ndogo Kwa kuwa na saizi ya herufi:14.0pt">~ (tazama), basi ~ .

Kwa kuzingatia hii, tunapata:

Hii inamaanisha kuwa mfululizo unatofautiana.

D) ukubwa wa fonti:14.0pt">,

kwa hivyo, mfululizo unatofautiana.

Hali ni lazima, Lakini haitoshi hali ya muunganisho wa safu: kuna safu nyingi ambazo kwa ajili yake, lakini ambayo hata hivyo hutofautiana.

Mfano 3. Chunguza muunganiko wa safu ya ukubwa wa fonti:14.0pt"> Suluhisho. taarifa, hiyo https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , yaani, hali muhimu ya muunganisho imeridhika. Kiasi cha sehemu

kushoto">

- mara moja

kwa hiyo font-size:14.0pt">, ambayo ina maana kwamba mfululizo hutofautiana kwa ufafanuzi.

Ishara za kutosha za muunganisho wa mfululizo chanya

Hebu . Kisha mfululizosaizi ya fonti:14.0pt"> Ishara ya kulinganisha

Hebu na ni mfululizo wa ishara chanya. Ikiwa ukosefu wa usawa umeridhika kwa wote, basi kutoka kwa muunganisho wa safu hufuata muunganisho wa safu, na kutoka kwa utofauti wa safu https://pandia.ru/text/79/302/images/image074_19.gif" upana = "55" height="60">.

Ishara hii itasalia kutumika ikiwa ukosefu wa usawa https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, lakini kuanzia nambari fulani pekee. ifasiriwe kama ifuatavyo: ikiwa safu kubwa itachanganyika, basi ile ndogo zaidi huchanganyika zaidi; ikiwa safu ndogo hutofautiana, basi kubwa pia hutofautiana.

Mfano 4. Chunguza muunganiko wa mfululizo wa 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Suluhisho.

A) Kumbuka kwamba ukubwa wa fonti:14.0pt"> kwa wote . Mfululizo na mwanachama wa kawaida

B) Linganisha safu mlalo na safu mlalo ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> hutofautiana, ambayo ina maana kwamba mfululizo huu pia hutofautiana.

Licha ya unyenyekevu wa uundaji wa kigezo cha kulinganisha, katika mazoezi theorem ifuatayo, ambayo ni corollary yake, ni rahisi zaidi.

Kikomo cha kulinganisha

Hebu https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - mfululizo wa ishara chanya. Ikiwa kuna yenye mwisho Na si sawa na sifuri kikomo, kisha mfululizo na

kuungana kwa wakati mmoja au kuachana kwa wakati mmoja.

Msururu unaotumika kulinganisha na data mara nyingi huchaguliwa kama mfululizo wa fomu . Mfululizo kama huo unaitwa karibu na Dirichlet. Katika mifano 3 na 4 ilionyeshwa kuwa mfululizo wa Dirichlet na na hutofautiana. Inawezekana kwa sasa

Kumbuka kuwa safu mlalo ni saizi ya fonti:14.0pt"> .

Ikiwa, basi mfululizo kuitwa harmonic. Mfululizo wa harmonic hutofautiana.

Mfano 5. Chunguza mfululizo kwa muunganikokwa kutumia kigezo cha kulinganisha kikomo, ikiwa

Suluhisho. a) Kwa kuwa kwa ukubwa wa kutosha https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, na

~ basi ~ font-size:14.0pt">ulinganisho na mfululizo wa sauti uliotolewa font-size:14.0pt">, yaani .

font-size:14.0pt"> Kwa kuwa kikomo ni cha mwisho na si sifuri na mfululizo wa sauti hutofautiana, mfululizo huu pia hutofautiana.

B) Kwa ukubwa wa kutosha https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – mwanachama mkuu wa mfululizo ambao tutalinganisha huu naye:

Ukubwa wa herufi:14.0pt">Msururu huungana ( Mfululizo wa Dirichlet na saizi ya herufi:16.0pt">), kwa hivyo mfululizo huu pia huungana.

NDANI) , kwa hivyo isiyo na kikomo font-size:14.0pt"> inawezekana

badilisha na thamani inayolingana nayo(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> with font-size: 20.0pt">). ;

;

;

G)

;

.

Kiasi kama hicho huitwa safu zisizo na mwisho, na masharti yao ni wanachama wa mfululizo. (Dubu ina maana kwamba idadi ya istilahi haina kikomo.) Suluhisho la matatizo changamano ya hisabati ni nadra sana kuwakilishwa katika umbo sahihi kwa kutumia fomula. Walakini, katika hali nyingi suluhisho hizi zinaweza kuandikwa kama safu. Mara tu suluhisho kama hilo linapatikana, njia za nadharia ya mfululizo hufanya iwezekanavyo kukadiria ni maneno ngapi ya safu ambayo yanahitajika kuchukuliwa kwa mahesabu maalum au jinsi ya kuandika jibu kwa fomu inayofaa zaidi. Pamoja na mfululizo wa nambari, tunaweza kuzingatia kinachojulikana. mfululizo wa kazi, masharti ambayo ni kazi. Vitendaji vingi vinaweza kuwakilishwa kwa kutumia mfululizo wa chaguo za kukokotoa. Utafiti wa mfululizo wa nambari na kazi ni sehemu muhimu ya uchambuzi wa hisabati.

Katika mifano (1) na (2) ni rahisi kukisia ni maneno gani yanayofuatana ya sheria huundwa. Sheria ya malezi ya washiriki wa safu inaweza kuwa wazi sana. Kwa mfano, kwa mfululizo (3) itakuwa wazi ikiwa mfululizo huu umeandikwa katika fomu ifuatayo:

Mfululizo unaozunguka.

Kwa kuwa kuongezwa kwa idadi isiyo na kikomo ya maneno ya mfululizo haiwezekani kimwili, ni muhimu kuamua ni nini hasa inapaswa kueleweka. jumla ya mfululizo usio na kikomo. Mtu anaweza kufikiria kuwa shughuli hizi za kuongeza na kutoa zinafanywa kwa mlolongo, moja baada ya nyingine, kwa mfano, kwenye kompyuta. Ikiwa hesabu zinazotokana (kiasi cha hesabu) zinakuja karibu na karibu na nambari fulani, basi nambari hii inaweza kuitwa jumla ya mfululizo usio na kipimo. Kwa hivyo, jumla ya mfululizo usio na kikomo inaweza kufafanuliwa kama kikomo cha mlolongo wa kiasi cha kiasi. Kwa kuongezea, safu kama hiyo inaitwa convergent.

Sio ngumu kupata jumla ya safu (3) ikiwa utagundua kuwa safu iliyobadilishwa (4) inaweza kuandikwa kwa fomu.

Jumla ya sehemu zinazofuatana za mfululizo (5) ni sawa

na kadhalika.; unaweza kugundua kuwa hesabu kiasi huwa 1. Kwa hivyo, mfululizo huu huungana na jumla yake ni sawa na 1.

Kama mfano wa mfululizo usio na kikomo, zingatia sehemu za desimali zisizo na kikomo. Kwa hivyo, 0.353535... ni sehemu ya desimali isiyo na kipimo, ambayo ni njia fupi ya kuandika mfululizo.

Sheria ya uundaji wa maneno yanayofuatana iko wazi hapa. Kadhalika, 3.14159265... maana yake

lakini sheria ya malezi ya washiriki wanaofuata wa safu sio dhahiri hapa: nambari huunda upanuzi wa nambari ya nambari. uk, na ni vigumu kusema mara moja ni nini, kwa mfano, takwimu ya 100,000 ni, ingawa kinadharia takwimu hii inaweza kuhesabiwa.

Safu zinazotofautiana.

Msururu usio na kikomo ambao hauungani unasemekana kutofautiana (msururu kama huo unaitwa tofauti) Kwa mfano, mfululizo

hutofautiana, kwa kuwa kiasi chake cha jumla ni sawa na 1/2, 1, 1 1/2, 2,.... Hesabu hizi hazielekei nambari yoyote kama kikomo, kwani kwa kuchukua masharti ya kutosha ya mfululizo tunaweza kufanya kiasi kikubwa kama unavyopenda. Safu

pia hutofautiana, lakini kwa sababu tofauti: hesabu za sehemu za safu hii zigeukia kwa 1 na kisha hadi 0 na hazielekei kikomo.

Muhtasari.

Kupata jumla ya mfululizo wa muunganisho (kwa usahihi fulani) kwa muhtasari wa masharti yake, ingawa kinadharia inawezekana, ni vigumu kutekeleza. Kwa mfano, mfululizo

huungana, na jumla yake, sahihi kwa maeneo kumi ya decimal, ni 1.6449340668, lakini ili kuihesabu kwa usahihi huu, itakuwa muhimu kuchukua takriban. 20 bilioni wanachama. Mfululizo kama huo kawaida hufupishwa, mwanzoni hubadilisha kwa kutumia mbinu anuwai. Katika kesi hii, njia za algebraic au computational hutumiwa; kwa mfano, inaweza kuonyeshwa kuwa jumla ya mfululizo (8) ni sawa na uk 2 /6.

Nukuu.

Unapofanya kazi na mfululizo usio na kikomo, ni muhimu kuwa na nukuu rahisi. Kwa mfano, jumla ya mwisho ya mfululizo (8) inaweza kuandikwa kama

Ingizo hili linaonyesha kuwa n imewekwa kwa mpangilio kuwa 1, 2, 3, 4 na 5, na matokeo yanaongezwa:

Vile vile, mfululizo (4) unaweza kuandikwa katika fomu

ambapo ishara Ґ inaonyesha kwamba tunashughulika na mfululizo usio na kikomo, na si kwa sehemu yake isiyo na kikomo. Ishara S (sigma) inaitwa ishara ya jumla.

Maendeleo ya kijiometri usio na kipimo.

Tuliweza kujumlisha mfululizo (4) kwa sababu kulikuwa na fomula rahisi ya kiasi chake cha jumla. Vile vile, unaweza kupata jumla ya mfululizo (2), au kwa fomu ya jumla,

Kama r inachukua maadili kati ya -1 na 1. Katika kesi hii, jumla ya mfululizo (9) ni sawa na 1/(1 - r); kwa maadili mengine r safu (9) hutofautiana.

Unaweza kufikiria desimali za mara kwa mara kama 0.353535... kama njia nyingine ya kuandika mwendelezo usio na kipimo wa kijiometri.

Usemi huu unaweza pia kuandikwa kwa fomu

ambapo kwenye mabano kuna safu mlalo (9) na r= 0.01; kwa hivyo, jumla ya mfululizo (10) ni sawa na

Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kuwakilisha sehemu yoyote ya decimal ya upimaji kama sehemu ya kawaida.

Ishara za muunganisho.

Katika hali ya jumla, hakuna fomula rahisi ya kiasi cha kiasi cha mfululizo usio na kikomo, kwa hivyo mbinu maalum hutumiwa kuanzisha muunganisho au tofauti ya mfululizo. Kwa mfano, ikiwa masharti yote ya mfululizo ni chanya, basi inaweza kuonyeshwa kuwa mfululizo hukutana ikiwa kila neno si kubwa kuliko neno linalolingana la mfululizo mwingine unaojulikana kuungana. Katika nukuu iliyokubaliwa hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: ikiwa nі 0 na huungana, kisha hubadilika ikiwa 0 Ј b n Ј n. Kwa mfano, tangu mfululizo (4) hukutana na

basi tunaweza kuhitimisha kwamba mfululizo (8) pia hukutana. Ulinganisho ndio njia kuu inayoruhusu mtu kuanzisha muunganiko wa safu nyingi kwa kuzilinganisha na safu rahisi zaidi za muunganisho. Wakati mwingine majaribio maalum zaidi ya muunganisho hutumiwa (yanaweza kupatikana katika fasihi juu ya nadharia ya mfululizo.) Hebu tutoe mifano michache zaidi ya mfululizo wa muunganiko wenye maneno chanya:

Ulinganisho pia unaweza kutumika kubainisha tofauti za mfululizo. Ikiwa mfululizo unatofautiana, basi mfululizo pia hutofautiana ikiwa 0 Ј b n Ј n.

Mifano ya mfululizo tofauti ni mfululizo

na, hasa, kwa sababu mfululizo wa harmonic

Tofauti za mfululizo huu zinaweza kuthibitishwa kwa kukokotoa kiasi kifuatacho:

na kadhalika. Kwa hivyo, hesabu za sehemu zinazoishia na masharti 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, И huzidi hesabu za sehemu za safu tofauti (6), na kwa hivyo safu (14) lazima zitofautiane.

Muunganiko kamili na wa masharti.

Kwa safu kama

njia ya kulinganisha haitumiki kwani masharti ya mfululizo huu yana ishara tofauti. Ikiwa masharti yote ya mfululizo (15) yalikuwa chanya, basi tungepata mfululizo (3), ambao unajulikana kuungana. Inaweza kuonyeshwa kuwa hii pia inamaanisha muunganisho wa safu (15). Wakati kwa kubadilisha ishara za maneno hasi ya safu hadi kinyume inaweza kugeuzwa kuwa muunganisho, safu asili inasemekana kuwa. huungana kabisa.

Mfululizo wa harmonic unaobadilishana (1) hauunganishi kabisa, kwa sababu mfululizo (14), unaojumuisha sawa, lakini maneno mazuri tu, hauunganishi. Walakini, kwa kutumia vipimo maalum vya muunganisho kwa safu zinazobadilishana, inawezekana kuonyesha kwamba mfululizo (1) unaungana. Mfululizo wa kuunganika ambao hauunganishi kabisa unaitwa kuunganika kwa masharti.

Uendeshaji na safu.

Kulingana na ufafanuzi wa safu ya muunganisho, ni rahisi kuonyesha kuwa muunganisho wake hautakatizwa kwa kufuta au kuongeza idadi maalum ya maneno kwake, na pia kwa kuzidisha au kugawa masharti yote ya safu kwa nambari sawa ( kwa kweli, mgawanyiko na 0 haujatengwa). Kwa upangaji upya wowote wa masharti ya mfululizo unaolingana kabisa, muunganisho wake haujakiukwa na jumla haibadilika. Kwa mfano, kwa kuwa jumla ya mfululizo (2) ni 1, jumla ya mfululizo

pia ni sawa na 1, kwa kuwa mfululizo huu unapatikana kutoka kwa mfululizo (2) kwa kupanga upya masharti ya jirani (muhula wa 1 na muhula wa 2, nk). Unaweza kubadilisha mpangilio wa masharti ya mfululizo unaolingana kabisa upendavyo, mradi tu mfululizo mpya una masharti yote ya ule wa asili. Kwa upande mwingine, kupanga upya masharti ya mfululizo wa kuunganika kwa masharti kunaweza kubadilisha jumla yake na hata kuufanya kuwa tofauti. Zaidi ya hayo, masharti ya mfululizo wa muunganiko wa masharti yanaweza kupangwa upya kila wakati ili yaunganishe kwa jumla yoyote iliyoamuliwa mapema.

Mfululizo mbili za muunganisho wa S n na S b n inaweza kuongezwa (au kupunguzwa) muda baada ya muda, ili jumla ya mfululizo mpya (ambao pia huungana) ni jumla ya jumla ya mfululizo wa awali, katika nukuu yetu.

Chini ya hali ya ziada, kwa mfano, ikiwa safu zote mbili zinaunganika kabisa, zinaweza kuzidishwa kwa kila mmoja, kama inavyofanywa kwa hesabu za mwisho, na safu mbili zinazosababisha ( tazama hapa chini) itaungana kwa bidhaa ya jumla ya mfululizo asili.

Muhtasari.

Licha ya ukweli kwamba ufafanuzi wa muunganisho wa mfululizo usio na kipimo ambao tumepitisha unaonekana wa asili, sio pekee unaowezekana. Jumla ya mfululizo usio na kikomo inaweza kuamua kwa njia nyingine. Fikiria, kwa mfano, mfululizo (7), ambayo inaweza kuandikwa compactly katika fomu

Kama tulivyokwisha sema, hesabu zake kidogo hubadilishana kati ya 1 na 0, na kwa hivyo safu haziungani. Lakini ikiwa kwa njia mbadala tutaunda wastani wa jozi wa hesabu zake za sehemu (wastani wa sasa), i.e. Wacha kwanza tuhesabu wastani wa hesabu za kwanza na za pili, kisha wastani wa pili na ya tatu, ya tatu na ya nne, nk, kisha kila wastani kama huo utakuwa sawa na 1/2, na kwa hivyo kikomo cha wastani wa jozi itakuwa. pia kuwa sawa na 1/2. Katika kesi hii, tunasema kwamba mfululizo unafupishwa kwa kutumia njia iliyoonyeshwa na jumla yake ni sawa na 1/2. Mbinu nyingi za muhtasari zimependekezwa ambazo hurahisisha kugawa hesabu kwa madarasa makubwa kabisa ya safu tofauti na kwa hivyo kutumia safu zingine tofauti katika hesabu. Kwa madhumuni mengi, njia ya muhtasari ni muhimu, hata hivyo, ikiwa tu, inapotumika kwa safu ya kuunganika, inatoa jumla yake ya mwisho.

Mfululizo wenye masharti magumu.

Hadi sasa tumechukulia kimyakimya kuwa tunashughulikia nambari halisi pekee, lakini ufafanuzi na nadharia zote zinatumika kwa mfululizo wenye nambari changamano (isipokuwa kwamba hesabu zinazoweza kupatikana kwa kupanga upya masharti ya mfululizo unaounganika kwa masharti haziwezi kuchukua maadili kiholela).

Mfululizo wa utendaji.

Kama tulivyoona tayari, washiriki wa safu isiyo na kipimo wanaweza kuwa sio nambari tu, bali pia kazi, kwa mfano,

Jumla ya mfululizo kama huu pia ni kazi, thamani ambayo katika kila nukta hupatikana kama kikomo cha hesabu za sehemu zilizohesabiwa katika hatua hii. Katika Mtini. 1 inaonyesha grafu za kiasi kadhaa cha kiasi na jumla ya mfululizo (pamoja na x, tofauti kutoka 0 hadi 1); s n(x) maana yake ni jumla ya ya kwanza n wanachama. Jumla ya mfululizo ni kazi sawa na 1 kwa 0 Ј x x = 1. Mfululizo wa utendaji unaweza kuunganishwa kwa thamani sawa x na kutawanyika mbele ya wengine; katika mfano tuliozingatia, mfululizo unaungana saa -1Ј x x.

Jumla ya mfululizo wa kazi inaweza kueleweka kwa njia tofauti. Katika hali zingine, ni muhimu zaidi kujua kuwa hesabu za sehemu ziko karibu (kwa maana moja au nyingine) kwa kazi fulani kwa muda wote ( a, b), kuliko kuthibitisha muunganiko au mgawanyiko wa safu katika sehemu za kibinafsi. Kwa mfano, kuashiria kiasi cha sehemu n th ili kupitia s n(x), tunasema kwamba mfululizo huungana katika wastani wa mraba hadi jumla s(x), Kama

Msururu unaweza kuungana katika wastani wa mraba hata kama hauungani katika sehemu moja. Pia kuna ufafanuzi mwingine wa muunganisho wa safu ya utendaji.

Baadhi ya mfululizo wa utendakazi hupewa jina baada ya vitendaji vinavyojumuisha. Kama mfano, tunaweza kutoa mfululizo wa nguvu na hesabu zao:

Ya kwanza ya mfululizo huu hukutana kwa wote x. Mfululizo wa pili unaungana katika | x| r x r x| Ј 1 ikiwa r> 0 (isipokuwa kwa kesi hizo wakati r- nambari kamili isiyo hasi; katika kesi ya mwisho mfululizo unaisha baada ya idadi ya masharti). Mfumo (17) unaitwa upanuzi wa binomial kwa shahada ya kiholela.

Mfululizo wa Dirichlet.

Mfululizo wa Dirichlet ni safu ya kazi ya fomu S (1/ n x), ambapo nambari n kuongezeka kwa muda usiojulikana; mfano wa mfululizo wa Dirichlet ni kazi ya Riemann zeta

Mfululizo wa Dirichlet hutumiwa mara nyingi katika nadharia ya nambari.

Mfululizo wa Trigonometric.

Hili ndilo jina linalopewa mfululizo wa utendaji unaojumuisha vipengele vya trigonometric; mfululizo wa trigonometric wa aina maalum inayotumiwa katika uchanganuzi wa harmonic huitwa mfululizo wa Fourier. Mfano wa mfululizo wa Fourier ni mfululizo

F ( x), ambayo ina mali ifuatayo: ikiwa tutachukua jumla maalum ya sehemu ya mfululizo (18), kwa mfano, jumla ya maneno yake matatu ya kwanza, basi tofauti kati ya f(x) na kiasi hiki cha jumla kikokotolewa kwa thamani fulani x, itakuwa ndogo kwa maadili yote x karibu 0. Kwa maneno mengine, ingawa hatuwezi kufikia ukadiriaji mzuri wa chaguo la kukokotoa f(x) katika hatua yoyote maalum x, mbali na sifuri, hata kuchukua masharti mengi sana ya mfululizo, lakini kwa x, karibu na 0, ni masharti yake machache tu ambayo hutoa makadirio yake mazuri. Mfululizo kama huo huitwa bila dalili. Katika hesabu za nambari, mfululizo wa asymptotic kawaida ni muhimu zaidi kuliko mfululizo wa muunganisho kwa sababu hutoa ukadiriaji mzuri na idadi ndogo ya masharti. Mfululizo wa Asymptotic hutumiwa sana katika nadharia ya uwezekano na fizikia ya hisabati.

Safu mbili.

Wakati mwingine lazima ujumuishe safu za nambari mbili-dimensional

Tunaweza kujumlisha safu kwa safu na kisha kuongeza hesabu za safu. Kwa ujumla, hatuna sababu mahususi ya kupendelea safu mlalo juu ya safu wima, lakini ikiwa muhtasari utafanywa kwenye safu wima kwanza, matokeo yanaweza kuwa tofauti. Kwa mfano, fikiria safu mbili

Hapa kila safu hubadilika kuwa jumla sawa na 0, na jumla ya safu mlalo pia ni sifuri. Kwa upande mwingine, jumla ya maneno katika safu wima ya kwanza ni 1, na safu wima zingine zote ni 0, kwa hivyo jumla ya hesabu za safu ni 1. Mfululizo "rahisi" wa safu mbili pekee unaofanana kabisa ni mfululizo wa mara mbili: wanaweza. ijumuishwe katika safu mlalo au safu wima, na vile vile kwa njia nyingine yoyote, na kiasi kila mara hugeuka kuwa sawa. Hakuna ufafanuzi wa asili wa muunganisho wa masharti wa safu mbili.

Ufafanuzi wa kimsingi.

Ufafanuzi. Jumla ya masharti ya mlolongo usio na kikomo wa nambari inaitwa mfululizo wa nambari.

Wakati huo huo, nambari
tutawaita wanachama wa mfululizo, na u n- mwanachama wa kawaida wa mfululizo.

Ufafanuzi. Kiasi
,n = 1, 2, … zinaitwa kiasi cha faragha (sehemu). safu.

Kwa hivyo, inawezekana kuzingatia mlolongo wa kiasi cha sehemu ya mfululizo S 1 , S 2 , …, S n , …

Ufafanuzi. Safu
kuitwa kuungana, ikiwa mlolongo wa kiasi chake cha jumla huchanganyika. Jumla ya mfululizo wa muunganisho ni kikomo cha mlolongo wa kiasi chake cha kiasi.

Ufafanuzi. Ikiwa mlolongo wa kiasi cha sehemu ya mfululizo hutofautiana, i.e. haina kikomo, au ina kikomo kisicho na mwisho, basi mfululizo unaitwa tofauti na hakuna kiasi kinachotolewa kwake.

Tabia za safu.

1) Muunganiko au mgawanyiko wa mfululizo hautakiukwa ukibadilisha, kutupa au kuongeza idadi maalum ya masharti ya mfululizo.

2) Fikiria safu mbili
Na
, ambapo C ni nambari isiyobadilika.

Nadharia. Ikiwa safu
huungana na jumla yake ni sawaS, kisha mfululizo
pia huungana, na jumla yake ni sawa na CS. (C  0)

3) Fikiria safu mbili
Na
.Kiasi au tofauti ya mfululizo huu itaitwa mfululizo
, ambapo vipengele vinapatikana kwa kuongeza (kuondoa) vipengele vya awali na namba sawa.

Nadharia. Ikiwa safu
Na
kuungana na jumla yao ni sawa kwa mtiririko huoSNa , kisha mfululizo
pia huungana na jumla yake ni sawaS +  .

Tofauti ya misururu miwili ya muunganisho pia itakuwa mfululizo wa muunganisho.

Jumla ya mfululizo wa muunganisho na tofauti ni mfululizo tofauti.

Haiwezekani kutoa tamko la jumla juu ya jumla ya safu mbili tofauti.

Wakati wa kusoma mfululizo, wanasuluhisha shida mbili: kusoma muunganisho na kupata jumla ya safu.

Kigezo cha Cauchy.

(masharti muhimu na ya kutosha kwa muunganisho wa safu)

Ili kwa mlolongo
ilikuwa inaungana, ni muhimu na inatosha kwa yoyote
kulikuwa na idadi kama hiyoN, hapon > Nna yoyoteuk> 0, ambapo p ni nambari kamili, ukosefu wa usawa ufuatao unaweza kushikilia:

.

Ushahidi. (umuhimu)

Hebu
, basi kwa nambari yoyote
kuna nambari N kiasi kwamba ukosefu wa usawa

inatimia wakati n>N. Kwa n>N na nambari yoyote p>0 ukosefu wa usawa pia unashikilia
. Kwa kuzingatia usawa wote wawili, tunapata:

Haja imethibitishwa. Hatutazingatia uthibitisho wa utoshelevu.

Wacha tutengeneze kigezo cha Cauchy kwa mfululizo.

Ili kwa mfululizo
ilikuwa inaungana, ni muhimu na inatosha kwa yoyote
kulikuwa na nambariNvile kwamban> Nna yoyoteuk>0 ukosefu wa usawa ungeshikilia

.

Walakini, kwa mazoezi, kutumia kigezo cha Cauchy moja kwa moja sio rahisi sana. Kwa hivyo, kama sheria, vipimo rahisi vya muunganisho hutumiwa:

1) Ikiwa safu
huungana, basi ni muhimu kwamba neno la kawaida u n ilielekea sifuri. Hata hivyo, hali hii haitoshi. Tunaweza kusema tu kwamba ikiwa neno la kawaida halielekei sifuri, basi mfululizo hutofautiana. Kwa mfano, kinachojulikana mfululizo wa harmonic ni tofauti, ingawa neno lake la kawaida huelekea sifuri.

Mfano. Chunguza muunganiko wa mfululizo

Tutapata
- kigezo muhimu cha muunganisho hakijaridhika, ambayo inamaanisha kuwa mfululizo hutofautiana.

2) Ikiwa mfululizo unakutana, basi mlolongo wa kiasi chake cha sehemu umefungwa.

Walakini, ishara hii pia haitoshi.

Kwa mfano, mfululizo wa 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… hutofautiana, kwa sababu mlolongo wa kiasi chake cha kiasi hutofautiana kutokana na ukweli kwamba

Hata hivyo, mlolongo wa kiasi cha sehemu ni mdogo, kwa sababu
yoyote n.

Mfululizo wenye masharti yasiyo hasi.

Wakati wa kusoma mfululizo wa ishara za mara kwa mara, tutajiwekea kikomo kwa kuzingatia mfululizo na maneno yasiyo hasi, kwa sababu kuzidisha tu kwa -1 kutoka kwa mfululizo huu kunaweza kutoa mfululizo wenye maneno hasi.

Nadharia. Kwa muunganisho wa mfululizo
kwa maneno yasiyo hasi ni muhimu na ya kutosha kwa kiasi cha sehemu ya mfululizo kuwa na mipaka.

Ishara ya kulinganisha mfululizo na istilahi zisizo hasi.

Acha safu mbili zipewe
Na
katika u n , v n  0 .

Nadharia. Kama u n  v n yoyote n, kisha kutoka kwa muunganisho wa safu
mfululizo unaungana
, na kutoka kwa tofauti ya mfululizo
mfululizo hutofautiana
.

Ushahidi. Wacha tuonyeshe kwa S n Na  n kiasi cha sehemu ya mfululizo
Na
. Kwa sababu kulingana na masharti ya nadharia, mfululizo
huungana, basi kiasi chake cha sehemu kimefungwa, i.e. mbele ya kila mtu n n  M, ambapo M ni nambari fulani. Lakini kwa sababu u n  v n, Hiyo S n   n kisha hesabu za sehemu za mfululizo
pia ni mdogo, na hii inatosha kwa muunganisho.

Mfano. Chunguza mfululizo kwa muunganiko

Kwa sababu
, na mfululizo wa harmonic hutofautiana, kisha mfululizo hutofautiana
.

Mfano.

Kwa sababu
, na mfululizo
huungana (kama uendelezaji unaopungua wa kijiometri), kisha mfululizo
pia huungana.

Ishara ifuatayo ya muunganisho pia hutumiwa:

Nadharia. Kama
na kuna kikomo
, Wapih- nambari nyingine isipokuwa sifuri, kisha mfululizo
Na
kuishi sawa katika suala la muunganisho.

Ishara ya D'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - mwanahisabati wa Kifaransa)

Ikiwa kwa mfululizo
kwa maneno chanya kuna idadi kama hiyoq<1, что для всех достаточно больших nukosefu wa usawa unashikilia

kisha mfululizo
huungana, ikiwa kwa wote kuna kubwa vya kutoshanhali inatimizwa

kisha mfululizo
inatofautiana.

Ishara ya kikomo ya D'Alembert.

Kigezo cha kuzuia cha D'Alembert ni tokeo la kigezo cha D'Alembert hapo juu.

Ikiwa kuna kikomo
, basi lini < 1 ряд сходится, а при  > 1 - inatofautiana. Kama = 1, basi swali la muunganisho haliwezi kujibiwa.

Mfano. Amua muunganiko wa mfululizo .

Hitimisho: mfululizo unaungana.

Mfano. Amua muunganiko wa mfululizo

Hitimisho: mfululizo unaungana.

Ishara ya Cauchy. (ishara kali)

Ikiwa kwa mfululizo
kwa maneno yasiyo hasi kuna nambari kama hiyoq<1, что для всех достаточно больших nukosefu wa usawa unashikilia

,

kisha mfululizo
huungana, ikiwa kwa wote kuna kubwa vya kutoshanukosefu wa usawa unashikilia

kisha mfululizo
inatofautiana.

Matokeo. Ikiwa kuna kikomo
, basi lini<1 ряд сходится, а при >Safu ya 1 inatofautiana.

Mfano. Amua muunganiko wa mfululizo
.

Hitimisho: mfululizo unaungana.

Mfano. Amua muunganiko wa mfululizo
.

Wale. Jaribio la Cauchy halijibu swali la muunganisho wa mfululizo. Wacha tuangalie ikiwa hali muhimu za muunganisho zimeridhika. Kama ilivyoelezwa hapo juu, ikiwa mfululizo unabadilika, basi neno la kawaida la mfululizo huwa sifuri.

,

Kwa hivyo, hali muhimu ya muunganisho haijaridhika, ambayo inamaanisha kuwa mfululizo hutofautiana.

Mtihani muhimu wa Cauchy.

Kama (x) ni kitendakazi chanya kinachoendelea kupungua kwa muda Na
kisha viungo
Na
kuishi sawa katika suala la muunganisho.

Mfululizo wa kubadilishana.

Safu mlalo zinazopishana.

Mfululizo mbadala unaweza kuandikwa kama:

Wapi

Ishara ya Leibniz.

Ikiwa ishara ya safu mbadala maadili kamiliu i zinapungua
na neno la kawaida huelekea sifuri
, kisha mfululizo unaungana.

Muunganiko kamili na wa masharti wa mfululizo.

Wacha tuzingatie safu zingine zinazobadilishana (na masharti ya ishara za kiholela).

(1)

na safu inayojumuisha maadili kamili ya washiriki wa safu (1):

(2)

Nadharia. Kutoka kwa muunganiko wa mfululizo (2) hufuata muunganiko wa mfululizo (1).

Ushahidi. Msururu (2) ni mfululizo wenye istilahi zisizo hasi. Ikiwa mfululizo (2) utaungana, basi kwa kigezo cha Cauchy kwa >0 yoyote kuna nambari N hivi kwamba kwa n>N na nambari yoyote p>0 ukosefu wa usawa ufuatao ni kweli:

Kulingana na mali ya maadili kamili:

Hiyo ni, kulingana na kigezo cha Cauchy, kutoka kwa muunganisho wa safu (2) muunganisho wa safu (1) hufuata.

Ufafanuzi. Safu
kuitwa kuunganika kabisa, ikiwa mfululizo utakutana
.

Ni dhahiri kwamba kwa mfululizo wa ishara za mara kwa mara dhana za muunganiko na muunganiko kamili zinapatana.

Ufafanuzi. Safu
kuitwa kuunganika kwa masharti, ikiwa itaungana na mfululizo
inatofautiana.

Majaribio ya D'Alembert na Cauchy ya mfululizo mbadala.

Hebu
- mfululizo mbadala.

Ishara ya D'Alembert. Ikiwa kuna kikomo
, basi lini<1 ряд
yataungana kabisa, na lini>

Ishara ya Cauchy. Ikiwa kuna kikomo
, basi lini<1 ряд
zitaungana kabisa, na kama >1 mfululizo utakuwa tofauti. Wakati =1, ishara haitoi jibu kuhusu muunganiko wa mfululizo.

Sifa za mfululizo zinazounganika kabisa.

1) Nadharia. Kwa muunganisho kamili wa mfululizo
ni muhimu na inatosha kwamba inaweza kuwakilishwa kama tofauti ya misururu miwili ya muunganisho na istilahi zisizo hasi.

Matokeo. Mfululizo unaounganika kwa masharti ni tofauti ya misururu miwili tofauti yenye istilahi zisizo hasi zinazoelekea sifuri.

2) Katika mfululizo wa muunganiko, upangaji wowote wa masharti ya mfululizo ambao haubadilishi mpangilio wao huhifadhi muunganiko na ukubwa wa mfululizo.

3) Ikiwa safu itaungana kabisa, basi safu inayopatikana kutoka kwayo kwa idhini yoyote ya maneno pia huungana kabisa na ina jumla sawa.

Kwa kupanga upya masharti ya mfululizo unaofuatana kwa masharti, mtu anaweza kupata mfululizo wa muunganiko wa masharti ulio na jumla yoyote iliyoamuliwa mapema, na hata mfululizo tofauti.

4) Nadharia. Kwa kikundi chochote cha washiriki wa safu zinazounganika kabisa (katika kesi hii, idadi ya vikundi inaweza kuwa ya mwisho au isiyo na kikomo, na idadi ya washiriki katika kikundi inaweza kuwa ya mwisho au isiyo na kikomo), safu ya muunganisho hupatikana, jumla. ambayo ni sawa na jumla ya mfululizo asilia.

5) Ikiwa safu Na huungana kabisa na hesabu zao ni sawa kwa mtiririko huo S na , kisha mfululizo unaojumuisha bidhaa zote za fomu
ikichukuliwa kwa mpangilio wowote, pia huungana kabisa na jumla yake ni sawa na S - bidhaa ya jumla ya mfululizo uliozidishwa.

Ukizidisha mfululizo unaounganika kwa masharti, unaweza kupata mfululizo tofauti kama matokeo.

Mifuatano ya kiutendaji.

Ufafanuzi. Ikiwa washiriki wa safu sio nambari, lakini kazi za X, basi mfululizo unaitwa kazi.

Utafiti wa muunganisho wa mfululizo wa kazi ni ngumu zaidi kuliko utafiti wa mfululizo wa nambari. Mfululizo sawa wa utendaji unaweza, na maadili sawa ya kutofautiana X kuungana, na pamoja na wengine - diverge. Kwa hivyo, swali la muunganisho wa safu za utendaji huja chini ya kuamua maadili hayo ya kutofautisha X, ambapo mfululizo hukutana.

Seti ya maadili kama haya inaitwa eneo la muunganisho.

Kwa kuwa kikomo cha kila chaguo la kukokotoa lililojumuishwa katika eneo la muunganiko wa safu ni nambari fulani, kikomo cha mlolongo wa utendaji kitakuwa kazi fulani:

Ufafanuzi. Kufuatia ( f n (x) } huungana kufanya kazi f(x) kwenye sehemu ikiwa kwa nambari yoyote >0 na nukta yoyote X kutoka kwa sehemu inayozingatiwa kuna nambari N = N(, x), kiasi kwamba ukosefu wa usawa

inatimia wakati n>N.

Kwa thamani iliyochaguliwa >0, kila hatua ya sehemu ina nambari yake mwenyewe na, kwa hiyo, kutakuwa na idadi isiyo na kipimo ya nambari zinazofanana na pointi zote za sehemu. Ikiwa unachagua kubwa zaidi ya nambari hizi zote, basi nambari hii itafaa kwa pointi zote za sehemu, i.e. itakuwa ya kawaida kwa pointi zote.

Ufafanuzi. Kufuatia ( f n (x) } huungana kwa usawa kufanya kazi f(x) kwenye sehemu , ikiwa kwa nambari yoyote >0 kuna nambari N = N() kiasi kwamba ukosefu wa usawa

inatimizwa kwa n>N kwa pointi zote za sehemu.

Mfano. Fikiria mlolongo

Mlolongo huu huungana kwenye mstari mzima wa nambari hadi kwenye chaguo la kukokotoa f(x)=0 , kwa sababu

Wacha tujenge grafu za mlolongo huu:

sinx

Kama inavyoonekana, na idadi inayoongezeka n grafu ya mlolongo inakaribia mhimili X.

Mfululizo wa utendaji.

Ufafanuzi. Kiasi cha kibinafsi (sehemu). safu ya utendaji
kazi zinaitwa

Ufafanuzi. Masafa ya utendaji
kuitwa kuungana kwa uhakika ( x=x 0 ), ikiwa mlolongo wa kiasi chake cha jumla huchanganyika katika hatua hii. Kikomo cha mlolongo
kuitwa kiasi safu
kwa uhakika X 0 .

Ufafanuzi. Seti ya maadili yote X, ambayo mfululizo hukutana
kuitwa eneo la muunganisho safu.

Ufafanuzi. Safu
kuitwa kuunganika kwa usawa kwa muda ikiwa mfuatano wa kiasi cha kiasi cha msururu huu huchanganyika sawa katika muda huu.

Nadharia. (Kigezo cha Cauchy cha muunganisho sare wa safu)

Kwa muunganisho sare wa mfululizo
ni muhimu na ya kutosha kwamba kwa idadi yoyote > 0 idadi kama hiyo ilikuwepoN( ), ambayo kwan> Nna nzimauk>0 ukosefu wa usawa

ingeshikilia kwa x zote kwa muda [a, b].

Nadharia. (Mtihani wa Weierstrass wa muunganisho wa sare)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - mwanahisabati wa Ujerumani)

Safu
huungana kwa usawa na kabisa kwa muda [a, b], ikiwa moduli ya sheria na masharti yake kwenye sehemu sawa hayazidi masharti yanayolingana ya mfululizo wa nambari zilizo na masharti chanya:

hizo. kuna ukosefu wa usawa:

.

Pia wanasema kwamba katika kesi hii mfululizo wa kazi
imekuzwa mfululizo wa nambari
.

Mfano. Chunguza mfululizo kwa muunganiko
.

Kwa sababu
daima, ni dhahiri kwamba
.

Aidha, inajulikana kuwa ujumla harmonic mfululizo wakati=3>1 inapokutana, basi, kwa mujibu wa jaribio la Weierstrass, mfululizo unaofanyiwa utafiti huungana kwa usawa na, zaidi ya hayo, katika muda wowote.

Mfano. Chunguza mfululizo kwa muunganiko .

Kwa muda [-1,1] ukosefu wa usawa unashikilia
hizo. kulingana na kigezo cha Weierstrass, mfululizo unaochunguzwa hubadilika kwenye sehemu hii, lakini hutofautiana kwa vipindi (-, -1)  (1, ).

Sifa za mfululizo unaofanana.

1) Nadharia juu ya mwendelezo wa jumla ya mfululizo.

Ikiwa washiriki wa safu
- kuendelea kwenye sehemu [a, b] kitendakazi na safu huungana sawasawa, kisha jumla yakeS(x) ni kazi inayoendelea kwa muda [a, b].

2) Nadharia ya muunganisho wa muda baada ya muda wa mfululizo.

Kuunganishwa kwa usawa kwenye sehemu [a, b] mfululizo wenye masharti endelevu unaweza kuunganishwa muda baada ya muda katika muda huu, i.e. mfululizo unaojumuisha viambatanisho vya masharti yake juu ya sehemu [a, b] , hubadilika kuwa muunganisho wa jumla ya mfululizo juu ya sehemu hii.

3) Nadharia ya upambanuzi wa muda kwa muda wa mfululizo.

Ikiwa washiriki wa safu
kuungana kwenye sehemu [a, b] inawakilisha vitendakazi vinavyoendelea kuwa na viambajengo vinavyoendelea, na msururu unaojumuisha viambajengo hivi
huungana kwa usawa kwenye sehemu hii, kisha mfululizo huu huungana kwa usawa na unaweza kutofautishwa muda kwa muhula.

Kulingana na ukweli kwamba jumla ya mfululizo ni baadhi ya kazi ya kutofautiana X, unaweza kufanya uendeshaji wa kuwakilisha kazi kwa namna ya mfululizo (upanuzi wa kazi katika mfululizo), ambayo hutumiwa sana katika ushirikiano, tofauti na shughuli nyingine na kazi.

Katika mazoezi, upanuzi wa mfululizo wa nguvu wa kazi hutumiwa mara nyingi.

Mfululizo wa nguvu.

Ufafanuzi. Mfululizo wa nguvu inaitwa mfululizo wa fomu

.

Ili kusoma muunganisho wa safu ya nguvu, ni rahisi kutumia jaribio la D'Alembert.

Mfano. Chunguza mfululizo kwa muunganiko

Tunatumia ishara ya d'Alembert:

.

Tunaona kuwa mfululizo huu unakutana
na hutofautiana katika
.

Sasa tunaamua muunganisho katika sehemu za mpaka 1 na -1.

Kwa x = 1:
Mfululizo unabadilika kulingana na kigezo cha Leibniz (tazama Ishara ya Leibniz.).

Kwa x = -1:
mfululizo hutofautiana (mfululizo wa harmonic).

Nadharia za Abeli.

(Nils Henrik Abel (1802 - 1829) - mwanahisabati wa Norway)

Nadharia. Ikiwa ni mfululizo wa nguvu
huungana saax = x 1 , basi inaungana na, zaidi ya hayo, kwa kila mtu kabisa
.

Ushahidi. Kwa mujibu wa masharti ya theorem, kwa kuwa masharti ya mfululizo ni mdogo, basi

Wapi k- idadi fulani ya mara kwa mara. Ukosefu wa usawa ufuatao ni kweli:

Kutokana na ukosefu huu wa usawa ni wazi kwamba lini x< x 1 maadili ya nambari ya masharti ya safu yetu yatakuwa chini (angalau sio zaidi) kuliko masharti yanayolingana ya safu upande wa kulia wa usawa ulioandikwa hapo juu, ambao huunda maendeleo ya kijiometri. Denominator ya maendeleo haya kulingana na masharti ya nadharia, ni chini ya moja, kwa hivyo, maendeleo haya ni safu ya kuunganika.

Kwa hiyo, kwa kuzingatia kigezo cha kulinganisha, tunahitimisha kuwa mfululizo
huungana, ambayo ina maana ya mfululizo
huungana kabisa.

Hivyo, kama nguvu mfululizo
huungana kwa uhakika X 1 , basi inaungana kabisa wakati wowote katika muda wa urefu wa 2 inayozingatia hatua X = 0.

Matokeo. Ikiwa katika x = x 1 mfululizo hutofautiana, kisha hutofautiana kwa kila mtu
.

Kwa hivyo, kwa kila safu ya nguvu kuna nambari chanya R kama hiyo kwa wote X vile vile
mfululizo unaunganika kabisa, na kwa wote
safu hutofautiana. Katika kesi hii, nambari R inaitwa radius ya muunganisho. Muda (-R, R) unaitwa muda wa muunganiko.

Kumbuka kwamba muda huu unaweza kufungwa kwa upande mmoja au pande zote mbili, au si kufungwa.

Radi ya muunganisho inaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Mfano. Tafuta eneo la muunganisho wa safu

Kupata radius ya muunganisho
.

Kwa hivyo, mfululizo huu hubadilika kwa thamani yoyote X. Neno la kawaida la mfululizo huu huwa na sifuri.

Nadharia. Ikiwa ni mfululizo wa nguvu
huungana kwa thamani chanya x=x 1 , basi inaungana sawasawa katika muda wowote ndani
.

Vitendo vilivyo na mfululizo wa nguvu.

Safu kwa dummies. Mifano ya ufumbuzi

Ninawakaribisha wote walionusurika kwa mwaka wa pili! Katika somo hili, au tuseme, katika mfululizo wa masomo, tutajifunza jinsi ya kusimamia safu. Mada sio ngumu sana, lakini kuisimamia itahitaji maarifa kutoka mwaka wa kwanza, haswa, unahitaji kuelewa. kikomo ni nini, na uweze kupata mipaka rahisi zaidi. Walakini, ni sawa, kama ninavyoelezea, nitatoa viungo vinavyofaa kwa masomo muhimu. Kwa wasomaji wengine, mada ya safu ya hisabati, njia za suluhisho, ishara, nadharia zinaweza kuonekana kuwa za kipekee, na hata za kujifanya, za upuuzi. Katika kesi hii, hauitaji "kubeba" sana; tunakubali ukweli jinsi ulivyo na kujifunza kwa urahisi kutatua kazi za kawaida, za kawaida.

1) Safu kwa dummies, na kwa samovars yaliyomo mara moja :)

Kwa maandalizi ya haraka sana kwenye mada Kuna kozi ya wazi katika muundo wa pdf, kwa msaada ambao unaweza "kuinua" mazoezi yako halisi kwa siku.

Dhana ya mfululizo wa nambari

Kwa ujumla mfululizo wa nambari inaweza kuandikwa hivi:.
Hapa:
- ikoni ya jumla ya hisabati;
– muda wa kawaida wa mfululizo(kumbuka neno hili rahisi);
- Tofauti ya "kaunta". Nukuu inamaanisha kuwa muhtasari unafanywa kutoka 1 hadi "pamoja na infinity", ambayo ni, kwanza tunayo , basi , basi , na kadhalika - hadi infinity. Badala ya kutofautiana, kutofautiana au wakati mwingine hutumiwa. Muhtasari sio lazima uanzie kutoka kwa moja; katika hali zingine unaweza kuanza kutoka sifuri, kutoka mbili, au kutoka kwa yoyote. nambari ya asili.

Kwa mujibu wa kutofautisha "kaunta", mfululizo wowote unaweza kupanuliwa:
- na kadhalika, ad infinitum.

Vipengele -Hii NAMBA ambazo zinaitwa wanachama safu. Ikiwa zote sio hasi (kubwa kuliko au sawa na sifuri), basi safu kama hiyo inaitwa mfululizo wa nambari chanya.

Mfano 1

Hii, kwa njia, tayari ni kazi ya "kupambana" - kwa mazoezi, mara nyingi ni muhimu kuandika maneno kadhaa ya safu.

Kwanza, kisha:
Kisha, basi:
Kisha, basi:

Mchakato unaweza kuendelea kwa muda usiojulikana, lakini kulingana na hali ilihitajika kuandika masharti matatu ya kwanza ya safu, kwa hivyo tunaandika jibu:

Tafadhali kumbuka tofauti ya kimsingi kutoka mlolongo wa nambari,
ambamo maneno hayajajumlishwa, lakini yanazingatiwa hivyo.

Mfano 2

Andika masharti matatu ya kwanza ya mfululizo

Huu ni mfano wa wewe kutatua peke yako, jibu ni mwisho wa somo

Hata kwa safu ambayo ni ngumu kwa mtazamo wa kwanza, sio ngumu kuielezea kwa fomu iliyopanuliwa:

Mfano 3

Andika masharti matatu ya kwanza ya mfululizo

Kwa kweli, kazi hiyo inafanywa kwa mdomo: kiakili badala ya neno la kawaida la mfululizo kwanza, kisha na. Hatimaye:

Tunaacha jibu kama ifuatavyo: Ni bora si kurahisisha masharti ya mfululizo yanayotokana, hiyo ni usifanye Vitendo: , , . Kwa nini? Jibu liko kwenye fomu ni rahisi zaidi na rahisi zaidi kwa mwalimu kuangalia.

Wakati mwingine kazi kinyume hutokea

Mfano 4

Hakuna algorithm ya suluhisho wazi hapa, unahitaji tu kuona muundo.
Kwa kesi hii:

Kuangalia, mfululizo unaotokana unaweza "kuandikwa nyuma" katika fomu iliyopanuliwa.

Hapa kuna mfano ambao ni ngumu zaidi kusuluhisha peke yako:

Mfano 5

Andika jumla katika fomu iliyokunjwa na neno la kawaida la mfululizo

Fanya ukaguzi kwa kuandika tena mfululizo katika fomu iliyopanuliwa

Muunganisho wa mfululizo wa nambari

Moja ya malengo muhimu ya mada ni utafiti wa mfululizo kwa muunganisho. Katika kesi hii, kesi mbili zinawezekana:

1) Safuinatofautiana. Hii ina maana kwamba jumla isiyo na kikomo ni sawa na infinity: au jumla kwa ujumla haipo, kama, kwa mfano, katika mfululizo
(hapa, kwa njia, ni mfano wa mfululizo na maneno hasi). Mfano mzuri wa mfululizo wa nambari tofauti ulipatikana mwanzoni mwa somo: . Hapa ni dhahiri kabisa kwamba kila mwanachama mwingine wa mfululizo ni mkubwa kuliko uliopita, kwa hiyo na, kwa hivyo, mfululizo unatofautiana. Mfano mdogo zaidi: .

2) Safuhuungana. Hii ina maana kwamba jumla isiyo na kikomo ni sawa na baadhi nambari ya mwisho:. Tafadhali: - mfululizo huu unaungana na jumla yake ni sifuri. Kama mfano wa maana zaidi, tunaweza kutaja kupungua kabisa maendeleo ya kijiometri, tunayojulikana tangu shuleni: . Jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana huhesabiwa kwa kutumia fomula: , ni wapi muda wa kwanza wa kuendelea, na ni msingi wake, ambao kawaida huandikwa katika fomu. sahihi sehemu Kwa kesi hii: , . Hivyo: Nambari iliyo na kikomo inapatikana, ambayo inamaanisha kuwa safu huungana, ambayo ndio inahitajika kuthibitishwa.

Walakini, katika idadi kubwa ya kesi pata jumla ya mfululizo sio rahisi sana, na kwa hivyo katika mazoezi, kusoma muunganisho wa safu, ishara maalum ambazo zimethibitishwa kinadharia hutumiwa.

Kuna ishara kadhaa za muunganisho wa mfululizo: mtihani muhimu kwa muunganisho wa safu, vipimo vya kulinganisha, mtihani wa D'Alembert, vipimo vya Cauchy, Ishara ya Leibniz na ishara zingine. Wakati wa kutumia ishara gani? Inategemea mwanachama wa kawaida wa mfululizo, kwa kusema kwa mfano, juu ya "kujaza" kwa mfululizo. Na hivi karibuni tutatatua kila kitu.

! Ili kujifunza zaidi somo, lazima kuelewa vizuri ni kikomo gani na ni vizuri kuweza kufichua kutokuwa na uhakika wa aina. Ili kukagua au kusoma nyenzo, tafadhali rejelea nakala hiyo Mipaka. Mifano ya ufumbuzi.

Ishara ya lazima ya muunganisho wa mfululizo

Ikiwa mfululizo unakutana, basi neno lake la kawaida huwa na sifuri: .

Mazungumzo si ya kweli katika hali ya jumla, yaani, if , basi mfululizo unaweza kuungana au kutofautiana. Na kwa hiyo ishara hii inatumika kuhalalisha tofauti safu:

Ikiwa neno la kawaida la mfululizo haielekei sifuri, kisha mfululizo hutofautiana

Au kwa kifupi: ikiwa , basi mfululizo hutofautiana. Hasa, hali inawezekana ambapo kikomo haipo kabisa, kama, kwa mfano, kikomo. Kwa hivyo walihalalisha mara moja utofauti wa safu moja :)

Lakini mara nyingi zaidi, kikomo cha mfululizo tofauti ni sawa na infinity, na badala ya "x" hufanya kama "nguvu" ya kutofautiana. Wacha tuonyeshe upya maarifa yetu: mipaka iliyo na "x" inaitwa mipaka ya chaguo za kukokotoa, na mipaka iliyo na kibadilishaji "en" inaitwa mipaka ya mlolongo wa nambari. Tofauti dhahiri ni kwamba kutofautisha "en" kunachukua maadili ya asili (ya kutoendelea): 1, 2, 3, nk. Lakini ukweli huu una athari kidogo kwa njia za kutatua mipaka na njia za kufichua kutokuwa na uhakika.

Wacha tuthibitishe kuwa safu kutoka kwa mfano wa kwanza hutofautiana.
Mwanachama wa kawaida wa safu:

Hitimisho: safu inatofautiana

Kipengele muhimu mara nyingi hutumiwa katika kazi halisi za vitendo:

Mfano 6

Tuna polimanomia katika nambari na denominator. Yule ambaye alisoma kwa uangalifu na kuelewa njia ya kufichua kutokuwa na uhakika katika kifungu hicho Mipaka. Mifano ya ufumbuzi, pengine nilipata hilo wakati mamlaka ya juu zaidi ya nambari na denominator sawa, basi kikomo ni nambari ya mwisho .

Gawanya nambari na denominata kwa

Mfululizo chini ya utafiti inatofautiana, kwa kuwa kigezo muhimu cha muunganisho wa mfululizo hakijatimizwa.

Mfano 7

Chunguza mfululizo kwa muunganiko

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo

Kwa hivyo, tunapopewa safu YOYOTE ya nambari, Kwanza tunaangalia (kiakili au kwenye rasimu): je neno lake la kawaida huwa sifuri? Ikiwa haipo, tunaunda suluhisho kulingana na mifano Nambari 6, 7 na kutoa jibu kwamba mfululizo hutofautiana.

Je, ni aina gani za mfululizo zinazoonekana kuwa tofauti ambazo tumezingatia? Ni wazi mara moja kwamba mfululizo kama au diverge. Mfululizo kutoka kwa mifano Na. 6, 7 pia hutofautiana: wakati nambari na denominati zina polimanomia, na nguvu inayoongoza ya nambari ni kubwa kuliko au sawa na nguvu inayoongoza ya nambari.. Katika matukio haya yote, wakati wa kutatua na kuandaa mifano, tunatumia ishara muhimu ya muunganisho wa mfululizo.

Kwa nini ishara inaitwa muhimu? Kuelewa kwa njia ya asili zaidi: ili safu ziungane, muhimu, ili neno lake la kawaida liwe sifuri. Na kila kitu kitakuwa nzuri, lakini kuna zaidi haitoshi. Kwa maneno mengine, ikiwa neno la kawaida la mfululizo linaelekea kuwa sufuri, HII HAIMAANISHI kuwa mfululizo huungana- inaweza kuungana na kutengana!

Kutana:

Mfululizo huu unaitwa mfululizo wa harmonic. Tafadhali kumbuka! Kati ya safu za nambari, yeye ni prima ballerina. Kwa usahihi zaidi, ballerina =)

Ni rahisi kuona hivyo , LAKINI. Katika nadharia ya uchanganuzi wa hisabati imethibitika kuwa mfululizo wa harmonic hutofautiana.

Unapaswa pia kukumbuka wazo la safu ya jumla ya usawa:

1) safu hii inatofautiana katika . Kwa mfano, mfululizo , , diverge.
2) safu hii huungana katika . Kwa mfano, mfululizo , , , hukutana. Ninasisitiza tena kwamba katika karibu kazi zote za vitendo sio muhimu kwetu ni nini jumla ya, kwa mfano, safu ni sawa, ukweli wenyewe wa muunganiko wake ni muhimu.

Hizi ni ukweli wa kimsingi kutoka kwa nadharia ya safu ambayo tayari imethibitishwa, na wakati wa kutatua mfano wowote wa vitendo, unaweza kurejelea kwa usalama, kwa mfano, kwa utofauti wa safu au muunganisho wa safu.

Kwa ujumla, nyenzo katika swali ni sawa na utafiti wa viungo visivyofaa, na itakuwa rahisi kwa wale ambao wamejifunza mada hii. Kweli, kwa wale ambao hawajaisoma, ni rahisi mara mbili :)

Kwa hiyo, nini cha kufanya ikiwa neno la kawaida la mfululizo LINALOTENDA hadi sifuri? Katika hali kama hizi, ili kutatua mifano unahitaji kutumia wengine, kutosha ishara za muunganiko/muachano:

Vigezo vya kulinganisha kwa mfululizo chanya wa nambari

Mimi kuteka mawazo yako, kwamba hapa tunazungumza tu juu ya safu chanya ya nambari (yenye masharti yasiyo hasi).

Kuna ishara mbili za kulinganisha, moja yao nitaita tu ishara ya kulinganisha, mwingine - kikomo cha kulinganisha.

Hebu kwanza tufikirie ishara ya kulinganisha, au tuseme, sehemu yake ya kwanza:

Fikiria safu mbili chanya za nambari na. Ikiwa inajulikana, kwamba mfululizo - huungana, na, kuanzia nambari fulani, usawa umeridhika, kisha mfululizo pia huungana.

Kwa maneno mengine: Kutoka kwa muunganiko wa mfululizo na istilahi kubwa hufuata muunganiko wa mfululizo na masharti madogo zaidi. Kwa mazoezi, ukosefu wa usawa mara nyingi hushikilia maadili yote:

Mfano 8

Chunguza mfululizo kwa muunganiko

Kwanza, hebu tuangalie(kiakili au katika rasimu) utekelezaji:
, ambayo ina maana kwamba haikuwezekana “kuondoka na damu kidogo.”

Tunaangalia "pakiti" ya safu ya jumla ya usawa na, tukizingatia kiwango cha juu zaidi, tunapata safu kama hiyo: Inajulikana kutoka kwa nadharia kwamba inaungana.

Kwa nambari zote za asili, usawa dhahiri unashikilia:

na madhehebu makubwa yanahusiana na sehemu ndogo:
, ambayo ina maana, kwa kuzingatia kigezo cha kulinganisha, mfululizo unaojifunza huungana pamoja na karibu na.

Ikiwa una shaka yoyote, unaweza kuelezea usawa kwa undani kila wakati! Wacha tuandike usawa uliojengwa kwa nambari kadhaa "en":
Ikiwa, basi
Ikiwa, basi
Ikiwa, basi
Ikiwa, basi
….
na sasa ni wazi kabisa kwamba ukosefu wa usawa imetimizwa kwa nambari zote za asili "en".

Wacha tuchambue kigezo cha kulinganisha na mfano uliotatuliwa kutoka kwa maoni yasiyo rasmi. Bado, kwa nini mfululizo unakutana? Hii ndio sababu. Ikiwa mfululizo unakutana, basi ina baadhi mwisho kiasi: . Na kwa kuwa washiriki wote wa safu kidogo masharti yanayolingana ya safu, basi ni wazi kuwa jumla ya safu haiwezi kuwa kubwa kuliko nambari, na hata zaidi, haiwezi kuwa sawa na infinity!

Vile vile, tunaweza kuthibitisha muunganiko wa mfululizo "sawa": , , na kadhalika.

! Kumbuka, kwamba katika hali zote tuna "pluses" katika denominators. Uwepo wa angalau minus moja unaweza kutatiza utumiaji wa bidhaa inayohusika. ishara ya kulinganisha. Kwa mfano, ikiwa mfululizo unalinganishwa kwa njia sawa na mfululizo wa kuunganishwa (andika kutofautiana kadhaa kwa masharti ya kwanza), basi hali haitaridhika kabisa! Hapa unaweza kukwepa na kuchagua mfululizo mwingine wa kubadilika kwa kulinganisha, kwa mfano, lakini hii itajumuisha kutoridhishwa kwa lazima na shida zingine zisizo za lazima. Kwa hiyo, ili kuthibitisha muunganisho wa mfululizo ni rahisi zaidi kutumia kikomo cha kulinganisha(tazama aya inayofuata).

Mfano 9

Chunguza mfululizo kwa muunganiko

Na katika mfano huu, napendekeza ujifikirie mwenyewe sehemu ya pili ya sifa ya kulinganisha:

Ikiwa inajulikana, kwamba mfululizo - inatofautiana, na kuanzia nambari fulani (mara nyingi kutoka kwa kwanza), kukosekana kwa usawa ni kuridhika, basi mfululizo pia hutofautiana.

Kwa maneno mengine: Kutoka kwa tofauti ya mfululizo na masharti madogo hufuata tofauti ya mfululizo na masharti makubwa zaidi.

Nini kifanyike?
Inahitajika kulinganisha safu inayosomwa na safu tofauti za sauti. Kwa uelewa bora, jenga tofauti kadhaa maalum na uhakikishe kuwa ukosefu huo ni wa haki.

Suluhu na muundo wa sampuli ziko mwisho wa somo.

Kama ilivyoelezwa tayari, katika mazoezi, kigezo cha kulinganisha kilichojadiliwa hivi karibuni hutumiwa mara chache. Farasi halisi wa safu ya nambari ni kikomo cha kulinganisha, na kwa suala la mzunguko wa matumizi inaweza kushindana tu ishara ya d'Alembert.

Kikomo cha mtihani kwa kulinganisha mfululizo chanya wa nambari

Fikiria safu mbili chanya za nambari na. Ikiwa kikomo cha uwiano wa masharti ya kawaida ya mfululizo huu ni sawa na nambari isiyo ya sifuri yenye kikomo: , kisha safu zote mbili huungana au kutofautiana kwa wakati mmoja.

Je, kigezo cha kuzuia kinatumika lini? Kigezo cha kuzuia cha kulinganisha kinatumika wakati "kujaza" kwa mfululizo ni polynomials. Ama polinomia moja katika kipunguzo, au polimanomia katika nambari na kiidadi. Kwa hiari, polynomials inaweza kuwekwa chini ya mizizi.

Wacha tushughulike na safu ambayo ishara ya kulinganisha ya hapo awali imekwama.

Mfano 10

Chunguza mfululizo kwa muunganiko

Hebu tulinganishe mfululizo huu na mfululizo wa kuunganika. Tunatumia kigezo cha kupunguza kwa kulinganisha. Inajulikana kuwa mfululizo hukutana. Ikiwa tunaweza kuonyesha kwamba ni sawa kikomo, kisicho na sufuri nambari, itathibitishwa kuwa safu pia inaungana.

Nambari fupi isiyo ya sifuri inapatikana, ambayo inamaanisha kuwa mfululizo unaojifunza ni huungana pamoja na karibu na.

Kwa nini mfululizo ulichaguliwa kwa kulinganisha? Ikiwa tungechagua safu zingine zozote kutoka kwa "ngome" ya safu ya sauti ya jumla, basi hatungefaulu katika kikomo. kikomo, kisicho na sufuri nambari (unaweza kujaribu).

Kumbuka: tunapotumia kigezo cha kulinganisha kikomo, haijalishi, kwa utaratibu gani wa kutunga uhusiano wa wanachama wa kawaida, kwa mfano unaozingatiwa, uhusiano huo unaweza kukusanywa kwa njia nyingine kote: - hii haiwezi kubadilisha kiini cha jambo hilo.