Kitendakazi Inverse 3. Vitendaji vya kinyume, ufafanuzi wa kimsingi, mali, grafu

Kazi zilizokamilika

KAZI ZA SHAHADA

Mengi tayari yamepita na sasa wewe ni mhitimu, ikiwa, bila shaka, unaandika thesis yako kwa wakati. Lakini maisha ni jambo ambalo sasa tu inakuwa wazi kwako kwamba, baada ya kuacha kuwa mwanafunzi, utapoteza furaha zote za wanafunzi, ambazo nyingi haujawahi kujaribu, kuweka kila kitu na kuahirisha hadi baadaye. Na sasa, badala ya kukamata, unafanyia kazi nadharia yako? Kuna suluhisho bora: pakua thesis unayohitaji kutoka kwa wavuti yetu - na mara moja utakuwa na wakati mwingi wa bure!
Tasnifu hizi zimetetewa kwa mafanikio katika vyuo vikuu vikuu vya Jamhuri ya Kazakhstan.
Gharama ya kazi kutoka tenge 20,000

KAZI ZA KOZI

Mradi wa kozi ni kazi kubwa ya kwanza ya vitendo. Ni kwa uandishi wa kozi ambapo maandalizi ya maendeleo huanza. miradi ya diploma. Mwanafunzi akijifunza kuwasilisha kwa usahihi maudhui ya mada katika mradi wa kozi na kuchora kwa usahihi, basi katika siku zijazo hatakuwa na shida ama kwa kuandika ripoti au kwa kuchora hizi, wala kwa utekelezaji wa wengine kazi za vitendo. Ili kuwasaidia wanafunzi katika kuandika aina hii kazi ya wanafunzi na kueleza maswali yanayotokea wakati wa utungaji wake;
Gharama ya kazi kutoka tenge 2,500

DISERTATIONS ZA MASTER

Hivi sasa juu taasisi za elimu Katika Kazakhstan na nchi za CIS, kiwango cha elimu ya juu ni cha kawaida sana elimu ya ufundi, ambayo inafuata shahada ya bachelor - shahada ya bwana. Katika programu ya bwana, wanafunzi husoma kwa lengo la kupata shahada ya bwana, ambayo inatambuliwa katika nchi nyingi za dunia zaidi ya shahada ya kwanza, na pia inatambuliwa na waajiri wa kigeni. Matokeo ya masomo ya bwana ni utetezi wa thesis ya bwana.
Tutakupa nyenzo za kisasa za uchanganuzi na maandishi, bei inajumuisha 2 makala za sayansi na dhahania.
Gharama ya kazi kutoka tenge 35,000

TAARIFA ZA MAZOEZI

Baada ya kukamilisha aina yoyote ya mafunzo ya wanafunzi (elimu, viwanda, kuhitimu kabla ya kuhitimu), ripoti inahitajika. Hati hii itakuwa uthibitisho kazi ya vitendo mwanafunzi na msingi wa kuunda tathmini ya mazoezi. Kawaida, ili kuandaa ripoti juu ya mafunzo ya ndani, inahitajika kukusanya na kuchambua habari kuhusu biashara, kuzingatia muundo na utaratibu wa kazi wa shirika ambalo mafunzo yanafanyika, na kukusanya. mpango wa kalenda na kuelezea yako shughuli za vitendo.
Tutakusaidia kuandika ripoti juu ya mafunzo yako, kwa kuzingatia maalum ya shughuli za biashara fulani.

Malengo ya somo:

Kielimu:

jenga maarifa mada mpya kwa mujibu wa nyenzo za programu;
soma mali ya urekebishaji wa kazi na ufundishe jinsi ya kupata kazi ya inverse ya ile iliyopewa;

Maendeleo:

kuendeleza ujuzi wa kujidhibiti, hotuba kubwa;
fahamu dhana ya utendakazi kinyume na ujifunze mbinu za kupata kitendakazi kinyume;

Kielimu: kukuza uwezo wa mawasiliano.

Vifaa: kompyuta, projekta, skrini, ubao mweupe shirikishi Bodi ya SMART, takrima ( kazi ya kujitegemea) kwa kazi ya kikundi.

Wakati wa madarasa.

1. Wakati wa shirika.

Lengo – kuandaa wanafunzi kwa kazi darasani:

Ufafanuzi wa watoro,

Kupata wanafunzi katika hali ya kufanya kazi, kupanga umakini;

Taja mada na madhumuni ya somo.

2. Kusasisha maarifa ya kimsingi ya wanafunzi. Uchunguzi wa mbele.

Lengo - anzisha usahihi na ufahamu wa nyenzo za kinadharia zilizosomwa, marudio ya nyenzo zilizofunikwa.<Приложение 1 >

Kwa wanafunzi kwenye ubao mweupe unaoingiliana Grafu ya chaguo la kukokotoa imeonyeshwa. Mwalimu huunda kazi - fikiria grafu ya kazi na uorodheshe mali iliyosomwa ya kazi. Wanafunzi huorodhesha sifa za kazi kulingana na muundo wa utafiti. Mwalimu, upande wa kulia wa grafu ya kazi, anaandika sifa zilizotajwa na alama kwenye ubao unaoingiliana.

Sifa za kazi:

Mwisho wa somo, mwalimu anaripoti kwamba leo katika somo watafahamiana na mali nyingine ya kazi - kubadilika. Ili kujifunza nyenzo mpya kwa maana, mwalimu huwaalika watoto kufahamiana na maswali makuu ambayo wanafunzi wanapaswa kujibu mwishoni mwa somo. Maswali yameandikwa kwenye ubao wa kawaida na kila mwanafunzi anayo kama vijitabu (vinasambazwa kabla ya somo)

Ni kazi gani inayoitwa invertible?
Je, kipengele cha kukokotoa kinachoweza kugeuzwa?
Ni kazi gani inayoitwa kinyume cha data?
Kikoa cha ufafanuzi na seti ya maadili ya chaguo za kukokotoa na kinyume chake vinahusiana vipi?
Ikiwa kipengele cha kukokotoa kimetolewa kwa uchanganuzi, mtu anawezaje kufafanua kitendakazi kinyume na fomula?
Ikiwa kipengele cha kukokotoa kimetolewa kwa michoro, jinsi ya kuchora utendakazi wake kinyume?

3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Lengo - kuzalisha ujuzi juu ya mada mpya kwa mujibu wa nyenzo za programu; soma mali ya urekebishaji wa kazi na ufundishe jinsi ya kupata kazi ya inverse ya ile iliyopewa; kuendeleza hotuba thabiti.

Mwalimu atoe nyenzo kulingana na nyenzo katika aya. Kwenye ubao mweupe unaoingiliana, mwalimu analinganisha grafu za kazi mbili ambazo vikoa vya ufafanuzi na seti za maadili ni sawa, lakini moja ya kazi ni monotonic na nyingine sio, na hivyo kuwatambulisha wanafunzi kwa dhana ya kazi isiyoweza kubadilika. .

Kisha mwalimu huunda ufafanuzi wa kitendakazi kisichobadilika na hufanya uthibitisho wa nadharia ya utendakazi inayoweza kubadilika kwa kutumia grafu ya kazi ya monotoni kwenye ubao mweupe unaoingiliana.

Ufafanuzi wa 1: Kazi y=f(x), x X inaitwa inayoweza kugeuzwa, ikiwa itachukua yoyote ya maadili yake katika hatua moja tu ya seti ya X.

Nadharia: Ikiwa chaguo za kukokotoa y=f(x) ni monotonic kwenye seti ya X, basi haiwezi kugeuzwa.

Uthibitisho:

Hebu kazi y=f(x) huongezeka kwa X acha iende x 1 ≠x 2- pointi mbili za seti X.
Ili kuwa maalum, acha x 1< x 2.
Kisha kutokana na ukweli kwamba x 1< x 2 inafuata hiyo f(x 1) < f(x 2).
Kwa hivyo, maadili tofauti ya hoja yanahusiana na maadili tofauti ya kazi, i.e. kazi ni invertible.

(Uthibitisho wa nadharia unapoendelea, mwalimu hutumia alama kutoa maelezo yote muhimu kwenye mchoro)

Kabla ya kuunda ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa kinyume, mwalimu huwauliza wanafunzi kubainisha ni kazi gani kati ya zilizopendekezwa ambazo hazibadiliki? Ubao mweupe unaoingiliana huonyesha grafu za vitendakazi na huandika vitendakazi kadhaa vilivyobainishwa kiuchanganuzi:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Mwalimu anatanguliza ufafanuzi wa kitendakazi kinyume.

Ufafanuzi wa 2: Acha kazi isiyobadilika ifanye kazi y=f(x) imefafanuliwa kwenye seti X Na E(f)=Y. Hebu tulinganishe kila mmoja y kutoka Y hiyo ndiyo maana pekee X, ambapo f(x)=y. Kisha tunapata kazi ambayo imefafanuliwa Y, A X- safu ya utendaji

Kazi hii imeteuliwa x=f -1 (y) na inaitwa kinyume cha chaguo la kukokotoa y=f(x).

Wanafunzi wanaulizwa kufanya hitimisho juu ya uhusiano kati ya kikoa cha ufafanuzi na seti ya maadili ya kazi za kinyume.

Kuzingatia swali la jinsi ya kupata inverse ya kazi fulani, mwalimu alivutia wanafunzi wawili. Siku moja kabla, watoto walipokea mgawo kutoka kwa mwalimu wa kuchambua kwa uhuru njia za uchambuzi na picha za kupata kazi ya kinyume ya kazi fulani. Mwalimu alifanya kama mshauri katika kuandaa wanafunzi kwa somo.

Ujumbe kutoka kwa mwanafunzi wa kwanza.

Kumbuka: monotonicity ya kazi ni kutosha hali ya kuwepo kwa utendaji wa kinyume. Lakini ni sio hali ya lazima.

Mwanafunzi alitoa mifano ya hali mbalimbali wakati kazi si monotonic lakini invertible, wakati kazi si monotonic na si invertible, wakati ni monotonic na invertible.

Kisha mwanafunzi anatanguliza wanafunzi mbinu ya kutafuta kitendakazi kinyume kilichotolewa kiuchanganuzi.

Kutafuta algorithm

Hakikisha kazi ni monotonic.
Eleza kigezo cha x kulingana na y.
Badilisha jina la vigeu. Badala ya x=f -1 (y) andika y=f -1 (x)

Kisha anatatua mifano miwili ili kupata kazi inverse ya moja aliyopewa.

Mfano 1: Onyesha kwamba kwa chaguo la kukokotoa y=5x-3 kuna chaguo za kukokotoa kinyume na upate usemi wake wa uchanganuzi.

Suluhisho. Utendakazi wa mstari y=5x-3 inafafanuliwa kwenye R, inaongezeka kwa R na anuwai ya maadili ni R. Hii inamaanisha kuwa kitendakazi cha kinyume kipo kwenye R. Ili kupata usemi wake wa uchanganuzi, suluhisha mlinganyo y=5x-3 kwa x; tunapata Hiki ndicho kitendakazi cha inverse kinachohitajika. Inafafanuliwa na kuongezeka kwa R.

Mfano 2: Onyesha kuwa kwa chaguo za kukokotoa y=x 2, x≤0 kuna chaguo za kukokotoa kinyume, na upate usemi wake wa uchanganuzi.

Kazi ni ya kuendelea, monotonic katika uwanja wake wa ufafanuzi, kwa hiyo, ni invertible. Baada ya kuchambua vikoa vya ufafanuzi na seti za maadili ya kazi, hitimisho linalolingana hufanywa juu ya usemi wa uchanganuzi wa kazi ya kinyume.

Mwanafunzi wa pili anatoa wasilisho kuhusu mchoro njia ya kupata kitendakazi kinyume. Wakati wa maelezo yake, mwanafunzi hutumia uwezo wa ubao mweupe unaoingiliana.

Ili kupata grafu ya chaguo za kukokotoa y=f -1 (x), kinyume na chaguo za kukokotoa y=f(x), ni muhimu kubadilisha grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwa ulinganifu kwa heshima na mstari ulionyooka. y=x.

Wakati wa maelezo kwenye ubao mweupe unaoingiliana, kazi ifuatayo inafanywa:

Unda grafu ya chaguo za kukokotoa na grafu ya kitendakazi chake kinyume katika mfumo sawa wa kuratibu. Andika usemi wa uchanganuzi wa chaguo za kukokotoa kinyume.

4. Uimarishaji wa msingi wa nyenzo mpya.

Lengo - weka usahihi na ufahamu wa uelewa wa nyenzo zilizosomwa, tambua mapungufu katika ufahamu wa msingi wa nyenzo, na urekebishe.

Wanafunzi wamegawanywa katika jozi. Wanapewa karatasi za kazi, ambazo hufanya kazi kwa jozi. Wakati wa kukamilisha kazi ni mdogo (dakika 5-7). Jozi moja ya wanafunzi hufanya kazi kwenye kompyuta, projekta inazima wakati huu na watoto wengine hawawezi kuona jinsi wanafunzi wanavyofanya kazi kwenye kompyuta.

Mwishoni mwa wakati (inadhaniwa kuwa wengi wa wanafunzi wamemaliza kazi), kazi ya wanafunzi inaonyeshwa kwenye ubao unaoingiliana (projekta imewashwa tena), ambapo imedhamiriwa wakati wa kuangalia ikiwa kazi ilikamilishwa kwa usahihi katika jozi. Ikiwa ni lazima, mwalimu hufanya kazi ya kurekebisha na kuelezea.

Kazi ya kujitegemea katika jozi<Kiambatisho 2 >

5. Muhtasari wa somo. Kuhusu maswali yaliyoulizwa kabla ya hotuba. Tangazo la alama za somo.

Kazi ya nyumbani §10. Nambari 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)

Algebra na mwanzo wa uchambuzi. Daraja la 10 Katika sehemu 2 za taasisi za elimu(kiwango cha wasifu) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. imehaririwa na A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Tayari tumekumbana na tatizo lini kazi iliyopewa f na thamani iliyotolewa ya hoja yake, ilikuwa ni lazima kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika hatua hii. Lakini wakati mwingine unapaswa kukabiliana tatizo kinyume: pata kwa kazi inayojulikana f na thamani yake y ni thamani ya hoja ambamo kitendakazi huchukua thamani iliyopewa y.

Chaguo za kukokotoa ambazo huchukua kila moja ya thamani zake katika sehemu moja katika kikoa chake cha ufafanuzi huitwa chaguo za kukokotoa zisizobadilika. Kwa mfano, kazi ya mstari itakuwa kazi isiyobadilika. A kazi ya quadratic au kitendakazi cha sine hakitakuwa vitendaji vinavyoweza kugeuzwa. Kwa kuwa chaguo la kukokotoa linaweza kuchukua thamani sawa na hoja tofauti.

Kitendaji kinyume

Wacha tuchukue kuwa f ni kazi fulani ya kiholela isiyobadilika. Kila nambari kutoka kwa kikoa cha maadili yake y0 inalingana na nambari moja tu kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi x0, kama vile f(x0) = y0.

Ikiwa sasa tutahusisha kila thamani x0 na thamani y0, tayari tutapata kipengele kipya. Kwa mfano, kwa kazi ya mstari f(x) = k * x + b, kazi g(x) = (x - b)/k itakuwa inverse yake.

Ikiwa kazi fulani g kwa kila hatua X anuwai ya nambari za chaguo za kukokotoa zinazoweza kugeuzwa f huchukua thamani kama kwamba f(y) = x, kisha tunasema kwamba chaguo la kukokotoa g- kuna kitendakazi kinyume cha f.

Ikiwa tutapewa grafu ya kazi fulani isiyobadilika f, basi ili kuunda grafu ya kazi ya kinyume, tunaweza kutumia taarifa ifuatayo: grafu ya kitendakazi f na kitendakazi chake cha g inverse kitakuwa na ulinganifu kwa heshima na moja kwa moja. mstari, iliyotolewa na equation y = x.

Ikiwa kitendakazi g ni kinyume cha chaguo za kukokotoa f, basi kitendakazi g kitakuwa kitendakazi kisichogeuzwa. Na chaguo la kukokotoa f litakuwa kinyume cha chaguo za kukokotoa g. Kwa kawaida inasemekana kwamba kazi mbili f na g ni kinyume kwa kila mmoja.

Kielelezo kifuatacho kinaonyesha grafu za chaguo za kukokotoa f na g kinyume kwa kila kimoja.

Wacha tupate nadharia ifuatayo: ikiwa kazi ya kukokotoa f inaongezeka (au inapungua) kwa muda fulani A, basi haiwezi kugeuzwa. Chaguo za kukokotoa kinyume g, iliyofafanuliwa katika anuwai ya nambari za chaguo za kukokotoa f, pia ni chaguo za kukokotoa zinazoongezeka (au zinazopungua sambamba). Nadharia hii inaitwa nadharia ya utendakazi kinyume.

Nakala

1 Vitendaji kinyume vya kuheshimiana Vitendakazi viwili f na g huitwa kinyume ikiwa fomula y=f(x) na x=g(y) zinaonyesha uhusiano sawa kati ya viambajengo x na y, i.e. ikiwa usawa y=f(x) ni kweli ikiwa na ikiwa tu usawa x=g(y) ni kweli: y=f(x) x=g(y) Ikiwa vitendakazi viwili f na g vinakinzana, basi g inaitwa kitendakazi kinyume cha f na, kinyume chake, f ni kitendakazi kinyume cha g. Kwa mfano, y=10 x na x=lgy ni vitendaji kinyume. Masharti ya kuwepo kwa kitendakazi kinyume cha pande zote A chaguo za kukokotoa f ina kinyume ikiwa, kutoka kwa uhusiano y=f(x), kigezo cha x kinaweza kuonyeshwa kwa njia ya kipekee kupitia y. Kuna utendaji ambao hauwezekani kueleza hoja bila utata kupitia thamani iliyotolewa ya chaguo la kukokotoa. Kwa mfano: 1. y= x. Kwa nambari fulani chanya y, kuna thamani mbili za hoja x kama vile x = y. Kwa mfano, ikiwa y=2, basi x=2 au x= - 2. Hii ina maana kwamba haiwezekani kueleza x bila utata kupitia y. Kwa hiyo, kipengele hiki hakina usawa. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. Katika kuweka thamani y (y 1) ina maadili mengi sana ya x hivi kwamba y=sinx. Chaguo la kukokotoa y=f(x) lina kinyume ikiwa kila mstari ulionyooka y=y 0 unakatiza grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwa si zaidi ya nukta moja (inaweza isikatishe grafu hata kidogo ikiwa y 0 haiingiliani. sio kati ya anuwai ya nambari za chaguo za kukokotoa f) . Hali hii inaweza kutengenezwa kwa njia tofauti: equation f(x)=y 0 kwa kila y 0 ina angalau suluhu moja. Masharti ya kuwa chaguo za kukokotoa zina kinyume hakika huridhika ikiwa chaguo za kukokotoa zinaongezeka au kupungua kabisa. Ikiwa f inaongezeka sana, basi kwa maadili mawili tofauti ya hoja inachukua maana tofauti, kwa kuwa thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo la kukokotoa. Kwa hivyo, equation f(x)=y kwa kitendakazi madhubuti cha monotone ina angalau suluhu moja. Utendakazi wa kielelezo y=a x ni monotonic madhubuti, kwa hivyo ina kitendakazi kinyume cha logarithmic. Vitendaji vingi havina vinyume. Ikiwa kwa baadhi b equation f(x)=b ina suluhu zaidi ya moja, basi kazi y=f(x) haina kinyume. Kwenye grafu, hii inamaanisha kuwa mstari y=b unakatiza grafu ya chaguo za kukokotoa kwa zaidi ya nukta moja. Kwa mfano, y=x 2 ; y=sinx; y=tgx.

2 Utata wa suluhu la equation f(x) = b inaweza kushughulikiwa kwa kupunguza kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa f ili anuwai yake ya thamani isibadilike, lakini ili ichukue kila thamani mara moja. Kwa mfano, y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Kanuni ya jumla kutafuta kitendakazi kinyume cha chaguo za kukokotoa: 1. kutatua mlinganyo wa x, tunapata; 2. Kubadilisha majina ya mabadiliko ya x hadi y, na y hadi x, tunapata kazi ya kinyume ya moja iliyotolewa. Sifa za utendakazi kinyume cha kuheshimiana Vitambulisho Acha f na g ziwe vitendaji kinyume. Hii ina maana kwamba usawa y=f(x) na x=g(y) ni sawa: f(g(y))=y na g(f(x))=x. Kwa mfano, 1. Acha f iwe kitendakazi cha kielelezo na g kitendakazi cha logarithmic. Tunapata: i. 2. Vitendaji y=x2, x0 na y= ni kinyume. Tuna vitambulisho viwili: na kwa x 0. Kikoa cha ufafanuzi Acha f na g ziwe vitendaji kinyume. Kikoa cha chaguo za kukokotoa f sanjari na kikoa cha chaguo za kukokotoa g, na, kinyume chake, kikoa cha chaguo za kukokotoa f sanjari na kikoa cha chaguo za kukokotoa g. Mfano. Kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya kielelezo ni mhimili mzima wa nambari R, na anuwai ya maadili ni seti ya yote. nambari chanya. Kwa kazi ya logarithmic ni kinyume chake: kikoa cha ufafanuzi ni seti ya nambari zote chanya, na anuwai ya maadili ni seti nzima ya R. Monotonicity Ikiwa moja ya kazi zinazoingiliana zinaongezeka sana, basi nyingine. inaongezeka madhubuti. Ushahidi. Acha x 1 na x 2 ziwe nambari mbili zilizo katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa g, na x 1.

Grafu 3 za nadharia ya utendakazi kinyume. Acha f na g ziwe vitendaji kinyume. Grafu za chaguo za kukokotoa y=f(x) na x=g(y) zina ulinganifu kwa heshima na kipengee kiwili cha jinsi. Ushahidi. Kwa ufafanuzi wa vitendakazi vilivyo kinyume, fomula y=f(x) na x=g(y) zinaonyesha utegemezi sawa kati ya viambajengo x na y, ambayo ina maana kwamba utegemezi huu unaonyeshwa na grafu sawa ya baadhi ya curve C. Curve C ni vitendaji vya grafu y=f(x). Hebu tuchukue hatua ya kiholela P(a; b) C. Hii ina maana kwamba b=f(a) na kwa wakati mmoja a=g(b). Wacha tuunde nukta Q yenye ulinganifu kwa uhakika P inayohusiana na sehemu-mbili ya pembe ya xy. Pointi Q itakuwa na viwianishi (b; a). Kwa kuwa a=g(b), basi uhakika Q ni wa grafu ya chaguo za kukokotoa y=g(x): hakika, kwa x=b, thamani ya y=a ni sawa na g(x). Kwa hivyo, pointi zote zinazolingana na pointi za curve C zinazohusiana na mstari wa moja kwa moja uliotajwa ziko kwenye grafu ya kazi y=g(x). Mifano ya chaguo za kukokotoa ambazo grafu zake zimepindana: y=e x na y=lnx; y=x 2 (x 0) na y= ; y=2x4 na y= +2.

4 Nyingi ya chaguo za kukokotoa kinyume Acha f na g ziwe vitendaji kinyume. Grafu za chaguo za kukokotoa y=f(x) na x=g(y) zina ulinganifu kwa heshima na kipengee kiwili cha jinsi. Hebu tuchukue nukta x=a na tuhesabu thamani ya mojawapo ya vitendakazi katika hatua hii: f(a)=b. Kisha, kwa ufafanuzi wa kitendakazi kinyume, g(b)=a. Pointi (a; f(a))=(a; b) na (b; g(b))=(b; a) ni za ulinganifu kuhusu mstari ulionyooka l. Kwa kuwa curves ni ulinganifu, tangents kwao ni symmetrical kwa heshima na mstari wa moja kwa moja l. Kutoka kwa ulinganifu, pembe ya moja ya mistari yenye mhimili wa x ni sawa na pembe ya mstari mwingine na mhimili wa y. Ikiwa mstari wa moja kwa moja unaunda angle α na mhimili wa x, basi mgawo wake wa angular ni sawa na k 1 = tgα; kisha mstari wa pili wa moja kwa moja una mgawo wa angular k 2 =tg(α)=ctgα=. Kwa hivyo, coefficients ya angular ya mistari ya ulinganifu kwa heshima ya mstari wa moja kwa moja l ni kinyume chake, i.e. k 2 =, au k 1 k 2 =1. Kuendelea kwa derivatives na kwa kuzingatia kwamba mteremko wa tangent ni thamani ya derivative katika hatua ya kuwasiliana, tunahitimisha: Maadili ya derivatives ya kazi zinazopingana kwa pande zote katika pointi zinazolingana ni kinyume, i.e. Mfano. 1. Thibitisha kwamba kazi f(x) = x 3, inayoweza kugeuzwa. Suluhisho. y=f(x)=x 3. Kitendakazi kinyume kitakuwa chaguo y=g(x)=. Wacha tupate derivative ya kazi g:. Wale. =. Kazi ya 1. Thibitisha kuwa kitendakazi kilichotolewa na fomula hakibadiliki 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Mfano 2. Tafuta kitendakazi kinyume cha chaguo y=2x+1. Suluhisho. Chaguo la kukokotoa y=2x+1 linaongezeka, kwa hivyo lina kinyume. Wacha tueleze x kupitia y: tunapata.. Tukienda kwenye nukuu zinazokubalika kwa ujumla, Jibu: Kazi 2. Tafuta vitendaji kinyume vya vitendaji hivi 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Shahada ya Sura ya 9 yenye kipeo kamili. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; >>.. >. Ikiwa ni sawa, basi ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Kwa mfano, () => = = (), hivyo

Tutasoma nini: Somo juu ya mada: Utafiti wa utendaji wa monotonicity. Kupungua na kuongeza utendaji. Uhusiano kati ya derivative na monotonicity ya kazi. Nadharia mbili muhimu kuhusu monotonicity. Mifano. Jamani, sisi

6 Shida zinazoongoza kwa dhana ya derivative Let hatua ya nyenzo husogea kwa mstari ulionyooka katika mwelekeo mmoja kulingana na sheria s f (t), ambapo t ni wakati, na s ni njia inayopitiwa na hatua wakati wa t

1 SA Lavrenchenko Hotuba ya 12 Vitendaji Inverse 1 Dhana ya vitendakazi kinyume Ufafanuzi 11 Kitendaji huitwa moja-kwa-moja ikiwa haichukui thamani yoyote zaidi ya mara moja, zile ambazo hufuata wakati

Mhadhara wa 5 Viini vya kazi za kimsingi Muhtasari: Ufafanuzi wa kimaumbile na kijiometri wa derivative ya kitendakazi cha kigezo kimoja hutolewa Mifano ya upambanuzi wa kazi na sheria.

Sura ya 1. Mipaka na mwendelezo 1. Seti za nambari 1 0. Nambari halisi Kutoka hisabati ya shule Unajua nambari asilia N nambari Z mantiki Q na nambari halisi R nambari asilia na nambari kamili

Vitendaji vya nambari na mfuatano wa nambari D. V. Lytkina NPP, muhula wa I D. V. Lytkina (SibGUTI) uchambuzi wa hisabati wa NPP, muhula wa 1 / 35 Yaliyomo 1 Kazi ya nambari Dhana ya kazi Kazi za nambari.

Mhadhara wa 19 NUKUU NA MATUMIZI YAKE. UFAFANUZI WA NYIMBO. Wacha tuwe na kazi fulani y=f(x), iliyofafanuliwa kwa muda fulani. Kwa kila thamani ya hoja x kutoka kwa muda huu, chaguo la kukokotoa y=f(x)

Sura ya 5 Kuchunguza Kazi Kwa Kutumia Mfumo wa Taylor Wenye msimamo mkali wa ndani kazi Ufafanuzi Kazi = f (hufikia upeo wa ndani (kiwango cha chini) kwa uhakika c, ikiwa inawezekana kutaja δ > ili ongezeko lake.

Idara ya Hisabati na Vipengele vya Habari hisabati ya juu Mafunzo na metodolojia tata kwa wanafunzi wa elimu ya sekondari ya ufundi wanaosoma kwa kutumia teknolojia za mbali Moduli Hesabu tofauti Imekusanywa na:

Idara ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta Uchanganuzi wa Hisabati Uchanganuzi wa kielimu na kimbinu kwa wanafunzi wa elimu ya juu wanaosoma kwa kutumia teknolojia ya masafa Moduli ya 4 Utumizi Miundo Imetungwa na: Profesa Mshiriki.

Kazi za uamuzi wa kujitegemea. Pata kikoa cha chaguo la kukokotoa 6x. Pata tangent ya pembe ya mwelekeo kwa mhimili wa x wa tangent inayopitia hatua M (;) ya grafu ya chaguo la kukokotoa. Tafuta tangent ya pembe

Nadharia ya Mada ya Mipaka Somo la vitendo Ufafanuzi wa Mifuatano ya Nambari mlolongo wa nambari Mifuatano yenye mipaka na isiyo na mipaka Mlolongo wa monotonous Infinitesimal

44 Mfano Tafuta jumla derivative kazi tata= sin v cos w ambapo v = ln + 1 w= 1 Kulingana na fomula (9) d v w v w = v w d sincos+ cos cos + 1 dhambi dhambi 1 Sasa tafuta tofauti kamili kazi changamano f

MODULI "Matumizi ya mwendelezo na derivative. Utumiaji wa derivative katika kusoma kazi." Utumiaji wa mwendelezo.. Mbinu ya muda.. Tanji kwenye grafu. Muundo wa Lagrange. 4. Matumizi ya derivative

Moscow Taasisi ya Fizikia na Teknolojia Equations kielelezo, logarithmic na kukosekana kwa usawa, mbinu ya potentiation na logarithm katika kutatua matatizo. Zana katika maandalizi ya Olimpiki.

Sura ya 8 Kazi na grafu Vigezo na tegemezi kati yao. Idadi mbili huitwa sawia moja kwa moja ikiwa uwiano wao ni mara kwa mara, yaani, ikiwa =, wapi nambari ya kudumu, haibadiliki na mabadiliko

Wizara ya Elimu ya Jamhuri ya Belarus TAASISI YA ELIMU "CHUO KIKUU CHA JIMBO CHA GRADNO KILICHOITWA BAADA YA YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EXPONENTARIAL NA LOGARITHMIC

Utendakazi wa Nambari ya Mada, sifa zake na grafu Dhana ya kazi ya nambari Kikoa cha ufafanuzi na seti ya thamani za chaguo za kukokotoa Ruhusu seti ya nambari X itolewe Sheria inayohusisha kila nambari X na ya kipekee.

I Uamuzi wa kazi ya kadhaa Vigezo vya Eneo ufafanuzi Wakati wa kusoma matukio mengi, mtu anapaswa kushughulika na kazi za vigezo viwili au zaidi vya kujitegemea, kwa mfano, joto la mwili ndani wakati huu

1. Dhahiri muhimu 1.1. Acha f utendakazi mdogo, iliyofafanuliwa kwenye sehemu [, b] R. Sehemu ya sehemu [, b] ni seti ya pointi τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b] vile = x< x 1 < < x n 1

Utafiti wa Mhadhara wa kazi na ujenzi wa grafu yake Muhtasari: Kazi inasomwa kwa monotonicity, extremum, convexity-concavity, kuwepo kwa asymptotes Mfano wa utafiti wa kazi hutolewa, ujenzi.

Somo. Kazi. Mbinu za ugawaji. Utendakazi kamili. Kitendaji kinyume. Uainishaji wa kazi Vipengele vya nadharia iliyowekwa. Dhana za kimsingi Moja ya dhana za msingi za hisabati ya kisasa ni dhana ya kuweka.

Mada 2.1 Utendaji wa nambari. Kazi, mali zake na grafu Acha X na Y Some seti za nambari Ikiwa kila mmoja, kulingana na sheria fulani F, amepewa kipengele kimoja, basi wanasema kwamba Kutokana

Aljebra na mwanzo wa uchambuzi, XI ALGEBRA NA MWANZO WA UCHAMBUZI Kwa mujibu wa Kanuni za vyeti vya serikali (mwisho) vya wahitimu wa madarasa ya XI (XII) ya taasisi za elimu ya jumla. Shirikisho la Urusi wanafunzi kuchukua

L.A. Strauss, I.V. Barinova Matatizo yenye kigezo katika Mtihani wa Jimbo la Umoja Mapendekezo ya Methodological y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Matatizo ya kigezo katika Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa [Nakala]: miongozo/ L.A. Strauss, I.V.

Sura ya 3. Utafiti wa kazi kwa kutumia derivatives 3.1. Uliokithiri na monotonicity Zingatia kazi y = f (), iliyofafanuliwa kwa muda fulani I R. Inasemekana kuwa ina upeo wa ndani kwa uhakika

Somo. Milinganyo ya logarithmic, usawa na mifumo ya equations I. Maagizo ya jumla 1. Wakati wa kufanya kazi juu ya mada, kuchambua mifano na kujitegemea kutatua matatizo yaliyopendekezwa, jaribu katika kila kesi.

Tutasoma nini: Somo juu ya mada: Kupata alama za utendakazi. 1. Utangulizi. 2) Kiwango cha chini na cha juu cha pointi. 3) Uliokithiri wa kazi. 4) Jinsi ya kuhesabu extrema? 5) Mifano Jamani, tuone

1 SA Lavrenchenko Hotuba ya 13 Utendaji wa kielelezo na logarithmic 1 Dhana ya utendaji wa kielelezo Ufafanuzi 11 Kitendaji cha kielelezo ni tendakazi ya msingi wa fomu ni uthabiti thabiti, ambapo Utendakazi.

Mada ya Webinar 5: Marudio Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa (kazi ya 8) Kazi ya 8 Tafuta thamani zote za kigezo a, kwa kila moja ambayo mlinganyo wa 0 una masuluhisho saba au nane Wacha, kisha upate mlinganyo Asili

Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow Chuo Kikuu cha Ufundi jina lake baada ya N.E. Kitivo cha Bauman " Sayansi ya Msingi» Idara » Uundaji wa hesabu» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Habari za jumla Matatizo na vigezo Milinganyo yenye majukumu ya aina ya moduli C 5 1 Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja Dikhtyar M.B. 1. Thamani kamili, au moduli ya nambari x, ni nambari x yenyewe ikiwa x 0; nambari x,

I. V. Yakovlev Nyenzo juu ya hisabati MathUs.ru Logarithm Katika makala hii tunatoa ufafanuzi wa logarithm, kupata kanuni za msingi za logarithmic, kutoa mifano ya mahesabu na logarithm, na pia kuzingatia.

13. Baadhi ya derivatives ya maagizo ya juu Let = have na hufafanuliwa kwenye D O. Vitendo vya kukokotoa na pia huitwa viini vya mpangilio wa kwanza vya chaguo za kukokotoa au vitokanavyo vya kwanza vya sehemu ya chaguo za kukokotoa. na kwa ujumla

Wizara ya Elimu na Sayansi ya Shirikisho la Urusi Bajeti ya Serikali ya Shirikisho taasisi ya elimu elimu ya Juu"CHUO KIKUU CHA UFUNDI CHA JIMBO LA NIZHNY NOVGOROD IM R E

YALIYOMO ALGEBRA NA MWANZO WA UCHAMBUZI WA KAZI...10 Sifa za kimsingi za vitendakazi...11 Hata na isiyo ya kawaida...11 Muda...12 sufuri za kitendakazi...12 Monotonicity (inaongezeka, inapungua)...13 Uliokithiri (maxima

UTANGULIZI WA Mhadhara wa UCHAMBUZI WA HISABATI. Dhana ya kuweka. Ufafanuzi wa Kazi mali ya msingi. Msingi kazi za msingi YALIYOMO: Vipengele vya kuweka nadharia nambari za kweli Nambari

Mada ya 36 "Sifa za utendakazi" Tutachambua sifa za chaguo za kukokotoa kwa kutumia mfano kuhusu michoro kazi ya kiholela y = f(x): 1. Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti ya thamani zote za mabadiliko ya x ambayo yanalingana.

Asymptotes Grafu ya chaguo za kukokotoa Mfumo wa Cartesian kuratibu Utendaji wa mstari wa sehemu Utendakazi wa Utatu wa Utatu wa Mstari wa ndani Thamani nyingi za ndani quadratic trinomial Seti ya maadili ya utendakazi

Ural chuo kikuu cha shirikisho, Taasisi ya Hisabati na sayansi ya kompyuta, Idara ya Aljebra na Hisabati Discrete Maelekezo ya Utangulizi Hotuba hii imejitolea kwa uchunguzi wa ndege. Nyenzo iliyotolewa ndani yake

EQUATIONS TOFAUTI 1. Dhana za kimsingi Mlinganyo wa tofauti kuhusiana na kazi fulani, equation inaitwa ambayo inaunganisha kazi hii na vigezo vyake vya kujitegemea na derivatives yake.

HISABATI Majukumu ya Mitihani ya Umoja wa Jimbo C5 7 Kutokuwepo kwa usawa (mbinu ya kikoa) Maelekezo na ufumbuzi Nyenzo za kumbukumbu Vyanzo Koryanov A G Bryansk Tuma maoni na mapendekezo kwa: korynov@milru KAZI NA VIWANGO

Mada ya 41 "Kazi zilizo na parameta" Muundo wa kimsingi wa kazi na parameta: 1) Pata maadili yote ya paramu, ambayo kila hali fulani imeridhika.) Tatua equation au usawa na

Mada ya 39. "Vitendo vya chaguo za kukokotoa" Kazi inayotokana na chaguo la kukokotoa katika hatua x 0 ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi ongezeko la kigezo, yaani, = lim = lim + () Jedwali la derivatives: Derivative

Idara ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta Vipengele vya Hisabati ya Juu Kielimu na mbinu changamani kwa wanafunzi wa elimu ya ufundi ya sekondari wanaosoma kwa kutumia teknolojia ya masafa Nadharia ya Mipaka ya Moduli Imetungwa na: Profesa Mshiriki.

Derivative ya kazi Kijiometri yake na maana ya kimwili Mbinu ya utofautishaji Ufafanuzi wa kimsingi Acha f () ifafanuliwe kwenye (,) a, b hatua fulani isiyobadilika, ongezeko la hoja katika hatua,

Utofautishaji wa chaguo za kukokotoa zilizotolewa bila kuficha. Zingatia chaguo za kukokotoa (,) = C (C = const) Mlinganyo huu unafafanua. utendaji kamili() Tuseme tumetatua mlingano huu na kupata usemi wazi = () Sasa tunaweza

Wizara ya Elimu na Sayansi ya Shirikisho la Urusi Yaroslavsky Chuo Kikuu cha Jimbo jina lake baada ya Idara ya PG Demidova uchambuzi tofauti Mkusanyo wa MATATIZO KWA AJILI YA SULUHISHO HURU KUHUSU KIKOMO CHA MADA YA KAZI.

Kikanda mkutano wa kisayansi-vitendo utafiti wa elimu na kazi ya kubuni wanafunzi katika darasa la 6-11 "Masuala yanayotumika na ya kimsingi ya hisabati" Vipengele vya kimbinu vya kusoma matumizi ya hisabati

Mipaka na mwendelezo. Kikomo cha chaguo za kukokotoa Acha kazi = f) ifafanuliwe katika eneo fulani la nukta = a. Kwa kuongezea, katika hatua a yenyewe kazi sio lazima ifafanuliwe. Ufafanuzi. Nambari b inaitwa kikomo

Mtihani wa Umoja wa Jimbo katika Hisabati, Mwaka wa 7 toleo la demo Sehemu A Tafuta thamani ya usemi 6p p wakati p = Suluhisho Tumia sifa ya nguvu: Badilisha katika usemi unaotokana Sahihi.

0.5 Milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Vitabu vilivyotumika:. Algebra na kanuni za uchambuzi 0 - iliyohaririwa na A.N. Kujitegemea na karatasi za mtihani katika aljebra 0 - iliyohaririwa na E.P

Mfumo wa shida kwenye mada "Tangent Equation" Amua ishara mteremko tangent inayochorwa kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y f (), katika sehemu zenye abscissas a, b, c a) b) Onyesha pointi ambapo kinyago

Kutokuwepo kwa usawa na parameter kwenye mtihani wa hali ya umoja VV Silvestrov Kazi za Umoja mtihani wa serikali(Mtihani wa Jimbo Pamoja) hakika una kazi zilizo na vigezo vya Mpango karatasi ya mtihani 008

Milinganyo ya algebra wapi Ufafanuzi. Mlinganyo wa fomu 0, P () 0, nambari zingine halisi huitwa algebraic. 0 0 Wakati huo huo wingi wa kutofautiana inaitwa haijulikani, na nambari 0, coefficients

Milinganyo ya mstari na ndege Mlinganyo wa mstari kwenye ndege.. Mlinganyo wa jumla moja kwa moja. Ishara ya usawa na perpendicularity ya mistari. KATIKA Kuratibu za Cartesian kila mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya Oxy umefafanuliwa

Grafu ya derivative ya chaguo za kukokotoa Vipindi vya monotonicity ya chaguo za kukokotoa Mfano 1. Kielelezo kinaonyesha grafu ya y =f (x) ya derivative ya chaguo za kukokotoa f (x), iliyofafanuliwa kwenye muda (1;13). Pata vipindi vya utendakazi unaoongezeka

Sampuli za matatizo ya kimsingi na maswali kwenye MA kwa muhula kikomo cha mfuatano Rahisi Kokotoa kikomo cha mfuatano l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Kokotoa kikomo cha mlolongo

Kazi za jiometri ya uchambuzi Mitambo na Hisabati Tatizo la Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow Kwa kupewa tetrahedron O Express kwa suala la vekta O O O vekta EF na mwanzo katikati E ya makali O na mwisho katika hatua F ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu Suluhisho Wacha.

Mbinu ya Taarifa ya Tatizo nusu mgawanyiko Njia ya chords (njia ya sehemu sawia 4 Njia ya Newton (njia ya tangents 5 Njia ya kurudia (mbinu makadirio mfululizo Taarifa ya tatizo Itolewe

1. Semi na mabadiliko 1.1 Mzizi wa shahada n Dhana ya mzizi wa shahada n Sifa za mzizi wa shahada n: Mzizi wa bidhaa na zao la mizizi: kurahisisha usemi; pata maadili ya mzizi wa mgawo

MUHADHARA N4. Tofauti ya kazi ya maagizo ya kwanza na ya juu. Invariance ya sura ya tofauti. Derivatives ya maagizo ya juu. Utumiaji wa tofauti katika mahesabu takriban. 1. Dhana ya tofauti....

MODULI 7 “Onyesho na kazi ya logarithmic" Ujumla wa dhana ya shahada. Mzizi wa th na sifa zake. Milinganyo isiyo na mantiki.. Shahada na kiashiria cha busara.. Kitendaji kielelezo..

13. Kielelezo na logarithm Ili kukamilisha uthibitisho wa Hoja 12.8, tunahitaji tu kutoa ufafanuzi mmoja na kuthibitisha pendekezo moja. Ufafanuzi 13.1. Mfululizo a i inasemekana kuungana kabisa ikiwa

WIZARA YA ELIMU NA SAYANSI YA SHIRIKISHO LA URUSI CHUO KIKUU CHA JIMBO MAALUM CHA NOVOSIBIRSK KITUO MAALUM CHA ELIMU NA UTAFITI Daraja la 10 UTAFITI WA KAZI Novosibirsk Kwa Uhakiki.

MHADHARA N. Uga wa Scalar. Derivative ya mwelekeo. Gradient. Ndege ya tangent na ya kawaida kwa uso. Uliokithiri wa kazi ya vigezo kadhaa. Upeo wa masharti.. Scalar field. Derivative kwa heshima na

WIZARA YA ELIMU NA SAYANSI YA SHIRIKISHO LA URUSI CHUO KIKUU CHA JIMBO MAALUM CHA NOVOSIBIRSK KITUO MAALUM CHA ELIMU NA UTAFITI Daraja la 0 MFUMO WA MFUMO WA Novosibirsk Intuitive

Ufafanuzi wa kazi ya inverse na mali zake: lemma juu ya monotonicity ya pamoja ya kazi za moja kwa moja na za kinyume; ulinganifu wa grafu za kazi za moja kwa moja na za kinyume; nadharia za kuwepo na mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kinyume kwa kazi ambayo ni monotonic madhubuti kwenye sehemu, muda na nusu-muda. Mifano ya vitendakazi kinyume. Mfano wa kutatua tatizo. Uthibitisho wa mali na nadharia.

Ufafanuzi na mali

Ufafanuzi wa kitendakazi kinyume
Acha chaguo la kukokotoa liwe na kikoa cha ufafanuzi X na seti ya thamani Y. Na iwe na mali:
kwa wote.
Halafu kwa kipengee chochote kutoka kwa seti ya Y mtu anaweza kuhusisha kipengee kimoja tu cha seti ya X ambayo . Mawasiliano haya yanafafanua kazi inayoitwa utendaji wa kinyume Kwa .
.

Kitendaji cha kinyume kinaonyeshwa kama ifuatavyo:
;
Kutoka kwa ufafanuzi inafuata hiyo
kwa wote.

kwa wote;
Mali ya ulinganifu wa grafu za kazi za moja kwa moja na za kinyume

Grafu za kazi za moja kwa moja na za kinyume zina ulinganifu kwa heshima na mstari wa moja kwa moja.
Nadharia ya kuwepo na mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kinyume kwa muda

Wacha kazi iendelee na kuongezeka kwa nguvu (kupungua) kwenye sehemu. Kisha kazi ya inverse inafafanuliwa na inaendelea kwenye sehemu, ambayo huongezeka kwa ukali (hupungua).

Kwa utendaji unaoongezeka. Kwa kupungua -.
Nadharia ya kuwepo na mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kinyume kwa muda

Wacha utendakazi uendelee na kuongezeka kwa uthabiti (kupungua) kwa muda wazi wa kikomo au usio na kipimo. Kisha kazi ya inverse inafafanuliwa na inaendelea kwa muda, ambayo huongezeka kwa ukali (hupungua).
Kwa utendaji unaoongezeka.

Kwa kupungua:.

Ikiwa kazi ni ya kuendelea na inaongezeka kwa ukali (hupungua) kwa muda wa nusu au , basi juu ya muda wa nusu au kazi ya inverse inaelezwa, ambayo huongezeka kwa ukali (hupungua). Hapa .

Ikiwa inaongezeka kwa ukali, basi vipindi na vinahusiana na vipindi na. Ikiwa inapungua madhubuti, basi vipindi na vinahusiana na vipindi na.
Nadharia hii inathibitishwa kwa njia sawa na nadharia ya kuwepo na mwendelezo wa kitendakazi kinyume kwa muda.

Mifano ya utendakazi kinyume

arcsine

Grafu y = dhambi x na kitendakazi kinyume y = arcsin x.

Hebu tuzingatie kazi ya trigonometric sinus:. Inafafanuliwa na inaendelea kwa maadili yote ya hoja, lakini sio monotonic. Hata hivyo, ikiwa unapunguza upeo wa ufafanuzi, unaweza kutambua maeneo ya monotonous. Kwa hivyo, kwenye sehemu, kazi imefafanuliwa, inaendelea, inaongezeka madhubuti na inachukua maadili kutoka. -1 kabla +1 . Kwa hiyo, ina kazi ya inverse juu yake, ambayo inaitwa arcsine. Arcsine ina kikoa cha ufafanuzi na seti ya maadili.

Logarithm

Grafu y = 2 x na kitendakazi kinyume y = logi 2 x.

Kitendaji cha kielelezo kinafafanuliwa, kinaendelea na kinaongezeka kwa maadili yote ya hoja. Thamani yake iliyowekwa ni muda wazi. Kitendakazi kinyume ni logariti kwa msingi wa pili. Ina kikoa cha ufafanuzi na seti ya maana.

Kipeo

Grafu y = x 2 na utendakazi wa kinyume.

Kazi ya nguvu imefafanuliwa na kuendelea kwa kila mtu. Seti ya maadili yake ni nusu ya muda. Lakini sio monotonic kwa maadili yote ya hoja. Hata hivyo, kwa muda wa nusu ni kuendelea na kuongezeka kwa monotonically madhubuti. Kwa hivyo, ikiwa tutachukua seti kama kikoa cha ufafanuzi, basi kuna kazi ya kinyume inayoitwa kipeo. Kitendakazi kinyume kina kikoa na seti ya thamani.

Mfano. Uthibitisho wa kuwepo na upekee wa mzizi wa shahada n

Thibitisha kuwa equation, ambapo n ni nambari asilia, ni nambari halisi isiyo hasi, ina suluhisho la kipekee kwenye seti. nambari za kweli, . Suluhisho hili linaitwa n mzizi wa a. Hiyo ni, unahitaji kuonyesha kwamba nambari yoyote isiyo hasi ina mzizi wa kipekee wa digrii n.

Fikiria kazi ya kutofautisha x:
(P1) .

Hebu tuthibitishe kuwa ni endelevu.
Kwa kutumia ufafanuzi wa mwendelezo, tunaonyesha hivyo
.
Tunatumia formula ya Newton ya binomial:
(P2)
.
Hebu tutumie sifa za hesabu za mipaka ya kazi. Kwa kuwa , basi muhula wa kwanza tu ndio nonzero:
.
Mwendelezo umethibitishwa.

Wacha tuthibitishe kuwa chaguo la kukokotoa (A1) huongezeka sana kama .
Wacha tuchukue nambari za kiholela, kukosekana kwa usawa zinazohusiana:
, , .
Tunahitaji kuonyesha kwamba. Hebu tuanzishe vigezo. Kisha.
.
Kwa kuwa , basi kutoka (A2) ni wazi kuwa . Au

Ongezeko kali limethibitishwa.
Wacha tupate seti ya maadili ya chaguo la kukokotoa kwenye .
Kwa uhakika,.
Hebu tupate kikomo.
.
Ili kufanya hivyo, tunatumia usawa wa Bernoulli. Wakati tuna:
Tangu, basi na.
Kwa kutumia sifa ya ukosefu wa usawa kwa kazi kubwa sana, tunapata kwamba .

Hivyo,,.
.

Kulingana na nadharia ya utendakazi kinyume, kitendakazi cha kinyume kinafafanuliwa na kuendelea kwa muda. Hiyo ni, kwa mtu yeyote kuna moja ya kipekee ambayo inakidhi equation. Kwa kuwa tuna , hii inamaanisha kuwa kwa any , equation ina suluhu ya kipekee, ambayo inaitwa mzizi wa digrii n wa nambari x:

Uthibitisho wa mali na nadharia

Uthibitisho wa lema juu ya monotonicity ya pande zote za utendaji wa moja kwa moja na kinyume
kwa wote.

Acha chaguo la kukokotoa liwe na kikoa cha ufafanuzi X na seti ya thamani Y. Hebu tuthibitishe kwamba ina kazi ya kinyume. Kulingana na , tunahitaji kuthibitisha hilo
Hebu tuchukulie kinyume. Wacha kuwe na nambari, ili. Hebu iwe hivyo. Vinginevyo, wacha tubadilishe nukuu ili iwe . Halafu, kwa sababu ya monotonicity kali ya f, moja ya ukosefu wa usawa lazima itimizwe:
ikiwa f inaongezeka madhubuti;
ikiwa f inapungua kabisa.

Hiyo ni . Mkanganyiko ulizuka. Kwa hiyo, ina kazi ya inverse.
Wacha kazi iongezeke madhubuti. Wacha tuthibitishe kuwa kazi ya inverse pia inaongezeka sana. Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:

. Hiyo ni, tunahitaji kuthibitisha kwamba ikiwa, basi.

Hebu tuchukulie kinyume. Hebu iwe, lakini.

Ikiwa, basi. Kesi hii inatoweka.

Hebu .

Kisha, kutokana na ongezeko kali la kazi ,, au. Mkanganyiko ulizuka. Kwa hiyo, nafasi tu inawezekana.

Lemma imethibitishwa kwa kazi inayoongezeka sana. Lema hii inaweza kuthibitishwa kwa njia sawa kwa utendaji unaopungua kabisa.
(2.1) .
Uthibitisho wa mali kuhusu ulinganifu wa grafu za kazi za moja kwa moja na za kinyume
.
Wacha iwe hoja ya kiholela kwenye grafu ya utendaji wa moja kwa moja:
(2.2) .
Hebu tuonyeshe kwamba nukta yenye ulinganifu ili kuelekeza A jamaa na mstari ulionyooka ni ya grafu ya chaguo la kukokotoa kinyume:

Kutoka kwa ufafanuzi wa kitendakazi kinyume inafuata hiyo Kwa hivyo, tunahitaji kuonyesha (2.2). Grafu ya kitendakazi kinyume y = f -1(x) inalingana na grafu ya kazi ya moja kwa moja y = f

(x)
, .

kuhusiana na mstari wa moja kwa moja y = x.

Kutoka kwa pointi A na S tunapunguza perpendiculars kwa mhimili wa kuratibu. Kisha Kupitia hatua A tunachora mstari wa perpendicular kwa mstari. Wacha mistari ikatike kwa uhakika C. Tunaunda nukta S kwenye mstari ulionyooka ili . Kisha nukta S itakuwa ya ulinganifu ili kuelekeza A jamaa na mstari ulionyooka. kati yao: .
.

Kwa hivyo zinalingana. Kisha
.
Fikiria pembetatu. Tangu wakati huo
.
Vile vile hutumika kwa pembetatu:
.

Kisha
;
.

Sasa tunapata na:
(2.2)
Kwa hivyo, equation (2.2):
(2.1) .

imeridhika, kwani , na (2.1) imeridhika:
Kwa kuwa tulichagua nukta A kiholela, hii inatumika kwa vidokezo vyote kwenye grafu:
pointi zote kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa, zinazoakisiwa kwa ulinganifu kwa heshima na mstari ulionyooka, ni za grafu ya kitendakazi cha kinyume.
Ifuatayo, tunaweza kubadilisha mahali. Matokeo yake tunapata hiyo
pointi zote za grafu ya chaguo za kukokotoa, zilizoakisiwa kwa ulinganifu kwa heshima na mstari ulionyooka, ni za grafu ya chaguo la kukokotoa.

Inafuata kwamba grafu za kazi na zina ulinganifu kwa heshima na mstari wa moja kwa moja.

Mali hiyo imethibitishwa.

Uthibitisho wa nadharia juu ya kuwepo na kuendelea kwa chaguo za kukokotoa kinyume kwa muda

Wacha tuonyeshe kikoa cha ufafanuzi wa kazi - sehemu.
,
1. Wacha tuonyeshe kuwa seti ya maadili ya kazi ni sehemu:

Wapi.

Hakika, kwa kuwa kazi inaendelea kwenye sehemu, basi, kwa mujibu wa nadharia ya Weierstrass, inafikia kiwango cha chini na cha juu juu yake. Halafu, kwa nadharia ya Bolzano-Cauchy, kazi huchukua maadili yote kutoka kwa sehemu. Hiyo ni, kwa mtu yeyote yuko, kwa ajili yake. Kwa kuwa kuna kiwango cha chini na cha juu, chaguo la kukokotoa huchukua sehemu tu maadili kutoka kwa seti.

2. Kwa kuwa kazi ni monotonic madhubuti, basi kwa mujibu wa hapo juu, kuna kazi ya inverse, ambayo pia ni monotonic madhubuti (huongezeka ikiwa huongezeka; na hupungua ikiwa hupungua). Kikoa cha chaguo la kukokotoa kinyume ni seti, na seti ya maadili ni seti.

3. Sasa tunathibitisha kwamba kazi ya inverse ni ya kuendelea.

3.1. Hebu kuwe na hatua ya ndani ya kiholela ya sehemu:. Hebu tuthibitishe kwamba utendaji wa inverse unaendelea katika hatua hii.
.
Acha hoja iendane nayo. Kwa kuwa kazi ya inverse ni monotonic madhubuti, ambayo ni, sehemu ya ndani ya sehemu hiyo:
(3.1) kwa wote.

Kulingana na ufafanuzi wa mwendelezo, tunahitaji kudhibitisha kuwa kwa yoyote kuna kazi kama hiyo Kumbuka kwamba tunaweza kuichukua kama ndogo tunavyopenda. Kwa kweli, ikiwa tumepata kazi ambayo ukosefu wa usawa (3.1) umeridhika kwa maadili madogo ya kutosha, basi watatosheka kiatomati kwa yoyote. maadili makubwa

, ikiwa imewekwa.
.
Wacha tuichukue ndogo sana kwamba vidokezo na ni vya sehemu:

.

Wacha tuanzishe na kupanga nukuu:
(3.1) kwa wote.
;
;
;
(3.2) .
Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa wa kwanza (3.1):
(3.3.1) Kwa kuwa ni monotonic madhubuti, inafuata hiyo
(3.3.2) , ikiwa inaongezeka;
, ikiwa itapungua.

Kwa yoyote ε > 0 kuna δ, kwa hivyo |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε kwa wote |y -y 0 | < δ .

Ukosefu wa usawa (3.3) hufafanua muda wa wazi, ambao mwisho wake ni mbali na hatua ya umbali na. Acha kuwe na umbali mdogo zaidi kati ya hizi:
.
Kutokana na monotonicity kali ya , , . Ndiyo maana . Kisha muda utalala katika muda ulioelezwa na kutofautiana (3.3). Na kwa maadili yote yaliyo yake, ukosefu wa usawa (3.2) utatoshelezwa.

Kwa hivyo tuligundua kuwa kwa ndogo ya kutosha, kuna, ili
katika .
Sasa hebu tubadilishe nukuu.
Kwa ndogo ya kutosha, kuna kitu kama hicho, kwa hivyo
katika .
Hii inamaanisha kuwa kitendakazi kinyume kinaendelea ndani pointi za ndani.

3.2. Sasa fikiria miisho ya kikoa cha ufafanuzi. Hapa hoja zote zinabaki sawa. Unahitaji tu kuzingatia vitongoji vya upande mmoja wa vidokezo hivi. Badala ya dot kutakuwa na au, na badala ya dot - au.

Kwa hivyo, kwa kazi inayoongezeka, .
katika .
Kazi ya inverse inaendelea kwa uhakika, kwani kwa ndogo yoyote ya kutosha kuna , ili
katika .

Kwa utendaji unaopungua, .
Kazi ya inverse inaendelea kwa uhakika, kwani kwa ndogo yoyote ya kutosha kuna , ili
katika .
Kazi ya inverse inaendelea kwa uhakika, kwani kwa ndogo yoyote ya kutosha kuna , ili
katika .

Nadharia imethibitishwa.

Uthibitisho wa nadharia juu ya kuwepo na kuendelea kwa chaguo za kukokotoa kinyume kwa muda

Wacha tuonyeshe kikoa cha ufafanuzi wa kazi - muda wazi. Hebu iwe seti ya maadili yake. Kulingana na hapo juu, kuna kazi ya inverse ambayo ina kikoa cha ufafanuzi, seti ya maadili na ni monotonic madhubuti (huongezeka ikiwa inaongezeka na inapungua ikiwa itapungua). Inabakia kwetu kuthibitisha hilo
1) seti ni muda wazi, na hiyo
2) utendaji wa inverse unaendelea juu yake.
Hapa .

1. Wacha tuonyeshe kuwa seti ya maadili ya kazi ni muda wazi:
.

Kama seti yoyote isiyo tupu ambayo vipengele vyake vina operesheni ya kulinganisha, seti ya maadili ya kazi ina mipaka ya chini na ya juu:
.
Hapa na inaweza kuwa nambari au alama za kikomo na .

1.1. Hebu tuonyeshe kwamba pointi na si za seti ya maadili ya kazi. Hiyo ni, seti ya maadili haiwezi kuwa sehemu.

Ikiwa au ni uhakika katika infinity: au , basi hatua kama hiyo sio sehemu ya seti. Kwa hivyo, haiwezi kuwa ya maadili mengi.

Wacha (au) iwe nambari ya mwisho. Hebu tuchukulie kinyume. Wacha nukta (au ) iwe ya seti ya maadili ya chaguo-kazi. Hiyo ni, kuna vile ambavyo (au). Wacha tuchukue vidokezo na kukidhi ukosefu wa usawa:
.
Kwa kuwa kazi ni monotonic madhubuti, basi
, ikiwa f inaongezeka;
, ikiwa f inapungua.
Hiyo ni, tumepata hatua ambayo thamani ya kazi ni ndogo (zaidi ) Lakini hii inapingana na ufafanuzi wa kufungwa kwa chini (juu), kulingana na ambayo
kwa wote .
Kwa hiyo pointi Na haiwezi kuwa ya thamani nyingi kazi .

1.2. Sasa tutaonyesha kuwa seti ya maadili ni muda , na si kwa kuchanganya vipindi na pointi. Hiyo ni, kwa hatua yoyote ipo , kwa ambayo .

Kwa mujibu wa ufafanuzi wa chini na nyuso za juu, katika kitongoji chochote cha pointi Na ina angalau kipengele kimoja cha seti . Hebu - nambari ya kiholela inayomilikiwa na muda : . Kisha kwa jirani ipo , kwa ambayo
.
Kwa eneo jirani ipo , kwa ambayo
.

Kwa sababu ya Na , Hiyo . Vile vile hutumika kwa pembetatu:
(4.1.1) Kama huongezeka;
(4.1.2) Kama hupungua.
Kutokuwepo kwa usawa (4.1) ni rahisi kudhibitishwa kwa kupingana. Lakini unaweza kutumia, kulingana na ambayo juu ya kuweka kuna utendaji wa kinyume , ambayo huongezeka madhubuti ikiwa itaongezeka na hupungua madhubuti ikiwa itapungua . Kisha tunapata mara moja usawa (4.1).

Kwa hivyo tunayo sehemu , Wapi Kama huongezeka;
Kama hupungua.
Katika miisho ya sehemu kazi huchukua maadili Na . Kwa sababu ya , basi kwa nadharia ya Bolzano-Cauchy, kuna uhakika , kwa ambayo .

Kwa sababu ya , basi tumeonyesha hivyo kwa yoyote ipo , kwa ambayo . Hii ina maana kwamba seti ya maadili ya kazi ni muda wazi .

2. Sasa tunaonyesha kuwa kitendakazi kinyume kinaendelea ndani hatua ya kiholela muda : . Ili kufanya hivyo, tumia kwa sehemu . Kwa sababu ya , kisha kazi inverse kuendelea kwenye sehemu , ikiwa ni pamoja na katika hatua .

Nadharia imethibitishwa.

Marejeleo:
O.I. Besov. Mihadhara juu ya uchambuzi wa hisabati. Sehemu ya 1. Moscow, 2004.
SENTIMITA. Nikolsky. Vizuri uchambuzi wa hisabati. Juzuu 1. Moscow, 1983.