Kutatua polepole kwa kutumia mifano ya njia ya Gaussian. Njia ya Gaussian (kuondoa kwa kufuatana kwa haijulikani)

Kikokotoo hiki cha mtandaoni hupata suluhu la mfumo wa milinganyo ya mstari (SLE) kwa kutumia mbinu ya Gaussian. Suluhisho la kina linatolewa. Ili kuhesabu, chagua idadi ya vigezo na idadi ya milinganyo. Kisha ingiza data kwenye seli na bofya kitufe cha "Mahesabu".

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Uwakilishi wa nambari:

Nambari Nzima na/au Sehemu za Kawaida
Nambari Nzima na/au Desimali

Idadi ya maeneo baada ya kitenganishi desimali

×

Onyo

Ungependa kufuta visanduku vyote?

Funga Wazi

Maagizo ya kuingiza data. Nambari huwekwa kama nambari kamili (mifano: 487, 5, -7623, n.k.), desimali (mf. 67., 102.54, nk.) au sehemu. Sehemu lazima iwekwe katika fomu a/b, ambapo a na b (b>0) ni nambari kamili au nambari za desimali. Mifano 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, nk.

Njia ya Gauss

Njia ya Gauss ni njia ya mpito kutoka kwa mfumo wa asili wa milinganyo ya mstari (kwa kutumia mabadiliko sawa) hadi mfumo ambao ni rahisi kutatua kuliko mfumo wa asili.

Mabadiliko sawa ya mfumo wa milinganyo ya mstari ni:

• kubadilisha hesabu mbili kwenye mfumo,
• kuzidisha equation yoyote kwenye mfumo kwa nambari halisi isiyo ya sifuri,
• kuongeza mlinganyo mmoja mlinganyo mwingine ukizidishwa na nambari ya kiholela.

Fikiria mfumo wa milinganyo ya mstari:

(1)

Wacha tuandike mfumo (1) kwa fomu ya matrix:

Shoka=b

(2)

(3)

A- inayoitwa matrix ya mgawo wa mfumo, b- upande wa kulia wa vikwazo, x− vekta ya vigeu vinavyopatikana. Acha cheo( A)=uk.

Mabadiliko sawa hayabadilishi kiwango cha matrix ya mgawo na safu ya matriki iliyopanuliwa ya mfumo. Seti ya ufumbuzi wa mfumo pia haibadilika chini ya mabadiliko sawa. Kiini cha njia ya Gauss ni kupunguza matrix ya coefficients A kwa diagonal au kupitiwa.

Wacha tujenge matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Katika hatua inayofuata, tunaweka upya vipengele vyote vya safu ya 2, chini ya kipengele. Ikiwa kipengele hiki ni sifuri, basi safu hii inabadilishwa na safu iliyo chini ya safu hii na kuwa na kipengele kisicho na sifuri kwenye safu ya pili. Ifuatayo, weka upya vipengele vyote vya safu ya 2 chini ya kipengele kinachoongoza a 22. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa 3, ... m na mfuatano wa 2 ukizidishwa na - a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, kwa mtiririko huo. Kuendelea utaratibu, tunapata matrix ya fomu ya diagonal au iliyopigwa. Acha matrix iliyopanuliwa inayotokana iwe na fomu:

(7)

Kwa sababu rangA=ring(A|b), kisha seti ya suluhu (7) ni ( n−p)− aina mbalimbali. Kwa hiyo n−p wasiojulikana wanaweza kuchaguliwa kiholela. Zisizojulikana zilizobaki kutoka kwa mfumo (7) zimehesabiwa kama ifuatavyo. Kutoka kwa equation ya mwisho tunaelezea x p kupitia vigeu vilivyobaki na ingiza kwenye misemo iliyotangulia. Ifuatayo, kutoka kwa equation ya mwisho tunayoelezea x p-1 kupitia vigeu vilivyobaki na uingize kwenye misemo iliyotangulia, nk. Wacha tuangalie njia ya Gauss kwa kutumia mifano maalum.

Mifano ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss

Mfano 1. Pata suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss:

Wacha tuonyeshe kwa a ij vipengele i- mstari na j safu ya th.

a kumi na moja. Ili kufanya hivyo, ongeza mistari 2,3 na mstari wa 1, ukizidishwa na -2/3,-1/2, mtawaliwa:

Aina ya kurekodi ya Matrix: Shoka=b, Wapi

Wacha tuonyeshe kwa a ij vipengele i- mstari na j safu ya th.

Hebu tuondoe vipengele vya safu ya 1 ya matrix chini ya kipengele a kumi na moja. Ili kufanya hivyo, ongeza mistari 2,3 na mstari wa 1, ikizidishwa na -1/5,-6/5, mtawaliwa:

Tunagawanya kila safu ya matrix na kipengee kinachoongoza (ikiwa kipengele kinachoongoza kipo):

Wapi x 3 , x

Kubadilisha maneno ya juu ndani ya yale ya chini, tunapata suluhisho.

Kisha suluhisho la vekta linaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:

Wapi x 3 , x 4 ni nambari halisi za kiholela.

Mifumo miwili ya milinganyo ya mstari inaitwa sawa ikiwa seti ya masuluhisho yao yote yanalingana.

Mabadiliko ya kimsingi ya mfumo wa equations ni:

1. Kufuta equations zisizo na maana kutoka kwa mfumo, i.e. wale ambao coefficients wote ni sawa na sifuri;
2. Kuzidisha mlinganyo wowote kwa nambari nyingine isipokuwa sifuri;
3. Inaongeza kwa mlinganyo wowote wa i-th mlingano wowote wa j-th unaozidishwa na nambari yoyote.

Tofauti x i inaitwa bure ikiwa utofauti huu hauruhusiwi, lakini mfumo mzima wa milinganyo unaruhusiwa.

Nadharia. Mabadiliko ya kimsingi hubadilisha mfumo wa milinganyo kuwa sawa.

Maana ya mbinu ya Gaussian ni kubadilisha mfumo asili wa milinganyo na kupata mfumo sawa uliotatuliwa au sawa na kutofautiana.

Kwa hivyo, njia ya Gaussian ina hatua zifuatazo:

1. Wacha tuangalie equation ya kwanza. Wacha tuchague mgawo wa kwanza usio na sifuri na tugawanye equation nzima nayo. Tunapata equation ambayo baadhi ya kutofautiana x i huingia na mgawo wa 1;
2. Wacha tuondoe equation hii kutoka kwa zingine zote, tukizidisha kwa nambari hivi kwamba mgawo wa kibadilishaji x i katika milinganyo iliyobaki imetolewa sifuri. Tunapata mfumo uliotatuliwa kwa heshima na tofauti x i na sawa na ile ya awali;
3. Ikiwa equations zisizo na maana zinatokea (mara chache, lakini hutokea; kwa mfano, 0 = 0), tunawavuka nje ya mfumo. Matokeo yake, kuna equations moja chache;
4. Tunarudia hatua za awali si zaidi ya mara n, ambapo n ni idadi ya equations katika mfumo. Kila wakati sisi kuchagua variable mpya kwa ajili ya "usindikaji". Ikiwa milinganyo isiyolingana itatokea (kwa mfano, 0 = 8), mfumo hauendani.

Matokeo yake, baada ya hatua chache tutapata mfumo uliotatuliwa (labda na vigezo vya bure) au moja isiyo sawa. Mifumo inayoruhusiwa iko katika kesi mbili:

1. Idadi ya vigezo ni sawa na idadi ya milinganyo. Hii ina maana kwamba mfumo umefafanuliwa;
2. Idadi ya vigezo ni kubwa kuliko idadi ya milinganyo. Tunakusanya anuwai zote za bure upande wa kulia - tunapata fomula za anuwai zinazoruhusiwa. Fomula hizi zimeandikwa katika jibu.

Ni hayo tu! Mfumo wa milinganyo ya mstari umetatuliwa! Hii ni algorithm rahisi, na ili kuijua sio lazima uwasiliane na mwalimu wa juu wa hisabati. Hebu tuangalie mfano:

Kazi. Tatua mfumo wa equations:

Maelezo ya hatua:

1. Ondoa equation ya kwanza kutoka kwa pili na ya tatu - tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 1;
2. Tunazidisha equation ya pili kwa (-1), na kugawanya equation ya tatu na (-3) - tunapata equations mbili ambazo kutofautiana x 2 huingia na mgawo wa 1;
3. Tunaongeza equation ya pili kwa ya kwanza, na toa kutoka kwa tatu. Tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 2;
4. Hatimaye, tunaondoa equation ya tatu kutoka kwa kwanza - tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 3;
5. Tumepokea mfumo ulioidhinishwa, andika majibu.

Suluhisho la jumla la mfumo wa samtidiga ya milinganyo ya mstari ni mfumo mpya, sawa na ule wa awali, ambapo vigezo vyote vinavyoruhusiwa vinaonyeshwa kwa suala la bure.

Suluhisho la jumla linaweza kuhitajika lini? Iwapo itabidi ufanye hatua chache kuliko k (k ni milinganyo ngapi). Walakini, sababu kwa nini mchakato unaisha kwa hatua fulani l< k , может быть две:

1. Baada ya hatua ya lth, tulipata mfumo ambao hauna equation na nambari (l + 1). Kwa kweli, hii ni nzuri, kwa sababu ... mfumo ulioidhinishwa bado unapatikana - hata hatua chache mapema.
2. Baada ya hatua ya lth, tulipata equation ambayo coefficients zote za vigezo ni sawa na sifuri, na mgawo wa bure ni tofauti na sifuri. Huu ni usawa unaopingana, na, kwa hiyo, mfumo haufanani.

Ni muhimu kuelewa kwamba kuibuka kwa equation isiyoendana kwa kutumia njia ya Gaussian ni msingi wa kutosha wa kutofautiana. Wakati huo huo, tunaona kuwa kama matokeo ya hatua ya lth, hakuna equations ndogo zinaweza kubaki - zote zinavuka moja kwa moja katika mchakato.

Maelezo ya hatua:

1. Ondoa mlingano wa kwanza, ukizidishwa na 4, kutoka kwa pili. Pia tunaongeza equation ya kwanza kwa ya tatu - tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 1;
2. Ondoa equation ya tatu, iliyozidishwa na 2, kutoka kwa pili - tunapata equation inayopingana 0 = -5.

Kwa hivyo, mfumo hauendani kwa sababu equation isiyolingana imegunduliwa.

Kazi. Chunguza utangamano na upate suluhisho la jumla kwa mfumo:

Maelezo ya hatua:

1. Tunaondoa equation ya kwanza kutoka kwa pili (baada ya kuzidisha kwa mbili) na ya tatu - tunapata kutofautiana kuruhusiwa x 1;
2. Ondoa equation ya pili kutoka ya tatu. Kwa kuwa mgawo wote katika milinganyo hii ni sawa, mlinganyo wa tatu utakuwa mdogo. Wakati huo huo, zidisha mlinganyo wa pili kwa (-1);
3. Ondoa ya pili kutoka kwa equation ya kwanza - tunapata tofauti inayoruhusiwa x 2. Mfumo mzima wa milinganyo sasa pia umetatuliwa;
4. Kwa kuwa vigezo x 3 na x 4 ni bure, tunawahamisha kwa haki ili kueleza vigezo vinavyoruhusiwa. Hili ndilo jibu.

Kwa hiyo, mfumo huo ni thabiti na usio na kipimo, kwa kuwa kuna vigezo viwili vinavyoruhusiwa (x 1 na x 2) na mbili za bure (x 3 na x 4).

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss. Tuseme tunahitaji kupata suluhisho la mfumo kutoka n milinganyo ya mstari na n vigezo visivyojulikana
kibainishi cha matrix kuu ambayo ni tofauti na sifuri.

Kiini cha njia ya Gauss inajumuisha kuondoa kwa kufuatana kwa vigezo visivyojulikana: kwanza kuondoa x 1 kutoka kwa equations zote za mfumo, kuanzia pili, ni zaidi kutengwa x 2 kutoka kwa equations zote, kuanzia na ya tatu, na kadhalika, mpaka kutofautiana tu haijulikani kubaki katika equation ya mwisho x n. Utaratibu huu wa kubadilisha milinganyo ya mfumo ili kuondoa vijidudu visivyojulikana kwa mpangilio huitwa njia ya moja kwa moja ya Gaussian. Baada ya kukamilisha uendelezaji wa mbele wa njia ya Gaussian, kutoka kwa mlinganyo wa mwisho tunapata x n, kwa kutumia thamani hii kutoka kwa mlinganyo wa mwisho tunaohesabu xn-1, na kadhalika, kutoka kwa equation ya kwanza tunayopata x 1. Mchakato wa kuhesabu vigezo visivyojulikana wakati wa kusonga kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo hadi ya kwanza inaitwa kinyume cha njia ya Gaussian.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm ya kuondoa vigezo visivyojulikana.

Tutadhani kwamba, kwa kuwa tunaweza kufikia hili kila wakati kwa kupanga upya milinganyo ya mfumo. Ondoa tofauti isiyojulikana x 1 kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo, kuanzia ya pili. Ili kufanya hivyo, kwa equation ya pili ya mfumo tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na , kwa equation ya tatu tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na, na kadhalika, kwa nth kwa equation tunaongeza ya kwanza, iliyozidishwa na . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na .

Tungefikia matokeo sawa ikiwa tungeelezea x 1 kupitia vigeu vingine visivyojulikana katika mlinganyo wa kwanza wa mfumo na usemi unaosababishwa ulibadilishwa kuwa milinganyo mingine yote. Hivyo kutofautiana x 1 kutengwa kutoka kwa milinganyo yote, kuanzia ya pili.

Ifuatayo, tunaendelea kwa njia ile ile, lakini tu na sehemu ya mfumo unaosababishwa, ambao umewekwa alama kwenye takwimu

Ili kufanya hivyo, kwa equation ya tatu ya mfumo tunaongeza pili, kuzidishwa na , kwa equation ya nne tunaongeza ya pili, kuzidishwa na, na kadhalika, kwa nth kwa equation tunaongeza ya pili, iliyozidishwa na . Mfumo wa equations baada ya mabadiliko hayo utachukua fomu

wapi na . Hivyo kutofautiana x 2 haijajumuishwa kwenye milinganyo yote kuanzia ya tatu.

Ifuatayo, tunaendelea na kuondoa haijulikani x 3, katika kesi hii tunafanya sawa na sehemu ya mfumo uliowekwa kwenye takwimu

Kwa hivyo tunaendelea maendeleo ya moja kwa moja ya njia ya Gaussian hadi mfumo uchukue fomu

Kuanzia wakati huu tunaanza kinyume cha njia ya Gaussian: tunahesabu x n kutoka kwa mlinganyo wa mwisho kama, kwa kutumia thamani iliyopatikana x n tunapata xn-1 kutoka kwa equation ya mwisho, na kadhalika, tunapata x 1 kutoka kwa equation ya kwanza.

Mfano.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari Njia ya Gauss.

Carl Friedrich Gauss, mwanahisabati mkuu, alisita kwa muda mrefu, akichagua kati ya falsafa na hisabati. Labda ilikuwa ni mawazo haya ambayo yalimruhusu kufanya "urithi" unaoonekana katika sayansi ya ulimwengu. Hasa, kwa kuunda "Njia ya Gauss" ...

Kwa karibu miaka 4, nakala kwenye tovuti hii zilishughulikia elimu ya shule, haswa kutoka kwa mtazamo wa falsafa, kanuni za (mis) ufahamu zilizoletwa katika akili za watoto. Wakati unakuja kwa maelezo mahususi zaidi, mifano na mbinu... Ninaamini kuwa hii ndiyo njia haswa ya kufahamika, kutatanisha na. muhimu maeneo ya maisha hutoa matokeo bora.

Sisi watu tumeundwa kwa namna ambayo haijalishi tunazungumza kiasi gani kufikiri dhahania, Lakini ufahamu Kila mara hutokea kupitia mifano. Ikiwa hakuna mifano, basi haiwezekani kufahamu kanuni ... Kama vile haiwezekani kufika kilele cha mlima isipokuwa kwa kutembea mteremko mzima kutoka kwa mguu.

Sawa na shule: kwa sasa hadithi hai Haitoshi kwamba kwa silika tunaendelea kuiona kama mahali ambapo watoto wanafundishwa kuelewa.

Kwa mfano, kufundisha njia ya Gaussian ...

Njia ya Gauss katika shule ya daraja la 5

Nitafanya uhifadhi mara moja: njia ya Gauss ina matumizi pana zaidi, kwa mfano, wakati wa kutatua. mifumo ya milinganyo ya mstari. Tutazungumza juu yake hufanyika katika daraja la 5. Hii ilianza, baada ya kuelewa ambayo, ni rahisi zaidi kuelewa zaidi "chaguzi za juu". Katika makala hii tunazungumzia Njia ya Gauss (mbinu) ya kupata jumla ya safu

Hapa kuna mfano ambao mtoto wangu mdogo, ambaye anahudhuria darasa la 5 kwenye ukumbi wa mazoezi wa Moscow, alileta kutoka shuleni.

Maonyesho ya shule ya mbinu ya Gauss

Mwalimu wa hisabati kwa kutumia ubao mweupe shirikishi (mbinu za kisasa za kufundishia) alionyesha watoto uwasilishaji wa historia ya "uundaji wa mbinu" na Gauss mdogo.

Mwalimu wa shule alimpiga Karl mdogo (njia iliyopitwa na wakati, haitumiki shuleni siku hizi) kwa sababu yeye

badala ya kuongeza nambari kwa mpangilio kutoka 1 hadi 100, pata jumla yao niliona kwamba jozi za nambari zilizowekwa kwa nafasi sawa kutoka kingo za maendeleo ya hesabu zijumuishe hadi nambari sawa. kwa mfano, 100 na 1, 99 na 2. Baada ya kuhesabu idadi ya jozi kama hizo, Gauss mdogo karibu alitatua shida iliyopendekezwa na mwalimu. Ambayo aliuawa mbele ya umma ulioshangaa. Ili wengine wavunjike moyo wasifikiri.

Gauss mdogo alifanya nini? maendeleo maana ya nambari? Imezingatiwa kipengele fulani mfululizo wa nambari na hatua ya mara kwa mara (maendeleo ya hesabu). NA hasa hii baadaye akamfanya mwanasayansi mkubwa, wale wanaojua kufahamu, kuwa na hisia, silika ya ufahamu.

Ndiyo maana hisabati ni ya thamani, inayoendelea uwezo wa kuona kwa ujumla hasa - kufikiri dhahania. Kwa hiyo, wazazi wengi na waajiri kwa asili huchukulia hisabati kama taaluma muhimu ...

"Halafu unahitaji kujifunza hisabati, kwa sababu inaweka akili yako katika mpangilio.
M.V.Lomonosov".

Walakini, wafuasi wa wale waliopiga fikra za baadaye kwa viboko waligeuza Njia hiyo kuwa kinyume chake. Kama msimamizi wangu alisema miaka 35 iliyopita: "Swali limejifunza." Au kama mtoto wangu mdogo alisema jana kuhusu njia ya Gauss: "Labda haifai kufanya sayansi kubwa kutoka kwa hili, huh?"

Matokeo ya ubunifu wa "wanasayansi" yanaonekana katika kiwango cha hisabati ya sasa ya shule, kiwango cha mafundisho yake na uelewa wa "Malkia wa Sayansi" na wengi.

Hata hivyo, tuendelee...

Njia za kuelezea njia ya Gauss katika shule ya daraja la 5

Mwalimu wa hisabati kwenye jumba la mazoezi la Moscow, akielezea njia ya Gauss kulingana na Vilenkin, alichanganya kazi hiyo.

Ikiwa tofauti (hatua) ya maendeleo ya hesabu sio moja, lakini nambari nyingine? Kwa mfano, 20.

Tatizo alitoa kwa wanafunzi wa darasa la tano:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Kabla ya kufahamiana na njia ya ukumbi wa mazoezi, hebu tuangalie Mtandao: waalimu wa shule na wakufunzi wa hesabu hufanyaje?

Njia ya Gaussian: maelezo No. 1

Mkufunzi mashuhuri kwenye chaneli yake ya YOUTUBE anatoa hoja ifuatayo:

"Wacha tuandike nambari kutoka 1 hadi 100 kama ifuatavyo.

kwanza safu ya nambari kutoka 1 hadi 50, na chini yake safu nyingine ya nambari kutoka 50 hadi 100, lakini kwa mpangilio wa nyuma"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Tafadhali kumbuka: jumla ya kila jozi ya nambari kutoka safu ya juu na ya chini ni sawa na ni sawa na 101! Hebu tuhesabu idadi ya jozi, ni 50 na kuzidisha jumla ya jozi moja kwa idadi ya jozi! Voila: The jibu liko tayari!"

“Ikiwa hukuweza kuelewa, usifadhaike!” mwalimu alirudia mara tatu wakati wa maelezo. "Utachukua njia hii katika daraja la 9!"

Njia ya Gaussian: maelezo No. 2

Mkufunzi mwingine, asiyejulikana sana (kwa kuzingatia idadi ya maoni), anachukua mbinu ya kisayansi zaidi, akitoa algorithm ya suluhisho la alama 5 ambazo lazima zikamilike kwa mfuatano.

Kwa wasiojua, 5 ni mojawapo ya nambari za Fibonacci ambazo jadi huchukuliwa kuwa za kichawi. Njia ya hatua 5 daima ni ya kisayansi zaidi kuliko mbinu ya hatua 6, kwa mfano. ...Na hii sio ajali, kuna uwezekano mkubwa, Mwandishi ni mfuasi aliyefichwa wa nadharia ya Fibonacci.

Kwa kuzingatia maendeleo ya hesabu: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algorithm ya kupata jumla ya nambari katika safu kwa kutumia njia ya Gauss:

Hatua ya 1: andika tena mlolongo uliyopewa wa nambari kinyume chake, hasa chini ya kwanza.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Hatua ya 2: hesabu jumla ya jozi za nambari zilizo katika safu wima: 260.

Hatua ya 3: hesabu ni jozi ngapi kama hizo kwenye safu ya nambari. Ili kufanya hivyo, toa kiwango cha chini kutoka kwa idadi ya juu ya safu ya nambari na ugawanye kwa saizi ya hatua: (256 - 4) / 6 = 42.

Wakati huo huo, unahitaji kukumbuka pamoja na kanuni moja : lazima tuongeze moja kwa mgawo unaosababishwa: vinginevyo tutapata matokeo ambayo ni chini ya moja kuliko idadi halisi ya jozi: 42 + 1 = 43.

Hatua ya 4: Zidisha jumla ya jozi moja ya nambari kwa idadi ya jozi: 260 x 43 = 11,180

Hatua ya 5: kwa kuwa tumehesabu kiasi jozi za nambari, basi kiasi kinachosababisha kinapaswa kugawanywa na mbili: 11,180 / 2 = 5590.

Hii ni jumla inayohitajika ya maendeleo ya hesabu kutoka 4 hadi 256 na tofauti ya 6!

Njia ya Gauss: maelezo katika daraja la 5 kwenye ukumbi wa mazoezi wa Moscow

Hapa kuna jinsi ya kutatua shida ya kupata jumla ya safu:

20+40+60+ ... +460+480+500

katika daraja la 5 la ukumbi wa michezo wa Moscow, kitabu cha Vilenkin (kulingana na mwanangu).

Baada ya kuonyesha wasilisho, mwalimu wa hesabu alionyesha mifano michache kwa kutumia mbinu ya Gaussian na akawapa darasa kazi ya kutafuta jumla ya nambari katika mfululizo katika nyongeza za 20.

Hii ilihitaji yafuatayo:

Hatua ya 1: hakikisha umeandika nambari zote katika mfululizo kwenye daftari lako kutoka 20 hadi 500 (katika nyongeza za 20).

Hatua ya 2: andika maneno ya mfuatano - jozi za nambari: wa kwanza na wa mwisho, wa pili na wa mwisho, nk. na kuhesabu kiasi chao.

Hatua ya 3: hesabu "jumla ya hesabu" na upate jumla ya mfululizo mzima.

Kama unaweza kuona, hii ni mbinu ngumu zaidi na bora: nambari ya 3 pia ni mwanachama wa mlolongo wa Fibonacci.

Maoni yangu juu ya toleo la shule la njia ya Gauss

Mtaalamu mkuu wa hisabati bila shaka angechagua falsafa ikiwa angeona "mbinu" yake ingegeuzwa na wafuasi wake. Mwalimu wa Ujerumani, ambaye alimpiga Karl viboko. Angeona ishara, ond ya lahaja na ujinga usio na mwisho wa "walimu", kujaribu kupima uwiano wa mawazo hai ya hisabati na algebra ya kutokuelewana ....

Kwa njia: ulijua. kwamba mfumo wetu wa elimu umekita mizizi katika shule ya Wajerumani ya karne ya 18 na 19?

Lakini Gauss alichagua hisabati.

Nini kiini cha mbinu yake?

KATIKA kurahisisha. KATIKA kutazama na kushika mifumo rahisi ya nambari. KATIKA kugeuza hesabu kavu ya shule kuwa shughuli ya kuvutia na ya kusisimua , kuamsha katika ubongo hamu ya kuendelea, badala ya kuzuia shughuli za akili za gharama kubwa.

Inawezekana kutumia moja ya "marekebisho ya njia ya Gauss" kuhesabu jumla ya nambari za maendeleo ya hesabu karibu papo hapo? Kulingana na "algorithms", Karl mdogo angehakikishiwa kuzuia kupigwa, kukuza chuki kwa hisabati na kukandamiza msukumo wake wa ubunifu kwenye bud.

Kwa nini mwalimu aliendelea kuwashauri wanafunzi wa darasa la tano "wasiogope kutoelewa" njia hiyo, akiwashawishi kwamba wangetatua matatizo "kama" mapema kama darasa la 9? Kitendo cha kutojua kusoma na kuandika kisaikolojia. Ilikuwa ni hatua nzuri kutambua: "Baadaye tayari katika daraja la 5 unaweza suluhisha shida ambazo utamaliza ndani ya miaka 4 tu! Wewe ni mtu mzuri sana!

Ili kutumia njia ya Gaussian, kiwango cha darasa la 3 kinatosha, wakati watoto wa kawaida tayari wanajua jinsi ya kuongeza, kuzidisha na kugawanya nambari za tarakimu 2-3. Matatizo yanaibuka kutokana na walimu watu wazima ambao “hawana mawasiliano” kueleza mambo mepesi katika lugha ya kawaida ya binadamu, bila kusahau hisabati... Wanashindwa kuwafanya watu wapende hisabati na kuwakatisha tamaa kabisa hata wale ambao “ wenye uwezo.”

Au, kama mtoto wangu alivyotoa maoni: "kutengeneza sayansi kubwa kutoka kwayo."

Je, (katika kesi ya jumla) unajuaje nambari gani unapaswa "kupanua" rekodi ya nambari kwa njia ya 1?

Nini cha kufanya ikiwa idadi ya washiriki wa safu itageuka kuwa isiyo ya kawaida?

Kwa nini ugeuke kuwa "Rule Plus 1" kitu ambacho mtoto anaweza kwa urahisi jifunze hata katika daraja la kwanza, ikiwa nilikuwa na "hisia ya nambari", na hakukumbuka"hesabu kwa kumi"?

Na mwishowe: ZERO imeenda wapi, uvumbuzi mzuri ambao una zaidi ya miaka 2,000 na walimu wa kisasa wa hisabati wanaepuka kuutumia?!

Njia ya Gauss, maelezo yangu

Mke wangu na mimi tulielezea "mbinu" hii kwa mtoto wetu, inaonekana, hata kabla ya shule ...

Urahisi badala ya utata au mchezo wa maswali na majibu

"Angalia, hapa kuna nambari kutoka 1 hadi 100. Unaona nini?"

Jambo sio nini hasa mtoto anaona. Ujanja ni kumfanya aangalie.

"Unawezaje kuziweka pamoja?" Mwana aligundua kuwa maswali kama haya hayaulizwa "hivyo" na unahitaji kuangalia swali "kwa namna fulani tofauti, tofauti na kawaida"

Haijalishi ikiwa mtoto anaona suluhisho mara moja, haiwezekani. Ni muhimu kwamba yeye aliacha kuogopa kutazama, au kama ninavyosema: "kusogeza kazi". Huu ni mwanzo wa safari ya kuelewa

"Ni ipi iliyo rahisi zaidi: kuongeza, kwa mfano, 5 na 6 au 5 na 95?" Swali linaloongoza ... Lakini mafunzo yoyote yanakuja "kuongoza" mtu kwa "jibu" - kwa njia yoyote inayokubalika kwake.

Katika hatua hii, nadhani inaweza tayari kutokea kuhusu jinsi ya "kuokoa" kwenye mahesabu.

Tulichofanya ni kidokezo: njia ya "mbele, ya mstari" ya kuhesabu sio pekee inayowezekana. Ikiwa mtoto anaelewa hili, basi baadaye atakuja na njia nyingi zaidi kama hizo, kwa sababu inavutia !!! Na hakika ataepuka hesabu za "kutokuelewana" na hatasikia kuchukizwa nayo. Alipata ushindi!

Kama mtoto aligundua kwamba kuongeza jozi za nambari zinazojumlisha hadi mia ni kipande cha keki, basi "maendeleo ya hesabu na tofauti 1"- jambo la kutisha na lisilovutia kwa mtoto - ghafla kupata maisha kwa ajili yake . Agizo liliibuka kutoka kwa machafuko, na hii husababisha shauku kila wakati: ndivyo tunavyoumbwa!

Swali la kujibu: kwa nini, baada ya ufahamu ambao mtoto amepokea, anapaswa tena kuendeshwa kwenye mfumo wa algorithms kavu, ambayo pia haina maana katika kesi hii?!

Kwanini ulazimishe kuandika upya wajinga? nambari za mlolongo kwenye daftari: ili hata wenye uwezo hawana nafasi moja ya kuelewa? Kitakwimu, bila shaka, lakini elimu ya watu wengi inalenga “takwimu”...

Ziro ilienda wapi?

Na bado, kuongeza nambari zinazojumlisha hadi 100 kunakubalika zaidi kwa akili kuliko zile zinazojumlisha hadi 101...

"Njia ya Shule ya Gauss" inahitaji hii haswa: kunja bila akili jozi za nambari zinazolingana kutoka katikati ya mwendelezo, Licha ya kila kitu.

Nini kama ukiangalia?

Bado, sifuri ndio uvumbuzi mkubwa zaidi wa wanadamu, ambao una zaidi ya miaka 2,000. Na walimu wa hesabu wanaendelea kumpuuza.

Ni rahisi zaidi kubadilisha msururu wa nambari zinazoanza na 1 kuwa mfululizo unaoanza na 0. Jumla haitabadilika, sivyo? Unahitaji kuacha "kufikiri katika vitabu vya kiada" na kuanza kutafuta ... Na angalia kwamba jozi zilizo na jumla ya 101 zinaweza kubadilishwa kabisa na jozi na jumla ya 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Jinsi ya kukomesha "kanuni 1"?

Kusema kweli, nilisikia kwa mara ya kwanza kuhusu sheria kama hiyo kutoka kwa mwalimu huyo wa YouTube...

Bado nifanye nini ninapohitaji kubainisha idadi ya washiriki wa mfululizo?

Ninaangalia mlolongo:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

na unapokuwa umechoka kabisa, basi nenda kwenye safu rahisi zaidi:

1, 2, 3, 4, 5

na ninahesabu: ukiondoa moja kutoka 5, unapata 4, lakini niko wazi kabisa naona nambari 5! Kwa hiyo, unahitaji kuongeza moja! Maana ya nambari iliyokuzwa katika shule ya msingi inapendekeza: hata ikiwa kuna Google nzima ya washiriki wa safu (nguvu 10 hadi mia), muundo utabaki sawa.

Kanuni ni zipi?..

Ili kwamba katika miaka michache au mitatu unaweza kujaza nafasi yote kati ya paji la uso wako na nyuma ya kichwa chako na kuacha kufikiri? Jinsi ya kupata mkate wako na siagi? Baada ya yote, tunasonga katika safu hata katika enzi ya uchumi wa kidijitali!

Zaidi juu ya njia ya shule ya Gauss: "kwa nini utengeneze sayansi kutoka kwa hii? .."

Haikuwa bure kwamba nilichapisha picha ya skrini kutoka kwa daftari ya mwanangu ...

"Ni nini kilitokea darasani?"

"Kweli, nilihesabu mara moja, nikainua mkono wangu, lakini hakuuliza. Kwa hivyo, wakati wengine walikuwa wakihesabu, nilianza kufanya kazi ya nyumbani kwa Kirusi ili nisipoteze wakati. Kisha, wengine walipomaliza kuandika (? ??), aliniita kwenye ubao. Nikamwambia jibu."

"Hiyo ni kweli, nionyeshe jinsi ulivyosuluhisha," mwalimu alisema. Niliionyesha. Alisema: "Vibaya, unahitaji kuhesabu kama nilivyoonyesha!"

"Ni vizuri kwamba hakutoa alama mbaya. Na alinifanya niandike kwenye daftari lao "njia ya suluhisho" kwa njia yao wenyewe. Kwa nini nifanye sayansi kubwa kutoka kwa hili?..

Uhalifu kuu wa mwalimu wa hesabu

Mara chache baada ya tukio hilo Carl Gauss alipata hisia ya juu ya heshima kwa mwalimu wake wa hisabati wa shule. Lakini kama alijua jinsi wafuasi wa mwalimu huyo itapotosha kiini cha njia... angenguruma kwa hasira na, kupitia Shirika la Dunia la Haki Miliki WIPO, kufikia kupiga marufuku matumizi ya jina lake zuri katika vitabu vya kiada vya shule!..

Katika nini kosa kuu la mbinu ya shule? Au, kama nilivyoweka, uhalifu wa walimu wa hisabati shuleni dhidi ya watoto?

Algorithm ya kutokuelewana

Wataalamu wa mbinu za shule hufanya nini, ambao wengi wao hawajui jinsi ya kufikiria?

Wanaunda njia na algorithms (tazama). Hii mmenyuko wa kujihami ambao hulinda walimu kutokana na upinzani ("Kila kitu kinafanywa kulingana na ...") na watoto kutoka kwa ufahamu. Na hivyo - kutokana na tamaa ya kukosoa walimu!(Derivative ya pili ya "hekima" ya ukiritimba, njia ya kisayansi ya shida). Mtu ambaye haelewi maana atalaumu kutokuelewana kwake, badala ya ujinga wa mfumo wa shule.

Hiki ndicho kinachotokea: wazazi wanalaumu watoto wao, na walimu ... kufanya hivyo kwa watoto ambao "hawaelewi hisabati!"

Je, wewe ni mwerevu?

Karl mdogo alifanya nini?

Njia isiyo ya kawaida kabisa kwa kazi ya fomula. Hiki ndicho kiini cha mkabala Wake. Hii jambo kuu ambalo linapaswa kufundishwa shuleni ni kufikiria sio na vitabu vya kiada, lakini kwa kichwa chako. Bila shaka, pia kuna sehemu ya chombo ambayo inaweza kutumika ... katika kutafuta njia rahisi na za ufanisi zaidi za kuhesabu.

Njia ya Gauss kulingana na Vilenkin

Shuleni wanafundisha kwamba njia ya Gauss ni

kwa jozi pata jumla ya nambari zinazolingana kutoka kingo za safu ya nambari, hakika kuanzia kingo!

pata idadi ya jozi hizo, nk.

Nini, ikiwa idadi ya vipengele vya mfululizo ni isiyo ya kawaida, kama katika shida ambayo alipewa mwanangu? ..

"Kukamata" ni kwamba katika kesi hii unapaswa kupata nambari "ya ziada" katika mfululizo na uiongeze kwa jumla ya jozi. Katika mfano wetu nambari hii ni 260.

Jinsi ya kugundua? Kunakili jozi zote za nambari kwenye daftari!(Ndio maana mwalimu aliwafanya watoto kufanya kazi hii ya kijinga ya kujaribu kufundisha "ubunifu" kwa kutumia njia ya Gaussian ... Na hii ndiyo sababu "mbinu" kama hiyo haitumiki kwa safu kubwa za data, NA ndio maana sio njia ya Gaussian.)

Ubunifu kidogo katika utaratibu wa shule ...

Mwana alitenda tofauti.

Kwanza alibaini kuwa ilikuwa rahisi kuzidisha nambari 500, sio 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Kisha akahesabu: idadi ya hatua iligeuka kuwa isiyo ya kawaida: 500/20 = 25.

Kisha akaongeza ZERO mwanzoni mwa safu (ingawa iliwezekana kutupilia mbali muhula wa mwisho wa safu, ambayo pia ingehakikisha usawa) na kuongeza nambari zinazotoa jumla ya 500.

0+500, 20+480, 40+460 ...

Hatua 26 ni jozi 13 za "mia tano": 13 x 500 = 6500..

Ikiwa tulitupilia mbali muda wa mwisho wa safu, basi jozi zitakuwa 12, lakini hatupaswi kusahau kuongeza "zilizotupwa" mia tano kwa matokeo ya mahesabu. Kisha: (12 x 500) + 500 = 6500!

Si vigumu, sawa?

Lakini katika mazoezi inakuwa rahisi zaidi, ambayo hukuruhusu kuchonga dakika 2-3 kwa hisia za mbali kwa Kirusi, wakati zingine "zinahesabu". Kwa kuongeza, inabakia idadi ya hatua za njia: 5, ambayo hairuhusu mbinu hiyo kukosolewa kwa kutokuwa na kisayansi.

Ni wazi kwamba njia hii ni rahisi, haraka na ya ulimwengu wote, kwa mtindo wa Njia. Lakini ... mwalimu hakusifu tu, lakini pia alinilazimisha kuandika tena "kwa njia sahihi" (angalia skrini). Hiyo ni, alifanya jaribio la kukata tamaa ili kuzima msukumo wa ubunifu na uwezo wa kuelewa hisabati katika mizizi! Inavyoonekana, ili baadaye aajiriwe kama mwalimu ... Alimshambulia mtu mbaya ...

Kila kitu ambacho nilielezea kwa muda mrefu na kwa kuchosha kinaweza kuelezewa kwa mtoto wa kawaida kwa muda wa nusu saa. Pamoja na mifano.

Na kwa namna ambayo hataisahau kamwe.

Na itakuwa hatua kuelekea kuelewa...sio wanahisabati pekee.

Kubali: umeongeza mara ngapi maishani mwako kwa kutumia njia ya Gaussian? Na sikuwahi kufanya hivyo!

Lakini silika ya ufahamu, ambayo yanaendelea (au kuzimwa) katika mchakato wa kujifunza mbinu za hisabati shuleni ... Oh!.. Kweli hili ni jambo lisiloweza kubadilishwa!

Hasa katika zama za digitalization kwa wote, ambayo tumeingia kimya kimya chini ya uongozi mkali wa Chama na Serikali.

Maneno machache kuwatetea walimu...

Si haki na si sawa kuweka jukumu lote la mtindo huu wa ufundishaji kwa walimu wa shule pekee. Mfumo unatumika.

Baadhi walimu wanaelewa upuuzi wa kile kinachotokea, lakini nini cha kufanya? Sheria ya Elimu, Viwango vya Elimu ya Jimbo la Shirikisho, mbinu, mipango ya somo ... Kila kitu lazima kifanyike "kwa mujibu na kwa msingi" na kila kitu lazima kimeandikwa. Hatua kando - alisimama kwenye mstari wa kufutwa kazi. Hebu tusiwe wanafiki: mishahara ya walimu wa Moscow ni nzuri sana ... Ikiwa wanakufukuza, wapi kwenda? ..

Kwa hivyo tovuti hii si kuhusu elimu. Yeye ni kuhusu elimu ya mtu binafsi, njia pekee inayowezekana ya kutoka nje ya umati kizazi Z ...

Tangu mwanzo wa karne ya 16-18, wanahisabati wameanza kusoma kazi kwa bidii, shukrani ambayo mengi katika maisha yetu yamebadilika. Teknolojia ya kompyuta isingekuwepo bila ujuzi huu. Dhana mbalimbali, nadharia, na mbinu za utatuzi zimeundwa ili kutatua matatizo changamano, milinganyo ya mstari na utendakazi. Mojawapo ya mbinu na mbinu za kiulimwengu na za kimantiki za kutatua milinganyo ya mstari na mifumo yake ilikuwa njia ya Gauss. Matrices, cheo chao, determinant - kila kitu kinaweza kuhesabiwa bila kutumia shughuli ngumu.

SLAU ni nini

Katika hisabati, kuna dhana ya SLAE - mfumo wa milinganyo ya algebraic ya mstari. Mwanamke huyo anafananaje? Hii ni seti ya m milinganyo yenye idadi inayohitajika n isiyojulikana, kwa kawaida huashiriwa kama x, y, z, au x 1, x 2 ... x n, au alama nyingine. Kutatua mfumo fulani kwa kutumia njia ya Gaussian inamaanisha kupata mambo yote yasiyojulikana. Ikiwa mfumo una idadi sawa ya haijulikani na equations, basi inaitwa mfumo wa utaratibu wa nth.

Njia maarufu zaidi za kutatua SLAEs

Katika taasisi za elimu ya sekondari, mbinu mbalimbali za kutatua mifumo hiyo zinasomwa. Mara nyingi hizi ni hesabu rahisi zinazojumuisha mbili zisizojulikana, kwa hivyo njia yoyote iliyopo ya kupata jibu kwao haitachukua muda mwingi. Hii inaweza kuwa kama njia mbadala, wakati nyingine inatolewa kutoka kwa mlinganyo mmoja na kubadilishwa kuwa ya asili. Au njia ya kutoa na kuongeza muda kwa muda. Lakini njia ya Gauss inachukuliwa kuwa rahisi na ya ulimwengu wote. Inafanya uwezekano wa kutatua milinganyo na idadi yoyote ya haijulikani. Kwa nini mbinu hii inachukuliwa kuwa ya busara? Ni rahisi. Jambo zuri juu ya njia ya matrix ni kwamba hauitaji kuandika tena alama zisizo za lazima mara kadhaa kama haijulikani; inatosha kufanya shughuli za hesabu kwenye coefficients - na utapata matokeo ya kuaminika.

SLAEs hutumiwa wapi katika mazoezi?

Suluhisho la SLAEs ni sehemu za makutano ya mistari kwenye grafu za kazi. Katika umri wetu wa teknolojia ya juu ya kompyuta, watu ambao wanahusishwa kwa karibu na maendeleo ya michezo na programu nyingine wanahitaji kujua jinsi ya kutatua mifumo hiyo, nini wanawakilisha na jinsi ya kuangalia usahihi wa matokeo yanayotokana. Mara nyingi, waandaaji wa programu hutengeneza programu maalum za kikokotoo cha algebra, ambayo pia inajumuisha mfumo wa hesabu za mstari. Njia ya Gauss hukuruhusu kuhesabu suluhisho zote zilizopo. Njia na mbinu zingine zilizorahisishwa pia hutumiwa.

Kigezo cha utangamano cha SLAU

Mfumo kama huo unaweza kutatuliwa tu ikiwa unaendana. Kwa uwazi, hebu tuwakilishe SLAE katika mfumo wa Ax=b. Ina suluhisho ikiwa rang(A) ni sawa na rang(A,b). Katika kesi hii, (A,b) ni matrix ya fomu iliyopanuliwa ambayo inaweza kupatikana kutoka kwa matriki A kwa kuiandika upya kwa masharti ya bure. Inabadilika kuwa kutatua hesabu za mstari kwa kutumia njia ya Gaussian ni rahisi sana.

Labda baadhi ya alama si wazi kabisa, hivyo ni muhimu kuzingatia kila kitu kwa mfano. Wacha tuseme kuna mfumo: x+y=1; 2x-3y=6. Inajumuisha milinganyo miwili tu, ambayo ndani yake kuna 2 zisizojulikana. Mfumo utakuwa na suluhisho tu ikiwa kiwango cha matrix yake ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa. Cheo ni nini? Hii ni idadi ya mistari huru ya mfumo. Kwa upande wetu, kiwango cha matrix ni 2. Matrix A itajumuisha coefficients iko karibu na haijulikani, na coefficients iko nyuma ya ishara "=" pia inafaa kwenye tumbo iliyopanuliwa.

Kwa nini SLAEs zinaweza kuwakilishwa katika fomu ya matrix?

Kulingana na kigezo cha uoanifu kwa mujibu wa nadharia iliyothibitishwa ya Kronecker-Capelli, mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari inaweza kuwakilishwa katika umbo la matrix. Kutumia njia ya kuteleza ya Gaussian, unaweza kutatua tumbo na kupata jibu moja la kuaminika kwa mfumo mzima. Ikiwa kiwango cha matrix ya kawaida ni sawa na kiwango cha matrix yake iliyopanuliwa, lakini ni chini ya idadi ya haijulikani, basi mfumo una idadi isiyo na kipimo ya majibu.

Mabadiliko ya matrix

Kabla ya kuendelea na kutatua matrices, unahitaji kujua ni hatua gani zinaweza kufanywa kwa vipengele vyao. Kuna mabadiliko kadhaa ya kimsingi:

• Kwa kuandika upya mfumo katika fomu ya matrix na kuitatua, unaweza kuzidisha vipengele vyote vya mfululizo kwa mgawo sawa.
• Ili kubadilisha matrix katika fomu ya kisheria, unaweza kubadilisha safu mbili zinazofanana. Fomu ya kisheria ina maana kwamba vipengele vyote vya matrix ambavyo viko kando ya diagonal kuu vinakuwa moja, na vilivyobaki vinakuwa sifuri.
• Vipengele vinavyolingana vya safu sambamba za matrix vinaweza kuongezwa kwa kila mmoja.

Njia ya Jordan-Gauss

Kiini cha utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari wa homogeneous na inhomogeneous kwa kutumia njia ya Gaussian ni kuondoa hatua kwa hatua zisizojulikana. Wacha tuseme tuna mfumo wa milinganyo miwili ambayo ndani yake kuna vitu viwili visivyojulikana. Ili kuzipata, unahitaji kuangalia mfumo kwa utangamano. Equation inatatuliwa kwa urahisi sana na njia ya Gauss. Ni muhimu kuandika coefficients iko karibu na kila haijulikani katika fomu ya matrix. Ili kutatua mfumo, utahitaji kuandika matrix iliyopanuliwa. Ikiwa moja ya equations ina idadi ndogo ya haijulikani, basi "0" lazima iwekwe mahali pa kipengele kilichokosekana. Njia zote za mabadiliko zinazojulikana hutumiwa kwa tumbo: kuzidisha, kugawanya kwa nambari, kuongeza vipengele vinavyolingana vya mfululizo kwa kila mmoja, na wengine. Inabadilika kuwa katika kila safu ni muhimu kuacha tofauti moja na thamani "1", iliyobaki inapaswa kupunguzwa hadi sifuri. Kwa ufahamu sahihi zaidi, ni muhimu kuzingatia njia ya Gauss na mifano.

Mfano rahisi wa kutatua mfumo wa 2x2

Kuanza, hebu tuchukue mfumo rahisi wa milinganyo ya algebra, ambayo kutakuwa na 2 zisizojulikana.

Wacha tuiandike tena kuwa matrix iliyopanuliwa.

Ili kutatua mfumo huu wa milinganyo ya mstari, shughuli mbili tu zinahitajika. Tunahitaji kuleta matrix kwa fomu ya kisheria ili kuwe na zile kando ya diagonal kuu. Kwa hivyo, kuhamisha kutoka kwa fomu ya matrix kurudi kwenye mfumo, tunapata hesabu: 1x+0y=b1 na 0x+1y=b2, ambapo b1 na b2 ni majibu yanayotokana katika mchakato wa suluhisho.

1. Hatua ya kwanza wakati wa kutatua matrix iliyopanuliwa itakuwa hii: safu ya kwanza lazima iongezwe na -7 na kuongeza vipengele vinavyolingana kwenye safu ya pili ili kuondokana na moja isiyojulikana katika equation ya pili.
2. Kwa kuwa kutatua equations kwa kutumia njia ya Gauss kunahusisha kupunguza tumbo kwa fomu ya kisheria, basi ni muhimu kufanya shughuli sawa na equation ya kwanza na kuondoa kutofautiana kwa pili. Ili kufanya hivyo, tunaondoa mstari wa pili kutoka kwa kwanza na kupata jibu linalohitajika - suluhisho la SLAE. Au, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu, tunazidisha safu ya pili kwa sababu ya -1 na kuongeza vipengele vya safu ya pili kwenye safu ya kwanza. Ni sawa.

Kama tunavyoona, mfumo wetu ulitatuliwa kwa njia ya Jordan-Gauss. Tunaandika tena katika fomu inayohitajika: x=-5, y=7.

Mfano wa suluhisho la 3x3 SLAE

Tuseme tuna mfumo changamano zaidi wa milinganyo ya mstari. Njia ya Gauss inafanya uwezekano wa kuhesabu jibu hata kwa mfumo unaoonekana kuwa na utata. Kwa hiyo, ili kuzama zaidi katika mbinu ya hesabu, unaweza kuendelea na mfano ngumu zaidi na haijulikani tatu.

Kama ilivyo katika mfano uliopita, tunaandika upya mfumo kwa namna ya matrix iliyopanuliwa na kuanza kuleta kwa fomu yake ya kisheria.

Ili kutatua mfumo huu, utahitaji kufanya vitendo vingi zaidi kuliko katika mfano uliopita.

1. Kwanza unahitaji kufanya safu ya kwanza kipengee cha kitengo kimoja na sifuri zingine. Ili kufanya hivyo, zidisha equation ya kwanza kwa -1 na ongeza equation ya pili kwake. Ni muhimu kukumbuka kwamba tunaandika upya mstari wa kwanza katika fomu yake ya awali, na ya pili kwa fomu iliyobadilishwa.
2. Ifuatayo, tunaondoa hii ya kwanza isiyojulikana kutoka kwa mlinganyo wa tatu. Ili kufanya hivyo, zidisha vipengele vya mstari wa kwanza na -2 na uwaongeze kwenye safu ya tatu. Sasa mistari ya kwanza na ya pili imeandikwa tena katika fomu yao ya awali, na ya tatu - na mabadiliko. Kama unaweza kuona kutoka kwa matokeo, tulipata ya kwanza mwanzoni mwa diagonal kuu ya matrix na zero zilizobaki. Hatua chache zaidi, na mfumo wa milinganyo kwa njia ya Gaussian itatatuliwa kwa uhakika.
3. Sasa unahitaji kufanya shughuli kwenye vipengele vingine vya safu. Hatua ya tatu na ya nne inaweza kuunganishwa kuwa moja. Tunahitaji kugawanya mistari ya pili na ya tatu kwa -1 ili kuondokana na minus kwenye diagonal. Tayari tumeleta mstari wa tatu kwa fomu inayohitajika.
4. Ifuatayo tunaleta mstari wa pili kwa fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, tunazidisha vipengele vya mstari wa tatu na -3 na kuwaongeza kwenye safu ya pili ya matrix. Kutokana na matokeo ni wazi kwamba mstari wa pili pia umepunguzwa kwa fomu tunayohitaji. Inabakia kufanya shughuli chache zaidi na kuondoa coefficients ya haijulikani kutoka mstari wa kwanza.
5. Ili kufanya 0 kutoka kwa kipengele cha pili cha safu, unahitaji kuzidisha safu ya tatu kwa -3 na kuiongeza kwenye safu ya kwanza.
6. Hatua inayofuata ya uamuzi itakuwa kuongeza vipengele muhimu vya safu ya pili kwenye safu ya kwanza. Kwa njia hii tunapata fomu ya kisheria ya matrix, na, ipasavyo, jibu.

Kama unaweza kuona, kutatua equations kwa kutumia njia ya Gauss ni rahisi sana.

Mfano wa kutatua mfumo wa 4x4 wa equations

Baadhi ya mifumo ngumu zaidi ya milinganyo inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya Gaussian kwa kutumia programu za kompyuta. Ni muhimu kuingiza coefficients kwa haijulikani katika seli zilizopo tupu, na mpango yenyewe hatua kwa hatua kuhesabu matokeo yanayotakiwa, kuelezea kwa undani kila hatua.

Maagizo ya hatua kwa hatua ya kutatua mfano kama huo yanaelezewa hapa chini.

Katika hatua ya kwanza, mgawo wa bure na nambari za haijulikani huingizwa kwenye seli tupu. Kwa hivyo, tunapata matrix iliyopanuliwa sawa ambayo tunaandika kwa mikono.

Na shughuli zote muhimu za hesabu zinafanywa ili kuleta matrix iliyopanuliwa kwa fomu yake ya kisheria. Inafaa kuelewa kuwa jibu la mfumo wa equations sio nambari kamili kila wakati. Wakati mwingine suluhisho linaweza kuwa kutoka kwa nambari za sehemu.

Kuangalia usahihi wa suluhisho

Njia ya Jordan-Gauss hutoa kuangalia usahihi wa matokeo. Ili kujua ikiwa coefficients imehesabiwa kwa usahihi, unahitaji tu kubadilisha matokeo katika mfumo wa asili wa equations. Upande wa kushoto wa equation lazima ufanane na upande wa kulia nyuma ya ishara sawa. Ikiwa majibu hayalingani, basi unahitaji kukokotoa upya mfumo au ujaribu kuutumia mbinu nyingine ya kutatua SLAE unazojua, kama vile kubadilisha au kutoa na kuongeza kwa neno baada ya muda. Baada ya yote, hisabati ni sayansi ambayo ina idadi kubwa ya njia tofauti za suluhisho. Lakini kumbuka: matokeo yanapaswa kuwa sawa kila wakati, haijalishi ni njia gani ya suluhisho uliyotumia.

Njia ya Gauss: makosa ya kawaida wakati wa kutatua SLAEs

Wakati wa kusuluhisha mifumo ya mstari wa milinganyo, makosa mara nyingi hutokea kama vile uhamisho usio sahihi wa mgawo katika fomu ya matrix. Kuna mifumo ambayo baadhi ya haijulikani hazipo kwenye mojawapo ya milinganyo; basi, wakati wa kuhamisha data kwenye tumbo lililopanuliwa, zinaweza kupotea. Matokeo yake, wakati wa kutatua mfumo huu, matokeo hayawezi kuendana na moja halisi.

Hitilafu nyingine kubwa inaweza kuwa kuandika matokeo ya mwisho kimakosa. Ni muhimu kuelewa wazi kwamba mgawo wa kwanza utafanana na wa kwanza usiojulikana kutoka kwa mfumo, wa pili - hadi wa pili, na kadhalika.

Njia ya Gauss inaelezea kwa undani suluhisho la milinganyo ya mstari. Shukrani kwa hilo, ni rahisi kufanya shughuli muhimu na kupata matokeo sahihi. Kwa kuongeza, hii ni chombo cha ulimwengu wote cha kupata jibu la kuaminika kwa equations ya utata wowote. Labda ndiyo sababu hutumiwa mara nyingi wakati wa kutatua SLAEs.