Hebu L ni nafasi ya mstari holela, a i Î L,- vipengele vyake (vectors).

Ufafanuzi 3.3.1. Kujieleza , wapi, - kiholela nambari za kweli, inaitwa mchanganyiko wa mstari vekta a 1, a 2,…, a n.

Ikiwa vector R = , halafu wanasema hivyo R iliyooza katika vekta a 1, a 2,…, a n.

Ufafanuzi 3.3.2. Mchanganyiko wa mstari wa vekta huitwa yasiyo ya maana, ikiwa kati ya nambari kuna angalau moja isiyo ya sifuri. Vinginevyo, mchanganyiko wa mstari unaitwa yasiyo na maana.

Ufafanuzi 3.3.3 . Vekta a 1 , a 2 ,…, a n zinaitwa tegemezi la mstari ikiwa kuna mchanganyiko wa laini usio wa kawaida wa hizo

= 0 .

Ufafanuzi 3.3.4. Vekta a 1 ,a 2 ,…, a n huitwa huru ikiwa ni usawa = 0 inawezekana tu katika kesi wakati idadi yote l 1, l 2,…, l n ni sawa na sifuri kwa wakati mmoja.

Kumbuka kuwa kipengele chochote kisicho sifuri cha 1 kinaweza kuzingatiwa kama mfumo huru wa mstari, kwa kuwa usawa l a 1 = 0 inawezekana tu ikiwa l= 0.

Nadharia 3.3.1. Muhimu na hali ya kutosha utegemezi wa mstari a 1, a 2,…, a n ni uwezekano wa kuoza angalau moja ya vipengele hivi katika vingine.

Ushahidi. Umuhimu. Acha vipengele a 1 , a 2 ,…, a n tegemezi kwa mstari. Ina maana kwamba = 0 , na angalau nambari moja l 1, l 2,…, l n tofauti na sifuri. Wacha kwa uhakika l 1 ¹ 0. Kisha

yaani kipengele cha 1 kimetenganishwa na kuwa vipengele a 2 , a 3 , ..., a n.

Utoshelevu. Acha kipengele cha 1 kitengenezwe kuwa vipengele a 2 , a 3 , …, a n, yaani a 1 = . Kisha = 0 , kwa hivyo, kuna mchanganyiko usio wa kawaida wa mstari wa vekta a 1 , a 2 ,…, a n, sawa 0 , kwa hivyo zinategemea mstari .

Nadharia 3.3.2. Ikiwa angalau moja ya vipengele a 1 , a 2 ,…, a n sifuri, basi vekta hizi zinategemea mstari.

Ushahidi . Hebu a n= 0 , kisha = 0 , ambayo ina maana utegemezi wa mstari wa vipengele hivi.

Nadharia 3.3.3. Ikiwa kati ya n vekta yoyote p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Ushahidi. Hebu, kwa uhakika, vipengele a 1 , a 2 ,…, a uk tegemezi kwa mstari. Hii ina maana kwamba kuna mchanganyiko usio wa kawaida wa mstari kama huo = 0 . Usawa uliowekwa utahifadhiwa ikiwa tunaongeza kipengele kwa sehemu zake zote mbili. Kisha + = 0 , na angalau nambari moja l 1, l 2,…, lp tofauti na sifuri. Kwa hivyo, vekta a 1 , a 2 ,…, a n hutegemea mstari.

Muhimu 3.3.1. Ikiwa vipengele vya n vinajitegemea kwa mstari, basi $ k $ yoyote kati yao inajitegemea kwa mstari (k< n).

Nadharia 3.3.4. Ikiwa vekta a 1, a 2,…, a n- 1 ni linearly huru, na vipengele a 1, a 2,…, a n- 1, a n hutegemea mstari, kisha vekta a n inaweza kupanuliwa kuwa vidhibiti a 1, a 2,…, a n- 1 .

Ushahidi. Kwa kuwa kwa sharti a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n zinategemea mstari, basi kuna mchanganyiko wa mstari usio wa kawaida kati yao = 0 , na (vinginevyo, zitageuka kuwa za mstari vekta tegemezi a 1, a 2,…, a n- 1). Lakini basi vector

,

Q.E.D.

Jukumu la 1. Jua ikiwa mfumo wa vekta ni huru kwa mstari. Mfumo wa vectors utaelezwa na tumbo la mfumo, nguzo ambazo zinajumuisha kuratibu za vectors.

.

Suluhisho. Acha mchanganyiko wa mstari sawa na sifuri. Baada ya kuandika usawa huu katika kuratibu, tunapata mfumo ufuatao wa equations:

.

Mfumo kama huo wa equations unaitwa triangular. Ana suluhisho moja tu . Kwa hiyo, vectors kujitegemea linearly.

Jukumu la 2. Jua ikiwa mfumo wa vekta ni huru kwa mstari.

.

Suluhisho. Vekta zinajitegemea kwa mstari (tazama tatizo 1). Wacha tuthibitishe kuwa vekta ni mchanganyiko wa mstari wa vekta . Mgawo wa upanuzi wa Vekta imedhamiriwa kutoka kwa mfumo wa milinganyo

.

Mfumo huu, kama ule wa pembetatu, una suluhisho la kipekee.

Kwa hiyo, mfumo wa vectors tegemezi kwa mstari.

Maoni. Matrices ya aina sawa na katika Tatizo 1 huitwa pembetatu , na katika tatizo la 2 - kupitiwa pembetatu . Swali la utegemezi wa mstari wa mfumo wa vekta hutatuliwa kwa urahisi ikiwa matrix inayojumuisha kuratibu za vekta hizi ni ya pembetatu. Ikiwa matrix haina aina maalum, kisha kutumia ubadilishaji wa kamba za msingi , kuhifadhi uhusiano wa mstari kati ya nguzo, inaweza kupunguzwa kwa fomu ya hatua ya triangular.

Mabadiliko ya msingi mistari matrices (EPS) shughuli zifuatazo kwenye tumbo huitwa:

1) upya wa masharti;

2) kuzidisha kamba kwa nambari isiyo ya sifuri;

3) kuongeza kamba nyingine kwenye kamba, ikizidishwa na nambari ya kiholela.

Jukumu la 3. Pata mfumo mdogo wa kiwango cha juu wa kujitegemea na uhesabu kiwango cha mfumo wa vekta

.

Suluhisho. Hebu tupunguze matrix ya mfumo kwa kutumia EPS kwa fomu ya hatua ya pembetatu. Ili kuelezea utaratibu, tunaashiria mstari na nambari ya tumbo inayobadilishwa na ishara. Safu baada ya mshale huonyesha vitendo kwenye safu mlalo za matrix zinazobadilishwa ambazo ni lazima zitekelezwe ili kupata safu mlalo za matrix mpya.

.

Kwa wazi, nguzo mbili za kwanza za matrix zinazosababisha zinajitegemea kwa mstari, safu ya tatu ni mchanganyiko wao wa mstari, na ya nne haitegemei mbili za kwanza. Vekta huitwa msingi. Wanaunda mfumo mdogo wa mfumo unaojitegemea wa kiwango cha juu zaidi , na cheo cha mfumo ni tatu.

Msingi, kuratibu

Jukumu la 4. Pata msingi na kuratibu za vekta katika msingi huu kwenye seti vectors za kijiometri, ambayo kuratibu zake zinakidhi hali hiyo .

Suluhisho. Seti ni ndege inayopitia asili. Msingi wa kiholela kwenye ndege unajumuisha vekta mbili zisizo za collinear. Kuratibu za vekta katika msingi uliochaguliwa imedhamiriwa kwa kutatua mfumo unaofanana wa equations za mstari.

Kuna njia nyingine ya kutatua tatizo hili, wakati unaweza kupata msingi kwa kutumia kuratibu.

Kuratibu nafasi sio kuratibu kwenye ndege, kwani zinahusiana na uhusiano , yaani hawajitegemei. Vigezo vya kujitegemea na (vinaitwa bure) hufafanua vekta ya pekee kwenye ndege na, kwa hiyo, zinaweza kuchaguliwa kama kuratibu katika . Kisha msingi inajumuisha vekta zilizolala ndani na zinazolingana na seti za vigeu vya bure Na , hiyo ni .

Jukumu la 5. Pata msingi na kuratibu za vectors katika msingi huu juu ya seti ya vectors wote katika nafasi ambao kuratibu isiyo ya kawaida ni sawa na kila mmoja.

Suluhisho. Wacha tuchague, kama katika shida iliyopita, kuratibu kwenye nafasi.

Kwa sababu , kisha vigeu vya bure kipekee kuamua vekta kutoka na hivyo ni kuratibu. Msingi unaofanana una vekta.

Jukumu la 6. Pata msingi na kuratibu za vectors katika msingi huu juu ya seti ya matrices yote ya fomu , Wapi - nambari za kiholela.

Suluhisho. Kila matrix kutoka inawakilishwa kipekee katika fomu:

Uhusiano huu ni upanuzi wa vector kutoka kwa heshima na msingi
na kuratibu .

Jukumu la 7. Pata mwelekeo na msingi wa safu ya mstari wa mfumo wa vekta

.

Suluhisho. Kwa kutumia EPS, tunabadilisha matrix kutoka kwa kuratibu za vekta za mfumo hadi fomu ya hatua ya pembetatu.

.

Safu matrices ya mwisho ni linearly huru, na nguzo linearly walionyesha kupitia kwao. Kwa hiyo, vectors kuunda msingi , Na .

Maoni. Msingi katika huchaguliwa kwa utata. Kwa mfano, vekta pia kuunda msingi .

Imetambulishwa na sisi shughuli za mstari juu ya vekta kuwezesha kuunda misemo mbalimbali kwa wingi wa vekta na kuzibadilisha kwa kutumia mali iliyowekwa kwa shughuli hizi.

Kulingana na seti fulani ya vekta 1, ..., n, unaweza kuunda usemi wa fomu

ambapo 1, ..., na n ni ya kiholela nambari za kweli. Usemi huu unaitwa mchanganyiko wa mstari wa vekta a 1, ..., n. Nambari α i, i = 1, n, kuwakilisha mgawo wa mchanganyiko wa mstari. Seti ya vectors pia inaitwa mfumo wa vekta.

Kuhusiana na dhana iliyoletwa ya mchanganyiko wa mstari wa vekta, shida inatokea ya kuelezea seti ya vekta ambayo inaweza kuandikwa kama mchanganyiko wa mstari wa mfumo fulani wa vekta 1, ..., n. Kwa kuongeza, kuna maswali ya asili kuhusu hali ambayo kuna uwakilishi wa vector kwa namna ya mchanganyiko wa mstari, na kuhusu pekee ya uwakilishi huo.

Ufafanuzi 2.1. Vectors a 1, ..., na n huitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna seti ya coefficients α 1 , ... , α n hivyo

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

na angalau moja ya mgawo huu sio sufuri. Ikiwa seti maalum ya coefficients haipo, basi vectors huitwa kujitegemea linearly.

Ikiwa α 1 = ... = α n = 0, basi, ni wazi, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Kwa hili akilini, tunaweza kusema hivi: vekta 1, ..., na n zinajitegemea kimstari ikiwa inafuata kutoka kwa usawa (2.2) kwamba coefficients zote α 1 , ... , α n ni sawa na sifuri.

Nadharia ifuatayo inaeleza kwa nini dhana mpya inaitwa neno "utegemezi" (au "uhuru"), na inatoa kigezo rahisi cha utegemezi wa mstari.

Nadharia 2.1. Ili vekta 1, ..., na n, n > 1, tegemezi kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba mmoja wao ni mchanganyiko wa mstari wa wengine.

◄ Umuhimu. Wacha tuchukue kuwa vekta 1, ..., na n zinategemeana. Kulingana na Ufafanuzi 2.1 wa utegemezi wa mstari, katika usawa (2.2) upande wa kushoto kuna angalau mgawo mmoja usio na sifuri, kwa mfano α 1. Tukiacha muhula wa kwanza upande wa kushoto wa usawa, tunahamisha wengine hadi upande wa kulia, kubadilisha ishara zao, kama kawaida. Kugawanya usawa unaotokana na α 1, tunapata

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

hizo. uwakilishi wa vekta 1 kama mchanganyiko wa mstari wa vekta zilizobaki a 2, ..., n.

Utoshelevu. Acha, kwa mfano, vekta ya kwanza 1 inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta zilizobaki: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Kuhamisha masharti yote kutoka upande wa kulia kwenda kushoto, tunapata 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, i.e. mchanganyiko wa mstari wa vekta a 1, ..., n yenye viambajengo α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, sawa na vekta sifuri. Katika mchanganyiko huu wa mstari, sio coefficients zote ni sifuri. Kulingana na Ufafanuzi 2.1, vekta 1, ..., na n zinategemeana.

Ufafanuzi na kigezo cha utegemezi wa mstari umeundwa ili kuashiria kuwepo kwa vekta mbili au zaidi. Walakini, tunaweza pia kuzungumza juu ya utegemezi wa mstari wa vekta moja. Ili kutambua uwezekano huu, badala ya "vekta zinategemea mstari," unahitaji kusema "mfumo wa vekta unategemea mstari." Ni rahisi kuona kwamba maneno "mfumo wa vector moja inategemea mstari" inamaanisha kuwa vector hii moja ni sifuri (katika mchanganyiko wa mstari kuna mgawo mmoja tu, na haipaswi kuwa sawa na sifuri).

Dhana ya utegemezi wa mstari ina tafsiri rahisi ya kijiometri. Kauli tatu zifuatazo zinafafanua tafsiri hii.

Nadharia 2.2. Vekta mbili zinategemea mstari ikiwa na tu ikiwa colinear.

◄ Ikiwa vekta a na b hutegemea mstari, basi moja yao, kwa mfano a, inaonyeshwa kupitia nyingine, i.e. a = λb kwa nambari fulani halisi λ. Kulingana na ufafanuzi 1.7 kazi vekta kwa kila nambari, vekta a na b ni collinear.

Wacha sasa vekta a na b ziwe collinear. Ikiwa zote mbili ni sifuri, basi ni dhahiri kuwa zinategemea mstari, kwani mchanganyiko wowote wa mstari ni sawa na vekta ya sifuri. Acha moja ya vijidudu hivi isiwe sawa na 0, kwa mfano vekta b. Wacha tuonyeshe kwa λ uwiano wa urefu wa vekta: λ = |a|/|b|. Vekta za Collinear zinaweza kuwa unidirectional au iliyoelekezwa kinyume. KATIKA kesi ya mwisho wacha tubadilishe ishara ya λ. Kisha, tukiangalia Ufafanuzi 1.7, tuna hakika kwamba a = λb. Kulingana na Nadharia 2.1, vekta a na b zinategemeana.

Kumbuka 2.1. Kwa upande wa vekta mbili, kwa kuzingatia kigezo cha utegemezi wa mstari, nadharia iliyothibitishwa inaweza kurekebishwa kama ifuatavyo: vekta mbili ni collinear ikiwa na tu ikiwa moja yao inawakilishwa kama bidhaa ya nyingine na nambari. Hiki ni kigezo kinachofaa kwa collinearity ya vekta mbili.

Nadharia 2.3. Vekta tatu zinategemea mstari ikiwa na tu ikiwa coplanar.

◄ Ikiwa vekta tatu a, b, c zinategemea mstari, basi, kulingana na Theorem 2.1, mmoja wao, kwa mfano a, ni mchanganyiko wa mstari wa wengine: a = βb + γс. Hebu tuunganishe asili ya vekta b na c kwenye hatua A. Kisha vekta βb, γс zitakuwa na asili ya kawaida katika hatua A na pamoja. kulingana na kanuni ya parallelogram, jumla yao ni hizo. vekta a itakuwa vekta yenye asili A na mwisho, ambayo ni vertex ya parallelogram iliyojengwa kwenye vekta za vipengele. Kwa hiyo, vectors wote hulala katika ndege moja, yaani, coplanar.

Acha vekta a, b, c ziwe coplanar. Ikiwa moja ya vekta hizi ni sifuri, basi ni dhahiri kwamba itakuwa mchanganyiko wa mstari wa wengine. Inatosha kuchukua coefficients zote za mchanganyiko wa mstari sawa na sifuri. Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa vekta zote tatu sio sifuri. Sambamba ilianza vekta hizi ndani hatua ya kawaida O. Hebu mwisho wao uwe pointi A, B, C, kwa mtiririko huo (Mchoro 2.1). Kupitia nukta C tunachora mistari sambamba na mistari inayopita kwenye jozi za pointi O, A na O, B. Kuteua pointi za makutano kama A" na B", tunapata sambamba la OA"CB", kwa hiyo, OC" = OA" + OB". Vekta OA" na vekta isiyo ya sifuri a = OA ni collinear, na kwa hiyo ya kwanza kati yao inaweza kupatikana kwa kuzidisha ya pili kwa nambari halisi α:OA" = αOA. Vile vile, OB" = βOB, β ∈ R. Kwa sababu hiyo, tunapata kwamba OC" = α OA. + βOB, yaani, vekta c ni mchanganyiko wa mstari wa vekta a na b. Kulingana na Nadharia ya 2.1, vekta a, b, c hutegemea kimstari.

Nadharia 2.4. Vekta zote nne zinategemea mstari.

◄ Tunatekeleza uthibitisho kulingana na mpango sawa na wa Nadharia 2.3. Zingatia vekta nne za kiholela a, b, c na d. Ikiwa moja ya vectors nne ni sifuri, au kati yao kuna vectors mbili za collinear, au tatu za vectors nne ni coplanar, basi vectors hizi nne zinategemea linearly. Kwa mfano, ikiwa vekta a na b ni collinear, basi tunaweza kufanya mchanganyiko wao wa mstari αa + βb = 0 na coefficients zisizo sifuri, na kisha kuongeza vekta mbili zilizobaki kwenye mchanganyiko huu, tukichukua zero kama coefficients. Tunapata mchanganyiko wa mstari wa vekta nne sawa na 0, ambayo kuna coefficients zisizo za sifuri.

Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa kati ya vekta nne zilizochaguliwa, hakuna veta ni sifuri, hakuna mbili ni collinear, na hakuna tatu ni coplanar. Wacha tuwachague kama mwanzo wa kawaida uhakika O. Kisha mwisho wa vectors a, b, c, d itakuwa baadhi ya pointi A, B, C, D (Mchoro 2.2). Kupitia hatua D tunachora ndege tatu sambamba na OBC, OCA, OAB, na kuruhusu A", B", C" kuwa sehemu za makutano ya ndege hizi na mistari iliyonyooka OA, OB, OS, mtawaliwa. parallelepiped OA" C "B" C" B"DA", na vekta a, b, c hulala kwenye kingo zake zinazojitokeza kutoka kwenye vertex O. Kwa kuwa OC"DC" ya quadrilateral ni parallelogram, basi OD = OC" + OC " Kwa upande mwingine, sehemu ya OC" ni mshazari OA"C"B", hivyo OC" = OA" + OB" na OD = OA" + OB" + OC" .

Inabakia kutambua kwamba jozi za vectors OA ≠ 0 na OA" , OB ≠ 0 na OB" , OC ≠ 0 na OC" ni collinear, na, kwa hiyo, inawezekana kuchagua coefficients α, β, γ ili OA" = αOA , OB" = βOB na OC" = γOC. Hatimaye tunapata OD = αOA + βOB + γOC. Kwa hivyo, vekta ya OD inaonyeshwa kupitia vekta zingine tatu, na vekta zote nne, kulingana na Theorem 2.1, zinategemea mstari.

Mfumo wa vectors huitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna nambari ambazo angalau moja ni tofauti na sifuri, ili kwamba usawa https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= > >.

Ikiwa usawa huu umeridhika tu katika kesi wakati wote , basi mfumo wa vekta unaitwa kujitegemea linearly.

Nadharia. Mfumo wa vector utakuwa tegemezi kwa mstari ikiwa na tu ikiwa angalau moja ya vekta zake ni mchanganyiko wa mstari wa zingine.

Mfano 1. Polynomial ni muunganisho wa kimstari wa polimanomia https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Ponomia huunda mfumo unaojitegemea kimstari, tangu polynomial https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Mfano 2. Mfumo wa matrix, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> ni huru kimstari, kwa kuwa mchanganyiko wa mstari ni sawa na sifuri tumbo tu katika kesi wakati https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> tegemezi kimstari.

Suluhisho.

Wacha tutengeneze mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" urefu=" 22">.

Kusawazisha viwianishi sawa vya vekta sawa, tunapata https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Hatimaye tunapata

Na

Mfumo una moja tu ufumbuzi usio na maana, kwa hivyo mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi ni sawa na sifuri tu katika kesi wakati coefficients zote ni sawa na sifuri. Ndiyo maana mfumo huu vekta ni linearly kujitegemea.

Mfano 4. Vekta zinajitegemea kwa mstari. Mifumo ya vekta itakuwaje?

a).;

b).?

Suluhisho.

a). Wacha tufanye mchanganyiko wa mstari na tufananishe na sifuri

Kwa kutumia mali ya utendakazi na vekta kwenye nafasi ya mstari, tunaandika tena usawa wa mwisho katika fomu.

Kwa kuwa vekta zinajitegemea kimstari, viweti lazima viwe sawa na sufuri, yaani.gif" width="12" height="23 src=">

Mfumo unaotokana wa equations una suluhisho la kipekee lisilo na maana .

Tangu usawa (*) inatekelezwa tu wakati https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – huru kwa mstari;

b). Wacha tufanye usawa https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Kwa kutumia hoja sawa, tunapata

Kutatua mfumo wa equations kwa njia ya Gauss, tunapata

au

Mfumo wa mwisho una seti isiyo na mwisho suluhu https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Kwa hivyo, kuna seti isiyo ya sufuri ya viambajengo ambavyo usawa anashikilia (**) . Kwa hiyo, mfumo wa vectors - tegemezi kwa mstari.

Mfano 5 Mfumo wa vekta unajitegemea kimstari, na mfumo wa vekta hutegemea kimstari..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Katika usawa (***) . Hakika, saa , mfumo ungekuwa tegemezi linearly.

Kutoka kwa uhusiano (***) tunapata au Hebu kuashiria .

Tunapata

Kazi za uamuzi wa kujitegemea(katika hadhira)

1. Mfumo ulio na vekta sifuri unategemea mstari.

2. Mfumo unaojumuisha vector moja A, inategemea kimstari ikiwa na tu ikiwa, a=0.

3. Mfumo unaojumuisha vekta mbili hutegemea mstari ikiwa na tu ikiwa vekta ni sawia (hiyo ni, moja yao hupatikana kutoka kwa nyingine kwa kuzidisha kwa nambari).

4. Ikiwa k ni ya mstari mfumo tegemezi ongeza vekta, unapata mfumo tegemezi wa mstari.

5. Ikiwa vekta imeondolewa kwenye mfumo wa kujitegemea wa mstari, basi mfumo unaotokana wa vekta ni huru kwa mstari.

6. Ikiwa mfumo S inajitegemea kwa mstari, lakini inakuwa tegemezi kwa mstari wakati wa kuongeza vekta b, kisha vekta b imeonyeshwa kwa mstari kupitia vekta za mfumo S.

c). Mfumo wa matrices , , katika nafasi ya matrices ya pili.

10. Wacha mfumo wa veta a,b,c nafasi ya vekta inajitegemea kwa mstari. Thibitisha uhuru wa mstari mifumo ifuatayo vekta:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nambari ya kiholela

c).a+b, a+c, b+c.

11. Hebu a,b,c- vector tatu kwenye ndege ambayo pembetatu inaweza kuundwa. Je, vekta hizi zitakuwa tegemezi kwa mstari?

12. Vekta mbili zinatolewa a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Tafuta vekta mbili zaidi zenye sura nne a3 naa4 ili mfumo a1,a2,a3,a4 ilikuwa inajitegemea kwa mstari .

Utegemezi wa mstari Na uhuru wa mstari vekta.
Msingi wa vectors. Mfumo wa kuratibu wa Affine

Kuna mkokoteni ulio na chokoleti kwenye ukumbi, na kila mgeni leo atapata wanandoa tamu - jiometri ya uchanganuzi na algebra ya mstari. Nakala hii itashughulikia sehemu mbili mara moja. hisabati ya juu, na tutaona jinsi wanavyopatana katika kanga moja. Pumzika, kula Twix! ...jamani, ni upuuzi ulioje. Ingawa, sawa, sitafunga, mwishowe, unapaswa kuwa na mtazamo mzuri kuelekea kusoma.

Utegemezi wa mstari wa vekta, linear vector uhuru, msingi wa vekta na maneno mengine sio tu tafsiri ya kijiometri, lakini, juu ya yote, maana ya algebraic. Wazo lenyewe la "vekta" kutoka kwa mtazamo wa algebra ya mstari sio kila wakati vekta "ya kawaida" ambayo tunaweza kuonyesha kwenye ndege au angani. Huna haja ya kuangalia mbali kwa uthibitisho, jaribu kuchora vector ya nafasi ya tano-dimensional . Au vector ya hali ya hewa, ambayo nilikwenda tu kwa Gismeteo kwa: - joto na Shinikizo la anga kwa mtiririko huo. Mfano, kwa kweli, sio sahihi kutoka kwa mtazamo wa mali ya nafasi ya vekta, lakini, hata hivyo, hakuna mtu anayekataza kurasimisha vigezo hivi kama vekta. Pumzi ya vuli ...

Hapana, sitakulemea kwa nadharia, mstari nafasi za vector, kazi ni kuelewa ufafanuzi na nadharia. Masharti mapya (utegemezi wa mstari, uhuru, mchanganyiko wa mstari, msingi, nk.) hutumika kwa vekta zote kutoka kwa mtazamo wa aljebra, lakini mifano ya kijiometri itatolewa. Hivyo, kila kitu ni rahisi, kupatikana na wazi. Mbali na matatizo ya jiometri ya uchambuzi, tutazingatia pia baadhi kazi za kawaida algebra Ili kujua nyenzo, inashauriwa kujijulisha na masomo Vectors kwa dummies Na Jinsi ya kuhesabu kiashiria?

Utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta za ndege.
Msingi wa ndege na mfumo wa kuratibu wa ushirika

Hebu fikiria ndege ya dawati la kompyuta yako (meza tu, meza ya kitanda, sakafu, dari, chochote unachopenda). Kazi itakuwa na vitendo vifuatavyo:

1) Chagua msingi wa ndege. Kwa kusema, meza ya meza ina urefu na upana, kwa hivyo ni angavu kwamba vekta mbili zitahitajika kuunda msingi. Vekta moja haitoshi, vekta tatu ni nyingi sana.

2) Kulingana na msingi uliochaguliwa weka mfumo wa kuratibu(kuratibu gridi ya taifa) kugawa viwianishi kwa vitu vyote vilivyo kwenye jedwali.

Usistaajabu, kwa mara ya kwanza maelezo yatakuwa kwenye vidole. Zaidi ya hayo, juu yako. Tafadhali weka kidole cha shahada cha kushoto kwenye makali ya meza ya meza ili aangalie kufuatilia. Hii itakuwa vekta. Sasa mahali kidole kidogo mkono wa kulia kwenye makali ya meza kwa njia ile ile - ili ielekezwe kwenye skrini ya kufuatilia. Hii itakuwa vekta. Tabasamu, unaonekana mzuri! Tunaweza kusema nini kuhusu vekta? Vekta za data colinear, inamaanisha mstari walionyesha kupitia kila mmoja:
, vizuri, au kinyume chake: , nambari fulani iko wapi tofauti na sifuri.

Unaweza kuona picha ya kitendo hiki darasani. Vectors kwa dummies, ambapo nilielezea sheria ya kuzidisha vekta kwa nambari.

Je! vidole vyako vitaweka msingi kwenye ndege ya dawati la kompyuta? Ni wazi sivyo. Vekta za Collinear husafiri na kurudi kote peke yake mwelekeo, na ndege ina urefu na upana.

Vectors vile huitwa tegemezi kwa mstari.

Rejeleo: Maneno "mstari", "mstari" yanaashiria ukweli kwamba katika milinganyo ya hisabati, misemo haina miraba, cubes, nguvu nyingine, logarithms, sines, nk. Kuna maneno na vitegemezi vya mstari (shahada ya 1).

Vekta mbili za ndege tegemezi kwa mstari ikiwa na tu ikiwa ni colinear.

Vunja vidole vyako kwenye meza ili kuwe na pembe yoyote kati yao isipokuwa digrii 0 au 180. Vekta mbili za ndegemstari Sivyo tegemezi ikiwa na tu ikiwa sio collinear. Kwa hivyo, msingi unapatikana. Hakuna haja ya kuwa na aibu kwamba msingi uligeuka kuwa "kupotoshwa" na vectors zisizo za perpendicular za urefu tofauti. Hivi karibuni tutaona kwamba sio tu angle ya digrii 90 inafaa kwa ajili ya ujenzi wake, na si tu vekta za kitengo cha urefu sawa.

Yoyote vekta ya ndege njia pekee inapanuliwa kulingana na msingi:
, nambari halisi ziko wapi. Nambari zinaitwa kuratibu za vector katika msingi huu.

Pia inasemekana kuwa vektailiyowasilishwa kama mchanganyiko wa mstari vekta za msingi. Hiyo ni, usemi unaitwa mtengano wa vektakwa msingi au mchanganyiko wa mstari vekta za msingi.

Kwa mfano, tunaweza kusema kwamba vekta imetenganishwa kwa msingi wa kawaida wa ndege, au tunaweza kusema kwamba inawakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta.

Hebu tutengeneze ufafanuzi wa msingi rasmi: Msingi wa ndege inaitwa jozi ya vekta zinazojitegemea (zisizo za collinear), , ambapo yoyote vekta ya ndege ni mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi.

Jambo muhimu la ufafanuzi ni ukweli kwamba vekta huchukuliwa kwa utaratibu fulani. Misingi - hizi ni mbili kabisa misingi tofauti! Kama wanasema, huwezi kuchukua nafasi ya kidole kidogo cha mkono wako wa kushoto badala ya kidole kidogo cha mkono wako wa kulia.

Tumegundua msingi, lakini haitoshi kuweka gridi ya kuratibu na kugawa kuratibu kwa kila kitu kwenye dawati la kompyuta yako. Kwa nini haitoshi? Vekta ni bure na hutangatanga katika ndege nzima. Kwa hivyo unagawaje viwianishi kwa sehemu hizo ndogo chafu kwenye meza zilizosalia kutoka wikendi ya porini? Hatua ya kuanzia inahitajika. Na alama kama hiyo ni jambo linalojulikana kwa kila mtu - asili ya kuratibu. Wacha tuelewe mfumo wa kuratibu:

Nitaanza na mfumo wa "shule". Tayari katika somo la utangulizi Vectors kwa dummies Niliangazia tofauti kadhaa kati ya mfumo wa kuratibu wa mstatili na msingi wa kawaida. Hapa kuna picha ya kawaida:

Wanapozungumza mfumo wa kuratibu wa mstatili, basi mara nyingi wanamaanisha asili ya kuratibu, kuratibu shoka na kupima kando ya shoka. Jaribu kuandika "mfumo wa kuratibu wa mstatili" kwenye injini ya utafutaji, na utaona kwamba vyanzo vingi vitakuambia kuhusu shoka za kuratibu zinazojulikana kutoka daraja la 5-6 na jinsi ya kupanga pointi kwenye ndege.

Kwa upande mwingine, inaonekana hivyo mfumo wa mstatili kuratibu zinaweza kuamuliwa kabisa kupitia msingi wa kawaida. Na hiyo ni karibu kweli. Maneno ni kama ifuatavyo:

asili, Na ya kawaida msingi umewekwa Mfumo wa kuratibu ndege ya mstatili wa Cartesian . Hiyo ni, mfumo wa kuratibu wa mstatili hakika inafafanuliwa na nukta moja na vekta mbili za othogonal za kitengo. Ndio maana unaona mchoro ambao nilitoa hapo juu - ndani matatizo ya kijiometri Mara nyingi (lakini sio kila wakati) vekta zote mbili na shoka za kuratibu huchorwa.

Nadhani kila mtu anaelewa hilo kwa kutumia nukta (asili) na msingi wa kawaida POINT YOYOTE kwenye ndege na VECTOR YOYOTE kwenye ndege kuratibu zinaweza kupewa. Kwa njia ya kitamathali, “kila kitu kwenye ndege kinaweza kuhesabiwa.”

Je, vekta za kuratibu zinahitajika kuwa kitengo? Hapana, zinaweza kuwa na urefu wa kiholela usio na sifuri. Fikiria nukta na vekta mbili za orthogonal za urefu wa kiholela usio na sifuri:

Msingi kama huo unaitwa ya orthogonal. Asili ya kuratibu na vectors hufafanuliwa na gridi ya kuratibu, na hatua yoyote kwenye ndege, vector yoyote ina kuratibu zake kwa msingi fulani. Kwa mfano, au. Usumbufu dhahiri ni kwamba kuratibu vekta V kesi ya jumla kuwa na urefu tofauti tofauti na umoja. Ikiwa urefu ni sawa na moja, basi msingi wa kawaida wa kawaida unapatikana.

! Kumbuka : kwa msingi wa orthogonal, na pia chini ndani misingi ya ushirika vitengo vya ndege na nafasi kando ya shoka vinazingatiwa KWA MASHARTI. Kwa mfano, kitengo kimoja kando ya mhimili wa x kina 4 cm, kitengo kimoja kando ya mhimili wa kuratibu kina 2 cm Habari hii inatosha, ikiwa ni lazima, kubadilisha kuratibu "zisizo za kawaida" kuwa "sentimita zetu za kawaida".

Na swali la pili, ambalo tayari limejibiwa, ni ikiwa pembe kati ya vekta za msingi lazima iwe sawa na digrii 90? Hapana! Kama ufafanuzi unavyosema, veta za msingi lazima ziwe tu isiyo ya collinear. Ipasavyo, pembe inaweza kuwa chochote isipokuwa digrii 0 na 180.

Hoja kwenye ndege iliita asili, Na yasiyo ya collinear vekta, , seti mfumo wa kuratibu ndege :

Wakati mwingine mfumo kama huo wa kuratibu huitwa oblique mfumo. Kama mifano, mchoro unaonyesha alama na vekta:

Kama unavyoelewa, mfumo wa kuratibu wa ushirika haufai hata kidogo; Vectors kwa dummies, fomula nyingi za kupendeza zinazohusiana na bidhaa ya scalar ya vekta. Lakini sheria za kuongeza vekta na kuzidisha vekta kwa nambari, fomula za kugawa sehemu katika uhusiano huu, na pia aina zingine za shida ambazo tutazingatia hivi karibuni ni halali.

Na hitimisho ni kwamba kesi maalum inayofaa zaidi ya mfumo wa kuratibu wa ushirika ni mfumo wa mstatili wa Cartesian. Ndio maana mara nyingi lazima umwone, mpendwa wangu. ...Hata hivyo, kila kitu katika maisha haya ni jamaa - kuna hali nyingi ambazo angle ya oblique (au nyingine, kwa mfano, polar) mfumo wa kuratibu. Na humanoids inaweza kupenda mifumo kama hii =)

Wacha tuendelee kwenye sehemu ya vitendo. Kazi zote somo hili halali kwa mfumo wa kuratibu wa mstatili na kwa kesi ya jumla ya ushirika. Hakuna kitu ngumu hapa; nyenzo zote zinapatikana hata kwa mtoto wa shule.

Jinsi ya kuamua collinearity ya veta za ndege?

Jambo la kawaida. Ili kwa vectors mbili za ndege walikuwa collinear, ni muhimu na ya kutosha kwamba kuratibu zao sambamba ziwe sawia Kimsingi, hii ni maelezo ya kuratibu-na-kuratibu ya uhusiano dhahiri.

Mfano 1

a) Angalia ikiwa vekta ni collinear .
b) Je, vekta huunda msingi? ?

Suluhisho:
a) Wacha tujue ikiwa kuna vekta mgawo wa uwiano, ili kwamba usawa utimizwe:

Kwa hakika nitakuambia kuhusu toleo la "foppish" la kutumia sheria hii, ambayo inafanya kazi vizuri kabisa katika mazoezi. Wazo ni kutengeneza sehemu hiyo mara moja na kuona ikiwa ni sahihi:

Wacha tufanye sehemu kutoka kwa uwiano wa kuratibu zinazolingana za veta:

Hebu tufupishe:
, kwa hivyo viwianishi vinavyolingana ni sawia, kwa hivyo,

Uhusiano unaweza kufanywa kwa njia nyingine kote; hii ni chaguo sawa:

Kwa mtihani wa kujitegemea, unaweza kutumia ukweli kwamba vekta za collinear linearly walionyesha kwa kila mmoja. KATIKA kwa kesi hii kuna usawa . Uhalali wao unaweza kuthibitishwa kwa urahisi kupitia shughuli za kimsingi na vekta:

b) Vekta mbili za ndege huunda msingi ikiwa sio collinear (zinazojitegemea kwa mstari). Tunachunguza vekta kwa collinearity . Wacha tutengeneze mfumo:

Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata kwamba , kutoka kwa equation ya pili inafuata kwamba , ambayo ina maana mfumo hauendani(hakuna masuluhisho). Kwa hivyo, kuratibu zinazofanana za vekta sio sawia.

Hitimisho: vekta zinajitegemea kwa mstari na huunda msingi.

Toleo lililorahisishwa la suluhisho linaonekana kama hii:

Wacha tufanye sehemu kutoka kwa kuratibu zinazolingana za veta :
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi zinajitegemea kimstari na huunda msingi.

Kawaida chaguo hili halijakataliwa na wakaguzi, lakini shida hutokea katika hali ambapo baadhi ya kuratibu ni sawa na sifuri. Kama hii: . Au kama hii: . Au kama hii: . Jinsi ya kufanya kazi kwa uwiano hapa? (kwa kweli, huwezi kugawanya kwa sifuri). Ni kwa sababu hii kwamba niliita suluhisho lililorahisishwa "foppish".

Jibu: a) b) fomu.

Ndogo mfano wa ubunifu kwa suluhisho la kujitegemea:

Mfano 2

Kwa thamani gani ya parameta ni vekta watakuwa colinear?

Katika suluhisho la sampuli, parameter inapatikana kwa njia ya uwiano.

Kuna njia ya kifahari ya aljebra ya kuangalia vekta kwa collinearity Hebu tupange maarifa yetu na kuyaongeza kama nukta ya tano:

Kwa vekta mbili za ndege taarifa zifuatazo ni sawa:

2) vectors huunda msingi;
3) vectors si collinear;

+ 5) kiambishi kinachoundwa na viwianishi vya vekta hizi ni nonzero.

Kwa mtiririko huo, kauli zifuatazo kinyume ni sawa:
1) vekta hutegemea mstari;
2) vectors hazifanyi msingi;
3) vectors ni collinear;
4) vekta zinaweza kuonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja;
+ 5) kiambishi kinachojumuisha kuratibu za vekta hizi ni sawa na sifuri.

Ninatumai sana kuwa kwa sasa tayari umeelewa masharti na taarifa zote ambazo umekutana nazo.

Wacha tuangalie kwa karibu nukta mpya, ya tano: vekta mbili za ndege ni collinear ikiwa na ikiwa tu kibainishi kinachojumuisha viwianishi vya vekta zilizopewa ni sawa na sifuri.:. Ili kutumia kipengele hiki, bila shaka, unahitaji kuwa na uwezo tafuta viashiria.

Hebu tuamue Mfano 1 kwa njia ya pili:

a) Wacha tuhesabu kiashiria kinachoundwa na kuratibu za vekta :
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi ni collinear.

b) Vekta mbili za ndege huunda msingi ikiwa sio collinear (zinazojitegemea mstari). Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta :
, ambayo inamaanisha kuwa vekta zinajitegemea kimstari na huunda msingi.

Jibu: a) b) fomu.

Inaonekana kuwa ngumu zaidi na nzuri zaidi kuliko suluhisho na idadi.

Kwa msaada wa nyenzo zinazozingatiwa, inawezekana kuanzisha sio tu collinearity ya vectors, lakini pia kuthibitisha usawa wa makundi na mistari ya moja kwa moja. Hebu fikiria matatizo kadhaa na maumbo maalum ya kijiometri.

Mfano 3

Vipeo vya quadrilateral vinatolewa. Thibitisha kwamba quadrilateral ni parallelogram.

Ushahidi: Hakuna haja ya kuunda mchoro kwenye shida, kwani suluhisho litakuwa la uchambuzi tu. Hebu tukumbuke ufafanuzi wa parallelogram:
Parallelogram Upande wa nne ambao pande zake kinyume ni sambamba katika jozi inaitwa.

Kwa hivyo, ni muhimu kuthibitisha:
1) usawa wa pande tofauti na;
2) usawa wa pande tofauti na.

Tunathibitisha:

1) Tafuta vekta:

2) Tafuta vekta:

Matokeo yake ni vekta sawa ("mtindo wa shule" - vectors sawa) Collinearity ni dhahiri kabisa, lakini ni bora kurasimisha uamuzi wazi, kwa mpangilio. Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta:
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi ni collinear, na .

Hitimisho: Pande zinazopingana quadrilaterals ni sambamba katika jozi, ambayo ina maana kwamba ni paralelogram kwa ufafanuzi. Q.E.D.

Takwimu nzuri zaidi na tofauti:

Mfano 4

Vipeo vya quadrilateral vinatolewa. Thibitisha kuwa quadrilateral ni trapezoid.

Kwa uundaji mkali zaidi wa uthibitisho, ni bora, bila shaka, kupata ufafanuzi wa trapezoid, lakini inatosha kukumbuka tu jinsi inavyoonekana.

Hii ni kazi kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili mwishoni mwa somo.

Na sasa ni wakati wa kuondoka polepole kutoka kwa ndege kwenda angani:

Jinsi ya kuamua collinearity ya veta za nafasi?

Kanuni inafanana sana. Ili vekta mbili za nafasi ziwe collinear, ni muhimu na ya kutosha kwamba kuratibu zao zinazolingana ziwe sawia..

Mfano 5

Jua ikiwa vekta za nafasi zifuatazo ni collinear:

A);
b)
V)

Suluhisho:
a) Wacha tuangalie ikiwa kuna mgawo wa uwiano wa kuratibu zinazolingana za vekta:

Mfumo hauna suluhisho, ambayo inamaanisha kuwa vekta sio collinear.

"Kilichorahisishwa" kinarasimishwa kwa kuangalia uwiano. Kwa kesi hii:
– viwianishi vinavyoendana havina uwiano, ambayo ina maana kwamba vekta si collinear.

Jibu: vekta si collinear.

b-c) Hizi ni hoja za uamuzi huru. Jaribu kwa njia mbili.

Kuna njia ya kuangalia vekta za anga kwa collinearity kupitia kibainishi cha mpangilio wa tatu, njia hii kufunikwa katika makala Bidhaa ya Vector ya vekta.

Sawa na kesi ya ndege, zana zinazozingatiwa zinaweza kutumika kujifunza usawa wa sehemu za anga na mistari ya moja kwa moja.

Karibu katika sehemu ya pili:

Utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta katika nafasi ya pande tatu.
Msingi wa anga na mfumo wa kuratibu wa ushirika

Miundo mingi ambayo tulichunguza kwenye ndege itakuwa halali kwa nafasi. Nilijaribu kupunguza maelezo ya nadharia, kwani sehemu kubwa ya habari tayari imetafunwa. Walakini, ninapendekeza usome sehemu ya utangulizi kwa uangalifu, kwani maneno na dhana mpya zitaonekana.

Sasa, badala ya ndege ya dawati la kompyuta, tunachunguza nafasi ya tatu-dimensional. Kwanza, hebu tujenge msingi wake. Mtu sasa yuko ndani ya nyumba, mtu yuko nje, lakini kwa hali yoyote, hatuwezi kuepuka vipimo vitatu: upana, urefu na urefu. Kwa hiyo, ili kujenga msingi, vectors tatu za anga zitahitajika. Vector moja au mbili haitoshi, ya nne ni superfluous.

Na tena tuna joto kwenye vidole vyetu. Tafadhali inua mkono wako juu na kuutandaza pande tofauti kidole gumba, index na kidole cha kati. Hizi zitakuwa vectors, zinaonekana kwa mwelekeo tofauti, zina urefu tofauti na zina pembe tofauti kati yao wenyewe. Hongera, msingi wa nafasi ya tatu-dimensional iko tayari! Kwa njia, hakuna haja ya kuonyesha hii kwa waalimu, haijalishi unapotosha vidole vyako kwa bidii, lakini hakuna kutoroka kutoka kwa ufafanuzi =)

Ifuatayo, tuulize suala muhimu, fanya vekta tatu ziwe msingi nafasi tatu-dimensional ? Tafadhali bonyeza vidole vitatu kwa nguvu kwenye sehemu ya juu ya dawati la kompyuta. Nini kimetokea? Vectors tatu ziko katika ndege moja, na, takribani kusema, tumepoteza moja ya vipimo - urefu. Vectors vile ni coplanar na, ni dhahiri kabisa kwamba msingi wa nafasi tatu-dimensional haijaundwa.

Ikumbukwe kwamba vekta za coplanar hazipaswi kulala kwenye ndege moja; ndege sambamba(tu usifanye hivi kwa vidole vyako, Salvador Dali pekee ndiye aliyeondoa njia hii =)).

Ufafanuzi: vekta huitwa coplanar, ikiwa kuna ndege ambayo wao ni sambamba. Ni busara kuongeza hapa kwamba ikiwa ndege kama hiyo haipo, basi vekta hazitakuwa coplanar.

Vekta tatu za coplanar daima hutegemea mstari, yaani, zinaonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja. Kwa unyenyekevu, hebu tufikirie tena kwamba wamelala katika ndege moja. Kwanza, vekta sio coplanar tu, zinaweza pia kuwa collinear, basi vekta yoyote inaweza kuonyeshwa kupitia vekta yoyote. Katika kesi ya pili, ikiwa, kwa mfano, veta sio collinear, basi vekta ya tatu inaonyeshwa kupitia kwao kwa njia ya kipekee: (na kwa nini ni rahisi kukisia kutoka kwa nyenzo katika sehemu iliyopita).

Mazungumzo pia ni kweli: vekta tatu zisizo za coplanar huwa huru kila wakati, yaani, hazionyeshwa kwa njia yoyote kupitia kila mmoja. Na, ni wazi, vectors vile tu wanaweza kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.

Ufafanuzi: Msingi wa nafasi tatu-dimensional inaitwa mara tatu ya vekta huru (zisizo za coplanar) kwa mstari, kuchukuliwa kwa utaratibu fulani, na vekta yoyote ya nafasi njia pekee hutengana kwa msingi fulani, wapi kuratibu za vekta katika msingi huu

Napenda kukukumbusha kwamba tunaweza pia kusema kwamba vector inawakilishwa katika fomu mchanganyiko wa mstari vekta za msingi.

Wazo la mfumo wa kuratibu huletwa kwa njia sawa na kwa kesi gorofa, nukta moja na vekta zozote tatu zinazojitegemea kwa mstari zinatosha:

asili, Na yasiyo ya coplanar vekta, kuchukuliwa kwa utaratibu fulani, seti affine kuratibu mfumo wa nafasi tatu-dimensional :

Kwa kweli, gridi ya kuratibu ni "oblique" na haifai, lakini, hata hivyo, mfumo wa kuratibu uliojengwa huturuhusu. hakika kuamua kuratibu za vector yoyote na kuratibu za hatua yoyote katika nafasi. Sawa na ndege, baadhi ya fomula ambazo tayari nimetaja hazitafanya kazi katika mfumo wa kuratibu wa nafasi.

Kesi maalum inayojulikana zaidi na inayofaa zaidi ya mfumo wa kuratibu wa ushirika, kama kila mtu anavyokisia, ni mfumo wa kuratibu nafasi ya mstatili:

Hatua katika nafasi inayoitwa asili, Na ya kawaida msingi umewekwa Mfumo wa kuratibu nafasi ya mstatili wa Cartesian . Picha inayojulikana:

Kabla ya kuendelea na kazi za vitendo, wacha tupange tena habari:

Kwa vekta tatu nafasi kauli zifuatazo ni sawa:
1) veta ni huru kwa mstari;
2) vectors huunda msingi;
3) vectors si coplanar;
4) vekta haziwezi kuonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja;
5) kiashiria, kilichojumuishwa na kuratibu za vekta hizi, ni tofauti na sifuri.

Nadhani kauli za kinyume zinaeleweka.

Utegemezi wa mstari/uhuru wa vekta za nafasi huangaliwa kimila kwa kutumia kibainishi (alama 5). Iliyosalia kazi za vitendo itakuwa na herufi iliyotamkwa ya aljebra. Ni wakati wa kuning'iniza kijiti cha jiometri na kutumia popo ya besiboli ya algebra ya mstari:

Veta tatu za nafasi ni coplanar ikiwa na tu ikiwa kibainishi kinachojumuisha kuratibu za vekta zilizopewa ni sawa na sifuri: .

Ningependa kuteka mawazo yako kwa nuance ndogo ya kiufundi: kuratibu za vectors zinaweza kuandikwa si tu katika safu, lakini pia katika safu (thamani ya determinant haitabadilika kwa sababu ya hili - tazama mali ya viashiria). Lakini ni bora zaidi katika safu, kwa kuwa ni manufaa zaidi kwa kutatua matatizo fulani ya vitendo.

Kwa wale wasomaji ambao wamesahau kidogo mbinu za kuhesabu viambishi, au labda wana uelewa mdogo juu yao kabisa, ninapendekeza mojawapo ya masomo yangu ya zamani zaidi: Jinsi ya kuhesabu kiashiria?

Mfano 6

Angalia ikiwa vekta zifuatazo zinaunda msingi wa nafasi ya pande tatu:

Suluhisho: Kwa kweli, suluhu nzima inakuja kwenye kukokotoa kiambishi.

a) Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na viwianishi vya vekta (kibainishi kinaonyeshwa kwenye mstari wa kwanza):

, ambayo ina maana kwamba vectors ni linearly huru (si coplanar) na kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.

Jibu: vekta hizi huunda msingi

b) Hili ni suala la uamuzi huru. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Kutana na kazi za ubunifu:

Mfano 7

Je, veta zitakuwa coplanar kwa thamani gani ya parameta?

Suluhisho: Vekta ni coplanar ikiwa na ikiwa tu kibainishi kinachojumuisha viwianishi vya vekta hizi ni sawa na sufuri:

Kimsingi, unahitaji kutatua equation na kibainishi. Tunaruka kwa sifuri kama kite kwenye jerboa - ni bora kufungua kiashiria kwenye safu ya pili na uondoe minuses mara moja:

Tunafanya kurahisisha zaidi na kupunguza jambo hilo kuwa rahisi zaidi mlinganyo wa mstari:

Jibu: katika

Ni rahisi kuangalia hapa; kufanya hivi, unahitaji kubadilisha thamani inayotokana na kiashiria asili na uhakikishe kuwa , kuifungua tena.

Kwa kumalizia, wacha tuangalie moja zaidi kazi ya kawaida, ambayo ina asili ya aljebra na kimapokeo imejumuishwa katika mwendo wa aljebra ya mstari. Ni ya kawaida sana kwamba inastahili mada yake mwenyewe:

Thibitisha kwamba vekta 3 huunda msingi wa nafasi ya tatu-dimensional
na upate kuratibu za vekta ya 4 katika msingi huu

Mfano 8

Vectors hutolewa. Onyesha kwamba vekta huunda msingi katika nafasi ya pande tatu na upate kuratibu za vekta katika msingi huu.

Suluhisho: Kwanza, hebu tushughulikie hali hiyo. Kwa hali, vekta nne hupewa, na, kama unavyoona, tayari wana kuratibu kwa msingi fulani. Nini msingi huu sio wa kupendeza kwetu. Na jambo lifuatalo ni la kupendeza: vekta tatu zinaweza kuunda msingi mpya. Na hatua ya kwanza inaambatana kabisa na suluhisho la Mfano 6;

Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta:

, ambayo ina maana kwamba vectors ni linearly huru na kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.

! Muhimu : viwianishi vya vekta Lazima andika chini kwenye safu determinant, si katika masharti. Vinginevyo, kutakuwa na machafuko katika algorithm ya suluhisho zaidi.