Sheria za uendeshaji na nambari za busara. Ongezeko la nambari chanya za busara

Somo 4
SHAHADA YENYE KIASHIRIA ASILI

Malengo: kukuza uundaji wa ustadi wa hesabu na maarifa, mkusanyiko wa maarifa juu ya digrii kulingana na uzoefu wa kompyuta; anzisha uandishi wa nambari kubwa na ndogo kwa kutumia nguvu za 10.

Wakati wa madarasa

I. Kusasisha maarifa ya kimsingi.

Mwalimu anachambua matokeo kazi ya mtihani, kila mwanafunzi hupokea mapendekezo ya maendeleo mpango wa mtu binafsi marekebisho ya ujuzi wa kompyuta.

Kisha wanafunzi wanaulizwa kufanya mahesabu na kusoma majina ya wanahisabati maarufu ambao walichangia ujenzi wa nadharia ya nguvu:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

Ufunguo:

Kwa kutumia kompyuta au epiprojector, picha za wanasayansi Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin zinaonyeshwa kwenye skrini. Wanafunzi wanaalikwa kuandaa, ikiwa inataka, habari za kihistoria kuhusu maisha na kazi ya wanahisabati hawa.

II. Uundaji wa dhana mpya na njia za utekelezaji.

Wanafunzi huandika kwenye daftari zao maneno yafuatayo:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

A masharti

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

n vizidishio

5. A∙ A∙ … ∙ A;

n vizidishio

Wanafunzi wanaulizwa kujibu swali: "Rekodi hizi zinawezaje kuwasilishwa kwa ushikamano zaidi ili ziwe "zinazoonekana"?

Kisha mwalimu anaendesha mazungumzo mada mpya, huwajulisha wanafunzi dhana ya nguvu ya kwanza ya nambari. Wanafunzi wanaweza kuandaa uigizaji wa hadithi ya kale ya Kihindi kuhusu mvumbuzi wa chess, Seth, na King Sheram. Inahitajika kumaliza mazungumzo na hadithi juu ya utumiaji wa nguvu za 10 wakati wa kuandika idadi kubwa na ndogo na, kuwapa wanafunzi vitabu kadhaa vya kumbukumbu juu ya fizikia, teknolojia, na unajimu kwa kuzingatia, kuwapa fursa ya kupata mifano ya idadi kama hiyo. katika vitabu.

III. Uundaji wa ujuzi na uwezo.

1. Suluhisho la mazoezi No 40 d), e), f); 51.

Wakati wa suluhisho, wanafunzi huhitimisha kuwa ni muhimu kukumbuka: shahada c msingi hasi ni chanya ikiwa kipeo ni sawa, na hasi ikiwa kipeo ni isiyo ya kawaida.

2. Suluhisho la mazoezi No 41, 47.

IV. Kufupisha.

Mwalimu anatoa maoni na kutathmini kazi ya wanafunzi darasani.

Kazi ya nyumbani: aya ya 1.3, No. 42, 43, 52; hiari: kuandaa ripoti juu ya Diophantus, Descartes, Stevin.

Rejea ya kihistoria

Diophantus- mtaalam wa hesabu wa kale wa Uigiriki kutoka Alexandria (karne ya III). Sehemu ya risala yake ya hisabati "Hesabu" (vitabu 6 kati ya 13) imehifadhiwa, ambapo suluhisho la matatizo linatolewa, wengi wao wakiongoza kwa kile kinachoitwa "Diophantine equations", suluhisho ambalo hutafutwa kwa busara. nambari (Diophantus haina nambari hasi).

Ili kuashiria haijulikani na digrii zake (hadi sita), ishara sawa, Diophantus alitumia nukuu iliyofupishwa ya maneno yanayolingana. Wanasayansi pia wamegundua maandishi ya Kiarabu ya vitabu 4 zaidi vya Arithmetic ya Diophantus. Kazi za Diophantus zilikuwa mahali pa kuanzia kwa utafiti wa P. Fermat, L. Euler, K. Gauss na wengine.

Descartes Rene (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - Mwanafalsafa wa Kifaransa na mwanahisabati, alikuja kutoka kwa kale familia yenye heshima. Alipata elimu yake katika shule ya Jesuit La Flèche huko Anjou. Mara ya kwanza Vita vya Miaka Thelathini alihudumu katika jeshi, ambalo aliondoka mnamo 1621; baada ya miaka kadhaa ya kusafiri, alihamia Uholanzi (1629), ambako alitumia miaka ishirini katika masomo ya kisayansi ya pekee. Mnamo 1649, kwa mwaliko wa malkia wa Uswidi, alihamia Stockholm, lakini hivi karibuni alikufa.

Descartes aliweka misingi ya jiometri ya uchanganuzi na kuanzisha nukuu nyingi za kisasa za aljebra. Descartes iliboresha mfumo wa nukuu kwa kiasi kikubwa kwa kuanzisha ishara zinazokubalika kwa ujumla kwa vigeu
(X, katika,z...) na mgawo ( A, b, Na...), pamoja na uteuzi wa digrii ( X 4 , A 5…). Uandishi wa Descartes wa fomula karibu sio tofauti na za kisasa.

Katika jiometri ya uchanganuzi, mafanikio kuu ya Descartes yalikuwa njia ya kuratibu aliyounda.

Stevin Simon (1548-1620) - Mwanasayansi wa Uholanzi na mhandisi. Kuanzia 1583 alifundisha katika Chuo Kikuu cha Leiden, mnamo 1600 alipanga shule ya uhandisi katika Chuo Kikuu cha Leiden, ambapo alifundisha juu ya hisabati. Kazi ya Stevin "Zaka" (1585) imejitolea mfumo wa desimali vipimo na sehemu za decimal, ambazo Simon Stevin alianzisha kutumika huko Uropa.

Kisha a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.

Kuongeza sifuri haibadilishi nambari, lakini jumla nambari zinazopingana sawa na sifuri.

Hii ina maana kwamba kwa nambari yoyote ya kimantiki tunayo: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

Kuzidisha kwa nambari za busara pia kuna sifa za kubadilisha na za ushirika. Kwa maneno mengine, ikiwa a, b na c ni nambari zozote za kimantiki, basi ab - ba, a(bc) - (ab)c.

Kuzidisha kwa 1 hakubadilishi nambari ya busara, lakini bidhaa ya nambari na kinyume chake ni sawa na 1.

Hii inamaanisha kuwa kwa nambari yoyote ya busara tunayo:

a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8 + m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.

1190. Baada ya kuchagua mpangilio unaofaa wa hesabu, pata thamani ya usemi:

1191. Tengeneza kwa maneno sifa badilishi ya kuzidisha ab = ba na uikague wakati:

1192. Tengeneza kwa maneno sifa shirikishi ya kuzidisha a(bc)=(ab)c na uikague wakati:

1193. Kuchagua mpangilio unaofaa wa hesabu, pata thamani ya usemi:

1194. Utapata nambari gani (chanya au hasi) ukizidisha:

a) nambari moja hasi na nambari mbili chanya;
b) mbili hasi na moja nambari chanya;
c) 7 hasi na idadi kadhaa chanya;
d) 20 hasi na kadhaa chanya? Chora hitimisho.

1195. Amua ishara ya bidhaa:

a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha na Maxim walikusanyika kwenye mazoezi (Mchoro 91, a). Ilibadilika kuwa kila mmoja wa wavulana alijua wengine wawili tu. Nani anajua nani? (Ukingo wa jedwali unamaanisha “tunajuana.”)

b) Kaka na dada wa familia moja wanatembea uani. Ni yupi kati ya watoto hawa ni wavulana na ambao ni wasichana (Mchoro 91, b)? (Pembe zenye vitone za grafu humaanisha “Mimi ni dada,” na zile thabiti humaanisha “Mimi ni kaka.”)

1205. Kokotoa:

1206. Linganisha:

a) 2 3 na 3 2; b) (-2) 3 na (-3) 2; c) 1 3 na 1 2; d) (-1) 3 na (-1) 2.

1207. Mzunguko wa 5.2853 hadi elfu; kabla mia; hadi sehemu ya kumi; hadi vitengo.

1208. Tatua tatizo:

1) Mwendesha pikipiki anashikana na mwendesha baiskeli. Sasa kuna kilomita 23.4 kati yao. Kasi ya mwendesha pikipiki ni mara 3.6 ya kasi ya mwendesha baiskeli. Tafuta kasi za mwendesha baiskeli na mwendesha pikipiki ikiwa inajulikana kuwa mwendesha pikipiki atampata mwendesha baiskeli baada ya saa moja.
2) Gari linapata basi. Sasa kuna kilomita 18 kati yao. Mwendo wa basi ni sawa na wa gari la abiria. Tafuta mwendo kasi wa basi na gari ikiwa inajulikana gari litapata basi ndani ya saa moja.

1209. Tafuta maana ya usemi:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Angalia mahesabu yako na calculator ndogo.
1210. Baada ya kuchagua mpangilio unaofaa wa hesabu, pata thamani ya usemi:

1211. Rahisisha usemi:

1212. Tafuta maana ya usemi:

1213. Fuata hatua hizi:

1214. Wanafunzi walipewa kazi ya kukusanya tani 2.5 za vyuma chakavu. Walikusanya tani 3.2 za chuma chakavu. Wanafunzi walimaliza kazi kwa asilimia ngapi na walizidi kazi kwa asilimia ngapi?

1215. Gari ilisafiri kilomita 240. Kati ya hizi, kilomita 180 alitembea kando ya barabara ya nchi, na njia iliyobaki kwenye barabara kuu. Matumizi ya petroli kwa kilomita 10 barabara ya nchi ilikuwa lita 1.6, na kwenye barabara kuu - 25% chini. Ni lita ngapi za petroli zilizotumiwa kwa wastani kwa kila kilomita 10 za kusafiri?

1216. Akiondoka kijijini, mwendesha baiskeli alimwona mtembea kwa miguu kwenye daraja akitembea upande uleule na akampata dakika 12 baadaye. Tafuta kasi ya mtembea kwa miguu ikiwa kasi ya mwendesha baiskeli ni 15 km/h na umbali kutoka kijijini hadi darajani ni 1 km 800 m?

1217. Fuata hatua hizi:

a) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
b) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
c) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).

NA nambari za busara watu, kama unavyojua, walifahamiana polepole. Mara ya kwanza, wakati wa kuhesabu vitu, matatizo yalitokea nambari kamili. Mwanzoni kulikuwa na wachache wao. Kwa hivyo, hadi hivi majuzi, kati ya wenyeji wa visiwa kwenye Mlango wa Torres (kujitenga Guinea Mpya kutoka Australia) kulikuwa na nambari mbili tu katika lugha: "urapun" (moja) na "okaz" (mbili). Wenyeji wa kisiwa hicho walihesabu hivi: “Okaza-urapun” (tatu), “Okaza-Okaza” (nne), n.k. Wenyeji waliita nambari zote, kuanzia saba, na neno linalomaanisha “nyingi.”

Wanasayansi wanaamini kwamba neno kwa mamia lilionekana zaidi ya miaka 7,000 iliyopita, kwa maelfu - miaka 6,000 iliyopita, na miaka 5,000 iliyopita katika Misri ya Kale na katika Babeli ya Kale majina yanaonekana kwa idadi kubwa - hadi milioni. Lakini kwa muda mrefu mfululizo wa asili wa nambari ulizingatiwa kuwa wa mwisho: watu walidhani kuwa kulikuwa na wengi idadi kubwa.

Mwanahisabati mkuu wa kale wa Uigiriki na mwanafizikia Archimedes (287-212 KK) alikuja na njia ya kuelezea idadi kubwa. Nambari kubwa zaidi ambayo Archimedes angeweza kutaja ilikuwa kubwa sana kwamba ili kurekodi kidijitali ingehitaji mkanda mrefu mara elfu mbili kuliko umbali kutoka kwa Dunia hadi Jua.

Lakini walikuwa bado hawajaweza kuandika idadi kubwa kama hiyo. Hii iliwezekana tu baada ya wanahisabati wa India katika karne ya 6. nambari ya sifuri ilivumbuliwa na ilianza kuashiria kutokuwepo kwa vitengo katika nambari nukuu ya desimali nambari.

Wakati wa kugawanya nyara na baadaye wakati wa kupima maadili, na katika hali zingine kama hizo, watu walikutana na hitaji la kuanzisha "nambari zilizovunjika" - sehemu za kawaida. Operesheni zilizo na sehemu zilizingatiwa kuwa eneo gumu zaidi la hesabu huko nyuma katika Zama za Kati. Hadi leo, Wajerumani wanasema juu ya mtu ambaye anajikuta katika hali ngumu kwamba "alianguka katika sehemu."

Ili kurahisisha kufanya kazi na sehemu, decimals iligunduliwa sehemu. Huko Ulaya walianzishwa katika X585 na mwanahisabati wa Uholanzi na mhandisi Simon Stevin.

Nambari hasi zilionekana baadaye kuliko sehemu. Kwa muda mrefu, nambari kama hizo zilizingatiwa kuwa "hazipo", "uongo", haswa kwa sababu ya ukweli kwamba tafsiri iliyokubaliwa ya nambari chanya na hasi "mali - deni" ilisababisha machafuko: unaweza kuongeza au kuondoa "mali" au "madeni", lakini jinsi ya kuelewa kazi au "mali" ya kibinafsi na "deni"?

Walakini, licha ya mashaka na mashaka kama haya, sheria za kuzidisha na kugawanya nambari chanya na hasi zilipendekezwa katika karne ya 3. mwanahisabati wa Uigiriki Diophantus (kwa namna: "Kilichotolewa, kikizidishwa na kilichoongezwa, hutoa subtrahend; kile kinachotolewa na subtrahend hutoa kile kilichoongezwa," nk), na baadaye mwanahisabati wa Kihindi Bhaskar (karne ya XII) ilionyesha sheria sawa katika dhana ya "mali", "deni" ("Bidhaa ya mali mbili au madeni mawili ni mali; bidhaa ya mali na deni ni deni." Kanuni hiyo hiyo inatumika kwa mgawanyiko).

Ilibainika kuwa mali ya shughuli kwenye nambari hasi ni sawa na zile za nambari chanya (kwa mfano, kuongeza na kuzidisha kuna mali ya kubadilisha). Na hatimaye, tangu mwanzo wa karne iliyopita nambari hasi ikawa sawa katika haki na zile chanya.

Baadaye, nambari mpya zilionekana katika hisabati - zisizo na maana, ngumu na zingine. Unajifunza juu yao katika shule ya upili.

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Hisabati kwa daraja la 6, Kitabu cha maandishi cha sekondari

Vitabu na vitabu vya kiada kulingana na mpango wa kalenda ya upakuaji wa hisabati ya darasa la 6, msaada kwa watoto wa shule mkondoni

Maudhui ya somo maelezo ya somo kusaidia mbinu za kuongeza kasi za uwasilishaji wa somo la fremu teknolojia shirikishi Fanya mazoezi kazi na mazoezi warsha za kujipima, mafunzo, kesi, maswali ya majadiliano ya kazi ya nyumbani maswali ya balagha kutoka kwa wanafunzi Vielelezo sauti, klipu za video na multimedia picha, picha, michoro, majedwali, michoro, ucheshi, hadithi, vicheshi, vichekesho, mafumbo, misemo, maneno mtambuka, nukuu Viongezi muhtasari makala tricks for the curious cribs vitabu vya kiada msingi na ziada kamusi ya maneno mengine Kuboresha vitabu vya kiada na masomokurekebisha makosa katika kitabu kusasisha kipande kwenye kitabu cha maandishi, vitu vya uvumbuzi katika somo, kubadilisha maarifa ya zamani na mpya. Kwa walimu pekee masomo kamili mpango wa kalenda kwa mwaka miongozo programu za majadiliano Masomo Yaliyounganishwa
Kuchora. Shughuli za hesabu juu ya nambari za busara.

Maandishi:

Sheria za uendeshaji na nambari za busara:
. wakati wa kuongeza nambari na ishara zinazofanana ni muhimu kuongeza moduli zao na kuweka ishara yao ya kawaida mbele ya jumla;
. wakati wa kuongeza nambari mbili na ishara tofauti kutoka kwa nambari iliyo na moduli kubwa zaidi, toa nambari iliyo na moduli ndogo na uweke ishara ya nambari iliyo na moduli kubwa mbele ya tofauti inayosababisha;
. Wakati wa kutoa nambari moja kutoka kwa nyingine, unahitaji kuongeza kwa minuend nambari iliyo kinyume na ile inayotolewa: a - b = a + (-b)
. wakati wa kuzidisha nambari mbili na ishara sawa, moduli zao zinazidishwa na ishara ya pamoja imewekwa mbele ya bidhaa inayosababisha;
. wakati wa kuzidisha nambari mbili na ishara tofauti, moduli zao zinazidishwa na ishara ya minus imewekwa mbele ya bidhaa inayosababisha;
. wakati wa kugawanya nambari na ishara sawa, moduli ya mgawanyiko imegawanywa na moduli ya mgawanyiko na ishara ya pamoja imewekwa mbele ya mgawo unaosababisha;
. wakati wa kugawanya nambari na ishara tofauti, moduli ya mgawanyiko imegawanywa na moduli ya mgawanyiko na ishara ya minus imewekwa mbele ya mgawo unaosababisha;
. Wakati wa kugawanya na kuzidisha sifuri kwa nambari yoyote isiyo sawa na sifuri, matokeo ni sifuri:
. Huwezi kugawanya kwa sifuri.

NAMBA HALISI II

§ Vitendo 36 kwenye nambari za busara

Kama unavyojua, sehemu mbili m / n Na k / l ni sawa, yaani, zinawakilisha nambari sawa ya kimantiki, ikiwa na ikiwa tu ml = nk .

Kwa mfano, 1/3 = 2/6, tangu 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 tangu (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, tangu 0 5 = 1 0, nk.

Ni wazi, kwa nambari yoyote r , si sawa na 0,

: m / n = m r / n r

Hii inafuatia kutoka kwa usawa dhahiri T (P r ) = P (T r ) Kwa hivyo, nambari yoyote ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kama uwiano wa nambari mbili kwa idadi isiyo na kikomo ya njia. Kwa mfano,

5 = 5/1 = -10 / -2 = 15/3 nk,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 nk.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 nk.

Katika seti ya nambari zote za busara, shughuli za kuongeza, kuzidisha, kutoa na kugawanya (isipokuwa kugawanya kwa sifuri) kunawezekana. Wacha tukumbuke jinsi vitendo hivi vinaamuliwa.

Jumla ya nambari mbili za busara m / n Na k / l imedhamiriwa na formula:

Bidhaa ya nambari mbili za busara m / n Na k / l imedhamiriwa na formula:

m / n k / l = mk / nl (2)

Kwa kuwa nambari sawa ya busara inaweza kuandikwa kwa njia kadhaa (kwa mfano, 1/3 = 2/6 = 3/9 = ...), itakuwa muhimu kuonyesha kuwa jumla na bidhaa za nambari za busara hazitegemei. jinsi masharti au sababu zimeandikwa. Kwa mfano,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

n.k. Hata hivyo, kuzingatia masuala haya ni zaidi ya upeo wa programu yetu.

Wakati wa kuongeza na kuzidisha nambari za busara, sheria zifuatazo za msingi huzingatiwa:

1) ya kubadilisha(au mabadiliko) sheria ya nyongeza

m / n + k / l = k / l + m / n

2) ushirika(au ushirika) sheria ya nyongeza:

( m / n + k / l ) + uk / q = m / n + ( k / l + uk / q )

3) ya kubadilisha sheria (au ya kubadilisha) ya kuzidisha:

m / n k / l = k / l m / n

4) ushirika sheria (au ya ushirika) ya kuzidisha:

( m / n k / l ) uk / q = m / n ( k / l uk / q )

5) kusambaza(au ugawaji) sheria ya kuzidisha kuhusiana na nyongeza:

( m / n + k / l ) uk / q = m / n uk / q + k / l uk / q

Kuongeza na kuzidisha ni shughuli za msingi za aljebra. Kuhusu kutoa na kugawanya, vitendo hivi vinafafanuliwa kama kinyume cha kuongeza na kuzidisha.

Tofauti ya nambari mbili za busara m / n Na k / l nambari hii inaitwa X , ambayo ni jumla na k / l anatoa m / n . Kwa maneno mengine, tofauti m / n - k / l

k / l + x = m / n

Inaweza kuthibitishwa kuwa equation kama hiyo huwa na mzizi, na moja tu:

Kwa hivyo, tofauti ya nambari mbili m / n Na k / l hupatikana kwa formula:

Ikiwa nambari m / n Na k / l ni sawa kwa kila mmoja, basi tofauti yao inakuwa sifuri; ikiwa nambari hizi si sawa kwa kila mmoja, basi tofauti zao ni chanya au hasi. Katika m / n - k / l > 0 inasemekana kuwa nambari m / n nambari zaidi k / l ; kama m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n idadi ndogo k / l .

Mgawo wa nambari ya busara m/ n kwa nambari ya busara k/ l nambari hii inaitwa X, ambayo katika bidhaa na k/ l anatoa m/ n . Kwa maneno mengine, faragha m/ n : k/ l hufafanuliwa kama mzizi wa mlinganyo

k/ l X = m/ n .

Kama k/ l =/= 0, basi kupewa mlinganyo ina mzizi mmoja

X = ml/ nk

Kama k/ l = 0, basi equation hii ama haina mizizi hata kidogo (kwa m/ n =/= 0), au ina mizizi mingi sana (na m/ n = 0). Ili kufanya utendakazi wa mgawanyiko uwezekane kwa njia ya kipekee, tunakubali kutozingatia mgawanyiko kwa sufuri hata kidogo. Kwa hivyo, kugawanya nambari ya busara m/ n kwa nambari ya busara k/ l daima hufafanuliwa isipokuwa k/ l =/= 0. Wakati huo huo

m/ n : k/ l = ml/ nk

Mazoezi

295. Kokotoa kwa njia ya busara zaidi na uonyeshe ni sheria zipi za utekelezaji zinapaswa kutumika;

a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .

b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10