Poligoni tambarare zinazounda uso wa polihedroni. Polyhedron ni mwili ambao uso wake una idadi ya ukomo ya poligoni bapa

Mchemraba, mpira, piramidi, silinda, koni - miili ya kijiometri. Miongoni mwao ni polyhedra. Polyhedron ni mwili wa kijiometri ambao uso wake una idadi ndogo ya poligoni. Kila moja ya poligoni hizi huitwa uso wa polihedroni, pande na vipeo vya poligoni hizi ni, kwa mtiririko huo, kingo na vipeo vya polihedroni.

Pembe za dihedral kati ya nyuso zilizo karibu, i.e. nyuso ambazo zina upande wa kawaida - makali ya polyhedron - pia mawazo ya dihedral ya polihedron. Pembe za poligoni - nyuso za poligoni mbonyeo - ni akili za gorofa za polyhedron. Mbali na pembe za gorofa na dihedral, polyhedron ya convex pia ina pembe za polyhedral. Pembe hizi huunda nyuso ambazo zina vertex ya kawaida.

Miongoni mwa polihedra kuna miche Na piramidi.

Prism - ni polihedroni ambayo uso wake una poligoni mbili sawa na parallelograms ambazo zina pande zinazofanana kwa kila besi.

Poligoni mbili zinazofanana zinaitwa sababu ggrizmg, na parallelograms ni yake upande kingo. Fomu ya nyuso za upande uso wa upande miche. Mipaka ambayo sio uongo kwenye msingi huitwa mbavu za pembeni miche.

Prism inaitwa p-makaa, ikiwa misingi yake ni i-gons. Katika Mtini. 24.6 inaonyesha prism ya quadrangular ABCDA"B"C"D".

Prism inaitwa moja kwa moja, ikiwa nyuso zake za upande ni rectangles (Mchoro 24.7).

Prism inaitwa sahihi , ikiwa ni sawa na misingi yake ni poligoni za kawaida.

Prism ya quadrangular inaitwa parallelepiped , ikiwa misingi yake ni sambamba.

Parallelepiped inaitwa mstatili, ikiwa nyuso zake zote ni mistatili.

Ulalo wa bomba la parallele ni sehemu inayounganisha vipeo vyake vilivyo kinyume. Parallelepiped ina diagonal nne.

Imethibitishwa hivyo Ulalo wa parallelepiped huingiliana kwa hatua moja na hupunguzwa kwa hatua hii. Ulalo wa parallelepiped ya mstatili ni sawa.

Piramidi ni polihedron, uso ambao una poligoni - msingi wa piramidi, na pembetatu ambazo zina vertex ya kawaida, inayoitwa nyuso za nyuma za piramidi. Vertex ya kawaida ya pembetatu hizi inaitwa juu piramidi, mbavu zinazotoka juu, - mbavu za pembeni piramidi.

Perpendicular imeshuka kutoka juu ya piramidi hadi msingi, pamoja na urefu wa perpendicular hii, inaitwa. urefu piramidi.

Piramidi rahisi zaidi - pembetatu au tetrahedron (Mchoro 24.8). Upekee wa piramidi ya pembetatu ni kwamba uso wowote unaweza kuzingatiwa kama msingi.

Piramidi inaitwa sahihi, ikiwa msingi wake ni poligoni ya kawaida, na kingo zote za upande ni sawa kwa kila mmoja.

Kumbuka kwamba lazima tutofautishe tetrahedron ya kawaida(yaani tetrahedron ambayo kingo zote ni sawa kwa kila mmoja) na piramidi ya kawaida ya triangular(kwa msingi wake kuna pembetatu ya kawaida, na kando ya kando ni sawa na kila mmoja, lakini urefu wao unaweza kutofautiana na urefu wa upande wa pembetatu, ambayo ni msingi wa prism).

Tofautisha kuchomoza Na yasiyo ya convex polihedra. Unaweza kufafanua polihedron ya convex ikiwa unatumia dhana ya mwili wa kijiometri ya convex: polyhedron inaitwa. mbonyeo. ikiwa ni takwimu ya convex, i.e. pamoja na pointi zake mbili, pia ina kabisa sehemu inayowaunganisha.

Polyhedron convex inaweza kufafanuliwa tofauti: polyhedron inaitwa mbonyeo, ikiwa iko kabisa upande mmoja wa kila poligoni inayoifunga.

Ufafanuzi huu ni sawa. Hatutoi uthibitisho wa ukweli huu.

polihedra zote ambazo zimezingatiwa hadi sasa zimekuwa convex (mchemraba, parallelepiped, prism, piramidi, nk). Polyhedron iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 24.9, sio laini.

Imethibitishwa hivyo katika polihedroni mbonyeo, nyuso zote ni poligoni mbonyeo.

Hebu tuchunguze polihedra kadhaa za mbonyeo (Jedwali 24.1)

Kutoka kwa jedwali hili inafuata kwamba kwa wote wanaozingatiwa polihedra ya convex usawa B - P + G= 2. Ilibadilika kuwa hii pia ni kweli kwa polyhedron yoyote ya convex. Mali hii ilithibitishwa kwanza na L. Euler na iliitwa nadharia ya Euler.

Polyhedron convex inaitwa sahihi ikiwa nyuso zake ni poligoni sawa za kawaida na idadi sawa ya nyuso huungana kwenye kila kipeo.

Kutumia mali ya pembe ya polyhedral convex, mtu anaweza kuthibitisha hilo Hakuna zaidi ya aina tano tofauti za polihedra za kawaida.

Hakika, ikiwa feni na polihedron ni pembetatu za kawaida, basi 3, 4 na 5 zinaweza kuungana kwenye vertex moja, tangu 60" 3.< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Ikiwa pembetatu tatu za kawaida huungana kwenye kila vertex ya polyfan, basi tunapata tetrahedron ya mkono wa kulia, ambalo limetafsiriwa kutoka kwa Phetic linamaanisha "tetrahedron" (Mchoro 24.10, A).

Ikiwa pembetatu nne za kawaida hukutana kwenye kila vertex ya polyhedron, basi tunapata octahedron(Mchoro 24.10, V). Uso wake una pembetatu nane za kawaida.

Ikiwa pembetatu tano za kawaida hukutana kwenye kila vertex ya polyhedron, basi tunapata icosahedron(Mchoro 24.10, d). Uso wake una pembetatu ishirini za kawaida.

Ikiwa nyuso za polyfan ni mraba, basi tatu tu kati yao zinaweza kuungana kwenye vertex moja, tangu 90 ° 3.< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также hexahedron(Mchoro 24.10, b).

Ikiwa kingo za polyfan ni pentagoni za kawaida, basi phi tu inaweza kuungana kwenye vertex moja, kwani 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodecahedron(Mchoro 24.10, d). Uso wake una pentagoni kumi na mbili za kawaida.

Nyuso za polyhedron haziwezi kuwa hexagonal au zaidi, kwani hata kwa hexagon 120 ° 3 = 360 °.

Katika jiometri, imethibitishwa kuwa katika nafasi ya Euclidean ya pande tatu kuna aina tano tofauti za polihedra ya kawaida.

Ili kufanya mfano wa polyhedron, unahitaji kuifanya scan(kwa usahihi zaidi, maendeleo ya uso wake).

Ukuzaji wa polihedron ni kielelezo kwenye ndege ambayo hupatikana ikiwa uso wa polihedron hukatwa kando kando fulani na kufunuliwa ili poligoni zote zilizojumuishwa kwenye uso huu ziko kwenye ndege moja.

Kumbuka kwamba polyhedron inaweza kuwa na maendeleo kadhaa tofauti kulingana na ni kingo gani tunachokata. Mchoro 24.11 unaonyesha takwimu ambazo ni maendeleo mbalimbali ya piramidi ya kawaida ya quadrangular, yaani piramidi yenye mraba kwenye msingi wake na kingo zote za upande sawa na kila mmoja.

Kwa takwimu kwenye ndege kuwa maendeleo ya polyhedron convex, ni lazima kukidhi idadi ya mahitaji kuhusiana na vipengele vya polyhedron. Kwa mfano, takwimu katika Mtini. 24.12 sio maendeleo ya piramidi ya kawaida ya quadrangular: katika takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 24.12, A, juu M nyuso nne hukutana, ambayo haiwezi kutokea katika piramidi ya kawaida ya quadrangular; na katika takwimu iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 24.12, b, mbavu za pembeni A B Na Jua si sawa.

Kwa ujumla, maendeleo ya polyhedron yanaweza kupatikana kwa kukata uso wake sio tu kando kando. Mfano wa ukuaji wa mchemraba kama huo unaonyeshwa kwenye Mtini. 24.13. Kwa hiyo, kwa usahihi zaidi, maendeleo ya polyhedron yanaweza kufafanuliwa kama polygon gorofa ambayo uso wa polyhedron hii inaweza kufanywa bila kuingiliana.

Miili ya mapinduzi

Mwili wa mzunguko inayoitwa mwili uliopatikana kama matokeo ya mzunguko wa takwimu fulani (kawaida gorofa) karibu na mstari wa moja kwa moja. Mstari huu unaitwa mhimili wa mzunguko.

Silinda- mwili wa ego, ambao hupatikana kama matokeo ya kuzunguka kwa mstatili kuzunguka moja ya pande zake. Katika kesi hii, chama maalum ni mhimili wa silinda. Katika Mtini. 24.14 inaonyesha silinda yenye mhimili OO', kupatikana kwa kuzungusha mstatili AA"O"O karibu na mstari wa moja kwa moja OO". Pointi KUHUSU Na KUHUSU"- vituo vya besi za silinda.

Silinda inayotokana na kuzungusha mstatili kuzunguka moja ya pande zake inaitwa mviringo wa moja kwa moja silinda, kwani besi zake ni duru mbili sawa ziko kwenye ndege zinazofanana ili sehemu inayounganisha vituo vya miduara iwe sawa kwa ndege hizi. Uso wa nyuma wa silinda huundwa na sehemu sawa na upande wa mstatili sambamba na mhimili wa silinda.

Zoa Uso wa upande wa silinda ya mviringo ya kulia, ikiwa imekatwa pamoja na jenereta, ni mstatili, upande mmoja ambao ni sawa na urefu wa jenereta, na nyingine kwa urefu wa mduara wa msingi.

Koni- huu ni mwili unaopatikana kama matokeo ya kuzunguka kwa pembetatu ya kulia karibu na moja ya miguu.

Katika kesi hii, mguu ulioonyeshwa hauna mwendo na unaitwa mhimili wa koni. Katika Mtini. Mchoro 24.15 unaonyesha koni iliyo na mhimili SO, iliyopatikana kwa kuzungusha pembetatu ya kulia SOA na pembe ya kulia O karibu na mguu S0. Point S inaitwa kilele cha koni, OA- radius ya msingi wake.

Koni inayotokana na kuzunguka kwa pembetatu ya kulia karibu na moja ya miguu yake inaitwa koni ya mviringo ya moja kwa moja kwa kuwa msingi wake ni duara, na sehemu yake ya juu inaonyeshwa katikati ya duara hili. Uso wa pembeni wa koni huundwa na sehemu sawa na hypotenuse ya pembetatu, juu ya mzunguko ambao koni huundwa.

Ikiwa uso wa upande wa koni hukatwa pamoja na jenereta, basi inaweza "kufunuliwa" kwenye ndege. Zoa Uso wa pembeni wa koni ya mviringo ya kulia ni sekta ya mviringo yenye radius sawa na urefu wa jenereta.

Wakati silinda, koni au chombo kingine chochote cha mzunguko kinapoingiliana na ndege iliyo na mhimili wa kuzunguka, inageuka. sehemu ya axial. Sehemu ya axial ya silinda ni mstatili, sehemu ya axial ya koni ni pembetatu ya isosceles.

Mpira- hii ni mwili unaopatikana kama matokeo ya kuzunguka kwa semicircle karibu na kipenyo chake. Katika Mtini. 24.16 inaonyesha mpira uliopatikana kwa kuzungusha semicircle kuzunguka kipenyo AA". Kusimama kamili KUHUSU kuitwa katikati ya mpira, na radius ya duara ni radius ya mpira.

Uso wa mpira unaitwa tufe. Tufe haiwezi kugeuzwa kuwa ndege.

Sehemu yoyote ya mpira kwa ndege ni duara. Radi ya sehemu ya msalaba ya mpira itakuwa kubwa zaidi ikiwa ndege itapita katikati ya mpira. Kwa hiyo, sehemu ya mpira na ndege inayopita katikati ya mpira inaitwa mzunguko mkubwa wa mpira, na mduara unaoiweka ni mduara mkubwa.

PICHA YA MIILI YA GEOMETRIK KWENYE NDEGE

Tofauti na takwimu za gorofa, miili ya kijiometri haiwezi kuonyeshwa kwa usahihi, kwa mfano, kwenye karatasi. Walakini, kwa msaada wa michoro kwenye ndege, unaweza kupata picha wazi ya takwimu za anga. Ili kufanya hivyo, njia maalum hutumiwa kuonyesha takwimu kama hizo kwenye ndege. Mmoja wao ni kubuni sambamba.

Acha ndege na mstari wa moja kwa moja unaokatiza upewe A. Wacha tuchukue hatua ya kiholela A kwenye nafasi ambayo sio ya mstari A, na tutakuongoza X moja kwa moja A", sambamba na mstari A(Mchoro 24.17). Moja kwa moja A" hukatiza ndege wakati fulani X", ambayo inaitwa makadirio sambamba ya nukta X kwenye ndege a.

Ikiwa nukta A iko kwenye mstari ulionyooka A, kisha kwa makadirio sambamba X" ni hatua ambayo mstari A hukatiza ndege A.

Ikiwa uhakika X ni ya ndege a, basi uhakika X" sanjari na hoja X.

Kwa hivyo, ikiwa ndege a na mstari wa moja kwa moja unaoukata hutolewa A. kisha kila nukta X nafasi inaweza kuhusishwa na hatua moja A" - makadirio sambamba ya uhakika X kwenye ndege a (wakati wa kubuni sambamba na mstari wa moja kwa moja A). Ndege A kuitwa ndege ya makadirio. Kuhusu mstari A wanasema atabweka mwelekeo wa kubuni - uingizwaji wa ggri moja kwa moja A matokeo mengine yoyote ya moja kwa moja ya muundo sambamba nayo hayatabadilika. Mistari yote sambamba na mstari A, taja mwelekeo huo wa kubuni na huitwa pamoja na mstari wa moja kwa moja A mistari iliyonyooka.

Makadirio takwimu F piga seti F' makadirio ya pointi zote. Kuchora ramani kwa kila nukta X takwimu F"makadirio yake sambamba ni hatua X" takwimu F", kuitwa kubuni sambamba takwimu F(Mchoro 24.18).

Makadirio ya sambamba ya kitu halisi ni kivuli chake kinachoanguka juu ya uso wa gorofa kwenye mwanga wa jua, kwa kuwa mionzi ya jua inaweza kuchukuliwa kuwa sawa.

Muundo sambamba una idadi ya mali, ujuzi ambao ni muhimu wakati wa kuonyesha miili ya kijiometri kwenye ndege. Wacha tuunde zile kuu bila kutoa uthibitisho wao.

Nadharia 24.1. Wakati wa muundo sambamba, mali zifuatazo zimeridhika kwa mistari iliyonyooka isiyo sawa na mwelekeo wa muundo na kwa sehemu zilizolala juu yao:

1) makadirio ya mstari ni mstari, na makadirio ya sehemu ni sehemu;

2) makadirio ya mistari sambamba ni sambamba au sanjari;

3) uwiano wa urefu wa makadirio ya makundi yaliyo kwenye mstari mmoja au kwenye mistari inayofanana ni sawa na uwiano wa urefu wa makundi yenyewe.

Kutoka kwa nadharia hii inafuata matokeo: na makadirio sambamba, katikati ya sehemu inakadiriwa katikati ya makadirio yake.

Wakati wa kuonyesha miili ya kijiometri kwenye ndege, ni muhimu kuhakikisha kuwa mali maalum hukutana. Vinginevyo inaweza kuwa kiholela. Kwa hivyo, pembe na uwiano wa urefu wa sehemu zisizo sawa zinaweza kubadilika kiholela, i.e., kwa mfano, pembetatu katika muundo sambamba inaonyeshwa kama pembetatu ya kiholela. Lakini ikiwa pembetatu ni ya usawa, basi makadirio ya wastani wake lazima yaunganishe vertex ya pembetatu na katikati ya upande wa kinyume.

Na hitaji moja zaidi lazima lizingatiwe wakati wa kuonyesha miili ya anga kwenye ndege - kusaidia kuunda wazo sahihi juu yao.

Wacha tuonyeshe, kwa mfano, prism iliyoelekezwa ambayo misingi yake ni mraba.

Wacha kwanza tujenge msingi wa chini wa prism (unaweza kuanza kutoka juu). Kwa mujibu wa sheria za kubuni sambamba, oggo itaonyeshwa kama parallelogram ya kiholela ABCD (Mchoro 24.19, a). Kwa kuwa kingo za prism ni sambamba, tunaunda mistari ya moja kwa moja inayopita kupitia wima ya parallelogram iliyojengwa na kuweka juu yao sehemu sawa AA", BB', CC", DD", urefu ambao ni wa kiholela. Kwa kuunganisha pointi. A", B", C", D katika mfululizo ", tunapata quadrilateral A" B "C" D", inayoonyesha msingi wa juu wa prism. Si vigumu kuthibitisha hilo. A"B"C"D"- parallelogram sawa na parallelogram ABCD na, kwa hiyo, tuna picha ya prism, misingi ambayo ni mraba sawa, na nyuso zilizobaki ni parallelograms.

Ikiwa unahitaji kuonyesha prism moja kwa moja, besi zake ni mraba, basi unaweza kuonyesha kuwa kingo za upande wa prism hii ni za msingi kwa msingi, kama inavyofanywa kwenye Mtini. 24.19, b.

Kwa kuongeza, mchoro kwenye Mtini. 24.19, b inaweza kuchukuliwa kuwa picha ya prism ya kawaida, kwa kuwa msingi wake ni mraba - quadrilateral ya kawaida, na pia parallelepiped ya mstatili, kwa kuwa nyuso zake zote ni rectangles.

Hebu sasa tujue jinsi ya kuonyesha piramidi kwenye ndege.

Ili kuonyesha piramidi ya kawaida, chora kwanza poligoni ya kawaida iliyolala chini, na katikati yake ni hatua. KUHUSU. Kisha chora sehemu ya wima Mfumo wa Uendeshaji inayoonyesha urefu wa piramidi. Kumbuka kuwa wima wa sehemu Mfumo wa Uendeshaji hutoa uwazi zaidi wa kuchora. Hatimaye, hatua S imeunganishwa na wima zote za msingi.

Wacha tuonyeshe, kwa mfano, piramidi ya kawaida, ambayo msingi wake ni hexagon ya kawaida.

Ili kuonyesha kwa usahihi hexagon ya kawaida wakati wa kubuni sambamba, unahitaji kulipa kipaumbele kwa zifuatazo. Acha ABCDEF iwe heksagoni ya kawaida. Kisha ALF ni mstatili (Mchoro 24.20) na, kwa hiyo, wakati wa kubuni sambamba itaonyeshwa kama parallelogram ya kiholela B"C"E"F". Kwa kuwa AD ya ulalo hupitia hatua O - katikati ya poligoni ABCDEF na ni sambamba na sehemu. BC na EF na AO = OD, kisha kwa muundo sambamba itawakilishwa na sehemu ya kiholela A "D" , kupita kwa uhakika KUHUSU" sambamba B"C" Na E"F" na zaidi, A"O" = O"D".

Kwa hivyo, mlolongo wa kujenga msingi wa piramidi ya hexagonal ni kama ifuatavyo (Mchoro 24.21):

§ onyesha parallelogramu ya kiholela B"C"E"F" na diagonal zake; alama hatua ya makutano yao O";

§ kupitia hatua KUHUSU" chora mstari wa moja kwa moja sambamba V'S"(au E"F');

§ chagua hatua ya kiholela kwenye mstari uliojengwa A" na kuweka alama D" vile vile O"D" = A"O" na kuunganisha nukta A" yenye nukta NDANI" Na F", na uhakika D" - pamoja nukta NA" Na E".

Ili kukamilisha ujenzi wa piramidi, chora sehemu ya wima Mfumo wa Uendeshaji(urefu wake umechaguliwa kiholela) na unganisha hatua S kwa wima zote za msingi.

Katika makadirio sambamba, mpira unaonyeshwa kama mduara wa radius sawa. Ili kufanya picha ya mpira ionekane zaidi, chora makadirio ya mduara fulani mkubwa, ndege ambayo sio ya kawaida kwa ndege ya makadirio. Makadirio haya yatakuwa duaradufu. Katikati ya mpira itawakilishwa na katikati ya ellipse hii (Mchoro 24.22). Sasa tunaweza kupata nguzo zinazolingana N na S, mradi sehemu inayoziunganisha ni ya pembeni mwa ndege ya ikweta. Ili kufanya hivyo, kupitia hatua KUHUSU chora mstari wa moja kwa moja perpendicular AB na alama ya uhakika C - makutano ya mstari huu na ellipse; kisha kupitia nukta C tunachora tanjenti hadi duaradufu inayowakilisha ikweta. Imethibitishwa kuwa umbali SENTIMITA sawa na umbali kutoka katikati ya mpira hadi kwa kila nguzo. Kwa hiyo, kuweka kando makundi WASHA Na Mfumo wa Uendeshaji sawa SENTIMITA, tunapata nguzo N na S.

Hebu fikiria mojawapo ya mbinu za kujenga duaradufu (inategemea mabadiliko ya ndege, ambayo inaitwa compression): kujenga mduara na kipenyo na kuchora chords perpendicular kwa kipenyo (Mchoro 24.23). Nusu ya kila chord imegawanywa katika nusu na pointi zinazosababisha zimeunganishwa na curve laini. Mviringo huu ni duaradufu ambao mhimili wake mkuu ni sehemu AB, na kituo ni uhakika KUHUSU.

Mbinu hii inaweza kutumika kuonyesha silinda ya mviringo ya moja kwa moja (Mchoro 24.24) na koni ya moja kwa moja ya mviringo (Mchoro 24.25) kwenye ndege.

Koni ya mviringo iliyonyooka inaonyeshwa kama hii. Kwanza, wao hujenga ellipse - msingi, kisha kupata katikati ya msingi - uhakika KUHUSU na chora sehemu ya mstari perpendicularly Mfumo wa Uendeshaji ambayo inawakilisha urefu wa koni. Kutoka kwa uhakika S, tangents hutolewa kwa duaradufu (hii inafanywa "kwa jicho", kwa kutumia mtawala) na sehemu huchaguliwa. SC Na SD mistari hii iliyonyooka kutoka kwa uhakika S hadi sehemu za kubadilika C na D. Kumbuka kwamba sehemu CD hailingani na kipenyo cha msingi wa koni.

"Aina za polihedra" - Polyhedra ya kawaida ya stellate. Dodekahedron. Dodecahedron ndogo yenye nyota. Polyhedra. Hexahedron. Yabisi ya Plato. Prismatoid. Piramidi. Icosahedron. Octahedron. Mwili uliowekewa kikomo kwa idadi maalum ya ndege. Octahedron ya nyota. Nyuso mbili. Sheria ya usawa. Mwanahisabati. Tetrahedron.

"Polyhedron ya mwili wa kijiometri" - Polyhedra. Prisms. Uwepo wa kiasi kisichoweza kulinganishwa. Poincare. Ukingo. Kipimo cha kiasi. Nyuso za parallelepiped. Parallelepiped ya mstatili. Mara nyingi tunaona piramidi mitaani. Polyhedron. Mambo ya Kuvutia. Mnara wa taa wa Alexandria. Maumbo ya kijiometri. Umbali kati ya ndege. Memphis.

"Cascades ya polihedra" - Ukingo wa mchemraba. Ukingo wa Octahedron. Cube na dodecahedron. Kitengo cha tetrahedron. Dodekahedron na icosahedron. Dodekahedron na tetrahedron. Octahedron na icosahedron. Polyhedron. Polyhedron ya kawaida. Octahedron na dodecahedron. Icosahedron na octahedron. Kitengo cha icosahedron. Tetrahedron na icosahedron. Sehemu ya dodecahedron. Octahedron na tetrahedron. Mchemraba na tetrahedron.

"Polyhedra" stereometry - Polyhedra katika usanifu. Sehemu ya polihedra. Ipe polihedron jina. Piramidi kubwa ya Giza. Mango ya Plato. Sahihisha mlolongo wa kimantiki. Polyhedron. Rejea ya kihistoria. Saa nzuri zaidi ya polihedra. Kutatua tatizo. Malengo ya somo. "Kucheza na watazamaji" Je, maumbo ya kijiometri na majina yao yanahusiana?

"Aina za nyota za polihedra" - Dodecahedron kubwa yenye nyota. Polyhedron iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Nyota polihedra. Mbavu za upande. Cuboctahedra ya Stellar. Icosahedron iliyofupishwa yenye nyota. Nambari ya polihedroni iliyopatikana kwa kupunguza icosahedron iliyofupishwa yenye nyota. Vipeo vya dodekahedron kubwa yenye nyota. Icosahedron zenye nyota. Dodecahedron kubwa.

"Sehemu ya polihedroni kwa ndege" - Sehemu ya polihedra. Poligoni. Kupunguzwa kuliunda pentagon. Ufuatiliaji wa ndege ya kukata. Sehemu. Wacha tupate hatua ya makutano ya mistari. Ndege. Tengeneza sehemu ya msalaba ya mchemraba. Tengeneza sehemu ya msalaba ya prism. Tunapata uhakika. Prism. Mbinu za ujenzi wa sehemu. hexagons kusababisha. Sehemu ya mchemraba. Njia ya Axiomatic.

Kuna mawasilisho 29 kwa jumla

Miili ya kijiometri

Utangulizi

Katika stereometry, takwimu katika nafasi zinasomwa, ambazo huitwa miili ya kijiometri.

Vitu vinavyotuzunguka vinatupa wazo la miili ya kijiometri. Tofauti na vitu halisi, miili ya kijiometri ni vitu vya kufikiria. Wazi mwili wa kijiometri mtu lazima aifikirie kama sehemu ya nafasi iliyochukuliwa na maada (udongo, mbao, chuma, ...) na iliyozuiliwa na uso.

Miili yote ya kijiometri imegawanywa katika polihedra Na miili ya pande zote.

Polyhedra

Polyhedron ni mwili wa kijiometri ambao uso wake una idadi finyu ya poligoni bapa.

Kingo polyhedron, poligoni zinazounda uso wake huitwa.

Mbavu ya polihedron, pande za nyuso za polyhedron huitwa.

Vilele ya polihedron huitwa vipeo vya nyuso za polihedroni.

Polyhedra imegawanywa katika mbonyeo Na yasiyo ya convex.

Polyhedron inaitwa mbonyeo, ikiwa imelala kabisa upande mmoja wa uso wake wowote.

Zoezi. Bainisha kingo, mbavu Na vilele mchemraba ulioonyeshwa kwenye takwimu.

Convex polyhedra imegawanywa katika miche Na piramidi.

Prism

Prism ni polihedron yenye nyuso mbili zinazofanana na zinazofanana
n-gons, na wengine n nyuso ni parallelograms.

Mbili n-gons huitwa misingi ya prism, sambamba - nyuso za upande. Pande za nyuso za upande na besi zinaitwa mbavu za prism, mwisho wa kingo huitwa vipeo vya prism. Kingo za upande ni kingo ambazo sio za besi.

Polygoni A 1 A 2 ...A n na B 1 B 2 ...B n ndio misingi ya mche.

Sambamba A 1 A 2 B 2 B 1, ... - nyuso za upande.

Tabia za Prism:

· Misingi ya prism ni sawa na sambamba.

· Kingo za upande wa prism ni sawa na sambamba.

Prism diagonal inayoitwa sehemu inayounganisha wima mbili ambazo si za uso mmoja.

Urefu wa prism inaitwa perpendicular imeshuka kutoka hatua ya msingi wa juu hadi ndege ya msingi wa chini.

Mche huitwa 3-gonal, 4-gonal, ..., n-makaa, ikiwa msingi wake
3-gons, 4-goni, ..., n-goni.

Prism ya moja kwa moja inayoitwa prism ambayo mbavu za upande wake ni perpendicular kwa besi. Nyuso za upande wa prism iliyonyooka ni mistatili.

Prism iliyoinuliwa inayoitwa prism ambayo sio sawa. Nyuso za pembeni za prism iliyoinama ni sambamba.

Na prism sahihi kuitwa moja kwa moja prism iliyo na poligoni za kawaida kwenye msingi wake.

Eneo uso kamili miche inaitwa jumla ya maeneo ya nyuso zake zote.

Eneo uso wa upande miche inaitwa jumla ya maeneo ya nyuso zake za upande.

S kamili = S upande + 2 S msingi

Polyhedron

• Polyhedron- huu ni mwili ambao uso wake una idadi ndogo ya poligoni bapa.

Polyhedron inaitwa mbonyeo

• Polyhedron inaitwa mbonyeo ,ikiwa iko upande mmoja wa kila poligoni bapa kwenye uso wake.

• Euclid (labda 330-277 KK) - mtaalam wa hesabu wa shule ya Aleksandria ya Ugiriki ya Kale, mwandishi wa maandishi ya kwanza juu ya hesabu ambayo yametujia, "Vipengele" (katika vitabu 15)

nyuso za upande.

• Prism ni polihedron, ambayo ina poligoni mbili bapa zilizolala katika ndege tofauti na kuunganishwa na tafsiri sambamba, na sehemu zote zinazounganisha pointi zinazolingana za poligoni hizi. Polygoni Ф na Ф1 zilizolala kwenye ndege zinazofanana zinaitwa besi za prism, na nyuso zilizobaki zinaitwa. nyuso za upande.

• Kwa hivyo, uso wa prism una poligoni mbili sawa (besi) na parallelograms (nyuso za upande). Kuna triangular, quadrangular, pentagonal, nk. kulingana na idadi ya wima ya msingi.

• Ikiwa makali ya nyuma ya prism ni ya kawaida kwa ndege ya msingi wake, basi prism kama hiyo inaitwa. moja kwa moja ; ikiwa makali ya nyuma ya prism sio ya msingi kwa ndege ya msingi wake, basi prism kama hiyo inaitwa. kutega . Prism moja kwa moja ina nyuso za upande wa mstatili.

Misingi ya prism ni sawa.

• Misingi ya prism ni sawa.

• Misingi ya prism iko kwenye ndege zinazofanana.

• Kingo za upande wa prism ni sambamba na sawa.

• Urefu wa prism ni umbali kati ya ndege za besi zake.

• Inageuka kuwa prism inaweza kuwa sio mwili wa kijiometri tu, bali pia kito cha kisanii. Ilikuwa ni prism ambayo ikawa msingi wa uchoraji wa Picasso, Braque, Griss, nk.

• Inabadilika kuwa theluji ya theluji inaweza kuchukua sura ya prism ya hexagonal, lakini hii itategemea joto la hewa.

• Katika karne ya 3 KK. e. mnara wa taa ulijengwa ili meli ziweze kupita kwa usalama miamba hiyo zikielekea Ghuba ya Alexandria. Usiku walisaidiwa katika hili kwa kutafakari kwa moto, na wakati wa mchana na safu ya moshi. Ilikuwa mnara wa kwanza ulimwenguni, na ilisimama kwa miaka 1,500.

• Mnara wa taa ulijengwa kwenye kisiwa kidogo cha Pharos katika Bahari ya Mediterania, karibu na pwani ya Alexandria. Ilichukua miaka 20 kujenga na kukamilika karibu 280 BC.

• Katika karne ya 14, mnara wa taa uliharibiwa na tetemeko la ardhi. Uchafu wake ulitumika katika ujenzi wa ngome ya kijeshi. Ngome hiyo imejengwa upya mara kadhaa na bado iko kwenye tovuti ya mnara wa kwanza wa taa duniani.

Mausolus alikuwa mtawala wa Caria. Mji mkuu wa mkoa huo ulikuwa Halicarnassus. Mausolus alioa dada yake Artemisia. Aliamua kujijengea kaburi yeye na malkia wake. Mavsol aliota mnara wa ukumbusho ambao ungekumbusha ulimwengu juu ya utajiri na nguvu zake. Alikufa kabla ya kazi ya kaburi kukamilika. Artemisia iliendelea kuongoza ujenzi. Kaburi hilo lilijengwa mnamo 350 BC. e. Iliitwa Mausoleum baada ya mfalme.

Majivu ya wanandoa hao wa kifalme yaliwekwa kwenye mikoba ya dhahabu kwenye kaburi lililo chini ya jengo hilo. Safu ya simba wa mawe walilinda chumba hiki. Muundo yenyewe ulifanana na hekalu la Kigiriki, lililozungukwa na nguzo na sanamu. Juu ya jengo hilo kulikuwa na piramidi ya hatua. Katika kimo cha meta 43 juu ya ardhi, ilivikwa taji ya sanamu ya gari la farasi lililovutwa na farasi. Pengine kulikuwa na sanamu za mfalme na malkia juu yake.

• Karne kumi na nane baadaye, tetemeko la ardhi liliharibu Mausoleum chini. Miaka mingine mia tatu ilipita kabla ya waakiolojia kuanza kuchimba. Mnamo 1857, vitu vyote vilivyopatikana vilisafirishwa hadi Jumba la Makumbusho la Uingereza huko London. Sasa, mahali ambapo Mausoleum hapo awali ilikuwa, ni mawe machache tu yamebaki.

fuwele.

Hakuna maumbo ya kijiometri tu yaliyoundwa na mikono ya mwanadamu. Kuna mengi yao katika maumbile yenyewe. Athari kwa kuonekana kwa uso wa dunia wa mambo ya asili kama vile upepo, maji, jua ni ya hiari na ya machafuko. Hata hivyo, matuta ya mchanga, kokoto kwenye ufuo wa bahari, Kreta ya volcano iliyotoweka, kama sheria, ina maumbo ya kawaida ya kijiometri.Wakati mwingine mawe hupatikana chini ya umbo la namna hiyo, kana kwamba mtu ameyakata kwa uangalifu, kuyasaga, na kuyang'arisha. ni - fuwele.

parallelepiped.

• Ikiwa msingi wa prism ni parallelogram, basi inaitwa parallelepiped.

• Mifano ya parallelepiped ya mstatili ni:

• chumba baridi

• Inabadilika kuwa fuwele za calcite, bila kujali ni kiasi gani zimevunjwa katika sehemu ndogo, daima hugawanyika katika vipande vilivyofanana na parallelepiped.

• Majengo ya jiji mara nyingi yana sura ya polihedra, kama sheria, hizi ni parallelepipeds za kawaida. Na suluhisho zisizotarajiwa za usanifu hupamba miji.

• 1. Je, prism ni ya kawaida ikiwa kingo zake ni sawa?

• a) ndio; c) hapana. Thibitisha jibu lako.

• 2. Urefu wa prism ya kawaida ya triangular ni cm 6. Upande wa msingi ni cm 4. Tafuta jumla ya eneo la prism hii.

• 3. Maeneo ya nyuso mbili za kando za prism ya pembetatu iliyoinama ni 40 na 30 cm2. Pembe kati ya nyuso hizi ni sawa. Tafuta eneo la uso la prism.

• 4. Katika parallelepiped ABCDA1B1C1D1, sehemu A1BC na CB1D1 hutolewa. Je, ndege hizi hugawanya AC1 ya ulalo kwa uwiano gani?

• 1) tetrahedron yenye nyuso 4, wima 4, kingo 6;

• 2) mchemraba - nyuso 6, wima 8, kingo 12;

• 3) octahedron - nyuso 8, wima 6, kingo 12;

• 4) dodecahedron - nyuso 12, wima 20, kingo 30;

• 5) icosahedron - nyuso 20, wima 12, kingo 30.

Thales ya Mileto, mwanzilishi Kiionia Pythagoras wa Samos

Wanasayansi na wanafalsafa wa Ugiriki ya Kale walipitisha na kurekebisha mafanikio ya utamaduni na sayansi ya Mashariki ya Kale. Thales, Pythagoras, Democritus, Eudoxus na wengine walisafiri kwenda Misri na Babeli kusoma muziki, hisabati na unajimu. Sio bahati mbaya kwamba mwanzo wa sayansi ya kijiometri ya Kigiriki inahusishwa na jina Thales ya Mileto, mwanzilishi Kiionia shule. Waionia, waliokaa eneo lililopakana na nchi za mashariki, walikuwa wa kwanza kuazima maarifa ya Mashariki na wakaanza kuiendeleza. Wanasayansi wa shule ya Ionian walikuwa wa kwanza kushughulikia usindikaji wa kimantiki na kupanga habari za kihesabu zilizokopwa kutoka kwa watu wa zamani wa Mashariki, haswa kutoka kwa Wababeli. Proclus na wanahistoria wengine wanahusisha uvumbuzi mwingi wa kijiometri kwa Thales, mkuu wa shule hii. Kuhusu mtazamo Pythagoras wa Samos kwa jiometri, Proclus anaandika yafuatayo katika ufafanuzi wake kwa Euclid’s Elements: “Alisoma sayansi hii (yaani, jiometri), kuanzia misingi yake ya kwanza, na kujaribu kupata nadharia kwa kutumia kufikiri kimantiki tu.” Sifa za Proclus kwa Pythagoras, pamoja na nadharia inayojulikana kwenye mraba wa hypotenuse, ujenzi wa polihedra tano za kawaida:

Yabisi ya Plato

Yabisi ya Plato ni polihedra mbonyeo, ambazo zote nyuso zake ni poligoni za kawaida. Pembe zote za polihedron za polihedron za kawaida zinalingana. Kama ifuatavyo kutokana na kukokotoa jumla ya pembe za ndege kwenye kipeo, hakuna polihedra ya kawaida ya mbonyeo isiyozidi tano. Kwa kutumia njia iliyoonyeshwa hapa chini, mtu anaweza kuthibitisha kwamba kuna polihedra tano za kawaida (hii ilithibitishwa na Euclid). Wao ni tetrahedron ya kawaida, mchemraba, octahedron, dodecahedron na icosahedron.

Octahedron (Mchoro 3).

• Octahedron -octahedron; mwili uliofungwa na pembetatu nane; octahedron ya kawaida imefungwa na pembetatu nane za usawa; moja ya polihedra tano za kawaida. (Mchoro 3).

• Dodekahedron -dodekahedron, mwili uliofungwa na poligoni kumi na mbili; pentagon ya kawaida; moja ya polihedra tano za kawaida . (Mchoro 4).

• Icosahedron -hedroni ishirini, mwili uliofungwa na poligoni ishirini; icosahedron ya kawaida imepunguzwa na pembetatu ishirini za equilateral; moja ya polihedra tano za kawaida. (Mchoro 5).

Nyuso za dodecahedron ni pentagoni za kawaida. Milalo ya pentagoni ya kawaida huunda kinachojulikana kama pentagon ya nyota - takwimu ambayo ilitumika kama nembo, alama ya kitambulisho kwa wanafunzi wa Pythagoras. Inajulikana kuwa Ligi ya Pythagorean wakati huo huo ilikuwa shule ya falsafa, chama cha kisiasa na udugu wa kidini. Kulingana na hadithi, Pythagorean mmoja aliugua katika nchi ya kigeni na hakuweza kulipa mmiliki wa nyumba ambaye alimtunza kabla ya kifo chake. Mwisho alichora pentagoni yenye umbo la nyota kwenye ukuta wa nyumba yake. Kuona ishara hii miaka michache baadaye, Pythagorean mwingine anayezunguka aliuliza juu ya kile kilichotokea kutoka kwa mmiliki na kumlipa kwa ukarimu.

• Taarifa za kuaminika kuhusu maisha na shughuli za kisayansi za Pythagoras hazijahifadhiwa. Anasifiwa kwa kuunda fundisho la kufanana kwa takwimu. Labda alikuwa kati ya wanasayansi wa kwanza kuona jiometri sio kama nidhamu ya vitendo na inayotumika, lakini kama sayansi ya kimantiki ya kufikirika.

Shule ya Pythagoras iligundua uwepo wa idadi isiyoweza kulinganishwa, ambayo ni, wale ambao uhusiano wao hauwezi kuonyeshwa na nambari yoyote kamili au ya sehemu. Mfano ni uwiano wa urefu wa diagonal ya mraba kwa urefu wa upande wake, sawa na C2. Nambari hii si ya kimantiki (yaani, nambari kamili au uwiano wa nambari mbili kamili) na inaitwa isiyo na mantiki, i.e. irrational (kutoka kwa uwiano wa Kilatini - mtazamo).

Tetrahedron (Mchoro 1).

• Tetrahedron -tetrahedron, nyuso zote ambazo ni pembetatu, i.e. piramidi ya pembetatu; tetrahedron ya kawaida imefungwa na pembetatu nne za usawa; moja ya poligoni tano za kawaida. (Mchoro 1).

• Mchemraba au hexahedron ya kawaida (Mchoro 2).

Tetrahedron -tetrahedron, nyuso zote ambazo ni pembetatu, i.e. piramidi ya pembetatu; tetrahedron ya kawaida imefungwa na pembetatu nne za usawa; moja ya poligoni tano za kawaida. (Mchoro 1).

• Tetrahedron -tetrahedron, nyuso zote ambazo ni pembetatu, i.e. piramidi ya pembetatu; tetrahedron ya kawaida imefungwa na pembetatu nne za usawa; moja ya poligoni tano za kawaida. (Mchoro 1).

• Mchemraba au hexahedron ya kawaida - prism ya kawaida ya quadrangular yenye kando sawa, iliyopunguzwa na mraba sita. (Mchoro 2).

Piramidi

• Piramidi- polyhedron, ambayo ina poligoni gorofa - msingi wa piramidi, pointi ambazo hazipo kwenye ndege ya msingi wa piramidi na sehemu zote zinazounganisha juu ya piramidi na pointi za msingi.

Picha inaonyesha piramidi ya pentagonal SABCDE na maendeleo yake. Pembetatu ambazo zina vertex ya kawaida huitwa nyuso za upande piramidi; vertex ya kawaida ya nyuso za upande - juu piramidi; poligoni ambayo vertex hii si yake ni msingi piramidi; kingo za piramidi zinazozunguka kwenye kilele chake - mbavu za pembeni piramidi. Urefu piramidi ni sehemu ya pembeni inayochorwa kupitia juu yake hadi kwenye ndege ya msingi, na ncha zake ziko juu na kwenye msingi wa piramidi. Katika takwimu kuna sehemu HIVYO- urefu wa piramidi.

• Ufafanuzi . Piramidi ambayo msingi wake ni poligoni ya kawaida na ambayo kipeo chake kinaonyeshwa katikati yake inaitwa kawaida.

• Takwimu inaonyesha piramidi ya kawaida ya hexagonal.

Kiasi cha ghala za nafaka na miundo mingine kwa namna ya cubes, prisms na silinda zilihesabiwa na Wamisri na Wababeli, Wachina na Wahindi kwa kuzidisha eneo la msingi kwa urefu. Hata hivyo, Mashariki ya kale ilijua hasa sheria fulani tu, zilizopatikana kwa majaribio, ambazo zilitumiwa kupata kiasi cha maeneo ya takwimu. Wakati wa baadaye, wakati jiometri ilipoundwa kama sayansi, mbinu ya jumla ya kuhesabu kiasi cha polihedra ilipatikana.

• Miongoni mwa wanasayansi wa ajabu wa Kigiriki wa karne za V - IV. BC, walioanzisha nadharia ya juzuu walikuwa Democritus wa Abdera na Eudoxus wa Cnidus.

• Euclid haitumii neno "kiasi". Kwa ajili yake, neno "mchemraba," kwa mfano, pia linamaanisha kiasi cha mchemraba. Katika Kitabu cha XI cha "Kanuni" nadharia zifuatazo zinawasilishwa, kati ya zingine.

• 1. Parallelepipeds yenye urefu sawa na besi sawa ni sawa kwa ukubwa.

• 2. Uwiano wa kiasi cha parallelepipeds mbili zilizo na urefu sawa ni sawa na uwiano wa maeneo ya besi zao..

• 3. Katika parallelepipeds za eneo sawa, maeneo ya besi ni kinyume chake na urefu..

• Nadharia za Euclid zinahusiana tu na ulinganisho wa juzuu, kwani Euclid labda alizingatia hesabu ya moja kwa moja ya ujazo wa miili kuwa suala la miongozo ya vitendo katika jiometri. Katika kazi zilizotumika za Heron wa Alexandria, kuna sheria za kuhesabu kiasi cha mchemraba, prism, parallelepiped na takwimu zingine za anga.

• Prism ambayo msingi wake ni parallelogram inaitwa parallelepiped.

• Kulingana na ufafanuzi parallelepiped ni prism ya quadrangular, ambayo nyuso zake zote ni za usawa.. Parallelepipeds, kama prisms, inaweza kuwa moja kwa moja Na kutega. Kielelezo cha 1 kinaonyesha bomba la parallele iliyoelekezwa, na Mchoro wa 2 unaonyesha bomba lililonyooka.

• Parallelepiped ya kulia ambayo msingi wake ni mstatili inaitwa parallelepiped ya mstatili. Nyuso zote za parallelepiped ya mstatili ni mistatili. Mifano ya parallelepiped ya mstatili ni darasa, matofali, na sanduku la mechi.

• Urefu wa kingo tatu za parallelepiped ya mstatili yenye mwisho wa kawaida huitwa vipimo. Kwa mfano, kuna masanduku ya mechi na vipimo vya 15, 35, 50 mm. Mchemraba ni parallelepiped ya mstatili yenye vipimo sawa. Nyuso zote sita za mchemraba ni mraba sawa.

• Hebu fikiria baadhi ya mali ya parallelepiped.

• Nadharia. Parallelepiped ni ulinganifu kuhusu katikati ya diagonal yake.

• Inafuata moja kwa moja kutoka kwa nadharia mali muhimu ya parallelepiped:

• 1. Sehemu yoyote iliyo na ncha za uso wa parallelepiped na kupita katikati ya diagonal yake imegawanywa kwa nusu nayo; hasa, diagonal zote za parallelepiped zinaingiliana kwa hatua moja na zimegawanywa nayo. 2. Nyuso zinazopingana za parallelepiped ni sambamba na sawa

Utangulizi

Sehemu inayojumuisha poligoni na inayofunga baadhi ya mwili wa kijiometri inaitwa uso wa polihedra au polihedroni.

Polyhedron ni mwili ulio na mipaka ambao uso wake una idadi ya ukomo ya poligoni. Poligoni zilizofunga polihedroni huitwa nyuso, na mistari ya makutano ya nyuso huitwa kingo.

Polyhedra inaweza kuwa na muundo tofauti na ngumu sana. Miundo mbalimbali, kama vile nyumba zinazojengwa kwa matofali na saruji, ni mifano ya polihedra. Mifano mingine inaweza kupatikana kati ya samani, kama vile meza. Katika kemia, sura ya molekuli ya hidrokaboni ni tetrahedron, mara kwa mara ishirini-hedron, mchemraba. Katika fizikia, fuwele hutumika kama mifano ya polihedra.

Tangu nyakati za kale, mawazo kuhusu uzuri yamehusishwa na ulinganifu. Labda hii inaelezea shauku ya watu katika polihedra - alama za kushangaza za ulinganifu ambazo zilivutia umakini wa wanafikra bora ambao walishangazwa na uzuri, ukamilifu, na maelewano ya takwimu hizi.

Kutajwa kwa kwanza kwa polihedra kunajulikana miaka elfu tatu KK huko Misri na Babeli. Inatosha kukumbuka piramidi maarufu za Misri na maarufu zaidi kati yao, Piramidi ya Cheops. Hii ni piramidi ya kawaida, chini ya ambayo ni mraba na upande wa 233 m na urefu ambao unafikia 146.5 m. Sio bahati mbaya kwamba wanasema kwamba Piramidi ya Cheops ni mkataba wa kimya juu ya jiometri.

Historia ya polihedra ya kawaida inarudi nyakati za kale. Kuanzia karne ya 7 KK, shule za falsafa ziliundwa katika Ugiriki ya Kale, ambapo kulikuwa na mabadiliko ya taratibu kutoka kwa vitendo hadi jiometri ya falsafa. Kufikiria kwa msaada wa ambayo iliwezekana kupata mali mpya za kijiometri ilipata umuhimu mkubwa katika shule hizi.

Moja ya shule za kwanza na maarufu zaidi ilikuwa shule ya Pythagorean, iliyopewa jina la mwanzilishi wake Pythagoras. Ishara tofauti ya Pythagoreans ilikuwa pentagram, kwa lugha ya hisabati ni pentagon ya kawaida isiyo ya convex au ya nyota. Pentagram ilipewa uwezo wa kulinda mtu kutoka kwa roho mbaya.

Pythagoreans waliamini kwamba maada ina vitu vinne vya msingi: moto, ardhi, hewa na maji. Walihusisha kuwepo kwa polihedra tano za kawaida na muundo wa maada na Ulimwengu. Kulingana na maoni haya, atomi za vitu kuu lazima ziwe na fomu ya miili tofauti:

§ Ulimwengu ni dodecahedron

§ Dunia - mchemraba

§ Moto - tetrahedron

§ Maji - icosahedron

§ Hewa - octahedron

Baadaye, mafundisho ya Pythagoreans kuhusu polyhedra ya kawaida yalionyeshwa katika kazi zake na mwanasayansi mwingine wa kale wa Kigiriki, mwanafalsafa Plato. Tangu wakati huo, polihedra ya kawaida imejulikana kama yabisi ya Plato.

Yabisi ya Plato ni polihedra mbonyeo ya kawaida yenye homogeneous, yaani, polihedra mbonyeo, ambazo zote nyuso na pembe zake ni sawa, na nyuso ni poligoni za kawaida. Idadi sawa ya kingo huungana kwa kila kipeo cha polihedroni ya kawaida. Pembe zote za dihedral kwenye kingo na pembe zote za polihedral kwenye vipeo vya poligoni ya kawaida ni sawa. Yabisi ya Plato ni analogi ya pande tatu ya poligoni tambarare za kawaida.

Nadharia ya polihedra ni tawi la kisasa la hisabati. Inahusiana kwa karibu na topolojia, nadharia ya grafu, na ina umuhimu mkubwa kwa utafiti wa kinadharia katika jiometri na kwa matumizi ya vitendo katika matawi mengine ya hisabati, kwa mfano, aljebra, nadharia ya nambari, hisabati iliyotumika - programu ya mstari, nadharia ya udhibiti bora. Kwa hivyo, mada hii ni muhimu, na ujuzi juu ya suala hili ni muhimu kwa jamii ya kisasa.

Sehemu kuu

Polyhedron ni mwili ulio na mipaka ambao uso wake una idadi ya ukomo ya poligoni.

Hebu tutoe ufafanuzi wa polyhedron ambayo ni sawa na ufafanuzi wa kwanza wa polyhedron.

Polyhedron – Hii ni takwimu ambayo ni muungano wa idadi ya mwisho ya tetrahedra ambayo masharti yafuatayo yanatimizwa:

1) kila tetrahedra mbili hazina pointi za kawaida, au kuwa na vertex ya kawaida, au tu makali ya kawaida, au uso mzima wa kawaida;

2) kutoka kwa kila tetrahedron hadi nyingine unaweza kwenda pamoja na mlolongo wa tetrahedron, ambayo kila moja inayofuata iko karibu na ile ya awali pamoja na uso mzima.

Vipengele vya polyhedron

Uso wa polihedroni ni poligoni fulani (poligoni ni eneo lenye mipaka lililofungwa ambalo mpaka wake una idadi ndogo ya sehemu).

Pande za nyuso huitwa kingo za polihedron, na wima za nyuso huitwa wima za polihedron. Vipengele vya polyhedron, pamoja na wima, kingo na nyuso, pia ni pamoja na pembe za gorofa za nyuso zake na pembe za dihedral kwenye kingo zake. Pembe ya dihedral kwenye ukingo wa polihedron imedhamiriwa na nyuso zake zinazokaribia makali haya.

Uainishaji wa polihedra

polihedron mbonyeo - ni polyhedron, pointi mbili ambazo zinaweza kuunganishwa na sehemu. Polihedra ya Convex ina sifa nyingi za kushangaza.

Nadharia ya Euler. Kwa polyhedron yoyote convex V-R+G=2,

Wapi KATIKA - idadi ya wima zake; R - idadi ya mbavu zake, G - idadi ya nyuso zake.

Nadharia ya Cauchy. Polihedra mbonyeo mbili zilizofungwa, zinazoundwa kwa usawa kwa kufuatana, ni sawa.

Polihedroni mbonyeo inachukuliwa kuwa ya kawaida ikiwa nyuso zake zote ni poligoni za kawaida na idadi sawa ya kingo huungana katika kila wima yake.

Polyhedron ya kawaida

Polyhedron inaitwa kawaida ikiwa, kwanza, ni convex, pili, nyuso zake zote ni sawa na poligoni za kawaida, tatu, idadi sawa ya nyuso hukutana katika kila wima yake, na, nne, pembe zake zote za dihedral ni sawa.

Kuna polihedra mbonyeo tano za kawaida - tetrahedron, octahedron na icosahedron yenye nyuso za pembe tatu, mchemraba (hexahedron) yenye nyuso za mraba na dodekahedron yenye nyuso za pentagonal. Uthibitisho wa ukweli huu umejulikana kwa zaidi ya miaka elfu mbili; kwa uthibitisho huu na uchunguzi wa miili mitano ya kawaida, Vipengele vya Euclid (mwanahisabati wa Kigiriki wa kale, mwandishi wa mikataba ya kwanza ya kinadharia juu ya hisabati ambayo imeshuka kwetu) imekamilika. Kwa nini polihedra ya kawaida ilipata majina kama haya? Hii ni kutokana na idadi ya nyuso zao. Tetrahedron ina nyuso 4, zilizotafsiriwa kutoka kwa Kigiriki "tetra" - nne, "hedron" - uso. Hexahedron (mchemraba) ina nyuso 6, "hexa" ina sita; octahedron - octahedron, "octo" - nane; dodecahedron - dodecahedron, "dodeca" - kumi na mbili; Icosahedron ina nyuso 20, na ikosi ina ishirini.

2.3. Aina za polihedra za kawaida:

1) Tetrahedron ya kawaida(inayoundwa na pembetatu nne za usawa. Kila moja ya vipeo vyake ni kipeo cha pembetatu tatu. Kwa hiyo, jumla ya pembe za ndege katika kila kipeo ni 180 0);

2)Mchemraba- parallelepiped, wote ambao nyuso zao ni mraba. Mchemraba umeundwa na mraba sita. Kila kipeo cha mchemraba ni kipeo cha miraba mitatu. Kwa hivyo, jumla ya pembe za ndege kwenye kila kipeo ni 270 0.

3) Octahedron ya kawaida au kwa urahisi octahedron– polihedroni yenye nyuso nane za kawaida za pembe tatu na nyuso nne zinazokutana kwenye kila kipeo. Octahedron imeundwa na pembetatu nane za usawa. Kila vertex ya octahedron ni vertex ya pembetatu nne. Kwa hivyo, jumla ya pembe za ndege katika kila kipeo ni 240 0. Inaweza kujengwa kwa kukunja misingi ya piramidi mbili, misingi ambayo ni mraba, na nyuso za upande ni pembetatu za kawaida. Mipaka ya octahedron inaweza kupatikana kwa kuunganisha vituo vya nyuso za karibu za mchemraba, lakini ikiwa tunaunganisha vituo vya nyuso za karibu za octahedron ya kawaida, tunapata kando ya mchemraba. Wanasema kuwa mchemraba na octahedron ni mbili kwa kila mmoja.

4)Icosahedron- linajumuisha pembetatu ishirini za equilateral. Kila kipeo cha icosahedron ni kipeo cha pembetatu tano. Kwa hivyo, jumla ya pembe za ndege kwenye kila kipeo ni sawa na 300 0.

5) Dodekahedron- polyhedron inayoundwa na pentagoni kumi na mbili za kawaida. Kila vertex ya dodekahedron ni vertex ya pentagoni tatu za kawaida. Kwa hivyo, jumla ya pembe za ndege katika kila kipeo ni 324 0.

Dodecahedron na icosahedron pia ni mbili kwa kila mmoja kwa maana kwamba kwa kuunganisha vituo vya nyuso za karibu za icosahedron na makundi, tunapata dodecahedron, na kinyume chake.

Tetrahedron ya kawaida ni mbili kwa yenyewe.

Zaidi ya hayo, hakuna polihedroni ya kawaida ambayo nyuso zake ni hexagoni za kawaida, heptagoni, na n-goni kwa ujumla kwa n ≥ 6.

Polyhedron ya kawaida ni polihedron ambayo nyuso zote ni poligoni sawa za kawaida na pembe zote za dihedral ni sawa. Lakini pia kuna polihedra ambayo pembe zote za polyhedral ni sawa, na nyuso ni za kawaida, lakini kinyume na poligoni za kawaida. Polyhedra ya aina hii inaitwa polihedra ya semiregular equiangular. Polyhedra ya aina hii iligunduliwa kwanza na Archimedes. Alielezea kwa undani polihedra 13, ambazo baadaye ziliitwa miili ya Archimedes kwa heshima ya mwanasayansi mkuu. Hizi ni tetrahedron iliyopunguzwa, oxahedron iliyopunguzwa, icosahedron iliyopunguzwa, mchemraba uliopunguzwa, dodecahedron iliyopunguzwa, cuboctahedron, icosidodecahedron, cuboctahedron iliyopunguzwa, icosidodecahedron iliyopunguzwa, rhombihedrhombidrocahedron ", rhombihedrocahedron " ) mchemraba, "snub" (kur nose) dodecahedron.

2.4. Polihedra isiyo ya kawaida au yabisi ya Archimedean ni polihedra mbonyeo yenye sifa mbili:

1. Nyuso zote ni poligoni za kawaida za aina mbili au zaidi (ikiwa nyuso zote ni poligoni za kawaida za aina moja, ni polihedron ya kawaida).

2. Kwa jozi yoyote ya vipeo, kuna ulinganifu wa polyhedron (yaani, harakati inayobadilisha polyhedron ndani yenyewe) kuhamisha vertex moja hadi nyingine. Hasa, pembe zote za vertex ya polyhedral ni sanjari.

Mbali na polihedra ya semiregular, kutoka kwa polihedra ya kawaida - yabisi ya Plato - unaweza kupata kinachojulikana kama polyhedra ya kawaida ya stellate. Kuna nne tu kati yao, pia huitwa miili ya Kepler-Poinsot. Kepler aligundua dodecahedron ndogo, ambayo aliiita prickly au hedgehog, na dodecahedron kubwa. Poinsot aligundua polihedra nyingine mbili za kawaida zenye nyota, mtawalia zenye uwili hadi wa kwanza mbili: dodekahedron kubwa yenye nyota na ikosahedron kubwa.

Tetrahedroni mbili zinazopita kati ya nyingine huunda octahedron. Johannes Kepler alitoa takwimu hii jina "stella octangula" - "nyota ya pembetatu". Pia hupatikana katika asili: hii ni kinachojulikana kioo mara mbili.

Katika ufafanuzi wa polihedron ya kawaida, neno "convex" halikusisitizwa kwa makusudi - kuhesabu uwazi dhahiri. Na inamaanisha hitaji la ziada: "na nyuso zote ambazo ziko upande mmoja wa ndege inayopita kati ya yoyote." Ikiwa tutaacha kizuizi kama hicho, basi kwa vitu vikali vya Plato, pamoja na "octahedron iliyopanuliwa," italazimika kuongeza polihedra nne zaidi (zinaitwa mango ya Kepler-Poinsot), ambayo kila moja itakuwa "karibu ya kawaida." Zote zinapatikana na "nyota" wa Platonov. mwili, yaani, kwa kupanua kingo zake hadi zinaingiliana, na kwa hiyo huitwa stellate. Mchemraba na tetrahedron hazizalishi takwimu mpya - nyuso zao, bila kujali ni kiasi gani unaendelea, usiingiliane.

Ikiwa unapanua nyuso zote za octahedron hadi zinaingiliana, utapata takwimu inayoonekana wakati tetrahedra mbili zinaingiliana - "stella octangula," inayoitwa "kupanuliwa." octahedron."

Icosahedron na dodecahedron huipa dunia nne "karibu polihedra ya kawaida" mara moja. Mmoja wao ni dodecahedron ndogo ya nyota, iliyopatikana kwanza na Johannes Kepler.

Kwa karne nyingi, wanahisabati hawakutambua haki ya kila aina ya nyota kuitwa polygons kutokana na ukweli kwamba pande zao zinaingiliana. Ludwig Schläfli hakufukuza mwili wa kijiometri kutoka kwa familia ya polihedra kwa sababu tu nyuso zake zilipishana; hata hivyo, alibaki na msimamo mara tu mazungumzo yalipogeukia kwenye dodekahedron ndogo yenye nyota. Hoja yake ilikuwa rahisi na nzito: mnyama huyu wa Keplerian hatii fomula ya Euler! Miiba yake huundwa nyuso kumi na mbili, kingo thelathini na wima kumi na mbili, na, kwa hivyo, B+G-R hailingani na mbili hata kidogo.

Schläfli alikuwa sahihi na asiye sahihi. Bila shaka, hedgehog ya kijiometri sio prickly ili kuasi dhidi ya formula isiyoweza kushindwa. Unahitaji tu kutozingatia kuwa imeundwa na nyuso kumi na mbili zinazoingiliana zenye umbo la nyota, lakini iangalie kama mwili rahisi na mwaminifu wa kijiometri unaoundwa na pembetatu 60, una kingo 90 na wima 32.

Kisha B+G-R=32+60-90 ni sawa, kama inavyotarajiwa, na 2. Lakini basi neno "sahihi" halitumiki kwa polyhedron hii - baada ya yote, nyuso zake sasa sio sawa, lakini ni pembetatu za isosceles tu. Kepler hakufanya hivyo aligundua kuwa takwimu aliyopokea ilikuwa na mara mbili.

Polyhedron, ambayo inaitwa "dodecahedron kubwa," ilijengwa na geometer ya Kifaransa Louis Poinsot miaka mia mbili baada ya takwimu za nyota za Kepler.

Icosahedron kubwa ilielezewa kwanza na Louis Poinsot mnamo 1809. Na tena Kepler, baada ya kuona dodecahedron kubwa yenye nyota, aliacha heshima ya kugundua takwimu ya pili kwa Louis Poinsot. Takwimu hizi pia nusu zinatii fomula ya Euler.

Matumizi ya vitendo

Polyhedra katika asili

Polyhedra ya kawaida ni maumbo yenye faida zaidi, ndiyo sababu yanaenea katika asili. Hii inathibitishwa na sura ya fuwele fulani. Kwa mfano, fuwele za chumvi za meza zina umbo la mchemraba. Katika uzalishaji wa alumini, quartz ya alumini-potasiamu hutumiwa, kioo kimoja ambacho kina sura ya octahedron ya kawaida. Uzalishaji wa asidi ya sulfuriki, chuma, na aina maalum za saruji haziwezi kufanywa bila pyrites za sulfuri. Fuwele za kemikali hii zina umbo la dodecahedron. Antimoni sodiamu sulfate, dutu synthesized na wanasayansi, hutumiwa katika athari mbalimbali za kemikali. Kioo cha sulfate ya antimoni ya sodiamu ina sura ya tetrahedron. Polyhedron ya mwisho ya kawaida, icosahedron, hutoa sura ya fuwele za boroni.

Polyhedra yenye umbo la nyota ni mapambo sana, ambayo huwawezesha kutumika sana katika sekta ya kujitia katika utengenezaji wa kila aina ya kujitia. Pia hutumiwa katika usanifu. Aina nyingi za polihedra ya stellate hupendekezwa na asili yenyewe. Vipande vya theluji ni polihedra yenye umbo la nyota. Tangu nyakati za zamani, watu wamejaribu kuelezea aina zote zinazowezekana za theluji na kuandaa atlases maalum. Aina elfu kadhaa tofauti za theluji sasa zinajulikana.

Polyhedra ya kawaida pia hupatikana katika asili hai. Kwa mfano, mifupa ya kiumbe chembe moja Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) ina umbo la icosahedron. Feodaria wengi huishi kwenye vilindi vya bahari na hutumika kama mawindo ya samaki wa matumbawe. Lakini mnyama rahisi hujikinga na miiba kumi na miwili inayojitokeza kutoka kwa vilele 12 vya mifupa. Inaonekana zaidi kama polihedron ya nyota.

Tunaweza pia kuchunguza polyhedra kwa namna ya maua. Mfano wa kushangaza ni cacti.

Taarifa zinazohusiana.