Suluhisho: Ili kutatua tatizo hili tutatumia fomula N=2 - Suluhisho. Kanuni ya induction ya hisabati

Ikiwa pendekezo A(n), kulingana na nambari ya asili n ni kweli kwa n=1 na kutokana na ukweli kwamba ni kweli kwa n=k (ambapo k ni nambari yoyote asilia), inafuata kwamba ni kweli kwa tarehe inayofuata n=k+1, basi dhana A(n) ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Katika idadi ya matukio, inaweza kuwa muhimu kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani si kwa nambari zote za asili, lakini tu kwa n> p, ambapo p ni nambari ya asili isiyobadilika. Katika kesi hii kanuni induction ya hisabati imeundwa kama ifuatavyo.

Ikiwa pendekezo A(n) ni kweli kwa n=p na kama A(k) ≈ A(k+1) kwa k>p yoyote, basi pendekezo A(n) ni kweli kwa n>p yoyote.

Uthibitisho wa kutumia njia ya induction ya hisabati unafanywa kama ifuatavyo. Kwanza, taarifa ya kuthibitishwa inaangaliwa kwa n = 1, i.e. ukweli wa kauli A(1) umethibitishwa. Sehemu hii ya uthibitisho inaitwa msingi wa induction. Kisha inakuja sehemu ya uthibitisho inayoitwa hatua ya induction. Katika sehemu hii, zinathibitisha uhalali wa taarifa ya n=k+1 chini ya dhana ya uhalali wa taarifa ya n=k (dhahania ya utangulizi), i.e. thibitisha kuwa A(k) 1 A(k+1)

Thibitisha kuwa 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

1) Tunayo n=1=1 2 . Kwa hiyo, taarifa hiyo ni kweli kwa n = 1, i.e. A(1) kweli
2) Hebu tuthibitishe kwamba A(k) ≥ A(k+1)

Acha k iwe nambari yoyote asilia na kauli iwe ya kweli kwa n=k, i.e.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

Hebu tuthibitishe kwamba basi taarifa hiyo pia ni kweli kwa nambari asilia inayofuata n=k+1, i.e. Nini

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 Hakika,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

Kwa hivyo, A(k) 1 A(k+1). Kulingana na kanuni ya utangulizi wa hisabati, tunahitimisha kuwa dhana A(n) ni kweli kwa n O N yoyote.

Thibitisha hilo

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), ambapo x Na. 1

1) Kwa n=1 tunapata
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

kwa hivyo, kwa n=1 fomula ni sahihi; A(1) kweli

2) Acha k iwe nambari yoyote asilia na fomula iwe kweli kwa n=k,
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

Hebu tuthibitishe kwamba basi usawa unashikilia

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) Hakika
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

Kwa hivyo, A(k) 1 A(k+1). Kulingana na kanuni ya uingizaji wa hisabati, tunahitimisha kuwa fomula ni kweli kwa nambari yoyote ya asili n

Thibitisha kwamba idadi ya mishororo ya n-gon ni n(n-3)/2

Suluhisho: 1) Kwa n=3 taarifa ni kweli, kwa sababu katika pembetatu

A 3 =3(3-3)/2=0 diagonals; A 2 A(3) kweli

2) Tuseme kwamba katika kila k-gon mbonyeo kuna A 1 x A k =k(k-3)/2 diagonals. A k Hebu na tuthibitishe kwamba basi katika convex A k+1 (k+1)-gon idadi ya diagonals A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Acha A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 iwe mbonyeo (k+1)-gon. Hebu tuchore diagonal A 1 A k ndani yake. Kuhesabu jumla ya nambari diagonals ya hii (k+1)-gon, unahitaji kuhesabu idadi ya diagonals katika k-gon A 1 A 2 ...A k , ongeza kwa nambari inayosababisha k-2, i.e. idadi ya diagonal ya (k+1)-gon inayotoka kwenye vertex A k+1, na, kwa kuongeza, diagonal A 1 A k inapaswa kuzingatiwa.

Hivyo,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

Kwa hivyo, A(k) 1 A(k+1). Kwa sababu ya kanuni ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa n-gon yoyote ya convex.

Thibitisha kuwa kwa yoyote n taarifa ifuatayo ni kweli:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

Suluhisho: 1) Acha n=1, basi

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) Chukulia kuwa n=k

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6

3) Zingatia kauli hii ya n=k+1

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Tumethibitisha usawa kuwa kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, kwa mujibu wa mbinu ya utangulizi wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Thibitisha kuwa kwa nambari yoyote asilia n usawa ni kweli:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4

Suluhisho: 1) Acha n=1

Kisha X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Tunaona kwamba kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli.

2) Tuseme kwamba usawa ni kweli kwa n=k

X k =k 2 (k+1) 2/4

3) Hebu tuthibitishe ukweli wa kauli hii kwa n=k+1, i.e.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

Kutoka kwa uthibitisho hapo juu ni wazi kuwa taarifa hiyo ni kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, usawa ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Thibitisha hilo

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ ... ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), ambapo n>2

Suluhisho: 1) Kwa n=2 kitambulisho kinaonekana kama:

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), yaani. Ni kweli
2) Chukulia kuwa usemi huo ni kweli kwa n=k
(2 3 +1)/(2 3 -1) ґ … ґ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
3) Wacha tuthibitishe uhalali wa usemi wa n=k+1
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1)))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

Tumethibitisha usawa kuwa kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, kwa mujibu wa mbinu ya utangulizi wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa n>2 yoyote.

Thibitisha hilo

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) kwa nambari yoyote asilia n

Suluhisho: 1) Acha n=1, basi

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) Tuseme kwamba n=k, basi
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) Hebu tuthibitishe ukweli wa kauli hii kwa n=k+1
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

Uhalali wa usawa wa n=k+1 pia umethibitishwa, kwa hivyo taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Thibitisha utambulisho ni sahihi

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) kwa asili yoyote n

1) Kwa n=1 utambulisho ni kweli 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) Tuseme kwamba kwa n=k
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) Hebu tuthibitishe kwamba utambulisho ni kweli kwa n=k+1
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)

Kutokana na uthibitisho hapo juu ni wazi kwamba taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Thibitisha kuwa (11 n+2 +12 2n+1) inaweza kugawanywa na 133 bila salio.

Suluhisho: 1) Acha n=1, basi

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

Lakini (23 ґ 133) inaweza kugawanywa na 133 bila salio, ambayo ina maana kwamba kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli; A(1) ni kweli.

2) Tuseme kwamba (11 k+2 +12 2k+1) inaweza kugawanywa na 133 bila salio.
3) Hebu tuthibitishe kwamba katika kesi hii (11 k+3 +12 2k+3) inaweza kugawanywa na 133 bila salio. Hakika
11 k+3 +12 2l+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

Jumla inayotokana imegawanywa na 133 bila salio, kwa kuwa muda wake wa kwanza unagawanywa na 133 bila salio kwa dhana, na katika pili moja ya mambo ni 133. Kwa hiyo, A(k) 1 A(k+1). Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa

Thibitisha kuwa kwa n 7 n -1 yoyote inaweza kugawanywa na 6 bila salio

1) Acha n=1, kisha X 1 =7 1 -1=6 imegawanywa na 6 bila salio. Hii inamaanisha kuwa kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli
2) Tuseme kwamba wakati n=k 7 k -1 imegawanywa na 6 bila salio
3) Hebu tuthibitishe kwamba taarifa hiyo ni ya kweli kwa n=k+1

X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

Neno la kwanza linagawanywa na 6, kwa kuwa 7 k -1 inaweza kugawanywa na 6 kwa dhana, na neno la pili ni 6. Hii ina maana 7 n -1 ni nyingi ya 6 kwa nambari yoyote ya asili n. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa.

Thibitisha kuwa 3 3n-1 +2 4n-3 kwa nambari asilia isiyo na mpangilio inaweza kugawanywa na 11.

1) Acha n=1, basi

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 imegawanywa na 11 bila salio.

Hii inamaanisha kuwa kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli

2) Tuseme kwamba wakati n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 imegawanywa na 11 bila salio.
3) Hebu tuthibitishe kwamba taarifa hiyo ni ya kweli kwa n=k+1

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 +

11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1

Neno la kwanza linaweza kugawanywa na 11 bila salio, kwa kuwa 3 3k-1 +2 4k-3 inaweza kugawanywa na 11 kwa dhana, pili inaweza kugawanywa na 11, kwa sababu moja ya mambo yake ni namba 11. Hii ina maana kwamba jumla inagawanywa na 11 bila salio kwa nambari yoyote asilia n. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa.

Thibitisha kuwa 11 2n -1 kwa nambari asilia ya kiholela n inaweza kugawanywa na 6 bila salio.

1) Acha n=1, kisha 11 2 -1=120 inaweza kugawanywa na 6 bila salio. Hii inamaanisha kuwa kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli
2) Tuseme kwamba wakati n=k 1 2k -1 imegawanywa na 6 bila salio
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

Maneno yote mawili yanaweza kugawanywa na 6 bila salio: ya kwanza ina kizidishio cha 6, 120, na ya pili inaweza kugawanywa na 6 bila salio kwa kudhaniwa. Hii inamaanisha kuwa jumla inaweza kugawanywa na 6 bila salio. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa.

Thibitisha kuwa 3 3n+3 -26n-27 kwa nambari asilia isiyo halali n inaweza kugawanywa na 26 2 (676) bila salio.

Hebu kwanza tuthibitishe kwamba 3 3n+3 -1 inaweza kugawanywa na 26 bila salio

1. Wakati n=0
3 3 -1=26 imegawanywa na 26
2. Tuseme kwamba kwa n=k
3 3k+3 -1 inaweza kugawanywa na 26
3. Hebu tuthibitishe kwamba kauli hiyo ni ya kweli kwa n=k+1
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3л+3 +(3 3k+3 -1) -imegawanywa na 26

Sasa hebu tuthibitishe kauli iliyoandaliwa katika taarifa ya tatizo

1) Ni wazi, kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli
3 3+3 -26-27=676
2) Tuseme kwamba kwa n=k usemi 3 3k+3 -26k-27 umegawanywa na 26 2 bila salio.
3) Hebu tuthibitishe kwamba taarifa hiyo ni ya kweli kwa n=k+1
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

Maneno yote mawili yanagawanywa na 26 2; ya kwanza inaweza kugawanywa na 26 2 kwa sababu tumethibitisha usemi katika mabano unaweza kugawanywa na 26, na ya pili inaweza kugawanywa na hypothesis introduktionsutbildning. Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, taarifa hiyo imethibitishwa

Thibitisha kwamba ikiwa n>2 na x>0, basi ukosefu wa usawa (1+x) n >1+n ґ x ni kweli.

1) Kwa n=2 ukosefu wa usawa ni halali, kwani
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

Kwa hivyo A(2) ni kweli

2) Hebu tuthibitishe kwamba A(k) ≈ A(k+1), ikiwa k> 2. Tuchukulie kwamba A(k) ni kweli, yaani, ukosefu wa usawa.
(1+x) k >1+k ґ x. (3)

Hebu tuthibitishe kwamba basi A(k+1) pia ni kweli, yaani, kwamba ukosefu wa usawa

(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

Hakika, kuzidisha pande zote mbili za usawa (3) kwa nambari chanya 1+x, tunapata

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

Hebu tuzingatie upande wa kulia usawa wa mwisho; tuna

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

Kwa matokeo, tunapata kwamba (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

Kwa hivyo, A(k) 1 A(k+1). Kulingana na kanuni ya ujanibishaji wa hisabati, inaweza kubishaniwa kuwa ukosefu wa usawa wa Bernoulli ni halali kwa n> 2 yoyote.

Thibitisha kuwa ukosefu wa usawa (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 kwa a> 0 ni kweli.

Suluhisho: 1) Wakati m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 pande zote mbili ni sawa
2) Tuseme kwamba kwa m=k
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k+1)/2) ґ a 2
3) Hebu tuthibitishe kwamba kwa m=k+1 ukosefu wa usawa ni kweli
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

Tumethibitisha kukosekana kwa usawa kuwa kweli kwa m=k+1, kwa hivyo, kwa mujibu wa mbinu ya utangulizi wa hisabati, ukosefu wa usawa ni halali kwa nambari yoyote asilia ya m.

Thibitisha kwamba kwa n>6 ukosefu wa usawa 3 n > n ґ 2 n+1 ni kweli

Hebu tuandike upya ukosefu wa usawa katika fomu (3/2) n > 2n

1. Kwa n=7 tuna 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 ukosefu wa usawa ni kweli.
2. Tuseme kwamba kwa n=k (3/2) k >2k
3) Hebu tuthibitishe ukosefu wa usawa wa n=k+1
3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

Tangu k> 7, usawa wa mwisho ni dhahiri.

Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, usawa ni halali kwa nambari yoyote ya asili n

Thibitisha kuwa kwa n>2 ukosefu wa usawa ni kweli

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

1) Kwa n=3 ukosefu wa usawa ni kweli
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. Tuseme kwamba kwa n=k
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
3) Hebu tuthibitishe uhalali wa ukosefu wa usawa wa n=k+1
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

Hebu tuthibitishe kwamba 1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

Mwisho ni dhahiri, na kwa hiyo

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

Kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, usawa unathibitishwa.

Ukubwa: px

Anza kuonyesha kutoka kwa ukurasa:

Nakala

1 Suluhisho la matatizo ya kawaida Tatizo Thibitisha kwa ufafanuzi wa kikomo cha mfuatano wa nambari kwamba n li n n Suluhisho Kwa ufafanuzi, nambari ni kikomo cha mfuatano wa nambari n n n n N ikiwa kuna nambari asilia N hivyo kwamba kwa wote n n n N ukosefu wa usawa. imeridhika Tatua ukosefu wa usawa wa mwisho n kuhusiana na n: n n n n n n (n) B kama N tunaweza kuchukua N Ikiwa basi N ikiwa basi N Hivyo kwa n n Tatizo lolote Kokotoa li n n Suluhisho linaonyesha thamani inayolingana ya N Hii inathibitisha kuwa n li n n n n n n (n n) n (n n li li li li n n n (n) n n (n) n n (n)) Jibu n n Tatizo Kokotoa li n n Suluhisho n n n li li n n n n Hebu tufanye mabadiliko ya vigeu: n (n) ikiwa n basi na

2 li Jibu e li li li e e Tatizo Amua mpangilio wa utendaji usio na kikomo y dhambi kuhusiana na usio na mwisho y ikiwa Suluhisho Kokotoa dhambi dhambi dhambi li li li li k k k dhambi k dhambi ikiwa k Kwa hiyo kazi y dhambi ina mpangilio wa pili. inayohusiana na infinitesimal y at Jibu Kazi isiyo na kikomo y dhambi ina mpangilio wa pili kuhusiana na infinitesimal y at dhambi Tatizo Kokotoa li Suluhisho Hebu tufanye mabadiliko ya vigezo: t ; ikiwa basi t; t t t t t t t dhambi cos t li li li li t t t t t t t t t t t t t Jibu Tatizo Chunguza kitendakazi f () kwa mwendelezo Kazi ya Suluhisho f () haijafafanuliwa kwa uhakika. Kokotoa mipaka ya upande mmoja: li li Kwa kuwa katika hatua hiyo mipaka ya upande mmoja. ni sawa na infinity, basi hatua hii ni hatua ya mapumziko ya aina ya pili ya

3 Jibu Pointi - hatua ya kutoendelea kwa aina ya pili Tatizo Fanya uchunguzi kamili wa chaguo la kukokotoa y na utengeneze grafu yake Suluhisho Kikoa cha chaguo za kukokotoa Utendakazi hufafanuliwa kwenye mhimili mzima wa nambari O Usawa wa kitendakazi Tangu y () y basi. kazi ni hata Makutano ya grafu ya kazi na shoka za kuratibu Ikiwa basi y Kwa hiyo grafu ya chaguo la kukokotoa inaingiliana na mhimili wa OY na mhimili wa OX kwenye hatua O; Vipindi vya ishara ya kudumu ya kitendakazi Kazi ni chanya kwa Asymptote zozote Kwa kuwa kitendakazi hakina alama za kutoendelea za aina ya pili, hakuna asymptoti za wima Hebu tujue uwepo wa asymptote ya oblique y k b y li li k li b li y k li Kwa hiyo kuna asymptote ya mlalo y Vipindi vya ongezeko Hebu tuhesabu derivative ya kwanza: y () " " Ni dhahiri kwamba y saa; kwa y kwa hivyo chaguo la kukokotoa hupungua kwa "; na kwa y basi chaguo la kukokotoa huongezeka kwa Kwa hivyo kwenye chaguo za kukokotoa huwa na kiwango cha chini zaidi na y vipindi vya unyambulishaji "" Hebu tuhesabu derivative ya pili: y katika

4 "" Kwa kuwa y ikiwa basi kwa; ; chaguo la kukokotoa ni mbonyeo kwenda juu "" Inayofuata y ikiwa inamaanisha ikiwa; basi chaguo la kukokotoa ni mbonyeo kuelekea chini "" Na mwishowe y ikiwa Kwa hivyo nukta za unyambulishaji ni alama Grafu ya chaguo za kukokotoa y() Tatizo Tafuta matriki ikiwa Suluhisho Kokotoa kiambishi cha matriki: det Tafuta viambajengo vya aljebra vya vipengele vinavyolingana vya matrix: Tunga matrix washirika * Kisha * det

5 Jibu Tatizo Kutumia mabadiliko ya kimsingi, pata kiwango cha matrix Suluhisho Kufanya mageuzi ya msingi yanayofuatana, kubadilisha matrix ya asili kuwa fomu ya echelon: Kiwango cha matrix ya mwisho ni sawa na mbili Kwa hivyo, kiwango sawa cha matrix ya asili Jibu. Shida Suluhisha mfumo wa milinganyo kwa kutumia njia ya Cramer: Suluhisho Matrix sio ya umoja kwani det Calculate: Halafu : Majibu hayo

6 Tatizo Chunguza mfumo wa milinganyo kwa upatanifu Ikiwa mfumo unaoana tafuta suluhu la jumla na Suluhisho moja mahususi Fikiria matriki kuu na yaliyopanuliwa ya mfumo: Kwa kuwa) () (basi mfumo asili unaendana Kwa udogo wa msingi tunachagua M. Kisha zile kuu zisizojulikana zisizo na malipo na mfumo huchukua fomu: Baada ya kusuluhisha mfumo mmoja unaosababishwa kwa kiasi tunapata: Kuashiria vigeu vya bure ipasavyo kwa kupata suluhisho la jumla ambapo R Tunapata suluhisho fulani, kwa mfano, kwa kuweka: Jibu Jumla. suluhisho ambapo R Suluhisho la kipekee Tatizo Pata suluhisho la jumla la Suluhisho la mfumo wa homogeneous

7 Kiwango cha matrix ya mgawo ni< Поэтому система имеет ненулевые решения Выбрав в качестве базисного минора минор M преобразуем исходную систему к виду: Решив данную систему относительно получим Обозначив свободные переменные соответственно через получим общее решение где R Ответ Общее решение где R Задача Решить систему методом Гаусса: Решение В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы имеем Этой матрице соответствует система

8 Baada ya kufanya kinyume cha mbinu ya Gaussian, tunapata c na kutoka hapa tunapata suluhisho la jumla: c ambapo c R c Jibu Suluhisho la jumla: c ambapo c R Tatizo Kokotoa eneo S la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta b na Suluhisho a b ikiwa b na pembe kati ya vekta a na b ni sawa Kulingana na ufafanuzi na sifa za bidhaa ya vekta tunayo Jibu b a b a a b a (a b) (a b) Kwa kuwa a b a b) basi S a b a b dhambi b Tatizo Tafuta ujazo wa V wa piramidi ya pembetatu yenye vipeo;; B;; C;; na D;; Suluhisho Kiasi cha piramidi ni sawa na kiasi cha parallelepiped iliyojengwa kwenye vectors b B C D Hebu tupate kuratibu za vectors hizi: B vectors B ;; C;; D C Hivyo basi D V ;; a a b a b (b) Tafuta mchanganyiko wa haya () () Jibu

9 Kazi za mtihani wa maandishi katika hisabati ya juu katika kipindi cha majira ya baridi - mwaka wa masomo Chaguo Tafuta alama za kutoendelea za chaguo la kukokotoa y na uonyeshe sifa zao. Kokotoa kiambishi Tafuta jumla ya urefu wa kitendakazi y Ikiwa f () kwenye muda (a; b) basi ni kazi f () monotonic kwenye pengo hili? Kutokana na matrix isiyo ya sifuri n Inajulikana kuwa ang()= Ang(T) ni sawa na nini? Ni kwa asilimia ngapi thamani ya chaguo la kukokotoa y itabadilika ikiwa thamani ya hoja itaongezwa kutoka = kwa%? Vekta zinazotolewa a (;) b (;) c (;) d (;) Tafuta msingi wa seti hii ya vekta na uwakilishe vekta ambazo hazijajumuishwa katika msingi kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi. pointi na abscissa Mlinganyo wa ndege kupita pointi tatu kutokana na nadharia ya Kronecker-Capelli Utumiaji wa nadharia kutatua mifumo ya milinganyo ya algebraic ya mstari.

Kazi 10 za mtihani wa maandishi katika hisabati ya juu katika kipindi cha majira ya baridi - mwaka wa kitaaluma Masharti ya tatizo Kronecker-Capelli theorem Utumiaji wa nadharia ya kutatua mifumo ya algebraic equations sin Thibitisha kuwa li Misingi ya trapezoid iko kwenye mistari iliyonyooka y y Kokotoa urefu wa urefu wa trapezoidi Kwa matriki, tafuta kinyume Chunguza mfumo katika hali ya upatanifu utatue Jibu Suluhisho la jumla Suluhisho mahususi Chaguo la kukokotoa ni endelevu kwenye Chunguza mwendelezo wa chaguo la kukokotoa y seti (;) (;) ( ;) - hatua ya kutoendelea inayoweza kutolewa - hatua ya kutoendelea bila kikomo Thamani ya chaguo za kukokotoa Thamani ya chaguo za kukokotoa itapungua kwa asilimia ngapi ikiwa thamani ya hoja imeongezwa kutoka = kwa%? % Tafuta jumla ya kipengee cha chaguo za kukokotoa y y () y() Tunga milinganyo ya tandenti kwa mkunjo y kwa pointi na y abscissa y Kokotoa eneo la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta a na b ambapo a na b ()

Kazi 11 za mtihani wa maandishi katika hisabati ya juu katika kipindi cha majira ya baridi - mwaka wa kitaaluma Kazi Viamuzi vya sifa za vibainishi Nadharia ya Lagrange Kokotoa kikomo tg sin li sin Fanya uchunguzi kamili wa kazi, jenga grafu y na Tafuta ongezeko na tofauti. ya kazi y katika hatua ikiwa ongezeko la hoja Onyesha njia ya kutumia tofauti kwa hesabu takriban. Kokotoa derivative ya mpangilio n ya kazi y dhambi Kiasi cha bidhaa zinazozalishwa na timu katika kila saa ya zamu imetolewa. kwa kazi f (t) t t t ambapo t t ni wakati katika masaa Amua wakati ambapo tija ya kazi inapungua Tafuta mahali pa makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege: y z y z Katika vekta gani inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja Je, ni mstari na ndege sambamba? Kwa kuzingatia mfumo wa milinganyo b b b Amua seti ya vekta b (b bb) ambayo mfumo unalingana Eleza seti iliyopatikana kijiometri na uijenge kwa R Toa uhalali wa kinadharia wa suluhisho Tafuta eneo la msambamba uliojengwa kwenye vekta a b wapi na pembe kati ya Jibu y a y() y katika y() ; grafu ya utendaji kwenye ukurasa unaofuata y dy (y n) dhambi(n) n at t tija ya kazi inapungua N sehemu ya makutano - M (;;); vekta ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja inaweza kuchaguliwa ili l (; ;) b b b vekta ni sawa na

12 Grafu ya chaguo za kukokotoa y ina asymptoti wima na dalili ya oblique y y() as() kama

13 Kazi za mtihani wa maandishi katika hisabati ya juu katika kipindi cha majira ya baridi - mwaka wa masomo Mgawo Jibu Bidhaa yenye nukta ya vekta Kikomo cha kwanza cha ajabu (Utoaji wa fomula) Toa mfano wa kukokotoa kikomo Chunguza utendaji t kwa mwendelezo Fanya utafiti kamili wa chaguo za kukokotoa huunda grafu yake f (t) t ikiwa y na Andika mlinganyo wa kawaida kwa grafu ya chaguo la kukokotoa y katika uhakika (;) Je, mlinganyo una mizizi kwenye sehemu [;]? ina pointi - pointi za kutoendelea - hatua ya kutoendelea inayoweza kutolewa y a y() y katika y() grafu ya chaguo la kukokotoa kwenye ukurasa unaofuata y Katika pembetatu yenye vipeo (; ;) B(; ;) C(;;) pata urefu wa h h BD Tunga mlingano wa ndege inayopita kwenye nukta (;;) inayoendana na ndege y z na y z y z Chunguza mfumo wa milinganyo ya upatanifu na usuluhishe ikiwa inalingana kwenye R Andika mtengano wa vekta (; ;) katika vivekta a. (;;) a (;;) a (;;) a a

14 Grafu ya chaguo za kukokotoa y ina dalili ya wima na dalili ya oblique y y() kama() kama

15 Mtihani ulioandikwa katika hisabati ya juu katika kipindi cha majira ya baridi - mwanafunzi wa mawasiliano n n Tafuta mipaka ya li li n n n n Tafuta jumla ya maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi y kwa muda [ ;] y z u v Chunguza mfumo wa milinganyo kwa y z u v upatanifu na uitatue ikiwa inaoana Tafuta kiingilizi cha chaguo za kukokotoa f () sin() cos() Chunguza kazi y na uunde grafu yake tg Tafuta mipaka li li Andika milinganyo ya tengenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y kwenye sehemu za makutano ya grafu ya chaguo za kukokotoa na mhimili wa abscissa Chunguza chaguo za kukokotoa f () y kwa mwendelezo Tatua mfumo wa milinganyo y kwa kutumia mbinu ya Cramer Tafuta jumla ya upeo wa chaguo za kukokotoa y

16 Mtihani ulioandikwa katika hisabati ya juu katika kipindi cha majira ya baridi - utafiti katika idara ya mawasiliano ya Kitivo cha Uchumi Mbinu ya Gauss Kanuni ya L'Hopital ya kufichua kutokuwa na uhakika Kokotoa kikomo cha mlolongo wa nambari unaotolewa na jumla (n)(n)(n) mjumbe n (n)(n) Kokotoa li Amua mpangilio usio na kikomo kuhusiana na kwenye kwenye ukingo y, tafuta mahali ambapo tanjenti inalingana na chord ya sehemu ya kuunganisha (-;-) na B(;) Kokotoa. angle ya papo hapo kati ya ndege y z na mstari wa moja kwa moja y z y z Kuhesabu derivatives ya kazi: a) y () ; b) y tg (); c) y) (Chunguza mfumo wa milinganyo kwa uthabiti na usuluhishe ikiwa ni thabiti. Kokotoa unyumbufu wa chaguo za kukokotoa kwa thamani fulani ya hoja.

Programu ya mtihani ulioandikwa katika "Hisabati ya Juu" katika kipindi cha msimu wa baridi wa mwaka wa masomo kwa mwaka wa kwanza wa Kitivo cha Uchumi cha wakati wote (maalum "Uchumi" na "Nadharia ya Uchumi").

Matrices ya tikiti, vitendo juu yao Mlolongo wa nambari, sifa za mfuatano usio na kikomo Kokotoa umbali kutoka kwa uhakika M(; ;) hadi kwa ndege inayopitia pointi A(; ; 0), B(; ;

Maswali ya kujiandaa kwa Mada ya mtihani. Aljebra ya mstari 1. Kiamuzi ni nini? Ni chini ya mabadiliko gani thamani ya kibainishi haibadilika? 2. Ni katika hali gani kibainishi ni sawa na sifuri? Nini kinafuata

Mpango wa mtihani ulioandikwa katika "Hisabati ya Juu" kwa mwaka wa kwanza wa idara za mawasiliano za Kitivo cha Uchumi katika kipindi cha majira ya baridi. Mtihani ulioandikwa unafanyika kwa saa mbili. Katika mtihani, kila mwanafunzi

Wizara ya Elimu ya Jamhuri ya Belarusi CHUO KIKUU CHA TAIFA CHA UFUNDI CHA BELARUSIAN Idara ya MPANGO WA “Hisabati ya Juu” MASWALI NA KAZI ZA MTIHANI kwa kozi ya “Hisabati. muhula" kwa

Miongozo ya kutatua mtihani 1 katika taaluma "Hisabati" kwa wanafunzi wa mwaka wa kwanza wa utaalam wa ujenzi Idara ya Hisabati ya Juu AV Kapusto Minsk 016 016 Idara ya Hisabati ya Juu

ANGALIA MASWALI KWA MIHADHARA. Sehemu ya 1. Vekta na algebra ya mstari. Hotuba ya 1. Matrices, shughuli juu yao. Viamuzi. 1. Ufafanuzi wa matrix na matrix iliyopitishwa .. Mpangilio wa tumbo ni nini?

ANGALIA MASWALI KWA MIHADHARA. Sehemu ya 1. Vekta na algebra ya mstari. Hotuba ya 1. Matrices, shughuli juu yao. Viamuzi. 1. Ufafanuzi wa tumbo na tumbo la transposed .. Ni nini kinachoitwa utaratibu

Mwelekeo: Maswali na kazi za "Ujenzi" kwa mtihani wa muhula. Matrices: ufafanuzi, aina. Uendeshaji na matrices: ubadilishaji, kuongeza, kuzidisha kwa nambari, kuzidisha matrix. 2. Mabadiliko ya msingi

MASWALI YA KUJIANDAA KWA MTIHANI Vekta aljebra na jiometri ya uchanganuzi. Ufafanuzi wa vector. Usawa wa vekta. Uendeshaji wa mstari kwenye vekta. Utegemezi wa mstari wa vekta. Msingi na kuratibu.

YALIYOMO SEHEMU YA I Mihadhara 1 2 Viamuzi na matrices Mhadhara 1 1.1. Dhana ya matrix. Aina za matrices... 19 1.1.1. Ufafanuzi wa kimsingi... 19 1.1.2. Aina za matrices... 19 1.2.* Ruhusa na uingizwaji... 21 1.3.*

Dibaji Sura ya I. MAMBO YA ALGEBRA YA LINEAR 1. Matrices 1.1. Dhana za kimsingi 1.2. Vitendo kwenye matrices 2. Viamuzi 2.1. Dhana za kimsingi 2.2. Mali ya viashiria 3. Matrices yasiyo ya umoja 3.1.

TIKETI YA MTIHANI 1 1. Matrices, shughuli kwenye matrices. 2. Mipaka ya juu na ya chini ya seti za nambari. Sehemu ya nambari halisi. KADI YA MITIHANI 2 1. Viamuzi. Tabia za viashiria, njia

Idara ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta Uchanganuzi wa Hisabati Uchanganuzi wa kielimu na kimbinu kwa wanafunzi wa elimu ya juu wanaosoma kwa kutumia teknolojia ya masafa Moduli ya 4 Utumizi Miundo Imetungwa na: Profesa Mshiriki.

WIZARA YA ELIMU NA SAYANSI YA Taasisi ya Kielimu ya Bajeti ya Jimbo la Shirikisho la Urusi ya Elimu ya Juu ya Kitaalamu "CHUO KIKUU CHA HUMANITIES SERIKALI YA SERIKALI" (RGGU) Tawi huko Domodedovo.

Wizara ya Elimu na Sayansi ya Shirikisho la Urusi Chuo Kikuu cha Shirikisho cha Kaskazini (Arctic) kilichoitwa baada ya M. Lomonosov Idara ya Hisabati Sampuli ya kazi kwa ajili ya mtihani katika hisabati (sehemu) kwa wanafunzi wa kundi la 9 IEIT mwelekeo.

SHIRIKISHO LA ELIMU Chuo Kikuu cha Ufundi cha Jimbo la Moscow "MAMI" Idara ya "Hisabati ya Juu" Prof., Daktari wa Sayansi Kadymov VA Profesa Mshiriki, Mgombea wa Sayansi Soloviev GH Uchunguzi kwa udhibiti wa kati.

Idara ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta Vipengele vya Hisabati ya Juu Kielimu na mbinu changamani kwa wanafunzi wa elimu ya sekondari ya ufundi stadi wanaosoma kwa kutumia teknolojia ya masafa Moduli ya Kokotoo ya Tofauti Imetungwa na:

Mwongozo kwa wanafunzi juu ya kufahamu nidhamu (moduli) Mipango ya somo kwa vitendo Matrices na viambishi, mifumo ya milinganyo ya mstari Uendeshaji wa Matrices kwenye matrices Inverse Matrix Elementary.

Chaguo la 5 Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa: y arcsin + Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa huamuliwa na tofauti mbili: na au Zidisha ukosefu wa usawa wa kwanza na uondoe ishara ya moduli: Kutoka kushoto.

Wizara ya Elimu na Sayansi ya Shirikisho la Urusi Chuo Kikuu cha Shirikisho cha Arctic cha Kaskazini kilichoitwa baada. M.V. Lomonosov Idara ya Maswali ya Hisabati katika hisabati kwa wanafunzi wa kozi za mawasiliano za utaalam 000. "Uhandisi wa nguvu ya joto"

Hotuba ya 9. Derivatives na tofauti za maagizo ya juu, mali zao. Sehemu za juu zaidi za chaguo za kukokotoa. Nadharia za Fermat na Rolle. Acha chaguo la kukokotoa y liweze kutofautishwa kwa muda fulani [b]. Katika kesi hii, derivative yake

Kutokana na matriki Kazi ya mtihani A 0 T= Kazi [, ukurasa ] Bainisha mwelekeo wake Andika sifa za matriki hii: mstatili, mraba, ulinganifu, kitengo, sifuri, pembetatu, ulalo,

Tikiti ya mtihani 1 Kitivo: 101-152, 125-126 1. Kuzidisha matrix. 2. Bidhaa ya Vector katika fomu ya kuratibu 3. Mipaka ya upande mmoja. Kadi ya mtihani 2 1. Maamuzi ya agizo la 3. 2.

Maswali na majukumu ya mtihani Aljebra Linear Metriki na viambishi Kokotoa viambishi: a), b), c), d) Tatua mlingano 9 9 Tafuta kiambishi cha matrix B A C: A, B Tafuta bidhaa ya matriki.

Chaguo Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa: + + + Ukosefu wa usawa + huridhika kila wakati. Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa huamuliwa na ukosefu wa usawa ufuatao:, hizo, na hizo Suluhisho la mfumo wa kukosekana kwa usawa huu.

Chuo Kikuu cha Ufundi cha Jimbo la Moscow kilichoitwa baada ya N. E. Bauman Kituo maalum cha elimu na kisayansi Taasisi ya elimu ya bajeti ya jiji la Moscow Lyceum 1580 (huko MSTU iliyopewa jina hilo.

Tafuta neno la kawaida la mlolongo,) Tafuta b) lim () c) 9 7 7) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Tafuta ()!! lim ()!) b) c) Tafuta 6 si lim si d)) b) c) d) d) () Tafuta lim [ (l() l)]) b) c) e d) l 6 Tafuta

Hisabati [Rasilimali za elektroniki]: elimu ya elektroniki na tata ya mbinu. Sehemu ya 1 / E.A. Levina, V.I. Zimin, I.V. Kasymova [na wengine]; Sib. jimbo viwanda chuo kikuu. - Novokuznetsk: SibGIU, 2010. - 1 disk ya macho ya elektroniki

Wizara ya Elimu na Sayansi ya Shirikisho la Urusi Taasisi ya Elimu ya Bajeti ya Serikali ya Shirikisho ya Elimu ya Juu ya Taaluma "SIBERIAN STATE GEODETIC ACADEMY"

Tikiti ya 1 1 Viamuzi vya mpangilio wa tatu na wa 1, sifa zao na mbinu za kukokotoa. Mifumo ya utatuzi wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Cramer Tatua mfumo wa milinganyo kwa kutumia mbinu za calculus za Gaussian na matrix: Tafuta viwianishi.

Mitihani katika taaluma "Hisabati" kwa wanafunzi wa mwelekeo 676 (9) "Teknolojia na muundo wa uzalishaji wa ufungaji" Orodha ya mada Linear algebra Vector algebra algebra Analytical Jiometri.

Yaliyomo Utangulizi

Kalkulasi tofauti Dhana na fomula za kimsingi Ufafanuzi 1 Kinyume cha chaguo za kukokotoa katika hatua ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi nyongeza ya hoja, mradi tu nyongeza ya hoja.

KAZI KWA KAZI HURU KWA WANAFUNZI WA MAWASILIANO KATIKA KIPINDI CHA KATI YA KIKAO KATIKA NIDHAMU YA MASOMO "MBINU ZA MAAMUZI YANAYOFAA" KATIKA UELEKEZO WA MAANDALIZI 37.00.01 SAIKOLOJIA Mada 1. Matrices

TAASISI YA ELIMU YA SERIKALI YA ELIMU YA JUU YA UTAALAM "VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" UTANGULIZI WA UCHAMBUZI NA KUMBUKUMBU TOFAUTI YA KAZI ZA KIBAO MOJA.

DOKEZO kwa programu ya kazi ya taaluma "Hisabati" Mwelekeo wa mafunzo (maalum) 03/38/04 Utawala wa serikali na manispaa 1. MALENGO NA MALENGO YA NIDHAMU 1.1. Malengo ya nidhamu: maendeleo

Vikomo vya Mada ya Mtihani na viambajengo vya chaguo za kukokotoa Tafuta vikomo vya vitendaji vifuatavyo vya kigezo kimoja (bila kanuni ya L'Hopital) a) b) c) d) Mfano a) Suluhisho Bainisha aina ya kutokuwa na uhakika Ukiwa rasmi.

ZANA ZA TATHMINI ZA UDHIBITI WA SASA WA MAFANIKIO, CHETI CHA KATI KULINGANA NA MATOKEO YA UZIMA WA NIDHAMU Nidhamu ya kitaaluma B.2.1 - Wasifu wa mafunzo ya Hisabati: Usimamizi wa uzalishaji Mada

1 Chuo Kikuu cha Ufundi cha Jimbo la Moscow kilichoitwa baada ya N.E. Bauman Kituo maalum cha elimu na kisayansi GOU Lyceum 1580. Maswali ya mtihani wa uhamisho katika hisabati (darasa la 10 2016 2017 kitaaluma

1 Chuo Kikuu cha Ufundi cha Jimbo la Moscow kilichoitwa baada ya N.E. Bauman Kituo maalum cha elimu na kisayansi GOU Lyceum 1580. Maswali ya mtihani wa uhamisho katika hisabati. Darasa la 10, mwaka wa masomo 2014-2015

Chaguo la 9 Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa: y + lg Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa huamuliwa na ukosefu wa usawa ufuatao: >, wale > Zaidi ya hayo, kiashiria kinapaswa kutoweka: au ± Kuchanganya matokeo,

Sampuli za matatizo ya kimsingi na maswali kwenye MA kwa muhula kikomo cha mfuatano Rahisi Kokotoa kikomo cha mfuatano l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Kokotoa kikomo cha mlolongo

Tiririsha: TVGT -I TIKETI YA MTIHANI 1 1Viainisho vya agizo la th na la th Kanuni za kukokotoa Algorithm ya jumla ya kusoma grafu ya vitendaji kwa kutumia viasili Kutafuta thamani kubwa na ndogo zaidi

Chaguo Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa huamuliwa na ukosefu wa usawa > Mizizi ya mlinganyo ni nambari Kwa kuwa matawi ya parabola yanaelekezwa juu, ukosefu wa usawa > umeridhika.

01 1. Tafuta masuluhisho ya jumla na ya msingi ya mfumo wa milinganyo: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Jibu: Ikiwa tutachagua x kama kigezo cha msingi, basi suluhu ya jumla ni: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x , x, x R; msingi

MFUKO WA TATHMINI YA UTHIBITISHO WA KATI WA WANAFUNZI KATIKA NIDHAMU (MODULE). Taarifa za jumla 1. Idara ya Habari, Sayansi ya Kompyuta na Usalama wa Habari 2. Mwelekeo

Chaguo Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa: y arcsi + Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa huamuliwa na tofauti mbili na Zidisha ukosefu wa usawa wa kwanza na uondoe ishara ya moduli: Kutoka kwa usawa wa kushoto.

Chaguo Pata kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa: y + Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa imedhamiriwa na ukosefu wa usawa Kwa kuongeza, dhehebu haipaswi kwenda kwa sifuri Hebu tupate mizizi ya denominator: Kuchanganya matokeo.

Chaguo + Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa: y lg Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa huamuliwa na ukosefu wa usawa + hizo Kisha, kiashiria haipaswi kwenda kwa sifuri: lg au ± Kwa kuongeza, hoja ya logariti.

Imeidhinishwa katika mkutano wa Idara ya Hisabati na Habari, Dakika 2(25) tarehe 8 Septemba, 2015. kichwa Idara ya Ph.D. Timshina D.V. Maswali ya kupima katika taaluma "LINEAR ALGEBRA NA UCHAMBUZI WA HISABATI"

Tiketi.. Ufafanuzi wa matrix (pamoja na mifano ya matrices ya mraba na mstatili).. Maana ya kijiometri ya utaratibu wa kwanza Taylor polynomial (uundaji, mfano, kuchora). (x)ctg(x). 4. Njia ya mchoro wa picha

TAASISI YA SERIKALI YA ELIMU YA JUU "CHUO KIKUU CHA BELARUSIAN-RUSSIA" Idara ya "Hisabati ya Juu" HISABATI YA JUU Maagizo ya mbinu na lahaja za kazi za mtihani.

4 Mwongozo wa kukamilisha jaribio la "Derivative na matumizi yake Maombi ya calculus tofauti" Matumizi ya derivative ya calculus tofauti Derivative ya kazi f (

Chaguo la 7 Pata kikoa cha chaguo la kukokotoa: y +/lg Kikoa cha chaguo la kukokotoa kimedhamiriwa na hali zifuatazo:, >, hizo > / Zaidi ya hayo, kiashiria haipaswi kwenda kwa sifuri: au Kuchanganya matokeo,

Mihadhara ya 7-9 Sura ya 7 Uchunguzi wa chaguo za kukokotoa 7 Kuongezeka na kupungua kwa chaguo za kukokotoa Nadharia juu ya monotonicity ya chaguo za kukokotoa Ikiwa f (kwenye muda (a ; b), basi katika kipindi hiki kitendakazi f (huongezeka Ikiwa f (kwenye muda)

Programu ya mtihani katika hisabati kwa wanafunzi wa taaluma maalum "Fedha na Mikopo" (kozi ya mawasiliano) 1 Sehemu ya 2. Misingi ya uchambuzi wa hisabati KAZI NA MIPAKA Dhana ya utendaji Ufafanuzi wa kazi,

Chuo Kikuu cha Ufundi cha Jimbo la Moscow kilichoitwa baada ya N. E. Bauman Kituo maalum cha elimu na kisayansi Taasisi ya Kielimu ya Jimbo Lyceum 1580 Maswali ya mtihani wa hisabati (daraja la 11, muhula wa 3, Desemba 2013)

Chaguo la 5 Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa lg5 Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa limedhamiriwa na ukosefu wa usawa 5 > Mizizi ya equation 5+ ni nambari, Kwa kuwa matawi ya parabola + 5 yanaelekezwa chini, ukosefu wa usawa.

Kazi 2.1. Tafuta kama
,
,
.

Suluhisho. A). Kwa
tuna

b). Kwa
.

V). Kwa
.

Tatizo 2.2. Tafuta
, Kama

b). Kutofautisha equation kwa
, tuna

Kutofautisha uhusiano wa mwisho kunatoa

Kuanzisha usemi wa , tunapata

V). Nyingine ya kwanza ya chaguo za kukokotoa zilizobainishwa kigezo huhesabiwa kwa kutumia fomula

Tunahesabu derivative ya pili kwa kutumia formula

Tatizo 2.3. Kuhesabu kikomo kwa kutumia sheria ya L'Hopital:

Suluhisho. A). Kikomo kinachotafutwa ni kutokuwa na uhakika wa aina

Kulingana na sheria ya L'Hopital

b). Kikomo ni kutokuwa na uhakika wa fomu
kwa hiyo, kwanza lazima igeuzwe kuwa fomu au :

Hadi ya mwisho (kama
) Sheria ya L'Hopital inaweza kutumika:

Kikomo kinachosababishwa tena ni kutokuwa na uhakika
kwa hivyo kutumia tena sheria inatoa

V). Kikomo ni kutokuwa na uhakika wa fomu ambayo ni rahisi kutumia mbinu ifuatayo. Hebu kuashiria

. (1)

Hebu tuhesabu kikomo cha msaidizi

Kikomo kinachohitajika kulingana na (1) ni sawa na

Tatizo 2.4. Chunguza chaguo za kukokotoa
na kupanga.

Suluhisho. Kikoa cha ufafanuzi ni mhimili mzima halisi
. Ili kupata maeneo ya monotonicity, tunapata

Kisha
katika
(kuongezeka kwa muda),
katika
(kupungua kwa muda). Nukta
imesimama kwa sababu
Wakati wa kupita
mabadiliko derivative ishara kutoka plus hadi minus, hivyo wakati
kazi ina upeo wa ndani.

Ili kupata maeneo ya convexity, derivative ya pili hutumiwa

Katika
au
mapenzi
na kazi ni concave; katika

na kazi ni mbonyeo.

Chaguo hili la kukokotoa halina dalili za wima. Ili kupata asymptotes za oblique
hebu tuhesabu

Kwa hiyo, lini
kazi ina asymptote

Matokeo ya utafiti kwa kuzingatia usawa wa kazi
inavyoonyeshwa kwenye grafu

KUHUSU

4.3. Suluhisho la toleo la kawaida la kazi ya mtihani n 3

Kazi 3.1. Pata gradient na milinganyo ya ndege ya tangent na ya kawaida kwa uso fulani kwa uhakika
.

Suluhisho. Hebu kuashiria

Thamani ya gradient

Mlinganyo wa ndege ya tangent yenye vekta ya kawaida (7,-4,-19) na kupita
, itasajili

Mstari wa kawaida una vekta ya mwelekeo (7,-4,-19) na hupitia
, kwa hivyo milinganyo yake

Tatizo 3.2. Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa
katika eneo D, lililopunguzwa na mistari fulani:

Suluhisho. Eneo la D linaonyeshwa kwenye takwimu (pembetatu ya OAB).

Pointi za stationary ni suluhisho kwa mfumo wa milinganyo

tunapata wapi uhakika
, mali, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa takwimu, hadi kanda
. Katika hatua hii
. (2)

Wacha tusome kazi kwenye mpaka wa kikoa D.

Sehemu ya OA. Hapa
Na
Pointi za stationary zimedhamiriwa kutoka kwa mlinganyo
wapi
Katika hatua hii

. (3)

Katika mwisho wa sehemu

,

. (4)

Sehemu ya AB. Hapa
Na

Kutoka kwa Eq.
tunapata
Na

. (5)

Katika
tuna

. (6)

Sehemu ya OB. Hapa
Kwa sababu ya
katika
kazi haina pointi za stationary. Maadili yake katika

zilihesabiwa katika (4), (6).

Kutokana na matokeo (2)-(6) tunahitimisha kuwa

Zaidi ya hayo, thamani kubwa zaidi hupatikana katika hatua A (3.0), ndogo zaidi katika hatua C (2.1).

Tatizo 3.3. Pata tofauti kamili ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Sehemu derivatives ni sawa

Tatizo 3.4. Tafuta sehemu ya sehemu ya mpangilio wa pili wa chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Kwanza tunapata derivatives ya sehemu ya agizo la kwanza:

Kisha, kutofautisha derivatives ya sehemu iliyopatikana, tunapata sehemu

derivatives ya mpangilio wa pili wa kazi hii:

Tatizo 3.5. Kokotoa derivative ya kazi changamano

katika
sahihi kwa sehemu mbili za desimali.

Suluhisho. Tangu kazi tata inategemea tofauti moja kupitia vigezo vya kati Na , ambayo kwa upande inategemea tofauti moja kisha tunahesabu derivative ya jumla ya chaguo la kukokotoa kwa kutumia fomula

Hebu tuhesabu Na katika
:

Wacha tubadilishe maadili
katika usemi wa derivative. Tunapata

4.4. Suluhisho la toleo la kawaida la jaribio la 4

Tatizo 4.1. Kutumia ujumuishaji na sehemu, hesabu kiunganishi kisicho na kikomo cha kazi ya fomu

Suluhisho. Kwa sababu ya

kiunga kinachohitajika ni sawa na

Tatizo 4.2. Kokotoa kiunganishi kisicho na kikomo kwa kutenganisha kiungo katika sehemu rahisi

Suluhisho. Kwa kuwa kiwango cha polynomial katika nambari sio chini ya kiwango cha dhehebu, mgawanyiko lazima ufanyike:

Wacha tutengane sehemu inayofaa kuwa sehemu rahisi zaidi

Kwa kutumia njia ya mgawo ambao haujabainishwa tunapata

Kutatua mfumo huu wa milinganyo, tunayo

Kiunga kinachohitajika ni sawa na

Tatizo 4.3.
.

Suluhisho. Wacha tufanye badala
Kutatua equation kwa , tunapata:

.

Kisha kiunga kinachohitajika kitaandikwa:

Kupanua kiunganishi katika sehemu rahisi

na kufungua mabano katika usawa

tunafika kwenye uhusiano

Mfumo wa milinganyo kuhusu
itasajili

Kutatua kwa njia ya Gaussian, tunapata

Kiunga kinachohitajika ni sawa na:

Tatizo 4.4. Kokotoa kiunganishi kisichojulikana cha chaguo za kukokotoa kwa kutumia kibadala
.

Suluhisho. Uingizwaji ni wa ulimwengu wote
ambayo ni rahisi kuangalia usawa

Kwa hiyo, kiunganishi kinachohitajika kinapunguzwa kwa kesi ya kuunganishwa kwa sehemu ya busara

. (7)

Walakini, katika hali zingine mbadala zinafaa zaidi:

(1)
Kisha

;

(2)
Kisha

;

(3)
Kisha

.

Ubadilishaji 1 na 2 husababisha viambatanisho vilivyo na itikadi kali na kwa hivyo hazifai. Kwa ubadilisho wa 3 tunafika kwenye kiungo ambacho ni rahisi zaidi kuliko (7) na kinaweza kupunguzwa kwa urahisi kuwa jedwali:

Tatizo 4.5. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

Suluhisho. A). Fikiria kazi ya msaidizi kwenye sehemu
Eneo linahesabiwa kwa kutumia formula

Hebu tuchunguze
Ni dhahiri kwamba
Kwa sababu ya

ni rahisi kuangalia hilo
inafikia hatua
kiwango cha chini cha ndani, na kwa kuongeza,
Kwa hivyo thamani ndogo zaidi
kwa, sawa
, ni chanya, na, kwa hiyo,
Tuna

Kuhesabu muhimu kwa sehemu, tunapata

b). Hapa
juu
Tuna

, na kwa hiyo
ishara ya mabadiliko. Wacha tupate vipindi ambapo ni chanya au hasi. Kutafuta mizizi ya equation
kupata thamani
Ndiyo maana
katika
Na
katika
Eneo linalohitajika ni:

Kuhesabu kiunganishi kisichojulikana

Tatizo 4.6. Kuhesabu eneo lililofungwa na curve katika mfumo wa kuratibu wa polar.

Suluhisho. Curve imefafanuliwa kwa maadili hayo kutoka kwa muda
(au
), ambapo hali hiyo imeridhika
Kutokuwa na usawa
ina masuluhisho
au

. (8)

Mikoa (8) ni ya muda
kwenye maadili
hizo.

Eneo linahesabiwa kwa kutumia formula

Kuhesabu kiunganishi kisichojulikana

Tatizo 4.7. Hesabu kiunganishi kisichofaa
au kuthibitisha tofauti zake.

Suluhisho. Kulingana na ufafanuzi wa kiunganishi kisichofaa na kikomo kisicho na kikomo, tunayo

Kwa kuwa mizizi ya trinomial katika denominator itakuwa

Hiyo

Kwa kutumia njia ya mgawo ambao haujabainishwa tunapata

, wapi

Ndiyo maana

Thamani ya muunganisho usiofaa ni

Tatizo 4.8. Piga hesabu ya wingi wa sahani isiyo na usawa iliyofungwa na mistari fulani na kuwa na msongamano wa uso

Suluhisho. Mtazamo wa eneo unaonyeshwa kwenye takwimu.

Uzito wa sahani
inaweza kuandikwa kwa kutumia viambatanisho viwili

Wacha tupunguze kiunganishi maradufu kwa kiunganishi kilichorudiwa

Tatizo 4.9. Kwa kutumia kiunganishi mara tatu, hesabu kiasi cha eneo la V lililofungwa na nyuso zilizoonyeshwa: V: y=8-2x 2, z=0, y=0, x=0, z=2x+y.

Suluhisho. Mkoa V umeonyeshwa kwenye takwimu, ambapo namba 1, 2 zinaonyesha silinda ya parabolic y = 8-2x 2 na ndege z = 2x + y, kwa mtiririko huo; milinganyo iliyobaki inalingana na ndege za kuratibu.

1 4 -

0 C

Kiasi eneo kwa kutumia kiunganishi mara tatu litaandikwa

Wacha tupunguze kiunga kwa kurudiwa

Kupitia
matumizi ya dots yanaonyeshwa
(tazama takwimu), iliyohesabiwa kutoka kwa milinganyo ya ndege
na ndege
, i.e.
,
. Kupitia eneo maalum la ndege
, ambapo eneo hilo linatarajiwa . Kwa hiyo, wakati wa kupunguza muhimu mara mbili juu ya eneo hilo kuratibu upya
pointi
huhesabiwa kutoka kwa mlinganyo
na milinganyo ya mstari ambao ni makutano ya uso wa silinda
na ndege
hizo. milinganyo
Kiasi kinachohitajika ni

Tatizo 4.10. Hesabu: a) malipo ya kondakta iko kando ya curve , na msongamano
kutumia curvilinear muhimu ya aina ya kwanza; b) kazi ya nguvu
kando ya trajectory L kutoka kwa t. A mpaka t. B kwa kutumia kiunganishi cha curvilinear cha aina ya pili.

Mzunguko wa robo
kati ya A(3,-3), B(5,-1). (2) - parabola arc
kutoka A(0,1) hadi KATIKA(1,-1).

Suluhisho.A) Malipo q kondakta kuwa na msongamano wa chaji
kuhesabiwa kwa formula

(1). Ni rahisi kufafanua mduara katika fomu ya parametric:

Njama L yanahusiana na maadili ya parameta
Wapi

ambapo kiungo cha Curvilinear kinaonyeshwa kupitia dhahiri

na ishara ya juu huchaguliwa lini
na ya chini - saa

Katika tatizo hili

(2). Kwa safu ya parabola L, ni rahisi zaidi kutumia kesi maalum ya formula kwa

Kwa
tuna

Tunatumia uingizwaji

b) Kufanya kazi kwenye uwanja wa nguvu na vipengele
kando ya trajectory AB itaandikwa

(1). Kwa mduara wa robo, tunapunguza kiungo kwa ile iliyofafanuliwa na fomula

(2). Kwa safu ya parabola

Tatizo 4.11. Kokotoa kiwango cha mtiririko wa kiowevu na uga wa kasi unaotiririka kwa kila kitengo cha wakati kupitia sehemu amelala gorofa katika oktani ya kwanza. Kitengo cha kawaida kuelekezwa nje ya asili.

Suluhisho. Kiwango cha mtiririko kinachohitajika kinatolewa na fomula

Kitengo cha kawaida kwa ndege kina vipengele

Uunganisho wa uso unaweza kuonyeshwa kwa suala la kiunganishi mara mbili

ambapo equation ya uso imeandikwa kwa uwazi:

Mkoa
ni makadirio kwa ndege
na imepunguzwa na mistari

Kuanzisha vitendaji vilivyopeanwa kwenye kiunganishi mara mbili, tunapata

Mwisho unaweza kuandikwa kupitia kiunganishi kinachorudiwa

Maudhui


	Programu za kawaida za kozi "Hisabati ya Juu". Usomaji unaopendekezwa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Programu ya kozi "Hisabati ya Juu" ya uhandisi
		Programu ya kozi "Hisabati ya Juu" kwa uchumi utaalamu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Karatasi za mtihani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Sheria za kukamilisha majaribio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Kuchagua chaguo la jaribio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Kazi za mtihani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	KAZI YA KUDHIBITI Nambari 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	KAZI YA KUDHIBITI Nambari 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	KAZI YA KUDHIBITI Namba 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	KAZI YA UDHIBITI Namba 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Mifano ya kutatua matatizo ya mtihani. . . . . . . . . . .
		Suluhisho la toleo la kawaida la kazi ya mtihani No. . . . . . . . . . . . .
		Suluhisho la toleo la kawaida la kazi ya mtihani No. . . . . . . . . . . . .
		Suluhisho la toleo la kawaida la kazi ya mtihani No. . . . . . . . . . . . .
		Suluhisho la toleo la kawaida la kazi ya mtihani No. . . . . . . . . . . . .

Maandishi ya kazi yanatumwa bila picha na fomula.
Toleo kamili la kazi linapatikana kwenye kichupo cha "Faili za Kazi" katika muundo wa PDF

Utangulizi

Mada hii ni muhimu, kwa kuwa kila siku watu hutatua matatizo mbalimbali ambayo hutumia njia tofauti za ufumbuzi, lakini kuna kazi ambazo mtu hawezi kufanya bila njia ya uingizaji wa hisabati, na katika hali hiyo ujuzi katika eneo hili utakuwa muhimu sana.

Nilichagua mada hii kwa utafiti kwa sababu wakati mdogo hutolewa kwa njia ya kuanzishwa kwa hisabati katika mtaala wa shule; mwanafunzi hujifunza habari ya juu ambayo itamsaidia kupata wazo la jumla la njia hii, lakini ili kusoma nadharia hii kina, kujiendeleza kutahitajika. Itakuwa muhimu sana kujifunza zaidi kuhusu mada hii, kwani inapanua upeo wa mtu na kusaidia katika kutatua matatizo magumu.

Lengo la kazi:

Jifahamishe na njia ya utangulizi wa hesabu, panga maarifa juu ya mada hii na uitumie wakati wa kutatua shida za hesabu na uthibitisho wa nadharia, thibitisha na uonyeshe wazi umuhimu wa vitendo wa njia ya uanzishaji wa hesabu kama sababu ya lazima ya kutatua shida.

Malengo ya kazi:

Chambua fasihi na ufupishe maarifa juu ya mada hii.

Kuelewa kanuni ya njia ya uingizaji wa hisabati.

Chunguza utumiaji wa mbinu ya kihesabu katika utatuzi wa matatizo.

Tengeneza hitimisho na hitimisho juu ya kazi iliyofanywa.

Sehemu kuu ya utafiti

Historia:

Ni kuelekea mwisho wa karne ya 19 tu ambapo kiwango cha mahitaji ya ukali wa kimantiki kiliibuka, ambacho kinabakia kutawala hadi leo katika kazi ya vitendo ya wanahisabati juu ya ukuzaji wa nadharia za hesabu za kibinafsi.

Introduktionsutbildning ni utaratibu wa utambuzi ambapo taarifa ya jumla yao inatokana na ulinganisho wa ukweli uliopo.

Katika hisabati, jukumu la introduktionsutbildning ni kwa kiasi kikubwa kwamba ni msingi wa axiomatics iliyochaguliwa. Baada ya mazoezi ya muda mrefu ilionyesha kuwa njia iliyonyooka daima ni fupi kuliko iliyopinda au iliyovunjika, ilikuwa ni kawaida kuunda axiom: kwa pointi tatu A, B na C, usawa unashikilia.

Ufahamu wa mbinu ya utangulizi wa hisabati kama njia tofauti muhimu unarudi kwa Blaise Pascal na Gersonides, ingawa kesi za mtu binafsi za matumizi zinapatikana katika nyakati za zamani katika Proclus na Euclid. Jina la kisasa la njia hiyo lilianzishwa na De Morgan mnamo 1838.

Njia ya induction ya hisabati inaweza kulinganishwa na maendeleo: tunaanza kutoka chini kabisa, na kama matokeo ya mawazo ya kimantiki tunakuja juu zaidi. Mwanadamu amejitahidi kila wakati kupata maendeleo, kwa uwezo wa kukuza mawazo yake kimantiki, ambayo inamaanisha kwamba maumbile yenyewe yalimkusudia kufikiria kwa kufata.

Induction na punguzo

Inajulikana kuwa kuna kauli maalum na za jumla, na maneno haya mawili yanategemea mpito kutoka kwa moja hadi nyingine.

Kupunguzwa (kutoka kwa Kilatini deductio - kupunguzwa) - mpito katika mchakato wa utambuzi kutoka jumla maarifa kwa Privat Na single. Katika kupunguzwa, ujuzi wa jumla hutumika kama hatua ya kuanzia ya hoja, na ujuzi huu wa jumla unachukuliwa kuwa "tayari-kufanywa," uliopo. Upekee wa kukatwa ni kwamba ukweli wa majengo yake unahakikisha ukweli wa hitimisho. Kwa hivyo, kupunguzwa kuna nguvu kubwa ya ushawishi na hutumiwa sana sio tu kuthibitisha nadharia katika hisabati, lakini pia popote ujuzi wa kuaminika unahitajika.

Induction (kutoka Kilatini inductio - mwongozo) ni mpito katika mchakato wa utambuzi kutoka Privat maarifa kwa jumla Kwa maneno mengine, ni mbinu ya utafiti na utambuzi unaohusishwa na kujumlisha matokeo ya uchunguzi na majaribio.Sifa ya induction ni asili yake ya uwezekano, i.e. Ikiwa majengo ya awali ni ya kweli, hitimisho la utangulizi ni kweli tu na katika matokeo ya mwisho inaweza kugeuka kuwa kweli au uongo.

Uingizaji kamili na usio kamili

Uelekezaji kwa kufata neno ni aina ya fikra dhahania ambapo fikira hukua kutoka kwa ujuzi wa kiwango kidogo cha jumla hadi ujuzi wa kiwango kikubwa cha ujumla, na hitimisho linalotokana na majengo ni uwezekano wa asili.

Wakati wa utafiti, niligundua kuwa induction imegawanywa katika aina mbili: kamili na haijakamilika.

Uingizaji kamili ni hitimisho ambalo hitimisho la jumla juu ya darasa la vitu hufanywa kulingana na masomo ya vitu vyote vya darasa hili.

Kwa mfano, acha iwe muhimu kubainisha kuwa kila nambari ya asili n ndani ya safu 6≤ n≤ 18 inaweza kuwakilishwa kama jumla ya nambari kuu mbili. Ili kufanya hivyo, chukua nambari zote kama hizo na uandike upanuzi unaolingana:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

Usawa huu unaonyesha kuwa kila nambari tunayopendezwa nayo inawakilishwa kama jumla ya maneno mawili rahisi.

Fikiria mfano ufuatao: mlolongo yn= n 2 +n+17; Hebu tuandike istilahi nne za kwanza: y 1 =19; y 2 =23; y 3 =29; y 4 =37; Kisha tunaweza kudhani kuwa mlolongo mzima una nambari kuu. Lakini hii sivyo, hebu tuchukue y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17. Hii ni nambari ya mchanganyiko, ambayo inamaanisha kuwa dhana yetu sio sahihi, kwa hivyo, utangulizi usio kamili hauelekezi kwa hitimisho la kuaminika kabisa, lakini huturuhusu kuunda nadharia, ambayo baadaye inahitaji uthibitisho wa kihesabu au kukanusha.

Njia ya induction ya hisabati

Uingizaji kamili una matumizi machache tu katika hisabati. Taarifa nyingi za kuvutia za hisabati hufunika idadi isiyo na kikomo ya kesi maalum, na hatuwezi kupima hali hizi zote. Lakini tunawezaje kupima idadi isiyo na kikomo ya kesi? Njia hii ilipendekezwa na B. Pascal na J. Bernoulli, hii ni njia ya uingizaji wa hisabati, ambayo inategemea kanuni ya uingizaji wa hisabati.

Ikiwa sentensi A(n), kulingana na nambari asilia n, ni kweli kwa n=1 na kutokana na ukweli kwamba ni kweli kwa n=k (ambapo k ni nambari yoyote asilia), inafuata kwamba ni kweli pia kwa nambari inayofuata n=k +1, kisha dhana A(n) ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Katika idadi ya matukio, inaweza kuwa muhimu kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani si kwa nambari zote za asili, lakini tu kwa n> p, ambapo p ni nambari ya asili isiyobadilika. Katika kesi hii, kanuni ya induction ya hisabati imeundwa kama ifuatavyo:

Ikiwa pendekezo A(n) ni kweli kwa n=p na kama A(k)  A(k+1) kwa k>p yoyote, basi pendekezo A(n) ni kweli kwa n>p yoyote.

Algorithm (ina hatua nne):

1.msingi(tunaonyesha kuwa taarifa inayothibitishwa ni kweli kwa kesi maalum rahisi ( P = 1));

2. dhana(tunachukulia kuwa taarifa hiyo imethibitishwa kwa mara ya kwanza Kwa kesi); 3 .hatua(chini ya dhana hii tunathibitisha taarifa ya kesi hiyo P = Kwa + 1); 4. pato (saa kauli ni kweli kwa kesi zote, yaani kwa wote P) .

Kumbuka kwamba njia ya introduktionsutbildning hisabati haiwezi kutatua matatizo yote, lakini matatizo tu parameterized na variable fulani. Tofauti hii inaitwa kutofautiana kwa induction.

Utumiaji wa njia ya induction ya hisabati

Wacha tuitumie nadharia hii yote kwa vitendo na tujue ni shida gani njia hii inatumika.

Matatizo ya kuthibitisha ukosefu wa usawa.

Mfano 1. Thibitisha ukosefu wa usawa wa Bernoulli(1+x)n≥1+n x, x>-1, n € N.

1) Kwa n=1 ukosefu wa usawa ni kweli, kwani 1+x≥1+x

2) Tuseme kwamba ukosefu wa usawa ni kweli kwa baadhi ya n=k, i.e.

(1+x) k ≥1+k x.

Kuzidisha pande zote mbili za usawa kwa nambari chanya 1+x, tunapata

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

Kwa kuzingatia kwamba kx 2 ≥0, tunafikia ukosefu wa usawa

(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x.

Kwa hivyo, kutokana na dhana kwamba ukosefu wa usawa wa Bernoulli ni kweli kwa n=k, inafuata kwamba ni kweli kwa n=k+1. Kulingana na njia ya ujanibishaji wa hisabati, inaweza kubishaniwa kuwa ukosefu wa usawa wa Bernoulli ni halali kwa n € N yoyote.

Mfano 2. Thibitisha hilo kwa nambari yoyote asilia n>1, .

Hebu tuthibitishe kwa kutumia njia ya uingizaji wa hisabati.

Wacha tuonyeshe upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa.

1), kwa hivyo, kwa n=2 ukosefu wa usawa ni halali.

2) Hebu kwa baadhi k. Hebu tuthibitishe hilo basi na. Tuna, .

Kulinganisha na, tuna, i.e. .

Kwa nambari yoyote chanya k, upande wa kulia wa usawa wa mwisho ni chanya. Ndiyo maana. Lakini hiyo ina maana na.Tumethibitisha uhalali wa ukosefu wa usawa wa n=k+1, kwa hiyo, kwa mujibu wa mbinu ya uingizaji wa hisabati, ukosefu wa usawa ni halali kwa nambari yoyote asilia n>1.

Matatizo ya kuthibitisha utambulisho.

Mfano 1. Thibitisha kuwa kwa nambari yoyote asilia n usawa ni kweli:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.

Hebu n=1, kisha X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Tunaona kwamba kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli.

2) Tuseme kwamba usawa ni kweli kwa n=kX k =k 2 (k+1) 2/4.

3) Tuthibitishe ukweli wa kauli hii kwa n=k+1, yaani X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Kutokana na uthibitisho ulio hapo juu ni wazi kuwa taarifa hiyo ni kweli kwa n=k+1, kwa hivyo, usawa ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Mfano 2. Thibitisha kuwa kwa asili yoyote n usawa ni kweli

1) Hebu tuangalie kwamba utambulisho huu ni wa kweli kwa n = 1.; - haki.

2) Acha kitambulisho pia kiwe kweli kwa n = k, yaani.

3) Hebu tuthibitishe kwamba utambulisho huu pia ni wa kweli kwa n = k + 1, yaani;

Kwa sababu Ikiwa usawa ni kweli kwa n=k na n=k+1, basi ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Matatizo ya muhtasari.

Mfano 1. Thibitisha kuwa 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

Suluhisho: 1) Tunayo n=1=1 2 . Kwa hiyo, taarifa hiyo ni kweli kwa n = 1, i.e. A(1) ni kweli.

2) Tuthibitishe kuwa A(k) A(k+1).

Acha k iwe nambari yoyote asilia na kauli iwe kweli kwa n=k, yaani 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Hebu tuthibitishe kwamba basi taarifa hiyo pia ni kweli kwa nambari asilia inayofuata n=k+1, i.e. Nini

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Kwa hakika, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Kwa hivyo, A(k) A(k+1). Kulingana na kanuni ya utangulizi wa hisabati, tunahitimisha kuwa dhana A(n) ni kweli kwa n N yoyote.

Mfano 2. Thibitisha fomula, n ni nambari asilia.

Suluhisho: Wakati n = 1, pande zote mbili za usawa zinageuka kwa moja na, kwa hiyo, hali ya kwanza ya kanuni ya uingizaji wa hisabati imeridhika.

Wacha tufikirie kuwa fomula ni sawa kwa n=k, i.e. .

Wacha tuongeze kwa pande zote mbili za usawa huu na tubadilishe upande wa kulia. Kisha tunapata

Kwa hivyo, kutokana na ukweli kwamba fomula ni kweli kwa n=k, inafuata kwamba ni kweli pia kwa n=k+1, basi kauli hii ni kweli kwa nambari yoyote asilia n.

Matatizo ya mgawanyiko.

Mfano 1. Thibitisha kuwa (11 n+2 +12 2n+1) inaweza kugawanywa na 133 bila salio.

Suluhisho: 1) Acha n=1, basi

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23× 133.

(23×133) inaweza kugawanywa na 133 bila salio, ambayo ina maana kwamba kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli;

2) Tuseme kwamba (11 k+2 +12 2k+1) inaweza kugawanywa na 133 bila salio.

3) Hebu tuthibitishe hilo katika kesi hii

(11 k+3 +12 2k+3) inaweza kugawanywa na 133 bila salio. Hakika, 11 k+3 +12 2l+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .

Jumla inayotokana imegawanywa na 133 bila salio, kwani muhula wake wa kwanza unaweza kugawanywa na 133 bila salio kwa kudhaniwa, na katika pili moja ya sababu ni 133.

Kwa hivyo, A(k)→ A(k+1), basi kulingana na njia ya utangulizi wa hisabati, taarifa hiyo ni kweli kwa n asilia yoyote.

Mfano 2. Thibitisha kuwa 3 3n-1 +2 4n-3 kwa nambari asilia isiyo na mpangilio inaweza kugawanywa na 11.

Suluhisho: 1) Hebu n=1, kisha X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 inaweza kugawanywa na 11 bila salio. Hii inamaanisha kuwa kwa n=1 taarifa hiyo ni kweli.

2) Tuseme kwamba kwa n=k

X k =3 3k-1 +2 4k-3 inaweza kugawanywa na 11 bila salio.

3) Hebu tuthibitishe kwamba taarifa hiyo ni ya kweli kwa n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 .

Matatizo kutoka kwa maisha halisi.

Mfano 1. Thibitisha kuwa jumla ya Sn ya pembe za ndani za poligoni yoyote mbonyeo ni sawa na ( P- 2) p, wapi P- idadi ya pande za poligoni hii: Sn = ( P- 2)π (1).

Kauli hii haina maana kwa yote ya asili P, lakini kwa ajili tu P > 3, kwa kuwa idadi ya chini ya pembe katika pembetatu ni 3.

1) Wakati P= 3 kauli yetu inachukua fomu: S 3 = π. Lakini jumla ya pembe za ndani za pembetatu yoyote kwa hakika ni π. Kwa hiyo, lini P= 3 formula (1) ni sahihi.

2) Wacha fomula hii iwe kweli kwa n =k, hiyo ni S k = (k- 2) p, wapi k > 3. Hebu tuthibitishe kwamba katika kesi hii fomula inashikilia: S k+ 1 = (k- 1) p.

Acha A 1 A 2 ... A k A k+ 1 - laini ya kiholela ( k+ 1) -gon (Kielelezo 338).

Kuunganisha pointi A1 na A k , tunapata mbonyeo k-gon A 1 A 2 ... A k -1 A k . Ni wazi, jumla ya pembe ( k+ 1) -gon A 1 A 2 ... A k A k+ 1 ni sawa na jumla ya pembe k-gon A 1 A 2 ... A k pamoja na jumla ya pembe za pembetatu A 1 A k A k+ 1 . Lakini jumla ya pembe k-gon A 1 A 2 ... A k kwa dhana sawa na ( k- 2) π, na jumla ya pembe za pembetatu A 1 A k A k+ 1 ni sawa na π. Ndiyo maana

S k+ 1 = S k + π = ( k- 2)π + π = ( k- 1) p.

Kwa hivyo, masharti yote mawili ya kanuni ya introduktionsutbildning hisabati ni kuridhika, na kwa hiyo formula (1) ni kweli kwa yoyote ya asili. P > 3.

Mfano 2. Kuna staircase, hatua zote ambazo ni sawa. Inahitajika kuonyesha idadi ya chini ya nafasi ambazo zinaweza kuhakikisha uwezo wa "kupanda" kwenye hatua yoyote kwa nambari.

Kila mtu anakubali kwamba lazima kuwe na sharti. Ni lazima tuweze kupanda hadi hatua ya kwanza. Ifuatayo, lazima waweze kupanda kutoka hatua ya 1 hadi ya pili. Kisha kwa pili - hadi ya tatu, nk. kwa hatua ya nth. Kwa kweli, kwa jumla, taarifa za "n" zinahakikisha kwamba tutaweza kufikia hatua ya nth.

Hebu sasa tuangalie nafasi ya 2, 3,..., n na tuilinganishe na nyingine. Ni rahisi kuona kwamba wote wana muundo sawa: ikiwa tumefikia hatua ya k, basi tunaweza kupanda hadi (k +1) hatua. Kwa hivyo, msemo ufuatao unakuwa wa asili kwa uhalali wa kauli kutegemea “n”: ikiwa sentensi A(n), ambayo n ni nambari asilia, hushikilia n=1 na kutokana na ukweli kwamba inashikilia n=k. (ambapo k ni nambari yoyote asilia), inafuata kwamba inashikilia n=k+1, kisha dhana A(n) inashikilia kwa nambari yoyote asilia n.

Maombi

Matatizo ya kutumia njia ya kuanzishwa kwa hisabati wakati wa kuingia vyuo vikuu.

Kumbuka kwamba wakati wa kuingia taasisi za elimu ya juu, pia kuna matatizo ambayo yanaweza kutatuliwa kwa njia hii. Wacha tuwaangalie kwa kutumia mifano maalum.

Mfano 1. Thibitisha kuwa yoyote ya asili P usawa ni kweli

1) Wakati n=1 tunapata usawa sahihi Dhambi.

2) Baada ya kufanya dhana ya utangulizi kwamba wakati n= k usawa ni kweli, fikiria jumla ya upande wa kushoto wa usawa kwa n =k+1;

3) Kutumia fomula za kupunguza, tunabadilisha usemi:

Kisha, kwa mujibu wa njia ya uingizaji wa hisabati, usawa ni kweli kwa nambari yoyote ya asili n.

Mfano 2. Thibitisha kuwa kwa nambari yoyote asilia n thamani ya usemi 4n +15n-1 ni kizidishio cha 9.

1) Na n=1: 2 2 +15-1=18 - kizidishio cha 9 (tangu 18:9=2)

2) Acha usawa ushikilie n=k: 4 k +15k-1 kizidisho kati ya 9.

3) Wacha tuthibitishe kuwa usawa unashikilia nambari inayofuata n=k+1

4 k+1 +15(k+1)-1=4 k+1 +15k+15-1=4.4 k +60k-4-45k+18=4(4 k +15k-1)-9(5k- 2)

4 (4 k +15k-1) - nyingi ya 9;

9 (5k-2) - nyingi ya 9;

Kwa hivyo, usemi mzima 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) ni mgawo wa 9, ambao ndio unahitaji kuthibitishwa.

Mfano 3. Thibitisha hilo kwa nambari yoyote ya asili P hali imefikiwa: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ p(p+1)(p+2)=.

1) Wacha tuangalie ikiwa fomula hii ni sahihi wakati n=1: Upande wa kushoto = 1∙2∙3=6.

Sehemu ya kulia = . 6 = 6; kweli wakati n=1.

2) Tuseme kwamba fomula hii ni kweli kwa n =k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=. S k =.

3) Hebu tuthibitishe kwamba fomula hii ni kweli kwa n =k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

S k+1 =.

Uthibitisho:

Kwa hivyo, hali hii ni kweli katika visa viwili na imethibitishwa kuwa kweli kwa n =k+1, kwa hivyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia P.

Hitimisho

Kwa muhtasari, katika mchakato wa utafiti niligundua ni nini induction ni, ambayo inaweza kuwa kamili au haijakamilika, nilifahamu njia ya uingizaji wa hisabati kulingana na kanuni ya uingizaji wa hisabati, na kuzingatia matatizo mengi kwa kutumia njia hii.

Pia nilijifunza habari nyingi mpya tofauti na zile zilizojumuishwa katika mtaala wa shule.Nilipokuwa nikisoma mbinu ya ufundishaji wa hisabati, nilitumia fasihi mbalimbali, rasilimali za mtandao, na pia kushauriana na mwalimu.

Hitimisho: Baada ya maarifa ya jumla na ya kimfumo juu ya uanzishaji wa hesabu, nilisadikishwa na hitaji la maarifa juu ya mada hii kwa ukweli. Ubora mzuri wa njia ya uingizaji wa hisabati ni matumizi yake pana katika kutatua matatizo: katika uwanja wa algebra, jiometri na hisabati halisi. Ujuzi huu pia huongeza shauku katika hisabati kama sayansi.

Nina hakika kwamba ujuzi niliopata wakati wa kazi yangu utanisaidia katika siku zijazo.

Bibliografia

Sominsky I.S. Njia ya induction ya hisabati. Mihadhara maarufu juu ya hisabati, toleo la 3-M.: Sayansi, 1974.

L. I. Golovina, I. M. Yaglom. Uingizaji katika jiometri. - Fizmatgiz, 1961. - T. 21. - 100 p. - (Mihadhara maarufu juu ya hisabati).

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Mwongozo wa hisabati kwa wale wanaoingia vyuo vikuu (Maswali yaliyochaguliwa ya hisabati ya msingi) - toleo la 5, lililorekebishwa, 1976 - 638 pp.

A. Shen. Uingizaji wa hisabati. - MCNMO, 2004. - 36 p.

M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich Mkusanyiko wa matatizo katika algebra: kitabu cha maandishi kwa darasa la 8-9. kwa kina kusoma hisabati toleo la 7 - M.: Prosveshchenie, 2001. - 271 p.

Ma-ka-ry-chev Yu.N., Min-dyuk N.G Sura za ziada za kitabu cha shule cha al-geb-ry daraja la 9. - M.: Pro-sve-shche-nie, 2002.

Wikipedia ni ensaiklopidia ya bure.