Pembetatu ni poligoni ya awali iliyofungwa kwenye ndege na pointi tatu na sehemu tatu zinazounganisha pointi hizi kwa jozi. Pembe katika pembetatu ni papo hapo, butu na kulia. Jumla ya pembe katika pembetatu ni kuendelea na sawa na digrii 180.

Utahitaji

• Ujuzi wa kimsingi wa jiometri na trigonometry.

Maagizo

1. Wacha tuonyeshe urefu wa pande za pembetatu kama a=2, b=3, c=4, na pembe zake kama u, v, w, ambayo kila moja iko kinyume na moja ya pande. Kulingana na nadharia ya cosine, mraba wa urefu wa upande wa pembetatu ni sawa na jumla ya miraba ya urefu wa pande zingine 2 ukiondoa mara mbili ya bidhaa za pande hizi na cosine ya pembe kati yao. Hiyo ni, a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u). Wacha tubadilishe urefu wa pande kwenye usemi huu na tupate: 4 = 9 + 16 – 24cos(u).

2. Wacha tueleze cos(u) kutoka kwa usawa unaopatikana. Tunapata zifuatazo: cos(u) = 7/8. Ifuatayo tutapata pembe halisi u. Ili kufanya hivyo, hebu tuhesabu arccos (7/8). Hiyo ni, angle u = arccos (7/8).

3. Vile vile, kuelezea pande nyingine kwa suala la wengine, tunapata pembe zilizobaki.

Kumbuka!
Thamani ya pembe moja haiwezi kuzidi digrii 180. Alama ya arccos() haiwezi kuwa na nambari kubwa kuliko 1 na ndogo kuliko -1.

Ushauri wa manufaa
Ili kuchunguza pembe zote tatu, si lazima kueleza pande zote tatu, inaruhusiwa kuchunguza pembe 2 tu, na ya 3 inapatikana kwa kuondoa thamani ya 2 iliyobaki kutoka digrii 180. Hii inafuatia ukweli kwamba jumla ya pembe zote za pembetatu ni ya kuendelea na sawa na digrii 180.

Katika jiometri, pembe ni kielelezo kinachoundwa na miale miwili inayotoka kwa nukta moja (kipeo cha pembe). Pembe mara nyingi hupimwa kwa digrii, na pembe kamili, au mapinduzi, kuwa digrii 360. Unaweza kuhesabu pembe ya poligoni ikiwa unajua aina ya poligoni na ukubwa wa pembe zake nyingine au, katika kesi ya pembetatu ya kulia, urefu wa pande zake mbili.

Hatua

Kuhesabu Pembe za Polygon

Hesabu idadi ya pembe katika poligoni.

Tafuta jumla ya pembe zote za poligoni. Fomula ya kutafuta jumla ya pembe zote za ndani za poligoni ni (n - 2) x 180, ambapo n ni idadi ya pande na vile vile pembe za poligoni. Hapa kuna hesabu za pembe za poligoni zinazokutana kawaida:

• Jumla ya pembe za pembetatu (poligoni ya pande tatu) ni digrii 180.
• Jumla ya pembe za pembe nne (poligoni ya pande nne) ni digrii 360.
• Jumla ya pembe za pentagoni (poligoni yenye pande tano) ni digrii 540.
• Jumla ya pembe za hexagon (poligoni ya pande sita) ni digrii 720.
• Jumla ya pembe za oktagoni (poligoni yenye pande nane) ni digrii 1080.

1. Amua ikiwa poligoni ni ya kawaida. Poligoni ya kawaida ni ile ambayo pande zote na pembe zote ni sawa. Mifano ya poligoni za kawaida ni pamoja na pembetatu iliyo sawa na mraba, wakati Pentagon huko Washington imejengwa kwa umbo la pentagoni ya kawaida, na ishara ya kusimama ina umbo la oktagoni ya kawaida.

   Ongeza pembe zinazojulikana za poligoni, na kisha toa jumla hii kutoka kwa jumla ya pembe zake zote. Shida nyingi za jiometri za aina hii hushughulika na pembetatu au pembe nne, kwani zinahitaji data ndogo ya pembejeo, kwa hivyo tutafanya vivyo hivyo.

   • Ikiwa pembe mbili za pembetatu ni sawa na digrii 60 na digrii 80, kwa mtiririko huo, ongeza nambari hizi. Matokeo yake yatakuwa digrii 140. Kisha toa kiasi hiki kutoka kwa jumla ya pembe zote za pembetatu, yaani, kutoka digrii 180: 180 - 140 = 40 digrii. (Pembetatu ambayo pembe zake zote hazina usawa inaitwa equilateral.)
   • Unaweza kuandika suluhisho hili kama fomula a = 180 - (b + c), ambapo a ni pembe ambayo thamani yake inahitaji kupatikana, b na c ni maadili ya pembe zinazojulikana. Kwa poligoni zilizo na zaidi ya pande tatu, badilisha 180 na jumla ya pembe za poligoni ya aina hiyo na uongeze neno moja kwa jumla katika mabano kwa kila pembe inayojulikana.
   • Baadhi ya poligoni zina "hila" zao ambazo zitakusaidia kuhesabu pembe isiyojulikana. Kwa mfano, pembetatu ya isosceles ni pembetatu yenye pande mbili sawa na pembe mbili sawa. Sambamba ni quadrilateral ambayo pande zake kinyume na pembe kinyume ni sawa.

   Kuhesabu pembe za pembetatu ya kulia

   1. Amua ni data gani unayojua. Pembetatu ya kulia inaitwa hivyo kwa sababu moja ya pembe zake ni sawa. Unaweza kupata ukubwa wa mojawapo ya pembe mbili zilizobaki ikiwa unajua mojawapo ya yafuatayo:

      Bainisha ni kitendakazi kipi cha trigonometriki cha kutumia. Vitendaji vya trigonometric huonyesha uhusiano kati ya pande mbili kati ya tatu za pembetatu. Kuna kazi sita za trigonometric, lakini zinazotumiwa zaidi ni:

Katika maisha, mara nyingi tutalazimika kushughulika na shida za hesabu: shuleni, chuo kikuu, na kisha kumsaidia mtoto wetu na kazi za nyumbani. Watu katika taaluma fulani watakutana na hisabati kila siku. Kwa hivyo, ni muhimu kukariri au kukumbuka sheria za hisabati. Katika makala hii tutaangalia mmoja wao: kutafuta upande wa pembetatu sahihi.

Pembetatu ya kulia ni nini

Kwanza, hebu tukumbuke pembetatu sahihi ni nini. Pembetatu ya kulia ni takwimu ya kijiometri ya sehemu tatu zinazounganisha pointi ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa, na moja ya pembe za takwimu hii ni digrii 90. Pande zinazounda pembe ya kulia huitwa miguu, na upande ulio kinyume na pembe ya kulia huitwa hypotenuse.

Kutafuta mguu wa pembetatu ya kulia

Kuna njia kadhaa za kujua urefu wa mguu. Ningependa kuzizingatia kwa undani zaidi.

Nadharia ya Pythagorean kupata upande wa pembetatu ya kulia

Ikiwa tunajua hypotenuse na mguu, basi tunaweza kupata urefu wa mguu usiojulikana kwa kutumia theorem ya Pythagorean. Inasikika kama hii: "Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya miguu." Mfumo: c²=a²+b², ambapo c ni hypotenuse, a na b ni miguu. Tunabadilisha fomula na kupata: a²=c²-b².

Mfano. Hypotenuse ni sentimita 5, na mguu ni sentimita 3. Tunabadilisha fomula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ifuatayo tunatatua: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Uwiano wa trigonometric kupata mguu wa pembetatu ya kulia

Unaweza pia kupata mguu usiojulikana ikiwa upande mwingine wowote na pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia inajulikana. Kuna chaguzi nne za kutafuta mguu kwa kutumia kazi za trigonometric: sine, cosine, tangent, cotangent. Jedwali hapa chini litatusaidia kutatua matatizo. Hebu fikiria chaguzi hizi.

Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia sine

Sini ya pembe (dhambi) ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse. Mfumo: sin=a/c, ambapo a ni mguu kinyume na pembe iliyotolewa, na c ni hypotenuse. Ifuatayo, tunabadilisha fomula na kupata: a=sin*c.

Mfano. Hypotenuse ni 10 cm, angle A ni digrii 30. Kutumia meza, tunahesabu sine ya angle A, ni sawa na 1/2. Kisha, kwa kutumia fomula iliyobadilishwa, tunatatua: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cosine

Cosine ya pembe (cos) ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse. Mfumo: cos=b/c, ambapo b ni mguu ulio karibu na pembe fulani, na c ni hypotenuse. Wacha tubadilishe fomula na tupate: b=cos*c.

Mfano. Angle A ni sawa na digrii 60, hypotenuse ni sawa na cm 10. Kutumia meza, tunahesabu cosine ya angle A, ni sawa na 1/2. Ifuatayo tunatatua: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia tangent

Tangenti ya pembe (tg) ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu. Fomula: tg=a/b, ambapo a ni upande ulio kinyume na pembe, na b ni upande wa karibu. Wacha tubadilishe fomula na tupate: a=tg*b.

Mfano. Angle A ni sawa na digrii 45, hypotenuse ni sawa na cm 10. Kutumia meza, tunahesabu tangent ya angle A, ni sawa na Tatua: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cotangent

Angle cotangent (ctg) ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume. Mfumo: ctg=b/a, ambapo b ni mguu ulio karibu na pembe, na ni mguu wa kinyume. Kwa maneno mengine, kotangenti ni "tangent iliyogeuzwa." Tunapata: b=ctg*a.

Mfano. Angle A ni digrii 30, mguu wa kinyume ni cm 5. Kulingana na meza, tangent ya angle A ni √3. Tunakokotoa: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Kwa hiyo sasa unajua jinsi ya kupata mguu katika pembetatu ya kulia. Kama unaweza kuona, sio ngumu sana, jambo kuu ni kukumbuka kanuni.

Katika jiometri mara nyingi kuna matatizo yanayohusiana na pande za pembetatu. Kwa mfano, mara nyingi ni muhimu kupata upande wa pembetatu ikiwa wengine wawili wanajulikana.

Pembetatu ni isosceles, usawa na usawa. Kutoka kwa aina zote, kwa mfano wa kwanza tutachagua moja ya mstatili (katika pembetatu hiyo, moja ya pembe ni 90 °, pande zilizo karibu nayo huitwa miguu, na ya tatu ni hypotenuse).

Urambazaji wa haraka kupitia makala

Urefu wa pande za pembetatu ya kulia

Suluhisho la tatizo linafuata kutoka kwa nadharia ya mwanahisabati mkuu Pythagoras. Inasema kwamba jumla ya miraba ya miguu ya pembetatu ya kulia ni sawa na mraba wa hypotenuse yake: a²+b²=c²

• Pata mraba wa urefu wa mguu a;
• Pata mraba wa mguu b;
• Tunawaweka pamoja;
• Kutoka kwa matokeo yaliyopatikana tunatoa mzizi wa pili.

Mfano: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Hiyo ni, urefu wa hypotenuse ya pembetatu hii ni 5.

Ikiwa pembetatu haina pembe ya kulia, basi urefu wa pande mbili haitoshi. Kwa hili, parameter ya tatu inahitajika: hii inaweza kuwa angle, urefu wa pembetatu, radius ya mduara iliyoandikwa ndani yake, nk.

Ikiwa mzunguko unajulikana

Katika kesi hii, kazi ni rahisi zaidi. Mzunguko (P) ni jumla ya pande zote za pembetatu: P=a+b+c. Kwa hivyo, kwa kutatua equation rahisi ya hisabati tunapata matokeo.

Mfano: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Tunatatua equation kwa kusonga vigezo vyote vinavyojulikana kwa upande mmoja wa ishara sawa:

2) Badilisha maadili badala yao na uhesabu upande wa tatu:

c=18-7-6=5, jumla: upande wa tatu wa pembetatu ni 5.

Ikiwa pembe inajulikana

Ili kuhesabu upande wa tatu wa pembetatu iliyopewa pembe na pande zingine mbili, suluhisho linakuja kwa kuhesabu mlinganyo wa trigonometric. Kujua uhusiano kati ya pande za pembetatu na sine ya pembe, ni rahisi kuhesabu upande wa tatu. Kwa kufanya hivyo, unahitaji mraba pande zote mbili na kuongeza matokeo yao pamoja. Kisha toa kutoka kwa bidhaa inayotokana bidhaa ya pande iliyozidishwa na kosine ya pembe: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Ikiwa eneo hilo linajulikana

Katika kesi hii, formula moja haitafanya.

1) Kwanza, hesabu dhambi γ, ukielezea kutoka kwa fomula ya eneo la pembetatu:

dhambi γ= 2S/(a*b)

2) Kwa kutumia formula ifuatayo, tunahesabu cosine ya pembe sawa:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Na tena tunatumia nadharia ya sines:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Kubadilisha maadili ya anuwai kwenye equation hii, tunapata jibu la shida.

Urefu wa pande (a, b, c) hujulikana, tumia theorem ya cosine. Inasema kwamba mraba wa urefu wa pande zote mbili ni sawa na jumla ya miraba ya urefu wa nyingine mbili, ambayo mara mbili bidhaa ya urefu wa pande mbili sawa na cosine ya pembe kati yao. imetolewa. Unaweza kutumia nadharia hii kuhesabu pembe katika wima yoyote; ni muhimu kujua tu eneo lake linalohusiana na pande. Kwa mfano, ili kupata pembe α ambayo iko kati ya pande b na c, nadharia lazima iandikwe kama ifuatavyo: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Onyesha kosine ya pembe inayotaka kutoka kwa fomula: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). Kwa pande zote mbili za usawa, tumia kitendakazi kinyume cha cosine - arc cosine. Inakuruhusu kurejesha pembe kwa digrii kwa kutumia thamani ya cosine: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Upande wa kushoto unaweza kurahisishwa na hesabu ya pembe kati ya pande b na c itachukua fomu ya mwisho: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

Wakati wa kupata maadili ya pembe za papo hapo kwenye pembetatu ya kulia, sio lazima kujua urefu wa pande zote, mbili kati yao zinatosha. Ikiwa pande hizi mbili ni miguu (a na b), gawanya urefu wa moja kinyume na pembe inayotaka (α) kwa urefu wa nyingine. Kwa njia hii utapata thamani ya tangent ya pembe inayotaka tg(α) = a/b, na kwa kutumia kazi ya kinyume - arctangent - kwa pande zote mbili za usawa na kurahisisha upande wa kushoto, kama katika hatua ya awali, pata fomula ya mwisho: α = arctan(a/b ).

Ikiwa pande zinazojulikana ni mguu (a) na hypotenuse (c), kuhesabu angle (β) iliyoundwa na pande hizi, tumia kazi ya cosine na inverse yake - arc cosine. Cosine imedhamiriwa na uwiano wa urefu wa mguu kwa hypotenuse, na formula katika fomu yake ya mwisho inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: β = arccos(a/c). Ili kuhesabu kutoka kwa pembe ya awali ya papo hapo (α) iliyolala kinyume na mguu unaojulikana, tumia uhusiano sawa, ukibadilisha arccosine na arcsine: α = arcsin(a/c).

Vyanzo:

• fomula ya pembetatu yenye pande 2

Kidokezo cha 2: Jinsi ya kupata pembe za pembetatu kwa urefu wa pande zake

Kuna chaguzi kadhaa za kupata maadili ya pembe zote kwenye pembetatu ikiwa urefu wa tatu wake unajulikana vyama. Njia moja ni kutumia fomula mbili tofauti za kukokotoa eneo pembetatu. Ili kurahisisha hesabu, unaweza pia kutumia nadharia ya sine na jumla ya nadharia ya pembe. pembetatu.

Maagizo

Tumia, kwa mfano, fomula mbili za kuhesabu eneo pembetatu, moja ambayo inahusisha tatu tu ya yake inayojulikana vyama s (Heron), na kwa nyingine - mbili vyama s na sine ya pembe kati yao. Kutumia jozi tofauti katika fomula ya pili vyama, unaweza kuamua ukubwa wa kila pembe pembetatu.

Tatua tatizo kwa fomu ya jumla. Fomula ya Heron huamua eneo pembetatu, kama mzizi wa mraba wa bidhaa ya eneo la nusu (nusu ya yote vyama) kwenye tofauti kati ya nusu mzunguko na kila moja ya vyama. Ikiwa tutabadilisha na jumla vyama, basi fomula inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C nyingine vyama s eneo pembetatu inaweza kuonyeshwa kama nusu ya bidhaa zake mbili vyama kwa sine ya pembe kati yao. Kwa mfano, kwa vyama a na b yenye pembe γ kati yao, fomula hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: S=a∗b∗sin(γ). Badilisha upande wa kushoto wa usawa na fomula ya Heron: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Pata kutoka kwa usawa huu fomula ya