanuliwa kwenye seti ya X inaitwa isiyo ya kawaida, ikiwa kwa thamani yoyote XЄ X usawa f(–х)= –f(х) unashikilia. Toa mifano.

Tulikutana wapi maneno "hata" na "isiyo ya kawaida"?
Ni kazi gani kati ya hizi itakuwa sawa, unafikiri? Kwa nini? Ni zipi zisizo za kawaida? Kwa nini?
Kwa kazi yoyote ya fomu katika= x n, Wapi n- nambari kamili, inaweza kubishaniwa kuwa chaguo la kukokotoa si la kawaida wakati n- isiyo ya kawaida na kitendakazi ni hata lini n-sawa.
- Angalia vitendaji katika= na katika = 2X- 3 sio hata au isiyo ya kawaida, kwa sababu usawa haujaridhika f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Utafiti wa iwapo kipengele cha kukokotoa ni sawa au isiyo ya kawaida huitwa utafiti wa usawa wa kipengele. Slaidi

Katika ufafanuzi 1 na 2 tulikuwa tunazungumza juu ya maadili ya chaguo la kukokotoa kwa x na - x, kwa hivyo inachukuliwa kuwa kazi pia inafafanuliwa kwa thamani. X, na kwa - X.

Def 3. Ikiwa seti ya nambari, pamoja na kila moja ya vipengele vyake x, pia ina kipengele kinyume -x, kisha kuweka X inayoitwa seti ya ulinganifu.

Mifano:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ni seti za ulinganifu, na , [–5;4] hazina ulinganifu.

- Je, hata vitendaji vina kikoa cha ufafanuzi ambacho ni seti ya ulinganifu? Wale wasio wa kawaida?
Ikiwa D ( f) ni seti ya asymmetric, basi kazi ni nini?
- Kwa hivyo, ikiwa kazi katika = f(X) - hata au isiyo ya kawaida, basi uwanja wake wa ufafanuzi ni D ( f) ni seti ya ulinganifu. Je! Taarifa ya mwongozo ni kweli: ikiwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni seti ya ulinganifu, basi ni sawa au isiyo ya kawaida?
- Hii inamaanisha kuwa uwepo wa seti ya ulinganifu wa kikoa cha ufafanuzi ni hali ya lazima, lakini haitoshi.
- Kwa hivyo unachunguzaje utendaji kwa usawa? Hebu jaribu kuunda algorithm.

Slaidi

Algorithm ya kusoma chaguo za kukokotoa kwa usawa

1. Amua ikiwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni linganifu. Ikiwa sivyo, basi kazi sio hata au isiyo ya kawaida. Ikiwa ndio, basi nenda kwa hatua ya 2 ya algorithm.

2. Andika usemi wa f(–X).

3. Linganisha f(–X).Na f(X):

• Kama f(–X).= f(X), basi kazi ni sawa;
• Kama f(–X).= – f(X), basi kazi ni isiyo ya kawaida;
• Kama f(–X) ≠ f(X) Na f(–X) ≠ –f(X), basi chaguo la kukokotoa si hata wala lisilo la kawaida.

Mifano:

Chunguza chaguo za kukokotoa a) kwa usawa katika= x 5 +; b) katika=; V) katika= .

Suluhisho.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), seti ya ulinganifu.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => kitendakazi h(x)= x 5 + isiyo ya kawaida.

b) y =,

katika = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), seti ya ulinganifu, ambayo ina maana kwamba chaguo la kukokotoa si sawa na la kipekee.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Chaguo la 2

1. Je, seti iliyotolewa ni ya ulinganifu: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Chunguza chaguo za kukokotoa kwa usawa:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Katika Mtini. grafu imejengwa katika = f(X), kwa wote X, kukidhi hali X? 0.
Grafu Kazi katika = f(X), Kama katika = f(X) ni kazi iliyo sawa.

3. Katika Mtini. grafu imejengwa katika = f(X), kwa wote x wanaokidhi sharti x? 0.
Grafu Kazi katika = f(X), Kama katika = f(X) ni utendaji usio wa kawaida.

Ukaguzi wa pande zote umewashwa slaidi.

6. Kazi ya nyumbani: №11.11, 11.21,11.22;

Uthibitisho wa maana ya kijiometri ya mali ya usawa.

***(Mgawo wa chaguo la Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa).

1. Kazi isiyo ya kawaida y = f (x) imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari. Kwa thamani yoyote isiyo hasi ya mabadiliko ya x, thamani ya chaguo za kukokotoa hii inaambatana na thamani ya chaguo za kukokotoa g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). Pata thamani ya chaguo za kukokotoa h( X) = kwa X = 3.

7. Kujumlisha

Ambayo ulikuwa unaifahamu kwa kiwango kimoja au kingine. Pia ilibainika hapo kwamba hisa za mali za kazi zitajazwa tena hatua kwa hatua. Tabia mbili mpya zitajadiliwa katika sehemu hii.

Ufafanuzi 1.

Chaguo za kukokotoa y = f(x), x є X, huitwa hata ikiwa kwa thamani yoyote x kutoka kwa seti X usawa f (-x) = f (x) unashikilia.

Ufafanuzi 2.

Chaguo za kukokotoa y = f(x), x є X, huitwa isiyo ya kawaida ikiwa kwa thamani yoyote x kutoka kwa seti X usawa f (-x) = -f (x) unashikilia.

Thibitisha kuwa y = x 4 ni kazi sawa.

Suluhisho. Tunayo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Lakini(-x) 4 = x 4. Hii ina maana kwamba kwa x yoyote usawa f(-x) = f(x) unashikilia, i.e. kazi ni sawa.

Vile vile, inaweza kuthibitishwa kuwa kazi y - x 2, y = x 6, y - x 8 ni sawa.

Thibitisha kuwa y = x 3 ~ kazi isiyo ya kawaida.

Suluhisho. Tunayo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Lakini (-x) 3 = -x 3. Hii ina maana kwamba kwa x yoyote usawa f (-x) = -f (x) unashikilia, i.e. kazi ni isiyo ya kawaida.

Vile vile, inaweza kuthibitishwa kuwa kazi y = x, y = x 5, y = x 7 ni isiyo ya kawaida.

Wewe na mimi tayari tumeshawishika zaidi ya mara moja kwamba maneno mapya katika hisabati mara nyingi yana asili ya "kidunia", i.e. wanaweza kuelezewa kwa namna fulani. Hii ndio kesi na kazi zote mbili na zisizo za kawaida. Tazama: y - x 3, y = x 5, y = x 7 ni vitendaji visivyo vya kawaida, wakati y = x 2, y = x 4, y = x 6 ni vitendaji sawa. Na kwa ujumla, kwa kazi yoyote ya fomu y = x" (hapa chini tutasoma kazi hizi), ambapo n - nambari ya asili, tunaweza kuhitimisha: ikiwa n ni nambari isiyo ya kawaida, basi kazi y = x" ni isiyo ya kawaida; ikiwa n ni nambari sawa, basi kazi y = xn ni sawa.

Pia kuna vitendaji ambavyo si vya kawaida wala si vya kawaida. Vile, kwa mfano, ni kazi y = 2x + 3. Hakika, f(1) = 5, na f (-1) = 1. Kama unaweza kuona, hapa, kwa hiyo, wala utambulisho f(-x) = f (x), wala utambulisho f(-x) = -f(x).

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa linaweza kuwa sawa, lisilo la kawaida, au la.

Utafiti wa iwapo kipengele cha kukokotoa ni sawa au isiyo ya kawaida kwa kawaida huitwa utafiti wa usawa.

Ufafanuzi wa 1 na 2 hurejelea maadili ya chaguo za kukokotoa katika pointi x na -x. Hii inadhania kuwa chaguo la kukokotoa limefafanuliwa katika nukta x na nukta -x. Hii inamaanisha kuwa nukta -x ni ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa wakati huo huo na nukta x. Ikiwa seti ya nambari X, pamoja na kila moja ya vipengele vyake x, pia ina kipengele kinyume -x, basi X inaitwa seti ya ulinganifu. Wacha tuseme, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) ni seti za ulinganifu, wakati \).

Kwa kuwa \(x^2\geqslant 0\) , basi upande wa kushoto wa mlinganyo (*) ni mkubwa kuliko au sawa na \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Kwa hivyo, usawa (*) unaweza kuwa kweli tu wakati pande zote mbili za mlinganyo ni sawa na \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Na hii ina maana kwamba \[\anza(kesi) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \mwisho(kesi) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(kesi) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \mwisho(kesi)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Kwa hivyo, thamani \(a=-\mathrm(tg)\,1\) inatufaa.

Jibu:

\(a\katika \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Kazi ya 2 #3923

Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa

Pata maadili yote ya parameta \(a\) , kwa kila moja ambayo grafu ya chaguo la kukokotoa \

linganifu kuhusu asili.

Ikiwa grafu ya chaguo za kukokotoa ni ulinganifu kuhusu asili, basi chaguo la kukokotoa kama hilo ni la kawaida, yaani, \(f(-x)=-f(x)\) hushikilia \(x\) yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi. ya kazi. Kwa hivyo, inahitajika kupata maadili ya parameta ambayo \(f(-x)=-f(x).\)

\[\anza(iliyopangwa) &3\mathrm(tg)\,\kushoto(-\dfrac(ax)5\kulia)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ dhambi \dfrac(8\pi a-3x)4\kulia) \quad \Kulia\\ \Mshale wa kulia\\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Kulia \quad2\sin \dfrac12\kushoto(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\kulia)\cdot \cos \dfrac12 \kushoto(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\kulia)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \mwisho(iliyopangwa)\]

Mlinganyo wa mwisho lazima uridhishwe kwa wote \(x\) kutoka kwa kikoa cha \(f(x)\), kwa hivyo, \(\dhambi(2\pi a)=0 \Mshale wa kulia a=\dfrac n2, n\katika\mathbb(Z)\).

Jibu:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Kazi ya 3 #3069

Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa

Pata maadili yote ya kigezo \(a\) , kwa kila moja ambayo equation \ ina suluhu 4, ambapo \(f\) ni chaguo la kukokotoa la mara kwa mara na kipindi \(T=\dfrac(16)3\) imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari , na \(f(x)=ax^2\) kwa \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Kazi kutoka kwa waliojisajili)

Kwa kuwa \(f(x)\) ni kazi sawa, grafu yake ni ya ulinganifu kuhusu mhimili wa kuratibu, kwa hivyo, wakati \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Hivyo, lini \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), na hii ni sehemu ya urefu \(\dfrac(16)3\) , kazi \(f(x)=ax^2\) .

1) Hebu \(a>0\) . Kisha grafu ya kazi \(f(x)\) itaonekana kama hii:


Halafu, ili equation iwe na suluhu 4, ni muhimu kwamba grafu \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) ipite kwenye uhakika \(A\) :


Kwa hivyo, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(amekusanywa)\anza(iliyopangwa) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\mwisho(zilizopangiliwa)\mwisho(zilizokusanywa)\kulia. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\ start(adled)\anza(iliyopangwa) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \mwisho(iliyopangwa) \mwisho( wamekusanyika)\kulia.\] Kwa kuwa \(a>0\) , basi \(a=\dfrac(18)(23)\) inafaa.

2) Hebu \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Ni muhimu kwamba grafu \(g(x)\) ipite kwenye uhakika \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(adled)\begin(iliyopangwa) &a=\dfrac(18)(23) )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \mwisho(iliyopangwa) \mwisho(imekusanywa)\kulia.\] Tangu \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Kesi wakati \(a=0\) haifai, tangu wakati huo \(f(x)=0\) kwa wote \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) na equation itakuwa na mzizi 1 tu.

Jibu:

\(a\katika \kushoto\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\kulia\)\)

Kazi ya 4 #3072

Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa

Pata thamani zote za \(a\) , kwa kila moja ambayo equation \

ina angalau mzizi mmoja.

(Kazi kutoka kwa waliojisajili)

Wacha tuandike tena equation katika fomu \ na uzingatie kazi mbili: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) na \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Chaguo za kukokotoa \(g(x)\) ni sawa na ina alama ya chini zaidi \(x=0\) (na \(g(0)=49\) ).
Chaguo za kukokotoa \(f(x)\) za \(x>0\) zinapungua, na kwa \(x)<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Hakika, wakati \(x>0\) moduli ya pili itafungua vyema (\(|x|=x\) ), kwa hivyo, bila kujali jinsi moduli ya kwanza itafungua, \(f(x)\) itakuwa sawa. kwa \( kx+A\) , ambapo \(A\) ni usemi wa \(a\) na \(k\) ni sawa na ama \(-9\) au \(-3\) . Wakati \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Wacha tupate thamani ya \(f\) katika kiwango cha juu: \

Ili equation iwe na angalau suluhisho moja, ni muhimu kwamba grafu za kazi \(f\) na \(g\) ziwe na angalau sehemu moja ya makutano. Kwa hivyo, unahitaji: \ \\]

Jibu:

\(a\katika \(-7\)\kombe\)

Kazi ya 5 #3912

Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa

Pata maadili yote ya parameta \(a\) , kwa kila moja ambayo equation \

ina suluhu sita tofauti.

Wacha tufanye uingizwaji \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Kisha equation itachukua fomu \ Tutaandika hatua kwa hatua masharti ambayo equation ya asili itakuwa na suluhisho sita.
Kumbuka kwamba equation ya quadratic \((*)\) inaweza kuwa na upeo wa masuluhisho mawili. Mlinganyo wowote wa ujazo \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) hauwezi kuwa na masuluhisho yasiyozidi matatu. Kwa hivyo, ikiwa equation \((*)\) ina masuluhisho mawili tofauti (chanya!, kwani \(t\) lazima iwe kubwa kuliko sifuri) \(t_1\) na \(t_2\) , basi, kwa kufanya kinyume. badala, tunapata: \[\kushoto[\anza(iliyokusanywa)\anza(iliyopangwa) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\mwisho(imepangiliwa)\mwisho(imekusanywa)\kulia.\] Kwa kuwa nambari yoyote chanya inaweza kuwakilishwa kama \(\sqrt2\) kwa kiwango fulani, kwa mfano, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), basi equation ya kwanza ya seti itaandikwa upya katika fomu \ Kama tulivyokwisha sema, equation yoyote ya ujazo haina suluhisho zaidi ya tatu, kwa hivyo, kila equation kwenye seti haitakuwa na suluhisho zaidi ya tatu. Hii inamaanisha kuwa seti nzima haitakuwa na suluhisho zaidi ya sita.
Hii inamaanisha kuwa ili equation ya asili iwe na suluhu sita, equation ya quadratic \((*)\) lazima iwe na masuluhisho mawili tofauti, na kila equation ya ujazo inayotokana (kutoka kwa seti) lazima iwe na suluhu tatu tofauti (na sio suluhu moja la equation moja inapaswa sanjari na yoyote - kwa uamuzi wa pili!)
Ni wazi, ikiwa equation ya quadratic \((*)\) ina suluhu moja, basi hatutapata masuluhisho sita kwa mlinganyo wa asili.

Kwa hivyo, mpango wa suluhisho unakuwa wazi. Hebu tuandike masharti ambayo lazima yatimizwe hatua kwa hatua.

1) Ili equation \((*)\) iwe na masuluhisho mawili tofauti, kibaguzi chake lazima kiwe chanya: \

2) Inahitajika pia kwamba mizizi yote miwili iwe chanya (tangu \(t>0\) ). Ikiwa bidhaa ya mizizi miwili ni chanya na jumla yao ni chanya, basi mizizi yenyewe itakuwa chanya. Kwa hivyo, unahitaji: \[\anza(kesi) 12-a>0\\-(a-10)>0\mwisho(kesi)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Kwa hivyo, tayari tumejipatia mizizi miwili tofauti chanya \(t_1\) na \(t_2\) .

3) Wacha tuangalie equation hii \ Kwa nini \(t\) itakuwa na suluhisho tatu tofauti?
Zingatia chaguo za kukokotoa \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Inaweza kuwa factorized: \ Kwa hivyo, sufuri zake ni: \(x=-1;2\) .
Ikiwa tutapata derivative \(f"(x)=3x^2-6x\) , basi tunapata pointi mbili kali \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Kwa hivyo, grafu inaonekana kama hii:


Tunaona kwamba mstari wowote wa mlalo \(y=k\) , ambapo \(0 \(x^3-3x^2+4=\logi_(\sqrt2) t\) ilikuwa na suluhisho tatu tofauti, ni muhimu kwamba \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Kwa hivyo, unahitaji: \[\anza(kesi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Wacha pia tukumbuke mara moja kwamba ikiwa nambari \(t_1\) na \(t_2\) ni tofauti, basi nambari \(\log_(\sqrt2)t_1\) na \(\log_(\sqrt2)t_2\) zitakuwa. tofauti, ambayo inamaanisha milinganyo \(x^3-3x^2+4=\logi_(\sqrt2) t_1\) Na \(x^3-3x^2+4=\logi_(\sqrt2) t_2\) itakuwa na mizizi tofauti.
Mfumo \(**)\) unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo: \[\anza(kesi) 1

Kwa hivyo, tumeamua kwamba mizizi yote miwili ya equation \((*)\) lazima iwe katika muda \((1;4)\) . Jinsi ya kuandika hali hii?
Hatutaandika mizizi kwa uwazi.
Zingatia chaguo za kukokotoa \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Grafu yake ni parabola yenye matawi ya juu, ambayo ina pointi mbili za makutano na mhimili wa x (tuliandika hali hii katika aya ya 1)). Je! grafu yake inapaswa kuonekanaje ili sehemu za makutano na mhimili wa x ziwe kwenye muda \(1;4)\)? Kwa hivyo:


Kwanza, thamani \(g(1)\) na \(g(4)\) ya chaguo za kukokotoa kwenye pointi \(1\) na \(4\) lazima ziwe chanya, na pili, kipeo cha kipeo. parabola \(t_0\ ) lazima pia iwe katika muda \(1;4)\) . Kwa hivyo, tunaweza kuandika mfumo: \[\anza(kesi) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) daima huwa na angalau mzizi mmoja \(x=0\) . Hii ina maana kwamba ili kutimiza masharti ya tatizo ni muhimu kwamba equation \

ilikuwa na mizizi minne tofauti, tofauti na sifuri, inayowakilisha, pamoja na \(x=0\), mwendelezo wa hesabu.

Kumbuka kuwa kazi \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) ni sawa, ambayo ina maana kwamba ikiwa \(x_0\) ndio mzizi wa mlinganyo \( (*)\ ) , basi \(-x_0\) pia itakuwa mzizi wake. Kisha ni muhimu kwamba mizizi ya equation hii iwe nambari zilizopangwa kwa utaratibu wa kupanda: \(-2d, -d, d, 2d\) (kisha \(d>0\)). Hapo ndipo nambari hizi tano zitaunda mwendelezo wa hesabu (na tofauti \(d\)).

Ili mizizi hii iwe nambari \(-2d, -d, d, 2d\) , ni muhimu kwamba nambari \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) ziwe mizizi ya mlinganyo \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Kisha, kulingana na nadharia ya Vieta:

Wacha tuandike tena equation katika fomu \ na uzingatie vitendaji viwili: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) na \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Chaguo za kukokotoa \(g(x)\) zina upeo wa juu \(x=0\) (na \(g_(\text(juu))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Sufuri derivative: \(x=0\) . Wakati \(x<0\) имеем: \(g">0\) , kwa \(x>0\) : \(g"<0\) .
Chaguo za kukokotoa \(f(x)\) za \(x>0\) zinaongezeka, na kwa \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Hakika, wakati \(x>0\) moduli ya kwanza itafungua vyema (\(|x|=x\)), kwa hivyo, bila kujali jinsi moduli ya pili itafungua, \(f(x)\) itakuwa sawa. kwa \( kx+A\) , ambapo \(A\) ni usemi wa \(a\) , na \(k\) ni sawa na \(13-10=3\) au \(13+10) =23\). Wakati \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Wacha tupate thamani ya \(f\) kwa kiwango cha chini: \

Ili equation iwe na angalau suluhisho moja, ni muhimu kwamba grafu za kazi \(f\) na \(g\) ziwe na angalau sehemu moja ya makutano. Kwa hivyo, unahitaji: \ Kutatua seti hii ya mifumo, tunapata jibu: \\]

Jibu:

\(a\katika \(-2\)\kombe\)