Milinganyo rahisi zaidi ya mpangilio wa kwanza ni mifano. Agiza kwanza milinganyo tofauti

Taasisi ya elimu "Jimbo la Belarusi

Chuo cha kilimo"

Idara ya Hisabati ya Juu

EQUATIONS TOFAUTI ZA AGIZO LA KWANZA

Maelezo ya mihadhara kwa wanafunzi wa uhasibu

njia ya mawasiliano ya elimu (NISPO)

Gorki, 2013

Agiza kwanza milinganyo tofauti

Dhana ya mlinganyo tofauti. Suluhisho za jumla na maalum

Wakati wa kujifunza matukio mbalimbali, mara nyingi haiwezekani kupata sheria inayounganisha moja kwa moja kutofautiana kwa kujitegemea na kazi inayotakiwa, lakini inawezekana kuanzisha uhusiano kati ya kazi inayotakiwa na derivatives yake.

Uhusiano unaounganisha kutofautiana kwa kujitegemea, kazi inayotakiwa na derivatives yake inaitwa equation tofauti :

Hapa x- tofauti huru, y- kazi inayohitajika,
- derivatives ya kazi inayotakiwa. Katika kesi hii, uhusiano (1) lazima uwe na angalau derivative moja.

Utaratibu wa mlinganyo wa kutofautisha inaitwa mpangilio wa derivative ya juu zaidi iliyojumuishwa katika mlinganyo.

Fikiria equation tofauti

. (2)

Kwa kuwa equation hii inajumuisha tu derivative ya utaratibu wa kwanza, inaitwa ni mpangilio tofauti wa mlingano wa kwanza.

Ikiwa equation (2) inaweza kutatuliwa kwa heshima na derivative na kuandikwa kwa fomu

, (3)

basi equation kama hiyo inaitwa equation ya mpangilio wa kwanza katika hali ya kawaida.

Katika hali nyingi inashauriwa kuzingatia equation ya fomu

ambayo inaitwa mlingano wa kutofautisha wa mpangilio wa kwanza ulioandikwa katika umbo tofauti.

Kwa sababu
, basi equation (3) inaweza kuandikwa katika fomu
au
, ambapo tunaweza kuhesabu
Na
. Hii ina maana kwamba equation (3) inabadilishwa kuwa equation (4).

Wacha tuandike mlingano (4) kwa fomu
. Kisha
,
,
, ambapo tunaweza kuhesabu
, i.e. equation ya fomu (3) hupatikana. Kwa hivyo, milinganyo (3) na (4) ni sawa.

Kutatua equation tofauti (2) au (3) inaitwa kazi yoyote
, ambayo, wakati wa kuibadilisha kuwa mlinganyo (2) au (3), huigeuza kuwa kitambulisho:

au
.

Mchakato wa kutafuta suluhu zote za equation ya kutofautisha inaitwa yake ushirikiano , na grafu ya suluhisho
equation tofauti inaitwa curve muhimu mlingano huu.

Ikiwa suluhisho la equation tofauti linapatikana kwa fomu isiyo wazi
, basi inaitwa muhimu ya equation hii tofauti.

Suluhisho la jumla equation ya mpangilio wa kwanza ni familia ya majukumu ya fomu
, kulingana na mara kwa mara ya kiholela NA, ambayo kila moja ni suluhu la mlinganyo wa tofauti uliotolewa kwa thamani yoyote inayokubalika ya salio kiholela. NA. Kwa hivyo, equation ya kutofautisha ina idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

Uamuzi wa kibinafsi equation tofauti ni suluhisho lililopatikana kutoka kwa fomula ya suluhisho la jumla kwa thamani maalum ya mara kwa mara ya kiholela NA, ikiwa ni pamoja na
.

Tatizo la Cauchy na tafsiri yake ya kijiometri

Equation (2) ina idadi isiyo na kikomo ya suluhu. Ili kuchagua suluhisho moja kutoka kwa seti hii, inayoitwa ya kibinafsi, unahitaji kuweka hali zingine za ziada.

Tatizo la kupata suluhisho fulani la equation (2) chini ya masharti fulani inaitwa Tatizo la uchungu . Tatizo hili ni mojawapo ya muhimu zaidi katika nadharia ya milinganyo tofauti.

Tatizo la Cauchy limeundwa kama ifuatavyo: kati ya masuluhisho yote ya equation (2) pata suluhisho kama hilo
, ambayo kazi
inachukua thamani ya nambari iliyotolewa , ikiwa tofauti huru x inachukua thamani ya nambari iliyotolewa , i.e.

,
, (5)

Wapi D- kikoa cha ufafanuzi wa kazi
.

Maana kuitwa thamani ya awali ya chaguo za kukokotoa , A – thamani ya awali ya kutofautiana huru . Hali (5) inaitwa hali ya awali au Hali ya uchungu .

Kwa mtazamo wa kijiometri, tatizo la Cauchy kwa mlinganyo tofauti (2) linaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: kutoka kwa seti ya curves muhimu ya equation (2), chagua moja ambayo hupitia hatua fulani
.

Milinganyo tofauti yenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa

Mojawapo ya aina rahisi zaidi za milinganyo ya kutofautisha ni mlinganyo wa mpangilio wa kwanza ambao hauna kitendakazi unachotaka:

. (6)

Kwa kuzingatia hilo
, tunaandika equation katika fomu
au
. Kuunganisha pande zote mbili za equation ya mwisho, tunapata:
au

. (7)

Kwa hivyo, (7) ni suluhisho la jumla la mlinganyo (6).

Mfano 1 . Pata suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha
.

Suluhisho . Hebu tuandike equation katika fomu
au
. Wacha tuunganishe pande zote mbili za equation inayosababishwa:
,
. Hatimaye tutaiandika
.

Mfano 2 . Tafuta suluhisho la equation
kutokana na hilo
.

Suluhisho . Wacha tupate suluhisho la jumla la equation:
,
,
,
. Kwa hali
,
. Wacha tubadilishe katika suluhisho la jumla:
au
. Tunabadilisha thamani iliyopatikana ya mara kwa mara ya kiholela katika fomula ya suluhisho la jumla:
. Hili ni suluhisho mahususi la mlinganyo wa kutofautisha ambao unakidhi hali uliyopewa.

Mlinganyo

(8)

Imeitwa mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa kwanza ambao hauna kigezo huru . Hebu tuandike kwa fomu
au
. Wacha tuunganishe pande zote mbili za equation ya mwisho:
au
- ufumbuzi wa jumla wa equation (8).

Mfano . Tafuta suluhisho la jumla la equation
.

Suluhisho . Wacha tuandike equation hii kwa fomu:
au
. Kisha
,
,
,
. Hivyo,
ndio suluhisho la jumla la mlingano huu.

Mlinganyo wa fomu

(9)

kuunganisha kwa kutumia mgawanyo wa vigezo. Ili kufanya hivyo, tunaandika equation katika fomu
, na kisha kwa kutumia shughuli za kuzidisha na kugawanya tunaileta kwa namna ambayo sehemu moja inajumuisha tu kazi ya X na tofauti dx, na katika sehemu ya pili - kazi ya katika na tofauti dy. Ili kufanya hivyo, pande zote mbili za equation zinahitaji kuzidishwa na dx na kugawanya kwa
. Kama matokeo, tunapata equation

, (10)

ambamo vigezo X Na katika kutengwa. Wacha tuunganishe pande zote mbili za equation (10):
. Uhusiano unaotokana ni kiungo cha jumla cha mlingano (9).

Mfano 3 . Unganisha Mlinganyo
.

Suluhisho . Wacha tubadilishe equation na tutenganishe anuwai:
,
. Wacha tuunganishe:
,
au ndio kiunga cha jumla cha mlingano huu.
.

Hebu equation itolewe kwa fomu

Equation hii inaitwa mpangilio wa kwanza wa utofautishaji wa equation na vigeu vinavyoweza kutenganishwa katika umbo la ulinganifu.

Ili kutenganisha vigezo, unahitaji kugawanya pande zote mbili za equation na
:

. (12)

Equation inayotokana inaitwa mlinganyo wa kutofautisha uliotenganishwa . Wacha tuunganishe equation (12):

.(13)

Uhusiano (13) ni kiunga cha jumla cha mlinganyo tofauti (11).

Mfano 4 . Unganisha mlinganyo tofauti.

Suluhisho . Hebu tuandike equation katika fomu

na kugawanya sehemu zote mbili kwa
,
. Equation inayotokana:
ni mlinganyo tofauti tofauti. Wacha tuiunganishe:

,
,

,
. Usawa wa mwisho ni kiunga cha jumla cha mlingano huu wa kutofautisha.

Mfano 5 . Tafuta suluhu mahususi kwa mlinganyo wa kutofautisha
, kukidhi hali
.

Suluhisho . Kwa kuzingatia hilo
, tunaandika equation katika fomu
au
. Wacha tutenganishe anuwai:
. Wacha tuunganishe equation hii:
,
,
. Uhusiano unaotokana ni kiungo cha jumla cha mlingano huu. Kwa hali
. Wacha tuibadilishe kuwa kiunga cha jumla na tutafute NA:
,NA=1. Kisha usemi
ni suluhu la sehemu ya mlinganyo wa tofauti uliotolewa, ulioandikwa kama sehemu muhimu.

Milinganyo ya tofauti ya mstari ya mpangilio wa kwanza

Mlinganyo

(14)

kuitwa mlinganyo wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa kwanza . Chaguo za kukokotoa zisizojulikana
na derivative yake huingia kwenye mlingano huu kwa mstari, na kazi
Na
kuendelea.

Kama
, kisha mlinganyo

(15)

kuitwa linear homogeneous . Kama
, basi equation (14) inaitwa linear inhomogeneous .

Ili kupata suluhisho la equation (14) kawaida hutumia njia mbadala (Bernoulli) , asili yake ni kama ifuatavyo.

Tutatafuta suluhisho la equation (14) katika mfumo wa bidhaa ya kazi mbili

, (16)

Wapi
Na
- baadhi ya kazi zinazoendelea. Hebu tubadilishe
na derivative
katika equation (14):

Kazi v tutachagua kwa namna ambayo hali imeridhika
. Kisha
. Kwa hivyo, ili kupata suluhisho la equation (14), ni muhimu kutatua mfumo wa equations tofauti

Equation ya kwanza ya mfumo ni equation ya homogeneous ya mstari na inaweza kutatuliwa kwa njia ya mgawanyo wa vigezo:
,
,
,
,
. Kama kipengele
unaweza kuchukua mojawapo ya ufumbuzi wa sehemu ya equation ya homogeneous, i.e. katika NA=1:
. Wacha tubadilishe equation ya pili ya mfumo:
au
.Kisha
. Kwa hivyo, suluhu ya jumla ya mpangilio tofauti wa mpangilio wa mstari wa kwanza ina fomu
.

Mfano 6 . Tatua mlinganyo
.

Suluhisho . Tutatafuta suluhisho la equation katika fomu
. Kisha
. Wacha tubadilishe katika equation:

au
. Kazi v chagua kwa njia ambayo usawa unashikilia
. Kisha
. Wacha tusuluhishe ya kwanza ya hesabu hizi kwa kutumia njia ya mgawanyo wa anuwai:
,
,
,
,. Kazi v Wacha tubadilishe katika equation ya pili:
,
,
,
. Suluhisho la jumla la equation hii ni
.

Maswali ya kujidhibiti kwa maarifa

Equation tofauti ni nini?

Je, mpangilio wa equation tofauti ni nini?

Ni mlingano gani wa tofauti unaoitwa mlingano wa tofauti wa mpangilio wa kwanza?

Je, equation ya kutofautisha ya mpangilio wa kwanza imeandikwaje kwa namna tofauti?

Je, ni suluhisho gani la mlinganyo wa kutofautisha?

Curve muhimu ni nini?

Suluhisho la jumla la mpangilio tofauti wa mpangilio wa kwanza ni nini?

Ni nini kinachoitwa suluhisho la sehemu ya equation tofauti?

Tatizo la Cauchy linaundwaje kwa mlinganyo wa kutofautisha wa agizo la kwanza?

Ni nini tafsiri ya kijiometri ya shida ya Cauchy?

Jinsi ya kuandika equation ya kutofautisha na anuwai zinazoweza kutenganishwa katika fomu ya ulinganifu?

Ni mlingano upi unaoitwa mlingano wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa kwanza?

Ni njia gani inayoweza kutumika kutatua mlingano wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa kwanza na ni nini kiini cha njia hii?

Kazi za kazi ya kujitegemea

Tatua milinganyo ya kutofautisha na vigeu vinavyoweza kutenganishwa:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Tatua milinganyo tofauti ya mpangilio wa mstari wa kwanza:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Labda tayari zimetatuliwa kwa heshima na derivative, au zinaweza kutatuliwa kwa heshima na derivative. .

Suluhisho la jumla la milinganyo tofauti ya aina kwenye muda X, ambayo imetolewa, inaweza kupatikana kwa kuchukua sehemu ya pande zote mbili za usawa huu.

Tunapata .

Ikiwa tutaangalia mali ya kiunga cha muda usiojulikana, tunapata suluhisho la jumla linalohitajika:

y = F(x) + C,

Wapi F(x)- moja ya kazi za zamani f(x) katikati X, A NA- mara kwa mara ya kiholela.

Tafadhali kumbuka kuwa katika matatizo mengi muda X usionyeshe. Hii ina maana kwamba suluhisho lazima lipatikane kwa kila mtu. x, ambayo na kazi inayotakiwa y, na mlingano asilia unaleta maana.

Ikiwa unahitaji kuhesabu suluhisho fulani kwa usawa wa kutofautisha ambao unakidhi hali ya awali y(x 0) = y 0, kisha baada ya kuhesabu kiunga cha jumla y = F(x) + C, bado ni muhimu kuamua thamani ya mara kwa mara C = C 0, kwa kutumia hali ya awali. Hiyo ni, mara kwa mara C = C 0 imedhamiriwa kutoka kwa equation F(x 0) + C = y 0, na suluhisho la sehemu inayohitajika ya equation ya kutofautisha itachukua fomu:

y = F(x) + C 0.

Hebu tuangalie mfano:

Wacha tupate suluhisho la jumla kwa usawa wa kutofautisha na angalia usahihi wa matokeo. Wacha tupate suluhisho maalum kwa mlingano huu ambao ungekidhi hali ya awali.

Suluhisho:

Baada ya kuunganisha equation ya kutofautisha iliyotolewa, tunapata:

.

Wacha tuchukue kiunga hiki kwa kutumia njia ya ujumuishaji na sehemu:

Hiyo., ni suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha.

Ili kuhakikisha kuwa matokeo ni sahihi, hebu tufanye ukaguzi. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha suluhisho tulilopata katika equation iliyotolewa:

.

Hiyo ni, wakati equation ya asili inageuka kuwa kitambulisho:

kwa hivyo, suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha iliamuliwa kwa usahihi.

Suluhisho tulilopata ni suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha kwa kila thamani halisi ya hoja x.

Inabakia kuhesabu suluhisho fulani kwa ODE ambayo ingeweza kukidhi hali ya awali. Kwa maneno mengine, ni muhimu kuhesabu thamani ya mara kwa mara NA, ambapo usawa utakuwa wa kweli:

.

.

Kisha, kuchukua nafasi C = 2 katika suluhisho la jumla la ODE, tunapata suluhisho fulani la equation ya kutofautisha ambayo inakidhi hali ya awali:

.

Mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha inaweza kutatuliwa kwa derivative kwa kugawanya pande 2 za equation na f(x). Mabadiliko haya yatakuwa sawa ikiwa f(x) haina kugeuka kwa sifuri kwa hali yoyote x kutoka kwa muda wa ujumuishaji wa mlinganyo tofauti X.

Kuna uwezekano wa hali wakati, kwa maadili fulani ya hoja x ∈ X kazi f(x) Na g(x) wakati huo huo kuwa sifuri. Kwa maadili sawa x ufumbuzi wa jumla wa equation tofauti ni kazi yoyote y, ambayo inafafanuliwa ndani yao, kwa sababu .

Ikiwa kwa maadili fulani ya hoja x ∈ X hali imeridhika, ambayo ina maana kwamba katika kesi hii ODE haina ufumbuzi.

Kwa kila mtu mwingine x kutoka kwa muda X ufumbuzi wa jumla wa equation tofauti imedhamiriwa kutoka kwa equation iliyobadilishwa.

Hebu tuangalie mifano:

Mfano 1.

Wacha tupate suluhisho la jumla kwa ODE: .

Suluhisho.

Kutoka kwa sifa za kazi za kimsingi za kimsingi ni wazi kuwa kazi ya logarithm ya asili imefafanuliwa kwa maadili yasiyo hasi ya hoja, kwa hivyo uwanja wa ufafanuzi wa usemi. ln(x+3) kuna muda x > -3 . Hii ina maana kwamba equation tofauti iliyotolewa ina maana kwa x > -3 . Kwa maadili haya ya hoja, usemi x+3 haitoweka, kwa hivyo unaweza kutatua ODE ya derivative kwa kugawa sehemu 2 na x + 3.

Tunapata .

Ifuatayo, tunaunganisha equation ya tofauti inayotokana, iliyotatuliwa kwa heshima na derivative: . Ili kuchukua kiunga hiki, tunatumia njia ya kuiweka chini ya ishara tofauti.

Mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha ni mlinganyo unaohusiana na kigezo huru, kazi isiyojulikana ya kigezo hiki na viasili vyake (au tofauti) vya maagizo mbalimbali.

Utaratibu wa mlinganyo wa kutofautisha inaitwa mpangilio wa derivative ya juu kabisa iliyomo ndani yake.

Mbali na zile za kawaida, hesabu za tofauti za sehemu pia husomwa. Hizi ni milinganyo inayohusiana na vigeu vinavyojitegemea, kazi isiyojulikana ya vigeu hivi na viambajengo vyake vya sehemu kuhusiana na viambajengo sawa. Lakini tutazingatia tu milinganyo ya kawaida ya tofauti na kwa hiyo, kwa ajili ya ufupi, tutaacha neno "kawaida".

Mifano ya milinganyo tofauti:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Mlingano (1) ni mpangilio wa nne, mlingano (2) ni mpangilio wa tatu, mlinganyo (3) na (4) ni mpangilio wa pili, mlingano (5) ni mpangilio wa kwanza.

Mlinganyo wa tofauti n Agizo si lazima liwe na utendakazi dhahiri, viambajengo vyake vyote kuanzia la kwanza hadi n-th mpangilio na tofauti huru. Huenda isiwe na viasili vya maagizo fulani, chaguo za kukokotoa au kigezo huru.

Kwa mfano, katika equation (1) kuna wazi hakuna derivatives ya tatu na ya pili, pamoja na kazi; katika equation (2) - derivative ya pili ya utaratibu na kazi; katika equation (4) - kutofautiana kwa kujitegemea; katika equation (5) - kazi. Mlinganyo (3) pekee ndio unaojumuisha viasili vyote, chaguo za kukokotoa na tofauti huru.

Kutatua equation tofauti kila kazi inaitwa y = f(x), inapobadilishwa kuwa mlingano hugeuka kuwa utambulisho.

Mchakato wa kutafuta suluhisho la equation tofauti inaitwa yake ushirikiano.

Mfano 1. Tafuta suluhu ya mlinganyo wa kutofautisha.

Suluhisho. Wacha tuandike mlingano huu katika fomu. Suluhisho ni kupata kazi kutoka kwa derivative yake. Kazi ya asili, kama inavyojulikana kutoka kwa calculus muhimu, ni antiderivative kwa, i.e.

Ndivyo ilivyo suluhisho la equation hii tofauti . Kubadilika ndani yake C, tutapata masuluhisho tofauti. Tuligundua kuwa kuna idadi isiyo na kikomo ya masuluhisho ya mpangilio tofauti wa mlingano wa kwanza.

Suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha n Agizo ni suluhisho lake, lililoonyeshwa kwa uwazi kuhusiana na kazi isiyojulikana na iliyo na n kujitegemea kiholela constants, i.e.

Suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha katika Mfano wa 1 ni wa jumla.

Suluhisho la sehemu ya equation tofauti suluhisho ambalo vidhibiti vya kiholela hupewa maadili maalum ya nambari huitwa.

Mfano 2. Pata suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha na suluhisho fulani kwa .

Suluhisho. Wacha tuunganishe pande zote mbili za mlinganyo mara kadhaa sawa na mpangilio wa mlinganyo tofauti.

,

.

Kama matokeo, tulipata suluhisho la jumla -

ya mpangilio tofauti wa mpangilio wa tatu.

Sasa hebu tupate suluhisho fulani chini ya hali maalum. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yao badala ya mgawo wa kiholela na upate

.

Ikiwa, pamoja na equation ya kutofautisha, hali ya awali inatolewa kwa fomu, basi shida kama hiyo inaitwa. Tatizo la uchungu . Badilisha maadili na katika suluhisho la jumla la equation na upate thamani ya mara kwa mara ya kiholela. C, na kisha suluhisho fulani la equation kwa thamani iliyopatikana C. Hili ndilo suluhisho la tatizo la Cauchy.

Mfano 3. Tatua tatizo la Cauchy kwa mlinganyo wa kutofautisha kutoka kwa Mfano wa 1 hadi .

Suluhisho. Wacha tubadilishe maadili kutoka kwa hali ya awali hadi suluhisho la jumla y = 3, x= 1. Tunapata

Tunaandika suluhisho la shida ya Cauchy kwa hesabu hii ya mpangilio wa kwanza:

Kutatua equations tofauti, hata rahisi zaidi, inahitaji ushirikiano mzuri na ujuzi wa derivative, ikiwa ni pamoja na kazi ngumu. Hii inaweza kuonekana katika mfano ufuatao.

Mfano 4. Pata suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha.

Suluhisho. Equation imeandikwa kwa namna ambayo unaweza kuunganisha pande zote mbili mara moja.

.

Tunatumia njia ya kuunganishwa kwa mabadiliko ya kutofautiana (badala). Hebu iwe basi.

Inahitajika kuchukua dx na sasa - tahadhari - tunafanya hivyo kulingana na sheria za kutofautisha kazi ngumu, tangu x na kuna kazi ngumu ("apple" ni uchimbaji wa mzizi wa mraba au, ambayo ni kitu kimoja, kuinua kwa nguvu "nusu", na "nyama ya kusaga" ndio usemi ulio chini ya mzizi):

Tunapata muhimu:

Kurudi kwa kutofautiana x, tunapata:

.

Hili ndilo suluhu la jumla kwa mlinganyo huu wa utofauti wa shahada ya kwanza.

Sio tu ujuzi kutoka kwa sehemu za awali za hisabati ya juu utahitajika katika kutatua equations tofauti, lakini pia ujuzi kutoka kwa msingi, yaani, hisabati ya shule. Kama ilivyotajwa tayari, katika equation ya kutofautisha ya mpangilio wowote kunaweza kuwa hakuna tofauti inayojitegemea, ambayo ni, kutofautisha x. Ujuzi kuhusu idadi kutoka shuleni ambayo haijasahauliwa (hata hivyo, kulingana na nani) kutoka shule itasaidia kutatua tatizo hili. Huu ni mfano unaofuata.

Maudhui ya makala

EQUATIONS TOFAUTI. Sheria nyingi za kimaumbile zinazosimamia matukio fulani zimeandikwa katika mfumo wa mlinganyo wa hisabati unaoonyesha uhusiano fulani kati ya kiasi fulani. Mara nyingi tunazungumzia juu ya uhusiano kati ya kiasi kinachobadilika kwa muda, kwa mfano, ufanisi wa injini, unaopimwa na umbali ambao gari inaweza kusafiri kwa lita moja ya mafuta, inategemea kasi ya gari. Equation sambamba ina kazi moja au zaidi na derivatives yao na inaitwa equation tofauti. (Kiwango cha mabadiliko ya umbali baada ya muda huamuliwa na kasi; kwa hiyo, kasi ni derivative ya umbali; vile vile, kuongeza kasi ni derivative ya kasi, kwa kuwa kuongeza kasi huamua kiwango cha mabadiliko ya kasi na wakati.) Umuhimu mkubwa wa tofauti ambayo tofauti equations ina kwa hisabati na haswa kwa matumizi yake, inafafanuliwa na ukweli kwamba utafiti wa shida nyingi za mwili na kiufundi huja kutatua hesabu kama hizo. Milinganyo tofauti pia ina jukumu kubwa katika sayansi zingine, kama vile biolojia, uchumi na uhandisi wa umeme; kwa kweli, hutokea popote pale panapohitajika maelezo ya kiasi (ya nambari) ya matukio (ilimradi ulimwengu unaozunguka unabadilika kwa wakati, na hali hubadilika kutoka sehemu moja hadi nyingine).

Mifano.

Mifano ifuatayo inatoa ufahamu bora wa jinsi matatizo mbalimbali yanavyoundwa katika lugha ya milinganyo tofauti.

1) Sheria ya kuoza kwa baadhi ya vitu vyenye mionzi ni kwamba kiwango cha kuoza kinalingana na kiasi kinachopatikana cha dutu hii. Kama x- kiasi cha dutu kwa wakati fulani t, basi sheria hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Wapi dx/dt ni kiwango cha kuoza, na k– baadhi chanya mara kwa mara sifa ya dutu fulani. (Alama ya minus upande wa kulia inaonyesha hivyo x hupungua kwa muda; ishara ya kujumlisha, inayodokezwa kila mara wakati ishara haijasemwa waziwazi, ingemaanisha hivyo x huongezeka kwa muda.)

2) Chombo hapo awali kina kilo 10 za chumvi iliyoyeyushwa katika 100 m 3 ya maji. Ikiwa maji safi hutiwa ndani ya chombo kwa kiwango cha 1 m 3 kwa dakika na kuchanganywa sawasawa na suluhisho, na suluhisho linalosababishwa hutoka kwenye chombo kwa kasi sawa, basi ni chumvi ngapi itakuwa kwenye chombo wakati wowote unaofuata. wakati? Kama x- kiasi cha chumvi (katika kilo) kwenye chombo kwa wakati mmoja t, basi wakati wowote t 1 m 3 ya suluhisho katika chombo ina x/ 100 kg chumvi; kwa hiyo kiasi cha chumvi hupungua kwa kiwango x/100kg/min, au

3) Hebu kuwe na wingi kwenye mwili m kusimamishwa kutoka mwisho wa chemchemi, nguvu ya kurejesha hufanya sawa na kiasi cha mvutano katika chemchemi. Hebu x- kiasi cha kupotoka kwa mwili kutoka kwa nafasi ya usawa. Kisha, kwa mujibu wa sheria ya pili ya Newton, ambayo inasema kwamba kuongeza kasi (derivative ya pili ya x kwa wakati, uliowekwa d 2 x/dt 2) sawia na nguvu:

Upande wa kulia una ishara ya minus kwa sababu nguvu ya kurejesha inapunguza kunyoosha kwa chemchemi.

4) Sheria ya baridi ya miili inasema kwamba kiasi cha joto katika mwili hupungua kwa uwiano wa tofauti ya joto kati ya mwili na mazingira. Ikiwa kikombe cha kahawa kilichochomwa hadi joto la 90 ° C kiko kwenye chumba ambacho joto ni 20 ° C, basi

Wapi T- joto la kahawa kwa wakati t.

5) Waziri wa Mambo ya Nje wa Jimbo la Blefuscu anadai kwamba mpango wa silaha uliopitishwa na Lilliput unalazimisha nchi yake kuongeza matumizi ya kijeshi iwezekanavyo. Waziri wa Mambo ya Nje wa Lilliput anatoa kauli kama hizo. Hali inayosababisha (kwa tafsiri yake rahisi) inaweza kuelezewa kwa usahihi na hesabu mbili tofauti. Hebu x Na y- gharama za silaha za Lilliput na Blefuscu. Kwa kudhani kuwa Lilliput huongeza matumizi yake ya silaha kwa kiwango sawia na kiwango cha ongezeko la matumizi ya silaha za Blefuscu, na kinyume chake, tunapata:

walipo wanachama shoka Na - kwa kuelezea matumizi ya kijeshi ya kila nchi, k Na l ni thabiti thabiti. (Tatizo hili lilitayarishwa kwa mara ya kwanza kwa njia hii mnamo 1939 na L. Richardson.)

Baada ya tatizo kuandikwa kwa lugha ya equations tofauti, unapaswa kujaribu kutatua, i.e. pata kiasi ambacho viwango vyake vya mabadiliko vimejumuishwa katika milinganyo. Wakati mwingine suluhisho hupatikana kwa njia ya fomula wazi, lakini mara nyingi zaidi zinaweza kuwasilishwa kwa fomu ya takriban au habari ya ubora inaweza kupatikana juu yao. Mara nyingi inaweza kuwa ngumu kuamua ikiwa suluhisho lipo, achilia mbali kupata moja. Sehemu muhimu ya nadharia ya equations tofauti ina kile kinachoitwa "nadharia za kuwepo", ambayo kuwepo kwa suluhisho kwa aina moja au nyingine ya equation tofauti inathibitishwa.

Uundaji asilia wa kihisabati wa tatizo la kimwili kwa kawaida huwa na mawazo yanayorahisisha; kigezo cha busara zao kinaweza kuwa kiwango cha uthabiti wa suluhisho la hisabati na uchunguzi unaopatikana.

Ufumbuzi wa milinganyo tofauti.

Equation tofauti, kwa mfano dy/dx = x/y, hairidhishwi na nambari, lakini na chaguo la kukokotoa, katika kesi hii hivi kwamba grafu yake wakati wowote, kwa mfano katika hatua iliyo na viwianishi (2,3), ina tanjenti yenye mgawo wa angular sawa na uwiano wa kuratibu (katika mfano wetu, 2/3). Ni rahisi kuthibitisha hili ikiwa unaunda idadi kubwa ya pointi na kupanga sehemu fupi kutoka kwa kila moja yenye mteremko unaofanana. Suluhisho litakuwa kazi ambayo grafu inagusa kila pointi zake kwa sehemu inayolingana. Ikiwa kuna pointi na makundi ya kutosha, basi tunaweza takriban kuelezea mwendo wa curves ya ufumbuzi (curves tatu vile zinaonyeshwa kwenye Mchoro 1). Kuna safu moja ya suluhisho inayopitia kila nukta nayo y Nambari 0. Kila suluhisho la mtu binafsi linaitwa suluhisho la sehemu ya equation tofauti; ikiwa inawezekana kupata fomula iliyo na suluhisho zote maalum (isipokuwa uwezekano wa wachache maalum), basi wanasema kuwa suluhisho la jumla limepatikana. Suluhisho fulani linawakilisha kazi moja, wakati suluhisho la jumla linawakilisha familia nzima yao. Kutatua mlinganyo wa kutofautisha kunamaanisha kupata suluhisho lake mahususi au la jumla. Katika mfano tunaozingatia, suluhisho la jumla lina fomu y 2 – x 2 = c, Wapi c- nambari yoyote; suluhisho fulani linalopita kwenye nukta (1,1) lina fomu y = x na inageuka lini c= 0; Suluhisho fulani linalopita kwenye nukta (2,1) lina fomu y 2 – x 2 = 3. Hali inayohitaji kwamba curve ya ufumbuzi ipite, kwa mfano, kwa njia ya uhakika (2,1), inaitwa hali ya awali (kwa kuwa inataja hatua ya kuanzia kwenye curve ya ufumbuzi).

Inaweza kuonyeshwa kuwa kwa mfano (1) suluhisho la jumla lina fomu x = ce –kt, Wapi c- mara kwa mara ambayo inaweza kuamua, kwa mfano, kwa kuonyesha kiasi cha dutu t= 0. Mlinganyo kutoka kwa mfano (2) ni kesi maalum ya equation kutoka kwa mfano (1), sambamba. k= 1/100. Hali ya awali x= 10 kwa t= 0 inatoa suluhisho fulani x = 10e –t/100 . Mlinganyo kutoka kwa mfano (4) una suluhisho la jumla T = 70 + ce –kt na suluhisho la kibinafsi 70 + 130 - kt; kuamua thamani k, data ya ziada inahitajika.

Mlinganyo wa tofauti dy/dx = x/y inaitwa equation ya utaratibu wa kwanza, kwa kuwa ina derivative ya kwanza (mpangilio wa equation tofauti kwa kawaida hufikiriwa kuwa utaratibu wa derivative ya juu iliyojumuishwa ndani yake). Kwa milinganyo mingi (ingawa sio yote) ya aina ya kwanza ambayo hujitokeza katika mazoezi, safu moja tu ya suluhisho hupitia kila nukta.

Kuna aina kadhaa muhimu za hesabu za mpangilio wa kwanza ambazo zinaweza kutatuliwa kwa njia ya fomula zilizo na kazi za kimsingi tu - nguvu, vielelezo, logarithms, sines na cosines, nk. Equations hizo ni pamoja na zifuatazo.

Milinganyo yenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa.

Milinganyo ya fomu dy/dx = f(x)/g(y) inaweza kutatuliwa kwa kuiandika kwa tofauti g(y)dy = f(x)dx na kuunganisha sehemu zote mbili. Katika hali mbaya zaidi, suluhisho linaweza kuwakilishwa kwa namna ya viungo vya kazi zinazojulikana. Kwa mfano, katika kesi ya equation dy/dx = x/y tuna f(x) = x, g(y) = y. Kwa kuandika katika fomu ydy = xdx na kuunganisha, tunapata y 2 = x 2 + c. Milinganyo yenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa ni pamoja na milinganyo kutoka kwa mifano (1), (2), (4) (inaweza kutatuliwa kwa njia iliyoelezwa hapo juu).

Milinganyo katika tofauti za jumla.

Ikiwa usawa wa kutofautisha una fomu dy/dx = M(x,y)/N(x,y), Wapi M Na N ni kazi mbili zilizopewa, basi inaweza kuwakilishwa kama M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Ikiwa upande wa kushoto ni tofauti ya baadhi ya utendaji F(x,y), basi mlinganyo wa kutofautisha unaweza kuandikwa kama dF(x,y) = 0, ambayo ni sawa na mlinganyo F(x,y) = const. Kwa hivyo, mikondo ya suluhisho ya equation ni "mistari ya viwango vya mara kwa mara" vya chaguo la kukokotoa, au eneo la pointi zinazokidhi milinganyo. F(x,y) = c. Mlinganyo ydy = xdx(Mchoro 1) - na vigezo vinavyoweza kutenganishwa, na sawa - katika tofauti za jumla: ili kuhakikisha mwisho, tunaandika kwa fomu. ydy – xdx= 0, yaani. d(y 2 – x 2) = 0. Kazi F(x,y) katika kesi hii ni sawa na (1/2)( y 2 – x 2); Baadhi ya mistari yake ya kiwango cha mara kwa mara imeonyeshwa kwenye Mtini. 1.

Milinganyo ya mstari.

Equations za mstari ni hesabu za "shahada ya kwanza" - kazi isiyojulikana na derivatives yake huonekana katika hesabu kama hizo kwa kiwango cha kwanza. Kwa hivyo, equation ya tofauti ya mstari wa mpangilio ina fomu dy/dx + uk(x) = q(x), Wapi uk(x) Na q(x) - vitendaji vinavyotegemea tu x. Suluhisho lake linaweza kuandikwa kila wakati kwa kutumia viunga vya kazi zinazojulikana. Aina zingine nyingi za usawa wa mpangilio wa kwanza hutatuliwa kwa kutumia mbinu maalum.

Milinganyo ya mpangilio wa juu.

Milinganyo mingi tofauti ambayo wanafizikia hukutana nayo ni milinganyo ya mpangilio wa pili (yaani, milinganyo iliyo na viasili vya pili). Hiyo, kwa mfano, ni mlinganyo wa mwendo rahisi wa uelewano kutoka kwa mfano (3). md 2 x/dt 2 = –kx. Kwa ujumla, tunaweza kutarajia kwamba equation ya mpangilio wa pili ina masuluhisho ya sehemu ambayo yanakidhi masharti mawili; kwa mfano, mtu anaweza kuhitaji kwamba Curve ya suluhu ipite kwenye sehemu fulani katika mwelekeo fulani. Katika hali ambapo equation ya kutofautisha ina parameta fulani (nambari ambayo thamani yake inategemea hali), suluhisho za aina inayohitajika zipo tu kwa maadili fulani ya paramu hii. Kwa mfano, fikiria equation md 2 x/dt 2 = –kx na tutadai hilo y(0) = y(1) = 0. Kazi yє 0 ni dhahiri suluhisho, lakini ikiwa ni nambari kamili uk, i.e. k = m 2 n 2 uk 2, wapi n ni nambari kamili, lakini kwa ukweli tu katika kesi hii, kuna suluhisho zingine, ambazo ni: y= dhambi npx. Maadili ya parameta ambayo equation ina suluhisho maalum huitwa tabia au eigenvalues; wana jukumu muhimu katika kazi nyingi.

Mlinganyo wa mwendo rahisi wa harmonic ni mfano wa darasa muhimu la milinganyo, yaani milinganyo ya tofauti ya mstari na coefficients ya mara kwa mara. Mfano wa jumla zaidi (pia wa mpangilio wa pili) ni mlinganyo

Wapi a Na b- kwa kuzingatia mara kwa mara, f(x) ni kazi iliyotolewa. Equations kama hizo zinaweza kutatuliwa kwa njia mbalimbali, kwa mfano, kwa kutumia mabadiliko ya Laplace. Vile vile vinaweza kusemwa juu ya usawa wa mstari wa maagizo ya juu na coefficients ya mara kwa mara. Milinganyo ya mstari yenye coefficients tofauti pia ina jukumu muhimu.

Milinganyo ya tofauti isiyo ya mstari.

Milinganyo iliyo na chaguo za kukokotoa zisizojulikana na viambajengo vyake kwa mamlaka ya juu kuliko ya kwanza au kwa namna fulani changamano zaidi huitwa isiyo ya mstari. Katika miaka ya hivi karibuni wamevutia umakini unaoongezeka. Ukweli ni kwamba milinganyo ya kimwili kawaida huwa ya mstari kwa makadirio ya kwanza tu; Utafiti zaidi na sahihi zaidi, kama sheria, unahitaji matumizi ya hesabu zisizo za mstari. Kwa kuongeza, matatizo mengi ni yasiyo ya asili kwa asili. Kwa kuwa ufumbuzi wa equations zisizo za kawaida mara nyingi ni ngumu sana na ni vigumu kuwakilisha kwa fomula rahisi, sehemu kubwa ya nadharia ya kisasa inajitolea kwa uchambuzi wa ubora wa tabia zao, i.e. maendeleo ya mbinu zinazowezesha, bila kutatua equation, kusema jambo muhimu juu ya asili ya ufumbuzi kwa ujumla: kwa mfano, kwamba wote ni mdogo, au wana asili ya upimaji, au hutegemea kwa namna fulani. mgawo.

Ufumbuzi wa takriban wa milinganyo tofauti unaweza kupatikana kwa nambari, lakini hii inahitaji muda mwingi. Pamoja na ujio wa kompyuta za kasi, wakati huu ulipunguzwa sana, ambayo ilifungua uwezekano mpya wa ufumbuzi wa nambari za matatizo mengi ambayo hapo awali hayakuweza kukabiliana na ufumbuzi huo.

Nadharia za kuwepo.

Nadharia ya kuwepo ni nadharia inayosema kwamba, chini ya hali fulani, mlinganyo fulani wa tofauti una suluhisho. Kuna milinganyo tofauti ambayo haina suluhu au ina zaidi ya ilivyotarajiwa. Madhumuni ya nadharia ya kuwepo ni kutushawishi kwamba equation fulani ina suluhu, na mara nyingi hutuhakikishia kuwa ina suluhu moja la aina inayotakiwa. Kwa mfano, equation ambayo tayari tumekutana nayo dy/dx = –2y ina suluhisho moja linalopitia kila sehemu ya ndege ( x,y), na kwa kuwa tayari tumepata suluhisho moja kama hilo, kwa hivyo tumetatua equation hii kabisa. Kwa upande mwingine, equation ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 ina masuluhisho mengi. Miongoni mwao ni sawa y = 1, y= -1 na curves y= dhambi ( x + c) Suluhisho linaweza kuwa na makundi kadhaa ya mistari hii ya moja kwa moja na curves, kupita ndani ya kila mmoja katika maeneo ya kuwasiliana (Mchoro 2).

Milinganyo ya sehemu tofauti.

Mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha ni taarifa kuhusu derivative ya kazi isiyojulikana ya kigezo kimoja. Mlinganyo wa utofautishaji wa sehemu una utendaji wa vigeu viwili au zaidi na viambajengo vya chaguo hilo kwa heshima na angalau vigeu viwili tofauti.

Katika fizikia, mifano ya milinganyo kama hii ni mlinganyo wa Laplace

X, y) ndani ya duara ikiwa maadili u iliyoainishwa katika kila nukta ya mduara unaofunga. Kwa kuwa shida zilizo na tofauti zaidi ya moja katika fizikia ndio kanuni badala ya ubaguzi, ni rahisi kufikiria jinsi mada ya nadharia ya milinganyo ya sehemu ni kubwa.

Katika baadhi ya matatizo ya fizikia, haiwezekani kuanzisha uhusiano wa moja kwa moja kati ya kiasi kinachoelezea mchakato. Lakini inawezekana kupata usawa ulio na derivatives ya kazi zilizo chini ya utafiti. Hivi ndivyo milinganyo tofauti huibuka na hitaji la kuzitatua ili kupata kitendakazi kisichojulikana.

Makala hii inalenga kwa wale ambao wanakabiliwa na tatizo la kutatua equation tofauti ambayo kazi isiyojulikana ni kazi ya kutofautiana moja. Nadharia imeundwa kwa njia ambayo kwa ujuzi sifuri wa equations tofauti, unaweza kukabiliana na kazi yako.

Kila aina ya equation tofauti inahusishwa na njia ya ufumbuzi na maelezo ya kina na ufumbuzi wa mifano ya kawaida na matatizo. Unachohitajika kufanya ni kuamua aina ya mlinganyo wa kutofautisha wa shida yako, pata mfano sawa uliochanganuliwa na ufanye vitendo sawa.

Ili kusuluhisha milinganyo ya kutofautisha kwa mafanikio, utahitaji pia uwezo wa kupata seti za vizuia derivatives (viunganishi visivyojulikana) vya kazi mbalimbali. Ikiwa ni lazima, tunapendekeza urejelee sehemu hiyo.

Kwanza, tutazingatia aina za hesabu za kawaida za mpangilio wa kwanza ambazo zinaweza kutatuliwa kwa heshima na derivative, kisha tutaendelea kwa ODE za mpangilio wa pili, kisha tutakaa juu ya hesabu za hali ya juu na kumalizia na mifumo ya milinganyo tofauti.

Kumbuka kwamba ikiwa y ni kazi ya hoja x.

Agiza kwanza milinganyo tofauti.

Milinganyo rahisi zaidi ya kutofautisha ya mpangilio wa kwanza wa fomu.

Hebu tuandike mifano michache ya udhibiti huo wa mbali .

Milinganyo tofauti inaweza kutatuliwa kwa heshima na derivative kwa kugawanya pande zote mbili za usawa na f(x) . Katika hali hii, tunafika kwenye mlinganyo ambao utakuwa sawa na ule wa awali wa f(x) ≠ 0. Mifano ya ODE kama hizo ni .

Ikiwa kuna maadili ya hoja x ambapo kazi f(x) na g(x) hupotea kwa wakati mmoja, basi suluhu za ziada huonekana. Suluhisho za ziada kwa equation zilizopewa x ni kazi zozote zilizofafanuliwa kwa maadili haya ya hoja. Mifano ya milinganyo tofauti kama hii ni pamoja na:

Milinganyo tofauti ya mpangilio wa pili.

Milinganyo ya kutofautisha yenye usawa ya mpangilio wa pili na vipatanishi visivyobadilika.

LDE yenye coefficients ya mara kwa mara ni aina ya kawaida ya equation tofauti. Suluhisho lao sio ngumu sana. Kwanza, mizizi ya equation ya tabia hupatikana . Kwa tofauti p na q, kesi tatu zinawezekana: mizizi ya equation ya tabia inaweza kuwa halisi na tofauti, halisi na sanjari. au viunganishi changamano. Kulingana na maadili ya mizizi ya equation ya tabia, suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha imeandikwa kama , au , au kwa mtiririko huo.

Kwa mfano, fikiria mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa pili wenye usawa wenye usawa. Mizizi ya mlingano wake wa tabia ni k 1 = -3 na k 2 = 0. Mizizi ni ya kweli na tofauti, kwa hiyo, ufumbuzi wa jumla wa LODE na coefficients mara kwa mara ina fomu


Milinganyo ya kutofautisha ya mstari wa mpangilio wa pili na mgawo usiobadilika.

Suluhisho la jumla la mpangilio wa pili wa LDDE na mgawo wa mara kwa mara y hutafutwa kwa namna ya jumla ya suluhisho la jumla la LDDE inayolingana. na suluhu mahususi kwa mlinganyo wa asili usio na kihomogeneous, yaani,. Aya iliyotangulia imejitolea kutafuta suluhisho la jumla kwa usawa wa kutofautisha wa homogeneous na coefficients ya mara kwa mara. Na suluhisho fulani imedhamiriwa ama kwa njia ya mgawo usio na kipimo kwa aina fulani ya kazi f (x) upande wa kulia wa equation ya asili, au kwa njia ya kutofautiana kwa viwango vya kiholela.

Kama mifano ya LDDE za mpangilio wa pili na coefficients zisizobadilika, tunatoa


Ili kuelewa nadharia na kufahamiana na masuluhisho ya kina ya mifano, tunakupa kwenye ukurasa hesabu za tofauti za mpangilio wa pili zenye usawa na mgawo wa mara kwa mara.

Milinganyo ya kutofautisha yenye usawa (LODE) na milinganyo ya tofauti isiyo sawa (LNDE) ya mpangilio wa pili.

Kesi maalum ya milinganyo tofauti ya aina hii ni LODE na LDDE yenye coefficients ya mara kwa mara.

Suluhisho la jumla la LODE kwenye sehemu fulani inawakilishwa na mchanganyiko wa mstari wa masuluhisho mawili huru ya sehemu y 1 na y 2 ya mlinganyo huu, ambayo ni, .

Ugumu kuu upo katika kutafuta suluhu za sehemu huru kwa usawa wa aina hii. Kawaida, suluhisho maalum huchaguliwa kutoka kwa mifumo ifuatayo ya kazi huru za mstari:


Walakini, suluhisho maalum hazijawasilishwa kila wakati katika fomu hii.

Mfano wa LOD ni .

Suluhisho la jumla la LDDE hutafutwa katika fomu, ambapo ni suluhisho la jumla la LDDE inayolingana, na ni suluhisho maalum la equation ya awali ya tofauti. Tumezungumza tu juu ya kuipata, lakini inaweza kuamuliwa kwa kutumia njia ya kutofautiana kwa viwango vya kiholela.

Mfano wa LNDU unaweza kutolewa .

Milinganyo tofauti ya maagizo ya juu.

Milinganyo tofauti inayoruhusu kupunguzwa kwa mpangilio.

Utaratibu wa equation tofauti , ambayo haina kipengele cha kukokotoa unachotaka na viambajengo vyake hadi mpangilio wa k-1, inaweza kupunguzwa hadi n-k kwa kubadilisha .

Katika kesi hii, equation ya awali ya tofauti itapunguzwa hadi . Baada ya kupata suluhisho lake p (x), inabaki kurudi kwenye uingizwaji na kuamua kazi isiyojulikana y.

Kwa mfano, equation tofauti baada ya uingizwaji, itakuwa equation na vigezo vinavyoweza kutenganishwa, na utaratibu wake utapunguzwa kutoka tatu hadi ya kwanza.